TRANSPORTE Y ASIGNACION

Algoritmo de TransporteMétodo Noroccidental - Método Vogel - Método Simplex

Algoritmo de AsignaciónMétodo Hungaro

ESTRUCTURA DE TRANSPORTE

• Se supone que “m” origen tienen que surtir a “n” centros de consumo con un cierto producto. La capacidad de oferta del origen i es ai con i = (1,....m) y la demanda en el centro de consumo j es bj con j = (1,......,n). Se supone que cij es el costo de enviar una unidad del producto del origen i al centro de consumo j.

PROBLEMA DE TRANSPORTEsi, centro de ofertadi, centro de demandaXij, flujo del centro de oferta i al centro de demanda j

P1

C1

P2

P3

C2

C3

C4

s1

s2

s3

d1

d2

d3

d4

C5 d5

• El problema de transporte se reduce a determinar cuántas unidades del producto deben enviarse del origen i al centro de consumo j, tal que se minimicen los costos totales de distribución, se satisfaga la demanda del centro de consumo j y no se exceda la capacidad de oferta del origen i.

• Sea Xij la variable de decisión, entonces la formulación del problema lineal es:

• Mín Z = cij Xij

• sujeto a Xij ai, i=(1,......,m)

• Xij bj, j=(1,......,n)

• con Xij 0, i=(1,....m)

• j=(1,....,n)

n

mj

i

n

i j

m

• Con la adición de las variables de holgura y superfluas el problema puede escrbirse como:

• Mín Z = cij Xij

• i j n

• sujeto a Xij = ai, i=(1,......,m)

•

• Xij = bj, j=(1,......,n)

• con Xij 0, i=(1,....m)

• j=(1,....,n)

m n

j

i

m

• Esta formulación lineal, PT, se denomina estructura de transporte.

• La restricción 1, indica que todo flujo del producto que emana del origen i y que se envía a todos los posibles m destinos, no puede excederse a la oferta del origen i ques ai. Existe una restricción de ese tipo por cada origen.

• La restricción 2, indica que todo flujo del producto que llega al centro de consumo j de todos los posibles n origen debe satisfacer la demanda del centro de consumo bj.

• Las restricciones de no negatividad indican que el sentido del flujo del producto es de los orígenes a los destino, unicamente.

ALGORITMO DE TRANSPORTE

• Mín Z = cij Xij

• • sujeto a Xij = ai, i=(1,......,m)• • Xij = bj, j=(1,......,n)

• con Xij 0, i=(1,....m)• j=(1,....,n)

m n

n

m

i j

j

i

• En el problema PT, ai y bj son número enteros positivos.

• Para construir el algoritmo se establecer dos matrices: una matriz de costos y una matriz de flujos.

• Cuando la oferta total sea mayor que la demanda total es decir: ai > bj, entonces se añade un centro de consumo artificial n + 1, cuya demanda bn+1 es

ai - bj, y cuyos costos unitarios c k,n+1, K=(1,...,m) son todos ceros.

MATRIZ DE COSTOSDestinos Oferta

1 2 ...........................n

Origenes

1

2

.

.

.

.m

Demanda b1 b2 .......................bn

a1

a2

.

.

am

Costos

c11 c12........................c1n

cm1 cm2......................cmn

c21 c22........................c2n

MATRIZ DE FLUJOSDestinos Oferta

1 2 ...................................n

Origenes

1

2

m

Demanda

X11 X12 ............................... .X1n

X21 X22 ............................... .X2n

Xm1 Xm2 ...............................Xmn

b1 b2 ............................... .. bn

a1

a2

am

• Si la demanda total excede a la oferta total, es decir, bj > ai, entonces se añade un centro de oferta artificial m+1, cuya capacidad de oferta a m+1 es bj - ai, y cuyos costos unitarios c m+1,k, son todos ceros.

• Una vez que el problema de transporte está balanceado, se requiere una solución inicial sea básica y factible.

• Los métodos aplicables son el Método del Extremo Noroccidental y Método de Vogel.

Destinos Oferta

1 2...................... n n+1

Origenes

12.....m

c11 c12........................c1n 0

c21 c22........................c2n 0

cm1 cm2........................cmn 0

Demanda b1 b2 ......................... bn ai - bj

m n

i j

a1

a2

.

.

am

Costos

Destinos Oferta1 2 ...................... n

12.....m

m + 1

c11 c12........................c1n a1

c21 c22........................c2n a2

cm1 cm2........................cmn am

0 0 ..........................0 bj - ai

n m

j ib1 b2 ......................... bnDemanda

Origenes

Costos

METODO DEL EXTREMONOROCCIDENTAL PARA GENERAR UNASOLUCIÓN INICIAL BÁSICA

• El punto de partida es una matriz con orígenes, destinos, ofertas y demandas de un problema balanceado.

• Para obtener una solución básica factible al problema, PT, se empieza a construir un matriz de flujos de la siguientes manera: ai bj

• Las variables Xij sólo pueden tomar el valor 0 ó 1. Toman el valor 1 si el origen i se hace corresponder con el destino j, y 0 en caso contrario

• Para resolver estos problemas se aplican algoritmos de asignación .

• Una condición necesaria y suficiente para que estos problemas tengan una solución es que estén balanceados, esto es, que la oferta total sea igual a la demanda total. Así si existen m orígenes y n destinos, se requiere que m y n sean iguales.

• Un algoritmo para resolver este tipo de problemas es el Método Húnguro

• O

rige

nes

1

2...n

Demanda b1 b2 ......................bn

a1

a2

.

.

.

.am

1 2 ...........................mOferta

Destinos

• PASO I. En la posición (1,1), que es el extremo noroccidental de la matriz asígnese el

• Mín (a1,b1) = X1,1. Réstese X1,1 de la oferta a1 y de la demanda b1. Alguna de estas cantidades se convertirá en cero

• PASO II. Si a1 se convierte en cero, pásese a la posición (2,1) y hágase

• X 2,1 = Mín (b1 - X 1,1, a2).

• Si por el otro lado es b1 el que se convierte en cero en el paso anterior, se pasa a la posición (1,2) y X 1,2 = Mín (a1 - X

1,2,, b2) • PASO III. Continuese con la misma lógica hata llegar a la

posición (m,n). La matriz de flujos que se obtenga será lfactible y básica para PT

METODO DE VOGEL

• PASO I: Este método comienza calculando, para cada reglón y columna, una “penalización” igual a la diferencia entre los dos costos más pequeños en el reglón (o columna).

• PASO II: encuentre el reglón o columna con la penalización más grande. Dentro de ese reglón o columna, fije la variable con costo más bajo, con el valor más alto posible y anule el resto de las variables del reglón o columna correspondiente.

• PASO III: Actualice las penalizaciones (esta vez no se consideran las variables ya fijadas) y vuelva a iterar hasta completar el tableau.

• PROBLEMAS DE ASIGNACION• La formulación de un problema es:

• Mín Z = cij Xij

• sujeto a Xij = 1, i = 1,......., m

• Xij = 1, j = 1,......., n

Xij 0

m n

i

j

ij

m

n

PASO I: METODO HUNGARO

• Dada una matriz de costos de un problema de asignación balanceado, reste en cada columna y en cada renglón el número más pequeño de esa columna ó renglón, del resto de los elementos en esa columna o renglón. En otras palabras:

• cij = cij - Mín cij, j = 1,.........,n

• cij = cij - Mín cij, i = 1,.........m

PASO II: METODO HUNGARO

• En la nueva matriz de costos seleccione un cero en cada renglón y columna. Elimine durante el proceso de selección la columna y el renglón al que pertenece el cero seleccionado. Si al finalizar este paso se ha hecho una asignación completa de ceros, es decir, cada origen tiene asignado un sólo destino y cada destino tiene asignado un sólo origen, se ha encontrado la asignación óptima. En caso contrario continúe con el PASO III.

PASO III: METODO HUNGARO

• En este paso encuentra la condición de Konig de que O(M) = D(M), siendo la Matriz de costos del PASO II. Este paso tiene 6 etapas:

• 3-1 Marque cada fila que no contiene un cero asignado• 3-2 Marque cada columna que contiene un cero (no

necesariamente asignado) en la fila marcada en el Paso 3-1

• 3-3 Marque cada fila que contiene un sero asignado en la columna marcada en el Paso 3-2

PASO III: METODO HUNGARO

• 3-4 Repita los pasos 3-2 y 3-3 hasta que no se puedan marcar más columnas o filas

• 3-5 Tache las filas no marcadas y las columnas marcadas• 3-6 Selecciónese al número más pequeño de los elementos

no cubiertos por una tachadur horizontal o vertical. Reste ese elemento del resto de los no tachados y sume ese elemento a los tachados en cruz, es decir, por una tachadura horizontal y vertical. Los elementos cruzados por una sola tachadura no cambian. Regrésese al PASO II