UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS “ESPE”

MÉTODOS NUMÉRICOS

TEMA: TRAPECIO SIMPLE Y COMPUESTO

INTEGRANTES:• María José Alcívar• Eduardo Olalla• Luis Paredes• Luis Terán

• Alejandro Medina

En matemática la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida

TRAPECIO SIMPLE

Carece de números de iteraciones.

Se obtiene una formula precia y exacta para el área requerida en las soluciones algebraicas.

Se calcula numéricamente una estimación del área para obtener soluciones numéricas

Características:

Se aplica este método en su forma simple para calcular numéricamente aproximaciones de algunas integrales definidas.

 Se utiliza para obtener el área total de una integral definida

Es a su vez fácil de aplicar a casi cualquier función integrable

Ventajas

Es imprecisa en comparación con otros métodos de aproximación numérica, ya que su truncamiento es mucho mayor comparándolos condichos métodos.

Gran cantidad de integrales de funciones básicas no puede ser expresada en función a ellas.

 A la hora de efectuar un tanteo de datos, la mayoría de las veces se podrá construir una tabla de valores en función a las observaciones obtenidas, esperando un comportamiento funcional, pero no en todos los casos se obtendrá lo que se espera, es decir, un comportamiento funcional, que simboliza la regla de la correspondencia entre variables involucradas, por ende este método no es totalmente ventajoso

Desventajas

h=5

Ejercicio de aplicación

clc;clf;clear;disp('Metodo de Integracion del trapecio simple');syms x;syms t;f(x)=input('Ingrese la función a integrar: ');a=input('Ingrese el limite inferior: ');b=input('Ingrese el fimite superior: ');fa=subs(f(x),x,a);fb=subs(f(x),x,b);g(t)=((fb-fa)/(b-a))*(t-a)+fa;aux1=a-1:0.1:b+1;aux2=a:0.1:b;hold on;plot(aux1,subs(f(x),x,aux1),'.-r');plot(aux2,subs(g(t),t,aux2)),'b';line([a a],[0 fa]);line([b b],[0 fb]);line([a b],[0 0]);hold off;z=(b-a)*((fa+fb)/2);disp('El valor de la integral es : ');z

Código en MATHLAB

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida:

Representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en nsubintervalos, cada uno de ancho .

TRAPECIO COMPUESTO

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

Donde y n es el número de divisiones.

El error en esta aproximación se corresponde con :

En este método el error es inversamente proporcional a la cantidad de trapecios usados para la función, es decir, para un dominio de integración dado, el error es proporcional a

Se aproxima el área que hay entre a y b por la suma de las áreas de los trapecios que se forman por medio de la función evaluada. 

En su desarrollo utiliza un tamaño de paso que ayuda a conseguir x, que esa su vez el comportamiento de los límites en la integral.

Características

Es ventajoso porque permite resolver el problema de cálculo del área bajo la curva entre dos puntos, dividiendo a N en sub- áreas, estas consideradas como pequeños trapecios para calcular su valor. 

Se aplica a funciones como las integrales impropias con limites (-,), se transforma el intervalo finito en toda la recta donde se puede integrar con exactitud cualquier función.

Este método es mejor que el método de trapecio Simple, es decir, su aproximación tiende a converger

mucho más, es decir, es más exacto al momento de arrojar resultados.

Ventajas

Depende de una cantidad n de subdivisiones, para determinar el número de iteraciones a realizar, de no conocer esta cantidad, debe ser asumida de manera arbitraria.

  No se tiene garantía que aplicando este método se

puede conseguir la anti derivada de una función asociada a f(x).

Es un proceso lento, es decir, requiere un valor de nodos n muy alto para obtener una aproximación aceptable. En la práctica es recomendable utilizar otros procedimientos mejores como la regla compuesta de Simpson.

Desventajas

=+

=

Ejercicio de aplicación

clc;

clf;

clear;

disp('Metodo de Integracion del trapecio compuesto');

syms x;

f(x)=input('Ingrese la función a integrar: ');

a=input('Ingrese el limite inferior: ');

b=input('Ingrese el fimite superior: ');

n=input('Ingrese el número de divisiones: ');

fa=subs(f(x),x,a);

fb=subs(f(x),x,b);

aux1=a-1:0.1:b+1;

dx=(b-a)/n;

hold on;

plot(aux1,subs(f(x),x,aux1),'.-r');

if(n<100)

j=0;

while(j<n)

aux2=a+dx*j;

line([aux2 aux2+dx],[subs(f(x),x,aux2) subs(f(x),x,aux2+dx)]);

line([aux2 aux2],[0 subs(f(x),x,aux2)]);

line([aux2+dx aux2+dx],[0 subs(f(x),x,aux2+dx)]);

line([a b],[0 0]);

j=j+1;

end

end

hold off;

h=(b-a)/n;

i=1;

d=0;

while(i<n)

d=d+2*subs(f(x),x,(a+i*h));

i=i+1;

end

z=(h/2)*((fa+fb)+d);

e=abs((int(f(x),x,a,b)-z)/int(f(x),x,a,b))*100;

disp('El valor de la integral es : ');

z

disp('El error es:');

e

Código en MATHLAB