TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

1. OBJETIVOS

a. Obtener gráficas de datos organizados en tablas.b. Construir ecuaciones experimentales e interpretar su comportamiento.

2. MATERIALES

Hojas de papel milimetradas (6) Hojas de papel logarítmicas (2) Hojas de papel semilogarítmica (1) Calculadora científica Lápiz

3. INFORMACIÓN TEÓRICA

Los datos obtenidos en un proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas de valores así confeccionadas nos informan acerca de relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones, es hacer representaciones gráficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logarítmicas o semilogarítmicas según sea el caso. De estas se buscan gráficas lineales (rectas), para facilitar la construcción de las fórmulas experimentales que representen las leyes que gobiernan el fenómeno.

a) Se grafica en un papel milimetrado los valores de la Tabla.b) Se compara la distribución de puntos obtenida con curvas conocidas.

Si se logra identificar la forma de la distribución de los puntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas correspondiente mediante la técnica de mínimos cuadrados. El modelo de ajuste que utilizaremos es lineal, esto significa que la ecuación que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuación es

Donde la pendiente m y la ordenada en el origen b son constantes a determinar. El ajuste de la distribución de puntos experimentales ahora se puede automatizar mediante programas de cómputo que facilitan el trabajo.

El primer paso es llevar los datos experimentales a un papel milimetrado. Si la distribución de puntos no tiene una tendencia lineal, se pasa a un papel logarítmico o semilogarítmico, en alguno de estos papeles la distribución de los puntos saldrá una línea recta.

Para las relaciones de la forma, n diferente a 1, sus gráficos en el papel logarítmico son rectas con pendiente m = n que cortan al eje vertical en b = k. Se recomienda preferentemente usar papel logarítmico 3 x 3, cada ciclo está asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logarítmico puede empezar con 10-1, 100, 101, 102, 103, etc. Para relaciones exponenciales se recomienda utilizar el papel semilogarítmico.

y = m x + b

y = k x n

En papel milimetrado también se pueden construir gráficos lineales para ecuaciones de curvas. Esto dependerá de los valores asignados a los ejes coordenados. Para esto es necesario tratar los datos.

De la distribución lineal de puntos obtenida en el papel milimetrado, logarítmico o semilogarítmico se calculan la pendiente m y la ordenada b. El método de ajuste más adecuado para una distribución lineal es la técnica de mínimos cuadrados.

Para aplicar esta técnica primero se construye una tabla de la forma:

x i y i x i y i x i2

x1 y1 x1y1 x12

x2 y2 x2y2 x22...

xp

.

.

.

yp

.

.

.

xpyp

.

.

.

xp2

∑ x i∑ yi ∑ x i y i ∑ x i

2

Se calculan la pendiente y la ordenada en el origen:

donde p es el número de mediciones.

Luego la fórmula experimental es la ecuación de la recta: y = m x + b

Una vez ajustada la distribución lineal, se procede a hacer los cálculos a fin de encontrar la fórmula experimental buscada.

En los casos de las distribuciones lineales en papeles logarítmico y semilogarítmico las fórmulas experimentales son:

Se grafica en papel logarítmico.

Se grafica en papel semilogarítmico.

Donde se considera que 10=e2,303

Método de Mínimos Cuadrados

y=bxm

y=10mx y=be2,303mx

m=p∑ xi y i−∑ x i∑ y i

p∑ ( xi )2−¿¿

b=∑ xi2 y i−∑ x i∑ xi y ip∑ (x i )

2−¿¿

Dado que en el ajuste lineal es por el método de los mínimos cuadrados la tabla se convierte en logarítmica y semilogarítmica, cuidando de colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna. Observe que las ecuaciones de la recta en esas escalas son:

La ordenada en el origen b obtenida por la fórmula será b’, que corresponde a log b, por lo que b se calcula como antilogaritmo de b’. Así b = anti log b’En caso de no ser necesario hacer el ajuste, m se calcula con la pendiente de la distribución lineal donde el valor de b se toma como el punto correspondiente al corte de la prolongación de la recta con el eje vertical.

Se recomienda ver el método de los mínimos cuadrados en un libro de estadística.

Para utilizar este método debemos tener presente las siguientes consideraciones:

a. Se aplica a gráficas donde los puntos del eje horizontal están igualmente espaciados.

b. Los puntos se dividen en dos grupos iguales. Un grupo para valores bajos de y, otro grupo para valores altos de y.

c. A continuación se aparean los puntos uno de cada grupo.d. Luego se calcula la diferencia de los valores de y para cada par de

puntos.e. A continuación se calcula el valor medio de las diferencias Δy.f. Por la primera consideración se sabe que la distancia Δx entre cada par

de puntos es la misma, por lo tanto la pendiente de la recta ajustada será:

g. Se determina el valor medio de x y el valor medio de y.h. Como la mejor recta ajustada debe pasar por el punto (x,y) con una

pendiente igual a m, entonces la ecuación de la recta será :

m=∆ y∆ x

Método de aproximación de pares de puntos

log y=m log x+log b log y=mx+ logb

y=mx+( y−mx)