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Tratamiento Digital de Senales

Capıtulo 2. Muestreo y

Reconstruccion de Senales

Jose Saez Landete

Departamento de Teorıa de la Senal y ComunicacionesUniversidad de Alcala

Septiembre, 2010

Objetivos

Entender como afecta el proceso de cuantificacion

en el funcionamiento del sistema.

Codificacion: recordar los tipos de representacion de

numeros mas tıpicos.

Analizar las dificultades practicas de un sistema

ADC y DAC.

Entender el proceso de muestreo en senales

paso-banda.

Capıtulo 2.Muestreo yReconstruc-

cion deSenales

Contenidos

Jose Saez Landete Departamento de Teorıa de la Senal y Comunicaciones, Universidad de Alcala 3 / 1


cion deSenales

Introduccion

Hasta ahora..

Precision infinita en la representacion digital de la senal.

Se ha despreciado la cuantificacion y codificacion.

Cuantificacion:

Numero finito de bits ⇒ conjunto discreto y finito devalores disponibles.

Cuantificacion: asignacion de un nivel de cuantificacion a laamplitud de las muestras.

Proceso no lineal y no invertible.

El error de cuantificacion genera distorsion en la senal.



cion deSenales

CuantificacionProcedimiento

Se divide el rango de amplitudes de x[n] en L+ 1 niveles decuantificacion: x1, . . . , xL+1 ⇒ L intervalos con un valor decuantificacion, x1, . . . , xL.

Si x[n] ∈ Ik = {xk < x[n] ≤ xk+1}, k = 1, . . . , L, el operadorQ[·] le asocia el valor xk:

xq[n] = Q[x[n]] = xk, si x[n] ∈ Ik

∆

xL+1x

1 x

2 x

3

Rangox

1 x

2 x

3

^ ^ ^

Figura: Niveles, intervalos y los valores de cuantificacion.



cion deSenales

CuantificadorFuncion caracterıstica:

∆

∆

−9∆/2 −7∆/2 −5∆/2 −3∆/2 −∆/2 ∆/2 3∆/2 5∆/2 7∆/2

∆/2

-∆/2

^eq[n]=x[n]-x[n]

x[n]

x[n]

x[n]^

-∆

-2∆

-3∆

-4∆

2∆

xmaxx

min

3∆R

Caracterısticas I:

Cuantificador uniforme por redondeo ⇒ valor mas cercano.

El no de niveles de cuantificacion par: 2b+1. Con lacodificacion del 0 ⇒ intervalo asimetrico.

Error cometido eq[n] = xq[n]− x[n], el cual esta acorado:−∆/2 < eq[n] ≤ ∆/2.



cion deSenales

Cuantificador

Caracterısticas II:

El escalon de cuantificacion es:

∆ =R

2b+1,

donde R es el rango dinamico del cuantificador.

Si aumenta el numero de bits ⇒ disminuye el escalon decuantificacion ⇒ disminuye el error de cuantificacion.

Inconvenientes practicos:

El offset en la funcion caracterıstica del cuantificador.

Errores en los factores de escala (o ganancia) de la senal deentrada

No linealidades en la separacion de escalores decuantificacion, etc...



cion deSenales

Analisis de errores de cuantificacion

Consideracion:

El error depende de la senal y del cuantificador:

La senal es desconocida.

El cuantifiacor no lineal.

Planteamiento

Tratamiento estadıstico suponiendo:

La naturaleza del error es aleatoria y es aditivo a la senal.

Ruido granular: la senal esta dentro del rango dinamico delcuantificador ⇒ error acotado: |eq[n]| < ∆/2 ⇒ no existedesbordamiento.

Cuantizador

Q[.]

x[n]^x[n] x[n]=x[n]+e[n]^x[n]+

e[n]



cion deSenales

Modelo estadıstico

Supuestos:

El numero de escalones de cuantificacion es suficientementegrande ⇒ el error es independiente y esta incorrelado con laentrada.

El error eq[n] esta uniformemente distribuido: [−∆/2,∆/2]y de media nula.

Cuantificacion uniforme por redondeo.

El error es ruido blanco estacionario (no esta correlacionadoen el tiempo).

Estas condiciones se cumplen cuando la senal varia lo suficientecomo para que la diferencia entre muestras consecutivas sea devarios escalones de cuantificacion.

Densidad de probabilidad de error

1/∆

e

p(e)

∆/2-∆/2



cion deSenales

Estimacion del ruido

SQNR:

SQNR = 10 log10Px

Pe,

donde Px = σ2x = E[x2(n)] y Pe = σ2

e =∆/2∫

−∆/2

e2p (e) de = ∆2

12 .

Sustituyendo:

SQNR = 20 log10σx

σe= 6,02b+ 16,81− 20 log10

R

σx

Conclusiones

Cada bit que se anade aumenta 6dBs la SQNR

Si la varianza de la senal es muy grande se producedesbordamiento.

Si la varianza es pequena disminuye la SQNR.



cion deSenales

Estimacion del ruido

Considerando una senal Gaussiana con R = 6σx:

SQNR = 6,02b+ 1,25

Ejemplo

Grabacion y reproduccion de audio HIFI requiere 90-96dBs ⇒DAC de 16bits mınimo.



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Codificacion

Descomposicion polinomica:

X = (x−a . . . x−1 x0, x1 . . . xb)r =

b∑

i=−a

xir−i, 0 ≤ xi ≤ r − 1

donde:

a y b es el numero de dıgitos enteros y fraccionales.

x−a se denomina el bit mas significativo (MSB)

xb es el bit menos significativo (LSB)

Representacion binaria: r = 2 y xi ∈ {0, 1}.

Consideracion:

Cualquier operacion puede generar un numero no disponible ⇒cuantificacion por redondeo o truncamiento.

Aritmetica de precision finita: estudio de los errores y supropagacion a lo largo del algoritmo.



cion deSenales

Representacion en punto fijo

Tıpicamente para fraccionales puros:

X = 0. x1x2 . . . xb =

b∑

i=1

xi2−i

Caracterısticas:

Usa b+ 1 bits

Capacidad para 2b numeros positivos

Resolucion de 2−b.

Numeros negativos:

Signo y magnitud: X = 1. x1x2 . . . xb.

Complemento a uno: X1C = 1. x1x2 . . . xb.

Complemento a dos: X2C = 1. x1x2 . . . xb + 00 . . . 01.

Cada tipo de representacion tiene unas reglas aritmeticasasociadas, la mas utilizada es la de complemento a 2.



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Representacion en punto flotante

Caracterıstica

Rango dinamico dado ⇒ resolucion es fija, relacionadosinversamente.Interesa una resolucion variable aumentando el rango dinamico⇒ punto flotante.

Punto flotante:

X = M × 2E

Mantisa, M , donde 1/2 ≤ M < 1.

Exponencial, 2E , donde E es entero positivo o negativo.

La resolucion depende del modulo, aumenta exponencialmente elrango de valores representados.Ejemplo: (0,101000)× 2011

Inconveniente

Aumenta la precision de los calculos a costa de un mayorprocesado. Los detalles vienen descritos en el standard IEEE 754.



cion deSenales

Consideraciones practicas

Hasta ahora...

Conversion ADC y DAC ideales.

Efectos de cuantificacion y codificacion en la senal.

Consideraciones practicas

Las senales no estan limitadas en banda.

Los filtros disponibles no son ideales.

Los convertidores CD y DC son dispositivos electronicos que“solo” se aproximan a los ideales.



cion deSenales

Convertidores ADC

Re-definicion:

Dispositivo que convierte una senal de voltaje o corriente en uncodigo binario cuyo valor es lo mas cercano posible a la amplitudde la entrada, cada T s.

Funcionamiento:

Cada T s se tiene que realizar el muestreo, la cuantificacion y lacodificacion ⇒ es necesario que el muestreo mantenga el valor dela muestra hasta que se hayan completado todas las operaciones.

Solucion

Sistema de muestreo y retencion (Sample and Hold, S/H) quesustituye al convertidor CD ideal.



cion deSenales

Muestreo y retencion S/H

Caracterısticas:

Dota al sistema del tiempo suficiente para que realice sus tareas:

S

tS+t

H

S S

S S

H

HH

H

Entrada

Salida S/H

Figura: Senal de entrada y salida del S/H.

Dos modos de funcionamiento controlados digitalmente.

Como cualquier dispositivo electronico, estan sometidos avariaciones en la periodicidad del muestreo, oscilaciones delvoltaje debidos a transitorios, etc...



cion deSenales

Convertidores DAC

Se ha considerado que la salida es:

xr (t) =∞∑

k=−∞

x [k]hr (t− kT ) =∞∑

k=−∞

x [k]sen

(

π(t−kT )T

)

π(t−kT )T

imposible de realizar ya que el calculo de la senal en un t dadorequiere el conocimiento de toda la secuencia x[k] para todos losvalores de k, no causal.

DAC real:

Un convertidor de digital a analogico (DC)

Una etapa de muestreo y retencion S/H (interpolador)

Un filtro paso bajo que suaviza la senal de salida.

y[n] y(t)^

ConvertidorDC

S/H

Filtro

paso-bajo

compensacion

ySH

(t)

Figura: Etapas implicadas en un DAC real.Jose Saez Landete Departamento de Teorıa de la Senal y Comunicaciones, Universidad de Alcala 18 / 1


cion deSenales

Convertidor DC

Su entrada es una senal electrica que corresponde a una palabradigital, la salida es una senal electrica proporcional al valor de lapalabra digital.

∆

100 101 110 111 000 001 010 011 Entrada

Salida

-∆

-2∆

-3∆

-4∆

2∆

3∆

Figura: Funcion caracterıstica de un DC.

La salida suele tener un importante transitorio ⇒ muestreo yretencion que mantiene el valor de voltaje constante hasta que lanueva muestra llegue.



cion deSenales

Interpolacion S/H

Aproximacion a la senal en escalera

tT 2T 3T 4T 5T 6T 7T0

Señal de entradaSeñal de salida, y

SH(t)

Matematicamente se expresa mediante la funcion deinterpolacion:

hSH (t)=

{

1 0 ≤ t < T0 resto

La senal de salida viene dada por:

ySH (t) =

∞∑

n=−∞

y [n]hSH (t− nT )



cion deSenales

Interpolacion S/HDominio de la frecuencia

HSH (ω) =2sen (ωT/2)

ωe−jωT/2

La respuesta en frecuencia comparada con la del interpoladorideal queda:

2π

Tω

ω

|Hc(ω)|

|HSH

(ω)|

π

T

Hr(ω)

(a)

(b)

En la figura se muestra el filtro compensador que elimina lasdistorsiones. ¿Cual es la respuesta en frecuencia?



cion deSenales

Muestreo y reconstruccion de senalespaso-banda

Una senal paso-banda:

Xa(ω)

ωL

ωc

ωH

ω-ω

H-ω

c-ω

L

donde B = ωH − ωL y 0 < ωL < |ω| < ωH .

Muestreo

¿Cual es la mınima frecuencia de muestreo?



cion deSenales

Muestreo uniforme o ideal

Espectro de la senal muestreada:

Xs (ω) =1

T

∞∑

k=−∞

Xa (ω − kωs)

La eleccion de la frecuencia de muestreo debe ser cuidadosa paraque no exista solapamiento provocado tanto por la banda defrecuencias positivas como por la banda de frecuencias negativas.Dos casos...



cion deSenales

Posicionamiento entero de la banda

Se cumple que ωH = mB

m denota la posicion de la banda.

Existe espacio en el espectro para alojar un numero enterode bandas.

La mınima frecuencia de muestreo es ωs = 2B ⇒ ocupaciontotal del espectro.

Caso m = 3

Xs(ω)

ωL

ωc

ωH

ω-ω

H-ω

c-ω

L

Xa(ω)

ωL

ωc

ωH

ω-ω

H-ω

c-ω

L



cion deSenales

Reconstruccion

Un filtro ideal que elimina las replicas

Hr(ω)

ωL

ωc

ωH

ω-ω

H-ω

c-ω

L

Cuya respuesta al impulso:

ga (t) =sen (πBt)

πBtcos (ωct) .

La senal reconstruida:

xa (t) =∞∑

n=−∞

xa (nT ) ga (t− nT ),



cion deSenales

Reconstruccion

m=3

Xs(ω)

ωL

ωc

ωH

ω-ω

H-ω

c-ω

L

Xa(ω)

ωL

ωc

ωH

ω-ω

H-ω

c-ω

L

m=4X

a(ω)

ωL

ωc

ωH

ω-ω

H-ω

c-ω

L

Xs(ω)

ωL

ωc

ωH

ω-ω

H-ω

c-ω

L

Interesante:

Se puede recuperar cualquier la senal original o cualquier replica,en particular la replica paso-bajo ⇒ equivalente a demodulacion.



cion deSenales

Posicionamiento arbitrario de la banda

Es necesario evitar que las replicas de la banda de frecuenciasnegativas solapen con la banda de frecuencias positivas:

Xa(ω)

ωL

ωc

ωH

ω-ω

H-ω

c-ω

L

Xs(ω)

ωL

ωc

ωH

ω-ω

H-ω

c-ω

L

B

(k-1)ωs

kωs

2ωH

2ωL

Réplica kRéplica k-1

Entre la replica k y k − 1 de la banda de frecuencias negativastiene que existir suficiente espacio para que quepa la banda defrecuencias positivas:

2ωH ≤ kωs

(k − 1)ωs ≤ 2ωL



cion deSenales

Posicionamiento arbitrario de la banda

Sistema de dos desigualdades con dos incognitas ωs y k:

2ωH ≤ kωs

(k − 1)ωs ≤ 2ωL

Resolviendolo:1 ≤ k ≤

⌊ωH

B

⌋

El maximo valor de k es el valor de la banda redondeada alentero inferior.La frecuencia de muestreo tiene que cumplir:

2ωH

k≤ ωs ≤

2ωL

k − 1

La frecuencia de muestreo mınima se obtiene como:

ωs,mın = 2ωH/kmax, donde kmax =⌊

ωH

B

⌋

.


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