Tratamientos termoquímicos

Cementación

La cementación es un tratamiento termoquímico que se aplica en piezas de acero. El proceso aporta carbono a la superficie mediante difusión, que se impregna modificando su composición.

La cementación tiene por objeto endurecer la superficie de una pieza sin modificar su núcleo, originando una pieza formada por dos materiales: la del núcleo de acero (con bajo índice de carbono) tenaz y resistente a la fatiga, y la parte de la superficie (de acero con mayor concentración de carbono)l 0,2% de carbono. Consiste en recubrir las partes a cementar de una materia rica en carbono, llamada cementante, y someter la pieza durante varias horas a altas temperaturas (típicamente, 900 °C). En estas condiciones, el carbono penetra en la superficie que recubre a razón de 0,1 a 0,2 mm por hora de tratamiento.

A la pieza cementada se le da el tratamiento térmico correspondiente, temple y revenido, y cada una de las dos zonas de la pieza, adquirirá las cualidades que corresponden a su porcentaje de carbono.

La cementación se aplica en todas aquellas piezas que deben poseer gran resistencia al choque y tenacidad junto con una gran resistencia al desgaste, como es el caso de los piñones, levas, ejes, etc.

Aceros de cementación

Son apropiados para cementación los aceros de bajo contenido de carbono. El cromo acelera la velocidad de penetración del carbono. Los aceros al cromo níquel tienen buenas cualidades mecánicas y responden muy bien a este proceso. Una concentración de níquel por encima del 5% retarda el proceso de cementación.

Según sean los requisitos de dureza y resistencia mecánica existen varios tipos de aceros adecuados para recibir el tratamiento de cementación y posterior tratamiento térmico.

Tipos de aceros para cementación

Aceros para cementación al carbono: Cementación a 900 ºC - 950 ºC, primer temple a 880 ºC - 910 ºC en agua o aceite, segundo temple a 740 ºC - 770 ºC en agua. Revenido a 200 ºC como máximo.

Aplicaciones: Piezas poco cargadas y de espesor reducido, de poca

responsabilidad y escasa tenacidad en el núcleo.

Aceros para cementación al Cr-Ni de 125 kgf/mm2: Tiene en su composición un 1% de Cr y un 4,15% de Ni. Cementación a 850 ºC - 900 ºC, primer temple a 900

ºC - 830 ºC en aceite, segundo temple a 740 ºC - 780 ºC en aceite. Revenido a 200 ºC como máximo.

Aplicaciones: Piezas de gran resistencia en el núcleo y buena tenacidad.

Elementos de máquinas y motores. Engranajes, levas, etc.

Aceros para cementación al Cr-Mo de 95 kgf/mm2: Tiene en su composición un 1,15% de Cr y un 0,20% de Mo. Cementación a 890 ºC - 940 ºC, primer temple a 870 ºC - 900 ºC en aceite, segundo temple a 790 ºC - 820 ºC en aceite. Revenido a 200 ºC como máximo.

Aplicaciones: Piezas para automóviles y maquinaria de gran dureza superficial y

núcleo resistente. Piezas que sufran gran desgaste y transmitan esfuerzos

elevados. Engranajes, levas, etc.

Aceros para cementación al Cr-Ni-Mo de 135 kgf/mm2: Tiene en su composición un 0,65% de Cr, un 4% de Ni y un 0,25% de Mo. Cementación a 880 ºC - 930 ºC, primer temple a 830 ºC - 860 ºC con aire o aceite, segundo temple a 740 ºC - 770 ºC con aceite. Revenido a 200 ºC como máximo.

Aplicaciones: Piezas de grandes dimensiones de alta resistencia y dureza

superficial. Máquinas y motores de máxima responsabilidad, ruedas dentadas, etc.

Las reacciones que ocurren durante la cementación a alta temperatura son:

2C + 02 --- 2C0

2CO --- C +C02

C+ 3Fe --- Fe3C

Para que en el acero ocurra la absorción del carbono, es necesario que el acero se encuentre en estado austenítico a temperaturas comprendidas entre 850 y 950°C.

Los carbonatos mezclados con el carbón vegetal aceleran la penetración del carbón naciente, al facilitar la formación de óxidos de carbono, de acuerdo con la reacción:

BaCO3 -- BaO + C02

CO2 + C -- 2C0

Las mezclas cementantes con el uso pierden su actividad y es necesario renovarlas, agregándoles un 20% de mezcla carburante nueva.

El mayor inconveniente de la cementación sólida es la dificultad de templar directamente las piezas al sacarlas de la caja, hay necesidad de dejar enfriar lentamente las piezas cementadas, se templan a 8200C y luego se revienen a 2000C.

Profundidad de la capa cementada vs tiempo de tratamiento a 900°C.

Cementación Líquida (en baños de sales)

Las piezas sometidas a grandes esfuerzos ya se cementan hace varias decenas de años en baños de sales. Lacementación, que consiste en un enriquecimiento superficial de carbono, es aún hoy el tratamiento termoquímico más utilizado para obtener piezas de acero con superficies que suporten elevadas presiones y que sean resistentes al desgaste, manteniendo al mismo tiempo el núcleo dúctil.

Para alcanzar profundidades de cementación, en tiempos económicamente viables, los baños de cementacióncontienen, además de los elementos proveedores de carbono, los llamados activadores, que son productos que aceleran la reacción de cementación. Esos activadores aumentan no solo la velocidad de cementación, sino también la oferta de carbono y la velocidad de transporte del carbono del medio líquido a la superficie de las piezas.

En los procesos de cementación que utilizan el "Sistema MONOSSAL" la composición de la sal de reposición ya está ajustada de forma para mantener siempre la proporción correcta de activador en el baño cementante, independientemente de la cantidad añadida, y así se consigue proveer un potencial de carbono dentro de límites rigurosos y predeterminados, con gran repetibilidad. Este sistema reduce bastante el riesgo de desbalanceo de los baños

en función de posibles errores operativos. Disponemos de monosales desarrollados para diversas necesidades de cementación.

En los procesos de cementación que utilizan el "Sistema de 2 SALES", es necesario añadir, en proporciones correctas, tanto la sal proveedora de carbono, como la sal activadora. Como el potencial de carbono en estos baños varía en función de la proporción entre la sal activadora y la sal proveedora de carbono, es posible utilizarlas en baños con diferentes potenciales de carbono.

Cementación Sólida (granulados para cementación en caja)

El carbono necesario para promover la cementación también puede ser aportado por un granulado de cementación. Se trata de un producto que, en determinada temperatura, genera un gas responsable por la cementación de piezas de acero acondicionadas en cajas metálicasfabricadas en acero resistente al calor y envueltas por dicho granulado. Estas cajas deberán estar cubiertas por tapas (no impermeables) y a continuación llevadas a un horno de tipo cámara para calentamiento a temperatura de cementación.

Sistema MONOSSAL:

ProductosTemperatura

de trabajoCaracterísticas

CC 50 850-950ºCOfrece un gradiente de carbono suave y también se utiliza en la restauración de carbono

CC 80 850-950ºC Indicado para la cementación de aceros aleados

CC 110 850-950ºCIndicado para la cementación de aceros no aleados, donde se exigen grandes profundidades

C 85 850-950ºCMisma aplicación que el CC 80, indicado cuando hay gran arrastre de sal provocado por las piezas

C 97 850-950ºCMisma aplicación que el CC 110, indicado cuando hay pequeño arrastre de sal provocado por las piezas

C 4 780-950ºC Sal bastante fluida para capas de hasta 0,8 mm

Sistema de 2 SALES:

ProductosTemperatura

de trabajoCaracterísticas

A 5 / C3B 850-1000ºC Baño activado para capas de hasta 2,0 mm

C 5 / C3B 850-1000ºCBaño muy activado para capas de hasta 2,5 mm

GS540/C3B (10%) 850-950ºCDébilmente activado para capas de hasta 0,6 mm

GS580/C3B (10%) 850-950ºC Débilmente activado para capas de hasta 0,3

mm

Cementación sólida - granulados para cementación en caja

ProductosTemperatura

de trabajoCaracterísticas

KG 6 900-950ºC Recomendable para la mayoría de las aplicaciones

KG 30 900-950ºCRecomendable cuando es necesario un medio de cementación más activo

Nitruración

La nitruración es un tratamiento térmico empleado para el endurecimiento superficial de ciertas piezas, principalmente aceros. Es especialmente recomendable para aceros aleados con cromo, vanadio, aluminio, wolframio y molibdeno, ya que forman nitruros estables a la temperatura de tratamiento. Son estos nitruros los que proporcionan la dureza buscada.

Durante la nitruración, la pieza sometida ve aumentada su dureza superficial mediante el aporte de nitrógeno a la misma en una atmósfera nitrurante, principalmente compuesta de vapores de amoníaco descompuesto en nitrógeno e hidrógeno. En esta descomposición, el nitrógeno, más denso que el hidrógeno, se desplaza hacia la zona inferior de la cámara, entrando en contacto con la pieza y formando nitruros de hierro (compuesto duro y frágil) en su superficie.

La penetración de este tratamiento es sumamente lenta, del orden de un milímetro de espesor por cada 100 horas de duración, aunque después de esto la pieza no precisará de temple.

Este tratamiento se realiza generalmente en hornos eléctricos a temperaturas del orden de los 500ºC, por cuya cámara circula el gas de amoníaco. Tanto la temperatura como la concentración del gas en amoníaco debe mantenerse constante durante todo el proceso. Además, en caso de existir alguna parte de la pieza que no se desee nitrurar, se introducen dichas partes en una solución de estaño y plomo al 50%, que evitará que la atmósfera de nitrógeno les afecte.

La preparación previa al proceso consistirá en la limpieza de la pieza mediante, por ejemplo, ultrasonidos en un baño de alcohol. También se purgará la atmósfera del horno durante su calentamiento, haciendo circular un caudal de nitrógeno con un volumen igual a 100 veces el volumen del horno. Así, se asegura la eliminación de la humedad absorbida en el tubo de cerámica y, si se introduce la muestra en el horno durante la fase de calentamiento, pero fuera de la zona caliente, se aprovechará dicho caudal para eliminar también la posible humedad existente en ella. Para la mejor manipulación de la muestra, se introducirá previamente en una naveta de aluminio. Cuando el horno alcance la temperatura de tratamiento, se mueve la pieza a la zona caliente evitando la contaminación de la atmósfera del horno, y se procede a la aplicación del tratamiento.

Una vez se haya aplicado el tratamiento completo, el enfriamiento se hará siempre bajo una atmósfera controlada para evitar la contaminación superficial u oxidación de la pieza.

Existen otras maneras de nitrurar una pieza. Un ejemplo de ello es la nitruración líquida, que se emplea en el rango de temperaturas entre 815 y 850oC.

La nitruración líquida se realiza en un baño de sales fundidas compuesto de una mezcla típica de sales de sodio y potasio. Las sales de sodio, que representan 60 a 70% (en peso) de la mezcla total, están compuestas por 96.5% de NaCN, 2.5% de Na2CO3 y 0.5% de NaCNO. Las sales de potasio, 30 a 40% (en peso) de la mezcla, consisten de 96% de KCN, 0.6% de K2CO3, 0.75% de KCNO y 0.5% de KCl. El contenido de cianuro en todos los baños de nitruración es responsable de acción nitrificadora y la relación de cianuro a cianato es fundamental.

Los baños con contenido de cianuro usados pasan por un proceso de envejecimiento que genera productos de oxidación indeseables. El envejecimiento reduce el contenido de cianuro del baño e incrementa el contenido de cianato y carbonato.

Otro método es la plasma-nitruración, en donde el sustrato se conecta como cátodo y es expuesto a altas temperaturas a un plasma de nitrógeno/hidrógeno. Con esto al comienzo se quitan óxidos e impurezas superficiales y después los iones de nitrógeno se integran en la estructura del metal cerca de la superficie, obteniéndose como resultado un aumento en la dureza de la superficie. Adicionalmente en muchos casos se mejora las propiedades de deslizamiento y la resistencia a la corrosión. Además e aceros también se pueden plasma-nitrurar el titanio y el aluminio. También se denomina nitrurado luminscente.

Generalmente, la nitruración se aplica a piezas que vayan a sufrir grandes cargas y fatiga, como pistas de rodamientos o camisas de cilindros, por ello se buscará la mayor dureza superficial posible pero también un núcleo con cierta plasticidad. Es por culpa de esta resistencia que las piezas son mecanizadas, templadas y revenidas antes de ser sometidas a la nitruración.

En cuanto a la aptitud de una aleación para ser nitrurada, tenemos que el tratamiento es aplicable a aleaciones con una concentración de aluminio de aproximadamente 1% en peso (estos aceros aleados nitrurados se llaman Nitralloy), aceros inoxidables, aceros al cromo-níquel y algunas fundiciones al aluminio o cromo. No emplearemos el tratamiento en aceros al carbono, ya que la penetración es rápida y puede provocar el desprendimiento de la capa nitrurada.

La nitruración es, en general, uno de los tratamientos de endurecimiento superficial más baratos y que menos equipamiento requiere.

Nitruración gaseosa: La nitruración gaseosa se realiza en hornos de atmósfera controlada en los que la pieza se lleva a temperaturas entre 500 y 570ºC en presencia de amoníaco disociado. Este proceso se basa en la afinidad que tiene

los elementos de aleación del acero por el nitrógeno procedente de la disociación del amoníaco.- Nitruración en baño de sales: La nitruración en baño de sales se realiza a la misma temperatura que la nitruración gaseosa, entre 500 ºC y 570ºC. Para ello se introduce la pieza en un baño de sales fundidas compuesto por cianuros (CN-) y cianatos (CON-) en estado fundido. Durante este tratamiento, el material absorbe C y N del baño. Dadas las bajas temperaturas a las que se opera, la carburación es muy pequeña, dando paso a la nitruración. Así, se forma una capa cuya composición química es de un 25% de carburos (FexCy) y de un 75% de nitruros de hierro (FexNy).- Nitruración sólida: En la nitruración sólida las piezas se colocan cubiertas por una pasta se sustancia nitrurante que se eleva a una temperatura entre 520 ºC y 570ºC durante 12 horas.- Nitruración iónica o por plasma: Es un tipo de nitruración gaseosa dirigida a aumentar la velocidad de difusión del N y reducir el tiempo de tratamiento. Se realiza dentro de un reactor donde se ha hecho vacío antes de introducir los gases de nitruración. Estableciéndose un circuito eléctrico en el que la pieza a nitrurar es el ánodo, por efecto del calor el Nitrógeno molecular se descompone e ioniza. Con ello se produce la difusión del N por la superficie y la consiguiente formación de nitruros. Otros gases presentes y que actúan como soporte son el gas carburante, Ar, H2,...

Carbonitruración

La carbonitruración es un tipo de tratamiento térmico superficial del acero, englobado dentro de los procesos de cementación gaseosa, en el que se suministra carbono y nitrógeno a la superficie de una pieza de acero para proporcionarle las características de dureza deseada. Concretamente es un tratamiento termoquímico, a medio camino entre la cementación o carburación (adición de carbono) y la nitruración (adición de nitrógeno).La carbonitruración busca un endurecimiento superficial del acero mediante el enriquecimiento simultáneo con nitrógeno y carbono. Se realiza con aceros de bajo contenido al carbono (tenaces y resistentes a la fatiga) obteniendo así piezas con superficies de una elevada dureza y resistencia al desgaste, pero que a su vez conservan un núcleo tenaz.En los procesos de cementación gaseosa se busca elevar el contenido de carbono mediante difusión, introduciendo la pieza a tratar en un ambiente gaseoso rico en carbono. En el caso concreto de la carbonitruración, el endurecimiento se consigue con la adición de amoniaco a la atmosfera gaseosa para que aporte el nitrógeno deseado. En cuanto al agente carburante encargado de aportar carbono, lo más habitual es que se trate de hidrocarburos gaseosos (propano o gas natural) o hidrocarburos líquidos evaporados (terpenos, benceno, alcoholes, glicoles o cetonas).

El proceso de carbonitruración, al igual que el de cementación, va seguido de un temple (y un posterior revenido). Éste proporciona una elevada dureza en la superficie, al ser una zona con un elevado contenido en carbono (el contenido óptimo es de 0,8% C), mientras que conserva la tenacidad del núcleo, que sigue siendo bajo en carbono (entre 0,1 y 0,2% C) y que por tanto no se ve tan afectado por el proceso de temple. Se consiguen así las dos zonas de diferentes características que se deseaban, ya que gracias al proceso previo de carbonitruración se combinan las ventajas del temple, que proporciona dureza pero a la vez fragilidad, con las ventajas de conservar un núcleo dúctil y tenaz.

Las temperaturas a las que se somete el proceso son inferiores a las de la cementación. Se sitúan entre los 750 y los 850 ºC, dependiendo de la composición del acero y de las propiedades de fatiga deseadas.

En cuanto a los periodos de tiempo del proceso, estos son más cortos que en el caso de la cementación, ya que se buscan capas más delgadas: entre 0,1 y 0,6mm de espesor, frente a las capas habituales en la cementación que suelen superar el mm. Aun así sigue siendo un proceso largo, en torno a las horas, ya que la velocidad de penetración por difusión esta alrededor de 0,1-0,2mm/hora.

La distribución de carbono absorbido por la pieza depende de cuatro factores: el porcentaje de carbono del acero que se va a tratar, el potencial de carbono del medio gaseoso, la temperatura y el tiempo. Aun así, se puede conseguir una buena estimación el espesor de la capa utilizando la formula de Harris, que fue desarrollada en base a las leyes de la difusión es estado sólido y adaptada para modelizar los fenómenos de cementación gaseosa en función de la temperatura y del tiempo del proceso:

Se entiende por carbonitruración, el tratamiento termoquímico en el que se promueve el enriquecimiento superficial simultáneo con carbono y nitrógeno en piezas de acero, con el objetivo de obtener superficies extremadamente duras y un núcleo tenaz, sumado a otras propiedades mecánicas como resistencia a la fatiga, resistencia al desgaste y resistencia a la torsión.

La carbonitruración en baño de sal es un tratamiento que se encuadra entre la nitruración y la cementación. Por esta razón la temperatura de la carbonitruración se sitúa entre las temperaturas de estos dos procesos.

La oferta de nitrógeno, que se difundirá en el acero, dependerá de la composición del baño y también de su temperatura. Sin embargo, se sabe que la oferta de nitrógeno se reduce a medida que aumenta la temperatura.

En vista de ello, el tratamiento de carbonitruración está subdividido en:

Carbonitruración por encima de A1 (750ºC a 850ºC) Carbonitruración por debajo de A1 (750ºC a 850ºC)

ProductosTemperatura

de trabajoCaracterísticas

C3B 750-850ºC

Indicado para carbonitruración por encima de A1

C 2 750-850ºC

C1B 750-850ºC

GS 540 / C3B (30%) 750-860ºC

GS 660 / C3B (30%) 750-850ºC

NS 1 / NS 2B 700-720ºCIndicado para carbonitruración por debajo de A1

SULFINIZACIÓN

La sulfinización es un tratamiento termoquímico en el cual se introduce superficialmente azufre al acero. El objetivo no es mejorar las propiedades mecánicas sino mejorar su comportamiento frente al mecanizado. Se realiza en piezas ya terminadas. Consiste en elevar la temperatura de la pieza a 575°C aproximadamente en un baño de sales que ceden carbono, nitrógeno y azufre (estos dos últimos en menor cantidad), en aleaciones férreas y de cobre. Se utiliza en aceros de bajo carbono donde la viruta no se corta sino que se deforma y es arrastrada acumulándose frente al ataque. La incorporación superficial del azufre genera sulfuro de hierro (S2Fe) como inclusión no metálica (impurezas), y se aloja en los bordes de grano lo que fragiliza al metal, lo cual hace que disminuya el punto de fusión. Después de la sulfinización las dimensiones de las piezas aumentan ligeramente, aumentando su resistencia al desgaste, favoreciendo la lubricación y evitando el agarrotamiento.

Otro: Se trata de un tratamiento termoquímico que consiste en introducir pequeñas cantidades de azufre, nitrógeno y carbono en aleaciones ferrosas y de cobre. Mejora considerablemente la resistencia al desgaste, por la acción del azufre que se incorpora a la masa metálica por calentamiento a baja temperatura en un baño de sales. El método de trabajo que se suele seguir es el siguiente: 1 Mecanizado completo de la pieza dejando un exceso de 0.02 mm para terminar luego por rectificado. 2 Se precalientan las piezas3 Se introducen las piezas en el baño de sales (activos + reductores + desoporte) a una temperatura de 560 a 570 ºC con 60 minutos de permanencia se obtiene 0.15 mm de espesor. En los casos en los que no es necesario el rectificarlo con 0.15 mm de profundidad es suficiente.4 Se sacan del horno las piezas y se sumergen en agua para que se desprendanlas sales.5 Se rectifican las piezas en el caso que sea necesario.Como resultado de la operación se advierten dos acciones principales:a) Una corrosión superficial, que origina microcavidades o “piel de gallina”b) Polidifusión de C, S y N

Es un efecto autopropagante, es decir, a medida que sedesgasta va penetrando, por lo que siempre tendrá la misma resistencia al desgaste.

CEMENTACIÓN NITRURACIÓN CIANURACIÓN SULFINIZACIÓNCarburante Corriente de

amoniacoMezcla de carbono y nitrógeno

Inmersión en un baño de azufre, carbono y nitrógeno

ATMÓSFERA

Aumentar la dureza superficial

Aumentar la dureza superficial y la resistencia a la corrosión.

Aumentar la dureza superficial

Aumentar considerablemente la dureza superficial y la resistencia mecánica, favorecer la lubricación y evitar el agarrotamiento.

UTILIDAD

TRATAMIENTOS TERMOQUÍMICOS: consiste en calentar bajo una atmósfera determinada el material a tratar, mantenerlo a esa temperatura hasta que se produzca la difusión atómica de la superficie a una profundidad determinada y enfriarlo. Se producen cambios en la composición química superficial. Las variables a controlar son el tiempo, la temperatura y la concentración.

Difusión

La difusión (también difusión molecular) es un proceso físico irreversible, en el que partículas materiales se introducen en un medio que inicialmente estaba ausente, aumentando la entropía del sistema conjunto formado por las partículas difundidas o soluto y el medio donde se difunden o disolvente

Normalmente los procesos de difusión están sujetos a la Ley de Fick. La membrana permeable puede permitir el paso de partículas y disolvente siempre a favor del gradiente de concentración. La difusión, proceso que no requiere aporte energético, es frecuente como forma de intercambio celular.

En este tipo de difusión, el tamaño del átomo que difunde y el de los átomos de la red cristalina es parecido. La difusión se produce aprovechando los defectos de laguna.

La difusión intersticial se produce cuando los átomos entrantes son más pequeños que los existentes en la red cristalina.

Las ley que rige la difusión es la Ley de Fick. Otra forma para encontrar la correlación de difusión entre átomos, es sacar la derivada por la hipotenusa entre el radio de cierta medida, entre los caracteres de un punto polar en la primera cara de cff; por la integral de dicha ecuación.

Diferencia de difusión entre las dos regiones de distinta concentración es lo que se conoce como difusión neta.

Para un gas en un sólido

D= difusividad

Co= concentración inicial

Cx= concentración final

Cs= concentración superficial

t= tiempo

x= distancia desde la superficietyca

Ley de Fick

La ley de Fick es una ley cuantitativa en forma de ecuación diferencial que describe diversos casos de difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente no existe equilibrio químico o térmico. Recibe su nombre de Adolf Fick, que las derivó en 1855.

En situaciones en las que existen gradientes de concentración de una sustancia, o de temperatura, se produce un flujo de partículas o de calor que tiende a homogeneizar la disolución y uniformizar la concentración o la temperatura. El flujo homogeneizador es una consecuencia estadística del movimiento azaroso de las partículas que da lugar al segundo principio de la termodinámica, conocido también como movimiento térmico casual de las partículas. Así los procesos físicos de difusión pueden ser vistos como procesos físicos o termodinámicos irreversibles.

En el caso de existir diferencias de concentración de cualquier especie (concentración de sustancia o temperatura), el paseo aleatorio de las moleculas se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración hacia las regiones de menor concentración. El flujo de sustancia irá en el sentido opuesto del gradiente de concentración y, si éste es débil, podrá aproximarse por el primer término de la serie de Taylor, resultando la ley de Fick:

siendo   el coeficiente de difusión de la especie de concentración  . En el caso particular del calor, la ley de Fick se conoce como ley de Fourier y se escribe como

siendo   la conductividad térmica.

Tomando la ley de conservación integral para la especie c, y aplicándole a esta última el teorema de Stokes se tiene:

Combinando el resultado anterior (2a) con la ley de Fick (1a) resulta la ecuación de difusión o segunda ley de Fick:

Si existe producción o destrucción de la especie (por una reacción química), a esta ecuación debe añadirse un término de fuente en el segundo miembro.

Para el caso particular de la temperatura, si se aplica que la energía interna es proporcional a la temperatura, el resultado es la ecuación del calor.

con   la capacidad calorífica y   la cantidad de calor generada internamente, si

el medio es simplemente un conductor sin generación interna de calor