TRAZADO GEOMÉTRICO DE CÓNICAS

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TRAZADO GEOMÉTRICO DE CÓNICAS

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TRAZADO GEOMÉTRICO DE CÓNICAS. TRAZADO GEOMÉTRICO DE CÓNICAS. CIRCUNFERENCIAS CÓNICAS DEGENERADAS. .Un punto. ELIPSE. HIPÉRBOLA. .Dos rectas. PARÁBOLA. .Una recta. 0. CIRCUNFERENCIAS. Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro. - PowerPoint PPT Presentation

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TRAZADO GEOMÉTRICO DE

CÓNICAS

Page 2: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

TRAZADO GEOMÉTRICO DE CÓNICAS

CIRCUNFERENCIAS CÓNICAS DEGENERADAS

ELIPSE

HIPÉRBOLA

PARÁBOLA

.Dos rectas

.Una recta

.Un punto

Page 3: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CIRCUNFERENCIASCIRCUNFERENCIAS

TANGENCIASTANGENCIAS

Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro

0 TLa tangente a una circunferencia en un punto, es la perpendicular a la recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia ( el radio)

T

Si dos circunferencias son tangentes el punto de tangencia estará sobre la línea que une los centros

Page 4: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

TANGENCIASTANGENCIAS

ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORESARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES

R

O1

O2

rR+r

ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORESARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES

O1O2

rR

R-r

Page 5: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMATANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA

T

A B

0

Page 6: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO

TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO

A

T

BC

Page 7: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLATANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA

O1

T2

T1

t2

P

O

t1

Page 8: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIASTANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

O2

O1

r

T12

T11

T21

T22

R

R-r

t2

t2

Page 9: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIASTANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

r

O1

O2

R

R+r

A

B

T21

T22

T12

T11

t1

t2

Page 10: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CIRCUNFERENCIAS

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO

P

A

R

r

RO1 O2

T1 T2

R

Page 11: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CURVAS CÓNICASCURVAS CÓNICASCurvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano y que depende del ángulo que forman el plano y el eje de revolución de la superficie cónica

β = 90º

α = β

α < β

α > β

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ELIPSEELIPSE

- Curva cerrada y plana simétrica respecto a dos ejes, eje mayor o real (2a), y menor o virtual (2b).

CURVAS CÓNICASCURVAS CÓNICAS

- Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la suma de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual a la longitud del eje mayor.- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la elipse con los focos.(r y r’ ) se cumple que r + r’ = 2a

A

C

B

D

F F'

a

c

b

r'

N

M

ar

Page 13: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

ELIPSEELIPSE

CURVAS CÓNICASCURVAS CÓNICAS

- Circunferencia principal es la que tiene por centro el centro de la elipse y por diámetro el eje mayor.

- Circunferencias focales tienen por centros los focos de la elipse y por radio el eje mayor.

- Distancia focal es la que hay entre los focos (2c)

- Se cumple que a2= b2+ c2

- Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e <1

Page 14: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES

ELIPSEELIPSE

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES

A B

C

D

F F’G

a

GBGA

M

N

A B

C

D

4 3 2 1

1

2

3

4

O

Page 15: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDADCONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDAD

ELIPSEELIPSE

A B

C

D

E

G H

O

Page 16: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA

TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA

ELIPSEELIPSE

F’F

Pt

TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR

TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR

P

F F’

2a

PFI

G

H J

Page 17: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

HIPÉRBOLAHIPÉRBOLA

- Curva plana, abierta, con dos ramas y simétrica respecto a dos ejes,

CURVAS CÓNICASCURVAS CÓNICAS

- Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la diferencia de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual al valor del eje mayor V1V2 ( 2a )- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la curva con los focos.(r y r’ ) se cumple que r - r’ = 2a

F F’V1V2

A B

rr’O

2a

2c

Page 18: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

HIPÉRBOLAHIPÉRBOLA

CURVAS CÓNICASCURVAS CÓNICAS

- Circunferencia principal es la que tiene por centro el de la hipérbola y por diámetro 2a.

- Circunferencias focales tienen por centros los focos de la hipérbola y por radio 2a.

- Distancia focal es la que hay entre los focos (2c), los focos están sobre el eje principal o real

- Se cumple que c2= b2+ a2

- Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e >1

Page 19: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

HIPÉRBOLAHIPÉRBOLA

CURVAS CÓNICASCURVAS CÓNICAS

- Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito.

- Las asíntotas son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro O

- Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.

Page 20: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CONSTRUCCION DE UNA HIPÉRBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOSCONSTRUCCION DE UNA HIPÉRBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOS

HIPÉRBOLAHIPÉRBOLA

F

F’V1

V2 ABO

r’=V2A

r =V1A

r’=V2A

r =V1A

r =V1B r =V1B

r =V2B r =V2B

Page 21: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

TANGENTE A UNA HIPÉRBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA

TANGENTE A UNA HIPÉRBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA

ELIPSEELIPSE

TANGENTES A UNA HIPÉRBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR

TANGENTES A UNA HIPÉRBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR

FV1

F’V2

V1 V2

IP

tO

P

F V1

OF’V2

I

J

K

L

PF’V1 V1

Page 22: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

PARÁBOLAPARÁBOLA

- Curva plana, abierta, con una rama y simétrica respecto a un eje.

CURVAS CÓNICASCURVAS CÓNICAS

- Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

- Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la parábola con el foco y la directriz

V F

d

r

r

Page 23: TRAZADO  GEOMÉTRICO  DE  CÓNICAS

CONSTRUCCION DE UNA PARÁBOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZCONSTRUCCION DE UNA PARÁBOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ

HIPÉRBOLAHIPÉRBOLA

O V

F

A

d

AO