Treball Còniques - Mihela Buturuga

8/19/2019 Treball Còniques - Mihela Buturuga

1/14


2/14

Mihaela Buturuga – Llocs geomètrics. Còniques

Índex

1


3/14


Índex..............................................................................................................................2

Introducció.....................................................................................................................2

Llocs geomètrics............................................................................................................

Mediatriu....................................................................................................................

Bisectriu.....................................................................................................................

Circum!erència...........................................................................................................

Cercle........................................................................................................................."

Con i con d#$%ol&loni......................................................................................................"

Còniques........................................................................................................................'

1. (l&li%ses...............................................................................................................'Circum!erència........................................................................................................)

2. *ar+,oles............................................................................................................-

. i%èr,oles...........................................................................................................-

Com quadrar................................................................................................................../

Bi,liogra!ia...................................................................................................................10

Introducció

$quest tre,all %retn resumir els as%ectes que englo,en les còniques i els llocs

geomètrics %er tal d#assolir uns ,ons coneixements so,re el tema. (s tracta d#una

introducció a la ,ranca de les matem+tiques que com%rèn aquests coneixements tot

ex%licant les %rinci%als caracter3stiques i trets ms im%ortants de les còniques.

2


4/14


Llocs geomètrics

(ls llocs geomètrics són con4unts de %unts del %la 2 que com%arteixen unes

determinades %ro%ietats. $lguns exem%les de lloc geomètric són la ,isectriu la

mediatriu la circum!erència...

Mediatriu

La mediatriu d#un segment ´ AB s el lloc geomètric dels %unts del %la que

equidisten dels dos extrems $ i B. $quests %unts !ormen una recta %er%endicular al

segment que %assa %el seu %unt mit4+.

dist ( A , m )=dist (B , m)

*er re%resentar5la en %rimer lloc tracem un segment $B6am, centre en $ tracem una circum!erència de radi ma4or

que la meitat del segment. 7em el mateix %erò des de B

mantenint el mateix radi que la %rimera. $ continuació tracem

una recta que %assa %er la intersecció de les

circum!erències aquesta ser+ la mediatriu del segment $B.

Bisectriu8onades dues rectes secants r i s, de!inim la ,isectriu com el lloc geomètric dels

%unts que equidisten d#am,dues rectes. *odem dir que s una recta que %assa %el

9èrtex de l#angle !ormat entre r i s i el di9ideix en dos d#iguals.

$ l#hora de di,uixar la ,isectriu %rimer determinem dues rectes secants

des%rs tracem l#arc corres%onent a l#angle que !ormen.

$m, el com%+s als extrems del arc i la mateixa o,ertura tornem a

tra:ar dos arcs que es tallin en un %unt. 7inalment di,uixemuna recta que %assi %er aquest %unt i %el 9èrtex i o,tenim

la ,isectriu.


5/14


Circum!erència

;na circum!erència s el lloc geomètric dels %unts que es

tro,en a la mateixa dist+ncia d#un %unt !ix anomenat

centre. $questa dist+ncia s la que anomenem radi.

dist ( P ,C )=r

*odem re%resentar una circum!erència mit4an:ant un com%+s determinant una

o,ertura igual al radi que 9ulguem que tingui la circum!erència.

Cercle

;n cercle s el lloc geomètric del %la que inclou tots els %unts queestiguin a una dist+ncia del centre igual o in!erior al radi. una altra recta directriu anomenada eix de rotació.• L#eix= s una recta e !ixa en l#es%ai so,re la qual gira la

generatriu.• (l 9èrtex= s el %unt ? d#intersecció entre la generatriu i

l#eix.

em de tenir en com%te %erò que la ma4oria del que sa,em

a9ui so,re els cons ho 9a a%ortar $%ol&loni de *erga un matem+tic i astrònom que

est+ considerat un dels %ares de les matem+tiques 4untament am, *it+gores @ales de

Milet o (uclides.

"


6/14


$%ol&loni 9a nixer a *erga actual @urquia l>anA 2)2 a,ans del naixement de

esucrist 9a estudiar a $lexandria i 9a morir l>anA 10 en aquesta Dltima ciutat.

(ls seus tre,alls en geometria es 9an centrar en l>estudi de les caracter3stiques de les

còniques recollides %osteriorment en un lli,re anomenat ELes CòniquesF o,ra %er la

qual se#l coneix.

(n comen:ar el seu lli,re $%ol&loni demostra que tant la circum!erència com l>el&li%se

la %ar+,ola o la hi%èr,ole es %oden determinar en tallar un con am, %l+nols de di!erent

inclinació s %er això que aquestes cor,es re,en ara el nom de còniques.

(l con d#$%ol&loni s en realitat un con desmunta,le de !usta

que %ermetia entendre millor i de !orma 9isual les ex%licacions

d#$%ol&loni so,re la creació de les còniques.


7/14


d ( P , F )+d ( P , F ' )=k

$questes estan !ormades %els segents elements=

•

Focus GF i F’ H= són dos %unts !ixos de l#el&li%se.• Eix focal: recta %er la qual %assen els !ocus.• Vèrtexs de l’el·lipse= %unts d#intersecció de

l#el&li%se am, els eixos.• Eix menor: segment %er%endicular a l#eix !ocal.• Centre= %unt d#intersecció O, dels dos eixos.

@ota el&li%se es %ot re%resentar mit4an:ant la

!órmula general de l#el&li%se. 8onada una

el&li%se am, centre a l#origen de

coordenades i am, eix ma4or a i eix menor

b, l#equació ser+ la segent=

1=( x− x0)

a2 +

( y− y0)

b2

Ja,em que la suma de les dist+ncies de qualse9ol %unt de l#el&li%se P( x , y) als

!ocus s 2a %erquè aquesta suma s igual a la dist+ncia entre els dos 9èrtexs de l#eix

ma4or $ i $# la qual com%leix el segent= d ( A , A' )=2a

$m, aquesta in!ormació tenim que=

d ( P , F )+d ( P , F ' )=k =2a →2a=√ ( x−c )2+ y2+√ ( x+c )2+ y2

$l resoldre l#equació o,tenim que (a2−c2) x2+a2 y2=a2 (a2−c2 )

Com que en una el&li%se %odem di,uixar un triangle rectangle entre l#eix ma4or i l#eix

menor s#a%lica que a2−c2=b2 su,stituKm i ens queda el segent=

b2 x

2+a2 y2=a2b2 7inalment si di9idim el resultat entre a2

b2

, arri,arem a

l#equació inicial.

)


8/14


Circum!erència

;n ti%us es%ecial de el&li%se s la circum!erència. $questa resulta de la intersecció

entre un con i un %la %aral&lel a la se9a ,ase. Les circum!erències són llocs geomètricsdels %unts que equidisten d#un %unt !ix GcentreH.

Com que tots els %unts es tro,en a la mateixa

dist+ncia els eixos ma4or i menor d#aquest ti%us

el&li%ses són iguals i %er tant la se9a equació general

s=

1=( x− x0)

a2 +

( y− y0)

a2

2. *ar+,oles

Les %ar+,oles són els llocs geomètrics dels %unts que equidisten d#un %unt !ix G!ocusH i

d#una recta GdirectriuH. (s tracta de seccions còniques en les que un el %la que talla el

con s %aral&lel a la se9a generatriu. d ( P , F )=d ( P , s)

8ins dels elements que !ormen les %ar+,oles tro,em=

• (l focus F i la directriu s.• La distància % entre la directriu i el !ocus.• L#eix s que s la recta %er%endicular a la directriu.• (l vèrtex V que s el %unt d#intersecció entre l#eix i

la %ar+,ola.

*er tro,ar l#equació general de la %ar+,ola aga!em un %unt

*GxAH d#una %ar+,ola am, 9èrtex a lorigen de coordenades

?G00H= d ( P , F )=d ( P , s)

-


9/14


Ji sa,em que el !ocus est+ situat a 7G0 %2H i

l#equació de l#eix s s : y=− p2 lla9ors ens queda

que √ x2+( y− p

2)2

=| y+ p2|

$ra desen9olu%em la igualtat !ins arri,ar a l#equació

reduKda de la %ar+,ola= x2=2 py

. i%èr,oles

La hi%èr,ola s#o,t tallant el con d#$%ol&loni am, un %la %aral&lel a l#eix. 8es d#un altre

%unt de 9ist s el lloc geomètric dels %unts que com%leixen que el

9alor a,solut de la di!erència de les dist+ncies a dos %unts !ixos

G!ocusH s constant. |d ( P ,F )−d ( P ,F ' )=k |

(ls elements que !ormen la hi%èr,ola són els segents=

• (ls focus=

%unts !ixos de

la hi%èr,ola.• L#eix !ocal= recta que uneix els

dos !ocus.• (ls vèrtexs= dos %unts

d#intersecció entre l#eix !ocal i la

hi%èr,ola.• (l centre= %unt mit4a O, del

segment que !ormen els !ocus.• Les asímptotes= dues rectes r i r’, a les que la hi%èr,ola s#acosta %erò no

arri,a a tocar mai.

L#equació general de la hi%èr,ole s 1=( x− x0)

a2 −

( y− y0)

b2

/


10/14


*er arri,ar a aquesta igualtat aga!em una hi%èr,ola am, centre a l#origen de

coordenades i !ocus als %unts 7Gc0H i 7#G5c0H. Ja,em que

|d ( P , F )−d ( P , F ' )|=2a → ±2a=|√ ( x−c )2+ y2+√ ( x+c )2+ y2|

Com que estem da9ant d#un 9alor a,solut considerem que el resultat %ugui ser tant

%ositiu com negatiu això genera dues equacions di!erents que en desen9olu%ar les

igualtats i sim%li!icar queden reduKdes a= (c2−a2 ) x2+a2 y2=a2 (c2−a2 )

(n aquest cas torna a ser 9+lid a%licar la segent !órmula c2−a2=b2 això ens

%ermet su,stituir b2 x

2−a2 y2=a2b2 i %er aca,ar o,tenir l#equació de la hi%èr,ola al

di9idir l#anterior equació entre a2

b2

.

Com quadrar

@ota equació ,iquadr+tica es %ot reduir mit4an:ant trans!ormacions en una cònica. $ix3

doncs quadrar ser+ ex%ressar una equació ,iquadr+tica com l#equació general d#una

cònica. *er !er5ho intentarem trans!ormar termes de la igualtat en identitats nota,les%er tal d#a%ro%ar5nos a les !órmules generals de les canòniques. $lguns exem%les són=

(xem%le d#una %ar+,ola=

16 x2−24 x−16 y+1=016 x2=a2 →a=√ 16 x2=4 x

16 x2−24 x=a2−2ab+b2=(a−b)2 −24 x=−2ab →24 x=2 ·4 xb

16 x2

−24 x+32

=(4 x−3)2

b=24 x

8 x =3

16 x2−24 x+9−16 y−8=0→ (4 x−3 )2−16 y−8=0

y=(4 x−3)2−8

16


11/14


(xem%led#una

hi%èr,ola=

36 x2+36 x−16 y 2−135=036 x2+36 x+32=(6 x+3)2

36 x2=a2→a=6 x 36 x

2+36 x+9−16 y2−144=0

36 x=2ab→b= 36 x

2·6 x=3(6 x+3)2−16 y2=144

1=( x− A)2

a2 −

( y−B )2

b2 →

(6 x+3 )2

144−16 y

2

144=1→

(6 x+3 )2

122 −

y2

32=1

10


12/14


(xem%le d#una el&li%se=

9 x2+6 x+ y2−2 y−7=09 x2+6 x+1=(3 x+2)2

9 x2=a2→a=3 x 9 x

2+6 x+1+ y2−2 y−8=0

6 x=2ab→b= 6 x

2·3 x=1(3 x+1)2+ y2−2 y−8=0

y2=a2→ a= y (3 x+1)

2+ y2−2 y+1−9=0

2 y=2ab→b=2 y

2 y=1(3 x+1)2+( y−1 )2=9

(3 x+1)2

9+

( y−1 )2

9=1

Bi,liogra!ia

htt%=NNN.guachi%edia.comarchi9esagora5A5el5cono5de5a%olonio5matematicalia

htt%=lce4udo%.,logs%ot.com.es20110)el5cono5de5a%olonio5de5!rancisco.html

11

http://www.guachipedia.com/archives/agora-y-el-cono-de-apolonio-matematicaliahttp://lcejudop.blogspot.com.es/2011/06/el-cono-de-apolonio-de-francisco.htmlhttp://www.guachipedia.com/archives/agora-y-el-cono-de-apolonio-matematicaliahttp://lcejudop.blogspot.com.es/2011/06/el-cono-de-apolonio-de-francisco.html


13/14


htt%=NNN.mat.ucm.escatedramdeguOmandru%almigueldeguOmanlegadohistoriaa%

oloniolasconi

htt%=html.rincondel9ago.comconicasP1.html

htt%=NNN.9itutor.com

htt%=recursostic.educacion.esedaNe,eda2010descartesmaterialeslatorrePmariaPr

osaP%QeometriaPa!inPanaliticaP%lanoPlugaresPgeometricosLlocsgeometrics.html

12

http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drupal/migueldeguzman/legado/historia/apolonio/lasconihttp://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drupal/migueldeguzman/legado/historia/apolonio/lasconihttp://html.rincondelvago.com/conicas_1.htmlhttp://www.vitutor.com/http://recursostic.educacion.es/eda/web/eda2010/descartes/materiales/latorre_maria_rosa_p3/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Llocsgeometrics.htmlhttp://recursostic.educacion.es/eda/web/eda2010/descartes/materiales/latorre_maria_rosa_p3/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Llocsgeometrics.htmlhttp://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drupal/migueldeguzman/legado/historia/apolonio/lasconihttp://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drupal/migueldeguzman/legado/historia/apolonio/lasconihttp://html.rincondelvago.com/conicas_1.htmlhttp://www.vitutor.com/http://recursostic.educacion.es/eda/web/eda2010/descartes/materiales/latorre_maria_rosa_p3/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Llocsgeometrics.htmlhttp://recursostic.educacion.es/eda/web/eda2010/descartes/materiales/latorre_maria_rosa_p3/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Llocsgeometrics.html


14/14


1

Treball Còniques - Mihela Buturuga

Documents

Transcript of Treball Còniques - Mihela Buturuga