Triangulacionytrilateracion Topografia 120731171508 Phpapp02

Tema 9 Triangulacin y Trilateracin

M. Farjas 1

Tema 9: Triangulacin y Trilateracin


M. Farjas 2

NDICE 1. FUNDAMENTO TERICO DEL MTODO

1.1 Concepto y necesidad de una red topogrfica. 1.2 Proyecto y diseo de una red topogrfica

Pre-seleccin de vrtice Reconocimiento y seleccin definitiva Sealizacin Reseas

2. OBSERVACIN DE UNA RED TOPOGRFICA

2.1 Triangulacin.

1. Observacin angular.

Mtodo de la vuelta de horizonte. Mtodo de pares sobre una referencia. Mtodo mixto.

2. Medida de la base/s.

Ampliacin y reduccin de bases.

3. Estaciones excntricas. Reduccin al centro.

Concepto. Clculo.

2.2 Trilateracin.

3. CLCULO Y COMPENSACIN

3.1 Clculo de la triangulacin.

A. Descomposicin de figuras.

Polgonos. Cadena de tringulos. Cuadrilteros.

B. Aplicando mnimos cuadrados.

Ecuaciones de condicin.


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Relaciones de observacin. 3.2 Clculo de la trilateracin.

Correccin de las distancias medidas.

Constante del distancimetro y prisma. Correccin atmosfrica. Correccin en caso de proyeccin UTM.

3.3 Clculo de triangulacin-trilateracin.

Obtencin de las coordenadas aproximadas. Relaciones de observacin. Introduccin de pesos. Resolucin de las ecuaciones.

3.4 Precisin de una red topogrfica.

4. BIBLIOGRAFA COMPLEMENTARIA


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1. FUNDAMENTO TEORICO DEL METODO

1.1 Concepto y necesidad de una red topogrfica. 1.2 Proyecto y diseo de una red topogrfica

Pre-seleccin de vrtice Reconocimiento y seleccin definitiva Sealizacin Reseas

1.1 CONCEPTO Y NECESIDAD DE UNA RED TOPOGRFICA

Se considera red topogrfica al conjunto de vrtices a partir de la red geodsica de 3er orden.

La necesidad de la red topogrfica radica en que la distancia entre los vrtices de 3er orden es demasiado grande para los levantamientos. Se hace necesario establecer por mtodos topogrficos nuevos vrtices, denominados vrtices topogrficos de modo que la distancia entre ellos no supere aquella que necesita el trabajo.

1.2 RED TRIGONOMTRICA O TRIANGULACIN

Los puntos que constituyen esta red pueden estar separados desde unos centenares de metros hasta kilmetros. Para ubicarlos se utilizan los mtodos de interseccin.

Los mtodos de interseccin no requieren ms que medidas angulares, por ello para llegar a determinar las posiciones de los vrtices se necesitar conocer al menos la longitud de uno de los lados de la red. A este lado de longitud conocida se le denomina base de la triangulacin

2. OBSERVACIN DE UNA RED TOPOGRFICA

2.1 Triangulacin.

1. Observacin angular.

Mtodo de la vuelta de horizonte. Mtodo de pares sobre una referencia. Mtodo mixto.

2. Medida de la base/s.

Ampliacin y reduccin de bases.


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3. Estaciones excntricas. Reduccin al centro.

Concepto. Clculo.

2.2 Trilateracin.

2.1 TRIANGULACIN (observaciones angulares+ una distancia)

Mtodo de vuelta de horizonte

El mtodo de observacin en la triangulacin es el mismo que el que estudiamos en la interseccin, es decir el mtodo de vueltas de horizonte.

Cuando las observaciones angulares se efectan segn este mtodo, se estaciona el instrumento en el vrtice, por ejemplo en A y en posicin de C.D. se observan todas las direcciones. De ellas se elige la que mejor definida est, por ejemplo F, y se anotan las lecturas a cada una de las restantes B, C, ..., para volver a mirar a la visual de origen F, y comprobar si su lectura , llamada de cierre, es la misma que al comienzo. Ello permitir comprobar que el instrumento no ha sufrido ningn tipo de movimiento durante la observacin. De ser as se proceder a situar el equipo en posicin de C.I. y se repetirn las observaciones, girando en sentido contrario al anterior y comprobando igualmente el cierre de F. Si es correcto se dice que se ha observado una serie o vuelta de horizonte.

Cuando se pretende alcanzar ciertas precisiones, se hace necesario observar ms de una serie y si es n el nmero de ellas, el ngulo de reiteracin , viene dado por el cociente:

= 200g

n

que ser el valor que habr que incrementar la lectura origen de cada serie para conocer la de la siguiente. En Topografa no es frecuente observar ms de dos series

Se ha dicho anteriormente que las lecturas de cierre deben ser coincidentes con las iniciales, pero se comprende que esta coincidencia no puede ser total, ya que


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estarn afectadas de errores de puntera y lectura por lo que la mayor diferencia admisible para el cierre de una vuelta de horizonte, ser:

( )e e ep l +2 2 2

Mtodo de pares sobre una referencia

Este mtodo consiste en elegir una direccin de referencia R, que est bien definida, y que puede ser o no alguna de las direcciones a observar. Se hacen las lecturas correspondientes sobre R y B como si se tratase de una vuelta de horizonte compuesta nada ms que por dicho par de direcciones. A continuacin se visan de igual modo a R y C, que constituirn el segundo par, y as , sucesivamente hasta haber combinado con R todas las direcciones. Como la observacin de cada par se hace en muy poco tiempo se evitan posibles movimientos del equipo.

Si el nmero de direcciones es grande, es lgico que se tarde bastante en la observacin de las direcciones, por lo que para abreviar se utiliza el mtodo mixto que consiste en dividir las direcciones totales en varias de tal manera que se vise a la referencia y a unas direcciones y luego se vuelta a visar a la referencia y al resto de las direcciones y se refunden las vueltas de horizonte en una sola.

Medida de la base

Para el desarrollo de la triangulacin es necesario conocer la longitud de uno de los lados. Este lado se llama base de la triangulacin. Puede obtenerse mediante medicin directa o puede calcularse indirectamente su longitud, por reduccin de la de un lado geodsico o por ampliacin de otra base ms pequea.

La base debe ocupar un lugar lo ms centrado posible respecto de la triangulacin. Es evidente que as sern necesarios menos encadenamientos de tringulos para enlazar desde ella los lmites de la zona.

En cuanto a la precisin de la medida de la base ser aquella que requiera la escala del plano que se pretende obtener y la mayor o menor superficie a representar, o depender de la precisin con la que se deseen las coordenadas de los vrtices.

La medida de la base se suele llevar a cabo con distancimetros electrnicos. Anteriormente se realizaba mediante una estada invar, y fraccionando la distancia en tramos no mayores a 50 metros. Se conseguan de este modo precisiones del orden de 1/50.000.


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Las longitudes medidas han de experimentar diversas correcciones, siendo la primera la correspondiente a su reduccin al horizonte, si es que el sistema empleado para obtenerla no da directamente este tipo de distancias. A su vez, si no es pequea la altitud de la base puede llegar a tener cierta importancia la correccin denominada reduccin al nivel de mar ya que los verticales de sus extremos A y B no son paralelos sino convergentes en O, centro de la Tierra. As, si es H aquella altitud de la semejanza de tringulos OAB y OAB se deduce:

HRRBAAB

ABBA

RHR

OAOA

+=

=+=

''

'''

Si se desea efectuar el calculo de la tringulacin en coordenadas rectangulares de un determinado sistema de proyeccin, debe tenerse en cuenta que las longitudes a representar en el plano pueden no ser iguales a las correspondientes en el terreno, dadas las deformaciones que se producen en las proyecciones cartogrficas, teniendo que tener en cuenta la denominada anamorfosis lineal, que representa la relacin que existe entre aquellas longitudes.

El valor de k, de la anamorfosis es variable de unas proyecciones a otras y es funcin de las coordenadas del lugar, as pues la longitud de la base a considerar en el plano (AB), viene dada por la expresin:

( )AB AB k=

Si la base medida es pequea puede ampliarse por mtodos topogrficos. Tradicionalmente se ha llevado a cabo esta tarea mediante los mtodos del polgono, de la doble cadena, o el mtodo rmbico: Mtodo del polgono

El primero de ellos consiste en elegir una serie de puntos de forma que los extremos de la base medida A y B sern vrtices de un polgono y de modo que tambin lo sern los extremos C y G. de la base deducida. Los restantes vrtices se sitan libremente procurando que formen tringulos en los que se vayan aumentando progresivamente los lados. Con este mtodo no se consiguen grandes ampliaciones a lo sumo el doble de las medidas.


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Mtodo de la doble cadena

La ampliacin por doble cadena se hace, como de su nombre se deduce, mediante la observacin de las cadenas de tringulos, para tener as comprobacin de los resultados. Normalmente los vrtices duplicados de ambas cadenas son los intermedios entre los de la base medida y ampliada, se sitan muy prximos unos a otros, lo que reduce los desplazamiento y se utilizan banderas de diferentes colores para no confundirlos. Este mtodo permite ampliaciones mayores que el anterior, pero no se debe exagerar el nmero de tringulos de las cadenas, para evitar la acumulacin de errores.

Mtodo rmbico

Por ultimo el mtodo ms utilizado era el mtodo rombico o alemn. Con l se conseguan mayores rendimientos con el menor esfuerzo. Consiste en considerar la bas AB medida, como la diagonal pequea de un rombo, del que la base ampliada CD, es la otra diagonal. As pues solo interviene en la operacin los cuatro puntos mencionados reducindose al mximo las observaciones. Con este mtodo se puede ampliar dos veces y media la base medida con un rombo, pero puede considerarse a la diagonal CD como la base a ampliar mediante otro rombo, del que EF seria la base a deducir.

.

2.2 TRILATERACIN (medida de distancias)

Este mtodo consiste en que en vez de medir ngulos se miden distancias entre todos los lados con distancimetro. Las distancias que se obtienen en campo hay que reducirlas al horizonte, por ello debern medirse tambin los correspondientes ngulos de inclinacin, es decir se deben tomar las lecturas cenitales.


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Si se designan por a, b, c los lados del tringulo ABC el valor de A se puede deducir mediante el teorema del coseno.

cos A b c abc

= + 2 2 2

2

o tambin

cos ( )A p p abc2

=

Las coordenadas de los vrtices se deducen del siguiente modo: si son A y B los

puntos de partida conocidos el acimut AB ser asmismo conocido y como se ha mdido el lado AC, para calcular las coordenadas de C respecto de A solo se precisa deducir el angulo en A ya que:

AC AB A=

2.3 ESTACIONES EXCENTRICAS

En ocasiones por alguna razn no es posible estacionar en un vrtice V. En este caso se puede situar el aparato en otro punto E, haciendo lo que se llama una estacin excntrica. Visando a los puntos A , B,... que deberan observase desde V, con posterioridad pueden calcularse las lecturas que se hubiesen realizado de haber podido estacionar en l. Para ello bastar tomar nota tambin de la lectura acimutal que corresponde a la direccin EV, llamada lectura al centro, y medir cuidadosamente la separacin entre ambos puntos, E y V, que se denomina distancia de excentricidad

Sean L A y VL las lecturas efectuadas, respectivamente, desde E al vrtice lejano A y al V, y sea E0g la del origen de lecturas. Si por V se traza rectas paralelas a E0g y EA, se tendr:

L L eA A A' = +

por lo que para conocer la lectura que se hubiese hecho desde V sobre A, bastar modificar la lectura LV en el valor del angulo eA. En el tringulo EVA puede establecerse:

EVe

VAVEAAsen sen $

= (1)


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pero:

VA DEV d

VEA L L

VA

A V

==

=

Sustituyendo valores en la expresin (1) y despejando sen eA resulta:

de

DL L

e dL LD

A

VA

A V

AA V

VA

sen sen( )

sensen( )

= =

Como la distancia d es corta y grande DAV , el ngulo eA, ser necesariamente pequeo,

por lo que puede sustituirse el seno por el arco, y expresndolo en segundos, se obtendr:

e drL LDA

CC CC A V

VA=sen( )

Para cada una de las observaciones o direcciones visadas desde E, hay que deducir la correccin que le corresponde. La correccin toma un valor diferente para cada visual. 3. CLCULO Y COMPENSACIN

3.1 Clculo de la triangulacin.

A. Descomposicin de figuras.

Polgonos. Cadena de tringulos. Cuadrilteros.

B. Aplicando mnimos cuadrados.

Ecuaciones de condicin. Relaciones de observacin.

3.2 Clculo de la trilateracin.

Correccin de las distancias medidas.

Constante del distancimetro y prisma. Correccin atmosfrica. Correccin en caso de proyeccin UTM.

3.3 Clculo de triangulacin-trilateracin.

Obtencin de las coordenadas aproximadas. Relaciones de observacin. Introduccin de pesos. Resolucin de las ecuaciones.


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3.4 Precisin de una red topogrfica.

3.1 CALCULO PLANIMTRICO DE LA TRINGULACIN

DESCOMPOSICIN DE FIGURAS.

- Polgono ( 5 - 7 vrtices).

- Cuadriltero.

-Cadena.

AJUSTE MNIMO CUADRTICO.

COMPENSACIN DE FIGURAS

A. POLGONO

Si la descomposicin de los vrtices es similar a la de la figura, se ha formado un polgono alrededor de su vrtice central. Supongamos que se han medido en el campo los ngulos indicados en la figura.

El nmero de tringulos que normalmente configuran los polgonos suelen ser 5, 6 7 y las condiciones que han de cumplir sus ngulo sern: 1.- La suma de los tres ngulos de cada tringulo ha de ser 200g. 2.- La suma de los ngulos alrededor del vrtice central, A, deber ser 400g.

3.- Calculando sucesivamente los tringulos a partir de un lado radial

cualquiera, el AB, por ejemplo, debe llevarse a la misma longitud inicial. El cumplimiento de estas tres condiciones da lugar a la aplicacin de otras tantas compensaciones, y que enunciadas por orden, son: 1 Compensacin: Cierre de tringulos.


M. Farjas 12

Sumando los tres ngulos de cada tringulo, resultar:

1 2 3 2004 5 6 2007 8 9 20010 11 12 20013 14 15 200

+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =

g

g

g

g

g

Naturalmente la suma de los ngulos no ser 200g as que se producir un error ei

1 2 3 200

4 5 6 200

7 8 9 200

10 11 12 200

13 14 15 200

1

2

3

4

5

+ + = ++ + = ++ + = ++ + = ++ + = +

g

g

g

g

g

e

e

e

e

e

Para compensar los diferentes errores si son admisibles ( e ea 2 3 ), se corregir cada uno de los ngulos en la tercera parte del error, pero nunca introduciendo una compensacin inferior a la precisin de las lecturas. Si por algn motivo quedara una parte del error sin compensar se le sumar al ngulo que ms se acerque a 100g por exceso o por defecto.

Quedando entonces los ngulos:

5

2

2

1

1

1

3115'15

....315'5

314'4

313'3

312'2

311'1

e

e

e

e

e

e

=

=

=

=

=

=

2 compensacin: Suma de ngulos en el centro. Los ngulos medidos alrededor del punto O deben sumar 400g, ya que son los deducidos de una vuelta de horizonte.


M. Farjas 13

1 4 7 10 13 400+ + + + = g Naturalmente esto no ocurrir as que se producir un error e que si es tolerable

( e na 2 donde n = nmero de vrtices) se proceder a compensar del mismo modo que se compens con los ngulos interiores.

1 4 7 10 13 400+ + + + = +g e de tal manera que en este caso la compensacin ser:

e

e

e

e

e

51'13''13

51'10''10

51'7''7

514''4

51'1''1

=

=

=

=

=

Pero esta modificacin de los ngulos interiores implica que habr dejado de cumplirse la 1 condicin. Para que esto no ocurra se tendrn que retocar los ngulos restantes en la mitad y con signo contrario al de la correccin que se ha efectuado a los ngulos interiores.

2 2 110

3 3 110

5 5 110

6 6 110

8 8 110

15 15 110

' ' '

' ' '

' ' '

' '

' '

. . . .

. . . .

' ' '

= +

= +

= +

= +

= +

= +

e

e

e

e

e

e

3 Compensacin: Ajuste de lado.

Puede suceder que cumplindose las otras dos condiciones el conjunto de los puntos no sea un polgono, y entonces el punto A obtenido mdiante la relacin


M. Farjas 14

encadenada del teorema del seno, aplicado a las sucesivas bases de los tringulos, no coincida con el de partida A. Para que esto no ocurra se ha de aplicar una tercera correccin.

Aplicando el teorema de los senos a los diferentes tringulos obtenemos en el tringulo 1:

OAOB

= sensen

32

En el tringulo 2:

OBOC

= sensen

65

En el tringulo 3:

OCOD

= sensen

98

En el tringulo 4:

ODOE

= sensen

1211

En el tringulo 5:

OEOA

= sensen

1415


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Multiplicando ordenadamente nos queda:

0 0 0 0 0 3 6 9 12 152 5 8 11 14

A B C D EOB OC OD OE OA

=

sen sen sen sen sensen sen sen sen sen

Ahora el primer miembro de la igualdad es igual a uno luego:

sen sen sen sen sensen sen sen sen sen

3 6 9 12 152 5 8 11 14

1 =

Para que sea cierto los punto A y A han de coincidir, pues de lo contrario el lado OA, inicial y final, no sern iguales. Este ser el caso ms general, el logaritmo de la expresin anterior no ser 0 sino que valdr un cierto valor :

log sen sen sen sen sensen sen sen sen sen

3 6 9 12 152 5 8 11 14 =

Se modifican los ngulos de la expresin anterior para conseguir que sea cero el logaritmo. Esta modificacin ha de hacerse de manera que no perturbe las compensaciones anteriores, y observando que en el numerador y en el denominador de la expresin anterior, figuran un ngulo de cada tringulo, para no introducir nuevos errores, la correccin que se introduzca en ellos ha de hacerse por igual y con signo contrario. As designndola por e y aplicando con signo negativo a los del numerador y positivo a los del denominador se tendr:

log sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( )sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( )

3 6 9 12 152 5 8 11 14

0 + + + + + =e e e e ee e e e e

Matemticamente se obtiene que el ngulo e, puede calcularse con la siguiente expresin:

e =

Siendo:

14118521512963log

sensensensensensensensensensen=

14118521512963 +++++++++= se denomina sumatorio de diferencias tabulares, debido al origen de las

mismas. Se calculan para los ngulos que intervienen en la ecuacin de ajuste.


M. Farjas 16

Recordemos que la ecuacin de ajuste debe deducirse para cada caso concreto de compensacin. El valor de viene dado por:

3log)13(log3 sensenCC +=










La demostracin terica del clculo del trmino e, se inicia a partir de la expresin:

log sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( )sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( )

3 6 9 12 152 5 8 11 14

0 + + + + + =e e e e ee e e e e

Desarrollando:

(log(sen( )) log(sen( )) log(sen( )) (log(sen( )) log(sen( )))3 6 9 12 15 + + + + e e e e e

(log(sen( )) log(sen( )) log(sen( )) log(sen(( )) log(sen( ))2 5 8 11 14 0+ + + + + + + + + =e e e e e

Debido a la pequeez de e puede escribirse de modo general que:

log(sen( )) logsenlog(sen )) logsen

3 32 2

3

2

= + =

e ee e

Sustituyendo en la expresin anterior tendremos:


M. Farjas 17

(logsen logsen logsen logsen logsen3 6 9 12 153 6 9 12 15 + + + + e e e e e

(logsen logsen logsen logsen logsen2 5 8 11 14 02 5 8 11 14+ + + + + + + + + =e e e e e

y agrupando trminos:

=++++++++

)14log11log8log5log2(log15log12log9log6log3log

sensensensensensensensensensen

)( 15141211986532 +++++++++= e

Ahora el primer miembro de la expresin es el desarrollo del logaritmo de la expresin (*) . Su valor ser . La expresin queda reducida a:

= e e =

Una vez hallada la correccin (el valor del ngulo e, que compensa la figura) se corregir a los ngulos del numerador con signo contrario al error y a los del denominador con su signo.

2 2

3 3

5 56 6

8 8

15 15

' ' ' ' '

' ' ' ' '

' ' ' ' '' ' ' ' '

' ' ' ' '. . . .. . . .

' ' ' ' '

= = += = +=

= +

e

e

ee

e

e

B. CUADRILTERO

En un cuadriltero hay que observar los ocho ngulos que determinan sus dos diagonales, la figura constituye un cuadriltero completo, y tales ngulos deben cumplir las siguientes condiciones:

1.- Las diagonales dan lugar a la formacin de cuatro tringulos opuestos, dos a

dos, por el vrtice comn O. La suma de ngulos opuestos por el vrtice ha de ser igual.

2.- La suma total de los ngulos ser igual a 400g.


M. Farjas 18

3.- Calculando sucesivamente los tringulos a partir de un lado radial cualquiera, el OA, por ejemplo, debe llevarse a la misma longitud inicial.

1 Compensacin: Suma de ngulos en tringulos opuestos.

1 2 7 84 5 9 10+ = ++ = +

debido a los errores de observacin no se cumplirn exactamente estas igualdades, sino que resultar:

1 2 7 84 5 9 10

1

2

+ = + ++ = + +

ee

Se corregirn cada uno de los ngulos si fuese tolerable ( ea 2 4 ) en la cuarta parte del error respectivo y en el sentido conveniente.


M. Farjas 19

1 1 14

2 2 14

7 7 14

8 8 14

4 4 14

10 10 14

1

1

1

1

2

2

'

'

. . . .

. . . .

'

'

'

. . . .

. . . .

'

=

=

= +

= +

=

= +

e

e

e

e

e

e

2 Compensacin. Suma total de los ngulos.

1 2 4 5 7 8 9 10 400' ' ' ' ' ' '+ + + + + + + =

Naturalmente como ocurra en el caso anterior esta no se cumplir y se producir

un error e3 que si es tolerable ( ea 2 8 ) se proceder a compensar:

1 1 18

2 2 18

10 10 18

3

3

3

' ' '

' ' '

. . . .

. . . .

. . . .

' '

=

=

=

e

e

e

Esta compensacin no modifica los efectos de la primera, pues cada uno de los ngulos de la anterior compensacin experimenta la correccin y seguirn cumplindose aquellas condiciones.


M. Farjas 20

3 Compensacin Ajuste de lado.

En el tringulo 1:

OAOB

= sensen

21

En el tringulo 2:

OBOC

= sensen

54

En el tringulo 3:

OCOD

= sensen

87

En el tringulo 4:

ODOA

= sensen

109

Multiplicando ordenadamente:

OA OB OC ODOB OC OD OA

=

=

sen sen sen sensen sen sen sen

2 5 8 101 4 7 9

1

Naturalmente esto no ocurrir y aplicando logaritmos tendremos que:

log sen ' ' sen ' ' sen ' ' sen ' 'sen ' ' sen ' ' sen ' ' sen ' '

log2 5 8 101 4 7 9

1 =

Ahora bien, para que sea cierto los puntos A y A han de coincidir, pues de lo contrario los lados OA, inicial y final , no sern iguales, y como ste ser el caso ms general, el logaritmo de la expresin anterior no ser 0 sino que valdr un cierto :

log sen ' ' sen ' ' sen ' ' sen ' 'sen ' ' sen ' ' sen ' ' sen ' '

2 5 8 101 4 7 9 =

para que resulte cero se introduce en ellos una correccin e tal que:

0)''9()''7()''4()''1()''10()''8()''5()''2(log =++++

esenesenesenesenesenesenesenesen


M. Farjas 21

El ngulo viene dado por:

eCC =

Siendo:

''9''7''4''1''10''8''5''2log

sensensensensensensensen=

974110852 +++++++= se denomina sumatorio de diferencias tabulares. Se calculan para los

ngulos que intervienen en la ecuacin de ajuste. Recordemos que la ecuacin de ajuste debe deducirse para cada caso concreto de compensacin. El valor de

viene dado por: 2log)12(log2 sensen

CC +=









M. Farjas 22

C. CADENA

Llamaremos cadena a la disposicin de tringulos que tienen una base en comn entre tringulos y no existe ningn vrtice en comn a todos ellos.

Para el clculo de la cadena se necesita conocer, al menos, la longitud del lado inicial AB, y segn se conozcan o no otros datos relativos a su lado final IJ, podr aplicarse un nmero variable de compensaciones. 1 Compensacin:

Si solo se conoce un dato relativo al ltimo lado de la cadena, se dice que est colgada, y solo se podr realizar la compensacin que deriva de los cierres de sus tringulos, por lo que una vez realizado, los ngulos corregidos tendrn que cumplir las condicin general.

1 2 3 200

4 5 6 200

7 8 9 200

10 11 12 200

13 14 15 200

16 17 18 200

1

2

3

4

5

6

+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =+ + =

g

g

g

g

g

g

e

e

e

e

e

e

De aqu los ngulos compensados sern:

1 1 13

2 2 13

3 3 13

4 4 13

5 5 13

17 17 13

1

1

1

2

2

6

'

'

'

'

'

. . . .

'

=

=

=

=

=

=

e

e

e

e

e

e


M. Farjas 23

2 Compensacin:

Si adems de conocer los ngulos de los tringulos conocemos el azimut de llegada, es natural que este dato obligue a hacer otra compensacin, llamada

ajuste de acimut. Partiendo del azimut AB y pasando por todas las bases comunes a los tringulos haremos una corrida de azimutes hasta llegar al acimut final.

BC

AB

CD

CB

DE

DC

EF

ED

FG

FE

FH

FG

= = += = += =

2

6

7

12

13

16

eDATOHF

HF = )(

Este error ser el error en el ajuste acimutal que habr que compensar. Para ello se hacen tantas partes del error como ngulos han intervenido en la corrida de acimutes (ser igual al nmero de tringulos). En cuanto al sentido con que han de aplicarse las correcciones debe ser tal que anulen el error e, y a este respecto debe deducirse de la figura el signo con que cada uno de aquellos ngulos intervienen el calculo. As en la figura la compensacin ser:


M. Farjas 24

en

en

en

en

en

en

en

en

en

en

11611616

11311313

11212

17177

166

12122

+==

+==

+=

+==

+=

+==

Esta modificacin obliga a reajustar los tringulos otra vez sin modificar los ngulos que han intervenido en la corrida acimutal. El reajuste ser la mitad del ngulo de correccin que se aplic a los ngulos de la corrida acimutal cambiado de signo.

1 1 12

1

3 3 12

1

4 4 12

1

5 5 12

1

8 8 12

1

9 9 12

1

10 10 12

1

11 11 12

1

14 14 12

1

15 15 12

1

=

=

= +

= +

=

=

= +

= +

=

=

ne

ne

ne

ne

ne

ne

ne

ne

ne

ne

17 17 12

1

18 18 12

1

=

= n

e

ne


M. Farjas 25

3 Compensacin:

Cuando se conoce la longitud del lado de llegada debe aplicarse la compensacin del ajuste de lado, aplicando el teorema de los senos en los lados comunes de los tringulos o lo que es lo mismo utilizando los lados de la corrida acimutal.

Aplicando el teorema de los senos.

ABBCBDCDCDDEDEEFEFFGFGFH

=

=

=

=

=

=

sensensensensensensensensensensensen

315498111015141718

Multiplicando ordenadamente y simplificando queda la expresin:

ABFH

= sen sen sen sen sen sensen sen sen sen sen sen

3 5 9 11 15 171 4 8 12 16 18

FHAB

=sen sen sen sen sen sensen sen sen sen sen sen

3 5 9 11 15 171 4 8 12 16 18

1

Aplicando logaritmos:


M. Farjas 26

=

==

181612841171511953log

01log181612841171511953log

sensensensensensenABsensensensensensenFH

sensensensensensenABsensensensensensenFH

Se hace, por tanto necesario modificar los distintos ngulos que intervienen en una cierta cantidad e. Para obtener el valor del ngulo e, se procede de modo anlogo a como hemos realizado en las figuras anteriores:

eCC =


M. Farjas 27

Siendo:

181612841171511953log

sensensensensensenABsensensensensensenFH=

181612841171511953 +++++++++++= Las diferencias tabulares se calculan para los ngulos que intervienen en la ecuacin de ajuste. El valor de viene dado por la suma de los siguientes trminos:













Cuando hayamos modificado los ngulos que intervienen en la ecuacin de ajuste, para compensar la figura, se cumplir la igualdad:

log sen(3 ) sen(5 ) sen(9 ) sen( ) sen( ) sen( )sen( ) sen( ) sen(8 ) sen( ) sen( ) sen( )

FH e e e e e eAB e e e e e e

+ + + + + + =

11 15 171 4 12 16 18

0


M. Farjas 28

4 Compensacin: Si se conocen las coordenadas de los puntos iniciales y finales de la cadena, se podrn calcular la longitud y acimut del lado que une los dos ltimos puntos y, por tanto, podremos hacer un nuevo ajuste. Resolviendo los sucesivos tringulos se podrn calcular las coordenadas de todos los vrtices de la cadena partiendo de las de los primeros. Las coordenadas que se obtengan, para el ltimo no coincidirn con las reales y las diferencias son las que habr que compensar.

Para ellos se consideran los vrtices de la cadena en el mismo orden en que se han calculado y se asimila a una gran poligonal cuyos tramos son los lados del tringulo.

La compensacin de las coordenadas se har proporcional a las longitudes de los lados.

AJUSTE MNIMO CUADRTICO

Como se ha comentado, el mtodo de observacin en la triangulacin y en la trilateracin es el mtodo de vueltas de horizonte.


M. Farjas 29

Con todas las observaciones obtenidas angulares y de distancias, puede realizarse el clculo de las coordenadas de los vrtices planteando las ecuaciones de observacin que corresponden al modelo. Previamente se obtendrn las coordenadas aproximadas de los vrtices incgnita mediante la resolucin de los mtodos simples que se requieran. Para estas coordenadas podr aplicarse el mtodo de radiacin, de interseccin simple u otros, desde los vrtices de coordenadas conocidas previamente. El modelo de relacin de observacin por cada direccin acimutal obtenida en campo es el siguiente:

[ ] [ ] vLddYXXdYXXdXYYdXYYDr CCCC =+++ )()'()()()()( 1212111122121122122

EXPRESIN GENERAL DE LA RELACIN DE OBSERVACIN POR DIRECCIN ANGULAR OBSERVADA El modelo de relacin de observacin por cada distancia observada (y tratada convenientemente para reducirla al sistema cartesiano correspondiente) queda:

[ ] VDDdYYYdXXXdYYYdXXXD OBSCALCAL

=+++ 212212112112 )()()()( 1 EXPRESIN GENERAL DE LA RELACIN DE OBSERVACIN POR DISTANCIA OBSERVADA

Las ecuaciones de observacin sern:

A x = L Las ecuaciones normales:

AT P Ax = AT P L

Podemos cambiar la nomenclatura, y llamar

N = AT P A t = AT P L


M. Farjas 30

quedando el sistema de ecuaciones normales de la siguiente forma:

N x = t La solucin al sistema se obtiene calculando:

x = (AT P A)-1 AT P L con la sustitucin anterior queda:

x = N-1 t

La matriz P es una matriz diagonal de pesos que se define de la siguiente manera:

p1 0 0 0 0

0 p2 0 0 0

P = 0 0 p3 0 0

....................................................

0 0 0 0 pm

En la matriz P, todos los elementos fuera de la diagonal principal son 0. Esta situacin corresponde a observaciones independientes y no correlacionadas. Este es generalmente el caso de la Topografa.

Para determinar las precisiones de las cantidades ajustadas, se calculan los residuos despus del ajuste. Sea el ajuste con o sin pesos, los residuos vienen dados por:

V = Ax L

Clculamos de la varianza de referencia a posteriori:

rVPV T=20

donde V es el vector de residuos, P la matriz de pesos y r es el nmero de grados de libertad del ajuste y es igual al nmero de ecuaciones de observacin (n) menos el nmero de incgnitas (no), es decir expresa la redundancia del modelo:

r = n-no.

Si la varianza de referencia no se da como dato puede calcularse a posteriori con este clculo. Si la varianza de referencia se conoce al comienzo del ajuste a posteriori se calcular este valor tambin para hacer una comprobacin estadstica de los dos valores. La matriz cofactor asociada al vector de parmetros por el mtodo paramtrico, puede calcularse a partir de los residuos

Qxx = N-1 = (AT P A)-1


M. Farjas 31

Y a partir de esta matriz obtenemos la matriz covarianza, que contiene las precisiones buscadas. La desviacin tpica de las cantidades individuales ajustadas son:

xxxx QN20

120 ==

Anlisis estadsticos posteriores al ajuste se concentran en la estimacin de la calidad global del ajuste mediante el Test de bondad y la deteccin de errores groseros de pequea magnitud. Los errores de magnitudes grandes son fcilmente detectables puesto que producen grandes residuos en las observaciones de una zona concreta de la red. Este anlisis se basa en la realizacin de tests estadsticos sobre los residuos de las observaciones.

Como test de bondad del ajuste se utiliza 2. Es conocido como test global y sirve para determinar si la varianza de referencia a posteriori es compatible con la varianza de referencia a priori.

El test de Baarda es una tcnica que combina la deteccin de residuos anormalmente grandes bajo un cierto criterio estadstico, la localizacin del error grosero y su determinacin. El procedimiento de clculo consistir en obtener coordenadas iniciales de todos los puntos, con ellas y a partir de los datos de campo obtener las ecuaciones de observacin de direccin, una ecuacin por cada observacin de direccin, y finalmente resolver el sistema.

4. BIBLIOGRAFA COMPLEMENTARIA

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compensazione di reti topografiche". Bolletino di Geodesia e Scienze Affini. Anno XLII, N 3, pgs. 317-335.

BEZOARI, G.; MONTI, C. y SELVINI, A. (1984).

BRINKER, Russell C.; MINNICK, Roy (1987).

CHUECA PAZOS, M. (1983): Tomo I.

DOMINGUEZ GARCIA-TEJERO, F. (1978).

FERNNDEZ, F. M (1982): "Diseo ptimo y control de redes topogrficas".

Topografa y Cartografa. Vol X n 50. 1982.

KAVANAGK Barry F. y BIRD, S.J. Glenn (1989).

NUEZ DEL POZO, A y MACAN FBREGA, M (1990): "Densificacin de la red de tercer orden". Topografa y Cartografa. Vol VII. n36. Enero-Febrero 1990.

OJEDA RUIZ, J.L. (1984).


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RUIZ MORALES, Mario (1992).

SOBERATS MASSANET, M (1985): "Correcciones Meteorolgicas a

distancias medidas con distancimetro". Topografa y Cartografa. Vol II-N 50. Septiembre-Octubre 1985

UREN, J.; PRICE, W.F. (1992).

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puesta a punto". Topografa y Cartografa. Vol IV - N 31, pg. 21-29.

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