TRIANGULOS OBLICUANGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

A

R

O

B

C

b

ca

R 2SenC

c

SenB

b

SenA

a

Donde:

a2 R a 2R.SenA

SenA

b2 R b 2R.SenB

SenB

c2 R c 2R.SenC

SenC

Ley de Cosenos (Ley de Carnot)Ley de Cosenos (Ley de Carnot)

Ley de Senos (Ley de Ley de Senos (Ley de BriggsBriggs))

2a.b.CosCbac

2a.c.CosBcab

2b.c.CosAcba

222

222

222

2

B-ATg

2

BATg

b-a

ba

2

C-ATg

2

CATg

c-a

ca

2

C-BTg

2

CBTg

c-b

cb

b.CosAa.CosBc

c.CosAa.CosCb

c.CosBb.CosCa

aSen A =

2R

bSen B =

2R

cSen C =

2R

A

B

C

c

b

a

A

C

B

c

ba

Ley de tangentes

En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros

dos menos el doble del producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.

La resolución de un triángulo de este tipo exige conocer tres de sus elementos donde por lo menos uno de ellos

sea un lado(puede ser dos lados y un ángulo, tres lados, un lado y dos ángulos). Siguiendo las mismas normas

que en los triángulos rectángulos estableceremos primero unas fórmulas que relacionan los elementos de un

triángulo de los cuales se deducen en cada caso las fórmulas necesarias para resolver el triángulo.

“ En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos

de los ángulos opuestos y la constante de proporcionalidad

es el diámetro de la circunferencia que circunscribe a dicho

triángulo”

Ley de tangentes

En todo triángulo la suma de dos lados es a su diferencia como la

tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados

es proporcional a la tangente de la semidiferencia de los mismos

ángulos.

Ley de las proyecciones

En todo triángulo cada lado es

igual a la suma de las

proyecciones de los otros dos

lados sobre él.

MATEMÁTICA 5

Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Respuesta:x = 5

Respuesta:Ángulo B = 120°

1) En la figura mostrada, halla “ x”

3x + 5

5x -

1

30° 37°

B

A C

RESOLUCIÓN

SUGERENCIA: Aplica la LEY DE SENOS

2) Determinar el mayor ángulo.(Ángulo B)

7k8k

13k

B

A C

RESOLUCIÓN

SUGERENCIA: Aplica la LEY DE COSENOS

MATEMÁTICA 5


A-B 3Tg

2 2

3) A-B

Calcular: Tg2

1

3

A

C B60°

RESOLUCIÓN

SUGERENCIA: Aplica la LEY DE TANGENTES

Respuesta:b = 117

4) En la figura mostrada, calcula “b”

a = 100c =

35

b53° 16°

B

A C

RESOLUCIÓN

SUGERENCIA: Aplica la LEY DE LAS PROYECCIONES

MATEMÁTICA 5


5) En un triángulo ABC se cumple que

a.SenA – b.SenB = c.SenC. Hallar “A”

R

C

O

A

B

a

b

c

aSen A =

2R

bSen B =

2R

cSen C =

2R

R 2SenC

c

SenB

b

SenA

a

RESOLUCIÓN

SUGERENCIA: Aplica la LEY DE SENOS

Respuesta:A = 90°

Respuesta:K = c

6) Siendo “α” un ángulo cualquiera, a, b, c

los lados del triángulo ABC, hallar:

K = a.Cos( -B)+b.Cos( A) .Sec

bac

C

B A

RESOLUCIÓN

SUGERENCIA: Aplica LEY DE SENOS y luego LEY DE PROYECCIONES

MATEMÁTICA 5


Respuestas:B = 60°b = 2√3c = 2√2

Respuesta:C = 60°

7) Resolver el triángulo ABC

RESOLUCIÓN

SUGERENCIA: Primero halla ángulo B y luego aplica la LEY DE SENOS para hallar los lados b y c

a = √6 + √2

c

b75° 45°

B

A C

8) En un triángulo ABC se cumple que:

2p (a + b - c) = 3ab.

Hallar “C”. Nota: p = semiperímetro.

ac

b

B

A C

RESOLUCIÓN

Recuerda que:2p = a + b + c

2 2 2c a b 2a.b.CosC

MATEMÁTICA 5


Rpta: 87, 17 cm Rpta: 0, 2581

7) Dos lados y el ángulo comprendido de

un paralelogramo miden 40 cm; 60 cm y

60° respectivamente. Halla la longitud de

su diagonal mayor.

Nota: 19 = 4, 3585

8) En la figura mostrada, halla “Tg B“

24

12

B

A C30°

MATEMÁTICA 5


SEMIÁNGULOS EN FUNCIÓN DE

SUS LADOS Y SU SEMIPERÍMETRO

a + b + c p =

2

De donde:

A p(p - a)Cos =

2 bc

B p(p - b)Cos =

2 ac

C p(p - c)Cos =

2 ab

a + b + c p =

2

De donde:

p - b p - cASen =

2 bc

p - a p - cBSen =

2 ac

p - a p - bCSen =

2 ab

a + b + c p =

2

De donde:

p - b p - cATg =

2 p p - a

p - a p - cBTg =

2 p p - b

p - a p - bCTg =

2 p p - c

A

B

C

b

ca

AREA DE LA REGIÓN DE UN

TRIÁNGULO

A

B

C

b

ca

b.cS = .SenA

2

a.bS = .SenC

2

a.cS = .SenB

2

a.b.cSen =

4R

S = p p - a p - b p - c

MATEMÁTICA 5


Rpta: 96 cm2

23 Rpta : = u

3

1) En la figura, halla el área.

2 2

Además se sabe que:

b + c = a + 4

A

B

C

b

ca

60°

2) Halla el área del triángulo

A37°

O

B

C

12

MATEMÁTICA 5


Rptas

B : = 98°

c = 10

a = 6 2

3) Resuelve el triángulo:

A

Recuerda que:

Sen98° = Sen 45° + 53°

= Sen45°.Cos53° +Sen 53°.Cos 45°

Sigue:

4) Resuelve el triángulo:

A

B

C60°

b = 2

a = 1c

Rptas

A : = 30°

c = 3

B : = 90°

B

C

ca

37°45°

b = 14

MATEMÁTICA 5


Rpta:

4(2 + 3)

PROBLEMAS PROPUESTOS:

Halla un lado del triángulo ABC:

donde: A = 105°, C = 60° y b = 4.

Ejercicio 1.-

Rpta:

60°

Del triángulo ABC, donde a = 15; b = 7;

c = 13, halla C.

Ejercicio 2.-

Rpta:

45°

De la figura, halla " x ":

Ejercicio 4.-

x31

25

7√2

Ejercicio 3.-

Del triángulo ABC, donde a = 7; b = 3; c = 5,

halla A. Rpta: 120°

Rpta:

2

En un triángulo ABC, se tiene que:

C = 120°, c = 2 3, a = 2, halle b.

Ejercicio 5.-

Ejercicio 6.-

Rpta:

45°

En la figura, halla " x ":

x

2√3

3√2

60°

Rpta:

2

¿ Cuántos triángulos se pueden

construir con los siguientes datos?

a = 80; b = 100; A = 30°.

Ejercicio 7.-

Rpta:

0

¿ Cuántos triángulos se pueden

construir con los siguientes datos?

a = 40; b = 100; C = 30°.

Ejercicio 8.-

Ejercicio 9.-

Rpta:

3 2

En la figura, halla " x ":

7

x

5

37°

Ejercicio 10.-

Rpta:

22

Halla el área de la figura:

11

5

53°

TRIANGULOS OBLICUANGULOS

Documents

Transcript of TRIANGULOS OBLICUANGULOS