Notación y DiversidadDefinición: Es una figura cerrada, formada por tres rectas que se cortan dos a dos; es una superficie plana, que tiene tres lados, y por lo tanto tres ángulos y tres vértices,

Notación: La manera más común de nombrar a los triángulos es colocando el símbolo seguido de las tres letras mayúsculas de sus vértices. Ejemplo:

Clasificación de acuerdo a sus lados:

Equilátero: Son los que tienen sus tres lados iguales.

Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales.

Escaleno: Es aquel en el que ninguno de sus lados son igua-les; Son los que tienen sus tres lados desiguales.

Clasificación de acuerdo a sus ángulos:

Acutángulos:Son los que tienen sus tres ángulos agudos.

Rectángulos:Es el que tiene un ángulo recto; Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto se denomina Hipotenusa.

Obtusángulos:Son aquellos que tienen un ángulo obtuso.

Los triángulos Acutángulos y Obtusángulos se denominan también “TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS” debido a que nin-guno de sus lados interiores es un ángulo Recto.

Ángulos en un triágulo

Los ángulos que se forman en un triángulo se relacionan entre sí cumpliendo con las siguientes propiedades o características:

1.- La suma de los ángulos internos de un triágulo es igual a dos ángulos rectos; es decir, suman 180º.

En la figura, α + γ + ε = 180º. Recordar que γ = β y que ε = δ por ser ángulos alternos internos.

2.- La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90º.

En la figura, α + β = 90º

3.- En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos (opues-tos).

En la figura, β = α + ε

4.- En todo triángulo la medida de un ángulo externo es mayor que la de cualquier ángulo interior no adyacente.

En la figura,

β > (es mayor que) α

β > (es mayor que) e

5.- La suma tres ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos; es decir, suman 360º.

En la figura, α + β + γ = 360º

Rectas y puntos notablesAltura

Recta perpendicular a un lado bajada desde su vértice opuesto

Ortocentro y alturas.

Punto de concurrencia:ORTOCENTRO

Comentario:Hay una ambigüedad al hablar de rectas notables; con frecuen-cia se entiende sólo el segmento, pero en algunas ocasiones se debe entender toda la recta.

Recta que pasa por el punto medio de un lado y el vértice opues-to a ese lado

Baricentro y medianas.

Punto de concurrencia:BARICENTRO

Comentario:El baricentro divide a la mediana en razón 2:1 partiendo del vértice.

Medianas

Recta que pasa por un vértice y divide en dos ángulos iguales el ángulo interior correspondiente a ese vértice.

Bisectrices e incentro.

Punto de concurrencia:INCENTRO

Comentario:También se define como el lugar geométrico de los puntos equi-distantes de dos lados de un triángulo

Bisectriz

Recta que pasa por el punto medio de un lado y perpendicular a éste.

Circuncentro y mediatrices

Punto de concurrencia:CIRCUNCENTRO

Comentario:También se define como el lugar geométrico de los puntos equi-distantes de dos vértices de un triángulo.

Mediatriz

Traza el triangulo con las si-guietes coordenadas y de color negro

a( 5. 0)b( 3, 6)c(-4, -3)

A) Traza las alturas de cada lado de triagulo en color Rojo

B) Traza de color azul las media-nas de cada lado

Traza el triangulo con las si-guietes coordenadas y de color negro

a( 5. 0)b( 3, 6)c(-4, -3)

A) Traza la bisectriz y su incen-tro

Traza el triangulo con las si-guietes coordenadas y de color negro

a( 3. 1)b( -7, 6)c(-3, -6)

A) Traza la bisectriz de cada lado de triagulo en color Rojo

B) Traza de color azul la media-triz de cada lado

Traza el triangulo con las si-guietes coordenadas y de color negro

a( 5. 0)b( 3, 6)c(-4, -3)

A) Traza las mediatrizes y su cir-cuncentro

Teorema de PitagorasHace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos:

Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...

... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces...

... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama “hipotenusa”, así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos “triángulo rectángulo” a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²):

a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados “3,4,5” tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángu-los!)

DEMOSTRACION

Consigue papel y tijeras

1) Dibuja un triángulo rectángulo en el papel de 6 cm de apotema,2) Dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa (el lado más largo)3) Dibuja un cuadrado del mismo tamaño en el otro lado de la hipotenusa4) Dibuja líneas como en la figura5) Cortar cuadrado6) Recorta los trozosColócalos de manera que puedas demostrar que el cuadrado grande tiene la misma área que los cuadrados en los otros lados juntos

¿Cuántos metros se desplegó la escalera tele-scópica del carro de bomberos, si el edificio tie-ne una altura de 8 m y el carro se ubicó a 6 m del edificio?

Si estas parado frente a un edificio de 5 pisos, donde cada piso tiene una altura de tres me-tros y tú te encuentras a 25 metros del edificio, ¿Cuál es la distancia entre tus ojos y la cima del edificio?

Se cae un poste de 14,5 m de alto sobre un edificio que se encuentra a 10 m de él. Cuál es la altura a la que le golpea?

En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de diámetro en

medio de una cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de

12 m separados 30 m entre sí. ¿A qué altura del suelo queda la estrella?

30 m

¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la torre reflejada en el agua)?

1.76

3.3

16 m

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario es-

Teorema de Thales

Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre am-bos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus la-dos. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.

En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto.

La leyenda de Tales y las pirámides

Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.

La leyenda dice que solucionó el problema aprovechan-do la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).

Así, estableció una relación de semejanza (Primer teore-ma de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.

Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndo-se de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que tales003, por lo tanto la altura de la pirámide es tales004, con lo cual resolvió el problema.

Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.

Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamen-te vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que tales003, por lo tanto la altura de la pirámide es tales004, con lo cual resolvió el problema. Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángu-los rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.

Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfecta-mente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que por lo tanto la altura de la pirámide es con lo cual resolvió el problema.

Otra variante del Teorema de Tales

Aplicación del Primer Teorema de Tales

Una aplicación del teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales (con ayuda de compás, regla y escuadra o cartabón).EjemploDividir el segmento AB en 3 partes iguales

En la siguiente figura se muestra un ejemplo de aplicación del Teorema de Thales

Triángulos en posición de Tales: dos triángulos están en posición de Tales cuando tienen un ángulo co-mún y los lados opuestos a este ángulo son paralelos.

En la figura se puede ver que los dos triángulos tienen el ángulo “a” común, mientras que los lados opues-tos a este ángulo, los lados ED y CB, son paralelos.

Si dos triángulos están en posición de Tales se les pueda aplicar dicho teorema:

Los segmentos OE y OD son proporcionales

Los segmentos EC y DB son proporcionales

Los segmentos OC y OB son proporcionales

Veamos el siguiente ejemplo de dos triángulos en posición de Tales:

Segmento OE : 5 cm

Segmento OD : 4 cm

OE / OD = 5 / 4 = 1,25

Segmento EC : 8 cm

Segmento DB : 6,4 cm

EC / DB = 8 / 6,4 = 1,25

Segmento OC : 13 cm

Segmento OB : 10,4 cm

OC / OB = 13 / 10,4 = 1,25

¿Cuál es la altura del siguiente circo?:

¿Cuánto mide el alto de la estatua del dibujo?

Halla la altura del edificio sabiendo que:• La mesa tiene 1 m de altura.

La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es

150 cm2, ¿cuál es el área del menor?

¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,2 m y alejándote

0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?

Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB fijamos

un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas

AP = 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km. (MN es para-lela a AB). Halla la

distancia AB.

El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m, y el lado desigual mide

14 m. Calcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m.

Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. Los lados del primero miden

24 m, 28 m y 34 m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo

sabiendo que su perímetro es 129 m.

Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 48 m2 y 108 m2. Si el

lado desigual del primer triángulo es 12 m, ¿cuál es el perímetro del segundo?

De un cono de radio 5 cm hemos cortado otro cono de radio 2 cm y altura 3 cm. Calcula el volu-men del cono grande.

Calcula el volumen de un tronco de pirámide cua-drangular regular en el

que los lados de las bases miden 8 cm y 14 cm y su altura es 15 cm.

En un cono de 10 cm de radio hemos inscrito un ci-lindro de radio 4 cm y altura 14,4 cm. Halla la altura

del cono.

Tenemos un cono inscrito en una esfera de radio 11 cm. ¿Cuál será el radio de la base del cono si su altura es 14 cm?

Calcula el perímetro del triángulo cuya base coincide con la base mayor de este trapecio y que se obtiene al prolongar los lados no paralelos hasta que se corten.

Teorema de Euclides referido a un cateto“En un triángulo rectángulo la medida de cada ca-teto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”

Demostración:

Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángu-lo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipo-tenusa, se tiene la siguiente figura (dercha):

donde

DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)

AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)

c = p + q

Por semejanza (~) de triángulos, el ΔACB ~ ΔCDB (son semejantes)

Que es lo mismo que

De forma análoga se tiene que ΔACB ~ ΔADC (a la derecha) ,

entonces

Que es lo mismo que:

Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.

Por lo tanto,

Ejemplos:1) En la figura a la derecha, determinar a,

si c = 7 y q = 4

2) En la figura a la izquierda, determinar b

si c = 4 y p = 1

Teorema de Euclides relativo a la altura

“En un triángulo rectángulo la altura corres-pondiente a la hipotenusa es media proporcio-nal geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.”

Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos (correspondientes) son proporcio-nales.

Sea hc (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c)

Reemplazando:

Llegamos a:

A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, este segundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.

Por lo tanto, si h2 = p • q

entonces

Ejemplos:

1) En la figura a la derecha, determinar h,

si p = 2 y q = 8

2) En la figura a la izquierda, determinar h,

si p = 3 y q = 12

La altura correspondiente a la hipotenusa (hc)de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de los lados del triángulo, haciendo:

TEOREMA DE EUCLIDESNOMBRE:____________________________________________ grupo°………. fecha:_________________Resolver los siguientes ejercicios:1) Completar la siguiente tabla teniendo en cuenta que: a y b son catetos, h es la altura y p y q las proyeccio-nes de los catetos sobre la hipotenusa c.

2) Determinar la medida de los catetos de un triángulo rectángulo, sabiendo que laas proyecciones de estos sobre la hipotenusa miden respectivamente: a) 9cm y 16cm b) 4cm y 8cm c) 3cm y 9cm d) 3,6cm y 6,4cm3) Considerando el siguiente triángulo resolver los siguien- tes ejercicios:a) AB=17cm, BC=8cm, AC=15cm, calcular: AD, DB y CDb) AB= 14cm y AC=7cm, calcular ADc) AD=9cm, DB=3cm, calcular CBd) CD=6cm, DB=12cm, calcular AD

4) Los lados de un triángulo rectángulo miden 3cm, 4cm y 5cm. Calcular la altura relativa a la hipotenusa y las dos proyecciones de los catetos.

5) La diagonal de un rectángulo mide 20cm y la base es de 16cm. Calcular la altura y el área del rectángulo.

6) ¿Cuánto mide la proyección del cateto de 24cm, sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo cuya medida es de 30cm.?

I.- Teorema de Euclides.Nombre: ____________________________________________GRUPO:.................................Fecha................1) En un triángulo ABC rectángulo en Ca= 8cm y p=4cm, calcula la medida de c c= 9cm y q= 5cm, calcula la medida de b p= 8cm y = 12cm. Calcula qhq= 6dm y q = 0,9dm. Calcula p p=3cm y q =27cm. Calcula hqa= cm ; b= 2cm. Calcula hqhq= 2 cm y p= 6cm, calcula la proyección de b sobre la hipotenusa

2) Dada la siguiente figura, resuelve los siguientes ejerciciosa) AD = 3,6 cm.; BD = 6,4 cm.; AC = ?b) AD=2cm.;BD=4cm.;CD=?c) AD=16cm.;AB=52cm.;CD=?d) AC=5cm.;BC=10cm.=CD=?e) CD=2m.;AC= 5 m.;BC=?f) AD = 5 cm.; AC = 8 cm.; área del triángulo ABC = ?g) AB=10cm.;AC=(p+2)cm.;BC=2pcm.;CD=?

3) En un triángulo rectángulo de área 30,4 , en donde el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipo-tenusa es 9 cm. Calcula la altura trazada desde C y la longitud de la hipotenusa.

4) ¿Qué distancia hay entre el origen y la recta que pasa por (0,3) y (4,0)?

5) El dueño de un terreno rectangular de 100m x 200 m, desea construir su casa en unode los vértices del terreno y además un puente sobre el río que cruza diagonalmente el terreno. ¿En qué punto sobre el río lo construirá si desea ubicarlo lo más cercano a su casa posible? ¿A qué distancia de su casa estará el puente?

ACTIVIDADES GEOGEBRA

Actividad 1

de la siguiente dirección de internet baja la imagen http://planosviviendas.com/planos-2/pla-nos-casas-modernas/arquitectura-triangu-lar-en-casa-moderna/

Traza segmentos de recta en todas las partes don-de veas angulos cambiando las propiedades a lineas rojas y mas anchas, numera cada triangulo con la herramienta de texto

con la herramienta de angulo seleccina 3 puntos de cada triangulo visto y checa este angulo

cuantos triangulos hay?Crea una tabla como la siguiete y llenala con los datos obtenidos

triangulo angulo

DESARROLLO: _________________________________________________________________________

CONCLUSION:

Imprime la actividad en color y anexala a esta hoja

Actividad 2

de la siguiente dirección de internet baja la imagen http://www.laguiamagazine.com/index.php?option=com_content&view=ar-ticle&id=335:el-renacimiento-cultu-ral-de-toronto-en-los-ultimos-10-anos&-catid=67:rotadorhomecategoria

Traza segmentos de recta en todas las partes donde veas angulos cambiando las propiedades a lineas rojas y mas anchas, numera cada triangulo con la herramienta de texto

con la herramienta de angulo seleccina 3 puntos de cada triangulo visto y checa este angulo

cuantos triangulos hay?Crea una tabla como la siguiete y llenala con los datos obtenidos

triangulo angulo Imprime la actividad en color y anexala a esta hoja

DESARROLLO: _________________________________________________________________________

CONCLUSION:

TRIANGULOS

ING. GERARDO SARMIENTO DIAZ DE LEONMATHCETIS 63

AMECA, JALISCO