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REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Operación trigonométrica que tiene por finalidad demostrar que es posible hallar las razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida. Dado la razón trigonométrica de un ángulo en posición normal podemos encontrar su equivalente en el primer cuadrante (ángulo agudo), excepto por el signo. Para el signo se coloca + o – dependiendo de la regla de signos para el ángulo en posición normal. CASO I: PARA ÁNGULOS MENORES A UNA

VUELTA.

( )° + θ = ± − θR.T. 90 Co R.T.

( )° ± θ = ± θR.T. 180 R.T.

( )° ± θ = ± − θR.T. 270 Co R.T.

( )° − θ = ± θR.T. 360 R.T.

Observación:- El doble signo ( )± significa de será positivo o

negativo según el cuadrante donde se encuentre el ángulo θ.

Ejemplos:

° = ° − ° = + ° =1sen150 sen(180 30 ) sen302

° = ° − ° = − ° = −4cos233 cos(270 37 ) cos375

π π π= π + = − = −

5 2sen sen( ) sen4 4 4 2

π π π= π − = = −

23sec sec(2 ) sec 6 212 12 12

CASO II: PARA ÁNGULOS MAYORES A UNA

VUELTA.

( ) ( )π + θ = θ ∈R.T. 2 k R.T. , k

Ejemplos:

° = °× + ° = ° =2sec750 sec(360 2 30 ) sec303

.

° = °× + ° = ° =3tan1117 tan(360 3 37 ) tan374

.

π π π= π + = =

25cot cot(6 ) cot 14 4 4

.

CASO III: PARA ÁNGULOS NEGATIVOS.

−θ = − θ−θ = − θ−θ = θ−θ = θ−θ = − θ−θ = − θ

sen( ) sen( )cot( ) cot( )cos( ) cos( )sec( ) sec( )tan( ) tan( )csc( ) csc( )

Ejemplos:

( )− ° = ° = −1cos 120 cos(120 )2

( )− ° = − ° = ° =csc 210 csc210 csc30 2

EJERCICIOS DE CLASE 1. Determine el valor de

° ° °=

° ° °sec240 .cos330 .cot150R .sen210 .tan300 .sen225

A) −

2 63

B) 3 6

2 C)

−2 6

D) 5 2 E) − 612

2. Simplificando la siguiente expresión

− ° − °= ° ° + °

tan343 tan107P tan163 ,tan197 tan73

se obtiene:

A) –tan17º B) cot17º C) tan34º D) tan51º E) cot34º

3. Simplifique

° − ° ° − °=

° − ° °

2 2

2 2a sen1170 4 absen750 .sec540 b csc990J .

btan 1470 9asec540 .tan 1470

A) +a b3

B) −a b2

C) −a b3

D) −a b E) +a b

TRIGONOMETRÍA

6 CIENCIAS

Trigonometría Teoría y ejercicios – Semana 6


4. Si α y β son ángulos complementarios, reduce

( ) ( )( ) ( )

α + β β + α= + α + β

α + β2cos 3 2 .cot 3 4

L sec 2 .cos 6 7

A) −1 B) β2tan C) 0

D) β2cot E) 1 5. Dado que ° =tan20 a , calcule ( )− °csc 1640 .

A) +−

+

2

2a 1a 1

B) +2a 1 C) +−

2a 1a

D) +

+

2

2a 1a 1

E) +2a 1a

6. Al simplificar la siguiente expresión

ππ + + π +

= π

+ π + π −

7sec(11 x).sen x .cot(15 x)2

N ,13sen x .tan(6 x).cos(9 x)2

se obtiene: A) 2csc x B) − 2csc x C) 2sec x

D) − 2sec x E) − 2sen x 7. Sabiendo que θ es un ángulo que pertenece al

tercer cuadrante y satisface π+ θ =

11 2sen2 3

,

halle ( ) ( )= ° + θ π + θH 2tan 720 .sen .

A) cot53º B) –tan45º C) –csc37º D) cot37º E) cos60º

8. Si ( ) −π + β =

2 ksec 313

y π ++ β =

41 k 4csc2 4

.

Halle el valor de π

+ β

45sen .2

A) 13

B) − 16

C) − 14

D) − 12

E) 16

9. A partir del gráfico, si α =2tan3

determine el

valor de θ θsec .csc .

A) − 94

B) − 76

C) − 136

D) 92

E) 136

10. A partir de la figura mostrada, determine el valor

de ( )= θ − θJ 65 cos sen .

A) 11 B) 15 C) −11 D) 10 E) −15

11. Con los datos de la figura, calcule el valor de = θ α + α θJ sec .cot sec .cot .

A) 52

B) − 52

C) − 53

D) 54

E) − 54

θ α

θ

(–7, – 4)

X

Y

O



12. En la figura mostrada, M es punto medio de PQ, halle el valor de θsec .

A) − 10 B) 52

C) − 2

D) 52

E) − 22

EVALUACIÓN DE CLASE

1. Simplifique la siguiente expresión trigonométrica

− ° + − ° + − °=

− ° − − ° + − °tan( 135 ) sec( 225 ) sec( 315 )R .sen( 120 ) cos( 210 ) sec( 300 )

A)

π2cos3

B) °cos90 C) °sen90

D) πsec6

E) g2sec200

2. Determine el valor de

° + ° + °=

+ ° − ° + °

2 2

2a sec1080 b csc810 2absen630J .

(a b) sen810 6abcot270 4 abcos900

A) °sen90 B) °cos180 C) +a b D) −a b E) °tan 0

3. Determine el valor de la siguiente expresión π π

− =

°

1 21 23sec cos2 4 4

L .tan1575

A) 0,5 B) – 2 C) 3 D) 2 E) – 3

4. Si θ = θ5sen 12cos y θ pertenece al tercer cuadrante, calcule el valor de

π= θ − θ − π

605P cos .sen( 903 ).2

A) 25169

B) – 25169

C) 144169

D) – 144169

E) 25144

5. Para el ángulo α es cierto que α <sen 0 y

α >cos 0 , además se cumple π πα = +

17tan cos ,2 6

halle ( )α + α5 sen cos .

A) 1 B) – 1 C) 1,5 D) – 1,5 E) 1,2

6. Simplifique

( ) π = + α + π + α ∈

n7H cos sen n ; n .2

A) – 1 B) 0 C) 2

D) 1 E) ( )−n1

7. Si + = π ∈n na b n ; n , determine el valor de

+ + +

=− − −

1 1 2 2 i i

1 1 2 2 i i

cos(a k ) .cos(a k ) ....cos(a k )M ,

cos(k b ).cos(k b )....cos(k b )

donde i = 1326.

A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2

8. Simplifique

π π π

= + θ + + θ + + θ

90 70 33N sen tan sec ,2 3 2

si θ = °330 .

A) +12 36

B) +12 2 36

C) +15 2 36

D) +15 3 36

E) +15 6 36

X

Y

P

Q

M

L: y = – 2x– 8

θ O



9. Si se cumple ( ) ( ) πα + β = − ∈

sen 4 cos 4k 1 ; k

2Halle el valor de la expresión

( )( )α + α + β

=α + β + α

4tan2 tan 2T .

3tan 2 tan2

A) −1 B) 3 C) 0,5 D) 6 E) −0,75

10. De la figura mostrada, halle el valor de θtan .

A) − 72

B) −

5 22

C) − 3 52

D) −2 22

E) −3 32

11. A partir de la figura mostrada, determine

( )θ

=β − β + °

cosM .cos sen 270

A) − 0,5 B) 1 C) 0,5 D) − 1 E) N.D.

12. A partir de la siguiente figura,

Halle el valor de

θ − αθ + α +

= θ − α

θ + α +

cos cos 8cos4

L .sen sen 4sen

4

A) − 4 B)

°csc30 C) °cos180

D) − °cos60 E) − °sec60 13. De acuerdo a la figura ( )−α = θ + θtan sen cos ;

halle el valor de 3(a + 1).

A) – 2 5 + 1 B) – 2 5 – 1 C) 2 5 D) – 2 5

E) 2 53

+ 1

θ

β

θ

7 2

X θ

Y

α O



14. A partir del gráfico mostrado, si OA = OB, =TD 2cm, =DC 3cm y =OC 4cm , calcule el valor

de = θ +L 3cot 55 .

A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 3

A D

C

θ T

O B

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