trigonometra.
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Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática En términos generales, la trigonometría es el estudio de seis razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio. Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites. En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción. Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2π radianes (algo más de 6,28). Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, θ = s/r, donde θ es ángulo, s es la longitud de arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo, ia nc Circunfere , que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es: rad r r r ncia circunfere L ia nc Circunfere 2 2 Un radian es la mediada del ángulo central de un circulo subtendido pro un arco cuya longitud es igual al radio del circulo 3 57 , 180 radian 1 180 rad 180 radian 1 1 Orientación de un ángulo Decimos que un ángulo es positivó cuando se nota en sentido contrario a las manecitas del reloj. En caso contrario decimos que es negativo. TRIGONOMETRÍA
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tema de trigonometria con explicacion tematica
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Prof. Enrique Mateus NievesDoctorado en Educacin Matemtica
En trminos generales, la trigonometra es el estudio de seis razones trigonomtricas: seno,coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente enlas dems ramas de la matemtica y se aplica en todos aquellos mbitos donde serequieren medidas de precisin. La trigonometra se aplica a otras ramas de la geometra,como es el caso del estudio de las esferas en la geometra del espacio.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las tcnicas de triangulacin,por ejemplo, son usadas en astronoma para medir distancias a estrellas prximas, en lamedicin de distancias entre puntos geogrficos, y en sistemas de navegacin por satlites.
En la medicin de ngulos y, por tanto, en trigonometra, se emplean tres unidades, si bienla ms utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemticas es el radin lams utilizada, y se define como la unidad natural para medir ngulos, el grado centesimal sedesarroll como la unidad ms prxima al sistema decimal, se usa en topografa,arquitectura o en construccin.
Radin: unidad angular natural en trigonometra. En una circunferencia completa hay2 radianes (algo ms de 6,28).
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados
centesimales
El ngulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a lalongitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, = s/r, donde esngulo, s es la longitud de arco, y r es el radio. Por tanto, el ngulo completo,
iancCircunfere , que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:
radr
r
r
nciacircunfereLiancCircunfere 22
Un radian es la mediada del ngulo central de un circulosubtendido pro un arco cuya longitud es igual al radio delcirculo
357,180radian1
180rad180radian1
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Orientacin de un ngulo
Decimos que un ngulo es positiv cuando se nota en sentido contrario a lasmanecitas del reloj. En caso contrario decimos que es negativo.
TRIGONOMETRA
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El crculo unitario divide el plano en cuatro regiones iguales llamadascuadrantes, Estos se nombran en sentido positivo de un ngulo
Razones trigonomtricas
Las Razones trigonomtricas se definen comnmente como el cociente entre dos lados deun tringulo rectngulo asociado a sus ngulos. Las funciones trigonomtricas son funcionescuyos valores son extensiones del concepto de razn trigonomtrica en un tringulorectngulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones msmodernas las describen como series infinitas o como la solucin de ciertas ecuacionesdiferenciales, permitiendo su extensin a valores positivos y negativos, e incluso a nmeroscomplejos.
Existen seis funciones trigonomtricas bsicas. Las ltimas cuatro, se definen en relacin delas dos primeras funciones, aunque se pueden definir geomtricamente o por medio de susrelaciones.
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Funcin Abreviatura Equivalencias (en radianes)
Seno Sen
Coseno cos
Tangente tan
Cotangente cot
Secante sec
Cosecante csc
Identidades pitagricas
cossen 2 21 sec1tan 2 2 Csc1tanCo 2 2
Identidades para la suma y resta de ngulos
sencoscossen)(sen sencoscossen)(sen sen sencoscos)(cos sen sencoscos)(cos
tantan
tantan)(tan
1
tantan
tan-tan)(tan
1
Identidades para la mitad del ngulo
21 cos
2sen
21 cos
2cos
cos
cos
2tan
11
Identidades para el producto
)(sen)(sencossen 21 )(sen)(sensencos
21
)cos()cos(coscos 21 )cos()cos( sensen
21
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TeoremasSe utilizan para la resolucin de tringulos rectngulos y no rectngulos.
Pitgoras: a2 = b2 + c2
Seno: Csenc
Bsenb
Asena
Coseno:CCosabbac
BCosaccab
ACosbccba
2
2
2
2
2
22
22
222
Inversas de las funciones trigonomtricas
La expresin: xseny1 se denomina funcin inverso del seno, tambin puede escribirse:
xArcseny
La expresin: xcosy1 se denomina funcin inverso del seno, tambin puede escribirse:
xcosArcy
La expresin: xtany1 se denomina funcin inverso del seno, tambin puede escribirse:
xtanArcy
Y as sucesivamente con las dems funciones restantes.
La parbolaUna parbola es el conjunto de puntos (x,y) tales que su distancia a una recta fija (directriz)es la misma que su distancia a un punto fijo (foco) que no esta sobre la recta. La ecuacincannica de la parbola con vrtice (h,k) y directriz y =k p es:
yejealparalela)ky(p)hx( 42
Si la directriz es x = h p, la ecuacin es:xejealparalela)hx(p)ky( 42
El foco esta sobre el eje a una distancia p al vrtice.
Elementos de la parbola
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La elipse
Una Elipse es el conjunto de puntos (x,y) tales que la suma de sus distancias a dos puntosfijos (focos) es constante.
La ecuacin de una elipse con centro (h,k) cuyos ejes, mayor y menor tienen longitudes 2ay 2b, respectivamente es:
)xejealparalelomayor(ejeb
)ky(a
)hx( 122
2
2
)yejealparalelomayor(ejeb
)hx(a
)ky( 122
2
2
La hiprbola
Una hiprbole es el conjunto de puntos (x,y) tales que la diferencia de sus distancias a lospuntos fijos (focos) es constante.La ecuacin cannica de una hiprbole de centro (h,k) es:
)xejealaralelophorizontalltransversa(ejeb
)ky(a
)hx( 122
2
2
)yejealaralelapverticalltransversa(ejeb
)hx(a
)ky( 122
2
2
Donde las distancias del centro a los vrtices y a los focos son a y c respectivamente, siendob2 = c2 a2
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Ejercicios sobre secciones cnicas.
1. Determine los vrtices, el foco y la directriz de las siguientes parbolas:2x4y.a 082 yx.b 0281 2 )y()x(.c
023 2 )y()x(.d 09822 yxx.e 04442 yxx.f
2. Con los datos dados a continuacin halle la ecuacin de las correspondientes parbolas:
(2,0)foco(0,0);:Vrtice.a (1,2)foco(3,2);:Vrtice.b 2ydirectriz(0,4);:Vrtice.c
d. e. f. g.
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3. En los siguientes ejercicios halle el centro, focos, vrtices y la excentricidad de cadaelipse.
0318364 2 yxy9x.a 2 031503225 2 yxy16x.b 2
037401220 2 yxy12x.c 2 1144169
2
yx.d
2
1125
59
2
)y(1)-(x.e
2144 2 )y(2)(x.f 2
12 y4x.g 2
4.En los siguientes ejercicios halle el centro, focos, vrtices de las correspondienteshiprbolas. Con la ayuda de las asntotas, represente los grficos de cada una.
a. 14
22
xy.a b. 143622
yx.a
a. 2045 22 xy d. 0186369 22 yxyx
e. 06364216 22 yxxy f. 1254
1441 22
)y()x(
Referencias:Stewart, J. Clculo. Trascendentes tempranas.Cengage Learning. Sexta edicin. 2008. Texto gua del curso. Stewart.Weisstein, E.W: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall 1999Heath, Sir Thomas (1921) (en ingls). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford UniversityPress. OCLC 2014918. Esquema del desarrollo histrico de la matemtica pgs. pg. 6. Universidad Nacional del Nordeste.J J O'Connor y E F Robertson. Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani (en ingls) (html). Consultado el 08-06-2008. Latrigonometria rab, Al-Battani, Abul-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi (en cataln) (html). Consultado el 08-06-2008. Al-Kashi,Gamshid ibn Messaoud (en francs).Vite, Franois (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia Mettayer. OCLC165919384.Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp. 439445. ISBN 0-471-54397-7.
