TRIG GONOMET TRIA

INTRODUCCIN Trigonom metria sign nifica med dida de tringulos. Sirve para resolver ngulos sin necesidad de constr d ruirlos, ent tendiendo por resolv un trin ver ngulo trin el hallar uno o ms ele ementos ( (lados y ngulos) desconocid dos a partir de elem mentos con nocidos. CONOCIMIENTOS PREVIOS S STeorem de TALE ma ES.

Si varias rectas pa aralelas so cortadas por dos secantes, los segme on entos corre espondientes determ minados po las secan or ntes son proporciona ales.

BC C AB AC = = AB AC B C

bservacin: Tambin ocurre lo recproco, si los segmentos AB y n B BC son Ob proporcionales a AB y BC, ento onces las rec ctas a , b y c son pa aralelas. Semeja anza de tri ingulos.

Dos tri ngulos son semejan ntes si tiene sus lad propor en, dos rcionales o bien sus ngulos re espectivos iguales.

Teoremas relaci ionados con la semejan en trin n nza ngulos rect ngulos. orema del cateto. Teo anza de los t tringulos ABC y Por semeja BM MC

b a = a2 = b n a ndel d mismo m modo

c2 = b m

Teo orema de P Pitgoras.

a2 = bn 2 2 2 a + c = b n + b m = b ( n + m) = b c 2 = b m

Teo orema de l altura. la Por sem mejanza de los tringulos AMB y BMC

m h = h2 = m n h n

UNIDADES ANGU ULARES Sistem Interna ma acional. El R Radian (ra ad). = 1 rad sii AB = r

Sistem Sexagesimal. ma Grado sexage os esimales ( ).

18 = rad 80 d

Sistem Centes ma simal. Grado centesi os imales (g). .

100g = 90

Calculado ora: RAD , DEG, G GRAD res spectivame ente.

RAZONE TRIGONOMTRI ES ICAS DE UN NGUL U LO Razon trigon nes nomtricas de un n s ngulo agudo. eto o a cate opuesto senA = = A b hipotenusa teto contgu uo c cat cos A = = b hipotenusa h eto o a cate opuesto tgA = = c cateto contguo o A partir de estas t tres razone definim sus inv es, mos versas: 1 1 1 , sec = , cot g = . cos ec = sen cos c tg Obser rvaciones: El trin ngulo dond se han d de definido las razones es rectng s gulo.

Basndose en la semejanza de tringulos es fcil comprobar que, as definidas, las razones trigonomtricas de un ngulo no dependen del tringulo escogido. Calculadora sin , cos , tan ,

Razones trigonomtricas de un ngulo cualquiera.sen = y r cos = x r tg = y x

Observaciones: Para el caso de un ngulo agudo, la definicin coincide con la dada anteriormente. Las definiciones son vlidas tambin para ngulos mayores de 360. El signo de las razones trigonomtricas depende del cuadrante donde se encuentre el ngulo.

Representacin grfica de las razones trigonomtricas. Tomando OA = 1 , la circunferencia recibe el nombre de circunferencia Goniomtrica, sen = AB y cos = OBtg = AB CD CD = = = CD OB OD 1

1. Calcular, razonadamente, las razones trigonomtricas de los ngulos: 0 , 30 , 45 , 60 y 90.

Relaciones entre razones trigonomtricas de un mismo ngulo. sen tg = sen2 + cos2 = 1 cos Observaciones: sen2 = (sen)2 sen2 A partir de ellas, se deducen las siguientes relaciones: 1 + tg2 = sec2 1 + cotg2 = cosec2 Gracias a dichas relaciones, conocida una de las tres razones trigonomtricas de un ngulo, podemos obtener las restantes.

2. Tomando cos = 0,63 , calcular las dems razones trigonomtricas de dicho ngulo. 3. Sabiendo que sen = 3/5 y que 90 < < 180 , halla las dems razones trigonomtricas. 4. Tomando tg = 2 , calcular las dems razones trigonomtricas de dicho ngulo. 5. Calcular , y sabiendo que tg = -2 , cos = -0,8 y sen = 0,4

Reduccin de un ngulo al primer giro y al primer cuadrante. ngulos complementarios = 90 - sen(90 - ) = cos cos(90 - ) = sen tg(90 - ) = cotg ngulos suplementarios = 180 - sen(180 - ) = sen cos(180 - ) = cos tg(180 - ) = tg

ngulos que difieren en 180 = 180 + sen(180 + ) = sen cos(180 + ) = cos tg(180 + ) = tg

ngulos opuestos sen() = sen(360) = sen cos() = cos(360) = cos tg() = tg(360) = tg

ngulos que difier en un n s ren nmero en ntero de vu ueltas = k36 + con k Z 60 c y k k360 + son equiv valentes; es decir, poseen la mismas razones , as trigonom mtricas.

6. 6 Obtener de forma razonada las razone trigonom r es mtricas de los ngul e los: 120 , 135 , 150 , 180 , 110 , 160

RESOLU UCIN DE TRINGU ULOS REC CTNGULOS En el cas de tring so gulos rect ngulos, para su res p solucin en cualquier de n ra los casos, basta con aplicar l las definic ciones an nteriores s sobre raz zones trigo onomtricas de un n ngulo y el teorema de Pitgoras e s. Observac ciones: Si el tr ringulo no n es rec ctngulo, s siempre se s pue ede, el ligiendo adecuadam a mente una de sus a alturas, ob a btener, al t trazarla, dos tring d gulos rect ngulos resolubles. r

de gulo es igu a la mitad del prod ual ducto de d de sus dos El rea d un tring lados por el seno d ngulo que forman. r delA= 1 b a senC 2

s: Ejemplos e do e 1. Jaime est volando una cometa. Ha soltad 9 m de cuerda y el ngu que for ulo rma sta co el suelo es de 55 A qu altura se e on o 5. encuentra? ?sen55 o = h 9

h = 9sen55 = 7,37 m

2. En un tringulo c = 120 m , b = 17 m y A = 61 . Calcular a. n 72 . h h sii sii h = 104,95 m 5 senA = sen61o = c 120 m m sii sii m = 58,18 m 8 cos A = cos 61o = c 120 n=bm sii n = 113 3,82 m y a2 = h2 + n2 sii a = 154,82 m

7. 7 Determinar la altura de un p poste del cu nos hemos ual alejado 7 m de s base y h su hemos med dido un ngulo que a s a al forma la visual al punto ms alto con la horizonta de 40. 8. 8 Un barc navega a 30 Km/h en direc co h ccin N-O. Qu distancia ha recor rrido en una hora hac el N? Y hacia el cia O?.

9. 9 Para ha allar el anc cho de un rio nos sit tuamos e en A y medimo el ngu os ulo 53, b bajo el cual se ve el rbol de l enfrente e. Nos alejamos 20 m en d direccin p perpendicu ular a la orilla y volvie endo a me edir el ngu resulta 32, co ulo a omo muestra la fig a gura. Q Qu anchura tiene el ri a io?

RESOLU UCIN DE TRINGU ULOS CUA ALESQUIE ERA Vamos a obtener frmulas que nos permitan resolver directam s n r mente trin ngulos cua alesquiera, sin necesidad de utilizar ca ada vez la estrategia de a traza una altura para de ar escompone en dos tringulos rectngulos. erlo s s Teore ema de los senos. s En un tringulo cualquiera de lados a, b , c y ngulos A , B y C , a s se cumple que e:b c a = = senA senB senC A

Observacin: Recordar que en todo tringulo, el ngulo mayor tiene enfrente el lado mayor y el ngulo menor tiene enfrente el lado menor. Es decir, si A > B > C entonces a > b > c.

10. Demostrar el teorema de los senos. Nota: Diferenciar los casos de tringulos acutngulo y obtusngulo 11. Resolver el tringulo cuyos ngulos A = 65 , C = 32 b = 69 m. y

12. Si a = 4 cm , B = 30 y b = 5 cm , cunto vale el ngulo A? Y si b = 1,5 cm? Y si b = 2 cm? Y si b = 3 cm? Y si b = 4 cm?

Teorema del coseno. En un tringulo cualquiera de lados a, b , c y ngulos A , B y C , se cumple que: a2 = b2 + c2 2bccosA

13. Demostrar el teorema del coseno. Nota: Diferenciar los casos de tringulos acutngulo y obtusngulo 14. Resolver el tringulo cuyos ngulos B = 47 , c = 1200 m y a = 700 m 15. Resuelve los siguientes tringulos: a = 12 cm , b = 16 cm y c = 10 cm b = 22 cm , a = 7 cm y C = 40 a = 8 cm , b = 6 cm y c = 5 cm b = 4 cm , c = 3 cm y A = 105 a = 4 m , B = 45 y C = 60 b = 5 m , A = C = 35

16. Las bas de un t ses trapecio miden 17 cm y 10 cm y uno de sus lados 8 m m e s cm. El ngulo que forman la rectas so e as obre las qu se encu ue uentran los s lados no paralelos es de 32 Calcula lo que mid el otro lado y el r o s 2. de rea del trapecio. co n s es 17. Un barc B pide socorro y se reciben sus seales en dos estacione de radio, A y C, que distan en si 50 Km. Desde las estac e ntre e ciones se miden lo siguient ngulos: BAC = 46 y BC = 53 . qu os tes CA A distancia de cada estacin s encuent el barco se tra o?

IDENTIDA ADES TRIG GONOMT TRICAS DE DOS N D NGULOS

sen(a+b) = senacos + cosas sb senb cos(a+b) = cosacos senas sb senb tg (a + b) = tga + tgb 1 tga tgb b

sen(ab) = senacos cosas sb senb cos(ab) = cosacos + senas sb senb tg (a b) = tga tgb 1 + tga tgb b

sen(2a) = 2senacos sa cos(2a) = cos2a se 2a en 2 tga tg (2a ) = 1 tg 2 a

a 1 cos a sen( ) = 2 21 + cos a a cos( ) = 2 2 a 1 cos a tg ( ) = 2 1 + cos a A+ B A B se + senB = 2 sen enA cos 2 2

A + B A B se senB = 2 cos enA sen 2 2 A + B A B co A + cos B = 2 cos os cos 2 2 A + B A B co A cos B = 2 sen os n sen 2 2

18. Determina las razones trigon nomtricas de 75 y 15 . s 19. calcular las razone trigonom r es mtricas de 60 a p partir de las s razones de 30 s 20. Demues que c stra cos2a = 2c 2a 1 = 1 2sen2a cos 21. Expresa sen3a e funcin del sena. a en 22. Calcular 23. calcular r sen15 de dos f formas dife erentes. sen195 + sen75

24. calcula sen(60 + a) sen( (60 - a) sen5a sen3a n 25. Simplific la expre ca esin: cos 5a + cos 3a s r e: 5 , 26. calcular el valor de cos195 - cos75 , cos75 + sen105 cos105 cos75

ECUACIONES Y S SISTEMAS DE ECUA S ACIONES TRIGONO OMTRICA AS Una ecua acin es trigonomt trica cuan ndo la inc gnita apa arece ligada a alguna razn trigonomtrica. Un sistem de ecua ma aciones es trigonom s trico cuan ndo, al men nos, una de las d ecua aciones qu lo compo ue onen es trigonomtri ica. No existe procedim en mientos sis stemticos para reso s olver tanto las ecuaciones emas. Hay que tener cuidado al elevar al cuadrado y al simpl a lificar como los siste pues que se pueden aadir o elim sto minar soluc ciones respectivame ente, es por ello que conviene c comprobar los resultados. r

27. Resolve er:

sen n(2x+30) =

senx + c cosx = 1

3 sen2x + c cosx = 0 2 sen5x + s sen3x = 0 cosx + 3 senx = 2

8. er: 28 Resolve

sen x + y = 1 cos 2 + y = 2 2

3 2 2 cos( x y ) = 2 sen( x + y ) =

6 senx + seny = y 2 sen( x y ) = 1

1 2 1 cos x cos y = 2 senx seny =

APLICAC CIONES D LA TRIG DE GONOMETRIA rea d un tringulo: A = de1 bcsenA 2

Frmula de Brigg gs: Se utiliza para calcular los ngulos de un trin c s ngulo es conocidos sus tre lados.tg g A = 2 ( p b)( p c) p( p a)

donde e

p=

a+b+c 2

Frmu de Her ula rn: conocidos sus la ados:

Se utiliza par calcular el rea d un trin ra r de ngulo

A=

p( p a) p b)( p c) )(

con el mismo p de antes

Cuadros resumenes:

Amp pliacion de la u unidad di idactica a: nos. Teorema de los sen senA = h / b senA = bse enB as senB = h / a

Teorema del coseno o. a2 = m2 + h2 = (c n 2 + h2 n) 2 2 2 b =n +h a2 b2 = (c n)2 n2 = )

= c2 + n2 2cn n2 = c2 2c = c2 2cbcosA . n 2

Teorema de los senos generalizados. El tringulo COB es issceles. A y COB comprenden el mismo 1 arco A = COB = DOB 2 a a a BD 2 = 2 r= sen A = = senA 2 senA r OB y por el teorema de los senos:a b c = = = 2r senA senB senC

donde r es el radio de la circunferencia circunscrita al tringulo. Demostracin de las identidades trigonomtricas. Tomando OP =1P R B OC B

sen(a+b) = AP = AR + RP = CB + RP cosb = OB/1 sena = CB/OB senb = PB/1 cosa = RP/PB As pues, OB = cosb CB = OBsena = cosbsena PB = senb RP = PBcosa = senbcosa

sen(a+b) = senacosb + cosasenb

cos(a+b) = sen[90+(a+b)] = sen[(90+a)+b] = .... = = cosacosb - senasenb sena cos b cos a senb + sena cos b + cos a senb cos a cos b cos a cos b = = tg(a+b) = cos a cos b sena senb cos a cos b sena senb cos a cos b cos a cos b tga + tgb = 1 tga tgb sen(a-b) = sen(a+(-b)) = .... = senacosb - senbcosa sen2a = sen(a+a) = .... = 2 senacosa 1 cos 2a cos2a = cos2a sen2a = 1 2sen2a sena = 2 cos2a = cos2a sen2a = 2cos2a 1 cosa = sen(a+b) = senacosb + senbcosa

1 + cos 2a 2

Sumando: Restando:

sen(ab) = senacosb senbcosa sen(a+b) + sen(a-b) = 2 senacosb sen(a+b) sen(a-b) = 2 senbcosa

Frmula de Briggs.(1) Por el teorema del coseno: y denotando por p = Como sabemos:

cos A =

a+b+c resulta que: -a+b+c = 2(p-a) , .... 2

b2 + c2 a2 , 2bc

A 1 cosA (1) ( p b)( p c) sen( ) = = 2 2 bcAs pues,A tg ( ) = 2

A 1 + cos A (1) p( p a) = y cos( ) = 2 2 bc

( p b)( p c) p( p a)

y analogamente para los ngulos B y C.

Frmula de Hern.A=1 1 A bcsenA = bcsen[2( )] = 2 2 2 1 bc2sen(A/2)cos(A/2) = 2

=

= bc

( p b)( p c) bc

p( p a) = bc

p( p a)( p b)( p c)