Trigonometría

GeometrGeometrííaa

TrigonometrTrigonometríía en el planoa en el plano

Prof. Lic. Nicolás Sánchez AcevedoGeometría

ÁÁngulos orientados y sistemas de medicingulos orientados y sistemas de medicióón de n de angulosangulos..

Razones trigonometricas bRazones trigonometricas báásicas y reciprocas en el triangulo sicas y reciprocas en el triangulo

rectrectáángulo.ngulo.

Razones trigonometricas de Razones trigonometricas de áángulos notables.ngulos notables.

La circunferencia goniometrica: signo y rango de las razones La circunferencia goniometrica: signo y rango de las razones

trigonometricas.trigonometricas.

Identidades trigonometricas.Identidades trigonometricas.

Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo

ContenidosContenidos

Geometría

ObjetivosObjetivos

Reconocer Reconocer áángulos positivos y negativos.ngulos positivos y negativos.

Reconocer las razones trigonomReconocer las razones trigonoméétricas y sus reciprocas.tricas y sus reciprocas.

Calcular razones trigonomCalcular razones trigonoméétricas de tricas de áángulos notables.ngulos notables.

Reconocer y demostrar identidades trigonomReconocer y demostrar identidades trigonoméétricas.tricas.

Resolver ecuaciones trigonomResolver ecuaciones trigonoméétricas.tricas.

Geometría 3Prof. Lic. Nicolás Sánchez Acevedo

La palabra trigonometrLa palabra trigonometríía proviene del griego y significa a proviene del griego y significa

etimoletimolóógicamente medida de los trigicamente medida de los triáángulos (ngulos (tritri = tri= triáángulos; ngulos; gonogono

= = áángulo; ngulo; metrmetrííaa = medici= medicióón).n).

Esta tiene por objeto la resoluciEsta tiene por objeto la resolucióón de trin de triáángulos rectilngulos rectilííneos y neos y

esfesfééricos por mricos por méétodos algebraicos, y por consiguiente, con mayor todos algebraicos, y por consiguiente, con mayor

aproximaciaproximacióón que las que ofrecen las construcciones geomn que las que ofrecen las construcciones geoméétricas tricas

o gro grááficas. La dificultad de medir los arcos y ficas. La dificultad de medir los arcos y áángulos y operar con ngulos y operar con

ellos en los cellos en los cáálculos necesarios, se salva utilizando ciertas lculos necesarios, se salva utilizando ciertas

relaciones entre magnitudes rectilrelaciones entre magnitudes rectilííneas, estas relaciones son neas, estas relaciones son

denominadas denominadas razones trigonomrazones trigonoméétricas.tricas.

El desarrollo de esta unidad y las dos subsiguientes se centra eEl desarrollo de esta unidad y las dos subsiguientes se centra en n

la resolucila resolucióón de problemas, tanto prn de problemas, tanto práácticos como tecticos como teóóricos, que ricos, que

involucren triinvolucren triáángulos en la que uno de sus ngulos en la que uno de sus áángulos sea recto (ngulos sea recto (

9090°°). ).

4Prof. Lic. Nicolás Sánchez AcevedoGeometría

DEFINICIDEFINICIÓÓN 1N 1::

Equivalencia entre el grado y el radiEquivalencia entre el grado y el radiáánn: es conveniente conocer la : es conveniente conocer la

equivalencia entre la unidad de amplitud y de longitud del equivalencia entre la unidad de amplitud y de longitud del

áángulo en cuestingulo en cuestióón, para ello partimos del valor de la n, para ello partimos del valor de la

circunferencia expresada en funcicircunferencia expresada en funcióón de ambas unidades.n de ambas unidades.

C = 360C = 360°° 360360°° = 2= 2 radiradiáánn

C = 2C = 2

5

21

360 180radián


De la equivalencia anterior podemos determinar el valor de De la equivalencia anterior podemos determinar el valor de

un radiun radiáán medido en grados:n medido en grados:

6

1801 57,3radián


Ejemplos:Ejemplos:

Expresa en radian o grados segExpresa en radian o grados segúún corresponda:n corresponda:

7

1) 150

2) 540

3)8

74)

45) 3,6

5) 6,5

rad

rad

rad

rad


8

360 150

2360 2 150

2 150

360300

3605

6

x

x

x

x

x

EJEMPLO 1 EJEMPLO 3

180

8

1808

180

845

222, 5

22, 5

x

x

x

x

x

x


DEFINICIDEFINICIÓÓN 2N 2::

Dado un triangulo rectDado un triangulo rectáángulo ABC, con ngulo ABC, con áángulo recto en C, donde ngulo recto en C, donde

y y son los catetos correspondientes yy y son los catetos correspondientes y

es la hipotenusa, dados estos elementos podemos obes la hipotenusa, dados estos elementos podemos obtener tener

las siguientes relaciones entre los lados del trilas siguientes relaciones entre los lados del triáángulo y sus ngulo y sus

áángulos agudos; estas relaciones se denominan ngulos agudos; estas relaciones se denominan razones razones

trigonomtrigonoméétricas.tricas.

9

AC BC

AB


RAZONES TRIGONOMRAZONES TRIGONOMÉÉTRICAS EN EL TRITRICAS EN EL TRIÁÁNGULO NGULO

RECTANGULORECTANGULO

En cualquier En cualquier ABC rectABC rectáángulo en C, como el de la figura ngulo en C, como el de la figura

tenemos:tenemos:

10

Razones trigonométricas básicas y sus recíprocas

a

c

b


11

( )

( )

tan( )

cateto opuesto aSen

hipotenusa c

cateto adyacente bCos

hipotenusa c

cateto opuesto a

cateto adyacente b

( )

( )

( )

cateto adyacente bC tg

cateto opuesto a

hipotenusa cSec

cateto adyacente b

hipotenusa cC Sec

cateto opuesto a

c

a

b


EjercicioEjercicio::

Determine las razones trigonomDetermine las razones trigonoméétricas para el tricas para el áángulo ngulo ââ

12

( )

( )

tan( )

bSen

c

aCos

c

b

a

( )

( )

( )

cCotg

b

cSec

a

aCoSec

b


Del triDel triáángulo anterior se puede mostrar que ambos ngulo anterior se puede mostrar que ambos áángulos ngulos

son complementarios, ya que trabajamos en un trison complementarios, ya que trabajamos en un triáángulo ngulo

rectrectáángulo.ngulo.

Se tiene que:Se tiene que:

13

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) sec( ) ( ) sec( )

sec( ) ( ) sec( ) ( )

a a aSen Cos Sen Cos

c c c

b b bCos Sen Cos Sen

c c c

a a atg Cotg tg Cotg

b b b

c c cSec Co Sec Co

b b b

c c cCo Sec Co Sec

a a a


Ejercicio 1Ejercicio 1::

Dado el siguiente triDado el siguiente triáángulo rectngulo rectáángulo en C, demostrar las ngulo en C, demostrar las

igualdades anteriores. igualdades anteriores.

14

A

B

C

6

3


EJERCICIO 2EJERCICIO 2::

En el siguiente triEn el siguiente triáángulo ABC, rectngulo ABC, rectáángulo en C, ngulo en C,

determinar y mostrar cual de las siguientes expresiones determinar y mostrar cual de las siguientes expresiones

es verdaderaes verdadera

15

A

B

C

8

4

3

32sec

33

2

3cos

2

1sin

civ

tgiii

ii

i


Como ya dijimos hay identidades trigonometricas que son Como ya dijimos hay identidades trigonometricas que son inversas de otras en la relaciinversas de otras en la relacióón del triangulo rectn del triangulo rectáángulo y sus ngulo y sus áángulos agudos, ahora demostraremos y veremos la ngulos agudos, ahora demostraremos y veremos la reciprocidad de las razones trigonomreciprocidad de las razones trigonoméétricas: tricas:

Dado el siguiente triangulo rectDado el siguiente triangulo rectáángulo en C se cumple ngulo en C se cumple

siempre que:siempre que:


11) ( )

sec( )

12) ( )

ec( )

13) ( )

( )

SenC

CosS

tgC tg


Por demostrar (1)

1) 1) El seno y la cosecante son funciones recEl seno y la cosecante son funciones recííprocasprocas

( ) ( )BC AB

Sen Co SecAB BC


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