Trigonometra

Trigonometra. es la rama de las matemticas que estudia las relaciones entre los ngulos y los lados de los tringulos. Para esto se vale de las razones trigonomtricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en clculos tcnicos.

En trminos generales, la trigonometra es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las dems ramas de la matemtica y se aplica en todos aquellos mbitos donde se requieren medidas de precisin. La trigonometra se aplica a otras ramas de la geometra, como es el caso del estudio de las esferas en la geometra del espacio.

Unidades angulares. En la medida de ngulos, y por tanto en trigonometra, se emplean tres unidades, si bien la ms utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemticas es el Radin la ms utilizada, y se define como la unidad natural para medir ngulos, el Grado centesimal se desarroll como la unidad ms prxima al sistema decimal, se usa en topografa, arquitectura o en construccin.

Radin: unidad angular natural en trigonometra, ser la que aqu utilicemos. En una circunferencia completa hay 2 radianes.

Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.

Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Razones trigonomtricas El tringulo ABC es un tringulo rectngulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ngulo , correspondiente al vrtice A, situado en el centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latn) es la razn entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa, El coseno (abreviado como cos) es la razn entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa, La tangente (abreviado como tan o tg) es la razn entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente, Razones trigonomtricas recprocas Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo: La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razn recproca de la tangente, o tambin su inverso multiplicativo: La Secante: (abreviado como sec) es la razn recproca de coseno, o tambin su inverso multiplicativo: La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razn recproca de seno, o tambin su inverso multiplicativo: Normalmente se emplean las relaciones trigonomtricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un inters especifico en hablar de ellos o las expresiones matemticas se simplifiquen mucho, los trminos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

Funciones trigonomtricas inversas En trigonometra, cuando el ngulo se expresa en radianes (dado que un radin es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, as si: , la funcin inversa es: (x es el arco cuyo seno vale y, o tambin x es el arcoseno de y). si: (y es igual al coseno de x), la funcin inversa: (x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y). si: (y es igual al tangente de x), la funcin inversa: (x es el arco cuya tangente vale y, x es igual al arcotangente de y).

Valor de las funciones trigonomtricas A continuacin algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Circunferencia en radianes.Circunferencia en Grado sexagesimal.

RadianesGrados sexag.senocosenotangentecosecantesecantecotangente

Para el calculo del valor de las funciones trigonomtricas se confeccionaron tablas trigonomtricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Mller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ngulo, calcular los valores de sus funciones trigonomtricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informtica, en prcticamente todos los lenguajes de programacin existen libreras de funciones que realizan estos clculos, incorporadas incluso en calculadoras electrnicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.

Sentido de las funciones trigonomtricas Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniomtrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo sealamos como punto E.

El punto A es el vertice del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia: a todos los efectos. La recta r, que pasa por O y forma un ngulo sobre el eje x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D. Por semejanza de tringulos: Los puntos E y B estn en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonomtricas: ; ; tenemos: la tangente es la relacin del seno entre el coseno, segn la definicin ya expuesta.

Primer cuadrante

Partiendo de esta representacin geomtrica de las funciones trigonomtricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ngulo . Para , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto: ; ; , si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias y aumentaran progresivamente, mientras que disminuir.

Percatarse que y estn limitados por la circunferencia y por tanto su mximo valor absoluto ser 1, pero no est limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ngulo sea rad, (90) la recta r ser la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia ser infinita; esto es, la tangente toma valor infinito cuando rad (90), el seno vale 1 y el coseno 0.Segundo cuadrante

Cuando el ngulo supera el ngulo recto , el valor del seno empieza a disminuir segn el segmento , el coseno aumenta segn el segmento , pero en el sentido negativo de x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ngulo sigue creciendo.

La tangente para un ngulo inferior a

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad se hace infinita en el sentido positivo de y, para el ngulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningn valor real, cuando el ngulo supera los

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad y pasa al segundo cuadrante la prolongacin de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de y, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ngulo aumenta progresivamente hasta los

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad (180).

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que valga 0, para

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad, el coseno, esto es , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para rad, hasta 1, para

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad. La tangente conserva la relacin: incluyendo el signo de estos valores.Tercer cuadrante

En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ngulo

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad a rad (270), se produce un cambio de los valores del seno, el coseno y la tangente, desde los que toman para

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad: ; ; .

Cuando el ngulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante. A medida que el ngulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento , esto es el coseno, se hace ms pequeo en el lado negativo de las x. El punto B, interseccin de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje x, en el sentido negativo de y, el seno . Y el punto D, interseccin de la prolongacin de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje x en el sentido positivo de y, con lo que la tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante.Cuando el ngulo alcance

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad, el punto C coincide con O y el coseno valdr cero, el segmento ser igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de y, y el seno valdr 1, la recta r del ngulo y la vertical que pasa por E sern paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de y. El seno, el coseno y la tangente siguen conservando la misma relacin, tanto en valores como en signo, ntese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.

Cuarto cuadrante

En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ngulo entre

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad y

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad, las variables trigonomtricas varan desde los valores que toman para

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad: ; ; hasta los que toman para

HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Radi%C3%A1n" \o "Radin" rad pasando al primer cuadrante, completando una rotacin: ; ; , como puede verse a medida que el ngulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de x, el seno disminuye en el lado negativo de y, y la tangente tambin disminuye en el lado negativo de y. Cuando , vale al completar una rotacin completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

Representacin grfica de las funciones trigonomtricas en el plano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.

Identidades trigonomtricas Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometra existen seis identidades fundamentales:Recprocas ; ;

De divisin

Por el teorema de Pitgoras Como en el tringulo rectngulo cumple la funcion que: de la figura anterior se tiene que: ; ; entonces para todo ngulo , se cumple la identidad Pitagrica: que tambin puede expresarse: ; Suma y diferencia de dos ngulos ;

; ; Suma y diferencia del seno y coseno de dos ngulos ; ; Producto del seno y coseno de dos ngulos ; ; ; ngulo doble ; ; ; ; ; ; ngulo mitad ; ;

Otras identidades trigonomtricas ; ; ; ; ; ;

Funcin tangente. En un tringulo rectngulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razn entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. El valor de la tangente para algunos ngulos importantes es: tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos.tan (/2) = tan (90) = +

tan (-/2) = tan (-90) = -

tan (0) = 0

tan (/4) = tan (45) = 1

tan (/3) = tan 60= tan (/6) = tan 30 = Una identidad de importancia con la tangente es: ; Seno y coseno, funciones complejas. El seno y coseno se definen en matemtica compleja, gracias a la frmula de Euler como: ; Por lo tanto, la tangente quedar definida como: ; Siendo (tambin puede representarse como j).