INSTITUCION EDUCATIVA RAFAEL NÚÑEZ

SANDRA SALTARIN GOMEZSINCELEJO- SUCRE

2010

Matemática: trigonometría

Que es la trigonometría? trigonometría, rama de las matemáticas que

estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonometricas de ángulos. las dos ramas fundamentales son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.

Que es un Angulo?

el Angulo es la porción de plano delimitada por dos semirrectas del mismo origen

Los ángulos se identifican por 3 letras donde :

La letra central corresponde al vértice Las otras 2 letras son puntos cualquiera

de las semirrectas que lo forman

Angulos: se clasifican en

Angulo recto : mide 90 grados Angulo agudo: mayor que 0 menor que 90

Angulo obtuso: mayor que 90 menor que 180 Angulo llano: mide 180 grados

Clases de angulos

Ángulos : complementarios y suplementarios

son complementarios cuando la suma de sus valores es un ángulo recto, es decir, 90 grados sexagesimales.

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus valores es igual a la de dos rectos, es decir(180º).

como saber si un ángulo es complementario o suplementario.

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus ángulos es igual a 90°. Si conocemos un ángulo, su ángulo complementario se puede encontrar restando la medida del mismo a 90o.

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo complementario de 43o? Solución: 90° - 43° = 47°

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus grados es igual a 180o. Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando la medida del mismo a 180o.

Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de 143o? Solución: 180° - 143° = 37°

ÁNGULOS

Angulo coterminales- dos o mas ángulos que terminen en el mismo lugar.

ANGULOS CUADRANTALES

EJEMPLOS:

A) sen 90o. Solución: Como sen q = y, sen 90o = 1 (la coordenada en y).

B) cot 180o. Solución: Como cot q = x/y, cot 180o = –1/0 = indefinida

C) sec 360o. Solución: Como sec q = 1/x, sec 360o = 1/1 = 1

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Seno = Opuesto/Hipotenusa Cosecante = Hipotenusa/Opuesto Coseno = Adyacente/Hipotenusa Secante = Hipotenusa/Adyacente Tangente = Opuesto/Adyacente Cotangente = Opuesto/Adyacente

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Trucos para memorizar fácilmente las 6 funciones trigonometricas:

SOHCAHTOA: Seno = opuesto/Hipotenusa

Coseno = Adyacente/Hipotenusa Tangente = Opuesto/Adyacente

CHOSHACAO:

Cosecante = Hipotenusa/Opuesto Secante = Hipotenusa/Adyacente Cotangente = Adyacente/Opuesto

IDENTIDADES:

En matemática, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor de las variables que se consideren (es decir para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

IDENTIDADES

Sec A = 1/Cos A ;Cos A Sec A = 1 Csc = 1/SenA ; Sen A Csc A = 1 Tan A = Sen A/Cos A Tan A Cot A = 1

Cot A = Cos A/Sen A

Sen²A+Cos²A = 1 Sen²A=1-Cos²A Cos²A=1-Sen²A

Tan²A+1=Sec²A Tan²A=Sec²A-1 1=Sec²A-Tan²A

Cot²A+1=Csc²A Cot²A=Csc²A-1 1=Csc²A-Cot²A

ANGULOS

Ángulos Dobles sen2A=2senA cos A cos2A=cos²A-Sen²A tan2A=2TanA/1-Tan²A=Sen2A/Cos2A Csc2A=1/Sen2A Sec2A=1/CoS2A Cot2A=Cos2A/Sen2A

IDENTIDADES

Ángulos Medios sen1/2 A=√1-cosA/2

Csc1/2 A= √1+cosA/2

Tan1/2 A = √1-cosA/1+cosA=Sen 2A/cos 2ª

Csc1/2 A = √1/sen2 A

Sec ½ A = √ 1 /cos2 A

Cot ½ A = √cos2 A/sen2 A

IDENTIDADES

Suma y/o Resta De Ángulos sen(A±B) =sen A cos B ± Sen B Cos A Csc(A ±B) = 1/sen (A+B) Cos(A+B) = cosA cosB ±senA senB Sec(A ±B) = 1/cos (A ±B) Tan(A ±B) = TanA ±TanB/1 ±TanA TanB Cot(A ±B) = Cos(A ±B)/Sen(A ±B)

IDENTIDADES

Ángulos Dobles

Sen2∞= 2Sen∞Cos∞ Csc2 ∞== 1 Cos2 ∞=cos² ∞ -Sen² ∞ sen2∞ Tan2 ∞ =2tan∞ = Sen2∞ Sec2 ∞= 1 1-tan²∞ cos2∞ Cos2 ∞

Cot 2 ∞=Cos2 ∞ = 1 Sen2 ∞ Tan2

∞

IDENTIDADES

Ángulos medios

Sen1/2 ∞=√ 1-Cos∞ Csc1/2= 1

2 Sen1/2 ∞

Cos1/2∞= √ 1+Cos ∞ Sec1/2∞= 1

Tan1/2 = √ 1-Cos∞= Sen1/2∞ Cos1/2 ∞ 1+Cos∞ Cos1/2∞ Cot1/2∞= Cos1/2∞ Sen1/2∞

IDENTIDADES

Ejemplos : Cot 120° (usando ángulos dobles y ángulos especiales). Cot2(60°) =Cos 2(60)= Cos²60-sen²60 Sen 2(60) 2Sen60Cos60 =(1/2) ² - (3/2) 2(3/2) (1/2) = 1/4 – 3/4 2√3/4 = -2/4 = 2 * √3 *√3 2 3√4 2√3 √3 √3

Ley del Seno

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados A, B y C y el seno de sus respectivos ángulos opuestos a, b y c

a/sin A = b/Sin B = c/Sin C

Ley del Coseno

En todo triángulo «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido...»

TRIANGULOS ESPECIALES

TRIANGULOS ESPECIALES

Se usa esta ecuación para graficar. y = ±C ±A sen o cos B(∞±D) C= desplazamiento A= amplitud B=numero de ciclos D=desplazamiento horizontal

TRIANGULOS ESPECIALES

Ejemplos: Función Seno

TRIANGULOS ESPECIALES

Ejemplos: Función Coseno

TRIANGULOS ESPECIALES

Ejemplos: Función Tangente

TRIANGULOS ESPECIALES

Ejemplos : Función Secante

TRIANGULOS ESPECIALES

Ejemplos : Función cosecante

TRIANGULOS ESPECIALES

Ejemplos : Función Cotangente

TRIANGULOS

Que es un triángulos ? Porción de plano limitada por 3 líneas que

se cortan de dos en dos, en un punto común llamado vértice, tiene 3 vértices y 3 lados.

TRIANGULOS

Según sus lados como se define un triangulo ?

* Equilátero: tres lados iguales* Isósceles: dos lados iguales.

* Escaleno: tres lados desiguales.

TRIANGULOS

Según sus ángulos los triángulos se clasifican

* Acutángulo: tres ángulos agudos* Rectángulo: un ángulo recto

* Obtusángulo: un ángulo obtuso

TRIANGULOS

El área de un triangulo siempre se coloca en unidades cuadradas

El Área de un triangulo es = Base * altura sobre 2 Subperimetro: el perímetro dividido entre 2 El perímetro se saca sumando todos los lados del triangulo. Cateto al cuadrado+cateto al cuadrado=hipotenusa al

cuadrado Otra forma de sacar el Área de un triangulo es

A=√S(s-L1 )(S-L2 )(S-L 3 )

TRIANGULOS

Ortocentro : Se denomina

ortocentro al punto donde se cortan las tres alturas del triangulo.

TRIANGULOS

Incentro : es el punto de corte de las bisectrices

interiores de un triangulo

GEOMETRIA: ANALITICA

Que es la geometría Analítica y para que nos sirve ?

se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del Análisis matemático y del Algebra.

lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante formulas del tipo f(x,y)=0 donde f representa una función

CIRCULO

Centro (0 ,0) X² + Y² =r² Centro (h , k) (x-h) ² +(y-k) ²= r²

Diámetro = 2 veces el radio

CIRCULO

Distancia entre 2 puntos :

D=√(x2-x1)²+(y2-y1)²

Distancia de un punto a

una línea :

D=/Ax+By+C/

√A²+B²

CIRCULO

Punto Medio : Pm: (xm= x1+x2 /2) (ym= x1+x2 /2) Área del Circulo :

πr²

Formula General : X²+y²+Bx+Cy+D=0

Circunferencia o perímetro : 2πr

CIRCULO

Cuando: El radio al cuadrado es mayor que 0,es

Circulo real. El radio al cuadrado es igual que 0, es

Punto. El radio al cuadrado es menor que 0 , es

Circulo Imaginario.

CIRCULO

Área sector : πr²n / 360 Área Segmento : A Sector - AΔ

Longitud del sector 2πrn/360 Área Corona Circular πr² = πR² Β = π(R² - r²)

ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO

Líneas tangentes trazadas desde un punto exterior con iguales, tienen la misma medida

∞= arco mayor – arco menor

2 L1=L2

ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO

Líneas secantes : Trazados desde un punto exterior

Secante* Seg.Ext = Secante* Seg.Ext

B = arco - arco 2

ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO

Línea tangente y secante :Trazados desde un punto exterior

Tan² = Secante* Seg.Ext

ANGULOS Y LINEAS A UN CIRCULO

Cuerdas que se cortan dentro de un circulo

ANGULOS

∞= Angulo centra β= Angulo inscrito Angulo central = Arco Angulo inscrito=1/2 Arco

ANGULOS

Punto a una razón dada = (xr = x1+r(x2-x1) (yr = y1+r(y2-y1) Area del triangulo: AΔ= B*h /2

A =√S(s-a)(s-b)(s-c) S=a+b+c / 2 AΔ equilatero = l²√3 / 4

ANGULOS

Dados 2 puntos. Se busca la pendiente 1) M = y 2–y1

x2 - x1 2) y – y1 =m(x – x1 ) 3) (x1,y1)(x2,y2 )

Dado un punto y la pendiente 1) Encuentras M 2) P(x1,y1) 3) y – y1 =m(x – x1 )

ANGULOS

Dada la pendiente (m) y el intercepto con el eje y (b) y=mx+b

Dado los 2 intercepto (a,b) x/a+y/b=1Forma general: Ax+By+C = 0 Para dar la inclinación de la línea Pendiente = tan β

ANGULOS

Ecuación de la mediatriz: Mediatriz: es la linea que sale del punto

medio de un segmento en forma perpendicular.

Hallo punto medio del segmento Hallo pendiente de ese segmento y la

paso a perpendicular Hago la ecuación: y-y1 = m(x-x1)

ANGULOS

Ecuación de la Altura : Hallo pendiente del segmento donde

llega y la paso a perpendicular Hago la ecuación con M y el punto

donde sale la altura : y-y1=m(x-x1)

ANGULOS

Ecuación de la mediana : Mediana: es el segmento que tiene por

extremos, un vértice y el punto medio del lado opuesto.

1) Hallo punto medio del segmento donde 2) Busco pendiente del punto medio, y

punto de donde sale 3) Escribo la ecuación (y-y1)=m(x-x1)

ANGULOS

Líneas paralelas tienen pendientes iguales

Líneas perpendiculares: inversas y signo contrario

m= -1/m Línea paralela al eje x tiene m = 0 Línea paralela al eje y tiene m = 1/0

CONICAS

Elipse a=punto final eje mayor

sus coordenadas se llaman vértice

b=punto final eje menor, sus coordenadas se nombran B

c= foco c² = a² – b²

Lr= lado recto lr=2b² /a E=exentridad e= c/a

e <1 e = c/aHorizontal Vertical x ² + y ² = 1 x ² + y ² =1 a ² b ² a ² b ²

CONICAS

a=punto final eje mayor , sus coordenadas se llaman vertical

b=punto final eje menor, sus coordenadas se nombran B

c= foco c ² = a ² - b ² Lr= lado recto lr= 2b ² /a

Excentridad e=c/a debe ser menor que 1

a= punto final eje real o transversal, sus coordenadas se llaman vértice

b= punto final eje conjugado o imaginario, sus coordenadas se llaman B

C= foco c ² =a ² + b ² Lr= lado recto lr= 2b ² /a E=c/a debe ser mayor

que 1

CONICAS

Elipse E Hipérbola Elipse E Hipérbola

Horizontal Vertical C (0,0) C (0,0) v (±a,0) v (0, ±a) (0,±b) β (±b,0) f (±c,0) f (0, ±c) Pf (±c, ±1/2L) pf (±1/2Lr ±c)

Siempre c < a Siempre c > a

CONICAS

Eje mayor o eje real o transversal= 2a Eje menor o eje conjugado o imaginario = 2b

Elipse hipérbola

CONICAS

Distancia focal 2c El centro es el punto medio entre los dos

vértices (v), los dos puntos finales del eje menor o conjugado (B) o los dos focos (F).el foco es el punto medio entre los dos puntos finales.

CONICAS

ELIPSE C (h,k) HIPERBOLA Horizontal Horizontal (x – h) ² + (y – k)² = 1 (x – h) ² - (y – k) = 1 a ² b ² a ² b ² Vertical Vertical (x – h) ² + (y – k) ² = 1 (y – k) ² - (x – h) ²

b ² a ² a ² b ²

CONICAS

Elipse - Hipérbola Elipse – Hipérbola C (h,k) Horizontal C (h,k) Vertical v (h±a,k) v (h,k±a) (h,k±b) β (h±b,k) f (h±c,k) f (h,k±c) pf (h±c,k1/2L r) pf (h±1/2Lr,k±c)

CONICAS

Parabola e = 1

v (0,0) v (h,k) y²= 4ax (y – k ) ² =4ª(x – h) Lr = 4ª Lr= 4a f (a,0) f ( h +a, k) D: x= -a D: x= h – a pf ( a, ±2ª) pf (h+a,k ±2a)

vf = vd

Distancia del vertice al foco = Distancia de vertice a directriz

CONICAS

Vértice es el punto medio entre foco y directriz. Foco es el punto medio entre los 2 puntos finales.

y² = -4ac (y – k)²= -4ac (x – h) f (- a,0) f (h-a, k) D: x =a D: x= h +a pf (-a,±2ª) pf (h-a,k±2ª)

CONICAS

x²=4ay (x-h)²= (y-k)

f (0,a) f(h,k+a) D: y=-a D: y= k -a pf=(±2a,a) pf(h±2a,k+a)

CONICAS

x²= -4ay (x-h)²= -4 a (y-k)

f (0,-a) f(h,k-a) D: y=a D: y= k +a pf=(±2a,-a) pf(h±2a,k-a)

CONICAS

Curva Conica Sección Conica

CONICAS

Elipse Hipérbola

ECUACION DE LA LINEA

cuando te dan dos puntos. Se usa esta formula: M = y2 - y1/ x2 - x1

cuando te dan la ecuación Ax + By + C = 0. se usa esta formula :

M = -a/ b

ECUACION DE LA LINEA

Aplicamos esta ecuación cuando tenemos

Y= mx+b Y-Y1 = m(x – x1 )

M = pendiente este lo uso cuando me un y= intercepto punto y la pendiente o me dan los puntos.

ECUACION DE LA LINEA

Cuando nos dan los intercepto y la formula general.

Ax + By + C = 0 x + y = 1 Formula general de a b de una linea

GENERALIDADES

Para hallar el intercepto en y: Igualo x = 0 y busco y para hallar el intercepto en x : igualo y = 0 y busco x

GENERALIDADES

Para hallar la pendiente y la inclinación aplicamos la siguiente ecuación :

m = y2-y1 / x2-x1

y con la respuesta pongo en la calculadora shift tan de la respuesta:

Tan B =m

GENERALIDADES

Para hallar la simetría: X = -x misma ecuación simétrica eje y Y = -y misma ecuación simétrica eje x Para hallar simetría en el origen: X=-x, y=-y misma ecuación simétrica origen

GENERALIDADES

Cuando me dan la ecuación de una línea Ax+By+C = 0 m = -A / B

GENERALIDADES

Punto a una razon dada : Xr = X1 + r (x1 – x ) Yr = Y1 + r (y1 – y )

GENERALIDADES

Para hallar el punto medio : Xm = x1 + x2 / 2 Ym = y1 + y2 / 2

GENERALIDADES

Dominio : también llamado -Codominio -Recorrido -Conjunto de llegada -Imagen

GENERALIDADES

Rango : también nombrado -PRE imagen -conjunto de partida

GENERALIDADES

Dominio : se despeja Y para hallar X En la respuesta se coloca D: XER/X≠ de la respuesta

GENERALIDADES

Rango : se despeja x para hallar Y En la respuesta se colocaD: YER/Y≠ de la respuesta

PARABOLA

Una parábola es el conjunto de puntos del plano cuya distancia a una recta fija es igual a la distancia hasta un punto fijo.

La recta fija se llama directriz de la parábola y el punto fijo se llama foco