Trigonometria ppt

TRIGONOMETRÍA

(Primera parte)

Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

2

INTRODUCCIÓN

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura






3

• NOCIONES PREVIAS

• SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.

• RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO

AGUDO.

• R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.

• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA

• R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º

• CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.

NOCIONES PREVIAS

1. a. Proporcionalidad de segmentos y

semejanza

b.TEOREMA DE TALES

2. TEOREMA DE PITÁGORAS

5

1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza

Sombra del árbol grande (S)

S. árbol pequeño (s)

H

h

Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas

H

h

Ss

OA’

A

B’

B

)alidadproporcionderazón(k'AA

'BB

'OA

'OB

H

h

S

s



6

Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten

Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten

TEOREMA DE TALES:

Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.

TEOREMA DE TALES:

Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales.

O

A’A

B’

B

'OB

'B'A

OB

ABtambieno

'OB

'OA

OB

OA

1.b. TEOREMA DE TALES

O

A’

A

B’

B

C’

D’E’

EDC

B’’

C’’

D’’

E’’

r

r’

7

Medida de ángulos

Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:

Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)

Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)

Radianes (En la calculadora MODE RAD)

Ángulo completo

Ángulo llano

Ángulo recto

Un grado

Un minuto

SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”

CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s

RADIANES 2 /2

8

Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida

S.sexagesimal 60 º 210º

S. centesimal 50g 60g 100g

Radianes 2π/3 5π/6

S.sexagesimal 140º 240º

S. centesimal 350g 90g 25g

Radianes 7π/8 3

9

Ángulos en los tres sistemas de medida

S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º

S. centesimal 66g 66m

66s 50g 133g 33m

33s 60g 233g 33m

33s 100g 166g 66m

66s

Radianes

S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’14”

S. centesimal 155g 55m

55s 350g 175g 90g 266g 66m

66s 25g 190g 98m

59s

Radianes 3

3

4

10

36

7

2

3

26

5

8

718

144

720

93

48

10

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)

CsenC"B

"B"A

C'B

'B'A

BC

AB

Cgcot"B"A

C"A

'B'A

C'A

AB

AC

Ceccos"B"A

C"B

'B'A

C'B

AB

BC

CcosC"B

C"A

C'B

C'A

BC

AC

CtgC"A

"B"A

C'A

'B'A

AC

AB

CsecC"A

C"B

C'A

C'B

AC

BC

Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son

CA”

B”

A

B

A`

B` semejantes

porque tienen los ángulos iguales.

En consecuencia los lados son proporcionales :

11

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO

a

c

hipotenusa

opuestocatetoCsen

a

b

hipotenusa

adyacentecatetoCcos

c

a

opuestocateto

hipotenusaCeccos

b

a

adyacentecateto

hipotenusaCsec

b

c

adyacentecateto

opuestocatetoCtg

c

b

opuestocateto

adyacentecatetoCgcot

Ccos

1Csec

Csen

1Ceccos

Ctg

1Cgcot

Sea ABC un triángulo rectángulo en A.

Se definen seis razones trigonométricas

CA

B

a

b

c

Cateto adyacente o contiguo a C

Ca

teto

op

ue

sto

de

C

12

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

a

cCsen

a

bCcos

Csen

1

acaa

c

aCeccos

Ccos

1

abaa

b

aCsec

Ccos

Csen

abac

b

cCtg

Csen

Ccos

acab

c

bCgcot

Sea ABC un triángulo rectángulo en A.

CA

B

a

b

c

Cateto adyacente o contiguo a C

Ca

teto

op

ue

sto

de

C

Ccos

1Csec

Csen

1Ceccos

Ctg

1Cgcot

Ccos

CsenCtg

Csen

CcosCgcot

13

VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO

B

CA

a

b

C

1a

cCsen0

1a

bCcos0 1

c

aCeccos

1b

aCsec

b

cCtg0

c

bCgcot0

En todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa.

Es decir: 0 < c < a 0 < b < a

En consecuencia:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,

45º y 60º

1. R.T. DE 30º y 60º

2. R.T. DE 45º

15

R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)

A B

CSea ABC un triángulo equilátero

H

ll

l

l/2

x

B

C

H

l

60º

30º

Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide

En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide

Trazamos una altura CH

60º

Podemos calcular x en función de l, aplicando el

22

2 l2

lx

Tª de Pitágoras

4

llx

222

4

ll4x

222

4

l3x

22

4

l3x

2

2

3lx

60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2

16

B

C

H

l

l/2

2

3l

60º

30º

2

3

l2

3l

l23l

º60sen

2º60cos

1º60sec

3

2

º60sen

1º60eccos

3

3

3

1

º60tg

1º60gcot

2

1

l2

l

l2l

º60cos

32

32

2123

º60cos

º60senº60tg

2

1

l2

l

l2l

º30sen

2

3

l2

3l

l23l

º30cos

3

3

3

1

32

2

23

21

º30tg

2º30sen

1º30eccos

3

2

º30cos

1º30sec

33

33

3

3

º30tg

1º30gcot

R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)

Observa que:

sen 60º = cos 30º

cos 60º = sen 30º

tg 60º = cotg 30º

cotg60º = tg 30º

sec 60º =cosec30º

Cosec 60º =sec30º

17

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)

Sea ABCD un cuadrado

l

l

x45º

Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide

En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide

Trazamos la diagonal AC

90º

Podemos calcular x en función de l, aplicando el

222 llx

Tª de Pitágoras

22 l2x

2l2x

2lx

45º y el ángulo C mide 45º

A B

CD

lA B

C

l

45º

18

2

2

2

1

2l

lº45sen

22

22

2

2

º45cos

1º45sec

11

1

º45tg

1º45gcot

1l

lº45tg

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)

45º

lA B

C

l

45º

2l2

2

2

1

2l

lº45cos

22

2

º45sen

1º45eccos

Observa que:

sen 45º = cos 45º

tg 45º = cotg 45º

sec 45º =cosec45º

19

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A

α

Si el ángulo B mide α grados,

el ángulo C mide º90

º90y

º90

AB

C

ba

c

cosa

c)º90(sen

sena

bº90cos

gcotb

cº90tg

eccossen

1

º90cos

1º90sec

seccos

1

º90sen

1º90eccos

tggcot

1

º90tg

1º90gcot

20

R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A

Si el ángulo B mide α radianes,

el ángulo C mide

2

y

2

α

AB

C

ba

c

2

cosa

c)

2(sen

sena

b

2cos

gcotb

c

2tg

eccossen

1

2cos

1

2sec

seccos

1

2sen

1

2eccos

tggcot

1

2tg

1

2gcot

21

RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA

α

AB

C

ba

c

222 acb

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

Si dividimos la expresión anterior por a2

2

2

2

2

2

2

a

a

a

c

a

b

Expresándolo de otra forma:

1a

c

a

b22

1cossen 22 O lo que es lo mismo:

1cossen 22

1cossen 22

Que normalmente expresaremos de la forma:

22

Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2

2

2

2

2

2

2

b

a

b

c

b

b

Expresándolo de otra forma:

22 eccosgcot1

22 sectg1

α

AB

C

ba

c

222 acb

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

2

2

2

2

2

2

c

a

c

c

c

b

22 sectg1

22 eccosgcot1

OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES

23

R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º

sen

a

cos a

sen

a

sen

a

sen

a

sen

a

1

Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto

sen 90º = 1A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0

cos 90º = 0

Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir,

sen 0º = 0

cos 0º = 1radio=1

1

P(x,y)

O X

Y

a

Circunferencia goniométrica

1. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA

2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN

ÁNGULO

3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA

COTANGENTE

4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º

7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS

25

CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA

Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas

X

Y

O

a

Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda

A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremos circunferencia goniométrica.

1

26

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

y1

y

r

'y

radio

ordenadasen

x1

x

r

'x

radio

abscisacos

x

y

'x

'y

abscisa

ordenadatg

X

Y

Oa

1

P(x,y)Q(x’,y’)

r

A partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 (Circunferencia goniométrica)

27

SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.

X

Y

O 1a

A

sen

a

cos a

sen

b

cos b

sen

g

cos g

sen

d

cos d

b

B

g

C

d

D

-1 0 1

El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1

1sen1

1cos1 -1

-1

1

++_ _

SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO

__ +

+

28

TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.

X

Y

O 1

A

a tg a

cotg a

tg b

cotg b

tg g

cotg g

tg d

cotg d

g

C

d

D

B

b

La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor .

tg

gcot

+_

+ _

TANGENTE Y COTANGENTE

29

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º

A

60º

120º

-1

-1

1

X

Y

O 1

En la circunferencia goniométrica dibujamos 120º (quitamos 60º a 180º)

A’

60º

x

y

-x

y yº120sen º60sen

xº120cos º60cos

x

yº120tg

x

y º60tg

2

3

2

1

3

2º120sec 3

32º120eccos

3

3º120gcot

Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas.

30


A

45º

135º

-1

-1

1

X

Y

O 1


A’

45º

x

y

-x

y yº135sen º45sen

xº135cos º45cos

x

yº135tg

x

y º45tg

2

2

2

2

1

2º135sec 2º135eccos 1º135gcot


31


150º

-1

-1

1

X

Y

O 1


A

30ºx

y

A’

30º-x

y yº150sen º30sen

xº150cos º30cos

x

yº150tg

x

y º30tg

2

1

2

3

3

3

3



32

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

a

A

180º-a

-1

-1

1

X

Y

O 1

a y 180º- a

a y p-a

En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º- a

A’

ax

y

-x

y

yº180sen sen

xº180cos cos

x

yº180tg

x

y tg

sensen coscos tgº180tg

33


-1

-1

1

X

Y

O 1

210º

30º

A

x

y

A’

30º-x-y

yº210sen º30sen

xº210cos º30cos

x

yº210tg

x

y º30tg

En la circunferencia goniométrica dibujamos 210º (añadimos 30º a 180º).


2

1

2

3

3

3

3


34


-1

-1

1

X

Y

O 1

225º

45º

45º-x

-y



yº225sen º45sen

xº225cos º45cos

x

yº225tg

x

yº45tg

2

2

2

2

1


35


-1

-1

1

X

Y

O 1

240º



º240sen º60sen

º240cos º60cos

º240tg º60tg

2

3

2

1

3

2º240sec 3

32º240eccos

3

3º240gcot

36


ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

a

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

a y 180º+ a

a y p+a

En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º+a

A’

180º+a

a x

y

-x-y

yº180sen sen

xº180cos cos

x

yº180tg

x

y tg

sensen coscos tgtg

37


-1

-1

1

X

Y

O 1

300º

En la circunferencia goniométrica dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º).

º300sen º60sen2

3

º300cos º60cos2

1

º300tg º60tg 3

2º300sec 3

32º300eccos

3

3º300gcot

38


-1

-1

1

X

Y

O 1

315º


º315tg 1º45tg

º315sen º45sen2

2

º315cos º45cos2

2


39

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º (las mismas que las de –30º)

-1

-1

1

X

Y

O 1


º330cos º30cos

º330sen º30sen2

1

2

3

º330tg º30tg3

3

3


40


ÁNGULOS QUE SUMAN 360º

a

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

a y 360º-a

a y 2 p-a


A’

360º-a

a x

y

-y

yº360sen sen

xº360cos cos

x

yº360tg

x

y tg

sen2sen cos2cos tg2tg

41

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

OPUESTOS

a

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

a y - a

En la circunferencia goniométrica dibujamos a y - a

A’

-a x

y

-y

ysen sen

xcos cos

x

ytg

x

y tg

sensen coscos tgtg

42

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE

UNA CIRCUNFERENCIA

a

A

-1

-1

1

X

Y

O 1

Las razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia ( a+360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del ángulo a

x

y

2sen sen

2cos cos

2tg tg

senº360sen cosº360cos tgº360tg

k,k2

k,kº360

2p+a

43

-1

-1

1

X

Y

O 1


ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º

a

A

a y 270º+a

En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 270º+ a

A’

270º+a

a

x

y

xº270sen cos

yº270cos sen

y

xº270tg

y

x gcot

2

3y

y

-x

cos

2

3sen

sen

2

3cos

gcot

2

3tg

44

-1

-1

1

X

Y

O 1


ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

a

A

a y 90º - a


A’

90º-a

a

x

y

xº90sen cos

yº90cos sen

y

xº90tg gcot

2

y

y

x

cos2

sen

sen2

cos

gcot2

tg

45

SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1.

sen 0º = 0 sen 90º = 1

-1

-1

1

X

Y

O 1

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0.

sen 180º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1.

sen 270º = -1

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.

sen 360º = 0

46

COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0.

cosen 0º = 1 cosen 90º = 0

-1

-1

1

X

Y

O 1

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1.

cosen 180º = -1

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0.

cosen 270º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.

cosen 360º = 1

47

TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.

tg 0º = 0 tg 90º + ∞.

-1

-1

1

X

Y

O 1

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la tangente va creciendo, de - ∞. a 0.

tg 90º - ∞ tg 180º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el tangente va creciendo, de 0 a +∞. .

tg 270º + ∞.

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de - ∞ a 0.

tg 270º - ∞ tg 360º = 0

48

COTANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º

Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0

cotg 0º + ∞ cotg 90º =0

-1

-1

1

X

Y

O 1

Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la cotangente va creciendo, de 0 a - ∞

cotg 180º - ∞

Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0

cotg 180º + ∞ cotg 270º = 0

Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de

0 a - ∞ cotg 360º - ∞

49

VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO

1sen1

1cos1 1sec

tg gcot

1sec

1eccos 1eccos

++_ _

SIGNO DEL SENO Y DE LA COSECANTE

SIGNO DEL COSENO Y DE LA SECANTE

__ +

++_

+ _

SIGNO DE LA TANGENTE Y

COTANGENTE

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. FUNCIÓN SENO

2. FUNCIÓN COSENO

3. FUNCIÓN TANGENTE

4. FUNCIÓN COTANGENTE

5. FUNCIÓN SECANTE

6. FUNCIÓN COSECANTE

51

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

7

2

1

2

1

2

3

2

3

1

1

2

2

2

2

0

a

sen a2

2

2

2

2

2

2

22

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

3

2

3

2

30 1 0 01

6

4

3

2

3

26

5 6

73

4

2

33

53

11 24

34

54

70

52

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x

53

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x

2

3

4

6

23

114

73

53

24

36

5 6

74

53

4

2

1

2

1

2

3

2

3

1

1

2

2

2

2

02

3

a

COS a2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

12

3

2

3

2

3

2

3 01 0 11

6

4

3

2

3

26

5 6

73

4

2

33

53

11 24

34

54

70

54

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x

55

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x

3

3

1

1

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

70

3

3

3

3

56

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x

57

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x

3

3

1

1

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

70

3

3

3

3

58

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x

59

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x

1

1

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

70

60

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x

61

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x

1

1

6

3

2

3

26

5 6

73

42

33

53

11 24

4

34

54

70

62

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x

TRIGONOMETRÍA

(Segunda parte)

Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

64

INTRODUCCIÓN











1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA

Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS

2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.

3. R.T. DEL ÁNGULO MITAD

4. TEOREMA DEL SENO

5. TEOREMA DEL COSENO

6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE

HERON

66

SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

A

O X

Y

N

M

b +a b

P

B

a

a

Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.

Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.

OB

BPsen

OB

sencosOBcossenOB

OB

senOAcosAB

sencoscossensen

Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.

OB

ANAM

67

COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

A

O X

Y

N

M

b +a b

P

B

a

a

Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.

Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.

OB

BMON

OB

NPON

OB

OPcos

OB

sensenOBcoscosOB

OB

senABcosOA

sensencoscoscos

68

COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS(otra forma de deducir la fórmula)

cos

sensencoscos

2

sen

2

sen

2

sen

sen2

coscos2

sen

sensencoscos

sensencoscoscos

69

TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

tg

sensencoscos

sencoscossen

coscossensen

coscoscoscos

coscossencos

coscoscossen

tgtg1

tgtg

sencoscossensen

sensencoscoscos

tgtg1

tgtgtg

Si dividimos numerador y denominador por cosa.cosb

Simplifi-cando

cos

sen

70

R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

sen sen sencoscossen

1

sencoscossen

sencoscossen

cos cos sensencoscos

sensencoscos

sensencoscos

tg

tgtg1

tgtg

tgtg1

tgtg tg

tgtg1

tgtg

71

R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

sen

cos

tg

sen sencoscossen

cos sensencoscos

tg

tgtg1

tgtg

sencoscossen

sensencoscos

tgtg1

tgtg

72

R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

sen

cos

tg

2sen sencoscossen

sensencoscos

tgtg1

tgtg

cossen2

2cos 22 sencos

2tg

2tg1

tg2

2sen cossen22cos 22 sencos

2tg

2tg1

tg2

73

R.T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)

2cos 22 sencos

tg

22 sensen1 2sen21

2sen2 2cos1

2sen2

2cos1 2

2cos1 sen

2cos 22 sencos 22 cos1cos 1cos2 2

2cos2 2cos1

2cos2

2cos1 2

2cos1 cos

2cos1

2cos12

cos1

2sen

2

cos1

2cos

cos1

cos1

2tg

1. Teorema del seno

2. Teorema del coseno

75

TEOREMA DEL SENO

Los lados de un triángulo son proporcionales alos senos de los ángulos opuestos. Csen

c

Bsen

b

Asen

a

El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos.

Consideremos un triángulo ABC.

BsenahAsenbh

C

C BsenaAsenb

Bsen

b

Asen

a

Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:

BsenchCsenbh

A

A BsencCsenb Csen

c

Bsen

b

hC

hA

C

BA

ab

c H

Trazamos la altura correspondiente al vértice C.

Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:

76

Medida de los ángulos en una circunferencia

Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente

A

B

C

Oa

a

180º-2 a

b

b

180º-2b

360º-(180º-2 a+180º-2 b)= =360º - 360º + 2 a+2 b = = 2 a+2 b = 2 (a+ b)

2(a+b)

O

2(a+b)

a+b

g

2 g

77

Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

g

2g

g

g

g

180º

90º

Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.

Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.

Medida de los ángulos en una circunferencia

78

Consecuencia del TEOREMA DEL SENO

La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

R2Csen

c

Bsen

b

Asen

a

Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Asen

a

Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego:

A

a

C

B

A’

R21

R2

º90sen

R2

'Asen

a

Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto).

R2'Asen

a

79

Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo

hC

C

BA

ab

c H

La superficie del triángulo ABC es:chc

2

1S

En el triángulo AHC :

b

hAsen C AsenbhC

Sustituyendo en la primera expresión:

Asenbc2

1S

80

Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo

Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.

La superficie del triángulo ABC es:

Por el Teorema del seno :

Sustituyendo en la primera expresión:

Asenbc2

1S

C

BA

ab

c

R

R2Asen

aR2

aAsen

R2

abc

2

1S

R4

cbaS

81

TEOREMA DEL COSENO

h

C

BA

ab

c Hm c-m

222 mcha

Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:

222 mcm2ch

2222 mcm2cmb

(en AHC)

2222 mcm2cmb

cm2cb 22

(Como en AHC m = b . cos A) Acoscb2cba 222

Bcosca2cab 222

Ccosba2bac 222

Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente

82

A

C

cB

ba

C

B A

ba

c

222 cba

222 cba

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOClasificación de triángulos

En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Acoscb2cba 222

Si A < 90º cos A >0

222 cba Si A = 90º cos A = 0

Si A > 90º cos A < 0

ab

c BA

C

( Teorema de Pitágoras )

83

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de Herón

Por el Tª del coseno

La superficie del triángulo ABC es: Asenbc2

1S

AsenbcS2

AsenbcS4 2222 Acos1bc 222

Acosbcbc 22222

cb2

acbAcos

222

22

22222222

cb4

acbbcbc

4

acbbc4222222

4

acbbc2acbbc2 222222

4

cbaacb 2222

hC

C

BA

ab

c H

84

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de Herón

Si a+b+c=2p

La superficie del triángulo ABC es: Asenbc2

1S

AsenbcS2 AsenbcS4 2222

4

cbacbaacbacb

...

b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....

4

bp2cp2ap2p2

bpcpapp4

2S bpcpapp cpbpappS

(p será el semiperímetro)

FÓRMULA DE HERÓNFÓRMULA DE HERÓN

hC

C

BA

ab

c H

4

cbaacb 2222

85

Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.

Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...

La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.

La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.

Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.

Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...

La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.

La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.

86

PÁGINAS WEB

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htmhttp://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyejhttp://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htmhttp://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTMhttp://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htmhttp://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htmhttp://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.htmlhttp://descartes.cnice.mecd.es/

http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm

http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm

http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyej

http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htm

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTM

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTM

http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm

http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm

http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html

http://descartes.cnice.mecd.es/

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