TRIGONOMETRÍA Y CÁLCULO Guia2
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Documento en revisión. Elaborado por Yannitsa Fernández Página 1 Abril, 2012
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA DE POSTGRADO ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
MENCIÓN BÁSICA GENERAL UNIDAD CURRICULAR: TRIGONOMETRÍA Y CÁLCULO
PROFESORA YANNITSA FERNÁNDEZ
GUÍA DE ESTUDIO N° 2.
OBJETIVOS DIDÁCTICOS:
Utilizar conceptos básicos de la geometría plana en el estudio de la trigonometría.
En esta guía N° 2 trataremos contenidos relacionados con el Teorema de
Pitágoras, triángulo rectángulo, circunferencia y ángulos en el sistema de
coordenadas rectangulares. Estos temas serán fundamentales durante el estudio
de la Trigonometría.
Nota Histórica
En la antigüedad antes del año 100 a. C., inventaron los griegos la Trigonometría
para resolver problemas de astronomía, navegación y geografía. La palabra
“Trigonometría” viene del griego y significa “medida de triángulo”. En su forma
más básica, la Trigonometría es el estudio de las relaciones entre los ángulos y los
lados de un triángulo rectángulo.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos es un ángulo recto, esto
es, un ángulo de 90°. Los otros dos ángulos son necesariamente ángulos agudos
(menores que 90°) ya que la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es
180°. Sea la letra griega que denota uno de esos ángulos agudos. Se pueden
clasificar los tres lados relativos a : cateto adyacente, cateto opuesto e
hipotenusa, como se muestra en la figura
Documento en revisión. Elaborado por Yannitsa Fernández Página 2 Abril, 2012
Figura 1
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a
la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
Figura 2
Dado que el triángulo es un triángulo
rectángulo, el teorema de Pitágoras
dice que
En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma
de los cuadrados de los catetos.
De la igualdad:
se obtiene la raíz cuadrada en ambos miembros:
En todo rectángulo, cada cateto es igual a la raíz cuadrada del cuadrado de la
hipotenusa, menos el cuadrado del otro cateto.
Documento en revisión. Elaborado por Yannitsa Fernández Página 3 Abril, 2012
De la igualdad:
Despejando los catetos:
Extrayendo raíz cuadrada:
FÓRMULA DE DISTANCIA
Considere dos puntos arbitrarios
, y , (como en la
figura 3) que no están en la misma
recta vertical u horizontal. Determinan
un triángulo rectángulo cuyos catetos
tienen longitudes | | | |.
Por el Teorema de Pitágoras,
, | | | |
A esta fórmula se le conoce como la
fórmula de distancia.
Figura 3
Documento en revisión. Elaborado por Yannitsa Fernández Página 4 Abril, 2012
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Considere una circunferencia de radio
con centro en , , como el de la
figura 4. Para encontrar su ecuación,
tome un punto arbitrario en la
circunferencia con coordenadas , .
Según la fórmula de distancia, debe
satisfacer la ecuación
o, de manera equivalente, Figura 4
A partir de esta ecuación se puede construir la ecuación de una circunferencia de
radio 1 con centro en el origen 0, 0 . Para ello se utiliza la ecuación anterior con
0, 0 y 1. Esto da
Representación gráfica
Figura 5
Documento en revisión. Elaborado por Yannitsa Fernández Página 5 Abril, 2012
Esta circunferencia de radio 1 con centro en el origen de un sistema de
coordenadas cartesianas, es denominada círculo unitario. Dicha circunferencia se
utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas,
mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.
ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
Se dice que un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen
de un sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el lado
positivo del eje . Vea la figura 6
Figura 6
Cuando un ángulo está en posición estándar, el lado terminal estará ya sea en
un cuadrante, en cuyo caso se dice que está en ese cuadrante, o bien sobre el
eje o el eje ; entonces, se dice que es un ángulo cuadrantal. Por ejemplo, el
ángulo de la figura 7a) está en el II cuadrante, el ángulo de la figura 7b) está
en el IV cuadrante y el ángulo de la figura 7c) es un ángulo cuadrantal.
Figura 7
Documento en revisión. Elaborado por Yannitsa Fernández Página 6 Abril, 2012
EJERCICIOS
Si es la hipotenusa y son los catetos de un triángulo rectángulo, calcula el lado que falta:
1) 6 , 10 2) 20 , 32
3) 40 , 30 4) 80 , 100
5) 12 , 32
Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles si el valor del cateto es:
6) 4 7) 6 8) 15
9) 9 10) 11
Halla la altura de un triángulo equilátero si el lado vale:
11) 12 12) 8
Halla la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale:
13) 3 14) 15
Halla la diagonal de un rectángulo si los lados miden lo que se indica:
15) 2 , 4 16) 7 , 9 17) 10 12
18) Una escalera de 7 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la
escalera dista 3 m de la pared. ¿A qué altura se apoya la parte superior de
la escalera en la pared?
Documento en revisión. Elaborado por Yannitsa Fernández Página 7 Abril, 2012
Encuentra la , , donde tienen las coordenadas dadas
19) 2, 1 , 5, 3 20) 4, 2 , 2, 4 21) √3, 0 , 0, √6
22) 1, 5 , 6, 7 23) √2, 0 , 0, √7 24) 2, 1 , 7, 13
25) Utiliza la fórmula de distancia para mostrar que el triángulo cuyos vértices
son 2, 4 , 4, 0 8, 2 es un triángulo rectángulo.
Construye la ecuación de la circunferencia con el centro y el radio que se dan:
26) 0, 0 , 6 27) 2, 1 , √7
28) , , 29) 2, 3 , 3
30) Construye la ecuación de la circunferencia con centro en 3, 2 y que
pasa por el punto 4, 3 .
31) Tres círculos de radio 2 tienen su centro en los vértices de un triángulo
cuyos lados tienen longitudes 8, 11 y 12. Encuentra la longitud de la banda
que encaja exactamente alrededor de los tres círculos.
Dibuja cada ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares e indica en cual
cuadrante está ubicado:
32) 30° 33) 135° 34) 450°
35) 120° 36) 37)
38) 39) 40)
Documento en revisión. Elaborado por Yannitsa Fernández Página 8 Abril, 2012
El material presentado fue tomado de los libros que se mencionan a continuación.
Para profundizar en los aspectos descritos anteriormente, te invito a que revises
las referencias bibliográficas.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
LIBROS
• Baldor (2009). Geometría y Trigonometría (2a ed.). México: Grupo Editorial Patria.
• Méndez (2006). Matemáticas 2 (1a ed.). México: Santillana, S. A.
• Suvillan y Hernández (2006). Álgebra y trigonometría (7a ed.). Editorial Pearson Educación.
• Walter, Fleming y Dale Varberg (1991). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. (3a ed.) México: Pretince – Hall Hispanoamericana, S.A.
PÁGINAS WEB
http://books.google.co.ve/books?id=44-
YnoUhxOoC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=o
nepage&q&f=false
http://www.vitutor.net/2/1/23.html