TRIGONOMTRIA 3S

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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEMA: SÍNTESIS HISTÓRICA DE LA TRIGONOMETRÍA

A diferencia de la Aritmética, el álgebra y la Geometría, que como se sabe alcanzaron gran desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos.

La Trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era, y esto es muy explicable, pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada, y sobre todo un álgebra sistematizada, para darle toda la flexibilidad y desarrollo.

ORIGENDesde el punto de vista etimológico la trigonometría trató de la

“Resolución de Triángulos”, lo cual quiere decir que dados ciertos elementos convenientes de un triángulo se deben hallar sus elementos restantes.

En realidad nadie pudo sospechar antiguamente que de tan modesto origen pudiese surgir en el devenir del tiempo una ciencia de tanta importancia como la trigonometría (y que hoy en día es una herramienta fundamental del análisis matemático) que en un comienzo fue solo un simple capítulo de la Astronomía.

Pero gracias a su aplicación a las distintas ramas de la matemática y de la física, y sobre todo al empleo invalorable que de ella hacen la Astronomía y la Geodesia, es que su progreso fue rápido y que pudo llegar tan lejos.

UBICACIÓN HISTÓRICA DE SU ORIGENLa época que al nacimiento de la trigonometría se quiera atribuir

depende en realidad de la aceptación que a dicho término se le dé, vale decir, de la amplitud que a su significado se le quiere encontrar.

Así, tomada en su estricto significado etimológico de “medida de los triángulos”, la encontramos ya en las lejanas épocas de los babilonios, los egipcios y los hindúes, allá por los tres y dos mil años antes de nuestra era.

Si la consideramos a la trigonometría como ese capítulo de la Astronomía, donde ciertas funciones del ángulo eran ya conocidas y empleadas, la encontramos a partir de los trabajos de Hiparco allá por el año 140 a.C.

Pero la trigonometría como disciplina autónoma y sistemática, como esa ciencia analítica que es ahora, solo surgió y se desarrolló en el siglo XVII, después que el gran matemático Vieta perfeccionara admirablemente el simbolismo algebraico, sin el cual jamás hubiera podido consolidar esta ciencia.

Históricamente fueron los geómetras y astrónomos griegos quienes, entre los años 180 y 125 a.J.C. encontraron los principales fundamentos de la trigonometría plana y esférica, deducidos de la geometría y los aplicaron a los problemas astronómicos.

Según Theon, de Alejandría, entre los citados astrónomos griegos, es a Hiparco, especialmente, a quien se le puede considerar como el verdadero creador de la trigonometría (Padre de la Trigonometría), pues sobre los fundamentos debidos a éste, Ptolomeo publicó en el primer libro de su almagesto, una tabla de valores de las razones trigonométricas, para ser usados en los cálculos astronómicos.

Para resolver los triángulos rectángulos, los griegos procedían así: calculaban los lados aplicando el Teorema de Pitágoras, y los ángulos mediante un Teorema de Ptolomeo; la resolución de triángulos cualesquiera la hacían descomponiendo en triángulos rectángulos (trazando altura).

Es a Regiomontano (1436 – 1476), al que se debe el renacimiento de la trigonometría, pues fue él quien, valiéndose de traducciones del griego, escribió un notable tratado de trigonometría rectilínea y esférica, que puede considerarse como el primer tratado de trigonometría europea.

Copérnico (1473 – 1543), fue el primero que demostró en forma sencilla las fórmulas trigonométricas de la trigonometría esférica.

Viete (1540 – 1603), no era matemático de profesión, sino jurisconsulto que se ocupaba como abogado de asuntos de estado,

Trigonometría Trigonometría

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pero su amor por la ciencia matemática fue tan grande que dedicaba la mayor parte del tiempo necesario para su descanso al estudio y a la investigación matemática. De posición económica desahogado, su espíritu noble y generoso lo llevó a proteger económicamente aun a sus contrarios científicos.

Como contribución a la trigonometría, en 1579 estableció las fórmulas que determinan las funciones trigonométricas de múltiplos de un ángulo, cuando se conocen las funciones trigonométricas del mismo, y por primera vez en occidente expone los métodos que permiten resolver triángulos planos o esféricas aplicando las 6 funciones trigonométricas, pues Regiomontano solo utilizaba el seno.

Neper (1550 – 1617), con la creación de los logaritmos, abrevió notablemente los cálculos trigonométricos, aunque en realidad su nombre en la historia de la trigonometría se destaca por las analogías que llevan su nombre, así como por la conocida regla del pentágono de Neper, de tanta aplicación en la Resolución de Triángulos Esféricos.

Es sólo en el siglo XVII que la trigonometría comienza a formar su carácter analítico, y es Euler (1707 – 1783) el primero que en realidad hace progresar dicha ama de la matemática en este nuevo aspecto analítico, hasta darle forma que conserva actualmente.

¿SABÍAS QUÉ...

NICOLÁS COPÉRNICO (1473 – 1543)

Nicolás Copérnico fue un médico y astrónomo que cambió la idea del lugar que ocupaba la Tierra en el Universo. En su famosa obra De Revolutionibus Orbium Coelestium (“De las revoluciones de las esferas celestes”), proponía que la Tierra giraba diariamente sobre su propio eje y que, a la vez da una vuelta completa alrededor del Sol, en una órbita que tardaba un año en recorrer. Esto se oponía a la antigua idea de que el Universo giraba alrededor de la Tierra. También fijó métodos para calcular el tamaño del Sistema Solar y los movimientos de los planetas. De todas maneras, los científicos todavía tardaron un siglo en probar sus ideas y aceptarlas plenamente.


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TEMA: SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

1. ÁNGULOS TRIGONOMÉTRICOSEn trigonometría se consideran ángulos de cualquier valor, por lo que se hace necesario aplicar el concepto de ángulo, supongamos un rayo AB, con origen en A en la figura siguiente:

Si AB empieza a girar; en el sentido de la flecha curva, hasta la posición AC habremos generado un ángulo trigonométrico tal como se muestra.

En trigonometría, describiremos como se consideran los ángulos de cualquier valor, por lo que se hace aplicar el siguiente concepto.

2. ÁNGULOS POSITIVOS Y NEGATIVOSLos ángulos generados en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj se consideran en trigonometría positivos y si generamos ángulos en el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj se consideran negativos.

Angulo Positivo Angulo Negativo

Ejm.: Graficar 120º Ejm.: Graficar –230º

3. SISTEMA DE MEDIDAUn ángulo puede ser medido en diferentes sistemas, los más conocidos son sexagesimal, centesimal y radial.Así:

S. Sexagesimal S. Centesimal

S. Radial

Ejm.:

45º 50g

OBSERVACIONES:Tener en cuenta un ángulo medido en sistema diferentes son equivalentes () y no iguales (=)Así:

45º En grados Sexagesimales 50g En grados Centesimales

En radianes

3.1.Sistema SexagesimalUnidad: grado Sexagesimal (º)1 Vuelta 360º

Además:1º 60’ (1 grado Sexagesimal equivale a 60 minutos sexagesimales)1º 60” (1 minuto Sexagesimal equivale a 60 segundos sexagesimales)1º 3600” (1 grado Sexagesimal equivale a 3600 segundos sexagesimales)

3.2.Sistema de CentesimalUnidad: grado Centesimal (g)1 Vuelta 400g

Además:


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1g 100m (1 grado Centesimal equivale a 100 minutos centesimales)1m 100s (1 minuto Centesimal equivale a 100 segundos centesimales)1g 10000s (1 grado Sexagesimal equivale a 10000 segundos centesimales)

3.3.Sistema RadialUnidad: 1 radián (1 rad)

A0B: Sector circular

Condición

L = = .

Además:1 vuelta 2rad

vuelta rad

vuelta

Relación Importante: Si el ángulo es una vuelta completa se cumple:

3620º 400‘ 2rad

Simplificando:...180º 200g rad .

Además si a 180º 200g le simplificamos:...9º 10g .

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Convertir:

50g a grado sexagesimal 20g a radianes

36º a grado centesimal

a grado sexagesimal

2. Hallar el valor de “P”

Rpta.

3. Hallar el valor de “M”

Rpta.

4. Hallar el valor de “x”

Rpta.

80º a radianes

a centesimales

Rpta.

5. Hallar el valor de “”

Rpta.

6. Hallar “R”

Rpta.

7. Hallar “x”

Rpta.

11.Si 31,12g agbm.Hallar a + b

Rpta.

12.Hallar x, siendo º g, º 2x + 15 g = 70

Rpta.


15

16


8. Hallar “Q”

Rpta.

9. En un , sus lados están en P.A. de razón 20º.Hallar el mayor ángulo

Rpta.

10.Si 27,55º aºb’.Hallar a + b

Rpta.

13.Hallar x, siendo º 2g, siendo: º x + 15 g = 80

Rpta.

14.Hallar “”

Rpta.

15.Señale el menor ángulo

Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Convertir 80g a radianes

A) B) C)

D) E)

2. Hallar “P”

5. Hallar “”

A) 20º B) 12º C) 40ºD) 60º E) 120º

6. En un los ángulos están en P.A. de razón 30º.

A) 1 B) 3 C) 4D) 2 E) 5

3. Hallar “M”

A) 50º B) 20º C) 55ºD) 5º E) 60º

4. Hallar “x”

A) 84º B) 42º C) 20ºD) 80º E) 100º

Hallar el mayor ángulo

A) 30º B) 60º C) 90ºD) 80º E) 100º

7. Si 47,25º aºb';Hallar a + b

A) 62 B) 15 C) 47D) 25 E) 72

8. Si º x + 30º g = 60Hallar “x”; Además º g

A) 84 B) 24 C) 30D) 50 E) 90

9. Hallar :

Si 5

A) 8g B) 40g C) 12g

D) 8º E) 12º

10.Señale el mayor ángulo

A + B = 60º

A – B =

A) 80º B) 60º C) 40ºD) 20º E) 10º

CLAVES

1. E

2. C

3. A

6. C

7. A

8. B


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4. B

5. E

9. A

10.C

¿SABÍAS QUÉ...

TALES DE MILETO (636 A.C. – 546 A.C.)

El filósofo, astrónomo y matemático griego Tales es conocido por su cosmología. Creía que todo en el Universo derivaba del agua. Fue uno de los primeros filósofos griegos en adoptar una visión del mundo naturalista y no mitológica. A pesar de que no ha sobrevivido ninguno de sus trabajos, se le considera el fundador de la geometría griega. En astronomía, predijo con exactitud un eclipse solar en el 585 a.C. y aconsejó que los marinos se guiaran por la constelación de la Osa Menor, en la que figura la estrella Polar. Tales forma parte de los Siete Sabios, un grupo de eruditos de la Grecia antigua que vivieron entre los siglos VI y VII a.C.


19 20


TEMA: SECTOR CIRCULAR

Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia

De la figura se obtiene:

A0B Sector Circular

LONGITUD DE ARCO (l)Es aquella en unidades de longitud de un arco de circunferencia,

se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia.

Deducción.– Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando la longitud de arco y el ángulo central como se muestra en la figura siguiente:

Teniendo en cuenta el significado geométrico de 1rad. se tiene:

Longitud de Arco

Ángulo Central

l rad.r 1 rad.

De donde se obtiene . l = . r .

Donde:l : longitud de arco : número de radianes del ángulo centralr : radio de la circunferencia

Ejemplo:

Del gráfico mostrado, calcular la longitud de

arco (l), siendo 0: centro.Solución:l = . r = 30º

Convirtiendo =30ºen rad

l = . 18

l = 3 cm

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S)El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto del

número de radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos.

Deducción.–

Comparando (por regla de tres simple)

Área de un Sector Circular

Ángulo Central

r2 2 rad.S rad.

Resolviendo se obtiene: también:

Ejemplo:Del gráfico mostrado, calcular el área del sector A0B. 0: centro.Solución:

= 60º .

rad

S = 6 cm2

NUMERO DE VUELTAS (nv)El número de vueltas que da una rueda de radio “r” al

desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante el cociente de la longitud que describe el centro de la rueda dividido entre 2r. (perímetro de la rueda).


21

22


En esta figura el número de vueltas que da la rueda de radio (r) al desplazarse desde “A” hasta “B” se calcula:

(lc : longitud descrita por el centro de la rueda).(perímetro de la rueda).

Ejemplo:¿Cuántas vueltas da la rueda de 4cm de diámetro?

Solución:r = 2cmlC = 80 . 100cm nV =

nV = 2000 vueltas


1. Hallar “L” siendo A0B un

Sector Circular

3. Dada la circunferencia de 24 m de radio. Encontrar la longitud del arco subtendido por un ángulo central de 2/3 radianes

Rpta.

2. Hallar “l” siendo A0B un

Sector Circular (considerar

= 22/7)

Rpta.

Rpta.

4. Hallar “R” siendo A0B un Sector Circular

Rpta.

5. Encontrar el radio de una circunferencia tal que un arco de 15 m de longitud, subtiende un ángulo central de 3 rad.

7. Hallar el Área del Sector Circular A0B


23 24


Rpta.

6. Hallar el Área del Sector Circular A0B

Rpta.

Rpta.

8. Hallar “S” si A0B es un Sector Circular

Rpta.

9. Calcular la longitud de un arco en una circunferencia cuyo radio mide 20 cm y el ángulo central que subtiende mide 90g.

Rpta.

10.Si A0B y C0D son Sectores Circulares. Hallar: L1 + L2 + L3

13.Siendo “0” centro de la

circunferencia. Hallar “S1 +

S2”

Rpta.

11.En la figura mostrada calcular el valor del radio del sector A0B, sabiendo que: L = 2cm

Rpta.

12.Hallar “L” sabiendo que A0D es un Sector Circular:

Rpta.

Rpta.

14.En el esquema mostrado

COD es un Sector Circular.

Determine el área de la

región sombreada.

Rpta.

15.De la figura mostrada, hallar

“X”, si = rad.

A0B es un Sector Circular

16.Del gráfico. Hallar el área sombreada. Si AC = 4, EDA y C0B son Sectores Circulares


2526


Rpta. Rpta.

“No dejes para mañana, lo que puedas hacer hoy"


1. Determine el valor del radio del Sector Circular A0B

3. Hallar el área del Sector Circular A0B

A) 2m B) 4m C) 5mD) 7m E) 6m

2. Hallar “L”, siendo A0B un Sector Circular

A) 21 B) 22 C) 20D) 31 E) 41

A) 15m2 B) 12m2 C) 30m2

D) 20m2 E) 10m2

4. Determine el valor de “L1 + L2 + L3”, si A0B y C0D son Sectores Circulares

A) B) 5 C) 10D) 14 E) 16

5. De la figura mostrada, calcular el valor del radio el Sector Circular A0B, sabiendo que L = 8 cm.

7. Siendo “0 centro de la circunferencia hallar “S1 + S2”


27 28


A) 30cm B) 35cm

C) 40cm

D) 48cm E) 52cm

6. Hallar “L”, sabiendo que A0D es un Sector Circular

A) 4 B) 7 C) 10D) 5 E) 3

A) B) C)

D) E)

8. Determine el área de la región sombreada, siendo A0B Sector Circular

A) 2,52 B) 3,22 C) 2,552

D) 2,252 E) 1,52

9. En el Sector Circular A0B.

Hallar “2x” si: = rad.

10.Siendo A0B un Sector Circular, determine el valor de “S”

A) 39l B) 7l C) 27lD) 19l E) 32l

A) 22 B) 62 C) 42

D) 72 E) 52

CLAVES

1. C

2. B

3. A

4. E

5. D

6. C

7. A

8. D

9. A

10.B


29 30


¿SABÍAS QUÉ...

CURVAS

Nuestros conocimientos de las curvas geométricas provienen de la matemática egipcia Hipacia (370–415 d.C.), quien desarrolló los estudios de Apolonio (262–190 a.C.). Hipacia obtuvo curvas, como la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola, a partir de secciones de un cono realizadas a distintos ángulos. Este procedimiento se llama de las secciones cónicas.

Otra forma de generar curvas geométricas es trazar el recorrido de un punto que se mueve en ciertas condiciones. Por ejemplo, al trazar la trayectoria de un punto móvil que está siempre a igual distancia de otro punto fijo, puede formarse una circunferencia.

TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS AGUDOS

TRIÁNGULO RECTÁNGULOSe llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus

ángulos es recto (90º), además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.

En la figura mostrada:

c : hipotenusaa b : catetos : son ángulos agudos

Además en el triángulo rectángulo se cumple: Los ángulos agudos suman 90º

. + = 90º .

Teorema de Pitágoras

. a2 + b2 = c2 .

La hipotenusa siempre es mayor que los catetos

. c > a b .

RAZÓN TRIGONOMÉTRICALa razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo

rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo.


3132


Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de del modo siguiente:

Ejemplo:Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo agudo en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.

Resolución

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:(8)2 + (15)2 = x2

289 = x2

x = 17

Luego

Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º Y 53ºLas razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.

De los triángulos anteriores se obtiene:

ÁnguloR.T.

30º 37º 45º 53º 60º

sen


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34


cos

tg 1

ctg 1

sec 2

csc 2

OBSERVACIÓN:LOS VALORES DE LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura.

Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que:

Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que:

Luego:

Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos para calcularlo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCASSiendo un ángulo agudo se cumple:

Ejemplo:

Si

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su sima es un ángulo recto.


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36


En la figura se muestra: y : Son ángulos complementarios ( + = 90º)

Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como y al ángulo opuesto al cateto a como en consecuencia:

;

;

;

Debido a estas relaciones las razones: seno y coseno tangente y cotangente secante y cosecante

Se llaman co–razones trigonométricas una de la otraEjemplos:sen40º = cos50º sec20º = csc70ºtg80º = ctg10º ctg3º = tg87ºcos62º = sen28º csc24º = sec66º

Ejercicio:si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º < < 24º, halle

Resolución

Por lo anterior se tiene:(40º + ) + (10º + ) = 90º 2 = 40º

= 20º

OBSERVACIÓN:RECORDEMOS QUE EN LOS VÉRTICES DE LOS TRIÁNGULOS SIEMPRE SE COLOCAN LETRAS MAYÚSCULAS Y A LOS LADOS QUE SE OPONEN SE COLOCAN SUS RESPECTIVAS LETRAS MINÚSCULAS POR DECIR: SI EN UNO DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO COLOCAMOS LA LETRA “A”, EN SU LADO OPUESTO COLOCAREMOS SU MINÚSCULA “A”.


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38



1. Hallar las 6 Razones Trigonométricas del ángulo “A” de un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”. Sabiendo que: a = 6; c = 8

Rpta.

2. Hallar las 6 Razones Trigonométricas del ángulo “C” de un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”. Sabiendo que: a = 5; c = 13

Rpta.

3. Si se cumple que:tg(2x + 5) . ctg 21 = 1.Hallar el valor de “x”

Rpta.

4. Sisen(15x – 31) . csc(3x – 25º) = 1.Hallar el valor de “x”

Rpta.

5. Si cos

.

Hallar el valor de Sen (a + 14º)

Rpta.

6. Siendo:ctg( + 10º) = tg( + 40º).Hallar “”

Rpta.

7. Si sen(2 + 10) = cos ( + 50º).Hallar tg(3)

Rpta.

8. Si sec( + 40) = csc( + 20º).Hallar sen(35º + )

Rpta.

9. Si sen = .

Hallar ctg

Rpta.10.Dado: 13.Calcular “E”. Sabiendo que:

E = sen230 + tg260 + tg445º

Hallar: 4cos

Rpta.

11.Si sen = 0,333...Hallar “M”,M = sec + tg

Rpta.

12.En la figura, calcular tg

Rpta.

Rpta.

14.Hallar “x”, siendo:ctg4x60º = sec445º . tg37º

Rpta.

15.Calcular “x”.

Si: sen(2x–70º) = .

(“x” es agudo)

Rpta.

“La enseñanza se debiera impartir de modo que lo que ofrece se percibiera como un regalo valioso y no como un duro deber”

ALBERT EINSTEIN


1. Siendo el triángulo rectángulo ABC recto en “B”, además: a = 1; c = 4.Hallar “ ”

5. Si: sec(x + 10º) = csc40º.Hallar tg(5º + x)

A) 5 B) 1 C) 2D) 3 E) 4


39 40


A) 1 B) 3 C) 4D) 5 E) 7

2. Si 4sen = 3.Hallar “csc”

A) 1/4 B) 4/3 C) 1/2D) 2/3 E) 3/5

3. Si tg(xº + 20º) x ctg50º = 1.Hallar “x”

A) 30 B) 40 C) 50D) 25 E) 37

4. Si cos42º = .

Hallar ctg2(x + 3)

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

6. Si sen= .

Hallar . ctg

A) 1 B) 2 C) 3D) 6 E) 12

7. Si sen = .

Calcular: E = sec + tg

A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

8. Calcular:E = sen245º . tg45º . tg 37º

A) 1 B) 4/3 C) 3/4D) 5/2 E) 3/8

9. Hallar “x”.

Siendo:

A) –1 B) –2 C) 1D) 2 E) 3

10.Calcular “x” (agudo)

Si cos(2x – 50) =

A) 30º B) 60º C) 40ºD) 70º E) 28º

CLAVES

1. C

2. B

3. A

4. C

5. B

6. E

7. C

8. E

9. B

10.C

“Nuestros escolares reciben una sólida formación académica”


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42


PROFUNDIZANDO CONOCIMIENTOS

ESTUDIO DEL TRIÁNGULO PITAGÓRICO

Todo triángulo pitagórico tiene sus lados expresados por números enteros positivos. Dichos lados tiene la siguiente forma:

Siendo: “m” y “n” números enteros positivos.

Además . m > n .

OBSERVACIÓN:SI ELEGIMOS VALORES DE “M” Y “N” (NÚMEROS PRIMOS ENTEROS ENTRE SÍ) TAL QUE (M + N) RESULTE UN NÚMERO IMPAR, SE OBTIENEN TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS TAMBIÉN SON NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ.

EJEMPLO: CUANDO: M = 5 Y N = 2 EJEMPLO: CUANDO: M = 8 Y N = 3

OBSERVACIÓN:CUANDO LOS VALORES DE “M” Y “N” (NO SON PRIMOS ENTRE SÍ) O CUYA SUMA DE M Y N SEA UN NÚMERO PAR SE OBTIENE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS ESTÁ EXPRESADA POR NÚMEROS QUE TIENEN UN DIVISOR COMÚN.

EJEMPLO: CUANDO: M = 4 Y N = 2

EJEMPLO: CUANDO: M = 7 Y N = 3

CASO PARTICULAR:CUANDO SE TIENE DOS NÚMEROS ENTEROS (M Y N), PERO CONSECUTIVOS, ENTONCES SE CUMPLIRÁ:

Y ; SIENDO: K = # IMPAR.

Luego:

EJEMPLO: CUANDO: K = 5 EJEMPLO: CUANDO: K = 11

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES O NOTABLES

Razones Trigonométricas del Ángulo de 45º


43 44


Sean los catetos del triángulo rectángulo ABC:

. AB = BC = L .Por el teorema de Pitágoras:

AC2 = AB2 + BC2

AC2 = L2 + L2 = 2 L2

AC = =

. AC = L .

Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º

sen 45º = csc 45º =

cos 45º = sec 45º =

tg 45º = ctg 45º =

Razones Trigonométricas del Ángulo de 30º y 60º

Para hallar las razones trigonométricas de 30º y 60º, construimos un triángulo equilátero, veamos:

En el triángulo rectángulo BHC; calculamos BH, por el teorema de Pitágoras

BC2 = BH2 + HC2

L2 = BH2 +

L2 = BH2 + L2 – = BH2 = BH2

= BH . .

Luego calculamos las razones trigonométricas de 30º y 60º en el BHC.


sen 37º = . . sen 53º =

cos 37º = . . cos 53º =

tg 37º = . . tg 53º =


45 46


ctg 37º = . . ctg 53º =

sec 37º = . . sec 53º =

csc 37º = . . csc 53º =


sen 16º = . . sen 74º =

cos 16º = . . cos 74º =

tg 16º = . . tg 74º =

ctg 16º = . . ctg 74º =

sec 16º = . . sec 74º =

csc 16º = . . csc 74º =

Razones Trigonométricas de 15 y 75º

Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 15º y 75º tomamos como referencia el triángulo rectángulo notable de 30º y 60º, luego

prolongamos (como se muestra en la figura), hasta obtener un isósceles EBC, siendo: EB = BC = 2.

En el triángulo rectángulo EAC: Calculamos el valor de “x” por medio del teorema de Pitágoras:

. EC2 = EA2 + AC2 .

Aplicamos radicales dobles

. .

Luego, calculamos las razones trigonométricas de 15º y 75º


47 48


Razones Trigonométricas de 22º30’ y 67º30’

Para hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 22º30’ y 67º 30’ tomamos como referencia el triángulo rectángulo notable de 45º, luego procedemos de igual manera que el caso anterior.

En el triángulo rectángulo EBA: Calculamos el valor de “x” por medio del teorema de Pitágoras

EA2 = EB2 + BA2

x2 = + (1)2

x2 = 2+2 + 1 + 1 = 4 + 2 = 2

Luego, calculamos las razones trigonométricas

sen 22º30’ = = . . sen 67º30’=

cos 22º30’ = = . . cos 67º30’=

tg 22º30’ = = . . tg 67º30’=

ctg 22º30’ = = . . ctg 67º30’=

sec 22º30’ = = . . sec 67º30’=

csc 22º30’ = . . csc 67º30’=

OBSERVACIÓN:HACIENDO USO DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, TAMBIÉN PODEMOS CALCULAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UNO DE SUS DOS ÁNGULOS AGUDOS, VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:

Ejemplos:1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”), donde a = 8 y b =

15. Calcular: “ ”

ResoluciónEn el triangulo rectángulo BCA: Calculamos AB por medio del teorema de Pitágoras:

AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 82 + 152 = 64 + 225AB2 = 289 AB = . AB = 17 .

Luego en el triángulo rectángulo DCB: Calculamos: “ ”


49 50


. .

2. Haciendo uso del triángulo notable 16º y 74º. Calcular “tg 8”En el triángulo rectángulo BCP

. .

CASOS DE RACIONALIZACIÓN QUE DEBE TENERSE EN CUENTA

1er Caso: Denominador Monomio

Para racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho denominador un monomio, se multiplican los dos términos de la fracción por el radical del mismo índice que el del denominador, y que multiplicador por el radical que se desea eliminar y de como producto una cantidad racional.

Ejemplos:

a.

b.

c.

. .Esta fórmula sólo se cumple, cuando el denominador es raíz cuadrada.

2do Caso: Denominador BinomioPara racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho denominador un binomio de la forma: se multiplican los dos

términos de la fracción por la expresión conjugada del denominador y luego se simplifican los resultados.

Ejemplos:

a.

b.


51

52


c.

. ; .

¡¡¡UNA EDUCACIÓN AL MAS ALTO NIVEL!!!


1. Reducir:

A) B) C) 2

D) E)

2. Racionalizar:

A) B)

C) D)

E)

3. Luego de racionalizar:

Dar el denominador

A) 2 B) 3 C) 6D) 9 E) 18

4. Hallar el valor equivalente de:

A) B)

C) D)

E)

5. Dar racionalizar lo siguiente

A) B) C)

D) E)

6. Luego de racionalizar y reducir:

El denominador resulta:

A) 5 B) 6 C) 30D) 3 E) 1

7. Racionalizar: 10.Racionalizando:


53 54


A) B) C) 2D) 0 E) –2

8. Hallar el equivalente, con denominador racionalizado, de:

A) B) C)

D) E)

9. Calcular:

A) 1 B) 2 C) 0D) –1 E) –2

Resulta una cantidad negativa cuyo denominador es:

A) 29 B) 39 C) 49D) 59 E) 69

11.Señalar el factor racionalizante de:

A) B)

C) D)

E)

12.Si:

;

13.Proporcionar el equivalente de:

Dar el valor de: E = a3b – ab3

A) B)C) D)E)

A) B)C) D)E)

CLAVES

1. B

2. C

3. E

4. D

5. B

6. B

7. E

8. C

9. C

10.C

11.C

12.A

13.A


55 56


¿SABÍAS QUÉ...

PITÁGORAS (580 A.C. – 500 A.C.)

Las ideas del matemático y filósofo griego Pitágoras contribuyeron al desarrollo de las matemáticas modernas y de la filosofía occidental. Su objetivo era explicar todos los fenómenos naturales en términos matemáticos.

Pitágoras es conocido especialmente por su fórmula acerca de las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo. Sin embargo, otros muchos conceptos y anotaciones (como las progresiones aritméticas y geométricas y los números cuadrados) fundamentales para las modernas matemáticas están basados en las ideas pitagóricas.

Tanto él como sus seguidores descubrieron las matemáticas de los armónicos que forman la base de la música occidental.

TEMA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión “Resolver un triángulo” significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo.

En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da:I. Las longitudes de dos lados.II. La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo.

1. Conociendo las longitudes de los lados:Ejemplo:Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2 respectivamente.

Resolución Para calcular x, aplicamos el teorema de Pitágoras:

(1)2 + (2)2 = x2 x2 = 5 x =

Para determinar la medida del ángulo , calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2.

Por decir: tg = = 26º30’ (aproximadamente)

como: + = 90º = 63º30’Con la cual el triángulo rectángulo queda resuelto.

2.A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo

agudoincógnitas x, y


57 58


Cálculo de x:

= cos x = a cos

Cálculo de y:

= sen y = a sen

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

Conclusión:

B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ánguloincógnitas x, y

Cálculo de x:

= ctg x = a ctg

Cálculo de y:

= csc y = a csc

En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90º – .

CONCLUSIÓN:

C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ánguloAnálogamente a los triángulos rectángulos anteriores

Ejemplos:

Aplicaciones

1. Un topógrafo puede medir el ancho de un río emplazando su tránsito en un punto C en un borde del río y visualizando un punto


59

60


A situado en el otro borde. Después de girar un ángulo de 90º en C, se desplaza 200 m hacia el punto B, aquí mide el ángulo y encuentra que es de 20º. ¿Cuál es el ancho del río?

Resolución

Buscamos la longitud del lado b, conocemos a y , por lo que

usamos la relación tg =

Reemplazando:

b = 200tg20º el ancho del río es (200 tg20º) m

2. Una cometa se queda atascada en la rama más alta de un árbol, si la cuerda de la cometa mide 12 m y forma un ángulo de 22º con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre la cometa y el suelo (sen22º = 0,374)

ResoluciónGraficando, tenemos por condición al problema

Sea h la altura a la cual se encuentra la cometa, a partir de la figura vemos que:

= sen22º

h = 12 sen 22º h = 12(0,374) = 4,488 h = 4,488 m

ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR (S)El área de cualquier región triangular está dado por el semi

producto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados.Así tenemos:

Del gráfico:

Demostración:

Por geometría S, se calcula así

(h: altura relativa del lado b

En el triángulo rectángulo sombreado se tiene por resolución de triángulo que:h = a sen

Luego:

; (ba = ab) ab sen


61

62


Ejemplo:

Calcular el área de la región triangular ABC, sabiendo que AB = 5 cm; Ac = 6 cm y el ángulo comprendido entre dichos lados es igual a 37º

Resolución

Graficando tenemos

Nos piden: S

De la figura: (5cm) (6cm) sen 37º

(5cm) (6cm)

S = 9 cm2

OBSERVACIÓN:A) EN TRIGONOMETRÍA, LOS OPERADORES NO TIENEN SIGNIFICADO POR

SÍ SOLO, NI TAMPOCO PUEDE REALIZAR OPERACIONES ALGEBRAICAS CON ELLAS, DE MANERA QUE, ES ABSURDO, CONSIDERAR LAS OPERACIONES

(ABSURDO) ;

B) SE HA DEMOSTRADO QUE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SON NÚMEROS, LUEGO CON ELLOS SE PUEDE OPERAR ASÍ:

I) 5 SEC – 2 SEC + 2 SEC = 4 SEC

II)

= 3 COS + 2

C) TENGA CUIDADO CON LA EQUIVALENCIA SENNX = (SENX)N; LA PRIMERA SE UTILIZA CONTINUAMENTE PERO LA SEGUNDA NO; PORQUE CORRE EL RIESGO DE CONCLUIR QUE:

(SENX)N = SENNXN Y ESTO ES INCORRECTO

EN LA ANTENA SE PUEDE OBSERVAR LA APLICACIÓN DE ÁNGULOS VERTICALES


1. Hallar “x” 4. Hallar “x” en función de “m y ”


6364


Rpta. 5

2. Hallar “x” en función de “m y ”

Rpta. msen . tg


Rpta. m(ctg - tg)

Rpta. mcos . csc


Rpta. msen . sec

6. Hallar “x” en función de m, y

Rpta. mtg . tg7. Hallar “sen” 9. Hallar csc

Rpta. 2/3

8. Hallar en función de “m y ”

Rpta. mtg . sec

Rpta. 3/2

10.Hallar x

Rpta. msen . sec

11.Si sen = 0,3. Hallar x

Rpta. 1,2

12.Siendo cos = 0,25.Hallar “x”

15.Hallar el valor de “x”. Si:sen = 0,6 ctg = 2


6566


Rpta. 1,25

13.Siendo: sen = 0,2 tg = 3.Hallar “x”

Rpta. 2,4

14.Siendo: cos = 0,1 ctg = 2.Hallar “x”

Rpta. 1

Rpta. 10

16.Hallar “x”

Rpta. 28

17.Hallar “x”

Rpta.

18.Calcular “tg”

Rpta. 2/7

EUCLIDES (300 A.C.)

EL MATEMÁTICO GRIEGO Euclides trabajó en Alejandría (Egipto) hace 2.300 años. A pesar de que no se conocen muchos detalles de su vida, su obra más importante, Los elementos, ha perdurado traducida. Esta serie de 13 libros contiene principios geométricos y aritméticos y teoremas que constituyeron la base de las matemáticas durante más de 2.000 años.

Sin embargo, durante el inicio del siglo XIX varios matemáticos habían probado que el postulado paralelo de Euclides, que sostiene que las líneas paralelas nunca se encuentran, no es siempre verdad. Que lo sea depende de cómo interpretemos el resto de sus principios. El desarrollo de las formas de geometría no euclidianas transformaron las matemáticas, la física y la filosofía.


1. Hallar “x”Si: sen = 0,2

3. Hallar “x”


67 68


A) 1 B) 2 C) 3D) 1,5 E) 2,5

2. Hallar “x”Si: sec = 2

A) 11 B) 13 C) 7D) 9 E) 14

A) 1/ B) 2 C) 2/D) /2 E) 1/2

4. Hallar “sen”

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/16D) 1/3 E) 1/5

5. Hallar 7. Hallar “x”.Si: sen = 0,3333...... tg = 2

A) 13 B) 14 C) 15D) 16 E) 17

6. Hallar “x”

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 7

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

8. Hallar el valor de “x”Si: cos = 0,25 ctg = 3

A) 7,25 B) 4,15 C) 225D) 1,25 E) 5,25

9. Hallar “x”. Si. = 53º

A) 8,75 B) 2,25 C) 5,25D) 6,75 E) 2,75

10.Hallar el valor de “x”.Si: cos = 0,8 ctg = 2

12.Hallar “x”.


69 70


A) 10 B) 5,6 C) 8,4D) 14 E) 70

11.Hallar “x”

A) 66 B) 56 C) 32D) 70 E) 24

A) 45 B) 17 C) 19D) 56 E) 32

13.Calcular tg

A) 3/4 B) 2/5 C) 3/10D) 11/5 E) 3/7

CLAVES

1. A

2. E

8. E

9. A

3. D

4. B

5. C

6. D

7. B

10.D

11.B

12.D

13.C



71 72


¿SABÍAS QUÉ...

KARL GAUSS (1777 – 1855)

El matemático, astrónomo y físico alemán Karl Gauss desarrolló una brillante carrera, a pesar de las tragedias de su vida personal. Realizó importantes aportaciones a muchas disciplinas, además de realizar un estudio sobre el campo magnético de la Tierra y desarrollar nuevos métodos para calcular las órbitas de los cuerpos celestes. En las matemáticas es donde ha tenido mayor influencia, en campos tan diversos como la teoría de números y la geometría. Al desarrollar la idea de los números complejos, estableció el teorema fundamental del álgebra. Se interesó en especial por la geodesia (encontrar las distancias inferiores entre puntos de superficies curvas), y se refirió a la existencia de una geometría no euclídea.

TEMA: ÁNGULOS VERTICALES

INTRODUCCIÓN

Debido a que en nuestra vida cotidiana indicamos la posición de los objetos dando referencias que nos permitan la mayor precisión para ubicarlos, en el presente tema definiremos en un mismo plano al observador y al objeto en observación. Así como también ángulos que nos permitan visualizar determinado punto del objeto en consideración.

A continuación enunciaremos algunos puntos que consideramos importantes para el desarrollo del tema:

Línea Vertical: Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada.

Línea Horizontal: Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.

Plano Vertical: es el que contiene a toda la línea vertical.

Línea Visual: Llamada también línea de mira, es aquella línea recta imaginaria que une el ojo del observador con el objeto a observarse.

ÁNGULOS VERTICALESSon aquellos ángulos contenidos en un plano vertical formados

por la línea de mira (o visual) y la línea horizontal. Que parten de la vista del observador.

Los ángulos verticales pueden ser:

Ángulos de ElevaciónEs el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira

cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal.


73

74


: Ángulo de observación

Ángulos de DepresiónEs aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira

cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

: Ángulo de depresión

OBSERVACIÓN:AL ÁNGULO FORMADO POR DOS LÍNEAS DE MIRA SE DENOMINA ÁNGULO DE OBSERVACIÓN O DE VISIBILIDAD.

: ÁNGULO DE OBSERVACIÓN


1. A 150m de la base de una 4. Una persona de 2 m de

torre se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 53º calcular la altura de la torre

Rpta. 200m

2. Desde un punto “A” situado a 30 m del pie de un edificio, se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 30º. Calcular la distancia del punto A hacia la parte superior.

Rpta. m

3. Una persona de metros de altura observa la parte superior de una torre de de altura, con un ángulo de elevación de 60º. ¿Cuánto tendrá que retroceder para que el nuevo ángulo de elevación mida 30º?

Rpta. 8m

estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 30º y la parte superior con un ángulo de elevación de 60º. Calcular la altura del poste.

Rpta. 8m

5. Desde la parte superior de una torre se observan dos piedras en el suelo con ángulos de depresión de 37º y 53º si la altura de la torre es de 12m y las piedras están en línea recta y a un mismo lado de la base de la torre, calcular la distancia entre las piedras.

Rpta. 7m

6. Una antena de radio está sobre la azotea de un edificio. Desde un punto a 12 m de distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación a la punta de la antena y a la parte superior del edificio son 53º y 37º respectivamente. Calcular la altura de la antena

Rpta. 7m7. Una bandera está sobre la

azotea de un edificio. Desde un punto de la superficie, se observa la parte superior del edificio y la punta de la bandera con los ángulos de elevación 47º y 68º

10.Un niño ubicado a 40m del pie del árbol, observa la parte superior con un ángulo de elevación de 45º y la copa del árbol, con un ángulo de observación de 8. determinar la longitud de la copa de


75

76


respectivamente. Determinar el ángulo de visibilidad.

Rpta. 21º

8. Desde lo alto de un faro de 60m de altura, se observa un bote con un ángulo de depresión de 37º. Si el bote recorre linealmente 35m hacia la torre. ¿Cuál es el nuevo ángulo de elevación?

Rpta. 53º

9. Un alumno camina del pie del colegio 10m y observa lo alto del edificio (colegio) con un ángulo de elevación de 37º. Determinar la altura del edificio.

Rpta. 7,5m

dicho árbol.

Rpta. 10 m

11.Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 15º acercándose 36m hacia el edificio, el nuevo ángulo de elevación es el doble del anterior. Calcular la altura del edificio

Rpta. 18 m

12.Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación “” acercándose 5m hacia el poste el nuevo ángulo de elevación es el complemento de “”. Si el poste mide 6m, calcular “Tg”

Rpta. 2/3

13.Desde la base y la parte superior de una torres se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 60º y 30º respectivamente. Si la torre mide 24m; entonces la altura del edificio es:

Rpta. 36m

15.Desde un punto en el suelo, situado entre dos muros de 3 y 4 metros se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 30º y 60º respectivamente. Calcular la distancia entre los puntos más altos de los muros.

Rpta. 10

14.Dos ciudades A y B se encuentran separados por un camino recto, que mide

km; desde un avión que vuela la línea que separa ambas ciudades, se les observa con ángulos de depresión de 30º y 45º. ¿A que altura es´ta volando el avión?

Rpta. 2 km



1. A 12m de la base de una torre se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 45º. Calcular la altura de la torre.

A) 11m B) 12m C) 13mD) 10m E) 5m

2. Desde un punto “M” situado a 36 m del pie de un edificio, se observa su parte superior

4. Una persona de 1,5 m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 37º y la parte superior con un ángulo de elevación de 45º. Calcular la altura del poste.

A) 1m B) 1,5 C) 3mD) 3,5m E) 4m


77

76

78


con un ángulo de elevación de 37º. Calcular la distancia del punto “M” hacia la parte superior

A) 27m B) 30m C) 39mD) 45m E) 51m

3. Una niña de metros de altura observa la parte superior de una torre de de altura, con un ángulo de elevación de 60º ¿Cuánto tendría que retroceder para que el nuevo ángulo de elevación mida 30º?

A) 10m B) 11m C) 12mD) 13m E) 15m

5. Una antena de telecomunicaciones, está sobre un edificio. Desde un punto a 16m de distancia de la base del edificio, los ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior del edificio son 45º y 37º respectivamente. Calcular la altura de la antena.

A) 4m B) 2m C) 5mD) 3m E) 7m

6. Desde lo alto de un faro de 12m de altura se observa un bote con un ángulo de depresión de 37º. Si el bote recorre linealmente 4m hacia la torre ¿Cuál es el nuevo ángulo de elevación para ver lo alto del faro?

A) 30º B) 37º C) 45ºD) 53º E) 60º

7. Una mujer está sobre una peña. Desde un punto de la superficie se observa la parte

8. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de º. Acercándose 5m hacia el poste, el nuevo ángulo de elevación es 2. Si el poste mide 4m. Calcular la “tg”

A) 1/2 B) 2 C) 1D) 3 E) 4/5

9. Desde la base y la pare superior de una torre se observa la parte superior de un edificio con ángulos de elevación de 53º y 45º respectivamente. Si la torre mide 7m. Hallar la altura del

superior de la peña y la parte más alta de la mujer con ángulos de elevación de 17º y 25º respectivamente. Determinar el ángulo de visibilidad.

A) 10º B) 9º C) 11ºD) 7º E) 8º

edificio.

A) 12m B) 24m C) 7mD) 28m E) 21m

10.Desde un punto en el suelo, situado entre dos muros, de 6 y 8 m de altura, se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 37º y 53º respectivamente. Calcular la distancia entre los puntos más altos de los muros

A) 5 B) 10 C) 15D)6 E) 8

.

CLAVES

1. B

2. D

3. C

4. D

5. A

6. C

7. E

8. A

9. D

10.B


79

80


“Buscamos que a nuestros alumnos les guste la investigación y el amor a conocer más, teniendo en cuenta primero conocer el ambiente que los rodea, nuestra naturaleza y geografía; así como nuestras raíces y nuestro país en general”

ÍNDICE

PÁG.

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA.............................................................. 7

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR................................................................. 11

SECTOR CIRCULAR................................................................................. 19

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS..................................... 30

PROFUNDIZANDO CONOCIMIENTOS.................................................. 41

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.............................................. 56

ÁNGULOS VERTICALES............................................................................ 72


TRIGONOMTRIA 3S

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