T_S1_Sistemas Convencionales de Medición Angular - Sector Circular

1131

TEMATRIGONOMETRÍASAN MARCOS REGULAR 2009 - III

SISTEMAS CONVENCIONALES DEMEDICIÓN ANGULAR - SECTOR

CIRCULAR

TRIGONOMETRÍA - TEMA 1

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICOTomando como referencia un plano, el ángulo trigonométricoes aquella figura que se genera por rotación de un rayoalrededor de su origen, desde una posición inicial hasta unaposición final.

EXTENSIÓNSea θ la medida de un ángulo trigonométrico.

L.F

L.I

-

Todo ángulo trigonométrico es orientado, es decir,sus medidas pueden ser positivas o negativas.

Se incluyó en los exámenes de SAN MARCOS 2000, 2001, 2003 y 2008.

SISTEMAS CONVENCIONALES DE MEDICIÓN ANGULAR

- < <

SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLÉS)

Unidad: Grado sexagesimal (1°)

m 360

Equivalentes menores

1 60 ' 1' 60 '' 1º 3600''

Debes tener en cuenta:

a°b 'c ' ' <>a°+b '+c ' '

xg ym zs <> xg+ym+zs

Para realizar operaciones con ángulos trigonométricos,estos deberán estar en el mismo sentido.

Se cumple: ( ) 180

180

Iniciamos este último recorrido en tu preparación para elingreso a la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Enel capítulo sobre sistemas angulares, se resaltará laimportancia de la relación entre los sistemas sexagesimal,centesimal y radial, así como su aplicación en determinadassituaciones problemáticas.El capítulo sobre sector circular será dividido en longitud dearco y área de sector circular. Se debe tener presente que,en el año 2008, se incluyeron problemas sobre el tema en

habilidad numérica, lo que destaca la importancia del estudiode estos dos últimos capítulos.Para una visión clara del estudio de estos temas, señalaremossus objetivos:* Relacionar los sistemas convencionales de medición angular.* Indicar la forma de longitud de arco.* Reconocer las fórmulas para el cálculo de área de sector

circular.* Establecer estrategias para la resolución de situaciones

problemáticas.

SISTEMAS CONVENCIONALES DE MEDICIÓN ANGULAR - SECTOR CIRCULAR

114TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III1

TEMA 114

EQUIVALENCIA DE ÁNGULOS NOTABLES

180 rad

g200 rad

g9 10

FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN

I)S C R K

180 200

S= 180kC= 200kR= k

II)

RS C n90 10 20

S= 9nC= 10nR= n

20

III) Fórmula simplificada

S9

C10

=SC

Para situaciones problemáticas, por lo general, si seobservan los 3 números convencionales, es convenientela constante (k), y, si aparece solo S y C, es convenientela constante (n).

SISTEMA SEXAGESIMAL( FRANCÉS)Unidad: Grado centecimal (1g)

gm 400

Equivalentes Menores

g m1 100 m s1 100 g s1 10000

S I S T E M A R A D I A L - C I R C U L A R -I N T E R N A C I O N A LUnidad: Un radián (1 rad)

rr

r0 1 rad

El radián se define como la medida de un ángulo centralque subtiene un arco de igual longitud que el radio de lacircunferencia.

m 2 rad

El valor de ( ) no es exacto, es irracional.

Los valores aproximados son:

3,1416 227

3 2 10

Para las unidades en lossistemas convencionales.se cumple:

g1rad 1 1

SECTOR CIRCULAR

1. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Longitud de la circunferencia L 2 R

Área de círculo 2A R

2. LONGITUD DE ARCOSea θ la medida de un ángulo trigonométrico.

Fórmula básica

L R

0 2

L

R


115SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRÍA 1TEMA

115

En el sector circular, la medida del ángulo central siempredebe estar expresada en radianes; entonces, es importanterecordar:

grad 180 200

3. NÚMERO DE VUELTAS QUE GIRAUNA RUEDA SIN RESBALAR

r

LR

r

n: N.° de vueltas:L

n2 rR

LR: Longitud del recorrido

4. ÁREA DE SECTOR CIRCULAR

1 2S R2 1S LR

2

2LS2

5. ÁREA DE TRAPECIO CIRCULAR

L L1 2A dT 2

L L1 2

d 0 2

6. PROPIEDADES

I)

1rad

=

=

=

a

a

a L R 1rad

II)

B bn

III) S: Área

-- -

-

-

-

-

-

S 3S 5S 7S

IV) S: Área

K

Problema 1

Calcular:g11 rad 800M

360 rad

Observación:

Para efectuar operaciones en tres

medidas angulares, estas deben estar

expresadas en el mismo sistema. En

el caso del problema, si analizamos es

conveniente convertirlo a radianes.

Resolución:

g360 400 2 rad

11 rad 4 rad 15 radM2 rad rad 3 rad

Respuesta: 5

Problema 2

De la figura, calcula: 2

=

==



TEMA 116

NIVEL I1. Si se sabe (7x + 1)º < > 8xg,

Calcula la medida en radianes.

A) rad3

B) rad4

C) rad5

D) rad6

E) rad7

2. Calcula "x"

A)2 2a b

a B)

2 2a ba b

C) 2 2a

a bD)

2 2a – ba

E)2 2a – b

b

3. ¿Cuántos segundos sexagesimales

se deben agregar a 40g para

obtener rad4

?

A) 28600'' B) 32400''

C) 27400'' D) 34600''

E) 30000''

4. Del gráfico calcule el valor de , si

2 1S 2S .

A) 56

B) 34

C) 23

D) 45

E) 32

NIVEL II

5. Si

calcular "R".(S, C y R son lo convencional)

A) rad10

B) rad12

C) rad15

D) rad9

E) rad6

6. Si se cumple: a'' < > bm.

calcula:a .

10bA) 1,2 B) 1,4C) 1,6 D) 1,8E) 2,2

7. Calcula el valor de "L" en elsiguiente gráfico:

A) 3 B) 4C) 5 D) 6E) 7

8. Calcula: m g

S27' 5 20A –

2'' 9º50

A) 177 B) 178

C) 179 D) 180

E) 181

9 . S i S , C y R s o n l o c o n v e n c i o n a l p a r a

u n a m e d i d a a n g u l a r c a l c u l a l a

m e d i d a e n e l s i s t e m a c e n t e s i m a l .

Resolución:

Observación:Asignaremos variables (a) y (b) alos datos del problema y además:

L R

Reemplazando:

a b.......(I) b (a b)......(II)

Reemplazando:

(I) en (II) Factorizando (b)

b b( 1) 1 ( 1)

Respuesta: 2 + = 1

Problema 3

Calcula el área de la región sombrea-

da: R 24m .

Resolución:

R 24m

rad 2120 rad3180

Observación:Para calcular el área del sectorcircular, se deben tener dos datos.

Sabemos:1 2S R2

Reemp.: 1 2 2S ( 24)2 3

Respuesta: 8 m2


117SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRÍA 1TEMA

117

2180 200 1S C 2R C–S

A) 1 0

m B) 15m

C) 20m D) 25m

E) 3

10. Calcula la relación entre las áreas

S2/S1; si: OC: bisectriz AD 2OD .

A) 2 B) 4

C) 6 D) 8

E) 10

11. Calcula: R.

C – R S – R C S–10 9 10S

Si S, C y R son lo convencional para

una medida angular.

A) 11 rad B) 13 rad

C) 15 rad D) 17 rad

E) 19 rad

12. Si S, C y R son lo convencional para

una medida angular donde se

cumple:

3 3 3S C 20R 369 10

,

calcular:S CA 32 5

A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9

NIVEL III

13. De la figura 3S1 = 2S2,

calcula:OAOD

A) 10 B) 5

C) 1010

D) 55

E) 105

14. Observa el gráfico y calcula " ":

A) 2 – 1 B) 3 – 1C) 2 1 D) 4

E) 3 1

15. Si la raíz de la ecuación es 10,

calcula el valor de S si se sabe lo

siguiente:

2C–2S C S= –

2x+C–2S x–C x–S

(S y C son lo convencional).

A) 15 B) 14C) 13 D) 12E) 11

1. Completa:

rad3

______________

g50 ______________

18º ______________

2. De la figura: S: Área

S = ___________

S = ___________

S = ___________

3. Completa

I.C S – 3C–S

II. C S10R

4. De la figura:S: Área

Completa: S = ___________ ___________



TEMA 118

5. Completa:

rad8

___________

rad16

___________

6. Completa en el siguiente gráfico en términos de A:Área:

7. Señala las equivalencias:

9º ___________

27 ' ___________

81'' ___________

8. Completa:

x = _____________

x = _____________

9. Se sabe lo siguiente:

I. gxx 3 27º , entonces x = ___________

II. gx 8 º 2x , entonces x = ___________

10.De la figura: S: Área

S = ____________

S = ____________

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