Títol: Rutes matemàtiques a ValènciaIII. De la Ciutat de la Justícia a l’Oceanogràfic© Autors:Onofre Monzó del OlmoLuis Puig EspinosaTomàs Queralt Llopis© D'aquesta edició:Càtedra de Divulgació de la Ciència. Universitat de ValènciaI.S.B.N.: D.L.: Printed in SpainImprimeix: Imprenta Máñez, S.L.

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

Inicies ara un recorregut en grup pels carrers, places i parcs de València amb laintenció de veure i apreciar les matemàtiques que són presents per tot arreu.Posa’t en disposició de veure les matemàtiques del teu voltant, i endavant!

Què hi farem i com?

Instruccions i normes bàsiques

El més important: segueix les instruccions del monitor i dels teus professors. Elrecorregut té una durada aproximada de tres hores. Farem diverses parades.Actua amb precaució durant tota l’activitat.Hi ha preguntes i propostes que requeriran accions o respostes individuals; d’al-tres, en parelles o en grup. Hauràs de fer estimacions, mesures, observacions,dibuixos o esquemes, càlculs... i, fins i tot, algunes fotografies. Hi ha activitatsque hauràs de fer en un punt concret del recorregut i d’altres durant tot aquest;algunes activitats les hauràs de fer en el mateix moment, i d’altres, posteriorment,en classe. Observa especialment el mobiliari urbà (fanals, bancs, papereres,logotips, anuncis, etc.), la geometria del carrer i dels edificis (sòls, portes, reixes,façanes, etc.). Busca cossos i formes (cubs, cilindres, triangles, quadrilàters, còni-ques, espirals...) i propietats, com ara paral·lelisme i perpendicularitat, sime-tries...

Treballa i passa-t’ho ben bé!

3

4

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

DE LA CIUTAT DE LA JUSTÍCIA A L’OCEANOGRÀFIC

El recorregut

Començarem el recorregut a la Ciutat de la Justícia, passarem per davant del’Hemisfèric, continuarem per l’Umbracle, el Carrer Major del Museu “PríncipeFelipe” i acabarem a l’Oceanogràfic. Presta atenció quan faces els desplaça-ments d’una parada a un altra i segueix les indicacions dels monitors i del pro-fessorat.

5

Activitat per a tot el recorregut

Durant el recorregut observaràs la geometria que t’envolta. A més a més, tractade localitzar el lloc on s’han pres les fotos que apareixen a continuació, i indicaquines idees matemàtiques contenen.

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

6

CIUTAT DE LA JUSTÍCIA

Et trobes a la Ciutat de la Justícia de València, que acull l’Audiència Provincial,Fiscalies i Jutjats. Com veuràs es tracta d’una edificació recent de línies molt sen-zilles.

Pots identificar quin tipus de figures geomètriques han fet servir elsarquitectes al seu disseny?

7

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

Volem estimar el volum de la part del’edifici que té forma de paral·lelepí-pede, que es veu en la foto.

Què mesures del paral·lelepí-pede necessitem estimar perpoder estimar-ne el seuvolum?

Estima l’alçada, l’amplària i la llargà-ria d’aquest cos geomètric.

Si el que volem es mesurar les seuesdimensions, tens algun problema perdonar una aproximació d’alguna deles mesures? Alguna és inaccessible?

Distàncies inaccessibles

Abans de l’any 1600 la gent no dis-posava més que dels seus ulls i d’ulle-

res llarga vistes per veure l’Univers. Però, varen aconseguir tindre mesures pre-cises de la grandària dels objectes a la Terra, la grandària del planeta Terra i lesdistàncies a la Lluna i al Sol. A l’actualitat encara fem servir les tècniques desen-volupades a l’antiguitat per fer tot tipus de mesures, per navegar a la Terra, enl’aire o a l’espai.

Els conceptes matemàtics utilitzats per determinar aquestes distàncies són els decongruència i semblança de triangles.Dos triangles són congruents si un és còpia exacta de l’altre o, dit d’un altramanera,si un es pot superposar exactament a l’altre.Dos triangles són semblants si tenen la mateixa forma, però no necessàriamentla mateixa grandària.

8

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

Els triangles que són congruents també són semblants, però no tots els semblantssón congruents.

Les idees bàsiques de congruència i semblança les podem trobar desenvolupa-des sistemàticament en els Elements d’Euclides, llibre escrit al voltant de l’any300 a. C., i varen ser estudiades molt abans per Thales (624-547, a. C).

En la part de “Geometría Práctica” del seu Tratado Elemental de Matemáticas del’any 1847, el matemàtic espanyol José Mariano Vallejo proposava la figurasegüent

en la qual mostravacom utilitzar la refle-xió en un espill permesurar l’alçadad’una torre.

L’explicació del pro-cediment pots tro-bar-la en una pro-pietat dels triangles,que ja coneixiaThales.

El triangle ABC i el triangle AB'C' són semblants però no congruents, per laqual cosa:

el que té com a conseqüència:

9

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

Ara bé, aquest procidiment es pot utilitzar si el que volem és calcular l’alçadad’un objecte, B'C', i el seu peu, C', és accessible.Si el peu de l’objecte l’alçada del qual volem calcular no és accessible, no podemmesurar AC'; el que es pot fer aleshores està explicat a la figura següent:

Si sols coneixem el valord’a, ens cal mesurar elsangles a i b, i utilitzar:

Fes servir els espills, elsclinòmetres i el que creguesnecessari, a més de lesidees ja exposades, percalcular de forma aproxi-mada l’alçada de l’edificide la foto.

10

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

L’HEMISFÈRIC

Observa la foto: a que semblaque l’Hemisfèric es reflexa enun espill?Un espill és un objecte que, gràcies a la reflexió dels raigs de llum, permet veureimatges simètriques d’una cosa qualsevol col·locada al seu davant.

Espills

Un espill pla ens permet visualitzar correctament la simetria respecte del pla del’espill. Tot objecte col·locat davant de l’espill dóna una imatge, la qual té lesmateixes dimensions i forma que l’objecte i sembla estar tan allunyada per

darrera de l’espill com ho està l’objecteper davant d’ell.Precisament la inversió davant-darreracrea una imatge en què les posicionsdreta i esquerra estan invertides. Així, elbraç “dret” de la nostra imatge és, defet, el nostre braç “esquerre”.

Com podriem veure’ns tal com ens veuen els altres?

Si una figura és simètrica, existeix almenys una línia recta que la divideix en duesmeitats iguals, cadascuna de les quals és la imatge especular de l’altra. Aquestalínia s’anomena eix de simetria.

11

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

12

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

Quines de les lletres majúscules següents són simètriques?

A B C D E F G H I J K L M N

O P Q R S T U V W X Y Z

Dibuixa els seus eixos de simetria. Hi ha lletres amb més d’un eix desimetria?

El que una lletra tinga o no eixos de simetria depèn de la tipografia uti-litzada per representar la lletra. Per què?

L’alfabet anterior està escrit amb Futura. Aquí tens dos exemples més amb altrestipografies:

Amb Times New Roman:

A C D E I M NO T U V X Y

I amb Comercial Script:

AA CC DD EE II MM NNOO TT UU VV XX YY

Col·loca un espill al costat dret de cadaparaula, escrita en Futura, i mira el quesucceeix.

Per què AXIOMA es queda igual iREBECA s’inverteix?

MUSEU DE LESCIÈNCIES “PRÍNCIPE FELIPE”

Recreació artística dela molècula de DNA

Cap molècula en la històriaha aconseguit una posiciótan simbòlica com ho ha fetla doble hèlix del DNA. Laseua imatge eixida de laciència ha sigut utilitzada enl’art, la música, el cine l’ar-quitectura i la publicitat. ElDNA es presenta així comla “Mona Lisa” de la cièn-cia, un arquetip retratat iesculpit per nombrososartistes. La història ha deixat unesquantes superimatges queestimulen la nostra cons-

13

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

A RX EI BO EM CA A

ciència visual i que han transcendit del seu context original. De la mateixa mane-ra que la Mona Lisa, pintada per Leonardo da Vinci entorn l’any 1503, és unaimatge universal, copiada, i repetida, la doble hèlix del DNA, n’és un iconainsubstituïble com a representació de les ciències biològiques. Les dues imatgesevoquen idees que van més enllà dels seus respectius móns i contenen múltiplesassociacions. Al camp de la difusió d’imatges, especialment a través d’internet,la doble hèlix està començant a ser un ferm rival de la Mona Lisa. No obstant,hi ha una diferència evident: la Mona Lisa és producte de la mestria humana,n’és una creació de Leonardo, mentre que la doble hèlix del DNA és conse-qüència de l’anàlisi i la representació d’una gran molècula orgànica.

Des del punt de vista matemàtic les hèlixs són corbes que tenen per equacionsparamètriques:

I en coordenades cilíndriques:

Quan e= –1 L’hèlix va cap l’esquerra (levògira) i si e= +1 cap la dreta (destrò-gira)

14

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

Hèlix levògira Hèlix destrògira

Si observes el model estructural del DNA de la figura, la biologia ens diu que:

• Els dos brins estan enrotllatsun al voltant de l’altre formantun doble bri helicoïdal.

• Les dues cadenes de polinu-cleòtids es mantenen equidis-tants, alhora que s’enrotllenentorn d’un eix imaginari.

• L’esquelet sucre-fosfat (for-mat per una seqüència alter-nant de desoxirribosa i fosfat,units per enllaços fosfodiéster5'-3') segueix una trajectòriahelicoïdal en la part exteriorde la molècula.

• Les bases es dirigeixen desde cada cadena a l’eix centralimaginari. Les bases d’un bri estan enfrontades amb les de l’altra, formant elsanomenats parells de bases (PB). Les bases interaccionen entre si per mitjà deponts d’hidrogen. Les dues bases que formen un PB estan al mateix pla i tal plaés perpendicular a l’eix de l’hèlix.

• La doble hèlix és destrògira. Açò vol dir que si algú mira a l’eix de l’hèlix capavall, en qualsevol direcció, cadascú dels brins segueix una trajectòria en el sen-tit de les agulles del rellotge a l’allunyar-se de l’observador. L’hèlix presenta dostipus de solcs helicoïdals externs, uns són amples i profunds (solcs majors) i altressón estrets i poc profunds (solcs menors). Els dos tipus de solcs són prou ampliscom per a permetre que les molècules proteiques entren en contacte amb lesbases.

15

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

Des del punt de vista deles seues dimensions, unllarg bri d’àcid nucleicestà enrotllat al voltantd’un altre bri formant unparell entrellaçat, i l’hèlixmesura 3’4 nm de pas derosca i 2’37 nm de dià-metre, i està formada, encada volta, per 10’4parells de nucleótidsenfrontats entre si per lesseues bases nitrogenades.

Com ja sabràs nm és l’a-breviatura de nanòmetre, és dir la mil milionèsima part d’un metre.

Cal recordar que matemàticament la composició d’un gir i d’una translació devector paral·lel a l’eix de gir, el mòdul del qual coincideix amb el pas de rosca,s’anomena “moviment helicoïdal”

Compara la descripció matemàtica i biològica de la configuració delDNA amb la recreació artística i troba les diferències.

El Pèndol de Foucault

Et trobes davant d’una reproducció del pèndol que deu el seu nom al físic francèsJ. B. L. Foucault.

Aquest té una longitud de 30 metres i la seua massa és de 130 quilograms.Serveix per comprovar el gir de la Terra al voltant del seu eix, perque el pla d’os-cil·lació del pèndol roman invariable i, mentre, el sòl gira baix d’ell.

16

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

17

JEAN BERNARD LÉON FOUCAULT (1819-1868)

Físic francès, va nàixer el 19 de setembre de 1818 a París i va morir l’11 defebrer de 1868. Està considerat com el fundador de la moderna tècnica de cons-trucció dels grans telescopis. Foucault va treballar en la determinació de la velo-citat de la llum junt amb Armand Fizeau, i va demostrar que la velocitat de lallum en l’aire és superior que en l’aigua, però el seu nom n’és lligat sobre tot al’instrument amb què va posar de manifest la rotació terrestre: el pèndol deFoucault.

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

L’EXPERIMENT DE FOUCAULT

Es diu que l’invent del pèndol de Foucault és un productede la casualitat. Quan en 1848, Foucault treballava en elseu taller intentant adaptar una pesada barra metàl·lica aun torn, mentre era sostinguda per mitjà d’un cable d’a-cer, Foucault va reparar en una curiosa propietat. El con-junt del cable més la barra formava un pèndol, queoscil·lava en un pla vertical el qual romania invariable(aparentment invariable en intervals de temps d’uns

minuts). Foucault va observar que aquest pla es mantenia inclòs rotant el sistemade sustentació del cable, la qual cosa marcava una diferència entre el sistematerra i el sistema que girava amb el sistema de sustentació: per al primer es con-servava el pla d’oscil·lació del pèndol i per al segon, no.

L’experiència pareixia indicar que el pla d’oscil·lació només es conservaria pera sistemes de referència inercials, la qual cosa predeia que, atès que la terratambé gira (lentament), podria detectar-se el canvi del pla d’oscil·lació d’un pèn-dol respecte a la terra, si es proveeixen les condicions necessàries d’observació.Foucault va construir successivament dos pèndols: un de dos metres al seu talleri posteriorment un d’onze metres a l’Observatori de París, observant una rotacióen sentit horari del pla d’oscil·lació. Llavors, se li va encarregar la construcció dequelcom més espectacular per a l’Exposició Universal de París. En 1851,Foucault va muntar un pèndol de 67 metres al Panteó de París (també conegutcom a Església de Santa Genoveva). Va usar una bala de canó de 28 Kg a laque va soldar una fina punta metàl·lica. Va suspendre el pèndol de la cúpula iva escampar una capa de sorra al sòl, perquè la punta marquès la posició delpèndol. Va protegir amb una barana circular una zona d’uns cinc metres de dià-metre en què dur a terme les oscil·lacions, i va posar en marxa una sèrie dedemostracions públiques. En elles, el pèndol era separat de la posició inferior iretingut per mitjà d’una corda, que li impedia caure. Al començament de lademostració, s’encenia la corda, que quan s’havia cremat prou es trencava, ini-ciant l’oscil·lació del pèndol. Al cap d’uns minuts, es podia percebre el progres-siu engrossiment de la traça de la punta del pèndol sobre l’arena. Passades

18

hores, l’amplària del sector circular era d’unes desenes de graus.Si la superfície terrestre constituïra un sistema de referència inercial, llavors, atèsque la velocitat angular del pèndol esfèric seria nul·la, el moviment succeiria enun pla constant, romanent sobre una circumferència vertical oscil·lant com unpèndol simple. No obstant, es va observar que després d’unes poques hores, elstraços sobre l’arena evidenciaven un gir constant del pla d’oscil·lació, és a dir,un creixement continu del pla, observable després de poques hores de moviment.Aquest comportament era el predit suposant que la superfície terrestre girava iconstituïa un sistema no inercial.

Per saber un poc més sobre aquest pèndol, podem fixar-nos en el que diu la guiaque ha elaborat el museu:

L’OSCIL·LACIÓ DEL PÈNDOL SEGONS LA LATITUD

Suposem que col·loquem un pèndol sobre el Pol Nordi el posem a oscil·lar. A algú situat directament sobreel Pol, li pareix que el pèndol traça repetidament unarc en el mateix pla. Mentrestant, la Terra gira len-tament en sentit contrari al de les agulles del rellot-ge. Com gira entorn del seu eix cada 23’93 hores,per a un observador terrestre en el Pol, el pla delPèndol pareix experimentar un gir de 360° en eixetemps. En l’Equador, el pla del Pèndol no giraria i Foucaultno haguera pogut realitzar el seu experiment. En les latitudsintermèdies el període té valors intermedis. Així, a València (de latitud 39°29' N),el pla del Pèndol tarda 37 hores i 37 minuts a donar una volta completa. A Castelló(de latitud 39°59' N), aquest temps és de 37 hores i 16 minuts i a Alacant (38°20' N), 38 hores i 35 minuts.En general, es pot calcular el temps de gir del pla del Pèndol en un lloc dividint23’93 hores pel sinus de la latitud en tal lloc.

En la figura, w és la velocitat angular de la Terra, l és la latitud i v és la veloci-tat del pèndol.

19

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

w

l

lv

QUÈ MANTÉ AL PÈNDOL OSCIL·LANT?

L’atracció gravitatòria i un electroimant mantenen al Pèndol oscil·lant. La forçagravitatòria l’espenta cap a la part baixa de la seua trajectòria. No obstant, deno ser per l’electroimant, la resistència de l’aire i el fregament del cable el detin-drien.

Com el Pèndol de Foucault és pràcticament un pèndol simple de grans dimen-sions, la longitud del cable determina el seu període; és a dir, el temps que tardaa donar una oscil·lació completa. També depèn de l’acceleració de la gravetat,encara que és independent de la massa. La fórmula matemàtica que expressaaquestes relacions és:

Sent l la longitud i g l’acceleració de la gravetat. Aplicant aquesta expressió s’ob-té per al Pèndol del Museu un període d’aproximadament 11 segons.

Comprova si el període de la maqueta del museu es correspon a la quehem calculat teòricament.

Mesura l’alçada a la que està penjat el pèndol del museu.

Sostre del Museu de les Ciències “Príncipe Felipe”

Fixa’t en el sostre del museu.

Te’n recorda altres?

Per què creus que aquest tipus de construcció es fa servir sovint percobrir grans espais?

20

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

21

És el que es coneix per:

ESTRUCTURES DE BASE POLIÈDRICA

Aquest tipus d’estructura,inspirada en les superfíciespolièdriques, té en realitatun origen a l’àmbit de laBiologia: són per la qualcosa estructures biòniques.El seu inspirador va ser elprofessor de biologia ErnstHeinrich Haeckel nascut aPostdam (Alemanya), en 1929; aquest científic sentí curiositat pels Radiolaris queviuen a les profunditats marines (7.000 a 8.000 m.)

Aquests animals, d’una grandària inferior a un mil·límetre, tenen un esquelet desilici que conforma un disseny estructural adequat per resistir

les enormes pressions hidrostàtiques d’eixes profunditats.

Però no fou fins la dècada dels cinquanta a la quel’enginyer americà Richard Buckiminster Fuller, nas-cut en 1895, a Milton, Massachusetts, després d’unprocés evolutiu dins del món del disseny, estudiant els

dibuixos dels Radiolaris va considerar la possibilitatde dissenyar estructures molt lleugeres i que poden

cobrir grans espais.

Si construïm polígons amb un material paregut a les varetes del “mecano”, és adir amb forats per poder unir-les, resulta que les úniques que es queden fixes sónels triangles. Totes les demés es mouen, a no ser que peguem els vèrtexs.

Per què creus que sols les figures formades per triangles són indefor-mables?

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

L’OCEANOGRÀFIC

La Mediterrània

El sostre de la part dedicada a la Mediterrània és ben diferent del que hem vistal museu.Més bé sembla una tenda de campanya o la carpa d’un circ.Aquest tipus de construcció, encara que semble mentida, té a veure amb un jocal que tots, ben segur, hem jugat alguna vegada.

22

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

Bombolles de sabó: el problema de Plateau

L’art de fer bombolles de sabó és molt antic. Ja hi apareix a una gerra etrusca,que es conserva al Louvre de París, on es pot veure uns xiquets entretinguts fent-ne. Als nostres dies podem trobar per tot arreu joguines preparades per fer totesles bombolles que vulgam.Normalment l’estri que acompanya la joguina és un cercle. Però, si substituïm elcercle per un altre estri amb una forma geomètrica més complexa, ens aparei-xeran pel·lícules sabonoses de formes curioses i interessants.Aquestes es troben en equilibri estable, així doncs han de ser el que es denomi-na làmines de mínima energia potencial.En conseqüència, donat que l’energia poten-cial és proporcional a l’àrea, les superfíciesmatemàtiques que modelitzen les pel·lículessabonoses constituiran superfícies d’àreamínima o, com solen anomenar els matemà-tics, superfícies minimals. Una superfícieminimal es caracteritza per tindre menoràrea que qualsevol altra superfície amb lamateixa frontera.Una de les persones que es va dedicar aestudiar aquest tipus de superfícies, al segleXIX, va ser el físic Joseph Antonie FerdinandPlateau (1801-1883).Una de les observacions de Plateau té especial importància en matemàtiques:després de nombrosos experiments va observar que qualsevol contorn format perun sols filferro tancat, siga la que siga la seua forma (no massa gran), limitaalmenys una pel·lícula sabonosa.Es verificarà el corresponent enunciat pels models matemàtics de les pel·lículessabonoses, això és, per les superfícies minimals? Dit en altres paraules, sobrequalsevol corba a l’espai quedarà estesa almenys una superfície minimal?Aquesta qüestió purament matemàtica, és coneguda com problema de Plateau.La solució del corresponent problema físic és la pel·lícula sabonosa, la solució delproblema matemàtic té una dificultat molt superior.

23

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

SUPERFÍCIES MINIMALS:COBERTES I CARPES

Als últims cinquantaanys, les elegantsconstruccions de l’ar-quitecte Frei Otto i elsseus col·laboradorshan aconseguit unajustificada fama. Nosón construccions al’estil clàssic: recor-den més bé a les ten-des de campanya iles carpes dels circs. Per exemple, el pavelló alemany de la Fira Mundial deMontreal de 1967, la coberta de la piscina olímpica o de l’estadi olímpic deMunic (1972).

Otto Frei feia servir un fil finíssim, de l’espessor d’un cabell humà, fixat als extrems d’a-gulles o fines varetes, les quals, a la seua vegada, es fixen a una placa de metacrilat.Al submergir-les iextraure-les d’unasolució sabonosa, laconfiguració creada,la pel·lícula de sabó,tensarà els fils al bus-car una posició d’à-rea mínima. Fixant elsfils a agulles a dife-rents alçades, s’acon-segueixen carpesespectaculars.

També podem trobar aquest tipus de construcció a la zona dedicada a l’Antàrtic.

24

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

Les Zones Humides

Observa la gàbia gegant de les zones humides, impressionant!Sembla una esfera, però no ho és. Si t’acostes a prop veuràs que és una estructura pareguda a la del sostre delmuseu però més complexa.És el que coneixem per:

CÚPULES GEODÈSIQUES

És un tipus d’estructura de base polièdrica.Quan la superfície que es vol cobrir és molt gran, o per exigències de disseny esdesitja aquest tipus d’estructura, es fa servir la cúpula geodèsica. Aquesta va serestudiada i la va fer servir per primera vegada R. B. Fuller, que figura com el seuinventor.

25

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

Ja saps que una estructura formada pertriangles és indeformable.Per aquest motiu, una estructura, en prin-cipi, ha d’estar formada per triangles, si elque es desitja a més a més de que aguan-te, és que resulte econòmica.Una cúpula geodèsica és en realitat unatriangulació de la superfície esfèrica, peròaquesta triangulació no ha d’efectuar-sesense un ordre inicial, del contrari elsresultats d’eixa acció portaria a una formairrealitzable, és a dir cada barra tindriauna longitud i cada nus seria diferent de laresta.

Perquè això no succeïsca, el disseny es farà a partir de políedres que admetanuna esfera circumscrita. Els únics tipus de poliedres que n’admeten són els polie-dres regulars, o platònics, i els semiregulars, o arquimedians.Els poliedres regulars són els que tenen totes les carespolígons regulars iguals i tots els vèrtexs amb lamateixa configuració. Els poliedres semiregularssón els que tenen totes les cares polígons regu-lars i tots els vèrtexs amb la mateixa configura-ció. Un exemple de poliedre semiregular és elde la figura, format per hexàgons i pentàgonsregulars i que en tots els vèrtexs hi ha sempre lamateixa configuració: hexàgon, hexàgon, pentà-gon.

Quants políedres regulars existeixen? Per què?

Trobar tots els políedres Semiregulars arquimedians és un poc difícil.Investiga com trobar-ne algun. (Hi ha tretze, i alguns es poden aconse-guir truncant els vèrtexs dels regulars.)

26

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

L’edifici d’accés i el restaurant submarí

Tant a l’edifici d’accés com al restaurant submarí de l’Oceanogràfic s’han fet ser-vir unes superfícies, que els matemàtics anomenen quàdriques.

Una quàdrica és el lloc geomètric dels punts de l’espai que verifiquen una equa-ció de segon grau, és a dir, una equació del tipus:

Les quàdriques són, a l’espai, superfícies anàlogues doncs a les corbes que al

27

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

pla s’anomenen còniques (circumferència, paràbola, el·lipse, hipèrbola…), quetambé verifiquen una equació de segon grau, en aquest cas no més amb dosvariables:

Però les quàdriques que s’han fet servir en aquest cas tenen una característicaque les fa molt especials: quan pensem en superfícies corbades imaginem, engeneral, figures ben diferents de les rectes. Imaginem làmines que es dobleguena l’espai i que difícilment poden parèixer al recte. Moltes vegades no és possi-ble traçar cap línia recta sobre una superfície: el cas més senzill n’és l’esfera.Però, hi ha moltes superfícies corbades que estan constituïdes per infinites rectes,és a dir, superfícies en les quals per cada punt passa almenys una recta que hiestà continguda en la superfície.El matemàtic francès Gaspard Monge (1746-1818), parlava de superfícies cilín-driques, còniques, reglades, desenvolupables o de revolució. El cilindre, per

28

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA

exemple, pot considerar-se com el resultat de fer moure una recta per una cir-cumferència o també com una circumferència que es mou al llarg d’una recta.Com les generatrius estan contingudes dins del cilindre, es diu que és una super-fície reglada cilíndrica. Com que a més a més es pot obtindre fent rotar la rectageneratiu és diu que és de revolució. Encara més, el pla tangent al llarg d’unageneratriu no canvia i per això es diu desenvolupable (que pot desdoblar-sesobre el pla).

Al cas de l’Oceanogràfic s’ha fet servir el paraboloide hiperbòlic, que té perequació:

També se’l coneix com la “cadira de muntar”.

Les superfícies regla-des són molt impor-tants en arquitecturaja que permetenconstruir estructurescorbes amb rectes.Per construir aquesttipus de superfíciesamb rectes (els tau-lons dels encofrats),només hi ha que feranar variant l’angled’inclinació d’unarecta que es mou damunt d’una altra corba.

Acosta’t als edificis i podràs veure les marques dels taulons (rectes) delsencofrats.

29

DE LA CIUTAT DE LA JUSTICIA A L’OCEONOGRÀFIC

LECTURES RECOMANADES

COMAP (1999). Las Matemáticas en la vida cotidiana. Madrid: Addison-Wesley/ Universidad Autónoma de Madrid.

Ferrer, J. L. (1999). Superficies poliédricas. Madrid: Paraninfo.

Gil, O., ed. (2003). Monogràfic “Fons i forma”. Mètode, 37, pàgs. 41-78.Universitat de València.

Guía del profesor de la exposición: El Péndulo de Foucault. València: Ciudad delas Artes y las Ciencias.

Guillén, G. (1991). Poliedros. Madrid: Editorial Síntesis.

Hildebrant, S. y Tromba, A. (1990). Matemáticas y formas óptimas. BibliotecaScientific American. Madrid: Prensa Científica, S.A.

Meavilla, V. (1995). Medir sin esfuerzo. Madrid: Alhambra Longman.

Vives, J.; Alsina, C. i Fortuny, J. M. (1998). Fascinant Simetria. Barcelona:Fundació Caixa de Pensions.

Esperem que t’ho hages passat ben bé aprenent a veure les matemàtiques del teuvoltant. I que aquesta forma de mirar el teu entorn t’acompanye sempre.

30

RUTES MATEMÀTIQUES A VALÈNCIA