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Título: MANUAL DE EJERCICIOS DE HORMIGÓN ARMADO PARA ARQUITECTOS.

Autor: Paulus Noah Nevonga.

Tutor: Dr. Ing. Juan José Hernández Santana.

Departamento de Ingeniería Civil

, Junio 2018

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Este documento es Propiedad Patrimonial de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las

Villas, y se encuentra depositado en los fondos de la Biblioteca Universitaria “Chiqui Gómez

Lubian” subordinada a la Dirección de Información Científico Técnica de la mencionada casa

de altos estudios.

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Villas. Carretera a Camajuaní. Km 5½. Santa Clara. Villa Clara. Cuba. CP. 54 830

Teléfonos.: +53 01 42281503-1419

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Dedicatoria. A mi mama, mis hermanas y mi hermano.

Agradecimiento.

Primeramente, le doy gracia a Dios por hacer que esto haya sido posible para mí,

a mi tutor Dr. Juan José Hernández Santana, por el esfuerzo que ha invertido en mí y todo lo que

he podido aprender de él. A todos los profesores que han sido parte de mi formación, a todas las

personas que me han apoyado y han sido buenos compañeros y amigos durante mis estudios.

A toda mi familia por todo su apoyo incondicional.

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Resumen. En la actualidad muchas obras y diseños arquitectónicos son conformados por estructuras de

hormigón estructural, por lo que el conocimiento sobre el comportamiento del hormigón armado

es importante y necesario para los arquitectos durante su formación como profesionales. Aunque

ya existe una amplia bibliografía sobre el diseño y revisión de elementos de hormigón armado la

mayoría de esta es dedicada a la carrera y profesión de ingeniería civil, por el nivel de

complejidad y el enfoque que presentan muchos de estos libros supera los objetivos formativos

en el tema para los arquitectos. Por tanto, es necesario mejorar la bibliografía existente para los

estudiantes de la carrera de arquitectura, disponer de nuevas herramientas e información que

facilite el conocimiento y estimule el interese por el comportamiento del hormigón armado en los

estudiantes y profesiones de la carrera de arquitectura. Este trabajo tiene como objetivo realizar

un estudio de la bibliografía existente para la enseñanza del hormigón armado en la carrera de

Arquitectura en Cuba, basada en el libro Hormigón Armado para Arquitectos, bibliografía principal

para la asignatura Estructura IV.

Palabras claves: Hormigón armado, Arquitectura, Diseño estructural, Estructuras de HA

Abstract. Currently most of the architectural Works and designs are conformed by reinforced concrete

structure. Which is why knowledge about the behavior of reinforced concrete is important for the

architecture students during their formation as professionals, even though there exist a wide

biography about reinforced concrete, most if it is dedicated to the career and the profession of

civil engineering, due to the level of complexity which most books presents. Which is why it’s

necessary to amplify the existing biography for the students of architecture, to provide one that

present all the tools and information which will facilitate the knowledge and stimulate the interest

about the behavior of reinforced concrete within the architecture students or professions. This

project has as an objective of realizing a study to complement the existing biography available for

the teaching of reinforced concrete in the career of architecture, with the main focus on the book

Hormigón Armado para Arquitectos, the main biography for the subject Structure IV.

Key words: Reinforced concrete, Architecture, Structural design, Reinforced concrete

Structure

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Tabla de contenido.

Dedicatoria. .................................................................................................................................................. 2

Agradecimiento. ........................................................................................................................................... 2

Resumen. ...................................................................................................................................................... 3

Abstract. ....................................................................................................................................................... 3

Introducción. ................................................................................................................................................ 6

Problema científico. ................................................................................................................................. 6

Pregunta de investigación. ....................................................................................................................... 6

Objetivo de estudio. ................................................................................................................................. 6

Campo de estudio. ................................................................................................................................... 6

Objetivo general. ...................................................................................................................................... 6

Objetivos específicos. ............................................................................................................................... 6

Hipótesis. .................................................................................................................................................. 7

Tareas científicas. ..................................................................................................................................... 7

Valor metodológico. ................................................................................................................................. 7

Valor practico ........................................................................................................................................... 7

Relevancia social ...................................................................................................................................... 7

Capítulo I: Revisión bibliográfica. ................................................................................................................ 8

1.1. Introducción ................................................................................................................................. 8

1.2. Por qué es importante el conocimiento sobre el diseño y comportamiento estructural del

Hormigón armado para los arquitectos .................................................................................................. 8

1.3. Los contenidos de hormigón armado para arquitectos. ............................................................. 9

1.3.1. Sobre libros de estructura para arquitectos. ............................................................ 9

1.3.2. Programa analítico de asignatura de estructura sus objetivos y alcances. .. 11

1.4. Estudio de algunos tópicos de diseño y revisión de secciones de hormigón armado. ............ 13

1.4.1. Capítulo 2: propiedades de los materiales. ............................................................. 13

1.4.2. Capítulo 3: Método de cálculo. ................................................................................... 17

1.4.3. Capítulo 5: Flexión simple ................................................................................................ 18

1.4.4. Capítulo 6 Esfuerzos cortante en vigas. ....................................................................... 21

1.4.5. Capítulo 7: Flexo compresión. ........................................................................................ 23

1.4.6. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. ...................................................... 24

1.4.7. Capítulo 9: Estado Límite de utilización de deformación. ....................................... 26

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1.4.8. Conclusiones parciales del capítulo. ............................................................................................ 27

Capítulo II: Bibliografía complementaria para los temas del libro “Hormigón Armado para

Arquitectos”. .............................................................................................................................................. 28

Introducción. .......................................................................................................................................... 28

2.1. Capítulo 2: Propiedades de los materiales ................................................................................ 28

2.2. Capítulo 3: Métodos de cálculo. ................................................................................................ 34

2.3. Capítulo 5: Flexión simple. ......................................................................................................... 41

2.4. Capítulo 6: Esfuerzos cortante en vigas. .................................................................................... 45

2.5. Capítulo 7: Flexo-compresión. ........................................................................................................ 52

2.6. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. ...................................................................... 55

2.7. Capítulo 9: Estados Límites de Utilización. ................................................................................ 65

2.8. Conclusiones parciales del Capítulo. ......................................................................................... 72

Capítulo III: Ejercicios Resueltos y Propuestos. ......................................................................................... 74

Introducción. .......................................................................................................................................... 74

3.1. Capítulo 2: Propiedades de los materiales. .................................................................................... 74

3.2. Capítulo 5: Flexión simple. .............................................................................................................. 76

3.3. Capítulo 6: Esfuerzo cortante en vigas. ..................................................................................... 83

3.4. Capítulo 7: Flexo compresión. ................................................................................................... 93

3.5. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. .................................................................... 105

3.6. Conclusiones parciales del capítulo. ........................................................................................ 111

Conclusiones y Recomendaciones. .......................................................................................................... 112

Bibliografía. .............................................................................................................................................. 113

Anexos. ..................................................................................................................................................... 114

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Introducción. El Hormigón Armado es uno de los más populares en el Sistema de estructura y mayormente los

estudiantes de arquitectura utilizan el hormigón Armando en su diseño. Dispuesto con una amplia

bibliografía sobre el diseño y comprobación de elemento de hormigón armado y conocimiento

sobre la funcionabilidad estructural, los estudiantes pueden utilizar con mayor facilidad y

seguridad elemento de su preferencia en sus diseños en función de las formas, longitudes y

espacio que embarca. Aunque una consideración estructural excesiva pudiera delimitar su

búsqueda de diseño único, el conocimiento básico sobre el diseño y comprobación de elemento

de hormigón armado es de vital importancia para que ellos hagan diseño que se acercan más a

la realidad.

Haciéndole un análisis a la bibliografía disponible sobre la asignatura de Estructura el libro de

Hormigón Armado para Arquitectos se podrá confeccionar un manual o material que

complemente la insuficiente bibliografía sobre temas que para los arquitectos serán de

importancia a la hora de realizar sus diseños con elementos de hormigón armado.

Problema científico. La bibliografía sobre el diseño y comprobación de secciones de hormigón armado para los

estudiantes de la carrera de arquitectura, es insuficiente y el libro de texto recientemente editado

no dispone de toda la información suficiente sobre algunos de los temas, es escasa la cantidad

de ejercicios propuestos y resueltos y las ayudas de cálculo son inexistentes.

Pregunta de investigación. ¿Cómo mejorar la insuficiente bibliografía disponible sobre hormigón armado para los

arquitectos?

Objetivo de estudio. Realizar un análisis al contenido del libro de Hormigón Armado para Arquitectos, creando

materiales complementarios que amplíen algunos temas y disponga de más ejercicios resueltos

y propuestos.

Campo de estudio. Hormigón armado para arquitectos.

Objetivo general. Realizar un análisis al libro de Hormigón Armado para Arquitectos y proponer ejercicios y ayudas

de cálculo con el fin de complementar la bibliografía disponible.

Objetivos específicos. Realizar un estudio a la bibliografía disponible sobre la asignatura de estructura IV.

Hacer un análisis al contenido del libro Hormigón Armado para Arquitectos.

Ofrecer materiales e información complementaria para el estudio de los contenidos de la

asignatura Estructura para la carrera de Arquitectura.

Desarrollar ejercicios para el diseño y la comprobación de secciones de hormigón

armado.

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Hipótesis. Como bibliografía principal, el libro Hormigón Armado para Arquitectos no dispone de

información suficiente y es necesario hacerle un complemento.

• Elaborando un manual de ejercicios de hormigón armado para arquitectos

complementará la bibliografía de Estructura para los estudiantes de esta carrera.

Tareas científicas. 1. Realizar una búsqueda bibliográfica sobre el tema para adquirir más conocimiento sobre

el tema de estudio.

2. Redacción del Capítulo I: revisión bibliográfica.

Libros y programas de estudio sobre hormigón armado para arquitectos.

Resumen de la bibliografía principal de consulta para el tema.

Análisis de los contenidos de los temas del libro Hormigón Armado para arquitectos.

3. Redacción del Capítulo II: justificación de la necesidad del material.

Material complementario de los temas del libro hormigón para arquitectos.

4. Redacción del Capítulo III: estructura del material.

Ejercicio de diseño y comprobación de sección de hormigón armado para arquitecto

5. Anexos.

6. Realizar conclusión y recomendaciones del estudio y finalmente estructurar el trabajo

definitivo.

Valor metodológico. Con la realización de este trabajo “Manual de ejercicios de hormigón armado para arquitectos”,

se dispondrá de un importante complemento para el estudio, diseño y comprobación de

elementos de hormigón armado para la asignatura de Estructura IV en la carrera de arquitectura.

Valor practico El trabajo se basará en el análisis del libro que actualmente es utilizado como bibliografía principal

en la asignatura de Estructura en la carrera de arquitectura, por tal razón de que este material

servirá de consulta para los estudiantes sobre temas que no han sido tratado con claridad en el

libro y dispondrá de una mayor cantidad de ejercicios y ayudas de cálculo.

Relevancia social Una buena formación de los arquitectos en el diseño y comprobación de elementos de hormigón

armado ayudará a que los arquitectos tengan una mejor visión sobre la funcionabilidad estructural

y durabilidad de su diseño. Ayudará a mejorar el trabajo en equipo entre los arquitectos y los

ingenieros civiles a la hora de realizar su proyecto en su vida profesional.

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Capítulo I: Revisión bibliográfica. 1.1. Introducción En el presente capítulo se realizará una amplia búsqueda y estudio de libros y artículos sobre el

diseño y revisión de estructuras de hormigón armado. Se harán otras búsquedas bibliográficas y

consultas a los profesores sobre el plan de estudio de la carrera para ampliar el conocimiento

sobre la enseñanza de diseño y comprobación de secciones de hormigón armado en la

asignatura Estructura IV de la carrera de arquitectura y conocer los objetivos que deben ser

alcanzados en la enseñanza del hormigón armado en dicha carrera, esto nos permitirá realizar

hipótesis de este trabajo y después realizar tareas que se deben alcanzar en el trabajo.

Inicialmente se realizará una breve evaluación de los objetivos y contenidos plasmados en el

Programa de la asignatura estructura IV y su correspondencia con otras experiencias

internacionales y posteriormente se analizarán algunos contenidos teóricos importantes.

Es clave el uso de la norma ACI - 318 – 2014, como referencia y código principal para el diseño

y comprobación de secciones de hormigón armado, ya que dicha normativa es la base de la

futura norma de diseño estructural en Cuba. El libro de estudio Hormigón Armado para

Arquitectos está compuesta por 10 Capítulos, pero por razón de importancia de algunos los

temas en el diseño y revisión de estructura de hormigón armado y también teniendo en cuenta

el plan académico de la asignatura se escogieron analizar y estudiar los siguientes temas para

este trabajo: Propiedad de los materiales, Método de cálculo, Flexión simple, Cortante,

Flexo-compresión, Losa y Estado límite de utilización. Para cada uno de estos temas se

realizará un corto resumen del tema y algunos de los temas componente de ellas, para entonces

hacerle el complemento bibliográfico en el Capítulo II de este trabajo.

1.2. Por qué es importante el conocimiento sobre el diseño y comportamiento

estructural del Hormigón armado para los arquitectos.

Según el artículo de Jonathan Ochshorn hay tres amplias explicaciones de por qué es importante

enseñar el diseño estructural a los arquitectos: primero, para que los arquitectos puedan resolver

problemas estructurales; segundo, para que ellos puedan comunicarse más o menos

inteligentemente con sus ingenieros consultores; y finalmente, para que ellos realicen diseños

racionales. (Jonathan Ochshorn, 1991)

Resolver problemas estructurales: La razón para la cual los arquitectos necesitan saber

cómo resolver los problemas estructurales realmente es para que sepan determinar la

distribución de tensiones, dimensionar y diseñar vigas, columnas, etc. Aunque sea sólo para

una clase relativamente simple de edificios. En otros términos, los arquitectos sobre todo en

las prácticas pequeñas, podrían encontrarlo necesario o conveniente diseñar e incluso

preparar los documentos de la construcción para los edificios pequeños sin utilizar los

servicios de un consultor de la ingeniería.

Aun cuando se enseñe a los arquitectos a diseñar las estructuras para edificios relativamente

simples no necesariamente implica que ellos necesitan entender el soporte matemático de

los resultados obtenidos, Debido a la disponibilidad extendida y uso de tablas y programa

computacionales de diseño. Incluso cuando se introduzcan fórmulas matemáticas en el aula,

ellas no siempre se desarrollan y se profundizan.

Comunicarse con los consultores: La segunda razón para la que se debe ensenar

estructuras es que, dado que la profesión de la ingeniería ha tomado la tarea de realizar el

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diseño estructural de los edificios, los arquitectos deben poder por lo menos discutir los

problemas del plan estructural con estos ingenieros. En primer lugar, el arquitecto en la

mayoría de las veces es el líder del equipo del plan y sería difícil de ejercer este papel de

dirección, estar involucrando en la coordinación de todo el plan y las especialidades de

ingeniería, sin poseer un poco de conocimiento sobre cada área. Es igualmente importante,

poder colaborar con éxito con los ingenieros en los proyectos grandes. Específicamente, los

arquitectos necesitarían saber, a un mínimo, el vocabulario esencial de estructuras: el

momento, cortante, flexión y así sucesivamente.

Diseñando estructuras racionales / bella: La tercera razón para priorizar la enseñanza de

estructuras es que los arquitectos necesitan una comprensión cualitativa básica de teoría

estructural para diseñar los edificios racionales. Sólo entonces una estructura nazca

saludable, vital y posiblemente bella.

Por otro lado, es importante no exagerar el caso. Por una vez un sistema estructural se ha

puesto común, puede integrarse con éxito en un plan arquitectónico sin mucha consideración

por teoría estructural o conducta, por lo menos por parte del arquitecto.

Otro argumento para un tratamiento cualitativo de estructuras es que es un requisito previo

al análisis cuantitativo. En otros términos, el interés de estudiantes en la formulación

matemática de relaciones estructurales puede ser estimulado por la introducción del mismo

material. El uso de modelos físicos o los gráficos de computación proporciona un nivel

significativo para animar una comprensión cualitativa de comportamiento estructural.

1.3. Los contenidos de hormigón armado para arquitectos.

1.3.1. Sobre libros de estructura para arquitectos.

Tatiana Páez Iturralde comenta y concluye de la siguiente manera sobre los diferentes libros de estructura para arquitectos como herramienta para le enseñanza de estructura para arquitectos y cómo su conformación y enfoque puede mejorar y facilitar la compresión de estructura para los estudiantes de arquitectura. Considero que lo siguiente es relevante para mejorar la bibliografía de estructura IV para arquitecto y es importante tener en cuenta los aspectos mencionada por ella porque con ello se puede realizar bibliografías (libros, artículos, etc.) que presente un buen nivel de claridad para una mejor y fácil comprensión de hormigón armado para la carrera de arquitectura.

La compresión de las estructuras ha sido un tema tocado por ingenieros civiles de renombre como Mario Salvadori, P.A. Corkill (Structural and Architectural Design, 1963), Eduardo Torroja, Heino Engel, que escribieron libros invaluables en la década de los cincuenta y sesenta, en donde se ve una forma diferente de explicar conceptos y criterios estructurales. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)

En 1957 se publica el libro Razón y Ser de los tipos estructurales, de Eduardo Torroja, un libro en donde Torroja demuestra su habilidad para transmitir conocimiento desde su propia experiencia; unifica conceptos sobre estética, conceptos de construcción, sin dejar de lado la teoría estructural aprendida a través de la práctica, como él mismo declara en su libro, “Vano sería el empeño de quien pretendiese dar con la atinada traza de una estructura, sin haber asimilado hasta la médula de sus huesos, los principios tensionales que rigen todos sus fenómenos resistentes; tan vano como el de un médico que se pusiera a recetar y ordenar el tratamiento de sus enfermos, sin conocer la fisiología del organismo humano” (Torroja, 2010).

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Este libro ha tenido tres ediciones (1957, 1960, 2007) con varias reimpresiones, y ha sido traducido al inglés con el nombre de Philosophy of Structures. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)

Mario Salvadori escribió muchos libros que simplificaban no solo las estructuras sino las matemáticas. Entre los títulos que escribió se encuentran: Math Games for Middle Schools, The Art of Construction, Why Buildings Stands Up, Structural Design in Architecture y Structure in Architecture. El manual que publicó en 1963, junto con Michael Tempel, de Arquitectura e Ingeniería (Architecture and Engineering. An Illustrated Teacher’s Manual on Why Buildings Stand Up) es uno de los primeros en usar un concepto de una aproximación visual a las estructuras para estudiantes de arquitectura. Actualmente la mayoría de libros y artículos escritos sobre estructuras hacen referencia a su obra. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)

El libro Sistemas de Estructuras de Heinrich Engel, cuyo libro fue elegido en 1967 como uno de los diez mejores libros de proyecto en la Feria Internacional de Frankfurt. El autor recibió críticas de ingenieros estructurales por el modo no convencional de transmitir la teoría de las estructuras, a través de un lenguaje gráfico y no de las matemáticas. A pesar de esto el libro ha sido impreso seis veces sin ninguna modificación, y ha sido traducido a diversos idiomas (Engel, 2001). Edward Allen revive la forma en la que forma y fuerzas son estudiadas con la manipulación de vectores escalares. El libro que en 1998 publica con W. Zalewski, Shaping Structures: Statics, invita a estudiantes a analizar estructuras a través de la generación de formas estructurales simples. Otro libro de Allen es How buildings work, publicado por primera vez en el año 1980. En el capítulo diecisiete trata sobre el soporte vertical de los edificios de una manera concreta y accesible (Zalewski, 1998). (Páez Iturralde Tatiana. 2014)

El libro Comprensión de las estructuras en la arquitectura, del autor Fuller Moore, publicado por primera vez en 1999 (título original Understanding Structures), es una compilación de varios acercamientos no cuantitativos sobre estructuras. Se presenta a través de analogías y dibujos, diagramas analíticos e imágenes de modelos físicos. El libro, al igual que el anterior, muestra una separación del uso de expresiones matemáticas y cálculos, antes vistos como la primera o única forma de introducirse a conceptos estructurales. Aunque en la introducción, Moore acepta la necesidad del conocimiento matemático de conceptos, el libro presenta una visión bastante gráfica de las estructuras. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)

En la revisión de bibliografía referente a libros escritos para arquitectos sobre estructuras existen varios ejemplos. Se realizó una tabla comparativa de contenidos como forma de presentar los gráficos, analizando si presentaba o no cálculos, y si hacía referencia a ejemplos de los diferentes tipos de estructuras. Además de la clasificación que se realizaba de las estructuras (por tipo de esfuerzo, por materiales, por tipo de estructura etc.). (Páez Iturralde Tatiana. 2014)

Los resultados revelan que los libros revisados muestran dibujos, diagramas, esquemas o tipos de gráficos que ayudan a mostrar y explicar la teoría. Otra forma visual, a través de la cual se presentan los conceptos, es la de mostrar ejemplos reales de estructuras construidas en la actualidad o a lo largo de la historia, para enfatizar a la estructura como componente de las edificaciones. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)

La mayoría de libros también presentan una introducción a la estática y resistencia de materiales como base para el estudio de las estructuras; incluso libros que regresan a lo básico, con la geometría y la trigonometría (por ejemplo, teorema de Pitágoras o Funciones trigonométricas). El alcance de los cálculos en los libros revisados es variado: va desde una aproximación

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meramente cualitativa hasta cálculos profundos de diseño estructural. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)

La mayoría de libros realiza una clasificación de los contenidos de acuerdo al tipo de estructuras (marcos, funiculares, neumáticos, armaduras, etc.). De la bibliografía revisada varios libros en sus apartados finales tocan el tema de la forma y su relación con la estructura, concepto importante para los arquitectos. (Páez Iturralde Tatiana. 2014)

1.3.2. Programa analítico de asignatura de estructura sus objetivos y alcances.

a). Objetivos:

Conocer cómo influyen las propiedades fundamentales del hormigón y el acero en el trabajo

conjunto de ambos materiales: adherencia, retracción, fluencia, cambios de temperaturas, etc.

En los modelos analíticos que se siguen para el cálculo de las estructuras de hormigón armado.

Conocer los principios de los métodos de diseño que han sido empleados para el hormigón, y

cómo introduce la seguridad el método de estados límites.

Reconocer cómo el carácter hiperestático que presenta el análisis de secciones sometidas a

solicitaciones normales de tracción, compresión y flexión simple a nivel de sección, exige la

solución simultánea de las ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad de deformaciones y las

ecuaciones físicas o constitutivas de los materiales (hormigón y acero), como invariantes del

proceso de cálculo.

Aplicar el método de los estados límites al diseño y revisión de secciones de hormigón armado

sometidas a solicitaciones normales generadas por la flexión simple.

Aplicar el método de los estados límites al diseño y revisión de piezas de hormigón armado

sometidas a solicitaciones tangenciales de corte.

Conocer los procedimientos para verificar los estados límites de servicio (fisuración y

deformación) en piezas de hormigón armado, a partir de la disminución de la rigidez de sus

secciones transversales.

Conocer las especificaciones y recomendaciones de diseño y construcción para el detalle de

armado de elementos de hormigón, incluyendo: cuantías mínimas, recubrimiento primario del

refuerzo, separación de barras, grupos de barras, anclaje, empalmes, corte de barras, etc.

Interpretar diagramas de interacción en secciones simétricas en tipología y refuerzo, haciendo

énfasis en el caso de la sección rectangular.

Diseñar y revisar secciones simétricas en tipología y refuerzo, sometidas a flexo-compresión

mediante el método gráfico.

Conocer diferentes métodos que permiten determinar las solicitaciones de flexión y cortante que

se originan en losas y placas de hormigón armado, para con ellas diseñar o revisar la armadura

principal en una o dos direcciones, utilizando convenientemente las recomendaciones y

especificaciones de diseño y construcción recogidas en las normativas actuales nacionales e

internacionales.

Conocer los criterios generales sobre: tipología estructural y uso de las cimentaciones, forma de

análisis y diseño y saber decidir cuál resulta más racional para una situación de proyecto dada.

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b). CONOCIMIENTO ESENCIAL A ADQUIRIR.

El hormigón estructural. Propiedades del hormigón y el acero de refuerzo. Propiedades del hormigón estructural. Cambios volumétricos dependiente del tiempo. Desarrollo histórico del hormigón y el hormigón armado como materiales estructurales.

Los estados límites y el diseño del hormigón armado. La seguridad estructural. El procedimiento de diseño especificado en la norma cubana. Resistencia reglamentaria del hormigón y el acero. Cargas y acciones y sus combinaciones. Bases de cálculo.

Estudio de las solicitaciones normales. Hipótesis. Diagrama de dominios. Formas de fallos. Coeficiente reductor de la capacidad resistente. Ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones en cada dominio.

Teoría de la Flexión. La viga de hormigón armado. Conceptos básicos de las solicitaciones normales. Ecuaciones de equilibrio para la sección rectangular con refuerzo simple. Estudio del fallo balanceado. Estudio del fallo en tracción controlada. Flexión simple en secciones generales. Flexión simple en secciones rectangulares y T con y sin refuerzo en la zona comprimida: diseño y revisión. La viga L invertida. Cuantías mínimas.

Cortante en vigas de hormigón. Teoría básica. Comportamiento de vigas fallando a cortante. Modelo de la armadura para el comportamiento de vigas fallando a cortante. Resistencia nominal del hormigón a la fuerza cortante. Resistencia nominal de la armadura. Análisis y diseño de piezas de hormigón armado a cortante. Cortante en columnas o en vigas cargadas axialmente. Cuantías mínimas. Disposiciones constructivas.

Estados límites de utilización. Análisis elástico de vigas. La fisuración en hormigón armado. Tipos de fisuras. Factores que influyen en la fisuración. Modelo para la verificación del estado límite de fisuración a partir de la separación libre entre barras. La Deformación lineal en hormigón armado. Generalidades sobre el cálculo de flechas. Casos en los que es necesario comprobar las deformaciones. Evaluación de la rigidez a partir de la Inercia efectiva. Cálculo de flechas en elementos de hormigón armado sometidos a flexión bajo cargas de corta y larga duración.

Disposiciones constructivas. Separación y recubrimiento de las barras. Grupo de barras en contacto. Mecanismo de transferencia de la adherencia. Longitud de anclaje. Anclajes con ganchos. Cortes de barras y longitud de anclaje para elementos en flexión. Cálculo de los puntos de corte de las barras. Empalmes de barras de refuerzo. Especificaciones y recomendaciones de proyecto y construcción.

Teoría de la Flexión combinada. La columna de hormigón armado. Generalidades. Diagrama de

Interacción para columnas de hormigón con refuerzo simétrico. Esbeltez en flexo-compresión.

Contribuciones del acero y el hormigón a la resistencia de la columna. Flexo compresión en

secciones rectangulares.

Losas. Generalidades. Formas de trabajo de las losas: en una y dos direcciones. Estudio de las losas en dos direcciones. Análisis elástico de losas. Diseño de refuerzo.

La solución de cimentación. Tipos y su uso en edificaciones. Características generales de cada tipo. Criterios generales de análisis y diseño.

c). Objetivos generales de la enseñanza de estructura según programas de otras instituciones de otros países como: Universidad Nacional Autónoma de México, Universidad Católica de Chile, Mimar Sinan University of Architecture, Escuela Universitaria Politécnica de La Almunia.

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Después de una revisión de varios programas analítico de la asignatura de estructura para arquitecto se puede concluir que sus objetivos tienen un mismo enfoque y que se pudo resumir en las siguientes:

El alumno comprenda la metodología para el cálculo y diseño de elementos estructurales de hormigón armado y los principios básicos para el empleo de elementos prefabricados en proyectos arquitectónicos.

Diseñar elementos estructurales de hormigón armado sencillos, tales como vigas y losas apoyadas de luces cortas.

Aplicar las normas y código para el diseño del hormigón armado y sus criterios de aceptación o rechazo.

Estimar las dimensiones mínimas de la sección transversal de los elementos de un edificio de hormigón armado, en función de sus luces y las cargas.

describir las características fundamentales del concreto y el acero de refuerzo, así como las pruebas que los determinan.

comprensión y evaluación de los resultados obtenidos, relacionar los resultados con las técnicas constructivas más apropiadas para la correcta ejecución del proyecto.

Los contenidos de los planes académicos de las diferentes instituciones de Europa (universidad de Sevilla, Universidad de Granada), de latín América (Universidad Nacional Autónoma de México, Universidad Católica de Chile), encara a la enseñanza del hormigón armado, son en general similares y presentan los mismos tópicos de estudio para el hormigón armado para los arquitectos.

1.4. Estudio de algunos tópicos de diseño y revisión de secciones de hormigón armado.

Como el objetivo principal del trabajo es realizar una análisis crítico del libro Hormigón Armado

para Arquitectos que es disponible actualmente como bibliografía principal de la asignatura de

Estructura IV y desarrollar un grupo de materiales que lo complementen, después de realizar un

estudio del libro y de los temas abordados en él y su comparación con los objetivos principal del

plan analítico de la asignatura se comprobó que el libro no presente información suficiente sobre

algunos de los temas, Por tanto, el propósito del presente epígrafe es determinar cuáles son

estos temas y estudiar como son abordados por la principal literatura existente.

1.4.1. Capítulo 2: propiedades de los materiales.

En el texto se abordan en este capítulo los contenidos correspondientes a la distribución del

refuerzo en la sección y a lo largo del elemento. Este enfoque es pertinente pues facilita al alumno

desde el inicio de la asignatura una compresión de la importancia de estos temas. Se considera

que debe ampliarse los contenidos en los siguientes temas:

Sobre la durabilidad de las estructuras y la protección del refuerzo.

Actualizar las expresiones para el cálculo de la longitud de anclaje.

1.4.1.1. Durabilidad:

Según el profesor José Toirac la durabilidad de una estructura de hormigón se define como su

capacidad de soportar durante la vida útil para la que ha sido proyectada, las condiciones físico

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mecánicas y químicas a las que va a estar expuesta sin producir rasgos de degradación, no solo

en la masa de concreto, sino también en las armaduras de acero de refuerzo que se encuentran

embebidas dentro de la misma. (José Toirac, 2009)

La durabilidad del hormigón es el conjunto de cualidades del hormigón que le permiten poseer al

final de su vida útil prevista, un coeficiente de seguridad aceptable. (Profesor. Oldrich Valenta).

El código ACI comenta que el ambiente donde se ubica la estructura determina la categoría de

exposición para la selección de los materiales, detalles de diseño y requisitos de construcción

para minimizar el deterioro potencial prematuro de la estructura, causado por efectos

ambientales. La durabilidad de una estructura también se ve influenciada por el nivel de

mantenimiento preventivo. (ACI-318 2014).

Principales requerimientos a tenerse en cuenta, para la protección proporcionada por el

recubrimiento de hormigón al acero de refuerzo En la etapa de diseño según NC 250:

Categoría de agresividad de acuerdo a la ubicación y función para la que se concibe la obra.

Características y tipos de los materiales, adecuados a la agresividad prevista.

Relación máxima A/C.

Contenido mínimo de cemento.

Resistencia característica del hormigón, la cual será compatible con la relación máxima A/C fijada.

Espesores de recubrimiento.

Control de fisuración.

Uso de aditivos reductores de agua, reductores de agua de alto rango (superplastificantes) e inclusores de aire, de ser requeridos.

Tamaño máximo del árido.

Formas geométricas y detalles arquitectónicos y estructurales que garanticen un mínimo de juntas en el hormigonado y que además faciliten la evacuación rápida de las aguas y la humedad.

Juntas de hormigonado con tratamiento impermeable.

Disposiciones constructivas que faciliten la colocación y compactación del hormigón.

Especificaciones sobre curado del hormigón.

Medidas para proteger al acero embebido en el hormigón según NC 250 2005:

Diseño y prácticas de construcción que incrementan la protección proporcionada por el recubrimiento de hormigón al acero de refuerzo, denominada protección primaria.

Tratamientos que penetran o son aplicados sobre la superficie de los elementos de hormigón armado, creando una barrera que impide o dificulta la penetración del agente agresivo al acero de refuerzo, denominada protección secundaria.

Técnicas que previenen la corrosión del acero de refuerzo, directamente, como: - Uso de acero de refuerzo resistente a la corrosión. - Protección catódica, empleo de inhibidores de.

Tabla 1.1: Resistencia del hormigón a compresión mínimos según la NC 250 2005:

Parámetro Tipo de

Hormigón

Nivel de Agresividad

Muy alta Alta Media Baja

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Máxima

relación A/C

Simple sin

refuerzo

0,50 0,55 0,65 0,65

Armado 0,40 0,45 0,50 0,55

Pretensado 0,40 0’,40 0,45 0,55

Contenido

mínimo de

cemento(kg/m3)

Simple sin

refuerzo

200 200 200 200

Armado 350 325 300 275

Pretensado 350 325 325 300

R’bk (mínima)

(MPa)

Simple sin

refuerzo

20 15 15 15

Armado 30 30 25 20

Pretensado 35 35 30 30

1.4.1.2. Recubrimiento y Distribución de refuerzo:

El buen comportamiento de una estructura de hormigón no depende sólo de que la estructuración

escogida sea apropiada y de que el análisis del efecto de las fuerzas que actúan sobre la

estructura sea correcto, sino también, en buena parte, de un eficaz detallado del refuerzo que

responda a las características particulares del concreto reforzado. El detallado del refuerzo

consiste en la determinación de la disposición de las barras utilizadas para el armado, de manera

que se logre un comportamiento satisfactorio en condiciones de servicio y un adecuado nivel de

ductilidad bajo las cargas o deformaciones últimas. Comprende también la elaboración de los

dibujos y planos que garanticen que el refuerzo se coloque en la obra de acuerdo con los

requerimientos del proyectista. (Gonzales Cuevas, 2005)

Por otra parte, Harmsen comenta en su libro que el recubrimiento y el espaciamiento del refuerzo

deben ser controlados para evitar las fallas por adherencia descritas en la sección precedente y

para garantizar una distribución del acero que facilite el procedimiento constructivo. Además, es

necesario asegurar un recubrimiento mínimo de hormigón para proteger el refuerzo contra la

corrosión, el fuego, la abrasión, etc. Las varillas colocadas muy cerca de los bordes del elemento

pueden ser atacadas por agentes externos pues el concreto es un material poroso y siempre

presenta fisuras debidas a la contracción de fragua. Sin embargo, el recubrimiento no debe ser

demasiado grueso pues esto puede ocasionar rajaduras en el hormigón por falta de refuerzo.

(Teodoro E. Harmsen, 2002)

El artículo “Concrete Cover to Reinforcement Or Cover-Up” de la revista “Concrete International”

escrito por Adam Neville cito las siguientes funciones e importancia del recubrimiento de refuerzo:

16

Resistencia: en una viga a flexión se transfieren los esfuerzos al acero, que es capaz de resistir

la tracción. Si la tensión no se desarrolla en la armadura, ésta sencillamente no trabaja. Por esta

razón, el recubrimiento debe ser relativamente pequeño; si fuera excesivo, el acero no podría

contribuir a la resistencia. (Adam Neville, 1998)

Fisuración: el recubrimiento es también importante desde el punto de vista de la fisuración por

contracción. Si se presentan esfuerzos en piezas de hormigón simple (sin armadura), que

exceden su capacidad de resistencia, pueden generarse fisuras. Para prevenir esto es necesario

colocar armaduras espaciadas en formas regulares y ubicadas suficientemente cerca de la

superficie exterior, teniendo en cuenta consideraciones de durabilidad en la adopción del espesor

del citado recubrimiento. (Adam Neville, 1998)

Corrosión: el acero embebido en el hormigón se encuentra 'pasivado' y protegido por el entorno

alcalino de la pasta de cemento. Esta protección depende de que la citada alcalinidad no se

reduzca por carbonatación de la capa de hormigón en contacto con el acero. La carbonatación

avanza desde la superficie hacia el interior, y progresa con mayor rapidez cuanto más penetrable

o permeable sea el hormigón. El acero cubierto por hormigón también es pasible de corrosión,

aunque no exista carbonatación, si es alcanzado por iones cloruro proveniente de ambientes

marinos o de sales descongelantes. (Adam Neville, 1998)

Fuego: la protección del acero en este sentido es una de las razones más importantes del

recubrimiento. Los códigos de diseño especifican los recubrimientos mínimos de los distintos

elementos estructurales, necesarios para resistir por un cierto número de horas la acción del

fuego. (Adam Neville)

Papel del recubrimiento en la durabilidad del hormigón armado.

La norma cubana 250 del 2005 comenta que el recubrimiento constituye un parámetro de gran importancia para proveer al acero de refuerzo de la protección requerida durante el período de vida útil considerado de la estructura, siendo decisivo para esta protección, la baja permeabilidad y el espesor del mismo. El recubrimiento tiene dos funciones, una química y otra física. La química es mantener la alcalinidad suficiente (pH por encima de 9) que mantenga el acero pasivado. La física es limitar la entrada de los agentes agresivos desde el exterior. Este espesor deberá estar acorde con el buen diseño estructural, la severidad de las condiciones ambientales y el costo total que conlleva, incluyendo los costos por mantenimiento. El período durante el cual el recubrimiento de hormigón protege al acero de refuerzo es función del cuadrado del espesor de dicho recubrimiento. Esto conlleva que una disminución del recubrimiento a la mitad de su valor de proyecto se traduzca en un período de protección de la armadura reducido a la cuarta parte. (NC 250: 2005)

1.4.1.3. Longitud Anclaje de armadura.

El concepto de longitud de anclaje se basa en el esfuerzo de adherencia obtenible sobre la

longitud embebida del refuerzo. Las longitudes de desarrollo especificadas se requieren, en gran

medida, por la tendencia de las barras sometidas a esfuerzos altos a fisurar el concreto que

restringe la barra cuando las secciones de concreto son relativamente delgadas. Una barra

individual embebida en una masa de concreto no necesita una longitud de desarrollo tan grande;

aunque una fila de barras, aun en concreto masivo, puede crear un plano de debilidad

presentándose fisuración longitudinal a lo largo del plano de las barras. (ACI 318 - 2014)

17

En la práctica, el concepto de longitud de desarrollo requiere longitudes o extensiones mínimas

del refuerzo más allá de todos los puntos de esfuerzo máximo en el refuerzo. Tales esfuerzos

máximos generalmente ocurren en los puntos donde se presentan los esfuerzos máximos y

puntos del vano donde termina o se dobla el refuerzo adyacente. Desde el punto de esfuerzo

máximo en el refuerzo, se necesita cierta longitud o anclaje del refuerzo a través del cual se

desarrolle el esfuerzo. Esta longitud de desarrollo o anclaje se necesita en ambos lados de los

puntos de esfuerzo máximo. Con frecuencia, el refuerzo continúa a lo largo de una distancia

considerable en un lado del punto de esfuerzos críticos, de modo que el cálculo requiere tratar

sólo el otro lado, por ejemplo, el refuerzo por momento negativo continúa a través de un apoyo

hasta la mitad del vano siguiente. (ACI 318 - 2014)

La tracción o compresión calculada en el refuerzo en cada sección de un miembro debe ser

desarrollada hacia cada lado de dicha sección mediante una longitud embebida en el concreto,

gancho, barra corrugada con cabeza o dispositivo mecánico, o una combinación de ellos. (ACI

318 - 2014)

La longitud de anclaje para barras corrugadas o alambres corrugados debe calcularse de

acuerdo con la siguiente tabla.

Tabla 1.2: Longitud de anclaje de armadura (ACI 318 2014)

Espaciamiento y recubrimiento Barras Νο. 19 ó menores

y alambres corrugados

Barras Νο. 22 y

mayores

Espaciamiento libre entre barras o alambres que se están desarrollando o empalmando por traslapo no menor que

𝑑𝑏, recubrimiento libre al menos 𝑑𝑏 , y no menos estribos a lo largo de 𝑑𝑏 que el mínimo del Reglamento o espaciamiento libre entre barras o alambres que están siendo desarrollados o empalmados por

traslapo no menor que 2𝑑𝑏 y recubrimiento libre no menor que 𝑑𝑏

[𝑓𝑦Ψ𝑡Ψ𝑒

2.1λ√𝑓𝑐′] 𝑑𝑏 [

𝑓𝑦Ψ𝑡Ψ𝑒

1.7λ√𝑓𝑐′] 𝑑𝑏

Otros casos [

𝑓𝑦Ψ𝑡Ψ𝑒

1.4λ√𝑓𝑐′] 𝑑𝑏 [

𝑓𝑦Ψ𝑡Ψ𝑒𝜆

1.1λ√𝑓𝑐′] 𝑑𝑏

Estas expresiones son aceptadas por los principales autores que basan sus diseños en los

preceptos del ACI, por ejemplo: Nilson, González Cuevas, Nawy, Harmsen, Hernández.

1.4.2. Capítulo 3: Método de cálculo. El ACI 318-2014 introduce la seguridad por medio de aplicar coeficientes de mayoración a las

cargas características o normativas y factores de reducción de la resistencia nominal de las

secciones. El tratamiento de estos últimos factores en el libro de texto requiere de una corrección.

1.4.2.1. Los factores de reducción de resistencia tienen como propósitos: (1) tener en

cuenta la probabilidad de existencia de miembros con una resistencia baja debida a

variaciones en la resistencia de los materiales y las dimensiones, (2) tener en cuenta

inexactitudes en las ecuaciones de diseño, (3) reflejar la ductilidad disponible y la

confiabilidad requerida para el elemento sometido a los efectos de carga en

18

consideración, y (4) reflejar la importancia del elemento en la estructura. (ACI 318 -

2014)

Según el ACI 318 2014, y las notas del PCA 2013 y el libro de Oscar M. Gonzales

cuevas, 2005, los factores de reducción resistencia son en función de combinación

de carga a la cual está expuesta el elemento de hormigón armado y deben cumplir

con los valores presentado en la siguiente tabla.

Tabla 1.3: Coeficientes de reducción de resistencia (ACI 318 2014).

Acción o Elemento Estructural ϕ

(a) Secciones controladas por tracción 0.90

(b) Secciones controladas por compresión:

- Elementos con armadura en espiral - Otros elementos armados

0,75 0,65

(c) Cortante y torsión 0,75

(d) Aplastamiento del hormigón (excepto para las zonas de anclaje en postesado

y cuando se utiliza el modelo de bielas y tirantes. 0,65

(e) Zonas de anclaje en postesado 0,85

(f) Modelo de bielas y tirantes 0,75

(g) Las secciones en flexión en los elementos pretensados donde la longitud

embebida del torón es menor que la longitud de desarrollo:

- Desde el extremo del elemento hasta el extremo de la longitud de transferencia

- Desde el extremo de la longitud de transferencia hasta el extremo de la longitud de desarrollo, debe permitirse que ϕ sea incrementado linealmente de:

0,75

0,75 hasta 0,9

1.4.3. Capítulo 5: Flexión simple.

Las normativas modernas establecen la necesidad de que las secciones sometidas a la flexión

simple tengan una alta ductilidad para poder enfrentar exitosamente la redistribución de

esfuerzos en las estructuras. En esta dirección es que se reglamenta valores máximos de

refuerzo traccionado para secciones de hormigón armado y la disposición de acero a

compresión para contribuir a la elevación de la ductilidad de la sección. Sobre estos temas es

que se profundiza a continuación, pues no son tratados con suficiente profundidad en el libro

de texto.

La flexión es el encorvamiento que experimenta una estructura por la acción de una fuerza

permanente o transitoria, este encorvamiento ocasiona que parte de la sección transversal esté

sometida a tracción y otra sometida a compresión. (Aguirre & Moscos, 2010)

1.4.3.1. Algunas Hipótesis para el estudio de elemento sometido a flexión según el código

ACI 318 - 2014.

La fuerza a tracción o compresión calculada en el refuerzo en cada sección de la viga

debe ser desarrollada hacia cada lado de dicha sección.

Las secciones críticas para el desarrollo del refuerzo son los puntos donde se presentan

esfuerzos máximos y los puntos dentro del vano donde el refuerzo a tracción doblado o

terminado ya no es necesario para resistir flexión.

19

Se debe proporcionar un anclaje adecuado para el refuerzo en tracción en donde el

esfuerzo en el refuerzo no es directamente proporcional al momento, como ocurre en

vigas inclinadas, escalonadas o de sección variable, o en elementos en los cuales el

refuerzo de tracción no es paralelo a la cara de compresión.

La separación entre los apoyos laterales de una viga no debe exceder de 50 veces el

menor ancho del ala o cara de compresión.

La resistencia a tracción de elemento sometido flexión es variable que la resistencia a

la compresión, y es aproximadamente de 10 a 15 por ciento de la resistencia a la

compresión.

La distribución de la deformación unitaria, a través de una sección transversal de

hormigón armado, resulta esencialmente lineal aun cerca de su resistencia ultima

La deformación unitaria del acero de refuerzo como la del hormigón son directamente

proporcional a la distancia desde el eje neutro.

1.4.3.2. Consideraciones para el diseño y revisión de elemento a flexión.

Cuantía minima.

El código ACI-318 2014 recomienda que se debe colocar un área mínima de refuerzo para

flexión, Amín en toda sección donde el análisis requiera refuerzo a tracción. A debe ser

mayor que:

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0.25√𝑓𝑐

′

𝑓𝑦𝑏𝑤𝑑

𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 1.4

𝑓𝑦𝑏𝑤𝑑

Este requisito tiene la intención de que la resistencia a flexión exceda la resistencia de

fisuración con un margen apropiado. El objetivo es producir una viga que sea capaz de

sostener carga después del comienzo de la fisuración por flexión, con fisuración y

deflexiones visibles, de modo que adviertan de una posible sobrecarga. Las vigas con menor

cuantía de refuerzo pueden sufrir fallas repentinas al comienzo de la fisuración por flexión.

En la práctica, este requisito controla solamente el diseño del refuerzo para aquellas vigas

que, por razones arquitectónicas u otras, tienen sección transversal mayor a la requerida por

las consideraciones de resistencia. Cuando la cuantía de refuerzo en tracción es pequeña,

el momento resistente calculado como sección de concreto reforzado, usando un análisis de

sección fisurada, resulta menor que el correspondiente al de una sección de concreto simple,

calculada a partir de su módulo de rotura. La falla en este caso puede ocurrir con la primera

fisuración y ser repentina y sin advertencia. Para evitar dicha falla, se requiere una cantidad

mínima de refuerzo de tracción, tanto en las regiones de momento positivo como negativo.

(ACI 318-2014)

Teodoro Harmsen (2002) comenta en su libro que el momento crítico que ocasiona el

agrietamiento de una sección es mucho menor que su momento resistente. El acero, antes

de la formación de grietas, presenta esfuerzos muy bajos pues su deformación, compatible

con la del concreto, también lo es. Después de la fisuración debe resistir, además del

20

esfuerzo inicial, la tensión que el concreto no es capaz de asumir. Generalmente, ambos

efectos no ocasionan la fluencia del refuerzo.

En algunas ocasiones, ya sea por razones arquitectónicas o funcionales, se emplea

elementos cuyas secciones tienen dimensiones mayores que las requeridas para resistir las

cargas que son aplicadas. Las cuantías de refuerzo disminuyen propiciando que el momento

crítico sea superior a la resistencia nominal de la sección. En estos casos, la falla se presenta

al superar el momento crítico y es súbita y frágil. Para evitarla, es conveniente definir una

cuantía mínima de acero que garantice que el momento crítico de la sección sea superior a

su momento resistente. (Teodoro E. Harmsen, 2002)

Otra modalidad de falla puede ocurrir en vigas con muy poco refuerzo. Si la existencia a la

flexión de la sección fisurada es menor que el momento que produce agrietamiento de la

sección no fisurada con anticipación, la viga va a fallar de inmediato y sin ningún aviso de

peligro una vez que se forme la primera grieta de flexión. Para protegerse contra este tipo

de falla se puede establecer un límite inferior para la cuantía de acero igualando el momento

de agrietamiento, calculado a partir del módulo de rotura del hormigón con la resistencia de

la sección fisurada. (Arthur H. Nilson, 2004)

Cuantía Máxima.

El código ACI 318 2014 establece que la sección es controlada por tracción si la

deformación unitaria neta de tracción en el refuerzo de acero extremo en tracción 𝜀𝑡 es

mayor o igual a 0,005. Justo cuando el hormigón en compresión alcanza su límite de

deformación unitaria asumido de 0,003. Las secciones con 𝜀𝑡 entre el límite de

deformación unitaria controlada por compresión y 0,005 constituye una región de transición

entre secciones controladas por compresión y secciones controlada por tracción. Para

elementos no pre-esforzados en flexión y cimientos no pre-esforzados con carga axial

mayorada de compresión menor a 0.10𝑓𝑐′𝐴𝑔, 𝜀𝑡 en el estado de resistencia nominal no debe

ser menor a 0.004.

El PCA acepta lo anterior establecido por el código ACI 318 y comenta lo siguiente.

Desde 2002, el código ACI limita el refuerzo máximo en un elemento de flexional (con la

carga axial menos de 0.1𝑓𝑐′𝐴𝑔) a lo que produciría una tensión tensora neta 𝜀𝑡 a la capacidad

nominal no menos de 0.004. Esto compara al límite del código anterior de 0.75𝜌𝑏 que

produce un 𝜀𝑡 de 0.00376. Además, al límite de tensión neta de 0.004, el ∅ factor se reduce

a 0.812. Para secciones muy reforzados, el margen de seguridad global (el factor de carga

/∅) es casi igual que por 318-99, a pesar de los factores de carga reducidos. Vea la figura

debajo.

La capacidad de secciones tensión-controladas es claramente controlada por capacidad de

acero que es menos inconstante que la del hormigón y esto ofrece una fiabilidad mayor. Para

secciones flexional tensión-controlados, desde 2002, el código ACI permite el uso de un ∅ =

0.9, a pesar de los factores de carga reducidos introducidos en 2002. El nuevo código reduce

el requisito de capacidad por aproximadamente 10 por ciento para las secciones tensión-

controladas.

Casi siempre es ventajoso limitar la tensión tensora neta en secciones flexional a un mínimo

de 0.005, aunque el código permite cantidades superiores de refuerzo que produce valores

21

bajo de tensiones neta. Donde el tamaño de la sección sea limitado y se requiere más

capacidad, es mejor usar el refuerzo a compresión para limitar la tensión tensor neta para

que la sección sea tensión-controlada.

El refuerzo a compression.

En muchas circunstancias, las dimensiones de los elementos por calcular están limitadas

por cuestiones ajenas al diseño. No es extraño que, en alguno de éstos casos, la sección

pre-dimensionada no sea capaz de resistir el momento aplicado, aunque se le provea de la

cuantía máxima permitida. En estas situaciones es posible incrementar la capacidad

resistente del elemento añadiéndole refuerzo en la zona de compresión. (Teodoro E.

Harmsen, 2002)

Uno de los efectos más importantes generados por la presencia del acero en compresión,

es el incremento en la ductilidad del elemento. Este comportamiento es adecuado en zonas

de alto riesgo sísmico o si se espera redistribución de esfuerzos en la estructura. El refuerzo

en compresión también disminuye las deflexiones a largo plazo, pues evita el acortamiento

en el tiempo. El acero en compresión trabaja más eficientemente cuanto más alejado se

encuentra del eje neutro. Por ello, su uso no es recomendado en losas y vigas chatas o de

poco peralte. (Teodoro E. Harmsen, 2002)

El profesor Juan José Hernández responde las siguientes preguntas sobre la consideración

del refuerzo a compresión.

¿Cuándo se requiere estructuralmente el refuerzo a compresión?

Cuando se trata de vigas que forman parte de un entrepiso una reducción

en su peralto se traducirá en una disminución total de la altura total de la

edificación.

En zona de parqueo es conveniente asegurar los mayores gálibos con lo

cual se mejorar su explotación. Esta realidad puede conducirse al uso de

secciones poco peraltada.

Cuando el momento actuante supera la contribución del hormigón

correspondiente a las condiciones de fallo balanceado.

Cuando el peralto útil que se disponga sea inferior al peralto mínimo.

¿Si se requiere imponer algunas restricciones al peralto de estas secciones?

Se comprende que cuanto menor sea el peralto mayor es la deformabilidad,

algunos autores recomiendan acortarlo a partir de la condición siguiente:

Si no se trata del caso singular de vías planas, debe ponerse un peralto que

garantice que: 𝑀𝑢 < 1,33∅𝑀𝑙𝑖𝑚

1.4.4. Capítulo 6 Esfuerzos cortante en vigas. En el diseño y revisión de secciones sometidas a fuerzas cortantes se hace necesario reforzar

los contenidos referidos a siguientes aspectos:

Las recomendaciones de diseño y ejecución requieren de una actualización y de mayor

énfasis como parte del proceso de diseño ante los esfuerzos cortantes.

22

Se recomienda la introducción de un nuevo enfoque para desarrollar la distribución del

refuerzo transversal, que favorezca una mayor compresión por los alumnos del

proceso.

1.4.4.1. Recomendación de diseño.

El código ACI 318 establece las siguientes consideraciones y recomendación para el diseño a

cortantes de viga, lo siguiente también las citas los otros autores, Arthur Nilson, Gonzales

Cuevas, Teodoro Harmsen etc. En el capítulo dos del trabajo se explicará en detalle cada de uno

los puntos, cómo se deben considerar según el código ACI 318 – 2014.

Cortante en el apoyo.

Cortante máximo.

Disposiciones respecto al refuerzo longitudinal y transversal.

1.4.4.2. Diseño a cortante. La tabla del libro Hormigón Estructural. Diseño por Estados Límites. Dr. Ing. Julio A. Hernández Caneiro & Dr. Ing. Juan J. Hernández Santana que se coloca abajo resumen algunas especificaciones importantes que se debe cumplir en el análisis y el diseño de elemento hormigón armado. Esto también lo establece el reglamento ACI 318. Tabla 1.4: Resumen para diseño a cortante (libro Hormigón Estructural. Diseño por Estados Límites, Juan José Hernández Santana)

CASOS ESPACIAMIENTO DE LOS ESTRIBOS LONGITUD A REFORZAR

𝑽𝒖 ≤ 𝝓𝑽𝒄

𝟐 NO REQUIERE REFUERZO TRANSVERSAL

𝝓𝑽𝒄

𝟐< 𝑉𝒖 ≤ 𝑽𝒖𝒙

ESPACIAMIENTO MÁXIMO

𝒔𝒎𝒂𝒙 =𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕

𝟎,𝟑𝟓𝒃𝒘 (fc´≤ 30MPa)

𝒔𝒎𝒂𝒙 =𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕

𝟎,𝟎𝟔𝟐√𝒇𝒄´𝒃𝒘 (fc´> 30MPa)

𝒔𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝟎, 𝟓𝒅 , 𝒔𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝟔𝟎𝒄𝒎

𝒍𝒓𝟐 = 𝒍𝒓 (𝟏 −

𝝓𝑽𝒄𝟐

𝑽𝒖)

𝑽𝒖𝒙 < 𝑉𝒖 ≤ 𝟓𝝓𝑽𝒄 𝒔𝒙 =

𝝓𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕

𝑽𝒖𝒎𝒂𝒙 − 𝝓𝑽𝒄 𝒍𝒓𝒙 = 𝒍𝒓 (𝟏 −

𝑽𝒖𝒙

𝑽𝒖)

ESPACIAMIENTO MÁXIMO 𝒍𝒓𝒙𝟏 = 𝒍𝒓𝟐 − 𝒍𝒓𝒙

𝑽𝒖 > 𝟓𝝓𝑽𝒄 LA SECCIÓN DE HORMIGÓN ES INSUFICIENTE,

DEBE INCREMENTARSE

1.4.4.3. Distribución del refuerzo. Método del Cortante Límite. El libro de hormigón estructural del profesor Juan José Hernández Santana identifica tres métodos de diseño que se emplean para el cálculo y distribución de los estribos uno de ello es el método de cortante límite, que se basa en obtener el valor del cortante actuante a una distancia x del apoyo para el que se requiere exactamente el espaciamiento máximo, este método permite una distribución mejor y eficiente de los estribos mediante el uso de los cortantes

23

actuantes en los distintos puntos de la sección y por relaciones geométricas se obtienes las longitudes de espaciamiento de los estribos. El elemento a diseñar se divide en tramos que pueden variar entre la cuarta y la sexta parte de la luz. Para cada tramo se analiza el mayor valor de “Vu’’. Por otra parte, el método utilizando en el libro de hormigón armado para arquitectos para el diseño a cortante de secciones no permite realizar una adecuada distribución de los estribos. El método o procedimiento utilizado para el diseño de las secciones de los ejercicios resuelto del libro es basada en las norma vieja, no se han diseñado las secciones según las nuevas actualización del código ACI establece que el diseño a cortantes de secciones de hormigón armado se realiza después de haberse diseñando las secciones a flexión y se le haya colocado el refuerzo principal, pero el libro no reconoces esto, no resuelve o propone los ejercicios con el diseño a flexión hecha para las secciones, esto es clave porque es necesario el diseño a flexión para conocer el área total de refuerzo principal o longitudinal que requiere una sección y con este valor buscar el recubrimiento real que le podrá sobre el refuerzo, que es un dato que es clave para el diseño de secciones de hormigón armado a cortante.

1.4.5. Capítulo 7: Flexo compresión.

La utilización de los diagramas de interacción para el estudio del comportamiento, el diseño y la comprobación de secciones de hormigón armado sometidas a flexión combinada es el método más utilizado en el mundo debido a su gran simplicidad y pertinencia, lo que lo hace particularmente apropiado para los objetivos del curso presente dirigido a los arquitectos. Aunque el texto básico hace referencia breve a los diagramas de interacción desarrolla un enfoque analítico para el diseño de secciones a flexo-compresión, con algunas imprecisiones. Atendiendo a lo anterior se requiere profundizar en:

La construcción e interpretación de los diagramas de interacción como vía principal para la determinación de la capacidad resistente de la sección bajo la flexión combinada.

El empleo de ábacos basados en diagramas de interacción para el diseño de este tipo de secciones, incorporando el uso de secciones rectangulares con refuerzo perimetral y secciones circulares.

1.4.5.1. Diagrama de interacción.

El diagrama de interacción se obtiene determinando varios puntos que lo definan. El procedimiento para encontrar un punto cualquiera es, esencialmente, el mismo usado en flexión para calcular las fuerzas de compresión y de tensión, una vez supuesta la profundidad del eje neutro. Sin embargo, no es necesario hacer varios tanteos hasta igualar ambas fuerzas, ya que su diferencia representa la fuerza normal P y el momento con respecto al eje geométrico representa el momento flexionante M, que corresponden al estado de deformaciones determinado por la profundidad supuesta del eje neutro. Por lo tanto, para cada estado de

deformaciones se obtiene un valor de P y uno de M, que definen un punto del diagrama de interacción. (Oscar M. Gonzales Cuevas, 2005) Obtención de los Diagramas de Interacción. Un elemento sometido a flexo compresión, puede encontrar su estado límite de resistencia para Innumerables combinaciones de solicitaciones de momentos y cargas axiales, estos conjuntos de puntos definen el diagrama de interacción, por lo que el método de obtención de los diagramas de interacción se basa en hallar ese conjunto de puntos y graficarlos para que puedan ser utilizados posteriormente. La capacidad resistente de la sección transversal de un elemento de hormigón armado solicitado a flexo compresión, se evalúa a partir de un sistema de ecuaciones, llamadas ecuaciones de campo, conformado por:

Las ecuaciones de Equilibrio a nivel de sección.

24

Las ecuaciones de Compatibilidad de las deformaciones. Las ecuaciones Físicas o Constitutivas de los materiales

Realizar estos diagramas de forma dimensional puede hacer más difícil su análisis, logrando ecuaciones mayores longitudes que el análisis adimensional, pero facilita que el operador de los diagramas al no perder el sentido físico de las mismas, cuando no se domina perfectamente la teoría de los mismos. Por otra parte, realizar los diagramas de forma dimensional aumenta el número de estos representativamente, pero agiliza el trabajo del diseñador al poder interactuar directamente con el valor del momento y carga axial, no debiendo convertir estas solicitaciones en valores adimensionales, proceso que resulta trabajoso para algunos profesionales.

Fig. 1.1: diagrama de interacción

1.4.6. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado.

Las losas son elementos destinados a resolver, básicamente, el sistema estructural horizontal de una edificación, y su uso más extendido se aprecia en las soluciones de entrepisos y cubiertas, pudiéndose ofrecer la siguiente definición general para este tipo de elemento estructural: “Las Losas son elementos estructurales planos o superficiales en los que predominan dos dimensiones frente a la tercera, y sobre los cuales las cargas actúan perpendicularmente a su plano medio, incluido su propio peso.” (Hernández Santana, 2011).

El código ACI 318 y consecuentemente las notas de P.C.A y los libros de Nilson, Ramírez Hunter y Teodoro Harmsen etc. Establecen los siguientes métodos para el diseño de losas que trabajan en dos direcciones:

Método de Diseño Directo.

Método del Pórtico Equivalente. En el libro de texto se expone al método de los coeficientes propuesto por la NC, procedimiento que ha sido suprimido de las principales normativas internacionales. Sin embargo, aún es muy utilizado el Método de los coeficientes de Marcus que formó parte de la bibliografía norteamericana hasta hace relativamente pocos años. Dado la sencillez de este procedimiento se considera más apropiado para los propósitos del curso que los aprobados por el ACI 318. Tampoco se aborda procedimientos adecuados para el cálculo del peralto en losas, obviando la importancia del punzonamiento en losas apoyadas sobre columnas.

25

1.4.6.1. Método de Marcus.

Entre las limitaciones más importantes del método están que:

El método se aplica para cargas verticales solamente.

La losa debe estar apoyada en todos sus bordes por muros, vigas de acero o vigas

monolíticas de concreto.

La altura total de las vigas de borde no debe ser menor que aproximadamente tres veces

el espesor de la losa.

La última de las restricciones es impuesta porque uno de los supuestos en que se basa

el método es que los apoyos son rígidos. Específicamente, el método asume que los

apoyos no se deflectan bajo la acción de las cargas y toda la deformación ocurre en la

losa únicamente. (Ramírez Hunter, 2007)

Las restricciones que existen para aplicar este método son resultado de varios supuestos

simplificadores que se hacen sobre el comportamiento del sistema formado por la losa y los

apoyos. (Ramírez Hunter, 2007)

El método utiliza tablas de coeficientes de momento que cubren varias condiciones. Estos

coeficientes se basan en análisis elásticos, pero también tienen en cuenta la redistribución

inelástica. En consecuencia, el momento de diseño en cada dirección es menor en cierta cantidad

que el momento máximo elástico en esa dirección. EI método establece que cada panel debe

dividirse, en ambas direcciones, en una franja central cuyo ancho es la mitad del ancho del panel

y en dos franjas de borde o franjas de columna con un ancho igual a un cuarto del ancho del

panel. Los momentos en las dos direcciones son mayores en la porción central de la losa que en

las regiones cercanas a los bordes. Por tanto, el método establece que toda la franja central se

diseña para el momento de diseño total tabulado. Para las franjas de borde, este momento se

supone que disminuye desde su valor máximo en el borde de la franja central, hasta un tercio de

su valor en el borde del panel. (Nilson, 2001)

En un borde continuo de losa se generan momentos negativos de manera similar al caso de los

apoyos interiores de vigas continuas. También, la magnitud de los momentos positivos depende

de las condiciones de continuidad en todos los cuatro bordes. (Nilson, 2001)

Los momentos negativos en bordes discontinuos se suponen iguales a un tercio de los momentos

positivos para la misma dirección. Estos momentos deben tenerse en cuenta en el diseño puesto

que la rigidez torsional de la viga de borde o del muro de apoyo suministra en general un grado

de restricción en los bordes discontinuos. (Nilson, 2001)

Para los momentos positivos se va a presentar, si acaso, muy poca rotación en los bordes

continuos cuando la carga muerta actúa sola porque las cargas en los dos paneles adyacentes

tienden a producir rotaciones opuestas que se cancelan entre sí o se balancean

aproximadamente. Para esta condición, los bordes continuos pueden considerarse empotrados

y los coeficientes apropiados para los momentos positivos ocasionados por carga muerta se

determinan mediante una tabla que es diferente a la que se utiliza para la carga viva puesto que

los máximos momentos positivos generados por carga viva se obtienen cuando la carga viva se

coloca únicamente en el panel particular y no en los paneles adyacentes. En este caso sí se

presentaría algo de rotación en todos los bordes continuos. Como aproximación se supone que

existe un 50% de restricción para calcular estos momentos ocasionados por carga viva. (Nilson,

2001)

26

1.4.7. Capítulo 9: Estado Límite de utilización de deformación.

Los contenidos referidos a la etapa de servicio de una viga tratados en el texto se limitan al

chequeo de la flecha y no se profundiza en el análisis del comportamiento de la sección bajo

estas cargas y en la obtención de las propiedades de la sección no fisurada y agrietada. Además,

tampoco se explican los procedimientos para el control de la fisuración, aspecto tan importante

en las condiciones cubanas.

1.4.7.1. Control de fisuras.

El código ACI 318 2014 comenta y establece que, para el control de fisuras, el refuerzo adherido debe estar distribuido para controlar la fisuración en las zonas en tracción por flexión de losas y vigas no preesforzadas para resistir flexión en una sola dirección, cuando las cargas de servicio llevan a esfuerzos altos en el refuerzo, deben esperarse fisuras visibles y deben tomarse precauciones al detallar el refuerzo para controlar la fisuración. Por razones de durabilidad y estética, son preferibles muchas fisuras muy finas que pocas fisuras anchas. Las prácticas de detallado del refuerzo generalmente conducirán a un adecuado control de la fisuración si se utiliza acero de refuerzo Grado 420. (ACI 318 - 2014) El mejor control de fisuración se obtiene cuando el refuerzo está bien distribuido en la zona de máxima tracción en el concreto. Varias barras con un espaciamiento moderado son mucho más efectivas para controlar la fisuración que una o dos barras de mayor diámetro de área equivalente. (ACI 318 - 2014) El espaciamiento del refuerzo se limita para controlar la fisuración, para el caso de una viga con acero de refuerzo Grado 420, 50 mm de recubrimiento libre del refuerzo principal y con fs = 280 MPa, el espaciamiento máximo es 250 mm. (ACI 318 - 2014)

Los anchos de fisura en estructuras son muy variables. Los requisitos actuales del reglamento para espaciamiento intentan limitar la fisuración superficial a un ancho que es generalmente aceptable en la práctica, pero que puede variar ampliamente dentro de una misma estructura. (ACI 318 - 2014) También el código comenta que La influencia de las fisuras en la corrosión es un tema controvertido. Las investigaciones (Darwin et al. 1985; Oesterle 1997) muestran que la corrosión no está claramente relacionada con el ancho de las fisuras superficiales en los rangos normalmente encontrados de los esfuerzos del refuerzo a nivel de cargas de servicio. Por esta razón, el reglamento no hace distinción entre exposición interior y exterior. Solamente el refuerzo de tracción más cercano a la cara en tracción necesita ser considerado para seleccionar el valor de cc que se usa para calcular los requisitos de espaciamiento. A pesar de que se han realizado numerosos estudios, no se dispone de evidencia experimental clara respecto al ancho de fisura a partir del cual existe peligro de corrosión. Las pruebas de exposición indican que la calidad del concreto, la compactación adecuada y el apropiado recubrimiento de concreto pueden ser más importantes para la protección contra la corrosión que el ancho de fisura en la superficie del concreto. (ACI 318 - 2014) En vigas T, la distribución del refuerzo negativo para el control de la fisuración debe tener en cuenta dos condiciones: (1) un espaciamiento grande del refuerzo en el ancho efectivo del ala puede provocar la formación de fisuras anchas en la losa cerca del alma, y (2) espaciamiento pequeño en la vecindad del alma deja sin protección las zonas exteriores del ala. La limitación

27

de un décimo sirve para evitar que haya un espaciamiento muy grande, al tiempo que proporciona un poco de refuerzo adicional necesario para proteger las zonas más externas del ala. (ACI 318 - 2014)

1.4.8. Conclusiones parciales del capítulo. 1. Es importante la enseñanza de estructuras (hormigón armado) para los arquitectos pues con

ello se logra que ellos realicen diseños funcionales, seguros y racionales, también para mejorar

su interacción profesional con ingenieros civiles u otros profesionales de la construcción.

2. No existe mucha bibliografía actualizada sobre hormigón estructural, dirigida específicamente

a los estudiantes de arquitectura.

3. Los contenidos recogidos en la asignatura Estructura IV del Plan D de arquitectura responde

a las tendencias mundiales de enseñanza de las estructuras para estos profesionales.

4. El código ACI es el reglamento principal para el diseño del hormigón armado y los autores

más citados lo utiliza como reglamento para sus estudios y explicaciones sobre el diseño y

revisión del hormigón armado.

5. El libro “Hormigón Armado para Arquitectos”, texto básico de la asignatura Estructura IV,

requiere de una actualización y complementación teórica y práctica en los siguientes temas:

Capítulo 2: Propiedades de los materiales, Capítulo 3: Métodos de cálculo, Capítulo 5: flexión

simple, Capítulo 6: Esfuerzos córtate en vigas, Capítulo 7: Flexo compresión, Capítulo 8: Losas

macizas de hormigón armado y el Capítulo 9: Estado límite de utilización, Fisuración.

6. El uso de herramientas (por ejemplo: figuras, tablas, imagen de estructuras reales y ejemplos

de problemas reales y otras presentaciones visuales) ayudan a facilitar y mejorar la comprensión

de los contenidos de un libro de estructura.

28

Capítulo II: Bibliografía complementaria para los temas del libro “Hormigón Armado para Arquitectos”. Introducción. En el siguiente capítulo se realizará un complemento bibliográfico al libro: Hormigo Armado para

Arquitectos, que es actualmente la bibliografía principal para el estudio y la enseñanza del diseño

y comprobación de hormigo armado en la asignatura de Estructuras IV para la carrera de

arquitectura. El objetivo es complementar los contenidos y añadir ayudas de cálculo y ejercicios

que contribuyan a la compresión de los temas por los estudiantes. Se realizará un complemento

bibliográfico de los siguientes capítulos del libro en cuestión: capítulo 2: Propiedades de los

materiales, capítulo 3: Métodos de cálculo, capitulo 5: flexión simple, capitulo 6: Esfuerzos córtate

en vigas, capitulo 7: Flexo compresión, capitulo 8: Losas macizas de hormigón armado y el

capítulo 9: Estado límite de utilización, Fisuración.

2.1. Capítulo 2: Propiedades de los materiales

2.1.1.1. Durabilidad, recubrimientos y resistencia del hormigón a compresión mínimos. El recubrimiento de hormigón es la distancia entre la superficie exterior de la armadura más

externa (incluyendo cercos y estribos) y la superficie exterior de hormigón más cercana, como

se aprecia en la figura 2.1. Esta disposición modifica el uso común en Cuba de considerar el

recubrimiento a la superficie de la armadura principal, buscando por tanto una protección de todo

el refuerzo del elemento, provocando un incremento del recubrimiento efectivo del acero

longitudinal.

Figura 2.1: Espaciamiento entre barras y recubrimiento en vigas.

En la distribución de refuerzo por ACI están normado los valores mínimo y máximo d, Cc,

d’, ds y S, que son valores importantes en el cálculo y distribución de refuerzo

cc = recubrimiento libre del refuerzo, mm S= espaciamiento medido de centro a centro de unidades tales como refuerzo longitudinal, refuerzo transversal, tendones de pre esfuerzo, alambres, o anclajes, mm d = distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción, mm. Este se calcula por: d – h - ds

29

d’ = distancia desde la fibra extrema en compresión al centroide del refuerzo longitudinal en compresión, mm. ds = distancia desde la fibra extrema en tracción al centroide del refuerzo longitudinal en tracción, mm. Las notas del PCA sobre el código ACI 318 2011, plantean lo siguiente sobre la separación entre barras de refuerzo. Separación mínima.

En los elementos que tienen una sola capa de armadura, la separación libre mínima entre barras paralelas ubicadas debe ser como mínimo igual a un diámetro de barra, pero siempre mayor o igual que 2.54 cm. En los elementos que tienen dos o más capas de armadura, las barras de la capa superior se deben colocar directamente encima de las barras de la capa inferior; la separación libre vertical mínima entre las diferentes capas debe ser como mínimo igual a 2.54 cm. En los elementos solicitados a compresión armados con estribos cerrados o zunchos, la distancia libre entre las barras longitudinales debe como mínimo mayor o igual que 1,5 diámetros de las barras, pero siempre mayor o igual que 3.81 cm. Separación máxima. En las losas y tabiques, exceptuando las losas nervadas, la separación de la armadura principal de flexión debe ser menor o igual que tres veces el espesor del tabique o de la losa y menor o igual que 18 in. La NC 250-2004 dispone los valores normativos de recubrimientos que se exponen en la tabla

2.1.

Tabla 2.1: Valores mínimos de recubrimiento por elementos estructurales (mm)

CATEGORÍA DE AGRESIVIDAD

Muy Alta Alta Media Baja

Pilotes hormigonados in situ contra el suelo 75 75 75 75

Pilotes prefabricados 50 50 50 50

Cimientos sin sello 70 70 70 70

Cimientos con sello 50 50 50 50

Muros (paredes) hormigonados contra terreno (**) 70 70 70 70

Muros (paredes) hormigonados contra cofre (**) 50 40 40 40

Muros (paredes) prefabricados (**) 40 35 35 35

Zapatas hormigonadas contra terreno (*) 50 50 40 40

Zapatas hormigonadas contra cofre (*) 45 45 35 35

Zapatas prefabricadas (*) 40 40 30 30

Columnas y vigas, hormigonadas in situ 50 40 40 30

Columnas y vigas, prefabricadas 40 35 35 25

Tímpanos y muros, hormigonados in situ 50 40 30 25

Tímpanos y muros, prefabricados 40 35 25 20

Losas, elementos laminares, nervios y viguetas, hormigonados in situ

40 35 30 25

Losas, elementos laminares, nervios y viguetas, prefabricados

35 30 25 20

Pilotes hormigonados in situ contra el suelo 75 75 75 75

30

(*) Cimientos que soportan elementos de cierre (**) Caras de muros contra el terreno

- En ningún caso el recubrimiento podrá ser inferior al diámetro mayor de la barra longitudinal ni a 1,25 veces el tamaño máximo del árido.

- En las estructuras expuestas a peligro de incendio, el recubrimiento vendrá fijado por la norma específica de protección de incendios, pero nunca menor que el señalado en la tabla 8.3

- Las indicaciones de elementos prefabricados se refieren a elementos prefabricados en plantas especializadas únicamente.

- En elementos (como viguetas o losas), prefabricados en instalación industrial fija, para entrepisos unidireccionales de hormigón armado o pretensado, el proyectista podrá contar, además del recubrimiento de hormigón real del elemento, con el espesor del revestimiento del entrepiso, siempre que dicho revestimiento sea compacto e impermeable y tenga carácter definitivo y permanente, y que se garantice con dicho revestimiento, una protección similar a la del recubrimiento de hormigón sustituido, todo ello correspondientemente documentado, al objeto de cumplir con los recubrimientos mínimos de la tabla 8,3. Sin embargo, en estos casos, el recubrimiento real de hormigón no podrá ser inferior a 15 mm.

Con el propósito de incrementar la durabilidad del hormigón y la protección del refuerzo se han

establecido restricciones más severas a los valores mínimos de resistencia del hormigón a

emplear, las que están en dependencia de las características de la zona donde se construya el

elemento y del tipo de hormigón. Estas disposiciones para piezas de hormigón se muestran en

la tabla 2.2:

Tabla 2.2: Valores mínimos de resistencia del hormigón. (NC 120 2014)

TIPO DE

HORMIGÓN

NIVEL DE AGRESIVIDAD DEL MEDIO

MUY ALTO ALTO MEDIO BAJO

fc´ (MPa)

SIMPLE 20 15 15 15

ARMADO 35 30 25 20

PRETENSADO 35 35 30 30

2.1.2. Distribución del refuerzo A continuación, se exponen tablas que facilitan la labor de distribución del refuerzo principal en

vías y columnas.

Tabla 2.3: Áreas de barras de refuerzo (cm2).

NÚMEROS DE BARRAS

N°

N°

(ACI) db (mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 3 9.5 0.71 1.42 2.13 2.84 3.55 4.26 4.97 5.68 6.39 7.1

13 4 12.7 1.29 2.58 3.87 5.16 6.45 7.74 9.03 10.32 11.61 12.90

16 5 15.9 1.99 3.98 5.97 7.96 9.95 11.94 13.93 15.92 17.91 19.9

19 6 19.1 2.84 5.68 8.52 11.36 14.2 17.04 19.88 22.72 25.56 28.40

22 7 22.2 3.87 7.74 11.61 15.48 19.35 23.22 27.09 30.96 34.83 38.70

25 8 25.4 5.1 10.2 15.3 20.4 25.5 30.6 35.7 40.8 45.9 51

32 10 32.3 8.19 16.38 24.57 32.76 40.95 49.14 57.33 65.52 73.71 81.9

36 11 35.8 10.06 20.12 30.18 40.24 50.30 60.36 70.42 80.48 90.54 100.6

31

Tabla 2.4: Recubrimientos me efectivos para barras de refuerzo en vigas.

ESTRIBOS N° 10 ESTRIBOS N° 13

RECUBRIMIENTO (mm) RECUBRIMIENTO (mm)

1 C

AM

AD

A

N° Diam (mm) 25 30 35 40 50 25 30 35 40 50

10 9.5 39.3 44.3 49.3 54.3 64.3 42.5 47.5 52.5 57.5 67.5

13 12.7 40.9 45.9 50.9 55.9 65.9 40.9 45.9 50.9 55.9 65.9

16 15.9 42.5 47.5 52.5 57.5 67.5 45.7 50.7 55.7 60.7 70.7

19 19.1 44.1 49.1 54.1 59.1 69.1 47.3 52.3 57.3 62.3 72.3

22 22.2 45.6 50.6 55.6 60.6 70.6 48.8 53.8 58.8 63.8 73.8

25 25.4 47.2 52.2 57.2 62.2 72.2 50.4 55.4 60.4 65.4 75.4

32 32.3 50.7 55.7 60.7 65.7 75.7 53.9* 58.9 63.9 68.9 78.9

36 35.8 52.4 57.4 62.4 67.4 77.4 55.6 60.6 65.6 70.6 80.6

2 C

AM

AD

A

N° Diam (mm) 25 30 35 40 50 25 30 35 40 50

10 9.5 56.5 61.5 66.5 71.5 81.5 59.7 64.7 69.7 74.7 84.7

13 12.7 59.7 64.7 69.7 74.7 84.7 62.9 67.9 72.9 77.9 87.9

16 15.9 62.9 67.9 72.9 77.9 87.9 66.1 71.1 76.1 81.1 91.1

19 19.1 66.1 71.1 76.1 81.1 91.1 69.3 74.3 79.3 84.3 94.3

22 22.2 69.2 74.2 79.2 84.2 94.2 72.4 77.4 82.4 87.4 97.4

25 25.4 72.4 77.4 82.4 87.4 97.4 75.6 80.6 85.6 90.6 100.6

32 32.3 79.3 84.3 89.3 94.3 104.3 82.5 87.5 92.5 97.5 107.5

36 35.8 82.8 77.05 92.8 97.8 107.8 86 91 96 101 111

33

CA

MA

DA

N° Diam (mm) 25 30 35 40 50 25 30 35 40 50

10 9.5 73.8 78.8 83.8 88.8 98.8 77.0 82.0 87.0 92.0 102.0

13 12.7 78.6 83.6 88.6 93.6 103.6 81.8 86.8 91.8 96.8 106.8

16 15.9 83.4 88.4 93.4 98.4 108.4 86.6 91.6 96.6 101.6 111.6

19 19.1 88.2 93.2 98.2 103.2 113.2 91.4 96.4 101.4 106.4 116.4

22 22.2 92.8 97.8 102.8 107.8 117.8 96.0 101.0 106.0 111.0 121.0

25 25.4 97.6 102.6 107.6 112.6 122.6 100.8 105.8 110.8 115.8 125.877

32 32.3 108.0 113.0 118.0 123.0 133.0 111.2 116.2 121.2 126.2 136.2

36 35.8 113.2 118.2 123.2 128.2 138.2 116.4 121.4 126.4 131.4 141.4

Tabla 2.5 (A): Número máximo de barras en una camada para vigas.

DIAMETRO DE ESTRIBO N° 10

Recubrimiento 25 mm Recubrimiento 30 mm

ANCHO 𝒃 (cm) ANCHO 𝒃 (cm)

N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50 15 20 25 30 35 40 45 50

13 12.7 2 4 5 6 8 9 10 12 2 3 5 6 7 9 10 11

16 15.9 2 3 5 6 7 8 9 11 2 3 4 6 7 8 9 10

19 19.1 2 3 4 5 6 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 10

22 22.2 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

25 25.4 2 3 4 5 6 7 8 8 1 2 3 4 5 6 7 8

32 32.3 1 2 3 4 4 5 6 7 1 2 3 3 4 5 6 7

32

36 35.8 1 2 3 3 4 5 5 6 1 2 2 3 4 4 5 6

Recubrimiento 35 mm Recubrimiento 40 mm

ANCHO 𝒃 (cm) ANCHO 𝒃 (cm)

N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50 15 20 25 30 35 40 45 50

13 12.7 2 3 4 6 7 8 10 11 2 3 4 5 7 8 9 11

16 15.9 2 3 4 5 6 8 9 10 1 3 4 5 6 7 9 10

19 19.1 1 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 5 6 7 8 9

22 22.2 1 2 3 4 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 9

25 25.4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

32 32.3 1 2 2 3 4 5 6 6 1 2 2 3 4 5 5 6

36 35.8 1 2 2 3 4 4 5 6 1 1 2 3 4 4 5 6

Recubrimiento 50 mm

ANCHO 𝒃 (cm)

N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50

13 12.7 1 2 4 5 6 8 9 10

16 15.9 1 2 3 5 6 7 8 9

19 19.1 1 2 3 4 5 6 8 9

22 22.2 1 2 3 4 5 6 7 8

25 25.4 1 2 3 4 5 6 7 8

32 32.3 0 1 2 3 4 4 5 6

36 35.8 0 1 2 3 3 4 5 5

Tabla 2.5 (B): Número máximo de barras en una camada para vigas.

DIAMETRO DE ESTRIBO N° 13

Recubrimiento 25 mm Recubrimiento 30 mm

ANCHO 𝒃 (cm) ANCHO 𝒃 (cm)

N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50 15 20 25 30 35 40 45 50

13 12.7 2 3 5 6 7 9 10 11 2 3 5 6 7 9 10 11

16 15.9 2 3 4 6 7 8 9 10 2 3 4 5 7 8 9 10

20 19.1 2 3 4 5 6 7 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9

22 22.2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 5 6 7 8 9

25 25.4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

32 32.3 1 2 3 3 4 5 6 7 1 2 3 3 4 5 6 6

36 35.8 1 2 2 3 4 5 5 6 1 2 2 3 4 4 5 6

Recubrimiento 35 mm Recubrimiento 40 mm

ANCHO 𝒃 (cm) ANCHO 𝒃 (cm)

N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50 15 20 25 30 35 40 45 50

13 12.7 2 3 4 6 7 8 10 11 1 3 4 5 7 8 9 11

16 15.9 1 3 4 5 6 8 9 10 1 2 4 5 6 7 9 10

20 19.1 1 2 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 6 7 8 9

33

22 22.2 1 2 3 4 5 6 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8

25 25.4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

32 32.3 1 2 2 3 4 5 5 6 1 1 2 3 4 5 5 6

36 35.8 1 1 2 3 4 4 5 6 1 1 2 3 3 4 5 6

Recubrimiento 50 mm

ANCHO 𝒃 (cm)

N° Diam (mm) 15 20 25 30 35 40 45 50

13 12.7 1 2 3 5 6 7 9 10

16 15.9 1 2 3 4 6 7 8 9

20 19.1 1 2 3 4 5 6 7 9

22 22.2 1 2 3 4 5 6 7 8

25 25.4 0 1 2 3 4 5 6 7

32 32.3 0 1 2 3 3 4 5 6

36 35.8 0 1 2 2 3 4 5 5

2.1.3. Anclaje de la armadura.

El concepto de la longitud de anclaje de las barras conformadas y los alambres

conformados solicitados a tracción se basa en la tensión de adherencia promedio

que se logra en la longitud embebida de las barras o alambres. Este concepto exige

que las armaduras tengan longitudes mínimas especificadas o que se prolonguen

las distancias mínimas especificadas más allá de las secciones en las cuales la

armadura está solicitada a las tensiones máximas. En los elementos solicitados a

flexión estas tensiones máximas generalmente ocurren en las secciones donde la

tensión es máxima y en aquellas donde la armadura adyacente termina o cambia de

dirección.

Tabla 2.6: Longitud de anclaje 𝒍𝒅 para barras o alambres en zonas de alta adherencia, sin revestimiento, colocadas en hormigón de peso normal

𝑓𝑦 = 300𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑦 = 420𝑀𝑃𝑎

CONDICIÓN 𝑓𝑐´(𝑀𝑃𝑎) n° 16 ó menor n° 19 ó mayor n° 16 ó menor n° 19 ó mayor

1

17.5 35𝑑𝑏 44𝑑𝑏 49𝑑𝑏 61𝑑𝑏

20 33𝑑𝑏 41𝑑𝑏 46𝑑𝑏 57𝑑𝑏

25 29𝑑𝑏 36𝑑𝑏 41𝑑𝑏b 51𝑑𝑏

30 27𝑑𝑏 33𝑑𝑏 37𝑑𝑏 46𝑑𝑏

35 25𝑑𝑏 31𝑑𝑏 35𝑑𝑏 43𝑑𝑏

40 23𝑑𝑏 29𝑑𝑏 32𝑑𝑏 40𝑑𝑏

2

17.5 52𝑑𝑏 65𝑑𝑏 73𝑑𝑏 91𝑑𝑏

20 49𝑑𝑏 61𝑑𝑏 68𝑑𝑏 85𝑑𝑏

25 44𝑑𝑏 54𝑑𝑏 61𝑑𝑏 76𝑑𝑏

30 40𝑑𝑏 50𝑑𝑏 56𝑑𝑏 69𝑑𝑏

35 37𝑑𝑏 46𝑑𝑏 52𝑑𝑏 64𝑑𝑏

40 35𝑑𝑏 43𝑑𝑏 48𝑑𝑏 60𝑑𝑏

34

Condición 1: 𝑐+𝐾𝑡𝑟

𝑑= 1,5

La separación libre entre las barras que se anclan o empalman es mayor o igual que 𝑑𝑏,

el recubrimiento libre es mayor o igual que 𝑑𝑏 y la cantidad de estribos a lo largo de 𝑙𝑑 es

mayor que el mínimo indicado en las normativas o bien la separación libre entre las barras

que se anclan o empalman es mayor o igual que 2𝑑𝑏 y el recubrimiento libre es mayor o

igual que 𝑑𝑏.

Condición 2: 𝑐+𝐾𝑡𝑟

𝑑= 1

Otro caso no recogido en los anteriores.

2.2. Capítulo 3: Métodos de cálculo. 2.2.1. Los factores de cargas. Las cargas permanentes o muertas son, en la teoría, invariables en magnitud, dirección, sentido

e, incluso, en el tiempo. En realidad, pueden cambiar por las variaciones en las dimensiones de

los elementos, de la densidad de los materiales y las propias modificaciones estructurales y no

estructurales que ocurren. Mientras tanto, las sobrecargas o cargas vivas varían

considerablemente en función del tiempo y de la edificación de la que se trate. Unido a ello,

existen incertidumbres en el cálculo de las solicitaciones, en las suposiciones de las rigideces,

longitudes de tramo, etc., además de las que se involucran en el modelado de las estructuras

tridimensionales conducentes a diferencias entre las tensiones que realmente ocurren en la

estructura y aquellas estimadas por el diseñador en el análisis.

Para considerar la inevitable variación de las cargas respecto de sus valores característicos y la

consecuente aparición de acciones extraordinarias por incremento posible de las cargas, surge

la necesidad de introducir un factor que permita mayoralas, término que no significa

necesariamente hacerlas de mayor magnitud, sino de un efecto más desfavorable.

En esencia el procedimiento consiste en introducir un factor de carga γf que, como fue definido

al abordar el Método de los Estados Límites, permite transformar la acción característica Sk en

acción de diseño Su:

𝑆𝑢 = 𝛾𝑓(𝑆𝑘)

Sin embargo, no existe un solo factor de carga, este depende de las características de estas, y

por tanto la expresión anterior se convierte realmente en:

𝑆𝑢 = 𝛾𝑓𝐷𝐷 + 𝛾𝑓𝐿𝐿 + ⋯ … . . 𝛾𝑓𝐸𝐸

Las combinaciones básicas sugeridas por el ACI 318-14 y los factores de carga que entran en

cada combinación, se escriben a continuación; se puede apreciar que se manejan factores de

incertidumbre atribuibles, tanto a las características de las cargas, como a sus combinaciones:

𝑆𝑢 = 1,4𝐷

𝑆𝑢 = 1,2 𝐷 + 1,6𝐿 + 0,5(𝐿𝑟 ó 𝑆 ó 𝑅)

𝑆𝑢 = 1,2𝐷 + 1,6(𝐿𝑟 ó 𝑆 ó 𝑅) + (1,0𝐿 ó 0,5𝑊)

35

𝑆𝑢 = 1,2𝐷 + 1,0𝑊 + 1,0𝐿 + 0.5(𝐿𝑟 ó 𝑆 ó 𝑅)

𝑆𝑢 = 1,2𝐷 + 1,0𝐸 + 1,0𝐿 + 0,2𝑆

𝑆𝑢 = 0,9𝐷 + 1,0𝑊

𝑆𝑢 = 0,9𝐷 + 1,0𝐸

Donde las cargas o las solicitaciones correspondientes se denominan:

D Cargas Permanentes o Muertas.

E Efectos de carga de las Fuerzas Sísmicas.

L Cargas de uso, sobrecargas o cargas vivas.

Lr Sobrecarga en la cubierta.

R Cargas provenientes de la lluvia.

S Carga de nieve.

W Carga de Viento.

F Cargas debidas al peso y presión de fluidos con densidades bien definidas y alturas

máximas controlables, que se considerará como parte de la carga muerta.

H Cargas debidas al peso y presión lateral del suelo, del agua en el suelo, u otros

materiales. Esta carga debe evaluarse en función de sus características y entonces

clasificarse como muerta o viva.

T Efectos acumulativos de la retracción o expansión resultante de las variaciones de

temperatura, la fluencia lenta, la retracción y el hormigón de contracción compensada,

la que puede combinarse con cualquiera de las cargas anteriores en una valoración

específica.

En Cuba estas cargas están normadas por diferentes reglamentos, por ejemplo:

• Cargas de edificaciones y obras de ingeniería de F. Medina.

• Para las cargas muertas o permanentes (D): NC 283-2003

• Para las cargas vivas o de uso (L): NC 284-2003

• Para las cargas de viento (W): NC 285-2003

Durante el análisis y diseño de muchos de los elementos que a diario se proyectan, la

combinación que gobierna el diseño (combinación pésima) incluye solo los estados siguientes

de carga: la carga muerta (considerado el peso propio), la sobrecarga, la carga de viento o la

carga sísmica, y ninguna combinación debe admitir la acción simultánea de las cargas de viento

y sismo debido a la escasa probabilidad de que ocurran de manera simultánea esos dos eventos

naturales extremos: el huracán y el sismo.

Note como hay variaciones en los coeficientes de una combinación a otra; por ello se debe tener

en cuenta la probabilidad, mayor o menor, de que estas ocurran de manera simultánea.

36

Una simplificación conservadora consiste en incluir la sobrecarga en las cubiertas Lr junto con la

sobrecarga L, y aplicar en las ecuaciones el factor de carga más alto correspondiente a L o Lr.

La Norma Cubana NC 450: 2006 “Edificaciones, factores de carga o ponderación y

combinaciones” establece las combinaciones básicas de cálculo que son en su esencia

semejantes a las propuestas del ACI y expuestas con anterioridad. En la tabla 2.7 se resumen

las combinaciones más comunes con algunas recomendaciones para su empleo.

Tabla 2.7: Combinaciones de cargas mayoradas para determinar la resistencia requerida

Su

COMBINACIÓN COMENTARIOS

1,4 (D+F) Para cargas gravitatorias, en depósitos y tanques con mínima

fluctuación de la altura del fluido

1,2D+1,6L+0,5Lr Es lo común en el cálculo de entrepisos considerando Lr=0 y para

columnas, tímpanos y muros al considerar simultáneamente L y Lr

1,2D+1,6Lr+ (0,5L o 0,8W)

Es la combinación para evaluar las cubiertas. Se le suma 0,8W

cuando el viento actúa en la misma dirección que la carga de uso de

la cubierta.

1,2D+1,4W+0,5L+0,5Lr Toma en cuenta el accionar simultáneo del viento o el sismo con parte

de la carga de uso. En el caso de garajes, áreas con lugares de

reuniones públicas y donde la carga de uso sea mayor que 5kN/m2,

el coeficiente se toma igual a 1 1,2D+1,4E+0,5L+0,5Lr

0,9D+1,4W Se emplea cuando la combinación más desfavorable sobre columnas

es la carga axial menor. 0,9D+1,4E

2.2.2. El factor de reducción de resistencia La reducción de la resistencia nominal o característica se engloba en un único coeficiente que

recoge los factores de incertidumbre que tienen que ver con esta reducción, precisamente, el

factor de reducción ϕ. Entonces puede plantearse:

𝑅𝑢 ≤ 𝜙𝑅𝑛

El ACI hace depender al factor de reducción, básicamente, del tipo de solicitación, con lo que

reconoce que esta forma de medir la resistencia resulta más completa, pues la capacidad de la

sección depende no solo de la calidad de los materiales que la componen, sino también, sobre

todo, de la combinación de estos en un nuevo material encargado de resistir las cargas externas.

Al emplear coeficientes separados para el hormigón y acero, el CEB-FIB esconde la realidad, ya

que en determinados elementos el aporte relativo de uno u otro es poco significativo. Si se

deseara establecer una equivalencia entre el enfoque de la seguridad que prevalece en Europa

y el del ACI, se pudiera escribir de manera simplificada que 𝜙 ≅ (1 𝛾𝑔𝛾𝑠⁄ ).

A partir de 2002, el Comité 318 del ACI introdujo nuevas definiciones, imprescindibles en los

procedimientos para introducir la seguridad en el caso de secciones sujetas a esfuerzos

normales. Estos son los conceptos de tracción controlada y de compresión controlada, a partir

de la deformación que experimente el acero más traccionado. Para ello establece un valor de

εt = 0,005 como criterio de la caracterización de la ductilidad de la sección.

37

En la figura 2.2 se ilustra que el refuerzo más traccionado es aquel situado en el nivel más alejado

de la fibra de máxima compresión, al que corresponde un peralto efectivo simbolizado por dt y

una deformación representada por εt.

A partir de estas definiciones puede plantearse:

Secciones en tracción controlada: son aquellas en las que el estado deformacional

último asociado al límite de resistencia de la sección, asegura que el acero traccionado

alcance una deformación que supera el 0,5%; es decir, cuando εt ≥ 0,005 o εs ≥ 0,005.

Secciones en compresión controlada: son aquellas en las que el estado

deformacional último asociado al límite de resistencia de la sección, asegura que el

acero traccionado no llega a alcanzar tan siquiera la deformación de fluencia, es decir,

cuando εt ≤ εy o εs ≤ εy.

Secciones en transición: son aquellas en las que el estado deformacional último

asociado al límite de resistencia de la sección es tal que el acero traccionado llega a

fluir, pero sin alcanzar la deformación unitaria de 0,5%, es decir, cuando εy < εt < 0,005

o εy < εs < 0,005.

Figura 2.2: Deformación en el acero más traccionado.

Para definir el factor de reducción de resistencia en el caso de las solicitaciones normales

(compresión, tracción, flexión, flexo-compresión, flexo-tracción), es imprescindible identificar si

se trata de secciones controladas por tracción, por compresión o de transición y para ello se

deben establecer las fronteras entre ellas, como se muestra en la figura 2.3.

38

Figura 2.3: Estados deformacionales fronteras.

La frontera que limita las secciones con tracción controlada es un estado deformacional para el

que se cumple εt = 0,005 y εc’ = ε’cmax = 0,003. De las ecuaciones de compatibilidad de las

deformaciones para estas condiciones, puede determinarse:

0,003

𝑐𝑡=

𝜀𝑡

𝑑𝑡 − 𝑐𝑡

Y si se hace εs = 0,005, entonces.

𝑐𝑡 = 0.375𝑑𝑡.

Por su parte, la frontera que limita las secciones con compresión controlada, asociada como se

verá más adelante al llamado fallo balanceado, se asocia a una deformación a nivel del acero

más traccionado igual εt = εy, y por tanto le corresponde una profundidad de la línea neutra igual

a cb.

Como esta frontera responde a la condición:

0,003

𝑐𝑏=

𝜀𝑡

𝑑𝑡 − 𝑐𝑏

Entonces:

𝑐𝑏 =0,003

0,003 + 𝜀𝑦𝑑𝑡

Los valores del factor de reducción ϕ recomendados por el ACI 318 se muestran en la TABLA

2.8, mientas en la figura 4.16 se grafica su función de variación a partir de la deformación que

experimenta el acero más traccionado.

39

Tabla 2.8: Coeficiente de reducción de resistencia ϕ.

TIPO DE RESISTENCIA ϕ

Secciones controladas por tracción 0,90

Secciones controladas por compresión:

- Elementos con armadura en espiral - Otros elementos armados

0,75 0,65

Cortante y torsión 0,75

Aplastamiento del hormigón (excepto para las zonas de anclaje en postesado y

cuando se utiliza el modelo de bielas y tirantes. 0,65

Zonas de anclaje en postesado 0,85

Modelo de bielas y tirantes 0,75

Las secciones en flexión en los elementos pretensados donde la longitud

embebida del torón es menor que la longitud de desarrollo:

- Desde el extremo del elemento hasta el extremo de la longitud de transferencia

- Desde el extremo de la longitud de transferencia hasta el extremo de la longitud de desarrollo, debe permitirse que ϕ sea incrementado linealmente de:

0,75

0,75 hasta 0,9

El factor de reducción de la capacidad nominal ϕ indicado en la tabla 4.13 está calibrado para las

condiciones de los EE.UU. y presupone un alto nivel de control de calidad. En consecuencia, no

responde necesariamente a otras condiciones menos favorables en las que el control de

ejecución en obra sea menos estricto y sistemático, elementos que no se reflejan en la calibración

mostrada, la cual solo depende del tipo de solicitación e, indirectamente, de las características

del fallo. Estudios en desarrollo actualmente recomiendan, para las condiciones cubanas, incluir

un coeficiente de seguridad adicional γs, que tome en consideración estos últimos factores.

Como en la zona de transición el factor de reducción depende de εy o de cb, se regirá por

expresiones diferentes, para calidades de acero distintas. Esta variación se puede apreciar en

la figura 2.5.

La tabla 2.9 muestra estas expresiones, dependiendo de la deformación del refuerzo y de la

profundidad de la línea neutra, para los dos tipos de este material que con mayor frecuencia se

emplean como armadura longitudinal en Cuba, en el caso del hormigón armado.

40

Figura 2.5: Factor de reducción de resistencia ϕ

El reglamento norteamericano propone como simplificación que para todos los aceros que

cumplan con la condición fy ≥ 420MPa, se puede adoptar εt = εy = 0,002 y en consecuencia cb =

0,6d, lo que permite escribir el valor del factor ϕ de la manera siguiente:

Para estribos: 𝜙 = 0,48 + 83𝜀𝑡 ó 𝜙 = 0,231 +0,249

𝑐 𝑑𝑡⁄

Para espirales: 𝜙 = 0,65 + 50𝜀𝑡 ó 𝜙 = 0,5 +0,15

𝑐 𝑑𝑡⁄

Tabla 2.9: Valores de ϕ en función de εt y de c para secciones en transición.

Factor de reducción de resistencia 𝜙

GRADO εy ϕ = f(εs) ϕ = f(c)

ESTRIBOS

G-40 0,0015 0,543 + 71,4𝜀𝑡 0,329 +0,214

𝑐 𝑑𝑡⁄

G-60 0,0021 0,469 + 86,2𝜀𝑡 0,21 +0,259

𝑐 𝑑𝑡⁄

ESPIRALES

G-40 0,0015 0,686 + 42,8𝜀𝑡 0,557 +0,128

𝑐 𝑑𝑡⁄

G-60 0,0021 0,641 + 51,7𝜀𝑡 0,486 +0,155

𝑐 𝑑𝑡⁄

En resumen, el coeficiente ϕ considera de manera marcada la ductilidad o no del fallo y la

contribución del hormigón en la capacidad portante de la sección que se evalúa. Observe como

es menor para las solicitaciones donde la resistencia del hormigón ejerce mayor influencia, lo

que sucede en el cortante y la compresión controlada. Además, reconoce indirectamente la

importancia del fallo, al diferenciar el que puede producirse en un elemento en flexión compuesta

41

a tracción controlada del que puede originarse en una columna en flexión compuesta a

compresión controlada, pero también, aunque de forma sutil, prevé la más limitada confiabilidad

de los modelos relacionados con las solicitaciones tangenciales de torsión y cortante, al adoptar

valores menores para tales casos. Sin embargo, este enfoque ignora de modo explícito otros

factores y, sobre todo, la importancia de la obra y la calidad del control, como las reconoce el

coeficiente γs empleado en el Método de los Estados Límites.

2.3. Capítulo 5: Flexión simple. 2.3.1. Fallo por tracción controlada. Profundidad de la línea neutra en la frontera. Como ya se señaló, a la frontera del fallo por tracción controlada corresponde un estado

deformacional último, tal que ε’c = 0,003, mientras que εs = 0,005. La figura 2.6 ilustra las

deformaciones, tensiones y fuerzas en el límite correspondiente a la tracción controlada. Cuando

el acero traccionado alcanza una deformación entre εs = 0,005 y el límite de deformación máxima

εsmax = 0,01, se dice que la sección se encuentra en tracción controlada, y los diseños en flexión

deben encontrarse preferiblemente en esa situación.

Figura 2.6: Ilustración del estado deformacional frontera de la tracción controlada.

El planteamiento de las condiciones de equilibrio conduce a las ecuaciones siguientes:

De la ecuación de fuerzas:

Σ𝐹 = 0

0,85𝑓𝑐´𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑓𝑦𝐴𝑠´ = 𝑓𝑦𝐴𝑠

Dividiendo por bdfc’

0,85𝛽1𝑐𝑡

𝑑+ 𝜔´ = 𝜔

𝜔𝑟𝑎 = 𝜔 − 𝜔´ = 𝜔𝑟 = 0,85𝛽1𝑐𝑡

𝑑 𝜔𝑟𝑎 = 0,85

𝛽1𝑐𝑡

𝑑

𝜔𝑟𝑎 = 0,85𝛽1 ∙ 0,375𝑑𝑡

𝑑= 0,3188𝛽1

𝑑𝑡

𝑑

Y además puede plantearse que:

42

𝜌𝑟𝑎 =𝐴𝑠

𝑏 ∙ 𝑑= 𝜔𝑟𝑎

𝑓𝑐´

𝑓𝑦

En la tabla 2.10 se resumen los valores de ωra y Mra en función del tipo de acero a emplear, si se

sabe que:

𝑀𝑟𝑎 = 𝜔𝑟𝑎(1 − 0,59𝜔𝑟𝑎)𝑏𝑑2𝑓𝑐´

Tabla 2.10: Momento específico del hormigón para la frontera del fallo por tracción controlada.

Valor de β1

𝒇𝒄´ ≤ 𝟐𝟖𝑴𝑷𝒂 𝒇𝒄´ = 𝟑𝟓𝑴𝑷𝒂 𝒇𝒄´ = 𝟒𝟐𝑴𝑷𝒂 𝒇𝒄´ = 𝟒𝟗𝑴𝑷𝒂 𝒇𝒄´ ≥ 𝟓𝟔𝑴𝑷𝒂

0.85 0.80 0.75 0.70 0.65

𝝎𝒓𝒂

𝑑𝑡

𝑑 0.2712 0.2552 0.2393 0.2233 0.2074

𝑴𝒓𝒂

𝒃𝒅𝟐𝒇𝒄´

𝑑𝑡

𝑑 0.2279 0.2169 0.2056 0.1940 0.1821

2.3.2. Cuantía máxima a tracción. El control de la cantidad de refuerzo a tracción en elementos a flexión es la forma de asegurar

secciones con fallos dúctiles. Los requerimientos de ductilidad para alcanzar estructuras con un

buen comportamiento sismo-resistente es una vieja práctica en todas las normativas. En el ACI

318 esto se lograba garantizando que ω – ω’ ≶ 0 ,75ωb, que como se aprecia obligaba a cuantía

menores que la balanceada. Con los cambios ocurridos en el 2002 el ACI 318 – 2014 establece

que la cuantía se controla asegurando que la deformación del acero más traccionado, εs, no

puede ser menor que el valor de 0,004. En la figura 2.7 se muestra de manera comparativa lo

que representa este nuevo enfoque de seguridad del código del ACI.

Figura 2.7: Relación entre la cuantía balanceada y la deformación del refuerzo traccionado

εs

43

En la figura 2.8 pueden evaluarse con claridad las implicaciones que provoca en la seguridad de

secciones a flexión las modificaciones introducidas por el ACI 318-02. Se comparan los factores

de seguridad FS obtenidos por las regulaciones del ACI 318-99 y 318-02 y se ratifican

importantes conclusiones para el diseño:

Si se garantiza que εt ≥ 0,005, entonces ϕ = 0,9 y se alcanzan secciones con un factor de

seguridad global, FS, menor, y por tanto son menos conservadoras y a la vez más

económicas que las obtenidas por las regulaciones del ACI 318:99. Este concepto no

debe confundirse, ya que no se trata de reducir seguridad para ganar en economía, sino

asignar la seguridad necesaria, y no existen dudas al decidir una menor penalización,

cuando se trata de modelar problemas suficientemente conocidos, como es el caso del

predominio de la flexión con suficiente ductilidad.

Figura 2.8: Factor de seguridad global. Análisis comparativo

Si εt = 0,004, entonces ϕ < 0,9. Como el gráfico se obtuvo para el acero G-40 y refuerzo

transversal en forma de estribo, le corresponde un factor de reducción:

𝜙|𝜀𝑠=0.004 = 0,543 + 71,4(0,004) = 0,828

Se aprecia entonces que el FS es semejante al obtenido para el ACI 318:99. Ello brinda

argumentos adicionales a su elección como regulador de la cuantía máxima.

Esta conclusión puede ser mejor comprendida si se observa la figura 2.9, donde se

analiza el FS para secciones con diferentes ductilidades. Para secciones que alcancen

su equilibrio en el límite de resistencia con una profundidad de la línea neutra que

satisfaga la condición c/d > 0,375, se superan los FS establecidos antes, y no son diseños

aconsejables.

Es obvio que buscando diseños en que ϕ = 0,9 se alcanzarán secciones más racionales

que trabajando para la cuantía máxima, es decir, secciones en las que (ω < ωb). Téngase

en cuenta que acotar εt < 0,005 es equivalente a fijar una relación entre la cuantía

mecánica y la cuantía balanceada igual a 0,63 para el acero G60, que es lo que hacía el

Reglamento hasta 1999.

44

Figura 2.9: Factor de seguridad global. Análisis comparativo para el caso en que L/D = 2

2.3.3. Recubrimientos mecánicos aproximados. Un elemento clave para garantizar la adherencia entre el hormigón y el acero son los

recubrimientos y separación de las barras, lo que se estudió en detalles en el capítulo 2. A los

recubrimientos mínimos establecidos por las disposiciones de durabilidad en la NC 250:05, debe

sumarse para obtener el recubrimiento mecánico de las armaduras, el diámetro del estribo y el

del refuerzo principal. Ello provoca que este sea variable. Como simplificación necesaria para

determinar los recubrimientos mecánicos del refuerzo, d’ y ds, se recomiendan los valores

siguientes:

• Para 1 camada 7 cm.

• Para 2 camadas 9 cm.

• Para 3 camadas 11 cm.

2.3.4. Sobre el refuerzo a compresión. Como se dejó establecido en el epígrafe 2.3.2 el criterio de seguridad que se seguirá en los

diseños es garantizar que la sección esté en tracción controlada, es decir que c = 0,375dt o que

εt ≥ 0,005, entonces ϕ = 0,9. Para secciones normalmente peraltadas no se requerirá colocar

refuerzo comprimido para asegurar las condiciones exigidas, pues c < 0,375dt. Sin embargo, esto

no se logra para peraltos pequeños y será imprescindible disponer de acero comprimido como

parte de la resistencia de la sección.

Entonces la frontera entre cuando se requiere o no acero comprimido será la de la tracción

controlada señalada por:

𝑀𝑢 = 𝜙𝑀𝑟𝑎 = 𝜙𝜔𝑟𝑎(1 − 0,59𝜔𝑟𝑎)𝑏𝑑2𝑓𝑐´

Finalmente, como resumen, se pueden brindar para el cálculo las recomendaciones siguientes:

1. Si no se requiere refuerzo comprimido por cálculo:

𝑀𝑢 < 𝜙𝑀𝑟𝑎 = 𝜙𝜔𝑟𝑎(1 − 0,59𝜔𝑟𝑎)𝑏𝑑2𝑓𝑐´

Lo más económico es que As’ = 0, por lo que se colocará lo requerido por las

especificaciones,

𝐴𝑠′ = 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛

′

2. Si se requiere refuerzo comprimido, por cálculo:

45

𝑀𝑢 > 𝜙𝑀𝑟𝑎

La menor cantidad total de acero se obtendrá para ωr = ωra, con la menor área de refuerzo

a compresión, calculada por:

𝐴𝑠′ ≥

𝑀𝑢𝜙

− 𝑀𝑟𝑎

𝑓𝑦(𝑑 − 𝑑´)

2.4. Capítulo 6: Esfuerzos cortante en vigas. 2.4.1. Recomendaciones de diseño. El Reglamento ACI 318-14 establece tres condiciones para poder calcular la sección crítica

donde actúa el máximo esfuerzo mayorado de cortante, Vu:

• La reacción en el apoyo, en la dirección de la fuerza cortante aplicada, introduce

compresión en las regiones de los extremos del elemento.

• Las cargas se aplican en la parte superior del elemento o cerca de la parte superior

de este.

• No hay cargas concentradas entre el borde del apoyo y la ubicación de la sección

crítica, la cual está a una distancia d, medida a partir del borde de este.

Estas restricciones se representan en la figura 2.10.

2.4.1.1. Cortante en el apoyo.

Se considera que a una distancia d del apoyo el cortante se trasmite directamente a él, por lo

que no actúa sobre la viga; distintos tipos de apoyo y formas de la carga se muestran en la figura

2.10.

El valor de cortante Vu a considerar en los cálculos es el que actúa a una distancia:

d para hormigón armado.

h/2 para hormigón pretensado.

Debe garantizarse que el refuerzo calculado para este valor de cortante se extienda hasta el

extremo de la viga.

Figura 2.10: Recomendaciones de diseño. Cortante en el apoyo. Sección crítica

46

2.4.1.2. Cortante máximo.

Para evitar el fallo de las bielas a compresión, como se explicó anteriormente, deben

cumplirse las siguientes condiciones:

𝑉𝑠 ≤ 660√𝑓𝑐´𝑏𝑤𝑑 Ó 𝑉𝑠 < 4𝑉𝑐

Lo que puede expresarse como:

𝑉𝑢 < 5𝜙𝑉𝑐

2.4.1.3. Disposiciones respecto al refuerzo longitudinal.

• El refuerzo As se trasladará 3/4d en la dirección más desfavorable para asegurar que

responda a la traslación de los esfuerzos provocados por las grietas de cortante, lo

que puede apreciarse en el gráfico 2.11.

• La armadura As que llegue a los apoyos deberá cumplir:

- As =0,75R/fy, donde R es la reacción de apoyo.

- Un tercio del As para el momento máximo, en apoyos extremos.

- Un cuarto del As para el momento máximo, en apoyos intermedios.

- La mitad del As para el momento máximo, en losas.

2.4.1.4. Disposiciones sobre el refuerzo transversal.

• El espaciamiento máximo a colocar en la viga será:

- 𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤𝑑

2

- 𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 60𝑐𝑚

Si Vs > 2Vc el espaciamiento anterior se reducirá a la mitad

• Cuando se requiere refuerzo por cálculo, Vu >ϕVc, debe garantizarse que:

𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 = 0,062√𝑓𝑐´𝑏𝑤𝑠

𝑓𝑦𝑡 Siempre menor que 0,35

𝑏𝑤𝑠

𝑓𝑦𝑡

La que en plano práctico resulta como:

𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 = 0,35𝑏𝑤𝑠

𝑓𝑦𝑡 Para 𝑓𝑐´ ≤ 30𝑀𝑃𝑎

𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 = 0,062√𝑓𝑐´𝑏𝑤𝑠

𝑓𝑦𝑡 Para 𝑓𝑐´ > 30𝑀𝑃𝑎

Expresada como espaciamiento máximo:

𝑠𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡

0,35𝑏𝑤 Para 𝑓𝑐´ ≤ 30𝑀𝑃𝑎

𝑠𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡

0,062√𝑓𝑐´𝑏𝑤 para 𝑓𝑐´ > 30𝑀𝑃𝑎

47

Figura 2.11: Regla de traslación.

• Ante un cambio brusco de cortante la colocación de los estribos se prolongará un valor

de h/2 con el valor del espaciamiento de esa zona.

• Si h > 1m se colocarán barras longitudinales en los laterales de la sección separadas

como máximo 50cm.

• El diámetro de los estribos no será menor de 3mm ó ¼ del diámetro de la barra

principal.

• No se admitirán diseños con solo barras dobladas. Los estribos deben tomar al menos

el 50% de Vs

• Si Vu < 0,5ϕVc no será necesario colocar refuerzo por cortante.

• Se admite no colocar refuerzo transversal por cortante, obviando las

recomendaciones anteriores, en los siguientes elementos:

- Losas, cimientos, paredes de depósitos y muros

- Vigas en que:

h < 25cm en secciones rectangulares

h < 2,5hf o h < 0.5bw en secciones T

1.4.1.5. Área total de refuerzo. Distribución. Si se tiene en cuenta que los valores de Vu y Vc son variables a lo largo de la viga, también lo

será Vs, y como es natural el espaciamiento de los estribos no será uniforme. Esta situación

puede apreciarse en la figura 2.12, donde se representan las longitudes lr, y el área del gráfico

que se ha de reforzar, Ω y además destacan:

• Cortante resistente, considerando la expresión más detallada, ϕVci.

• Cortante resistente, considerando la expresión simplificada, ϕVc.

• Distancia a reforzar, lr1, para la zona en que se requiere acero transversal por cálculo.

• Distancia a partir de la cual no se requiere colocar refuerzo transversal, lr2.

48

Figura 2.12: Distancia y área a reforzar.

El cálculo de esta área resulta práctico cuando se emplea la expresión simplificada, ya que

permitirá conformar figuras geométricas conocidas y simples, que faciliten obtener estos valores

de forma directa. En la figura 2.13 se muestran las formas más comunes que pueden adoptar

estas áreas que se han de reforzar.

Figura 2.13: Distintas formas del área a reforzar.

El valor de lr es prácticamente el mismo obtenido considerando Vci o Vc por lo que puede

calcularse por la expresión más simple. El problema entonces se reduce al cálculo del área que

se ha de reforzar Ω, y finalmente el área de refuerzo necesario en toda esta zona será:

𝐴𝑣 =Ω

𝜙𝑓𝑦𝑡𝑑

Al final se calculará el número de estribos equivalente a esta área de acero y se distribuirán de

acuerdo con la forma que tenga el área Ω a reforzar y por tanto es como regla variable. Es obvio

que el espaciamiento de todos los estribos no puede ser diferente, por lo que se buscan

soluciones que respondan mejor a las exigencias del constructor, en esta dirección es que se

agrupan varios estribos con el mismo espaciamiento, garantizando que siempre sea segura la

solución. Este procedimiento, que se esquematiza en la figura 2.14, conduce a dividir la zona

que se ha de reforzar en partes iguales y en cada una de ellas a calcular el número de estribos

y el espaciamiento requerido, y parte de determinar el número de zonas en que debe dividirse el

área en lo que la experiencia del proyectista es decisiva.

Entre los procedimientos más empleados pueden señalarse los siguientes:

49

a) Método de los Números Impares.

Como una ayuda a la distribución de los estribos se ha empleado en Cuba el llamado Método

de los Números Impares, consistente en tomar los números impares: 1, 3, 5, 7, etc., hasta

llegar al número total de estribos requeridos. Entonces, el total indica la cantidad de partes

en que debe dividirse el área. Cada parte tendría una cantidad de cercos diferentes en

correspondencia con la división efectuada. Por ejemplo, si se requieren 16 cercos, se suman

1+3+5+7=16, por lo que se emplearán 4 números impares, y estas serán las zonas en que

se subdividirá el área que se ha de reforzar. Finalmente, se colocarán:

7 estribos en la primera porción.

5 estribos en la segunda.

3 estribos en la tercera.

1 estribo en la cuarta porción.

Cabé considerar que el procedimiento resulta solo válido en la medida en que la cantidad de

estribos se acerque a cualquiera de la suma de los números impares, ya que en otros casos

puede provocar soluciones sobrearmadas. Como solución alternativa, recomienda el Método

del Cortante Límite.

Figura 2.14: Distribución de los estribos.

b) Método del Cortante Límite.

El procedimiento consiste en dividir el elemento en tres zonas, como se muestra en la figura

2.15, en función del espaciamiento de los estribos necesario para tomar la fuerza cortante

actuante:

ZONA 1: el espaciamiento de los estribos es menor que el máximo, smax

ZONA 2: el espaciamiento es smax

ZONA 3: no se requiere colocar estribos.

𝐴𝑣1 =𝛺1

𝑓𝑦𝑡𝑑

𝑁º𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 = 𝑛𝑏𝑒 =𝐴𝑣1

2𝐴𝑏

𝑠1 =𝑎

𝑛𝑏𝑒

50

Figura 2.15: Distribución de los estribos. Método del Cortante Límite.

La frontera entre las zonas 2 y 3 es conocida, la distancia lr2, a partir de la cual Vu < 0,5ϕVc.

La frontera entre las zonas 1 y 2 ocurre cuando el espaciamiento de los estribos requerido

es exactamente el máximo y el aporte del refuerzo transversal es:

𝑉𝑠 =𝜙𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡𝑑

𝑠𝑚𝑎𝑥

Entonces se define el término Vux como el valor de cortante externo que marca esta frontera

y puede calcularse como:

𝑉𝑢𝑥 =𝜙𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡𝑑

𝑠𝑚𝑎𝑥+ 𝜙𝑉𝑐

Y la distancia a que está situado este valor, llamada lrx, se obtiene por relaciones geométricas

como se representa en la figura 2.15.

𝑙𝑟𝑥 = 𝑙𝑟 (1 −𝑉𝑢𝑥

𝑉𝑢)

Donde

Vu valor de cortante en el apoyo

lr distancia del apoyo al punto de momento cero

Entonces puede establecer una metodología de diseño que cuente con los siguientes pasos:

1. Cálculo de lr2, distancia a partir de la cual no se requiere colocar estribos, para la

condición Vu < 0,5ϕVc

𝑙𝑟2 = 𝑙𝑟 (1 −0,5𝜙𝑉𝑐

𝑉𝑢)

2. Cálculo de lrx, distancia a partir de la cual se requiere colocar estribos espaciados a

smax, para la condición Vu =Vux

3. Calcular el espaciamiento requerido para el cortante máximo Vumax

𝑠𝑥 =𝜙𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡𝑑

𝑉𝑢 𝑚𝑎𝑥 − 𝜙𝑉𝑐

51

4. Distribución de los estribos

Para vigas grandes o con elevada cantidad de estribos, puede evaluarse subdividir la

primera zona una o dos veces buscando una solución más cercana a los verdaderos

requerimientos de refuerzo transversal.

2.4.2. Diseño por cortante. El diseño de las vigas a cortante es un proceso al que se llega cuando se han cumplido otras

fases de los cálculos estructurales del elemento, es decir, se ha obtenido el refuerzo principal a

flexión, se han chequeado los Estados Límites de Utilización (fisuración y deformación) y

revisado todas las disposiciones constructivas reglamentadas. Por tanto, se manejan los datos

siguientes:

Solicitaciones externas: Mu y Vu.

Dimensiones de la sección transversal y longitudinal.

Resistencia de los materiales: fc’ y fyt.

El acero longitudinal y su distribución: en las secciones transversal y longitudinal.

El proceso de diseño a cortante puede organizarse planteando los pasos siguientes:

1. Cálculo del gráfico de Vu y en la sección crítica.

2. Cálculo del cortante resistente del hormigón: Vc.

3. Cálculo de los espaciamientos máximos y las longitudes que se han de reforzar.

4. Cálculo del área de refuerzo y su distribución.

En la tabla 2.12 se brinda un resumen sobre los procedimientos de diseño de una sección a

cortante. Aunque responde principalmente al método del “Cortante Límite” tiene valor

metodológico para cualquier caso. Para el cálculo del refuerzo mínimo, se diferencian los casos

en que el cortante actuante supere la resistencia del hormigón, (Vu > ϕVc) en este caso el

espaciamiento se calcula por las expresiones de refuerzo mínimo, lo que en la tabla se la llama

“espaciamiento requerido”. Sin embargo, lo más común en vigas de edificios es que este

espaciamiento sea menor que la mitad del peralto efectivo, por lo que predominará la condición

de “espaciamiento máximo” y entonces la solución se simplifica a un solo espaciamiento en toda

la viga d/2 cuando ϕVc < Vu < Vux y a dos, sx, d/2, cuando Vu >Vux.

52

Tabla 2.12: Espaciamientos de los estribos y longitudes a reforzar para diferentes casos

de diseño.

CASOS ESPACIAMIENTO DE LOS ESTRIBOS LONGITUD A REFORZAR

𝑽𝒖 ≤ 𝝓𝑽𝒄

𝟐 NO REQUIERE REFUERZO TRANSVERSAL

𝝓𝑽𝒄

𝟐< 𝑉𝒖 ≤ 𝑽𝒖𝒙

ESPACIAMIENTO MÁXIMO

𝒔𝒎𝒂𝒙 =𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕

𝟎,𝟑𝟓𝒃𝒘 (fc´≤ 30MPa)

𝒔𝒎𝒂𝒙 =𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕

𝟎,𝟎𝟔𝟐√𝒇𝒄´𝒃𝒘 (fc´> 30MPa)

𝒔𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝟎, 𝟓𝒅

𝒔𝒎𝒂𝒙 ≤ 𝟔𝟎𝒄𝒎

𝒍𝒓𝟐 = 𝒍𝒓 (𝟏 −

𝝓𝑽𝒄𝟐

𝑽𝒖)

𝑽𝒖𝒙 < 𝑉𝒖 ≤ 𝟓𝝓𝑽𝒄 𝒔𝒙 =

𝝓𝑨𝒗𝒇𝒚𝒕

𝑽𝒖𝒎𝒂𝒙 − 𝝓𝑽𝒄 𝒍𝒓𝒙 = 𝒍𝒓 (𝟏 −

𝑽𝒖𝒙

𝑽𝒖)

ESPACIAMIENTO MÁXIMO 𝒍𝒓𝒙𝟏 = 𝒍𝒓𝟐 − 𝒍𝒓𝒙

𝑽𝒖 > 𝟓𝝓𝑽𝒄 LA SECCIÓN DE HORMIGÓN ES INSUFICIENTE,

DEBE INCREMENTARSE

2.5. Capítulo 7: Flexo-compresión. 2.5.1. Seguridad según las disposiciones del ACI. En relación a la flexión compuesta el ACI318-08 establece los siguientes requisitos de seguridad:

𝑃𝑢 ≤ 𝜙𝑃𝑛

𝑀𝑢 = 𝜙𝑃𝑛𝑒𝑜 ≤ 𝜙𝑀𝑛

El factor de reducción de la resistencia 𝜙 para las secciones sometidas a flexión compuesta es

variable y está en función del comportamiento que tenga dicha sección:

Adopta el valor de 𝝓 = 𝟎, 𝟗 si la sección está en tracción controlada, o sea en los que se

cumple que 𝜀𝑡 ≥ 0.005 y 𝑐 ≤ 0375𝑑𝑡, siendo 𝜀𝑡 la deformación del refuerzo más traccionado.

Se asigna el valor de:

𝝓 = 𝟎, 𝟔𝟓 Para columnas transversalmente armadas con estribos.

𝝓 = 𝟎, 𝟕𝟎 Para columnas zunchadas con espirales.

Estos valores se utilizan en los casos en que la sección se sitúe en compresión controlada,

lo que ocurre si 𝜀𝑡 ≤ 𝜀𝑦 y 𝑐 ≥ 𝑐𝑏.

53

La diferencia entre los valores del coeficiente 𝜙 que se fijan para la compresión controlada está

reconociendo el incremento en la capacidad resistente que provoca en la sección el mayor

confinamiento producido por el zunchado del refuerzo transversal, incremento que deriva en una

mayor ductilidad.

Las razones por las cuales los reglamentos fijan valores menores para el factor de reducción de

la resistencia 𝜙 cuando se trata de la compresión controlada, en comparación con el que propone

adoptar para la tracción controlada, se justifica por:

La ductilidad que acompaña a los fallos en tracción controlada, propios de la flexo

compresión con grandes excentricidades, es mucho más ventajosa que la fragilidad

asociada a los fallos en compresión controlada. Estos últimos son generalmente súbitos

y poco deseados.

El fallo de una columna compromete más las prestaciones de una estructura, que el fallo

de una viga.

El peso relativo del hormigón en la capacidad resistente de la sección bajo cargas con

pequeñas excentricidades, es mucho mayor que el que corresponde al flexo compresión

con predominio de la flexión, y es precisamente el hormigón el material sujeto a mayores

variaciones en su calidad. Téngase en cuenta que las afectaciones que produce el

hormigonado de elementos verticales sobre el valor de 𝑓𝑐′, resultan ser mayores.

Cuando el refuerzo menos comprimido 𝐴𝑠 se deforma en el rango de 𝜀𝑦 < 𝜀𝑡 < 0,005,

análogo a asegurar que la línea neutra se sitúe en el intervalo de 0,375𝑑𝑡 < 𝑐 < 𝑐𝑏,

entonces la sección está en la llamada zona de transición y en ella el valor de 𝜙 variará

entre 𝟎, 𝟔𝟓 ó 𝟎, 𝟕𝟎 y 𝟎, 𝟗, permitiéndose una transición lineal en función del aumento de

𝜀𝑠, como se muestra en la figura 2.23.

Otra disposición de seguridad que se introduce en los reglamentos para los casos de flexión

combinada, es considerar excentricidades accidentales para las cargas actuantes debido a

imprecisiones constructivas inevitables, y a la propia incertidumbre que acompaña la definición

exacta de la posición de las cargas. Esta disposición provoca que los casos de compresión y

tracción axial queden prácticamente proscritos por los reglamentos. Para cumplir con este

requerimiento se crea un coeficiente 𝛼 que limita el valor máximo de 𝑃𝑢 a:

𝜙𝑃𝑢 = 𝛼𝜙𝑃𝑜

Siendo 𝑃𝑜 la carga nominal que corresponde a la compresión axial (𝑒𝑜 = 0) y 𝛼 un coeficiente que

toma en consideración, indirectamente, la reducción de esta capacidad debido a la excentricidad

accidental:

𝑃𝑜 = 0,85𝑓𝑐′𝑏ℎ + (𝐴𝑠′ + 𝐴𝑠)𝑓𝑦

𝛼: {0,80 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑎𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠

0,85 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑧𝑢𝑛𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎𝑠

El efecto de este criterio de seguridad sobre la capacidad portante de la sección se puede

apreciar en el diagrama de interacción que se muestra en la figura 2.16.

54

Ayudas gráficas. Como se demostró en del libro de hormigón armado de juan José Hernández santana, 2011,

resulta relativamente sencilla la confección de Diagramas de Interacción para la comprobación

de columnas, las que también pueden emplearse en el diseño. Sin embargo, desde hace

décadas están disponibles ábacos para la solución de la flexión compuesta basada en los

Diagramas de Interacción, que permiten los cálculos de una manera rápida, sencilla y confiable.

Estos ábacos dependen de:

Calidad del refuerzo, por lo general se construyen para el G – 40 y G – 60.

Resistencia del hormigón, pues cuando 𝑓𝑐′ > 30𝑀𝑃𝑎 el coeficiente 𝛽1 es variable y menor

que 0,85.

Valor del recubrimiento del refuerzo, variable que puede aparecer como las relaciones 𝑑−𝑑′

𝑑 ,

𝑑′

𝑑, etc.

Tipo de sección: rectangular, cajón, circular o anular.

Distribución del refuerzo: en caras opuestas, en todos los bordes.

+

Figura 2.16: Diagrama de interacción para la resistencia nominal y de cálculo.

En los anexos se incluyen los ábacos para resolver un número apreciable de estos casos. Están

construidos a partir de las ecuaciones para las cargas y momentos últimos de la sección (𝑃𝑢 y

𝑀𝑢) en base a los siguientes términos adimensionales:

Para secciones rectangulares

𝜐 =𝑃𝑢

𝑏ℎ𝑓𝑐′=

𝜙𝑃𝑛

𝑏ℎ𝑓𝑐′ 𝜇 =

𝑀𝑢

𝑏ℎ2𝑓𝑐′=

𝜙𝑀𝑛

𝑏ℎ2𝑓𝑐′ 𝜔𝑡 =

𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

𝑏ℎ𝑓𝑐′

Para secciones circulares y anulares.

55

𝜐 =𝑃𝑢

𝐷2𝑓𝑐′=

𝜙𝑃𝑛

𝐷2𝑓𝑐′ 𝜇 =

𝑀𝑢

𝐷3𝑓𝑐′=

𝜙𝑀𝑛

𝐷3𝑓𝑐′ 𝜔𝑡 =

4𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

𝜋𝐷2𝑓𝑐′

Donde 𝐴𝑠𝑡 es el área total de refuerzo en la sección

El empleo de estas gráficas para una comprobación se realiza a través del siguiente

procedimiento.

a) Calculo de 𝜔𝑡.

b) Selección del gráfico tomando en cuenta a: 𝑑′

𝑑, el tipo de sección, de acero y la distribución

del esfuerzo.

c) Plotear en la curva el par ordenado correspondiente a las solicitaciones externas (𝜇, 𝜐)

d) La sección resiste siempre que el par ordenado esté en el interior de la curva

correspondiente a valor de 𝜔𝑡 de la sección.

En el caso del diseño y para la situación más probable, con las dimensiones de la sección

determinadas, se procede:

a) Seleccionar el grafico en función de: tipo de sección, 𝑑′

𝑑, tipo de acero y de distribución

del refuerzo.

b) Calculo de 𝜐 y 𝜇.

c) Plotear en el ábaco el par ordenado (𝜇, 𝜐)

d) Escoger el valor de 𝜔𝑡 que se corresponde con la curva que satisface los requerimientos

de resistencia

e) Calcular

𝐴𝑠𝑡 = 𝜔𝑡𝑏𝑑𝑓𝑐′

𝑓𝑦 Para sección rectangular.

𝐴𝑠𝑡 = 𝜔𝑡𝜋𝐷2𝑓𝑐′

4𝑓𝑦 Para sección circular.

2.6. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. 2.6.1. Método directo de redistribución. Coeficientes plásticos para losas en una

dirección.

Como una simplificación en el diseño de vigas continuas y losas en una dirección se brindan al

proyectista coeficientes para el cálculo de las solicitaciones que admiten un cierto grado de

redistribuciones de momento. Se admite su aplicación siempre que existan:

• Elementos prismáticos.

• Elementos continuos de dos o más luces.

• Luces iguales o al menos con una diferencia entre luces adyacentes no mayor del 20 %.

• Cargas uniformemente distribuidas.

• La carga viva no debe exceder en tres veces la carga muerta.

Estos coeficientes se pueden aprecian en la tabla 2.13 y las figura 2.23 y 2.24

56

Tabla 2.13: Coeficientes plásticos para vigas continúas.

MOMENTO POSITIVO

LUCES EXTERIORES

- Si el extremo discontinuo no está restringido

- Si el extremo discontinuo se construye integral con el apoyo

𝑞𝑢𝑙𝑛2

11

𝑞𝑢𝑙𝑛2

14

LUCES INTERIORES 𝑞𝑢𝑙𝑛2

16

MOMENTO NEGATIVO

APOYOS EXTERIORES

Cuando el apoyo del elemento que se analiza no ofrece restricción al giro:

Cuando el elemento que se analiza se construye integralmente con el que le

sirve de apoyo:

- Cuando el apoyo es una viga de borde o una viga principal

- Cuando el apoyo es una columna

0

𝑞𝑢𝑙𝑛2

24

𝑞𝑢𝑙𝑛2

16

APOYOS INTERIORES

En la cara exterior del primer apoyo interior

- Dos Luces

- Más de dos Luces

En otras caras de apoyos interiores

𝑞𝑢𝑙𝑛2

9

𝑞𝑢𝑙𝑛2

10

𝑞𝑢𝑙𝑛2

11

Figura: 2.17: Coeficientes de redistribución para el caso de vigas de dos claros.

57

Figura 2.18: Coeficientes de redistribución para el caso de vigas de tres o más claros.

2.6.2. Losas en dos direcciones. Método de los coeficientes de Marcus. Para el cálculo de las solicitaciones en losas en dos direcciones las principales normativas

establecen la utilización del Método de Diseño Directo (MDD) y el Método del Pórtico Equivalente

(MPE). En el caso de losas de escasa complejidad estructural puede admitirse el empleo de los

otros métodos que se describen en la literatura, basados algunos de ellos en coeficientes que

permiten determinar los esfuerzos interiores que tienen lugar en la losa (flexión y cortante), el

corrimiento o flecha que originan las cargas en este elemento, y además sus reacciones a lo

largo de los bordes apoyados.

La mayoría de los Reglamentos para el cálculo estructural referidos al análisis de losas en dos

direcciones mencionan lo siguiente: “…Se permite diseñar un sistema de losas mediante

cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y compatibilidad

geométrica, si se demuestra que la resistencia de diseño en cada sección es por lo menos

igual a la resistencia requerida, y se cumplen todas las condiciones de funcionamiento

incluyendo los límites especificados para las deflexiones!”. Así lo establece el Artículo

13.5.1 de ACI 318:2008 y se espera lo reconozca el Artículo 22.5.1 del Reglamento cubano.

A continuación, se expone uno de los métodos que se apoyan en el empleo de coeficientes para

evaluar las variables del cálculo y diseño estructural de losas en dos direcciones, se trata del

Método de Marcus, aun de uso muy extendido en Europa y Norteamérica.

2.6.3. Limitaciones del método de Marcus.

58

El método es solo aplicable a paneles de losas rectangulares con una rectangularidad inferior a

dos y apoyados linealmente en sus cuatro bordes mediante muros o vigas relativamente

peraltadas y rígidas. Las cargas deben ser uniformemente distribuidas en toda la superficie del

panel, por eso el método se aplica básicamente para la combinación de carga muerta (𝐷) y viva

(𝐿). Puede tratarse de un panel aislado, poco frecuente en los diseños conceptuales de las losas

estructurales, como también a la combinación de varios de ellos en las dos direcciones, sin que

se restrinja la cantidad que se desarrolla en cada dirección. La figura 2.25 ilustra algunas de las

muy diversas situaciones que pueden ser analizadas mediante este método, y obsérvese que la

única restricción es que todos los paneles sean rectangulares y se encuentren apoyados en sus

cuatro bordes, condicionando la rectangularidad de dichos paneles a valores inferiores a dos.

Figura 2.19: Planta de dos soluciones de losas apoyadas sobre vigas.

La losa independiente representada en la figura 2.25a se encuentra simplemente apoyada en

sus cuatro bordes, mientras que en la figura 2.25b se ilustra una situación más real en la que se

combinan varios paneles de losas que presentan diferentes condiciones de apoyo:

El Panel B posee dos bordes simplemente apoyados y otros dos continuos, uno corto y otro

largo.

El Panel C posee solo un borde discontinuo o simplemente apoyado, en este caso un borde

corto, mientras los tres restantes son continuos con paneles vecinos.

El Panel D posee sus cuatro bordes continuos.

El Panel E posee solo un borde continuo (corto) y los tres restantes simplemente apoyados.

En realidad, pueden llegar a existir nueve condiciones diferentes de apoyo para cada panel, y

para cada una de ellas el método ofrece coeficientes que permiten evaluar de manera directa las

variables que luego intervienen en el diseño de la losa, a partir de diferentes rectangularidades

que puede presentar el panel. En la figura 2.26 se indican los nueve casos que refieren las tablas

del método, correspondiendo cada uno a las posibles condiciones de borde o apoyo que puede

presentar el panel.

59

Figura 2.20: Descripción de las nueve condiciones de apoyo del Método de Marcus.

2.6.4. Solución mediante el método de Marcus. El método divide en franjas cada panel en sus dos direcciones, y lo hace definiendo una franja

central de ancho igual a la mitad de la luz en la dirección en que se realiza el análisis, y dos

franjas de bordes cada una de un ancho igual a la cuarta parte de dicha luz, como se observa en

la figura 2.21. En ambas direcciones los momentos flectores son máximos en la franja central y

los coeficientes que ofrece el método se refieren precisamente a los esfuerzos que tienen lugar

en esta franja, reconociéndose que hacia las franjas de borde el momento disminuye y se

considera que llega a ser en el extremo de estas franjas igual a 1/3 del valor que corresponde al

centro de la franja central.

Figura 2.21: Variación del momento entre la franja central y las franjas de borde para un

panel aislado con sus cuatro bordes discontinuos o simplemente apoyados.

60

Los momentos en el punto medio de las franjas centrales que se desarrollan en las dos

direcciones del panel, se evalúan mediante las siguientes expresiones:

𝑀𝑎 = 𝐶𝑎𝑤𝑙𝑎2

𝑀𝑏 = 𝐶𝑏𝑤𝑙𝑏2

Siendo:

𝑙𝑎 , 𝑙𝑏: Longitud de las luces libres en las direcciones corta y larga, respectivamente.

𝐶𝑎 , 𝐶𝑏: Coeficientes de momento tabulados por el método, lo mismo para momentos

negativos que positivos.

𝑤: Carga uniformemente distribuida en una banda de ancho unitario de la franja central

(𝒃 = 𝟏, 𝟎𝒎) (𝐹𝐿−1)

𝑀𝑎 , 𝑀𝑏: Momento flector en el punto medio de la franja central paralela al lado largo (𝑙𝑏) y

corto (𝑙𝑎), respectivamente. Estos momentos corresponden a una banda de ancho

unitario (𝒃 = 𝟏, 𝟎𝒎) de la franja central en cada dirección.

En teoría el espaciamiento del acero no es uniforme tan siquiera en ninguna de las dos

direcciones del panel. Por ejemplo, si se deseara diseñar el refuerzo paralelo a la luz corta 𝑙𝑎 del

panel que se ilustra en la figura 2.27, existirá un espaciamiento calculado para el momento 𝑀𝑎

que resulta uniforme en la longitud 𝑙𝑏 2⁄ (ancho de la franja central del panel paralela a la dirección

que se está analizando), mientras que en las franjas de borde de ancho 𝑙𝑏 4⁄ el espaciamiento

será mayor pues se determinaría para el momento 𝑀𝑎 3⁄ (ver figura 2.27a). Un análisis semejante

se debe realizar para el diseño del refuerzo paralelo a la luz larga 𝑙𝑏 (ver figura 2.27b).

Sin embargo, cuando se trate de paneles que presentan bordes continuos, sobre los apoyos que

corresponden a estos bordes se originan momentos negativos como mismo sucede en las vigas

continuas. El método ofrece también coeficientes para evaluar estos momentos negativos

(tabla 2.14), considerando preferentemente en la evaluación de los mismos la magnitud total de

la carga gravitatoria para la combinación pésima.

En teoría sobre un borde discontinuo (simplemente apoyado) no debería existir momento

negativo, pero lo cierto es que la rigidez torsional de las vigas de borde, de existir estas, imponen

un grado de restricción al giro que no debe ser ignorada, por eso se debe considerar que sobre

este tipo de apoyo exista también un momento negativo igual a 1/3 del momento positivo que

corresponde a la franja central que se analiza.

El tratamiento de los momentos positivos posee una singularidad en este método debido a la

siguiente reflexión: cuando actúa la carga muerta 𝑫, su carácter permanente hace que su

magnitud, posición y sentido sea generalmente igual en todos los paneles, y se debe esperar

que la rotación que origina esta carga sobre un apoyo intermedio a dos paneles adyacentes sea

muy pequeña o incluso nula, debido a que en la práctica las luces de todos los paneles son igual

o difieren muy poco. Este análisis no puede ser el mismo para la carga viva 𝑳 puesto que el

carácter temporal de esta segunda carga puede justificar que en algunos tipos de estructuras

ella se encuentre actuando sobre un panel dado y no hacerlo en los adyacentes. Por esa razón

61

el método ofrece la valiosa oportunidad de considerar que la carga viva actúe solo en el panel

que se está analizando y no en los adyacentes, escenario que se convierte en la situación más

desfavorable para dicho panel por la descompensación de los giros alrededor del apoyo

intermedio, y en consecuencia el incremento del momento positivo en él. Esta reflexión es la que

justifica que el método ofrezca dos tablas diferentes para evaluar los momentos positivos, una

para la carga muerta (tabla 2.15), y otra para la carga viva (tabla 2.16).

Finalmente el método ofrece una cuarta tabla (tabla 2.17) que define los coeficientes para evaluar

la fracción de la carga total 𝑤 que se trasmite en ambas direcciones de cada panel. Esta última

información resulta de mucho interés para determinar el cortante en la losa, la deflexión (flecha)

del panel y también sus reacciones de apoyo, que se convierten en la carga que debe ser luego

considerada para el diseño de las vigas. A continuación, se indican las tablas que permiten

trabajar con este método.

Tabla 2.14: Coeficientes de Marcus para evaluar momentos negativos en la franja central

sobre apoyos continuos en losas en dos direcciones.

𝒎= 𝒍𝒂 𝒍𝒃⁄

Coeficiente

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

CASO 6

CASO 7

CASO 8

CASO 9

1,00 𝑪𝒂

− - 0,045 - 0,050 0,075 0,071 - 0,033 0,061

𝑪𝒃− - 0,045 0,076 0,050 - - 0,071 0,061 0,033

0,95 𝑪𝒂

− - 0,050 - 0,055 0,079 0,075 - 0,038 0,065

𝑪𝒃− - 0,041 0,072 0,045 - - 0,067 0,056 0,029

0,90 𝑪𝒂

− - 0,055 - 0,060 0,080 0,079 - 0,043 0,068

𝑪𝒃− - 0,037 0,070 0,040 - - 0,062 0,052 0,025

0,85 𝑪𝒂

− - 0,060 - 0,066 0,082 0,083 - 0,049 0,072

𝑪𝒃− - 0,031 0,065 0,034 - - 0,057 0,046 0,021

0,80 𝑪𝒂

− - 0,065 - 0,071 0,083 0,086 - 0,055 0,075

𝑪𝒃− - 0,027 0,061 0,029 - - 0,051 0,041 0,017

0,75 𝑪𝒂

− - 0,069 - 0,076 0,085 0,088 - 0,061 0,078

𝑪𝒃− - 0,022 0,056 0,024 - - 0,044 0,036 0,014

0,70 𝑪𝒂

− - 0,074 - 0,081 0,086 0,091 - 0,068 0,081

𝑪𝒃− - 0,017 0,050 0,019 - - 0,038 0,029 0,011

0,65 𝑪𝒂

− - 0,077 - 0,085 0,087 0,093 - 0,074 0,083

𝑪𝒃− - 0,014 0,043 0,015 - - 0,031 0,024 0,008

0,60 𝑪𝒂

− - 0,081 - 0,089 0,088 0,095 - 0,080 0,085

𝑪𝒃− - 0,010 0,035 0,011 - - 0,024 0,018 0,006

0,55 𝑪𝒂

− - 0,084 - 0,092 0,089 0,096 - 0,085 0,086

𝑪𝒃− - 0,007 0,028 0,008 - - 0,019 0,014 0,005

0,50 𝑪𝒂

− - 0,086 - 0,094 0,090 0,097 - 0,089 0,088

𝑪𝒃− - 0,006 0,022 0,006 - - 0,014 0,010 0,003

EXPRESIONES 𝑀𝑎

− = 𝐶𝑎−(𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑎

2

𝑀𝑏− = 𝐶𝑏

−(𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑏2

𝒘= 𝑫 + 𝑳 (𝒌𝑵 𝒎𝟐⁄ )

62

Tabla 2.15: Coeficientes de Marcus para evaluar momentos positivos en la franja central

debidos a carga muerta en losas en dos direcciones.

𝒎= 𝒍𝒂 𝒍𝒃⁄

Coeficiente

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

CASO 6

CASO 7

CASO 8

CASO 9

1,00 𝑪𝒂−𝑫

+ 0,036 0,018 0,018 0,027 0,027 0,033 0,027 0.02 0,023

𝑪𝒃−𝑫+ 0,036 0,018 0,027 0,027 0,018 0,027 0,033 0.023 0,020

0,95 𝑪𝒂−𝑫

+ 0,040 0,020 0,021 0,030 0,028 0,036 0,031 0,022 0,024

𝑪𝒃−𝑫+ 0,033 0,016 0,025 0,024 0,015 0,024 0,031 0,021 0,017

0,90 𝑪𝒂−𝑫

+ 0,045 0,022 0,025 0,033 0,029 0,039 0,035 0,025 0,026

𝑪𝒃−𝑫+ 0,029 0,014 0,024 0,022 0,013 0,021 0,028 0,019 0,015

0,85 𝑪𝒂−𝑫

+ 0,050 0,024 0,029 0,036 0,031 0,042 0,040 0,029 0,028

𝑪𝒃−𝑫+ 0,026 0,012 0,022 0,019 0,011 0,017 0,025 0,017 0,013

0,80 𝑪𝒂−𝑫

+ 0,056 0,026 0,034 0,039 0,032 0,045 0,045 0,032 0,029

𝑪𝒃−𝑫+ 0,023 0,011 0,020 0,016 0,009 0,015 0,022 0,015 0,010

0,75 𝑪𝒂−𝑫

+ 0,061 0,028 0,040 0,043 0,033 0,048 0,051 0,036 0,031

𝑪𝒃−𝑫+ 0,019 0,009 0,018 0,013 0,007 0,012 0,020 0,013 0,007

0,70 𝑪𝒂−𝑫

+ 0,068 0,030 0,046 0,046 0,035 0,051 0,058 0,040 0,033

𝑪𝒃−𝑫+ 0,016 0,007 0,016 0,011 0,005 0,009 0,017 0,011 0,006

0,65 𝑪𝒂−𝑫

+ 0,074 0,032 0,054 0,050 0,036 0,054 0,065 0,044 0,034

𝑪𝒃−𝑫+ 0,013 0,006 0,014 0,009 0,004 0,007 0,014 0,009 0,005

0,60 𝑪𝒂−𝑫

+ 0,081 0,034 0,062 0,053 0,037 0,056 0,073 0,048 0,036

𝑪𝒃−𝑫+ 0,010 0,004 0,011 0,007 0,003 0,006 0,012 0,007 0,004

0,55 𝑪𝒂−𝑫

+ 0,088 0,035 0,071 0,056 0,038 0,058 0,081 0,052 0,037

𝑪𝒃−𝑫+ 0,008 0,003 0,009 0,005 0,002 0,004 0,009 0,005 0,003

0,50 𝑪𝒂−𝑫

+ 0,095 0,037 0,080 0,059 0,039 0,061 0,089 0,056 0,038

𝑪𝒃−𝑫+ 0,006 0,002 0,007 0,004 0,001 0,003 0,007 0,004 0,002

EXPRESIONES

𝑀𝑎−𝐷+ = 𝐶𝑎−𝐷

+ (𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑎2

𝑀𝑏−𝐷+ = 𝐶𝑏−𝐷

+ (𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑏2

𝑤 = 𝐷 (𝑘𝑁 𝑚2⁄ )

63

Tabla 2.16: Coeficientes de Marcus para evaluar momentos positivos en la franja central

debidos a carga viva en losas en dos direcciones.

𝒎= 𝒍𝒂 𝒍𝒃⁄

Coeficiente

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

CASO 6

CASO 7

CASO 8

CASO 9

1,00 𝑪𝒂−𝑳

+ 0,036 0,027 0,027 0,032 0,032 0,035 0,032 0,028 0,030

𝑪𝒃−𝑳+ 0,036 0,027 0,032 0,032 0,027 0,032 0,035 0,030 0,028

0,95 𝑪𝒂−𝑳

+ 0,040 0,030 0,031 0,035 0,034 0,038 0,036 0,031 0,032

𝑪𝒃−𝑳+ 0,033 0,025 0,029 0,029 0,024 0,029 0,032 0,027 0,025

0,90 𝑪𝒂−𝑳

+ 0,045 0,034 0,035 0,039 0,037 0,042 0,040 0,035 0,036

𝑪𝒃−𝑳+ 0,029 0,022 0,027 0,026 0,021 0,025 0,029 0,024 0,022

0,85 𝑪𝒂−𝑳

+ 0,050 0,037 0,040 0,043 0,041 0,046 0,045 0,040 0,039

𝑪𝒃−𝑳+ 0,026 0,019 0,024 0,023 0,019 0,022 0,026 0,022 0,020

0,80 𝑪𝒂−𝑳

+ 0,056 0,041 0,045 0,048 0,044 0,051 0,051 0,044 0,042

𝑪𝒃−𝑳+ 0,023 0,017 0,022 0,020 0,016 0,019 0,023 0,019 0,017

0,75 𝑪𝒂−𝑳

+ 0,061 0,045 0,051 0,052 0,047 0,055 0,056 0,049 0,046

𝑪𝒃−𝑳+ 0,019 0,014 0,019 0,016 0,013 0,016 0,020 0,016 0,013

0,70 𝑪𝒂−𝑳

+ 0,068 0,049 0,057 0,057 0,051 0,060 0,063 0,054 0,050

𝑪𝒃−𝑳+ 0,016 0,012 0,016 0,014 0,011 0,013 0,017 0,014 0,011

0,65 𝑪𝒂−𝑳

+ 0,074 0,053 0,064 0,062 0,055 0,064 0,070 0,059 0,054

𝑪𝒃−𝑳+ 0,013 0,010 0,014 0,011 0,009 0,010 0,014 0,011 0,009

0,60 𝑪𝒂−𝑳

+ 0,081 0,058 0,071 0,067 0,059 0,068 0,077 0,065 0,059

𝑪𝒃−𝑳+ 0,010 0,007 0,011 0,009 0,007 0,008 0,011 0,009 0,007

0,55 𝑪𝒂−𝑳

+ 0,088 0,062 0,080 0,072 0,063 0,073 0,085 0,070 0,063

𝑪𝒃−𝑳+ 0,008 0,006 0,009 0,007 0,005 0,006 0,009 0,007 0,006

0,50 𝑪𝒂−𝑳

+ 0,095 0,066 0,088 0,077 0,067 0,078 0,092 0,076 0,067

𝑪𝒃−𝑳+ 0,006 0,004 0,007 0,005 0,004 0,005 0,007 0,005 0,004

EXPRESIONES

𝑀𝑎−𝐿+ = 𝐶𝑎−𝐿

+ (𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑎2

𝑀𝑏−𝐿+ = 𝐶𝑏−𝐿

+ (𝑤 ∙ 𝑏)𝑙𝑏2

𝒘 = 𝑳 (𝒌𝑵 𝒎𝟐⁄ )

64

Tabla 2.17: Coeficientes de Marcus para evaluar la fracción de la carga 𝒘 que se reparte

en ambas direcciones para evaluar el cortante en la losa y las reacciones en sus apoyos.

𝒎= 𝒍𝒂 𝒍𝒃⁄

Coeficiente

CASO 1

CASO 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

CASO 6

CASO 7

CASO 8

CASO 9

1,00 𝑾𝒂 0,50 0,50 0,17 0,50 0,83 0,71 0,29 0,33 0,67

𝑾𝒃 0,50 0,50 0,83 0,50 0,17 0,29 0,71 0,67 0,33

0,95 𝑾𝒂 0,55 0,55 0,20 0,55 0,86 0,75 0,33 0,38 0,71

𝑾𝒃 0,45 0,45 0,80 0,45 0,14 0,25 0,67 0,62 0,29

0,90 𝑾𝒂 0,60 0,60 0,23 0,60 0,88 0,79 0,38 0,43 0,75

𝑾𝒃 0,40 0,40 0,77 0,40 0,12 0,21 0,62 0,57 0,25

0,85 𝑾𝒂 0,66 0,66 0,28 0,66 0,90 0,83 0,43 0,49 0,79

𝑾𝒃 0,34 0,34 0,72 0,34 0,10 0,17 0,57 0,51 0,21

0,80 𝑾𝒂 0,71 0,71 0,33 0,71 0,92 0,86 0,49 0,55 0,83

𝑾𝒃 0,29 0,29 0,67 0,29 0,08 0,14 0,51 0,45 0,17

0,75 𝑾𝒂 0,76 0,76 0,39 0,76 0,94 0,88 0,56 0,61 0,86

𝑾𝒃 0,24 0,24 0,61 0,24 0,06 0,12 0,44 0,39 0,14

0,70 𝑾𝒂 0,81 0,81 0,45 0,81 0,95 0,91 0,62 0,68 0,89

𝑾𝒃 0,19 0,19 0,55 0,19 0,05 0,09 0,38 0,32 0,11

0,65 𝑾𝒂 0,85 0,85 0,53 0,85 0,96 0,93 0,69 0,74 0,92

𝑾𝒃 0,15 0,15 0,47 0,15 0,04 0,07 0,31 0,26 0,08

0,60 𝑾𝒂 0,89 0,89 0,61 0,89 0,97 0,95 0,76 0,80 0,94

𝑾𝒃 0,11 0,11 0,39 0,11 0,03 0,05 0,24 0,20 0,06

0,55 𝑾𝒂 0,92 0,92 0,69 0,92 0,98 0,96 0,81 0,85 0,95

𝑾𝒃 0,08 0,08 0,31 0,08 0,02 0,04 0,19 0,15 0,05

0,50 𝑾𝒂 0,94 0,94 0,76 0,94 0,99 0,97 0,86 0,89 0,97

𝑾𝒃 0,06 0,06 0,24 0,06 0,01 0,03 0,14 0,11 0,03

EXPRESIONES 𝑤𝑎 = 𝑊𝑎 ∙ 𝑤

𝑤𝑏 = 𝑊𝑏 ∙ 𝑤

𝒘= 𝑫 + 𝑳 (𝒌𝑵 𝒎𝟐⁄ )

65

2.7. Capítulo 9: Estados Límites de Utilización. 2.7.1. Comportamiento de la sección bajo cargas de servicio. En la curva de comportamiento M vs φ, figura 2.17, se aprecia claramente la trayectoria de

resistencia – deformación de una sección a flexión.

Figura 2.22: Curva de comportamiento en vigas.

En dicha curva se diferencian claramente dos ETAPAS de análisis.

Etapa de rotura: Mn vs φn

Valores que caracterizan el agotamiento, en los que se diseña la sección para resistir la

combinación de carga más desfavorable Mu < ϕMn

Etapa de servicio:

Es la etapa de “funcionamiento” de la viga, por lo que para el momento de servicio M =

Mk, etapa en la cual debe garantizarse que el elemento no se agriete ni se deforme más

allá de valores permisibles. Esto es lo que se llama el chequeo de los Estados Límites de

Utilización: de Fisuración, de Deformación, de Durabilidad, etc. El valor de momento Mk

se calcula con las cargas de servicio, sin mayorar, es decir que: Mk = γf M, donde γf = 1

En la etapa de funcionamiento el momento que provoca la fisuración de la sección (Mcr) resulta

una frontera en la valoración del comportamiento. Si Mk ≤ Mcr la sección no se fisura y aporta en

su totalidad, en la curva de comportamiento puede apreciarse como este punto marca una

frontera en el comportamiento de la sección. En las vigas comunes de hormigón armado, cuando

se alcanza el valor de Mk ya la sección se fisuró, pues ocurre que Mk > Mcr.

Por tanto, podrá establecerse dos zonas

• Mk ≤ Mcr sección no fisurada

• Mk > Mcr sección fisurada

Ha sido confirmado de manera fehaciente tanto teórica, como experimentalmente, que en el hor-

migón armado bajo cargas de servicio este tiene un comportamiento que puede admitirse como

elástico, por lo que a continuación se desarrollan las ecuaciones que rigen tal hipótesis.

2.7.2. Momento de fisuración. En las seciones de hormigón armado el cálculo del Mcr tiene en esencia una importancia

referencial, pues como regla estas se fisuran para cargas relativamente bajas. Considerando un

66

diagrama lineal fc vs ε’c, se muestra en la figura 2.18 los diagramas deformacionales y tensiónales

para la actuación del momento de fisuración Mcr y entonces aplicando Navier.

𝑓𝑟 =𝑀𝑐𝑟

𝑊´=

𝑀𝑐𝑟

𝐼𝑣´

Figura 2.23: Momento de fisuración en sección con comportamiento elástico.

Donde:

fr máxima tensión a tracción del hormigón a flexión

𝑓𝑟 = 0,62√𝑓𝑐´

𝑊´ =𝐼

𝑣′ Módulo de la sección

Para tomar en cuenta el aporte del refuerzo colocado en la sección se calcula la SECCIÓN

TRANSFORMADA, lo que se ilustra en la figura 2.19

Figura 2.24: Sección transformada

Las áreas transformadas de acero a hormigón se obtienen por:

𝐴𝑒𝑓𝑐 = 𝐴𝑠𝑓𝑠

𝐴𝑒𝜀𝑐´𝐸𝑐 = 𝐴𝑠𝜀𝑠𝐸𝑠

67

Y como para cualquier punto considerado en la sección ε’c = εs

𝐴𝑒 = 𝐴𝑠

𝐸𝑠

𝐸𝑐= 𝐴𝑠𝑛

Donde 𝑛 =𝐸𝑠

𝐸𝑐 es el módulo de equivalencia

Entonces:

Ah Área hormigón + Área transformada del acero

𝐴ℎ = 𝐴𝑔 + 𝑛𝐴𝑠 + 𝑛𝐴𝑠´ = 𝑏ℎ + 𝑛(𝐴𝑠 + 𝐴𝑠´)

Y si se considera el área de hormigón desplazada por el refuerzo:

𝐴ℎ = 𝑏ℎ + (𝑛 − 1)(𝐴𝑠 + 𝐴𝑠´)

Para obtener la posición del centroide de la sección transformada, v’, se calcula el momento

estático respecto al borde inferior:

𝑆ℎ =𝑏ℎ2

2+ (𝑛 − 1)𝐴𝑠𝑑𝑠 + (𝑛 − 1)𝐴𝑠´(ℎ − 𝑑´)

𝑣′ =𝑆ℎ

𝐴ℎ

Y finalmente para calcular el momento de inercia de la sección transformada, se divide la sección

en partes y se trabaja con la expresión:

𝐼ℎ = ∑ (𝐼𝑜𝑖 + 𝐴𝑖 𝑦𝑖2n

i=1 )

Donde:

Ih Momento de inercia total de la sección transformada respecto a su

centroide

Ioi Momento de inercia de cada parte de la sección respecto a su centroide

Ai Área de cada parte de la sección

yi Distancia del centroide de cada área hasta el centroide de la sección

Para una sección rectangular, despreciando las inercias de los aceros respecto a su propio

centroide:

𝐼ℎ =𝑏ℎ3

12+ 𝑏ℎ (𝑣′ −

ℎ

2)

2

+ (𝑛 − 1)𝐴𝑠(𝑣′ − 𝑑𝑠)2 + (𝑛 − 1)𝐴𝑠´(ℎ − 𝑑´ − 𝑣′)2

Entonces para el cálculo definitivo del Mcr, tomando en cuenta la sección transformada

𝑀𝑐𝑟 =𝑓𝑟

𝑣′𝐼ℎ

68

2.7.3. Sección fisurada. Cuando Mk > Mcr la sección está fisurada pero aún no ha entrado en la fase de agotamiento,

siendo la etapa más común de la vida de una viga. Analizando para el momento de servicio Mk

el comportamiento de la sección bajo régimen elástico y con apoyo de la figura 2.20, se

desarrollan las ecuaciones básicas del comportamiento de la sección. Note que se llama x a la

posición de la línea neutra, para diferenciarla de c, valor de esta cuando está sometida a Mu, en

el agotamiento.

Figura 2.25: Sección fisurada.

Σ𝐹 = 0 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠 = 𝑇𝑠

1

2𝑓𝑐𝑏𝑥 + 𝐴𝑠

′ 𝑓𝑠´ = 𝐴𝑠𝑓𝑠

Donde:

𝑓𝑐 = 𝜀𝑐´𝐸𝑐 𝑓𝑠´ = 𝜀𝑠´𝐸𝑐 𝑓𝑐 = 𝜀𝑠𝐸𝑠

Y por las ecuaciones de compatibilidad

𝜀𝑐´

𝑥=

𝜀𝑠´

𝑥 − 𝑑´=

𝜀𝑠

𝑑 − 𝑥

Sustituyendo en la ecuación de fuerzas

1

2𝜀𝑐´𝐸𝑐𝑏𝑥 + 𝐴𝑠

′ 𝜀𝑐´𝐸𝑠

𝑥 − 𝑑´

𝑥= 𝐴𝑠𝜀𝑐´𝐸𝑠

𝑑 − 𝑥

𝑥

Como 𝑛 =𝐸𝑠

𝐸𝑐 y considerando el área de hormigón desplazado por el refuerzo comprimido, para

calcular 𝑥 se resuelve la ecuación.

1

2𝑏𝑥2 + [𝑛𝐴𝑠 + (𝑛 − 1)𝐴𝑠

′ ]𝑥 − 𝑛𝐴𝑠𝑑 − (𝑛 − 1)𝐴𝑠′ 𝑑´ = 0

La conclusión del problema se logra calculando εs y el resto de las deformaciones, trabajando en

la ecuación de momentos respecto a As.

𝑀𝑘 =1

2𝑓𝑐𝑏𝑥 (𝑑 −

𝑥

3) + 𝐴𝑠

′ 𝑓𝑠´(𝑑 − 𝑑´)

O preferiblemente respecto a la resultante del hormigón Cc

69

𝑀𝑘 = 𝐴𝑠𝑓𝑠 (𝑑 −𝑥

3) + 𝐴𝑠

′ 𝑓𝑠´ (𝑥

3− 𝑑´)

Y como de la ecuación de compatibilidad

𝜀𝑠´

𝑥 − 𝑑´=

𝜀𝑠

𝑑 − 𝑥

Finalmente:

𝑀𝑘 = 𝐴𝑠𝜀𝑠𝐸𝑠 (𝑑 −𝑥

3) + 𝐴𝑠

′ 𝜀𝑠𝐸𝑠

𝑥 − 𝑑´

𝑑 − 𝑥(

𝑥

3− 𝑑´)

Despejando el valor de la tensión en el acero principal:

𝜀𝑠𝐸𝑠 = 𝑓𝑠 =𝑀𝑘

𝐴𝑠 (𝑑 −𝑥3

) + 𝐴𝑠´(𝑥 − 𝑑´) (

𝑥3

− 𝑑´)

𝑑 − 𝑥

Y puede calcularse

𝜀𝑠 =𝑓𝑠

𝐸𝑠

𝑓𝑠´ = 𝜀𝑠´𝐸𝑠 = 𝜀𝑠

𝑥 − 𝑑´

𝑑 − 𝑥𝐸𝑠

𝑓𝑐 = 𝜀𝑐´𝐸𝑐 = 𝜀𝑠

𝑥

𝑑 − 𝑥𝐸𝑐

Pero desde el punto de vista práctico lo importante es el cálculo de fs, pudiendo admitirse una

solución más simple, despreciando el aporte de A’s.

Entonces

𝑀𝑘 =1

2𝑓𝑐𝑏 ∙ 𝑥 (𝑑 −

𝑥

3) = 𝐴𝑠𝑓𝑠 (𝑑 −

𝑥

3)

𝑓𝑠 =𝑀𝑘

𝐴𝑠 (𝑑 −𝑥3)

Por tanto, es razonable calcular también x sin considerar el aporte de A’s, expresión más sencilla

y que no provoca variaciones notables en los resultados. Para tales consideraciones la ecuación

de fuerzas quedaría:

1

2𝑏𝑥2 + 𝑛𝐴𝑠𝑥 − 𝑛𝐴𝑠𝑑 = 0

Quedando finalmente.

1

2𝑏𝑤𝑥2 − [(𝑏 − 𝑏𝑤)ℎ𝑓 + 𝑛𝐴𝑠]𝑥 −

(𝑏 − 𝑏𝑤)ℎ𝑓2

2− 𝑛𝐴𝑠𝑑 = 0

70

Expresión de la puede calcularse x. finalmente para la obtención de la tensión en el acero se

puede proceder de forma simplificada y conservadora por:

𝑓𝑠 =𝑀𝑘

𝐴𝑠 (𝑑 −𝑥3

)

2.7.4. Control en vigas y losas en una dirección. En la edición 1999 del Código del ACI se introdujo un cambio significativo en el chequeo de la

fisuración dirigido fundamentalmente a limitar la separación entre las barras más próximas a la

cara traccionada de la sección. Así se sustituye las disposiciones anteriores, que por medio del

factor Z, se controlaba la abertura de grieta por un nuevo método que intenta controlar la

fisuración superficial a un ancho que, en forma general, sea aceptable en la práctica, pero que

puede variar ampliamente dentro de una estructura dada.

Esta separación máxima de la armadura depende solamente de la tensión en el acero 𝑓𝑠 bajo

cargas de servicio, y del recubrimiento libre 𝑐𝑐 de la armadura de flexión a partir de la superficie

traccionada más próxima y viene dada por la siguiente expresión:

𝑠 = 380 (280

𝑓𝑠) − 2,5𝑐𝑐

Pero no mayor que:

𝑠 = 300 (280

𝑓𝑠)

Donde:

S separación entre los centros de las barras de la armadura principal por flexión más

cercana a la cara más traccionada (mm).

fs tensión en la armadura calculada para las cargas de servicio (MPa). Se permite adoptar

esta tensión igual a 67 por ciento de la tensión de fluencia especificada de la armadura.

cc espesor del recubrimiento libre, medido desde la barra a la superficie mas traccionada,

en (mm). Ver figura 2.21

Figura 2.26: Espaciamiento entre barras y recubrimientos para el control de la fisuración

r recubrimiento neto (al estribo)

cc recubrimiento a la cara acero principal

dc recubrimiento mecánico (a la 1era camada)

ds recubrimiento mecánico de todo el refuerzo

principal

71

Las expresiones originales del ACI 318 – 99 fueron modificadas en el 2005 teniendo en cuenta

las transformaciones ocurridas en el 2002 en los criterios de seguridad. Estos cambios conducen

en secciones a flexión a una reducción de los coeficientes de seguridad en poco más de un 10%

y por tanto a secciones más dúctiles y más sensibles a la fisuración y a la deformación (para

cargas muertas y vivas iguales el factor de seguridad baja de 1,67 a 1,48). Por tanto, la tensión

en el refuerzo traccionado sobrepasará el 60% estimado como valor promedio y entonces se

propone, simplificadamente, tomarlo como 0,67fy y además se incrementaron en la misma

proporción los límites de espaciamientos máximos establecidos.

Esta expresión es una simplificación de la propuesta por Frosch, aunque no se plantea

explícitamente en el código ACI, evaluada para af = 0,44mm como se ilustra en la figura 2.22.

Las rectas se corresponden con la normativa y las curvas con la ecuación de Frosch, para una

barra de 2cm de diámetro y calculando el factor de profundidad por β = 1+0,0031dc. Por tanto,

este gráfico solo brinda un panorama general del origen de las expresiones y permite evaluar el

fenómeno con una mejor óptica.

Evaluando la información que brinda la figura 2.22, puede plantearse que, si bien se considera

una tensión del refuerzo alta, fs = 280MPa, propia del acero G60, la expresión del ACI 318 - 14

es muy poco exigente en el control del ancho de la grieta, en total correspondencia con el criterio

de que este no es un factor clave en el control de la fisuración. Esto provoca que resulte poco

probable que un elemento a flexión no cumpla esta restricción.

Tratando de aprovechar la enorme ventaja de la sencillez de las expresiones del ACI 318-99 y

adecuándolas a las exigencias de ancho de grietas planteadas para las condiciones cubanas por

la NC 250- 2004(16), podrían establecerse expresiones similares pero para una abertura de fisuras

de 𝑎𝑓 = 0,35𝑚𝑚. Esta simplificación se ilustra también en la figura 2.22. Entonces quedarían

expresadas por la siguiente expresión:

𝑠 = 300 (280

𝑓𝑠) − 2,5𝑐𝑐

Pero no mayor que: 𝑠 = 250 (280

𝑓𝑠)

Y considerando como un ancho de grieta aceptable por la práctica en Cuba 𝑎𝑓 = 0,30𝑚𝑚,

preferiblemente debían utilizarse la siguiente expresión:

𝑠 = 260 (280

𝑓𝑠) − 2,5𝑐𝑐

Pero no mayor que: 𝑠 = 200 (280

𝑓𝑠)

Un enfoque similar, para considerar alternativas más exigentes en la fisuración, propone

Harmsen al plantear que “aunque el ACI no lo indica, para otros anchos de rajaduras se puede

tomar”:

𝑠 = [380 (280

𝑓𝑠) − 2,5𝑐𝑐]

𝑎𝑓

0,41𝑚𝑚≤ [300 (

280

𝑓𝑠)]

𝑎𝑓

0,41𝑚𝑚

72

Figura 2.27: Disposiciones ACI 318-99. Ajustes a las condiciones cubanas

2.8. Conclusiones parciales del Capítulo. 1. El contenido complementario del tema se ha realizado teniendo en cuenta todos

los requisitos actualizada de la norma cubana y el código principal ACI 318 para

el diseño de elementos de hormigón armado.

2. Se puede resumir que se ha realizado complemento bibliográfico en los siguientes

tópicos del libro Hormigón para Arquitectos.

i. Capítulo 2: propiedades de los materiales. Para este capítulo se ha

colocado de información sobre el tópico de: recubrimiento, espaciamiento

entre barras y anclaje de armadura, que son temas importantes en la

distribución de refuerzo.

ii. Capítulo 3: Método de cálculo. Se desarrolló el tema de uso de los

factores de cargas y factores de reducción de resistencias.

iii. Capítulo 5: Flexión simple. como es preferible que la sección se encuentre

en tracción controlada en el diseño a flexión se profundizo en el tema de

fallo a tracción controlada, sobre el tema de cuantía máxima, recubrimiento

mecánico y el aporte de acero en compresión.

iv. Capítulo 6: Esfuerzo a cortante en vigas, las recomendaciones de diseño

a cortante en vigas y los diferentes métodos de diseño son los temas a las

cual se le profundizo en este capítulo.

v. Capítulo 7: Flexo compresión, el tema de las ayudas gráficas, el uso de los

ábacos para el para el diseño y comprobación de columnas y los requisitos

de seguridad.

vi. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. Se profundizo en tema

del uso de coeficientes para el cálculo y distribución de solicitaciones en

losas que trabaje en 1 o 2 direcciones.

73

vii. Capítulo 9: Estado límite de utilización. estudio sobre el comportamiento

de vigas bajo cargas de servicios y el chequeo y control de fisuras en vigas

y losas en 1 dirección.

3. Aspectos como la ubicación final de las estructuras y la forma en la que se realizan

los elementos (in situ o prefabricados) son importante su consideración pues con

ellos se puede conocer las características que debe tener el hormigón y el acero

de refuerzo, datos importantes para el diseño de elementos de hormigón armado.

4. Es importante siempre tener en cuenta las recomendaciones de diseño señalado

por las normas y códigos de diseño para todos los elementos de hormigón armado

pues ellos facilitan el proceso de diseño y responden a los criterios de resistencias.

74

Capítulo III: Ejercicios Resueltos y Propuestos. Introducción. En el siguiente capítulo se realiza un compendio de ejercicios resueltos y propuestos sobre

diseño y comprobación de secciones de hormigón armado para cada uno de los temas a los que

se le realizó el complemento bibliográfico al libro de Hormigón Armado para Arquitectos en el

capítulo II de esta investigación. Durante el análisis realizado en el capítulo I y II, se detectó la

necesidad de realizar la corrección de algunos de los ejercicios presente en esa literatura, que

también se colocarán en el presente capítulo.

3.1. Capítulo 2: Propiedades de los materiales. Para este Capítulo se resolverá un ejercicio dedicado al cálculo de la cantidad de barras de

refuerzo y su adecuada distribución en una sección dada, también se realizará el cálculo del

recubrimiento mecánico y la obtención de la longitud de anclaje entre las barras de refuerzo. Para

este ejercicio son muy importante los datos como: el nivel de agresividad del medio ambiente a

la que estará expuesto la sección, el tipo de hormigón que se utilice y el tipo de barras de refuerzo.

3.1.1. Ejercicio resuelto.

Se tiene una viga prefabricada situada en una zona de agresividad alta, cuya sección es de 30x80

cm, los cálculos a flexión arrojaron que se requiere colocar 28,52 cm2 de refuerzo en la fibra

inferior y se colocaran estribos No 13 espaciada a 20 cm.

a) Determinar el diámetro y cantidad de barras a colocar.

b) Distribuir las barras en la sección, calculando la separación en la 1era camada.

c) Obtenga el recubrimiento mecánico del refuerzo traccionado.

d) Calcule la longitud de anclaje requerida.

Solución.

a) Con el uso de la tabla 2.3 colocada en el capítulo dos se seleccionan las siguientes

variantes:

6 barras No 25 → Asreal = 30,6 cm2

8 barras No 22 → Asreal = 30,96 cm2

De aquí se escoge la primera área, pues con ella obtenemos menor cantidad de barras y

así se facilita su distribución en la sección

b) Comprobar si las 6 barras caben en una camada.

Este proceso se facilita con la ayuda de la misma tabla utilizada en el paso anterior.

𝑑𝑏𝑒 = 1,27 𝑐𝑚

𝑑𝑏 = 2,54 𝑐𝑚

𝑟 = 3,5 𝑐𝑚

𝑐𝑐 = 𝑟 − 𝑑𝑏𝑒 = 3,5 − 1,27 = 4,77 𝑐𝑚

𝑠 =𝑏 − 2𝑐𝑐 − 𝑛𝑏 ∙ 𝑑𝑏

𝑛𝑏 − 1=

30 − 2 ∙ 4.77 − 6 ∙ 2.54

6 − 1= 1,04 𝑐𝑚

La separación mínima (s) de cara a cara de las barras es su diámetro (𝑑𝑏 = 2,54 𝑐𝑚)

Por lo que se concluye que las 6 barras no caben en una camada se procede a distribuirlo

en 4 barras en la primera camada y 2 en la segunda camada y se recalcula la separación

para esta.

𝑠 =𝑏 − 2𝑐𝑐 − 𝑛𝑏𝑑𝑏

𝑛𝑏 − 1=

30 − 2 ∙ 4.77 − 4 ∙ 2.54

4 − 1= 3,43 𝑐𝑚 > 𝑠𝑚𝑖𝑛

75

Una manera más rápida es el uso de la tabla 2.3 donde para:

𝑟 = 3,5 𝑐𝑚

𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑁𝑜 25

𝐵 = 30 𝑐𝑚

Se determina que caben 4 barras en una camada

c) cálculo del recubrimiento mecánico ds para la distribución escogida.

6𝑑𝑠 = 4 (𝑐𝑐 +𝑑𝑏

2) + 2 (𝑐𝑐 +

3𝑑𝑏

2+ 2,5) = 4 (2.77 +

2.54

2) + 2 (4.77 +

3 ∙ 2.54

2+ 2,5)

𝑑𝑠 = 7,72 𝑐𝑚

Se puede también considerar la misma cantidad de barras que en cada camada:

𝑑𝑠 = 𝑐𝑐 +2𝑑𝑏

2+

2,5

2= 4.77 +

2 ∙ 2.54

2+

2,5

2= 8,58 𝑐𝑚

Esto se puede realizar también con la ayuda de la tabla 2.4 colocada en el capítulo 2

donde para:

Estribos No 13

r= 3,5 cm

Barras principal No 25 colocada en 2 camadas.

→ se obtiene un recubrimiento mecánico ds = 8,58 cm.

d) Cálculo de la longitud de anclaje (ld).

.

𝑙𝑑𝑏 = (𝑓𝑦

1,1√𝑓𝑐′) 𝑑𝑏 = (

300

1,1√20) 𝑑𝑏 = 126,47 𝑐𝑚

Obteniéndose los coeficientes:

𝜓𝑡 = 1 Para zonas de alta agresividad.

𝜓𝑠 = 1 Para para barras No 25.

𝜓𝑒 = 1 Para barras sin revestimientos.

𝜆 = 1 Para hormigón normal.

Cálculo de cb

𝑑𝑐 = 𝑐𝑐 +𝑑𝑏

2= 4.77 +

2.54

2= 6,04 𝑐𝑚 1era camada

𝑠 =𝑏 − 2𝑐𝑐 − 𝑑𝑏

𝑛𝑏 − 1=

30 − 2 ∙ 4,77 − 2.54

4 − 1= 5,97 𝑐𝑚

𝑐𝑏 =𝑠

2=

5.97

2= 2,99 𝑐𝑚 < 𝑑𝑐

Cálculo de Ktr.

76

𝐾𝑡𝑟 =40𝐴𝑡𝑟

𝑠𝑛=

40 ∙ 𝐴𝑡𝑟

5,97 ∙ 2= 1,29 𝑐𝑚

Donde: 𝐴𝑡𝑟 → 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 13 𝑛 → 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑡𝑎𝑠

𝑘𝑡𝑟 + 𝑐𝑏

𝑑𝑏=

1.29 + 2.99

2.54= 1,684 < 2,5

Entonces: 𝑙𝑑 = {𝜓𝑡.𝜓𝑠 .𝜓𝑒

𝜆(𝑐𝑏+𝑘𝑡𝑟

𝑑𝑏)} (𝑙𝑑𝑏) (

𝐴𝑠

𝐴𝑠𝑟𝑒𝑎𝑙) = {

1.1.1

1(2.99+1.29

2.54)} (126,47) (

28,52

30,96) = 70 𝑐𝑚

Se puede también utilizar la tabla 2.6 del capítulo 2, que se utiliza para el cálculo de

ld teniendo los siguientes datos:

Fc’ = 30 MPa agresividad alta fy = 300 MPa,

S ≤ 2db = 3,43 cm

r ≥ db = 3,5 cm

Se está en la condición dos y se obtiene que ld = 101,6 cm.

3.2. Capítulo 5: Flexión simple. Para este tópico el primer epígrafe se dedicará a ejercicios resueltos y el segundo epígrafe son

los ejercicios propuestos. Variando datos como la zona de ubicación geográfica, las cargas

actuantes, las dimensiones de las secciones transversales, tipo de sección (sección rectangular,

sección T), luces de trabajo, resistencia de los materiales, las condiciones de apoyos, área de

acero de refuerzo, etc. Para el epígrafe de los ejercicios resuelto se resolverán 2 ejercicios de

comprobación y 3 ejercicios de diseño, mientras que en el segundo epígrafe se colocarán 5

ejercicios propuesto de diseño y comprobación.

3.2.1. Ejercicios resueltos.

1. Calcule el momento de servicio que resiste la sección de una viga rectangular

30x60 cm, doblemente armado con área de acero de 49.14 cm2 en la zona

traccionada y 20.4 cm2 en zona de compresión, las resistencias del hormigón y el

acero son de 25 MPa y 300 MPa respectivamente y el módulo de elasticidad del

acero es 2x105 MPa:

h = 60 cm As = 6 barras N.O 32 (49,14 cm2) fc’ = 25 MPa. (Agresividad

media)

b = 30 cm As = 4 barras N.O 25 (20,4 cm2) fy = 300 MPa. ES = 2*105

MPa. dsreal = 8,8 cm d’ = 5,22 cm

Para el recubrimiento exigido se utilizarán estribos número 10 y las barras principales se

2 en tres camadas.

𝑑 = ℎ − 𝑑𝑠 = 60 − 8,8 = 51,2 𝑐𝑚

𝑑𝑡 = ℎ − 𝑑𝑐 = 60 − 6,22 = 54,78 𝑑𝑡

𝑑=

54.78

51.2= 1.06

77

1. Calculo de las características general de la sección

𝜔 =𝐴𝑆𝑓𝑦

𝑏𝑑𝑓𝑐′ =

49,14∙30

30∙51,2∙2,5= 0.38 𝜔′ =

𝐴′𝑆𝑓′𝑦

𝑏𝑑𝑓𝑐′ =

20,4∙30

30∙51,2∙2,5= 0,16

2. Determinación del tipo de fallo.

𝜀𝑦 =𝑓𝑦

𝐸𝑆=

300

2∙105 = 0. ,0015 𝛽1 = 0,85 Para f’c 25 MPa

Entonces 𝜔𝑏 = 0.85 ∙ 0,85 ∙0,003

0,003+0,0015∙ 𝑑𝑡 = 0,51

𝜔 − 𝜔′ = 0,22 < 𝜔𝑏 El fallo es dúctil y 𝜀𝑠 > 𝜀𝑦.

3. Cálculo de a y c.

𝑎 = (𝐴𝑆 − 𝐴𝑆

′ )𝑓𝑦

0,85 ∙ 𝑏 ∙ 𝑓𝑐′ =

30(49.14 − 20.4)

0,85 ∙ 30 ∙ 2,5= 13,52 𝑐𝑚

𝑐 = 𝑎

0,85=

13.52

0,85= 15,91 < 𝑐𝑡 = 0,375 ∙ 𝑑𝑡 = 20,18 𝑐𝑚

Comprobar que 𝜀𝑠′ > 𝜀𝑦.

𝜀𝑠′ =

𝑐 − 𝑑′

𝑐0.003 =

15,91 − 5,22

15,910,003 = 0,002 > 0,0015

4. Calculo de momento nominal, Mn.

𝑀𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑎𝑏 (𝑑 −

𝑎

2) + 𝑓𝑦𝐴′𝑠(𝑑 − 𝑑′)

= 0,85 ∙ 2,5 ∙ 13,52 ∙ 30 (51,2 −13,52

2) + 20,4 ∙ 30(51,2 − 5,22)

= 663.25𝑘𝑁𝑚

Ya que el fallo es dúctil, ɸ = 0,9 y el momento último será igual a:

𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛 = 0,9 ∙ 663,25 = 596,93𝑘𝑁𝑚.

2. Calcule el momento de servicio que resiste la sección de una viga rectangular con

dimensiones 30x55 cm doblemente reforzada con área de acero de 80.44 cm2 en la

zona traccionada y 20.4 cm2 en zona de compresión, las resistencias del hormigón

y el acero son de 25 MPa y 300 MPa respectivamente y el módulo de elasticidad del

acero es 2x105 MPa:

h = 55 cm As = 8 barras N.O 36 (80,44 cm2) fc’ = 25 MPa. (Agresividad

media)

b = 30 cm As = 4 barras N.O 25 (20,4 cm2) fy = 300 MPa.

ES = 2*105 MPa.

Para el recubrimiento exigido se utilizarán estribos número 10 y las barras principales se

colocarán en tres camadas.

𝑑 = ℎ − 𝑑𝑠 = 55 − 12,9 = 42,1 𝑐𝑚

𝑑𝑡 = ℎ − 𝑑𝑐 = 55 − 5,74 = 49,26 𝑐𝑚

78

𝑑𝑡

𝑑=

49,26

42,1= 1,17

5. Calculo de las características general de la sección

𝜔 =𝐴𝑆𝑓𝑦

𝑏𝑑𝑓𝑐′ =

80,44∙300

30∙42,1∙25= 0,7643 𝜔′ =

𝐴′𝑆𝑓′𝑦

𝑏𝑑𝑓𝑐′ =

20,4∙300

30∙42,1∙25= 0,1938

6. Determinación del tipo de fallo.

𝜀𝑦 =𝑓𝑦

𝐸𝑆=

300

2∙105 = 0,0015 𝛽1 = 0,85 Ya que f’c 25 MPa

Entonces 𝜔𝑏 = 0.85 ∙ 0.85 ∙0,003

0.003+0.0015

∙𝑑𝑡

𝑑= 0,56

𝜔 − 𝜔′ = 0.5702 > 𝜔𝑏 El fallo es frágil y 𝜀𝑠 < 𝜀𝑦.

7. Calculo de a y c.

Suponiendo que 𝜀′𝑠 > 𝜀𝑦

𝑐𝑐 + 𝑐𝑠 = 𝑇𝑠 0.85𝑓′𝑐𝑎𝑏 + 𝑓𝑦𝐴′𝑠 = 𝑓𝑠𝐴𝑠

𝑓𝑠 = 𝜀𝑠𝐸𝑠 𝜀𝑠 = 0.003𝑑−𝑐

𝑐

Sustituyendo en le ecuación de fuerza las ecuaciones de fs y 𝜀𝑠 y despejando para

obtener los valores de a y c.

c = 28,99 cm y a = 0,85∙28,99 = 24,64 cm

8. Calculo de momento nominal, Mn.

𝑀𝑛 = 0.85𝑓𝑐′𝑎𝑏 (𝑑 −

𝑎

2) + 𝑓𝑦𝐴𝑠(𝑑 − 𝑑′)

= 0,85 ∙ 2.5 ∙ 24,64 ∙ (42,1 −24,64

2) + 20,4 ∙ 30(42,1 − 5,22) = 693,5𝑘𝑁𝑚

Ya que el fallo es frágil, ɸ = 0,65 y el momento último será igual a:

𝑀𝑢 = ∅𝑀𝑛 = 0.65 ∙ 693,5 = 450,77𝑘𝑁𝑚

3. Diseñar la sección de una viga hormigón armado que se encuentra ubicado en un

ambiente de alta agresividad, con la siguiente resistencia del hormigón resistencia

y del acero de refuerzo y momento actuante.

b= 30 cm Mu= 280 kNm

fc’= 30 MPa agresividad alta. fy= 300 MPa

Solución

1. Determinación de las condiciones de trabajo.

Se asume 𝜔 = 0,25 𝜔′ = 0

Por lo que 𝜔𝑟 = 0,25

79

2. Cálculo del peralto h.

Como que no se tiene en cuenta el aporte del acero comprimido, de la ecuación del momento

último se calcula d.

𝑑 = √𝑀𝑢

𝜙𝜔𝑟(1 − 0,59𝜔𝑟)𝑏𝑑𝑓𝑐′ = √512 −

28000

0,9 ∙ (1 − 0,59 ∙ 0,25)30 ∙ 𝑑 ∙ 30= 51,39 𝑐𝑚

Se redondea esto a número constructivo d = 51 y se asume 2 camadas por lo que ds= 9cm

y se concluye que:

d= 51 cm y h= 60 cm

dt = 60 – 7 = 53 cm

d𝑡

d =

53

51= 1,04

3. Cálculo del refuerzo a tracción

𝑎 = 𝑑 − √𝑑22𝑀𝑢

𝜙0.85𝑏𝑓𝑐′ = √512 −

2 ∙ 28000

0,9 ∙ 0,85 ∙ 30 ∙ 30= 15,17𝑐𝑚

Comprobar que c < 0,375d.

𝑐 =𝑎

0,85=

15,17

0,85= 17,85 𝑐𝑚 < 0,375𝑑𝑡 = 0,375 ∙ 53 = 19,86 𝑐𝑚

𝐴𝑠 =0.85𝑓𝑐

′𝑎𝑏

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 30 ∙ 15,17

300= 32,46 𝑐𝑚

El área real de la tabla de acero es 𝐴𝑆𝑟𝑒𝑎𝑙 = 32,76 𝑐𝑚 esto son 4ɸ32 que se colocaran

en 2 camadas y dsreal= 8,8 cm

4. Calcular el área de acero de refuerzo para una viga rectangular de hormigón armado

con peralto prefijado para que soporte un momento ultimo de 640 kNm, las

dimensiones de la sección transversal 30x70 cm, la viga está ubicada en una zona

de baja agresividad (resistencia de hormigón fc’ = 20 MPa) y la resistencia de acero

fy = 300 MPa, considere recubrimiento mecánico de 4.9 cm.

Datos

b= 30 cm h= 70 cm Mu= 640 kNm

fc’= 20 Mpa (β1= 0.85) fy = 420MPa

1. como es una sección con peralto prefijado se tendrá en cuenta el aporte del acero

comprimida:

para una sola camada de refuerzo d = dt, d=h-ds

80

𝜔𝑟𝑎 = 0,85𝛽10,375𝑑𝑡

𝑑= 0,271 Cuantía para sección traccionada.

𝑀𝑟𝑎 = 𝜔𝑟𝑎(1−0.59𝜔𝑟𝑎)𝑏𝑑𝑓𝑐′= 508,2 𝑘𝑁𝑚

Como que 𝑀𝑢 > 𝜙𝑀𝑟𝑎 la sección requiere acero a compresión por cálculo, para garantizar

fallo dúctil.

Comparación del momento de servicio con el momento limite.

𝑚𝑢 < 𝜙𝑀𝑙𝑖𝑚 = 0.9[1.33(0.333𝑏𝑑𝑓𝑐′)] = 891.92 𝑘𝑁𝑚

2. Cálculo del acero a compresión.

𝐴𝑠𝑟𝑒𝑎𝑙′ =

𝑀𝑢𝜙

− 𝑀𝑟𝑎

𝑓𝑦(𝑑 = 𝑑′)=

640000,9

− 50820

42(61 − 7)= 8,42 𝑐𝑚2

El área real de la tabla es 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑎𝑙′ = 8,52 𝑐𝑚2 3ɸ19 y d’ = 4,9 cm

3. Cálculo del acero a tracción.

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 − 2

𝑀𝑢𝜙 − 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑎𝑙

′ 𝑓𝑦(𝑑 − 𝑑′)

0,85𝑏𝑓𝑐′ = 61 − √612 − 2

640000,9 − 8,52 ∙ 42(61 − 4,9)

0,85 ∙ 2 ∙ 30

= 18,99 𝑐𝑚

𝑐𝑡 = 0,375𝑑 = 22,88 𝑐𝑚 > 𝑐 Ok.

𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐

′𝑎𝑏 + 𝑓𝑦𝐴𝑠′

𝑓𝑦=

0,8520 ∙ 18,99 ∙ 30 + 420 ∙ 8,52

420= 31,58 𝑐𝑚2

El área real de la tabla es de 32,76 cm2 (4ɸ32).

Distribución del refuerzo: con la ayuda de la tabla 2.5 del capítulo 2, se colocan las 4 barras

en una sola camada.

5. Determinar el acero de refuerzo de la sección transversal en forma T (dimensiones

h = 90 cm, bw = 30 cm y hf = 10 cm) de una viga de hormigón armado que forma

parte de un entrepiso hormigonado insitu en una zona de agresividad media, la

sección está sometido una carga permanente Qd = 6,36 kN/m2 /m(sin peso de la

viga) y una carga viva Ql = 2 kN/m, los materiales tienen resistencias de 25 MPa

para el hormigón y 300 MPa para el acero y ɣh = 24kN/m3.

Datos.

QD = 6,36 kN/m2 (sin peso de la viga) f’c =25 MPa

qL = 2 kN/m2 fy =300 MPa ɣh = 24 kN/m3

Espesor (hf) = 10 cm bw = 30 cm

81

h (altura menos el ala) = 80 cm hTotal = 90 cm

1. Cálculo del momento flector.

Carga por peso de la viga = 0.3*0.8*24 = 5.76kN/m

qu = 1.2(6.36+5.76) + 1,6(2*4) = 50kN/m

𝑀𝑢 =𝑞𝑢𝐿2

8=

50 ∙ 122

8= 900 𝑘𝑁𝑚

2. Cálculo del ancho eficaz del ala (b):

𝑏 ≤𝑙𝑒

4= 12

4⁄ = 3 𝑚

𝑏 ≤ 16ℎ𝑓 + 𝑏𝑤 = 1,9 𝑚

𝑏 ≤ 𝐵 = 4 𝑚

De los tres de toma el menor valor que son 1.9 m = b.

3. Comprobación de comportamiento de la sección, calculando el momento del ala.

Se asume 2 camadas y ds = 9 cm y dc = 7 cm 𝑑 − ℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 – d𝑠 = 81 cm

𝑑𝑡 − ℎ𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 – d𝑐 = 83 cm

𝑀𝑎𝑙𝑎 = 0,85𝑓𝑐′ℎ𝑓𝑏 (𝑑 −

ℎ𝑓

2) = 0,85 ∙ 2,5 ∙ 10 ∙ 190(81 −

10

2) = 3068,5 𝑘𝑁𝑚

Considerando que la sección está en tracción controlada se admite ɸ=0,9.

𝜙𝑀𝑎𝑙𝑎 > 𝑀𝑢

De aquí se concluye que la sección tiene comportamiento rectangular.

4. Cálculo del acero

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑢

𝜙0,85𝑓𝑐′𝑏

= 81 − √812 −2 ∙ 90000

0,9 ∙ 0,85 ∙ 2,5 ∙ 30= 3,12 𝑐𝑚

𝑐 =𝑎

𝛽1=

3.12

0.85= 3,67 𝑐𝑚 ≪ 𝑐𝑡 = 0,375𝑑𝑡 = 31,125

𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐

′𝑎𝑏

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 2,5 ∙ 3,12 ∙ 190

300= 41,96 𝑐𝑚2

El área real total es de 42,96 cm2que son 4ɸ32 y 2ɸ25

82

Distribución del refuerzo: con la ayuda de la tabla 2.5 del capítulo 2, se colocan las 4 barras

primera en una camada y las otra dos en una segunda camada.

3.2.2. Ejercicios propuestos.

1. Encuentre el área de acero necesaria para la viga de hormigón armado con dimensiones

de la sección transversal de b = 25 cm y d = 45 cm, las cuales se sabe que son adecuadas

para sostener un momento para cargas mayoradas de 160 kNm. Las resistencias de los

materiales son fc’ = 40 MPa y fy = 600 MPa.

2. Un sistema de entrepiso consta de una losa de hormigón de 8 cm sobre vigas T continuas

de 7 m de luz y 1 m entre centros. Las dimensiones del alma, determinadas por requisitos

de momentos negativos en los apoyos son b, = 28 cm y d = 50 cm. Cuál es el área de

acero a tensión que se requiere en la mitad de la luz para resistir un momento de 640 kN-

m, si fy = 600 MPa y fc’ = 30 MPa.

3. Para una sección rectangular de una viga sometido a un momento Mu = 787 kN-m,

determine el área requerido en tensión y compresión de reforzamiento para las

dimensione b = 35 cm h = 60 cm, las resistencias del hormigón y el acero de refuerzo son

fc’ = 40 MPa y fy = 600 MPa respectivamente, considere recubrimiento d’ = 6 cm.

4. Una viga rectangular que debe sostener una carga viva de servicio de 10.88 kN y una

carga muerta calculada de 4.67 kN en una luz simple de 6 m, tiene limitada por razones

arquitectónicas la sección transversal a 25 cm de ancho y 50 cm de altura total. Si fy =

400 MPa y fc' = 30 MPa. ¿cuál es el área o las áreas de acero que deben suministrarse?

5. Una viga de hormigón armado reforzada a tensión tiene ancho b = 25 cm y d = 50 cm

hasta el centroide de las barras, ubicadas todas en una sola camada, Si fy = 600 MPa y

fc’ = 40 MPa, encuentre la resistencia nominal (Mn) a flexión para: (a) As = 2 barras No.

8. (b) As = 2 barras No. 10 (c) As = 3 barras No. 11.

6. Verificar si una viga rectangular simplemente apoyada con una luz de 4.6 m, reforzada

con As = 15.52 cm2 resiste el momento último que produce una carga permanente de 1.8

kN y una viva de 3.6 kN. Considere fc’ = 28 MPa, fy = 420 MPa y Es = 2.1*106 MPa, las

dimensiones de la sección transversal son b = 30 cm y h = 50 cm, considere recubrimiento

normativo de 4 cm.

7. Calcule el momento resistente para una viga de sección T que se muestra en la figura

abajo, conociendo que fue hormigonada in situ y colocada en un ambiente con baja

agresividad, por lo que las características de los materiales empleadas son fs’ = 25 MPa

y fy = 300 MPa, utilice áreas de acero de (a) As = 7 barras N. 20 y (b) As = 7 barras N. 25.

83

3.3. Capítulo 6: Esfuerzo cortante en vigas. Para este tema el primer epígrafe se dedicará a ejercicios resueltos y el segundo epígrafe

son los ejercicios propuestos. Variando datos como: la zona de ubicación geográfica, las

cargas actuantes, las dimensiones de las secciones transversales, el tipo de sección

(sección rectangular, sección T), longitud de la luz de trabajo, resistencia de los

materiales, las condiciones de apoyos, área de acero de refuerzo, etc. Para el epígrafe

de los ejercicios resuelto se resolverán 4 ejercicios de diseño (3 sección rectangulares y

1 sección T) en el segundo epígrafe se colocarán 4 ejercicios propuesto de diseño a

cortante.

3.3.1. Ejercicios resueltos.

1. Una viga de 8 m de luz está sometido a una carga Qu = 70 kN/m, las dimensiones de

la sección transversal son b = 30 cm y h = 60 cm, la viga esta esforzado

longitudinalmente con As = 8 barras N. 25 y As’ = 2 barras N. 25. Diseñe a cortante

la viga simplemente apoyada sobre columnas de (30x30) cm, considere Av = 2,58

cm2

Datos:

L= 8 m b = 30 cm As = 8 barras N.o 25

qu = 55 kN / m h = 60 cm As’ = 2 barras N.o 25

Se toma columna de apoyo de (30*30) cm

𝐴𝑣 = 2.58 𝑐𝑚2

Se realizará el diseño por el método de cortante límite.

1. Cálculo de las solicitaciones

Como la carga se distribuye por toda la luz de la viga, las reacciones de apoyo serán la

mitad de la carga actuante

RA = RB = 280 kN

Entonces Vu = 280kN

84

2. Cálculo del cortante actuante máximo.

Con el área dado se escoge de la tabla un dSreal = 7,8 cm

d = h – dS = 52,2 cm

Lr = 4 m (a la mitad de la luz)

d0 = d + (hapoyo/2) = 52,2 + (30/2) = 67,2 cm

𝑉𝑢𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝑢 (𝑙𝑟 − 𝑑0

𝑙𝑟) = 280 (

4 − 0,672

4) = 232,96 𝑘𝑁

3. Cálculo de la resistencia por el aporte del hormigón.

𝑉𝐶 = 170√𝑓𝐶′𝑏𝑤𝑑 = 170 ∙ √20 ∙ 0,3 ∙ 0,522 = 109,77 𝑘𝑁

∅𝑉𝐶 = 0,75 ∙ 109,77 = 82,32𝑘𝑁

∅𝑉𝐶

2=

82,32

2= 41,16𝑘𝑁

5∅𝑉𝐶 = 5 ∙ 82,32 = 411,6𝑘𝑁 > 𝑉𝑢 La sección es suficiente.

4. Cálculo de las longitudes a reforzar.

𝑙𝑟1 = 𝑙𝑟 (1 −∅𝑉𝐶

𝑉𝑢) = 4 (1 −

82,32

280) = 2,82𝑚

𝑙𝑟2 = 𝑙𝑟 (1 −

∅𝑉𝐶2𝑉𝑢

) = 4 (1 −41,16

280) = 3,41 𝑚

5. Por norma las separaciones máximas son:

𝑆𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡

0,35𝑏𝑤=

2,58∙30

0,35∙0,3= 73,71 𝑐𝑚 (𝑓𝑐

′ ≤ 30 𝑀𝑃𝑎)

𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,5𝑑 = 26 𝑐𝑚

De aquí se toma el menor de los dos que es:

𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0,5𝑑 = 26 𝑐𝑚

Con ese valor de separación máxima se calcula el cortante actuante a una distancia x del

apoyo:

𝑉𝑢𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑

𝑠𝑚𝑎𝑥+ ∅𝑉𝐶 =

0,75 ∙ 2,58 ∙ 30 ∙ 52,2

26+ 0,75 ∙ 109,77 = 198,87 𝑘𝑁

Con el valor de cortante anterior se calcula la longitud x:

𝑙𝑟𝑥 = 𝑙𝑟 (1 −𝑉𝑢𝑥

𝑉𝑢) = 4 (1 −

198,87

280) = 1,34 𝑚

85

Figura 3.1 valores de cortante.

6. Calculo de la separación entre los cercos:

𝑆𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑

𝑉𝑢𝑚𝑎𝑥 − ∅𝑉𝑐=

0,75 ∙ 2,58 ∙ 30 ∙ 52,2

232,96 − 82,32= 20,11𝑐𝑚 = 20 𝑐𝑚

Los estribos se colocarán de la siguiente manera:

Para la longitud entre VU y Vux: S = 20 cm del apoyo a 1,34 m

Para la longitud entre Vux y ∅𝑉𝑐

2: S = 26 cm de 1,34 m a 3,41 m

Figura 3.2 Distribución de cercos.

2. Una viga de 6 m de luz está sometido a una carga distribuida de 50 kN/m y una

carga puntual de 300 kN, la sección trasversal de la viga es de 30 cm x 70 cm, y las

resistencias de los materiales son fc’ = 20 MPa para el hormigón y 300 MPa para el

acero, Diseñe el refuerzo transversal necesaria para esta viga simplemente

apoyada.

Datos:

La viga se somete a una carga distribuida de 50kN/m y una carga puntual en el medio de

la luz de 300kN. L = 6 m

b= 30 cm h = 70 cm

fc’ =20 MPa fy = 300 MPa

VU=280 kN

Lr = 4 m

VUmax = 232,96 kN VX= 198,87 kN

∅VC/2= 82,32 kN

Lr2

Lrx

86

primero se debe diseñar la viga a flexión para obtener el refuerzo longitudinal.

b= 30 cm h = 70 cm M𝑢 = 𝑞𝑢𝑙2

8+

𝑝𝑢𝑙

4=

50∙62

8+

300∙6

4=

450 𝑘𝑁𝑚 dt = h – dc = 70 – 7 = 63 cm

fc’= 30 MPa fy= 300 MPa

Solución

1. Cálculo del refuerzo a tracción

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑢

𝜙0,85𝑏𝑓𝑐′ = 41 − √612 −

2 ∙ 45000

0,9 ∙ 0,85 ∙ 2 ∙ 30= 19,05 𝑐𝑚

𝑐 =𝑎

0.85=

19,05

0,85= 22,41 𝑐𝑚 < 𝑐𝑡 = 0,375𝑑𝑡 = 23,63 𝑐𝑚

𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐

′𝑎𝑏

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 30 ∙ 5,39 ∙ 25

300= 32,39 𝑐𝑚2

El área real de la tabla de acero es 𝐴𝑆𝑟𝑒𝑎𝑙 = 32,76𝑐𝑚 esto son 4ɸ36 que se

colocaran en 2 camadas dsreal = 8,8 cm.

Se realizará el diseño por el método de cortante límite.

1. Cálculo de las solicitaciones.

Como la carga se distribuye igualmente por toda la luz de la viga, las reacciones de apoyo

serán la mitad de la carga actuante.

RA = RB = 300 kN

Entonces Vu = 300kN y Vuo = 150 kN

2. Cálculo del cortante actuante máximo.

Con el área dado se escoge de la tabla un dSreal = 8,8 cm.

d = h – dS = 61,2 cm

Lr = 3 m (a la mitad de la luz)

d0 = d + (hapoyo/2) = 76.2 cm

𝑉𝑢𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝑢 (𝑙𝑟 − 𝑑0

𝑙𝑟) = 300 (

3 − 0,762

3) = 160 𝑘𝑁

3. Cálculo de la resistencia por el aporte del hormigón.

𝑉𝐶 = 170√𝑓𝐶′𝑏𝑤𝑑 = 170 ∙ √20 ∙ 0,30 ∙ 0,612 = 139,58 𝑘𝑁

∅𝑉𝐶 = 104,69 𝑘𝑁

87

∅𝑉𝐶

2= 52,34 𝑘𝑁

5∅𝑉𝐶 = 523,45 𝑘𝑁 > 𝑉𝑢 La sección es suficiente.

4. Por norma, las separaciones máximas son:

𝑆𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡

0,35𝑏𝑤=

1,42∙300

0,35∙30= 40,57 𝑐𝑚 (𝑓𝑐

′ ≤ 30 𝑀𝑃𝑎)

𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,5𝑑

De aquí se toma el menor de los dos que es:

𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0,5𝑑 = 30,6 𝑐𝑚 = 31 𝑐𝑚

Con ese valor de separación máxima se calcula el cortante actuante a una distancia x del

apoyo:

𝑉𝑢𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑

𝑠𝑚𝑎𝑥+ ∅𝑉𝐶 =

0,75 ∙ 1,42 ∙ 30 ∙ 61,2

31+ 104,69 = 167,77 𝑘𝑁

Con el valor de cortante anterior se calcula la longitud x:

𝑙𝑟𝑥 = 𝑙𝑟 (1 −𝑉𝑢𝑥 − 𝑉𝑢𝑜

𝑉𝑢 − 𝑉𝑢𝑜) = 3 (1 −

167,77 − 150

300 − 150) = 2,6

5. Calculo de la separación entre los cercos:

𝑆𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑

𝑉𝑢−∅𝑉𝑐=

0,75∙1,42∙30∙61,2

300 − 104,69= 10,01 𝑐𝑚 → 10 𝑐𝑚

Para la longitud entre VU y Vux: S = 10 cm (26 cercos)

Para la longitud entre Vux y 𝑉𝑢𝑜: S = 30 cm (2 cercos)

Figura 3.3 Distribución de cercos.

3. Calcule el refuerzo transversal vertical en forma de estribos para una viga de 6 m

de luz simplemente apoyada sobre columna de 30x30 cm, la viga está sometido a

una carga puntual de 400 kN en el centro de la luz. Se conoce que las dimensiones

de la sección transversal b = 30 y h = 70 cm y que fc’ = 30 MPa y fy = 300 MPa.

Datos:

Una carga puntual en el medio de la luz de 400kN. L = 6m

fc’ =30 MPa fy = 300 MPa

88

primero se debe diseñar la viga a flexión para obtener el refuerzo longitudinal.

b= 30 cm h = 70 cm 𝑀𝑢 =𝑃∙𝑙

4=

400∙6

6= 600 𝑘𝑁𝑚.

fc’= 30 MPa fy= 300 MPa

Solución

Se asume 2 camadas por lo que ds= 9cm, dc = 7 cm y que: d = h – ds = 70 – 9 = 61 cm.

dt = h – dc = 70 – 7 = 63 cm

𝜔𝑟𝑎 = 0,85𝛽10,375𝑑𝑡

𝑑= 0,28 Cuantía para sección traccionada

𝑀𝑟𝑎 = 𝜔𝑟𝑎(1 − 0.59𝜔𝑟𝑎)𝑏𝑑𝑓𝑐′ = 0,28(1 − 0.59 ∙ 0,28) ∙ 30 ∙ 61 ∙ 3 = 1283,25 𝑘𝑁𝑚

Como que 𝑀𝑢 < 𝜙𝑀𝑟𝑎 la sección no requiere acero a compresión por cálculo, para el

garantizar fallo dúctil.

2. Cálculo del refuerzo a tracción.

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑢

𝜙0,85𝑏𝑓𝑐′ = 61 − √612 −

2 ∙ 60000

0,9 ∙ 0,85 ∙ 2,5 ∙ 30= 16,52 𝑐𝑚

𝑐 =𝑎

0,85=

16,52

0,85= 19,44 𝑐𝑚 < 𝑐𝑡 = 0,375𝑑𝑡 = 23,63 𝑐𝑚

𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐

′𝑎𝑏

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 30 ∙ 16,52 ∙ 30

300= 42,13 𝑐𝑚2

El área real total de la tabla de acero es 𝐴𝑆𝑟𝑒𝑎𝑙 = 42,96𝑐𝑚, colocando 𝐴𝑆𝑟𝑒𝑎𝑙 =

32,76𝑐𝑚 → 4∅32 y 𝐴𝑆𝑟𝑒𝑎𝑙 = 10,2𝑐𝑚 → 2∅25 esto son 5ɸ16 dsreal = 8,8 cm

Se realizará el diseño por el método de cortante límite.

1. Cálculo de las solicitaciones.

Como la carga se distribuye igualmente por toda la luz de la viga, las reacciones de apoyo

serán la mitad de la carga actuante.

RA = RB = 200 kN

Entonces Vu = 200 kN.

89

2. Cálculo del cortante actuante máximo.

Con el área dado se escoge de la tabla un dSreal = 8,8 cm

d = h – ds = 70 – 8,8 = 61,2 cm de dato

Lr = 3 m (a la mitad de la luz)

3. Cálculo de la resistencia por el aporte del hormigón.

𝑉𝐶 = 170√𝑓𝐶′𝑏𝑤𝑑 = 170√30 ∙ 0,30 ∙ 0,616 = 170,9 𝑘𝑁

∅𝑉𝐶 = 128,213 𝑘𝑁

∅𝑉𝐶

2= 64,11 𝑘𝑁

5∅𝑉𝐶 = 641,065 𝑘𝑁 > 𝑉𝑢 La sección es suficiente.

4. Por norma las separaciones máximas son:

𝑆𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡

0,35𝑏𝑤=

1,42∙300

0,35∙30= 40,57 𝑐𝑚 (𝑓𝑐

′ ≤ 30 𝑀𝑃𝑎)

𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,5𝑑 = 0,5 ∙ 61,2 𝑐𝑚 = 30,6 𝑐𝑚 = 30 𝑐𝑚

De aquí se toma el menor de los dos que es:

𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0,5𝑑 = 30 𝑐𝑚

Con ese valor de separación máxima se calcula el cortante actuante a una distancia x del

apoyo:

5. Calculo de la separación entre los cercos:

𝑆𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑

𝑉𝑢 − ∅𝑉𝑐=

0,75 ∙ 1,42 ∙ 30 ∙ 61,2

160 − 58,45= 27,24 𝑐𝑚 → 27 𝑐𝑚

Los estribos se colocarán de la siguiente manera:

90

Figura 3.4 Distribución de cercos.

4. Determinar el refuerzo a cortante de una sección T (dimensiones h = 60 cm, bw = 20

cm y hf = 15 cm) de una viga de hormigón armado de 6 m de luz, hormigonado in

situ en una zona de agresividad media, la sección está sometido una carga Qu = 80

kN/m2 /m, los materiales tienen resistencias de 25 MPa para el hormigón y 300 MPa

para el acero.

1. Cálculo del momento flector

𝑀𝑢 =𝑞𝑢𝐿2

8=

80 ∙ 62

8= 360 𝑘𝑁𝑚

2. Comprobación de comportamiento de la sección, calculando el momento del ala.

Se asume 2 camadas y ds = 9 cm y dc = 7 cm, d = htotal – ds = 51 cm dt = htotal – dc =

53 cm.

𝑀𝑎𝑙𝑎 = 0,85𝑓𝑐′ℎ𝑓𝑏 (𝑑 −

ℎ𝑓

2) = 0,85 ∙ 2,5 ∙ 15 ∙ 40 (51 −

15

2) = 490,88 𝑘𝑁𝑚

Considerando que la sección está en tracción controlada se admite ɸ=0,9.

𝜙𝑀𝑎𝑙𝑎 > 𝑀𝑢

De aquí se concluye que la sección tiene comportamiento rectangular.

3. Cálculo de acero traccion

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑢

𝜙0,85𝑓𝑐′𝑏

= 51 − √512 −2 ∙ 36000

0,9 ∙ 0,85 ∙ 2,5 ∙ 40= 10,26 𝑐𝑚

91

𝑐 =𝑎

𝛽1=

10.26

0.85= 12,07 𝑐𝑚 < 𝑐𝑡 = 0,375𝑑𝑡 = 19,88 𝑐𝑚

𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐

′𝑎𝑏

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 2,5 ∙ 10,26 ∙ 40

300= 29,07 𝑐𝑚2

El área real total es de 30,6 cm2que son 6ɸ25.

Se realizará el diseño por el método de cortante límite.

1. Cálculo de las solicitaciones.

La carga se distribuye igualmente por toda la luz de la viga, por lo que las reacciones de

apoyo serán igual a la carga actuante multiplicado por la mitad de la luz.

RA = RB = 240 kN

Entonces Vu = 240kN

2. Cálculo del cortante actuante máximo.

Con el área dando se escoge de la tabla un dSreal = 9 cm

d = 51 cm de dato

Lr = 3 m (a la mitad de la luz)

d0 = d + (hapoyo/2) = 66 cm

𝑉𝑢𝑚𝑎𝑥 = 𝑉𝑢 (𝑙𝑟 − 𝑑0

𝑙𝑟) = 240 (

3 − 0,66

3) = 187,2𝑘𝑁

3. Cálculo de la resistencia por el aporte del hormigón.

𝑉𝐶 = 170√𝑓𝐶′𝑏𝑤𝑑 = 170√20 ∙ 0,20 ∙ 0,51 = 86,7 𝑘𝑁

∅𝑉𝐶 = 65,03 𝑘𝑁

∅𝑉𝐶

2= 32,51 𝑘𝑁

5∅𝑉𝐶 = 326,75 𝑘𝑁 > 𝑉𝑢 La sección es suficiente.

4. Cálculo de las longitudes a reforzar.

𝑙𝑟1 = 𝑙𝑟 (1 −∅𝑉𝐶

𝑉𝑢) = 3 (1 −

65,03

240) = 2,19𝑚

𝑙𝑟2 = 𝑙𝑟 (1 −

∅𝑉𝐶2𝑉𝑢

) = 4 (1 −32,51

240) = 2,59 𝑚

92

5. Por norma, las separaciones máximas son:

𝑆𝑚𝑎𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡

0,35𝑏𝑤=

1,42∙300

0,35∙25= 60,68 𝑐𝑚 (𝑓𝑐

′ ≤ 30 𝑀𝑃𝑎)

𝑠𝑚𝑎𝑥 ≤ 0,5𝑑 = 0,5 ∙ 51 𝑐𝑚 = 25,5 𝑐𝑚 = 26 𝑐𝑚

De aquí se toma el menor de los dos:

𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0,5𝑑 = 26 𝑐𝑚

Con ese valor de separación máxima se calcula el cortante actuante a una distancia x del

apoyo:

𝑉𝑢𝑥 =𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡

𝑠𝑚𝑎𝑥+ ∅𝑉𝐶 =

1.42 ∙ 300

26+ 65,03 = 127,7 𝑘𝑁

𝑙𝑟𝑥 = 𝑙𝑟 (1 −𝑉𝑢𝑥

𝑉𝑢) = 3 (1 −

127,7

240) = 1,4𝑚

6. Cálculo de la separación entre los cercos:

𝑆𝑥 =∅𝐴𝑣𝑓𝑦𝑑

𝑉𝑢𝑚𝑎𝑥−∅𝑉𝑐=

0,75∙1,42∙30∙51

187,2−65.03= 13,33 𝑐𝑚 → 13 𝑐𝑚

Los estribos se colocarán de la siguiente manera:

Para la longitud entre VU y Vux: S = 13 cm

Para la longitud entre Vux y ∅𝑉𝑐

2: S = 26 cm

Figura 3.5 Distribución de cercos.

3.3.2. Ejercicios propuestos.

1. Las dimensiones de la sección rectangular de una viga de hormigón armado son: b =

40 cm y h = 65 m. La altura efectiva es d = 56 cm. Si la viga es simplemente apoyada

de luz l = 6.0 m sometida a una carga uniforme de q = 118 kN/m, determinar el refuerzo

transversal que requiere. Considerar un refuerzo por flexión de As = 6 # 8 y fc’ = 21

MPa.

2. Una viga rectangular con b = 30 cm y d = 50 cm tiene una luz de 6 m cara a cara entre

apoyos simples. Está reforzada a flexión con tres barras No. 11, que continúan sin

interrupción hasta los extremos de la luz. La viga debe sostener una carga muerta de

servicio D = 7 kN/m (que incluye su propio peso) y una carga viva de servicio L = 14

kN/m, ambas uniformemente distribuidas a lo largo de la luz. Diseñe el refuerzo a

93

cortante con estribos verticales. Las resistencias de los materiales son fc’= 40 MPa y

fy = 600 MPa.

3. Una viga de 8 m de luz reforzada longitudinalmente con As = 4 barras No. 8 está

sometido a una carga distribuida de 4 ton/m y una carga puntual 12 ton/m, la sección

trasversal de la viga es de 25 cm x 75 cm, y las resistencias de los materiales son fc’

= 25 MPa para el hormigón y fy = 420 MPa para el acero, Diseñe el refuerzo

transversal necesaria para esta viga simplemente apoyada.

4. Diseñar el refuerzo por corte requerido por la viga que está sometida a una carga

permanente de 50 kN/m (incluye peso propio) y una sobrecarga de 20 kN/m. El

refuerzo longitudinal está distribuido en dos capas. Considerar que el peralte efectivo

de la sección es 51 cm. Utilizar fc’=280 kg/cm2 y fy=4200 kg/cm2.

3.4. Capítulo 7: Flexo compresión. Para este Capítulo, el primer epígrafe se dedicará a los ejercicios resueltos y el segundo

epígrafe son los ejercicios propuestos. Variando datos como: la ubicación geográfica, las

cargas actuantes, las dimensiones de las secciones transversales, área de acero de

refuerzo, etc. Para el epígrafe de los ejercicios resueltos, se resolverán 1 ejercicio de

cálculo del diagrama de interacción, 2 ejercicios de diseño de columna con acero

simétrico y perimetral y 3 ejercicios de comprobación. En el segundo epígrafe se

colocarán 2 ejercicios propuesto de diseño y comprobación. Se utilizará las ayudas de

cálculo para el diseño y comprobación de columnas, estos ábacos se colocarán como

anexo al final de este trabajo.

3.4.1. Ejercicios resueltos.

Ejercicio de cálculo de diagrama de interacción.

1. Obtenga el diagrama de interacción para la siguiente sección con refuerzo

simétrico, ubicada en una zona de alta agresividad.

b = 30 cm fy = 420 MPa sección prefabricada

h = 60 cm Estribo No 10 Agresividad alta

Para estas condiciones:

r = 3,5 cm As’ = AS = 4 barras No25 (20,4 cm2) d’ = 5,72 cm (1 camada)

fC’ = 30 MPa ds = 5,72 cm (1 camada)

d = h – ds = 54.28 cm

a) Tracción axial.

Pn = (As’+ As) fy = - 1713,6 kN ∅𝑃𝑛 = −1542,24 𝑘𝑁

Mn = As’fy(ℎ

2− 𝑑′) +Asfy(

ℎ

2− 𝑑𝑠) = 20,4 ∙ 42 (

60

2− 5,72) − 20,4 ∙ 42 (

60

2− 5,72) = 0 kNm

𝑀𝑛 = 0 𝑘𝑁𝑚

94

𝑒𝑜 =𝑀𝑛

𝑃𝑛= 0 𝑐𝑚

b) c = 5 cm 𝑎 = 𝛽 ∗ 𝑐 = 0,85 = 4,25 𝑐𝑚 ∅ = 0,9

𝜀𝑠′ =

𝑐 − 𝑑′

𝑐0,033 =

0,05 − 0,0572

0,05∙ 0,0033 = −0,00043 < 𝜀𝑦

𝜀𝑠 =𝑑 − 𝑐

𝑐0,033 =

54,28 − 5

5∙ 0,033 = 0,0048 > 𝜀𝑦

𝑓𝑠′ = 𝜀𝑠

′ ∙ 𝐸𝑠 = −86𝑀𝑃𝑎

𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 = 420 𝑀𝑃𝑎

𝑃𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 − 𝐴𝑆

′ 𝑓𝑠′ − 𝐴𝑠𝑓𝑦 = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 4,25 − 20,4 ∙ 8,64 − 20,4 ∙ 42 = −707,931 𝑘𝑁

∅𝑃𝑛 = −637, ,138𝑘𝑁

𝑀𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 (

ℎ

2−

𝑎

2) − 𝐴𝑆

′ 𝑓𝑠′ (

ℎ

2− 𝑑′) − 𝐴𝑠𝑓𝑦 (

ℎ

2− 𝑑𝑠) = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 4,25 (

60

2−

4,25

2) +

20,4 ∙ 8,64 (60

2− 5,72) − 20,4 ∙ 42 (

60

2− 5,72) = 255,86 𝑘𝑁𝑚

∅𝑀𝑛 = 366,97 𝑘𝑁𝑚

c) 𝑐 = 0.375𝑑 = 20.36 𝑐𝑚 𝑎 = 17,3 𝑐𝑚

𝜀𝑠 = 0,005 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ∅ = 0,9

𝜀𝑠′ =

20,36−5,72

20,360,003 = 0,0021 = 𝜀𝑦 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦

𝑃𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 + 𝐴𝑆

′ 𝑓𝑦 − 𝐴𝑠𝑓𝑦 = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 17,3 + 20,4 ∙ 42 − 20,4 ∙ 42 = 1323,45 𝑘𝑁

∅𝑃𝑛 = 1191,11 𝑘𝑁

𝑀𝑛 = 0.85𝑓𝑐′𝑏𝑎 (

ℎ

2−

𝑎

2) + 𝐴𝑆

′ 𝑓𝑦 (ℎ

2− 𝑑′) + 𝐴𝑠𝑓𝑦 (

ℎ

2− 𝑑𝑠) = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 17,3 (

60

2− 17,3) +

20,4 ∙ 42 ∙ (60

2− 5,72) − 20,4 ∙ 42 (

60

2− 5,72) = 698,6187 𝑘𝑁𝑚

∅𝑀𝑛 = 628,76 𝑘𝑁𝑚

d) Fallo balanceado.

𝑐𝑏 =0,003

0,003+0,0021𝑑 = 31,93 𝑐𝑚 𝑎 = 25,35 𝑐𝑚

𝜀𝑠 = 𝜀𝑦 ; 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ∅ = 0,65 𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦

𝜀𝑠′ =

31.93 − 5,72

31.930,003 = 0,0025 = 𝜀𝑦

𝑃𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 + 𝐴𝑆

′ 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑓𝑦 = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 25,35 + 20,4 ∙ 42 − 20,4 ∙ 42 = 1939,28𝑘𝑁

∅𝑃𝑛 = 1260,53

95

𝑀𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 (

ℎ

2−

𝑎

2) + 𝐴𝑆

′ 𝑓𝑦 (ℎ

2− 𝑑′) + 𝐴𝑠𝑓𝑦 (

ℎ

2− 𝑑𝑠) = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 31,93 (

60

2−

25,35

2) +

20,4 ∙ 42 (60

2− 5,72) + 20,4 ∙ 42 (

60

2− 5,72) = 752,04 𝑘𝑁𝑚

∅𝑀𝑛 = 488,83 𝑘𝑁𝑚

e) 𝑐 = 𝑑 = 54.28 𝑐𝑚 𝑎 = 46,14 𝑐𝑚

𝜀𝑠 = 0 ; 𝑓𝑠 = 0

𝜀𝑠′ > 𝜀𝑦 ; 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦

𝑃𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 + 𝐴𝑆

′ 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑓𝑦 = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 46,14 + 20,4 ∙ 42 + 20,4 ∙ 0 = 4386,51 𝑘𝑁

∅𝑃𝑛 = 2851,23𝑘𝑁

𝑀𝑛 = 0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎 (

ℎ

2−

𝑎

2) + 𝐴𝑆

′ 𝑓𝑦 (ℎ

2− 𝑑′) = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 46,14 (

60

2−

46,14

2) − 20,4 ∙ 42 (

60

2−

5,72) = 452,64 𝑘𝑁𝑚

∅𝑀𝑛 = 294,21 𝑘𝑁𝑚

f) Compression Axial.

𝜀𝑠′ > 𝜀𝑦 ; 𝑓𝑠 = 𝑓𝑦

𝑃𝑜 = 0,85𝑓𝑐′𝑏ℎ + 𝐴𝑆

′ 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑓𝑦 = 0,85 ∙ 3 ∙ 30 ∙ 60 + 20,4 ∙ 42 + 20,4 ∙ 42 = 6303,6 𝑘𝑁

∅𝑃𝑛 = 4097,34 𝑘𝑁

𝑀𝑛 = 𝐴𝑆′ 𝑓𝑦 (

ℎ

2− 𝑑′) − 𝐴𝑠𝑓𝑦 (

ℎ

2− 𝑑𝑠) = 0 kNm (Igual que en tracción axial) ∅𝑀𝑛 =

27044,037 𝑘𝑁𝑚

𝑒𝑜 =𝑀𝑛

𝑃𝑜= 0 𝑐𝑚

∝ ∅𝑃𝑜 = 0,8 ∙ 0,65 ∙ 6303,6 = 3277,87 𝑘𝑁.

96

Tabla 3.1 Diagrama de interacción, barras en caras opuestas.

Figura 3.6 Diagrama de interacción, acero en las caras opuestas.

Diseño y comprobación de columnas con refuerzo simétrico sometido a flexión

compuesta por método gráfico.

1. Una columna de hormigón armado sección transversal de (40x40) cm situada en un

ambiente de agresividad media está sometido varias combinaciones de cargas axiales

ultimo Pu y momentos flectores ultimo Mu considerando que las resistencias de los

materiales son 25 MPa para el hormigón y 300 MPa para el acero de refuerzo. Encuentre

las posibles solicitaciones máxima que puede resistir la columna, si se sabe que la

columna esta armada con acero simétrico total en las caras opuesta As = 40,8 cm2

b = 40 cm h = 40 cm

30 b (cm) 30 β1 0,83571

420 h (cm) 60

200000 ds (cm) 5,72 ε y 0,0021

d´ (cm) 5,72

d (cm) 54,28 d t (cm) 54,28

20,4 20,4

c (cm) c/d ε s´ ε s f s ´ (MPa) f s (MPa) P n (kN) M n (kN.m) e o (cm) Φ P u (kN) M u (kN.m)

0 0,0000 -0,01000 -0,01000 -420 -420 -1713,6 0,00 0,000 0,9 -1542,24 0,00

5 0,0921 -0,00043 -0,02957 -86,4 -420 -713,40 254,46 -0,357 0,9 -642,06 229,01

10 0,1842 0,00128 -0,01328 256,80 -420 306,39 500,31 1,633 0,9 275,75 450,28

15 0,2763 0,00186 -0,00786 371,20 -420 859,43 619,48 0,721 0,9 773,49 557,53

20,360, 0,3751 0,00216 -0,00500 420 -420 1301,66 695,82 0,5346 0,9 1171,49 626,24

25,0, 0,4606 0,00231 -0,00351 420 -420 1598,30 728,59 0,4559 0,7723 1234,44 562,72

31,93 0,5882 0,00246 -0,00210 420 -420 2041,35 756,11 0,3704 0,65 1326,88 491,47

40 0,7369 0,00257 -0,00107 420 -214,20 2977,12 653,88 0,220 0,65 1935,13 425,02

54,28 1,0000 0,00268 0,00000 420 0,00 4327,04 462,01 0,1068 0,65 2812,57 300,31

62,85 1,1579 0,00273 0,00041 420 81,81 5041,84 317,69 0,0630 0,65 3277,19 206,50

∞ ∞ 0,00200 0,00200 420 420 6303,60 0,00 0,000 0,65 3277,87 0,00

fc´ (MPa)

fy (MPa)

Es (MPa)

A´ (cm2) A (cm2)

OBSERVACIONES

Tracción Axial

ε s=0,005 , c/d=0,375

ZONA TRANSICIÓN

Pn=Pb

k=1

Pu=.8.Φ.Po

Compresión Axial

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 100 200 300 400 500 600 700 800

97

fc’ = 25 MPa (agresividad media) fy = 420 MPa

1. Calculo de la cuantía 𝜔𝑡 correspondiente al área de refuerzo colocado en la columna.

𝜔𝑡 =𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

𝑏ℎ𝑓𝑐′ =

40,8∙42

40∙40∙2,5= 0,43.

2. Obtener valores de cargas axiales y momentos flectores y Calcular valores de 𝜐 y 𝜇

𝜇 =𝑀𝑢

𝑏ℎ2𝑓𝑐′

𝜐 =𝑃𝑢

𝑏ℎ𝑓𝑐′

3. Escoger el ábaco en función de: d’/d, tipo de sección y distribución del refuerzo de la

columna.

Se asume 2 camadas y d’ = ds = 6,5 cm y d = h – ds = 33,5 cm.

d’/d = 0,2, teniendo este valor, una sección rectangular y refuerzo en las caras opuestas se

escoge trabajar con el ábaco: B-8(libro de texto; Hormigón Estructural, tomo II, del DR. Juan

José y DR. Julio Alberto)

Pu Mu 𝝊 𝝁

1 1680 176 0,42 0,11

2 2480 112 0,622 0,07

3 1520 200 0,38 0,125

4 2000 144 0,5 0,09

5 800 298 0,2 0,155

6 2160 136 0,54 0,085

7 1760 188.8 0,40 0,118

8 320 232 0,08 0,145

9 960 216 0,24 0,135

10 2240 128 0,56 0,08

98

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

ωt = 0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

εs =0

εs = εy

εs =0,005

ε´s = εy

𝑴𝒖

𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´

𝑷𝒖

𝒃𝒉𝒇𝒄´

0,0

h

b

d´ d´

As As´

Pu

Mu

DI: B-6

fy =420MPa

fc´ ≤ 30MPa

𝒅´

𝒅= 𝟎, 𝟐

𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚

𝒃𝒉𝒇𝒄´

ESTRIBOS

𝜔𝑡 = 0,43

99

Se puede concluir que de las diez combinaciones escogidas las combinación 2 y 5

se pueden considerar como las más críticas que pueden ser resistido por esta

columna por quedar muy pegado a la curva de la cuantía calculada de 0.43.

2. Considerando que la sección del ejercicio anterior esta armada perimetralmente con 2

barras N.025 en cada una de sus cuatro caras, compruebe si la columna resiste las

combinaciones del ejercicio anterior considerado que la columna posea las mismas

dimensiones transversales igual que la anterior (40x40 cm) y trabaja bajo las mismas

condiciones y características de los materiales.

b = 40 cm h = 40 cm

fc’ = 25 MPa (agresividad media) fy = 420 MPa

1. Calculo de la cuantía 𝜔𝑡 correspondiente al área de refuerzo colocado en la columna.

𝜔𝑡 =𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

𝑏ℎ𝑓𝑐′ =

40,8 ∙ 42

40 ∙ 40 ∙ 2,5= 0,4

2. Obtener valores de cargas axiales y momentos flectores y calcular valores de 𝜐 y 𝜇

Pu Mu 𝝊 𝝁

1 1680 176 0,42 0,11

2 2480 112 0,622 0,07

3 1520 200 0,38 0,125

4 2000 144 0,5 0,09

5 800 298 0,2 0,155

6 2160 136 0,54 0,085

7 1760 188.8 0,40 0,118

8 320 232 0,08 0,145

9 960 216 0,24 0,135

10 2240 128 0,56 0,08

3. Escoger el ábaco en función de: d’/d, tipo de sección y distribución del refuerzo de la

columna.

Se asume 2 camadas y d’ = ds = 6,5 cm y d = h – ds = 33,5 cm.

d’/d = 0,2, teniendo este valor, una sección rectangular y refuerzo en las caras opuestas

se escoge trabajar con el ábaco: B-(libro de texto; Hormigón Estructural, tomo II, del DR.

Juan José y DR. Julio Alberto)

100

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

ε´s = εy

ωt = 0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

εs = εy

εs =0,005

𝑴𝒖

𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´

𝑷𝒖

𝒃𝒉𝒇𝒄´

0,0

DI: B-6

fy =420MPa

fc´ ≤ 30MPa

𝒅´

𝒅= 𝟎, 𝟐

𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚

𝒃𝒉𝒇𝒄´

ESTRIBOS

h

b

d´ d´

At

Pu

Mu ωt = 0,43

101

Después de plotear las cordenadas correspondiente a las 10 combinaciones

debajo de la curva de 𝜔𝑡 = 0,43, se puede observar que 5 combinaciones

(1,2,5,7 y 9) quedan afuera de la curva, por lo que esto no son resistido por la

columna y que las combinaciones 3, 6 y 10 son las más críticas por quedar muy

pegado a la curva.

3. Comprobar con el uso de los ábacos si la columna con las siguientes características y

resiste las solicitaciones siguientes.

Pu = 300 kN Mu = 325 kN Ast = 46.44 cm2 (6 #22)

b = 30 cm h = 55 cm

fc’ = 20 MPa agresividad media fy = 300 MPa

a) Escoger el ábaco en función de: d’/d, tipo de sección y distribución del refuerzo de la

columna.

De la tabla de distribución de refuerzo del capítulo II: d’ = 7.28 cm y d = h – ds = 47,72

cm.

d’/d = 0,15, teniendo este valor, una sección rectangular y refuerzo en las caras opuestas

se escoge trabajar con el Abaco: B-7(libro de texto; hormigón estructural tomo II, del DR.

Juan José y DR. Julio Alberto).

b) Calculo de 𝜔𝑡, V y U

𝜔𝑡 =𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

𝑏ℎ𝑓𝑐′ =

46,44 ∙ 30

30 ∙ 55 ∙ 2= 0,42

𝜐 =𝑃𝑢

𝑏ℎ𝑓𝑐′ =

300

30 ∙ 55 ∙ 20= 0,091

𝜇 =𝑀𝑢

𝑏ℎ2𝑓𝑐′ =

325

30∙552∙20= 0,18

c) Plotear en la curva el par ordenado correspondiente a la solicitaciones externas (𝜇,

𝜐).

La sección no resiste ya que las coordenadas u = 0,18 y v = 0,091quedan afuera de

la curva correspondiente a 𝜔𝑡 = 0,42.

4. Con el uso de los ábacos compruebe si la siguiente columna, ubicada en una zona de

agresividad media, resiste las siguientes solicitaciones.

Pu = 720 kN Mu = 162 kN Ast = 21.06 cm2

102

b = 30 cm h = 45 cm

fc’ = 25 MPa agresividad media fy = 300 MPa

a) Escoger el ábaco en función de: d’/d, tipo de sección y distribución del refuerzo de la

columna.

De la tabla de distribución de refuerzo del Capítulo II, d’ = 7 cm y d = h – ds = 38 cmd’/d =

0.2, teniendo este valor, una sección rectangular y refuerzo en las caras opuestas se

escoge trabajar con el Abaco: B-8(libro de texto; hormigón estructural tomo II, del DR.

Juan José y DR. Julio Alberto)

b) Cálculo de 𝜔𝑡, V y U.

𝜔𝑡 =𝐴𝑠𝑡𝑓𝑦

𝑏ℎ𝑓𝑐′ =

21,06 ∙ 30

30 ∙ 45 ∙ 2,5= 0.19

𝜐 =𝑃𝑢

𝑏ℎ𝑓𝑐′ =

720

30 ∙ 45 ∙ 2,5= 0.2

𝜇 =𝑀𝑢

𝑏ℎ2𝑓𝑐′ =

162

30 ∙ 452 ∙ 2,5= 0,048

c) Plotear en la curva el par ordenado correspondiente a la solicitaciones externas (𝜇,

𝜐).

La sección resiste las combinaciones, ya que las coordenadas u = 0.048 y v = 0.2

quedan dentro de la curva correspondiente a 𝜔𝑡 = 0.19.

5. Con el uso de los ábacos calcule el área acero simétrico máxima, para una columna

de 40x40 cm ubicada en una zona de agresividad media, para resistir las siguientes

combinaciones de cargas.

𝑃𝑢(𝑘𝑁) 𝑀𝑢(𝑘𝑁𝑚)

1 800 100

2 400 420

3 1200 450

4 1800 390

5 3000 100

6 1522,5 330,75

b = 30 cm h = 45 cm

fc’ = 25 MPa agresividad media fy = 300 MPa

a) Escoger el Abaco en función de: d’/d, tipo de sección y distribución del refuerzo de la

columna.

103

De la tabla de distribución de refuerzo del Capítulo II d’ = 5,75 cm y d = h – ds = 54,28

cm.

d’/d = 0.15, teniendo este valor, una sección rectangular y refuerzo en las caras opuestas

se escoge trabajar con el Abaco: B-16(libro de texto; hormigón estructural tomo II, del DR.

Juan José y DR. Julio Alberto).

b) Cálculo de 𝜐 y 𝜇

𝑉 =

𝑃𝑢

𝑏ℎ𝑓𝑐′ 𝑈 =

𝑀𝑢

𝑏ℎ2𝑓𝑐′

1 0,15 0,032

2 0,076 0,13

3 0,23 0,14

4 0,34 0,12

5 0,57 0,032

6 0,29 0,105

c) Plotear en la curva el par ordenado correspondiente a las solicitaciones externas (𝜇,

𝜐).

d) Calculo del área acero máximo correspondiente a la combinación más crítica.

Después de haberse ploteado las coordenadas en el ábaco (ver siguiente

página) correspondientes a las combinaciones se concluye que la

combinación más crítica es la 2 que corresponde a la cuantía 𝜔𝑡 = 0,29 y por

razón de seguridad se escoge un valor de cuantía por encima de esta para el

cálculo del área de refuerzo. Por lo que se escoge 𝜔𝑡 = 0,23 y con este se

calcula el área que puede resistir todas las combinaciones dadas.

𝐴𝑠𝑡 = 𝜔𝑡

𝑏𝑑𝑓𝑐′

𝑓𝑦= 0,3

30 ∙ 60 ∙ 2,5

30= 45 𝑐𝑚2

Se colocan 6 barras #22 (As real = 23.22 cm2) en cada una de las 2 caras opuesta de

la columna.

104

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

ωt = 0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

εs =0

εs = εy

εs =0,005

ε´s = εy

𝑴𝒖

𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´

𝑷𝒖

𝒃𝒉𝒇𝒄´

0,0

h

b

d´ d´

As As´

Pu

Mu

DI: B-7

fy =300MPa

fc´ ≤ 30MPa

𝒅´

𝒅= 𝟎, 𝟏𝟓

𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚

𝒃𝒉𝒇𝒄´

ESTRIBOS

ωt = 0,29

105

Después de plotear los valores de v y u en el ábaco se puede apreciar que 2 de las

combinaciones (1 y 6) quedan por dentro de la curva 𝜔𝑡 = 0,23 lo que significa que estos son

resistidos por la columna, pero las solicitaciones 2, 3, 4 y 5 quedan afuera de la curva

correspondiente a 𝜔𝑡 = 0,23 lo que significa que la columna no es capaz de resistir estas dos.

3.4.2. Ejercicicos propuestos.

1. Utilizando los ábacos diseñe columnas rectangulares que sean capaz de resistir las

siguientes combinaciones de cargas. (a) Pu = 180 T y Mu = 30 T-m (b) Pu = 320 T y

Mu = 7 T-m. considerar como resistencia de los materiales f’c = 21 MPa y fy = 420

MPa.

2. Para una columna de 40x40 cm, ubicada en zona de agresividad media. El elemento

está sometido a las cargas que se muestran en el siguiente cuadro, obtenga la

cantidad de refuerzo necesario para cada una de las combinaciones de cargas

siguientes, utilizando las ayuda graficas:

Pu(kN) Mu(kNm)

950 450

1 300 500

1 900 400

300 500

400 600

3.5. Capítulo 8: Losas macizas de hormigón armado. En este tópico el primer epígrafe se dedicará a ejercicios resueltos y el segundo epígrafe son

los ejercicios propuestos. Variando datos como: la zona de ubicación geográfica, las cargas

actuantes, el peralto de la losa, longitud de la luz de trabajo, resistencia de los materiales, las

condiciones de apoyos, área de acero de refuerzo, etc. Para el epígrafe de los ejercicios

resuelto se resolverán 2 ejercicios de diseño, empleando el método de diseño directo para el

primer ejercicio y el método de Los Coeficientes de Marcus para el segundo ejercicio. En el

segundo epígrafe se colocarán 2 ejercicios propuesto de diseño.

3.5.1. Ejercicios resueltos.

Calcule una losa de 5x7 m2 apoyado sobre muro de 20 cm de espesor si

WL =1.5 kN/m2 WD = 2 kN/m2

fc’ = 20 MPa y se utilizara acero G-40

El edificio está en una zona de agresividad baja

A) Características generales.

𝐿𝑎 = 5 − 0,2 = 4,8 𝑚 𝐿𝑎

𝐿𝑏= 0,706

𝐿𝑏 = 7 − 0,2 = 6,8 𝑚

Determinación de la forma de trabajo de la losa 7

5= 1,4 < 2 La losa trabaja en 2 direcciones

106

B) Cálculo del peralto. 𝐿𝐶

40=

500

40= 12,5 𝑐𝑚 = 13 𝑐𝑚

2(𝐿𝑎 + 𝐿𝐵)

180= 12,9 𝑐𝑚 = 13 𝑐𝑚

C) Cálculo de las cargas.

𝑤𝑔 = 𝛾ℎ ∙ ℎ = 24 ∙ 0,13 = 3,2 𝑘𝑁/𝑚2

𝑤𝑢𝐷 = 1,2(3,12 + 2) = 6,14𝑘𝑁/𝑚2

𝑤𝑢𝐿 = 1,6(2) = 3,2𝑘𝑁/𝑚2

𝑤𝑢 = 9,34𝑘𝑁/𝑚2

D) Cálculo de momentos.

𝑀𝑎+ = 𝐶𝑎 ∙ 𝑤𝑢 ∙ 𝑙𝑎

2 = 0,068 ∙ 9,34 ∙ 4,82 = 14,63𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑏+ = 𝐶𝑏 ∙ 𝑤𝑢 ∙ 𝑙𝑏

2 = 0,016 ∙ 9,34 ∙ 6,82 = 6,91𝑘𝑁𝑚

E) Cálculo del refuerzo.

Considerando:

r = 2,5 cm, barras No13 diámetro de las barras db = 1,27 cm Area Ab = 1,27 cm2

d = h – r – db = 13 – 2,5 – 1,27 = 9,23 cm

Para Ma: 14.63 kNm

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈

∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 9,23 − √9,232 −

2 ∙ 1463

∅ ∙ 0,85 ∙ 20 ∙ 100= 1,1 𝑐𝑚

0,375𝑑 = 3,46 𝑐𝑚 > 𝑐 Traccion controlada

𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 20 ∙ 100 ∙ 0,53

300= 6,23 𝑐𝑚2

𝑠 =𝑏𝐴𝑏

𝐴𝑠= 20,7 𝑐𝑚 = 20 𝑐𝑚

𝐴𝑚𝑖𝑛 0,002𝑏𝑑 = 1,85 𝑐𝑚2 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 2ℎ = 26 𝑐𝑚

En la franja lateral se colocan a (3/2)20 = 30 cm → S = 26 cm

107

Figura 3.7: Distribución de refuerzo para la luz de 5 m.

Para Mb: 6.91 kNm.

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈

∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 9,23 − √9,232 −

2 ∙ 6910

∅0,85 ∙ 20 ∙ 100= 0,5 𝑐𝑚

𝐴𝑠 =0.85𝑓𝑐′𝑏𝑎

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 20 ∙ 100 ∙ 0,5

300= 2,83 𝑐𝑚2

𝑠 =𝑏𝐴𝑏

𝐴𝑠= 45,6 𝑐𝑚 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 26 𝑐𝑚

Figura 3.7: Distribución de refuerzo para la luz de 7 m.

Ejercicio 2.

Calcule los momentos flectores actuante y el acero de refuerzo en las siguientes losas

apoyadas sobre muros de 20 cm de espesor, situada en una zona de agresividad media.

Datos.

108

fc’ = 25 MPa fy = 300 MPa r = 3 cm WD = 2 kN/m2 WL = 3 kN/m2

Para este ejercicio se emplea el método de Marcus para el cálculo de las solicitaciones.

Considerando los distincito casos que se presentan en cada losa

A) Características generales

𝐿𝑎 = 5 − 0,2 = 4,8 𝑚 𝐿𝑎

𝐿𝑏= 0,828

𝐿𝑏 = 6 − 0,2 = 5,8 𝑚

Losa A → Caso 7

Losa B → Caso 4

Losa C → Caso 6

B) Cálculo del peralto. 𝐿𝐶

40=

500

40= 12,5 𝑐𝑚 = 13 𝑐𝑚

2(𝐿𝑎 + 𝐿𝐵)

180=

2(4,8 + 5,8)

180= 0,17 𝑚 = 12 𝑐𝑚

C) Cálculo de las cargas.

𝑤𝑔 = 𝛾ℎ ∙ ℎ = 24 ∙ 0,12 = 2,88 𝑘𝑁/𝑚2

𝑤𝑢𝐷 = 1,2(2,88 + 2) = 6.14 𝑘𝑁/𝑚2

𝑤𝑢𝐿 = 1,6(3) = 4,8 𝑘𝑁/𝑚2

𝑤𝑢 = 10.656 𝑘𝑁/𝑚2

D) Calculo de momento

Losa A (caso 7)

Ca Ma(kNm) Cb Mb (kNm)

M- - - 0,054 19,36

MD+ 0,0425 5,73 0,0235 4,63

ML+ 0,048 5,3 0,0245 3,95

Ma+ 11,03 Mb

+ 8,58

Cálculo del refuerzo

Considerando:

r = 3 cm, barras No13 diámetro de las barras db = 1,27 cm Area Ab = 1,27 cm2

d= h – r – db = 12 – 3 – 1.27 = 7.73 cm

Para Ma: 11.03 kNm

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈

∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7,73 − √7,732 −

2 ∙ 1103

0,9 ∙ 0,85 ∙ 25 ∙ 100= 0,73 𝑐𝑚

0,375𝑑 = 2.9 𝑐𝑚 > 𝑐 Traccion controlada

109

𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 0,73

300= 5,17 𝑐𝑚2

𝑠 =𝑏𝐴𝑏

𝐴𝑠= 24,56 𝑐𝑚 → 25 𝑐𝑚

𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,0014𝑏𝑑 = 1,082 𝑐𝑚2 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 2ℎ = 24 𝑐𝑚

Para Mb: 19.36 kNm

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈

∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7,73 − √7.732 −

2 ∙ 1936

0,9 ∙ 0,85 ∙ 25 ∙ 100= 1.44 𝑐𝑚

𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 1,44

300= 10,2 𝑐𝑚2

𝑠 =𝑏𝐴𝑏

𝐴𝑠= 12, ,45 𝑐𝑚 → 13 𝑐𝑚

𝑠𝑚𝑎𝑥 = 24 𝑐𝑚

Losa B (caso 4)

Ca Ma(kNm) Cb Mb(kNm)

M- 0,0685 16,82 0,0315 11,29

MD+ 0,0375 5,06 0,01 1,97

ML+ 0,0455 5,03 0,0215 3,47

Ma+ 10,09 Mb

+ 5,44

Cálculo del refuerzo.

Considerando:

r = 3 cm, barras No13 diámetro de las barras db = 1,27 cm Area Ab = 1,27 cm2

d= h – r – db = 12 – 3 – 1.27 = 7.73 cm

Para Ma: 16.82 kNm

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈

∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7.73 − √7.732 −

2 ∙ 1682

0.9 ∙ 0.85 ∙ 25 ∙ 100= 1.20𝑐𝑚

0,375𝑑 = 2.9 𝑐𝑚 > 𝑐 Traccion controlada

𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎

𝑓𝑦=

0.85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 1.20

300= 8.5 𝑐𝑚2

𝑠 =𝑏𝐴𝑏

𝐴𝑠= 14.94 𝑐𝑚 → 15 𝑐𝑚

𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,002𝑏𝑑 = 1.082 𝑐𝑚2 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 2ℎ = 24 𝑐𝑚

Para Mb: 11.29 kNm

110

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈

∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7,73 − √7,732 −

2 ∙ 1129

0,9 ∙ 0,85 ∙ 25 ∙ 100= 0,81 𝑐𝑚

𝐴𝑠 =0.85𝑓𝑐′𝑏𝑎

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 0,81

300= 5,74 𝑐𝑚2

𝑠 =𝑏𝐴𝑏

𝐴𝑠= 14,94 𝑐𝑚 → 15

𝑠𝑚𝑎𝑥 = 24 𝑐𝑚

Losa C (caso 6)

Ca Ma(kNm) Cb Mb(kNm)

M- 0,0845 20,75 - -

MD+ 0,0425 5,73 0,0165 4,04

ML+ 0,0485 5,36 0,0205 3,31

Ma+ 11,09 Mb

+ 7,35

Cálculo del refuerzo.

Considerando:

r = 3 cm, barras No13 diámetro de las barras db = 1,27 cm Area Ab = 1,27 cm2

d= h – r – db = 12 – 3 – 1.27 = 7.73 cm

Para Ma: 20.75 kNm

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈

∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7,73 − √7,732 −

2 ∙ 2075

0,9 ∙ 0,85 ∙ 25 ∙ 100= 1,56 𝑐𝑚

0,375𝑑 = 2.9 𝑐𝑚 > 𝑐 Traccion controlada

𝐴𝑠 =0,85𝑓𝑐′𝑏𝑎

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 1,56

300= 11,05 𝑐𝑚2

𝑠 =𝑏𝐴𝑏

𝐴𝑠= 11,49 → 12 𝑐𝑚

𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,002𝑏𝑑 = 1.082 𝑐𝑚2 𝑆𝑚𝑎𝑥 = 2ℎ = 24 𝑐𝑚3𝑛

Para Mb: 7.35 kNm

𝑎 = 𝑑 − √𝑑2 −2𝑀𝑈

∅0,85𝑓𝑐′𝑏= 7,73 − √7,732 −

2 ∙ 735

0,9 ∙ 0,85 ∙ 25 ∙ 100= 0,51 𝑐𝑚

𝐴𝑠 =0.85𝑓𝑐′𝑏𝑎

𝑓𝑦=

0,85 ∙ 25 ∙ 100 ∙ 0,51

300= 3,61 𝑐𝑚2

𝑠 =𝑏𝐴𝑏

𝐴𝑠= 35,18 𝑐𝑚 → 𝑠𝑚𝑎𝑥 = 24 𝑐𝑚

111

3.5.2. Ejercicios propuestos.

1. Los entrepisos de las aulas de una escuela situada en una zona de agresividad media

cuentan con entrepisos de losas de hormigón armado fabricada monolíticamente

apoyadas sobre vigas, como se muestra en la figura, calcule las cargas actuantes, el

peralto de la losa y obtenga el refuerzo a flexión utilizando acero G-40.

2. Diseñar las losas apoyadas sobre columna, de un edificio, cuya planta se muestra a

continuación, el mismo será utilizado para oficinas, el hormigón empleado tiene una

resistencia f’c = 21 MPa, y la resistencia del acero refuerzo fy = 420 MPa.

3.6. Conclusiones parciales del capítulo. I. Con el desarrollo de los ejercicios prácticos se pudo corregir también algunos de los

ejercicios presente en el libro “Hormigón Armado para Arquitectos” teniendo en cuenta

todas las actualizaciones de los requisitos y normas (ACI – 318 2014) para el diseño

estructuras de hormigón armado.

II. El empleo de las tablas de distribución de refuerzo, tablas de coeficientes, formularios

y todas las recomendaciones de diseño que aparecen el capítulo anterior, ayuda a

facilitar la realización de los ejercicios y así obteniéndose resultados que cumple con

los requisitos de diseño.

III. Para la realización de los ejercicios de tema flexo compresión es importante el uso de

los ábacos para el diseño de columnas pues con los ábacos se facilita el proceso

diseño y se obtiene resultados fiables.

112

Conclusiones y Recomendaciones.

1. Conclusiones.

La realización de este trabajo nos ha permitido llegar a las siguientes conclusiones.

1. Se ha realizado una correcta organización de los temas abordados en el libro

Hormigón Armado para Arquitectos para la posterior consulta de los arquitectos e

ingenieros.

2. El conocimiento sobre el comportamiento de elemento hormigón armado es de suma

importancia para la formación de los arquitectos, pero carecen materiales

actualizadas sobre hormigón armado destinado a la carrera de arquitectura.

3. Se ha logrado la correcta actualización y complemento de los temas del libro

“Hormigón Armado para Arquitectos” basado en las disposiciones del código principal

ACI.

4. Por necesidad de diseñar elementos más resistentes, durables y económico etc.,

siempre se realizan estudios que conlleva a la obtención de nuevas informaciones

sobre el comportamiento del hormigón y surgen nuevas tecnologías para

manipulación, por lo que es importante siempre el uso de normas actualizada para el

diseño o comprobación de elemento de hormigón armado.

2. Recomendaciones.

1. desarrollar un manual más detallado basado en este trabajo, con fin de amplia y crear

un documento que pueda servir de consulta para los estudiantes de arquitectura.

2. confeccionar una tarea analítica donde los estudiantes tengan que resolver un

problema estructurar real (edificio, etc.) con diferentes elementos de hormigón

armado.

3. realizar una edición de la versión actual del libro Hormigón Armado para Arquitectos

para así obtener una versión que cumpla con todos los requisitos de las normas

actualizadas de diseño y comprobación de secciones de hormigón armado, como es

el actual código ACI-318 2014.

113

Bibliografía.

1. ACI 318, 2014. Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural (ACI-318-2014). s.l.:s.n.

2. Álvaro Mocoso, S. (2010) Estado Teórico y Experimental de Vigas de Hormigón Armado. Bolivia: Universidad Privada Boliviana.

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4. Chen, W. F. and Luis, E. M. (2006). Principles of structural design. USA.

5. Escorihuela, J. y FEUNANDEZ PEÑA, O. Durabilidad del Hormigón.

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7. Giraldo Bolívar, O. (2003). Diseño a Cortante del Hormigón Armado. Colombia: Universidad Nacional de Colombia.

8. Gonca, A. and Asena, S. (05-07 February 2015). The 7th. World Conference on Educational Sciences, (WCES-2015): The Architecture Departments’ Students Approach to the Reinforced Concrete Course. Greece: Athens, Novotel Athens Convention Center.

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11. Hernández Montes, H. y Gil Martin, L. M. (2007), Hormigón Armado y Pretensado. España: Granada.

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13. Macdonald, A. J. (2004) Structural Design for Architecture.

14. Merritt, F. S. And Ricketts, J. T. (2000). Building Design and Construction Handbook. (6th Ed.). USA.

15. Morales, R. (2006). Diseño de Concreto armado. (3ra edición). Perú.

16. Neville, A. (1998). Articulo Extraído de la revista ‘Concrete International’: Concrete Cover to Reinforcement Or Cover-Up.

17. Nilson, A., Darwin, D. & Dolan, C. W. (2004). Diseño de estructuras de hormigón armado. (13ra. Edición). USA.

114

18. Ochshorn, J. (1990) "Separating Science from Architecture: Why technoogy is taught outside the design studio." San Francisco, CA: Proceedings of the ACSA Annual Meeting.

19. Páez Iturralde, T. (2014). Reseña sobre la enseñanza de las estructuras: base para una metodología de aprendizaje. Ecuador: Universidad de Cuenca.

20. PCA, 2013. BUILDING CODE REQUIREMENTS FOR STRUCTURAL CONCRETE

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21. Pujadas Álvarez, P. Durabilidad del hormigón.

22. Ramírez Hunter, G. A. (2007). Estudio paramétrico para la comparación de diseño de losas por el Método 3 y por el Método del Marco Equivalente.

23. Ray, S. (1995). Reinforced Concrete: Analisys and Design. (5th Ed.).

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25. Toirac Corral, J. (2009). La Resistencia a Compresión del Hormigón. República Dominicana.

Anexos. A continuación, se colocan las ayudas graficas o ábacos que se emplean para el diseño y

comprobación de secciones de columnas

115

Anexo 1: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

ωt = 0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

εs =0

εs = εy

εs =0,005

ε´s = εy

𝑴𝒖

𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´

𝑷𝒖

𝒃𝒉𝒇𝒄´

0,0

h

b

d´ d´

As As´

Pu

Mu

DI: A-1

fy =300MPa

fc´ ≤ 30MPa

𝒅´

𝒅= 𝟎, 𝟎𝟓

𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚

𝒃𝒉𝒇𝒄´

ESTRIBOS

116

Anexo 2: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

ωt = 0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

εs =0

εs = εy

εs =0,005

ε´s = εy

𝑴𝒖

𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´

𝑷𝒖

𝒃𝒉𝒇𝒄´

0,0

h

b

d´ d´

As As´

Pu

Mu

DI: A-2

fy =300MPa

fc´ ≤ 30MPa

𝒅´

𝒅= 𝟎, 𝟏

𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚

𝒃𝒉𝒇𝒄´

ESTRIBOS

117

Anexo 3: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

ωt = 0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

εs =0

εs = εy

εs =0,005

ε´s = εy

𝑴𝒖

𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´

𝑷𝒖

𝒃𝒉𝒇𝒄´

0,0

h

b

d´ d´

As As´

Pu

Mu

DI: A-3

fy =300MPa

fc´ ≤ 30MPa

𝒅´

𝒅= 𝟎, 𝟏𝟓

𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚

𝒃𝒉𝒇𝒄´

ESTRIBOS

118

Anexo 4: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

ωt = 0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

εs =0

εs = εy

εs =0,005

ε´s = εy

𝑴𝒖

𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´

𝑷𝒖

𝒃𝒉𝒇𝒄´

0,0

h

b

d´ d´

As As´

Pu

Mu

DI: B-1

fy =420MPa

fc´ ≤ 30MPa

𝒅´

𝒅= 𝟎, 𝟎𝟓

𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚

𝒃𝒉𝒇𝒄´

ESTRIBOS

119

Anexo 5: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

ωt = 0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

εs =0

εs = εy

εs =0,005

ε´s = εy 𝑴𝒖

𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´

𝑷𝒖

𝒃𝒉𝒇𝒄´

0,0

h

b

d´ d´

As As´

Pu

Mu

DI: B-2

fy =420MPa

fc´ ≤ 30MPa

𝒅´

𝒅= 𝟎, 𝟏

𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚

𝒃𝒉𝒇𝒄´

ESTRIBOS

120

Anexo 6: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

ωt = 0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

εs =0

εs = εy

εs =0,005

ε´s = εy

𝑴𝒖

𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´

𝑷𝒖

𝒃𝒉𝒇𝒄´

0,0

h

b

d´ d´

As As´

Pu

Mu

DI: B-3

fy =420MPa

fc´ ≤ 30MPa

𝒅´

𝒅= 𝟎, 𝟏𝟓

𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚

𝒃𝒉𝒇𝒄´

ESTRIBOS

121

Anexo 7: Diagrama de Interacción para secciones rectangulares con acero en las caras opuestas.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

ωt = 0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

εs =0

εs = εy

εs =0,005

ε´s = εy

𝑴𝒖

𝒃𝒉𝟐𝒇𝒄´

𝑷𝒖

𝒃𝒉𝒇𝒄´

0,0

h

b

d´ d´

As As´

Pu

Mu

DI: B-4

fy =420MPa

fc´ ≤ 30MPa

𝒅´

𝒅= 𝟎, 𝟐

𝝎𝒕 =𝑨𝒕𝒇𝒚

𝒃𝒉𝒇𝒄´

ESTRIBOS