TURBOMÁQUINAS TÉRMICASCT-3412CT-3412

2-Conceptos básicos 2. Ecuaciones Fundamentales

Prof. Nathaly Moreno SalasIng. Victor Trejo

Contenido

� Ecuación de Continuidad

� Trabajo Específico en las Turbomáquinas

� Triángulos de Velocidades

� Ecuación de Euler� Ecuación de Euler

� Rotalpía

Ecuación de continuidad

� La ecuación de continuidad para el volumen de control en estado estable mostrado en la figura es:

222111 CACAm ρρ ==&

Volumen de control en un ventilador de flujo mixto (plano meridional)

Fuente: Turbomachinery performance analysis – Lewis R.

Trabajo específico en una turbomáquina

� A partir de la Primera Ley se puede relacionar el trabajo realizado con el cambio de energía (entalpía) en el fluido.

( ) ( ) ( )

−+−+−=− 221

zzgccmhhmWQ &&&

(1)

� En las turbomáquinas se suele considerar que:

� El proceso de transferencia de energía es adiabático

� La variación de energía potencial gravitatoria es despreciable con respecto al resto de las contribuciones

( ) ( ) ( )

−+−+−=− 1221

2212 2

1zzgccmhhmWQ x &&&

Trabajo específico en una turbomáquina

� Aplicando estas consideraciones a la ecuación (1),expresándola en función de la entalpía deestancamiento y dividiendo entre el flujo másico seobtiene la siguiente expresión para el trabajoespecífico:específico:

para compresores:

para turbinas:0102 hhw −=0201 hhw −= ( )2

Triángulos de velocidad – Notación (1/2)

� La velocidad absoluta del fluido c, la velocidad del rotor u y la velocidad relativa del fluido con respecto al rotor w se relacionan mediante:

Cinemática de una turbomáquina radialFuente: Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas – Mataix C.

wuc rrr +=

Triángulos de velocidad – Notación (2/2)

� u: velocidad absoluta del álabe

� c: velocidad absoluta del fluido

� w velocidad relativa del fluido con respecto al álabe

� cm: componente meridional de la velocidad absoluta del fluido

� cu ó cθ: componente periférica de la velocidad absoluta del fluido

� α: ángulo que forman las velocidades c y u

� β: ángulo que forma w con (-u). Nótese que el ángulo que forma w con u es el β’, suplemento de β

Triángulos de velocidad de entrada y salida de los álabes de un rotor de bomba o compresorFuente: Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas – MataixC.

Principio de funcionamiento (1/3)

� El mecanismo físico a través del cual se produce la transferencia de energía en una turbomáquina es la variación de la cantidad angular de movimiento.

� La segunda ecuación universal de la mecánica nos dice que “en un sistema de referencia inercial, el momento que “en un sistema de referencia inercial, el momento que, con respecto a un punto P del espacio, producen los vectores miai de cada una de las partículas que constituyen el sistema material es, en cada instante, igual al momento resultante del sistema de fuerzas externas, referido al mismo punto P”.

Fuente: Mecánica – León J.

Principio de funcionamiento (2/3)

� Aplicando este principio al elemento de fluido que describe la línea de flujo de la figura, se obtiene que el torque que el rotor debe proveer para que el fluido cambie su cantidad angular de movimiento de mc

θ1 a mcθ2 es:

oψ τ

)( 1122 θθτ crcrm −= & )3(

Flujo a través de una bomba o compresor

Fuente: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon S. y Hall C.

Principio de funcionamiento (3/3)

� Al multiplicar la ecuación (3) por la velocidad angular ω se obtiene:

Donde U corresponde a la velocidad tangencial del álabe.

� Si ahora se divide esta expresión entre el flujo másico,

)()( 11221122 θθθθω cUcUmcrcrmW −=−= &&&

� Si ahora se divide esta expresión entre el flujo másico, se obtiene:

Donde w es el trabajo específico realizado por el álabe. Nótese que ahora se dispone de dos expresiones para el trabajo específico.

1122 θθ cUcUw −= )4(

Ecuación de Euler (1/4)

� Se han mostrado dos expresiones para el trabajo específico:� La ecuación (2) lo describe como una función de la entalpía

total (estado termodinámico y cinemático del fluido)

La ecuación (4) lo describe como una función de las � La ecuación (4) lo describe como una función de las velocidades tangenciales del rotor y del fluido

Al igualar ambas expresiones se obtiene la primera forma de la ecuación de Euler:

11220102 θθ cUcUhh −=−

22110201 θθ cUcUhh −=−Para compresores, bombas y ventiladores

Para turbinas( )5

Ecuación de Euler (2/4)

� La ecuación de Euler permite relacionar el trabajo específico con elestado termodinámico y cinemático del fluido con las velocidadesdel fluido y de la turbomáquina a través de la combinación de laconservación de la energía y de la cantidad angular demovimiento:

La forma de la ecuación de Euler mostrada es válida para un)fluido del velocidadde campo,,(),( 120102 UUfhhfw ==

� La forma de la ecuación de Euler mostrada es válida para unanálisis unidimensional (aplicable a un elemento de masa a lo largode la línea de flujo).

� En la práctica permite estimar de forma sencilla el trabajo a travésde mediciones de velocidad.

� Para poder describir el proceso en cualquier punto del dominio esnecesario derivar ecuaciones diferenciales equivalentes a la formamostrada de la ecuación de Euler.

Ecuación de Euler (3/4)

� La ecuación de Euler se suele expresar también en función de las velocidades C, U y W.

� Al aplicar el teorema del coseno en un triángulo de velocidad se obtiene:

−+=−+= α

� Al sustituir (6) en (5) se obtiene la segunda forma de la ecuación de Euler (caso de bombas o compresores):

( )222

22222

21

2)cos(2

wcuuc

uccuuccuw

++=

−+=−+=

θ

θα

( )6

( ) ( ) ( )222

22

21

21

22

21

22

0102

wwccuuhh

−+−+−=−

Fuente: Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas – Mataix C.

( )7

Ecuación de Euler (4/4)

� La segunda forma de la ecuación de Euler es útil para discernir los mecanismos de transferencia de energía. La interpretación física de cada sumando de la ecuación (7) es:

� : representa la energía transferida debido al cambio en la energía cinética absoluta del fluido al atravesar la turbomáquina. Si se trata de un compresor o bomba, esta

( )2

21

22 cc −

Fuente: Turbomachinery performance analysis – Lewis R.

turbomáquina. Si se trata de un compresor o bomba, esta cantidad se puede usar para crear un aumento de presión a través de un difusor.

� : representa la energía transferida debido a las fuerzas centrífugas a medida que el fluido se mueve en dirección radial. Las máquinas axiales no aprovechan este efecto, por lo que tienen menor aumento o caída de presión por etapa.

� : representa la energía transferida debido al cambio en la energía cinética relativa del fluido en la turbomáquina.

( )2

21

22 uu −

( )2

22

21 ww −

Fuente: Turbomachinery design and theory – Dekker M.

Rotalpía

� Si se reorganiza la primera forma de la ecuación de Euler (5) de esta manera:

se observa que la magnitud se mantiene constante a lo largo de una línea de flujo. A esta magnitud se le conoce como

11012202 θθ cUhcUh −=−Uch −

largo de una línea de flujo. A esta magnitud se le conoce como rotalpía I:

flujo de línea una de largo lo a constante21 === III

Flujo a través de una bomba o compresor