Tutor: Genaro Saavedra

Héctor Navarro Fructuoso Emilio Miguel Sánchez Ortiga

Tutor: Genaro Saavedra

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ÍNDICE

1.-Objetivos.................................................................................................................................4 2.-Introducción............................................................................................................................5 3.-Introducción teórica

3.1.-Fenómeno individual: Arco iris generado por una gota 3.1.1.-Modelo geométrico de Descartes.....................................................................8

3.1.2.-Dispersión cromática y ancho angular del arco iris para luz blanca..................................................................................................................13

3.1.3.-Modelo ondulatorio de Young (arco iris supernumerarios)...........................14 3.2.-Fenómeno colectivo: arco iris generado por una distribución volúmica de gotas.................................................................................................................................19 4.-Realización de la práctica

4.1.-Montajes experimentales 22 4.2.-Material utilizado..........................................................................................................23 4.3.-Procedimiento experimental

4.2.1.-Modelo geométrico y ondulatorio para una única esfera y luz monocromática........................................................................................................28 4.3.2.-Fenómeno individual con luz blanca..................................................................31 4.3.3.-Fenómeno colectivo con luz blanca....................................................................33

4.4.-Resultados obtenidos...................................................................................................36 5.-Conclusiones y valoración de los resultados.........................................................................50 6.-Propuesta de un guión de laboratorio....................................................................................52 7.-Bibliografía............................................................................................................................67 8.-Agradecimientos....................................................................................................................67 -Apéndice

A) Criterio de errores......................................................................................................68 B) Medidas directas........................................................................................................70 C) Tabla del índice de refracción del agua para distintas longitudes de onda................79 D) Tabla del índice de refracción del vidrio BK-7 para distintas longitudes de onda..........................................................................................................80

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1. OBJETIVOS

El objetivo de esta práctica es explicar la formación del arco iris. Para ello, se

analiza en primer lugar, a partir de los modelos geométrico y ondulatorio, la retrorreflexión en una esfera transparente con luz monocromática. Este estudio se realiza para esferas de distintos tamaños y materiales, así como para dos longitudes de onda diferentes. Posteriormente, se analiza el fenómeno de la dispersión cromática en retrorreflexión cuando se emplea luz blanca. Finalmente, estudiamos la formación del arco iris para un colectivo de gotas, tal y como ocurre en la naturaleza.

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2. INTRODUCCIÓN

Imagen 1: Arco iris observado en el campus de Burjassot.

El arco iris es uno de los fenómenos mas vistosos que se pueden contemplar en

el cielo. Además, posee una gran riqueza física por lo que no es de extrañar que haya sido objeto de numerosos estudios en el pasado. Sin embargo, su observación en el cielo es poco frecuente ya que se debe cumplir la siguiente condición: teniendo el Sol a las espaldas (sin estar tapado por nubes), el observador debe mirar hacia una zona de lluvia. El volumen de gotas de agua dispersa la luz blanca proveniente del Sol, de tal forma que sobre el cielo observamos un arco con todos los colores del espectro visible yendo del azul, en la parte inferior del arco iris, al rojo en el extremo superior. En realidad, la luz dispersada por las gotas forma un arco completo, pero su parte inferior queda tapada por la Tierra. Es posible observar el arco completo si nos encontramos lo suficientemente elevados del suelo, por ejemplo, en un avión. También se puede observar el fenómeno de forma natural en una cascada de agua en la que haya un número considerable de gotas lo suficiente pequeñas (imagen 2).

Imagen 2: Arco iris en una cascada. Se puede apreciar la presencia del arco iris secundario.

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.

En ocasiones, se puede observar un segundo arco iris conocido como arco iris secundario. Su posición se encuentra unos grados por encima de la posición del anterior sobre el cielo, con una distribución de colores invertida respecto al primero (arco iris primario). Existe una zona oscurecida entre el arco iris primario y el secundario, conocida como banda de Alejandro. También se observan, aunque muy raramente, unos pequeños arcos dentro del primario y por encima del secundario conocidos como arcos supernumerarios.

Imagen 3: En la fotografía se observa la

presencia de pequeños arcos (arcos supernumerarios) debajo del arco iris primario.

A lo largo de la Historia han sido muchas las personas que han realizado

estudios con la finalidad de comprender el fenómeno del arco iris. La física del arco iris no es una “física del pasado” sino que su completa descripción no ha sido llevada a cabo todavía en la actualidad. Para la explicación de este fenómeno se han ido desarrollando diferentes modelos teóricos que trataban de dar cuenta desde los aspectos más generales hasta, recientemente, los aspectos más finos. A continuación, se muestran algunas de las más relevantes referencias históricas del estudio del arco iris.

El astrónomo persa, Qutb al-Din al-Shizari (1236-1311), se cree que fue el primero en explicar el fenómeno del arco iris. El modelo matemático fue elaborado por su estudiante, Kamal al-Din al-Farisi (1260-1320).

En Europa, el trabajo de Robert Grosseeteste sobre la luz fue continuado por

Roger Bacon, el cual escribió en su Opus Majus de 1268 sobre experimentos de luz brillando a través de cristales y gotas de agua que mostraban los colores del arco iris. Theodoric of Freiberg es conocido por haber dado una explicación teórica precisa tanto del arco iris primario como el secundario en 1307.

El tratado de Descartes de 1637 Discurso del Método avanzó en la explicación de este fenómeno. Descartes conocía que el tamaño de las gotas de agua no afectaba al arco iris observado y experimentó haciendo pasar rayos de luz a través de grandes esferas de vidrio huecas llenas de agua. Midiendo los ángulos con que emergían los rayos, concluyó que el arco iris primario estaba causado por una sola reflexión interna en la gota de agua y que el secundario podría estar causado por dos reflexiones internas. Defendió esta conclusión con una variante de la ley de la refracción (posterior, pero independiente, a la ley de Snell) y calculó correctamente los ángulos para ambos arco iris. Su explicación de los colores, sin embrago, estaba basada en una versión mecánica de la teoría tradicional según la cual los colores estaban producidos por una modificación de la luz blanca.

Isaac Newton fue el primero en demostrar que la luz blanca estaba compuesta por la luz de todos los colores del arco iris. Con un prisma de vidrio la separó en todo el espectro completo de colores, rechazando la teoría de que los colores estaban

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producidos por la modificación de la luz blanca. Newton también mostró que la luz roja se refractaba menos que la luz azul, lo que condujo a la explicación de uno de los aspectos más importantes del arco iris. La teoría corpuscular de Newton sobre la luz era incapaz de explicar los arco iris supernumerarios, y no se encontró una explicación satisfactoria hasta que Thomas Young se percató de que la luz se comportaba como una onda y que puede interferir consigo misma.

El trabajo de Young fue mejorado en 1820 por George Biddell Airy, el cual explicó la dependencia de la intensidad de los colores del arco iris y el tamaño de las gotas de agua. Las descripciones físicas más modernas del arco iris están basadas en la dispersión de Mie, trabajo publicado por Gustav Mie en 1908. Los avances en métodos computacionales y en la teoría óptica continúan mejorando la comprensión de los arco iris.

En esta práctica se limitará el estudio a los modelos geométrico y ondulatorio

propuestos por Descartes y Young, respectivamente. Ambos están basados en la descripción de la dispersión de luz a través de una esfera. A partir de los resultados obtenidos, se llevará a cabo una descripción del fenómeno colectivo para un cierto volumen de esferas.

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3. INTRODUCCIÓN TEÓRICA 3.1 FENÓMENO INDIVIDUAL: ARCO IRIS GENERADO

POR UNA GOTA En este apartado analizaremos el arco iris desde el punto de vista de una sola gota y una longitud de onda determinada. Obtendremos así la expresión del ángulo de observación del arco iris primario, así como del secundario, empleando un modelo geométrico. A continuación, se tratará la dispersión cromática y la ordenación de los colores que vemos en el arco iris, así como el ancho angular del arco iris. Mediante un modelo que incluye la naturaleza ondulatoria de la luz explicaremos, finalmente, los llamados arco iris supernumerarios.

3.1.1 Modelo geométrico de Descartes Para comprender el fenómeno del arco iris, se debe estudiar inicialmente lo que

le ocurre a la luz cuando incide sobre una única gota de agua. Supondremos, a la hora de considerar este proceso, que las gotas de lluvia son idealmente esféricas.

Cuando se ilumina una esfera con un haz de luz se observa que existe una cierta cantidad de esta luz que es retrorreflectada. La descripción de este fenómeno es esencial para la comprensión completa del fenómeno del arco iris. Por medio de la Óptica Geométrica, se estudiará a continuación la trayectoria de un rayo de luz monocromática que incide desde el aire sobre una esfera de radio a, de una sustancia de índice de refracción n (véase figura 1). La altura b con la que incide el rayo respecto al eje paralelo al mismo y que pasa por el centro de la gota se conoce como parámetro de impacto. El ángulo de incidencia se puede expresar en función de dicho parámetro

xabi ≡= /sin (1)

Asimismo, el ángulo de refracción r de entrada y salida a la gota dado por la ley

de Snell se podrá escribir en función del nuevo parámetro x definido en la expresión superior como

)/(sin 1 nxr −= (2) De acuerdo con las leyes de la Óptica Geométrica, la trayectoria del rayo incidente se mantiene en el plano definido por la dirección de incidencia y la normal a la superficie de la esfera en el punto de impacto. Se puede estudiar por tanto la trayectoria del haz en el interior de la esfera en un corte transversal de la misma.

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Figura 1: Retrorreflexión de un rayo de luz que incide en una esfera transparente con un ángulo de

incidencia i y que sale de la gota con un ángulo r. Nos interesa conocer el ángulo de desviación θ respecto a la dirección de incidencia del rayo. Podemos hacerlo sumando cada una de las desviaciones que sufre el rayo dentro de la gota. Estas se deben a la reflexión y refracción de la luz. En la figura 1 se muestra el caso de una sola reflexión interna. Sumemos cada una de las desviaciones:

- La desviación en la entrada es (i – r) - La desviación debida a cada reflexión interna es (π - 2r) - La desviación en la salida es (i – r)

Para m reflexiones internas, el ángulo de desviación será )2()(2 rmri −+−= πθ (3) donde el módulo implica que [ ]πθ 2,0∈m El arco iris primario se corresponde con m=1, el secundario m=2, y así sucesivamente. En la figura 2 se ha representado )(xθθ = para m=1 y m=2 en el caso del agua para distintas longitudes de onda del espectro visible. Como puede observarse, existe un intervalo entre 129º y 138º en el cual no hay luz retrorreflectada. El resultado es un espacio oscuro entre los arco iris primario y secundario conocido como la banda oscura de Alejandro. También puede verse que la función tiene un mínimo para el primario y un máximo para el secundario. Estos representan los ángulos para los cuales existe una acumulación de rayos, ya que, pequeñas variaciones del parámetro x no varían el ángulo de desviación. Por tanto, dicho ángulo en las proximidades del mínimo (o máximo) es el mismo para rayos con valores de x cercanos al que produce el extremo de la función ( x 0). Esto se traduce en una concentración de rayos en θo, valor al que llamaremos ángulo de desviación mínima. Para parámetros de impacto mayores

10

y menores que 0x , el ángulo de dispersión es siempre menor que para 0x , lo que se traduce en que no encontraremos luz para ángulos mayores que 0θ .

Figura 2: Representación del ángulo de desviación para m=1 y m=2, en el caso del agua, para distintas longitudes de onda del espectro visible. A continuación, se analizará el extremo de la función )(xθθ = para el primario y el secundario. Como vemos, el ángulo de desviación depende del índice de refracción, lo que implica que cada longitud de onda tendrá un ángulo de desviación mínima distinto. a) Arco iris primario

El ángulo de desviación de los rayos correspondiente al arco iris primario(m=1) viene dado por

)/(sin4sin2 11 nxx −− −+= πθ (4) Para examinar la vecindad del extremo y ver su dependencia con el índice de refracción, hacemos un desarrollo de Taylor entorno al mínimo de la función )(xθ . Matemáticamente,

)(21)( 2

02

2

00

00

xxdxdxx

dxd

xx

−+−+≈θθθθ (5)

Puesto que la primera derivada se anula al encontrarnos en un mínimo, queda

11

200 )(

21

0

xxdxd

x

−+≈θθθ (6)

Las derivadas primera y segunda son

222

41

2xnxdx

d−

−−

=θ (7)

2/3222/322

2

)(4

)1(2

xnx

xx

dxd

−−

−=

θ (8)

El extremo se produce para 00

=xdx

dθ , y con esta condición se obtiene

2

022

0

4

1

2

xnx −−

−=0

34 2

0nx −

= (9)

Si sustituimos x0 en (2) obtenemos el ángulo de desviación mínima, 0θ )/(sin4sin2 0

10

10 nxx −− −+= πθ . (10)

La derivada segunda en x = 0x viene dada por

0

2

2

xxdxd

=

θ =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

− 2/320

22/320

0 )(2

)1(12

xnxx (11)

y, sustituyendo el valor de x0

0

2

2

xxdxd

=

θ =23

4 2n−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −− 2/3

222/3

2

)3

4(

2

)3

41(

1nnn

. (12)

Simplificando la expresión anterior llegamos a

0

2

2

xxdxd

=

θ =( ) 2/32

2

14

29

−

−

nn (13)

Tomando como índice de refracción del agua 3/4≈n (correspondiente a una

longitud de onda del espectro visible situada en la región del amarillo), obtenemos sustituyendo este valor en (5) y (6) que el ángulo de desviación mínima es

12

0θ =137,97º

Como se muestra en la Figura 3, la dispersión se concentra en 0θθ = , pero además ocurre sólo para 0θθ ≥ .

Figura 3: Esquema que muestra la concentración de rayos en un determinado ángulo para una sola reflexión interna y una determinada longitud de onda. b) Arco iris secundario

Calcularemos, al igual que hemos hecho para el primario, el ángulo de desviación mínima del secundario, es decir, para dos reflexiones en el interior de la gota. En (3) sustituimos m=2 y obtenemos )2(2)(2 rri −+−= πθ (14) Expresándolo en función del parámetro de impacto y el índice de refracción, nos queda )/(sin6sin22 11 nxx −− −+= πθ (15)

Buscamos nuevamente el ángulo de desviación mínima. Así,

00

==xxdx

d θ (16)

( ) 22222

61

21

1

161

120

xnxnnxxdxd

xx −−

−=

−−

−=

=

θ =0

Se obtiene:

8

9 2

0nx −

= (17)

13

Sustituyendo en (15) obtenemos el ángulo de desviación mínima )/(sin6sin22 0

10

10 nxx −− −+= πθ (18)

Para el agua, considerando de nuevo 3/4≈n ,

0θ =129,027º En esta práctica nos limitaremos a medir el ángulo de desviación mínima para el secundario de modo que comprobemos que se debe a los haces que sufren dos reflexiones internas. Sin embargo, no lo consideraremos en el modelo ondulatorio ya que conceptualmente es análogo al primario pero sus cálculos son más complejos.

3.1.2 Dispersión cromática y ancho angular del arco iris para luz blanca Los colores del arco iris son consecuencia de la variación del índice de refracción del agua con la longitud de onda de la luz. Este fenómeno, llamado dispersión cromática, se muestra en la figura 2, donde se puede observar que cada longitud de onda se dispersa para un ángulo distinto.

Consideraremos los efectos de la variación del índice de refracción sobre el ángulo de desviación del arco iris primario. Derivando respecto a n en (2)

22

1 4sin4xnn

xnx

ndnd

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−= −θ (19)

Sustituyendo (9) en la expresión anterior obtenemos la variación del ángulo de

desviación mínima con respecto al índice de refracción

=0xdn

dθ2

02

04

xnn

x

−=

142

2

2

−−

nn

n (20)

Si definimos el rango visible de longitudes de onda entre los 400 nm (violeta) hasta los 700 nm (rojo), encontramos que el índice de refracción para el agua varía en

2103.1 −=Δ xn desde un extremo del rango visible al otro. Considerando de nuevo 3/4≈n , obtenemos

=0xdn

dθ 2,536 (21)

Realizamos una estimación del ancho angular del arco iris primario y encontramos que

=Δ 0θ0xdn

dθ nΔ = 2103.3 −x rad = 1,89º. (22)

14

Los colores del arco iris se extienden alrededor de 2º en torno a los 42º respecto a la dirección de incidencia de los rayos del Sol (180º - 138º). Puesto que λddn / es menor que 0, la luz roja emerge con un ángulo menor que la violeta. Esto significa que, para el arco iris primario, se observará el color rojo en el exterior y el color violeta en el interior del mismo.

3.1.3 Modelo ondulatorio de Young (arco iris supernumerarios)

Hasta ahora hemos estado hablando de rayos, pero el verdadero comportamiento de la luz es ondulatorio. Los frentes de onda avanzan en la misma dirección de los rayos, pero son en todo punto perpendiculares a estos. Por lo tanto podemos reconstruir el frente de ondas trazando superficies perpendiculares a los rayos. Para rayos incidentes con parámetro de impacto cercano a axb 00 = , el ángulo de dispersión es igual a 0θ hasta primer orden incluido. De hecho debido a la dependencia cuadrática de θ - 0θ en 0xxx −=Δ , como se muestra en la ecuación (7), dos rayos incidentes con parámetros de impacto mayor y menor que 0b en una cantidad

xΔ emergerán con el mismo ángulo de dispersión y por tanto, saldrán paralelos de la gota. En el modelo ondulatorio, como observó Young por primera vez 1803, los frentes de onda paralelos a estos dos rayos que emergen en la misma dirección, pueden interferir.

Figura 4: Interferencia de las ondas a la salida de una gota tras una sola reflexión interna. Las amplitudes de las ondas que interfieren no son exactamente iguales, por lo tanto en aquellos puntos donde hay oposición de fase no se producirá anulación total de la amplitud resultante. La intensidad viene dada por

15

δcos2 212

22

1 AAAAI ++= (23) donde 1A 2A son las amplitudes de las ondas que interfieren yδ es la diferencia de fase entre ambas ondas. De hecho, las fórmulas de Fresnel permiten obtener la relación entre la amplitud incidente y la amplitud transmitida para las componentes del campo eléctrico paralela y perpendicular al plano de incidencia. Estas amplitudes son función del ángulo de incidencia. Como para rayos incidentes con distinto parámetro de impacto b, el ángulo de incidencia en la superficie de la gota también será distinto, y por tanto las amplitudes transmitidas serán también distintas.

Finalmente, el que la interferencia sea constructiva o destructiva depende de la diferencia de fase entre ondas consideradas. Esta varía en función de xΔ y proporciona los efectos de interferencia.

En la figura 1, se observa como la línea continua que representa el rayo crítico emerge con un ángulo 0θθ = . Por otra parte, se muestran los rayos vecinos con un pequeño xΔ que emerge con ángulos que difieren de 0θ tan sólo en 2)( xΔΟ . Las superficies AA ′ y BB ′ de dicha figura son adecuadas para definir la diferencia de camino óptico de un rayo en la vecindad del rayo crítico, ya que antes y después las ondas consideradas viajan paralelas.

La fase acumulada por una onda que atraviesa un número N de medios materiales viene dado por

∑=ΦN

jjj lnkx)( (24)

donde λπ /2=k es el número de ondas, jn el índice de refracción del medio j y jl la distancia recorrida por el rayo en dicho medio. Además, como se puede demostrar mediante razonamientos geométricos, una onda al pasar por un foco acumula una fase de 2/π . Por lo tanto, si uno de las ondas que salen paralelas de la gota pasa por el foco y la otra no, acumularán una diferencia de fase adicional de 2/π . La suma de la distancia desde AA ′ a la superficie de entrada y la distancia desde la superficie de salida a BB ′ es

)cos1(2 i− (25) y el camino óptico en el interior a la gota viene dado por

rn cos4 (26)

Sustituyendo (25) y (26) en la ecuación (24) y expresándolo en función de x queda )211(2)( 222 xnxkax −+−−=Φ (27)

16

donde se ha tenido en cuenta que 21cos xi −= (28) y que, a partir de la ley de Snell

2

1cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

nxr (29)

es decir 22cos xnrn −= (30) A continuación, se quiere obtener una expresión que relacione la diferencia de fase entre dos rayos muy próximos en función del ángulo de dispersión. Debido a la complejidad que supondría relacionar Φ directamente con θ a través de x se hace uso del siguiente recurso matemático. Φ y θ son función de x. Sus derivadas también lo son, y están relacionadas por una constante. Por lo tanto, para obtener la dependencia funcional de Φ con θ primero se deriva y después se integra la relación, centrándonos en una región próxima a 0x .

Así, consideremos la derivada

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+−

−−=

Φ222222

21

)2(2

2)2(1212

xnx

xxx

xnx

xka

dxd (31)

Comparando con (7) se observa que la expresión es la misma excepto en un factor kax :

dxdkax

dxd θ

=Φ (32)

Escribiendo ξ+= 0xx (33) donde ξ supone una pequeña perturbación en x, es posible rescribir esta ecuación en la forma

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+=

Φξθξ

ξθ

ξθξ

ξ dd

ddxka

ddxka

dd

00 )( (34)

Integrando en ambos miembros desde 0 hasta ξ se obtiene

17

∫∫ ′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′

′+′

=′

Φ ξξξ

ξθξ

ξθ

ξ 0 00d

dd

ddxka

dd (35)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′′

′+−=Φ−Φ ∫ξ

ξξθξθθξ

0000 )()( dddxka (36)

Realizando una integral por partes en el segundo término, se tiene que

∫∫∫∫ ′′−=′′−′′

=′′

′ξξξξ

ξξθξθξξθθξξ

ξξθξ

0000)()()( dd

ddd

dd (37)

Finalmente, llegamos a

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′−+−=Φ−Φ ∫

ξξξθξθθθξ

0000 )()()( dxka (38)

Insertando (6) y (35) en (38) se obtiene

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ′+−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−=Φ−Φ ∫

ξξξθθξθθξθθξ

0

2

2

2

0

2

2

2

0000 22)()(

00

ddxd

dxdxka

xx

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ο++−=Φ−Φ 4

3

2

2

000 )(3

)()(0

ξξθθθξxdx

dxka (39)

Para dos rayos a y b, como se muestra en la figura 1, para valores iguales y opuestos de ξ , la diferencia de fase es

=−Φ−Φ= )()( ξξδ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+−+Φ−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+Φ

3)()(

3)(

3

2

2

000

3

2

2

000

00

ξθθθξθθθxx dx

dxkadxdxka (40)

que finalmente queda

=−Φ−Φ= )()( ξξδ =3

23

2

2

0

ξθ

xdxdka (41)

Igualando esta diferencia de fase a [ ]2/2 ππ +N y expresando ξ en términos de

0θθ − , se encuentra que los ángulos para los que se produce interferencia constructiva son

δ =3

23

2

2

0

ξθ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

xdxdka =

22 ππ +N = )4/1(2 +Nπ (42)

18

donde

ka

Ndxd

x

)4/1(31

2

23

0

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

−

πθξ (43)

Sustituyendo en (6) la ecuación (33)

2

2

2

2

0

0

ξθθθxdx

d+= (44)

y sustituyendo (43) en (44), se obtiene la condición de interferencia constructiva para un cierto ángulo Nθ , siendo N el orden del máximo

3/2

3/1

2

2

0 2)4/32(3

21

0

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=−

kaN

dxd

xN

πθθθ (45)

La expresión anterior, por tanto, nos dará la posición angular de los máximos de

intensidad con respecto a 0θ

Si se realiza un razonamiento análogo al anterior para calcular la posición de los mínimos de intensidad, la interferencia destructiva se producirá para

δ =2

)12( ππ ++N = ( )4/32 +Nπ =3

23

2

2

0

ξθ

xdxdka (46)

Al igual que en el caso anterior

2/3

03 )(2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

′′= θθ

θξ (47)

[ ]2/3

2

22/3

0

1

2

2

00

)(22

)4/32(3−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

xx dxd

dxd

kaN θθθθπ (48)

Despejando se llega a

3/2

3/1

2

2

0 2)4/32(3

21

0

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=−

kaN

dxd

xN

πθθθ (49)

19

que es la posición angular Nθ de los mínimos de intensidad con respecto a 0θ Como se puede observar, la posición de los máximos y mínimos dependen de la longitud de

onda, del tamaño de las gotas y, a través de 0

2

2

xdxd θ , del índice de refracción.

3.2.- Fenómeno colectivo: arco iris generado por una distribución

volúmica de gotas Posición del Sol al mirar el arco iris Es interesante preguntarse cual es la posición del Sol en el cielo cuando se observa el arco iris, para empezar a pensar en el proceso físico que da lugar a este fenómeno. La mayoría de la gente nunca se ha dado cuenta de que el Sol esta detrás suya cuando observan el arco iris. Cuando alguien mira un arco iris, lo que está viendo es luz dispersada por ciertas gotas de lluvia. Otra persona que se encuentre en una posición distinta a la del primer observador verá luz dispersada por otras gotas. De esta manera, cada observador ve un arco iris distinto. La posición en la que observamos el arco iris depende de la posición del observador y de la altura del Sol en el cielo. La forma del arco iris Discutiremos la formación del arco iris por gotas de agua. Para simplificar el análisis, consideremos el camino de un rayo de luz monocromática en el interior de una gota de agua esférica. Si entonces aplicamos los resultados de una sola gota a un conjunto de gotas de agua en el cielo, podemos visualizar la forma del arco iris. En la figura 3, se puede observar que existe un rayo cuya desviación es la mínima que sufre cualquiera de los rayos incidentes en la gota. Gran parte de la luz del Sol tras refractarse dos veces y reflejarse en la gota de agua se concentra a lo largo de este rayo. Por tanto la luz retrorreflectada es difusa y débil, excepto en esta dirección. Es esta concentración de rayos cerca del ángulo de desviación mínima la que da forma al arco del arco iris. La distancia Tierra-Sol es lo suficientemente grande como para asumir, en buena aproximación, que la luz del Sol puede ser representada por un conjunto de rayos paralelos. Una gota de agua de lluvia típica es aproximadamente y por tanto, su efecto sobre la luz del Sol es simétrico en torno al eje que atraviesa la gota de agua y el Sol. Debido a que hay simetría axial respecto a la línea que une el Sol con el observador, la forma del arco iris puede ser visualizada rotando la imagen bidimensional alrededor del eje de simetría. La simetría de la concentración de rayos que produce cada gota de agua es tal que cuando vemos una gota en la línea de visión definida por el ángulo de desviación mínima, veremos un punto brillante debido a la luz solar retrorreflectada. El ángulo de desviación mínima para la luz roja es de 138º aproximadamente. En la figura se ha representado el complementario de este, es decir, un ángulo de 42 grados entre la dirección de la luz incidente y la línea de visión, ángulo que es el complementario al definido en la introducción teórica como 0θ . Por tanto todas las gotas de agua que se

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encuentren en la línea de visión que forme este ángulo con la dirección de la luz incidente, las veremos brillar. El arco iris es por tanto un círculo de 42º de radio angular, centrado en la línea que une al observador con el Sol, situado el observador de espaldas al Sol, como se muestra en la figura 5.

Figura 5: Se muestra el ángulo con el que un observador con el Sol a la espalda observa el arco iris primario. No vemos un arco completo porque la Tierra se interpone en el camino. La posición más baja del Sol es el horizonte, por lo tanto para esta posición del Sol veríamos un semicírculo completo del arco iris con la parte superior del arco formando un ángulo de 42º con el horizonte. A medida que el Sol va aumentando su altura respecto al horizonte, la parte superior del arco iris se ve cada vez más baja, hasta el límite en que el arco superior del arco iris se observa sobre el horizonte. Arco iris secundario Hemos seguido el camino de un rayo de luz solar cuando entra y es reflectado en el interior de la gota. Pero no toda la energía emerge de la gota. El arco iris que normalmente vemos se llama arco iris primario y es producido por una reflexión interna; el arco iris secundario es debido a dos reflexiones internas y el rayo abandona la gota con un ángulo de 50º respecto a los 42º para el color rojo del primario. La luz azul emerge con un ángulo de 53º. Este efecto produce un arco iris secundario que tiene sus colores invertidos en comparación con el primario, como se observa en la figura 6.

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Figura 6: Se muestran los tamaños angulares con los que un observador observa los arco iris primario y secundario, así como los ángulos en los que observa los colores violeta y rojo para cada uno de ellos. Es posible que la luz sea reflejada más de dos veces en el interior de la gota, y podemos calcular donde serán vistos los arco iris de orden superior; pero estos son imposibles de ver en circunstancias normales debido a su debilidad y a su posición.

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4. REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA

4.1 MONTAJES EXPERIMENTALES Montaje experimental 1

Figura 7: En la fotografía se observa el montaje experimental para medir el ángulo de desviación mínima, así como los máximos de los arcos supernumerarios para una gota de agua suspendida en una jeringa para la longitud de onda de 533 nm (láser verde). Montaje experimental 2

Figura 8: Montaje experimental para el estudio del modelo individual con luz blanca. El proyector proporciona un haz colimado que ilumina el matraz de vidrio lleno de agua. El cono de luz retrorreflectado se proyecta sobre el panel de medida milimetrado.

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Montaje experimental 3

Figura 9: Montaje experimental para la observación del arco iris primario. La pantalla mate con microesferas de vidrio, es iluminada con el proyector que proporciona un haz colimado. El observador sitúa la mentonera en una posición adecuada para la observación del arco iris.

4.2 MATERIAL UTILIZADO

-Bancos ópticos: Sobre los bancos ópticos se montan todos los elementos de la práctica. Los elementos se pueden desplazar longitudinalmente a lo largo del banco, lo que proporciona una gran movilidad sin perder la alineación de los distintos elementos. Se usan:

• Banco óptico de longitud 50 cm • Banco óptico de longitud 100cm

-Láser He-Ne:

Se utilizará como fuente de luz monocromática de longitud de onda

nm8'632=λ .

Figura 10: Láser He-Ne

24

-Láser verde: Tiene una longitud de onda de

emisión de 532 nm y se utiliza como fuente de luz monocromática.

Ambos láseres están acoplados

sobre una base sólida montada sobre un pie que permite su desplazamiento longitudinal y trasversal sobre el banco óptico.

Figura 11: Láser verde de 532 mn

-Expansor de haz: El expansor de haz utilizado está formado por dos lentes convergentes una de focal

5 mm y la otra de focal 150 mm. Primero, se debe hacer divergir el haz con una lente de distancia focal corta y luego el haz divergente es colimado obteniéndose un gran ancho del haz y una divergencia menor. El arreglo de lentes es esencialmente el de un telescopio invertido. Es invertido porque la luz entra en el ocular (la lente de menor distancia focal) y sale por el objetivo. De esta forma conseguimos dos cosas: iluminar completamente las esferas y conseguir un frente de ondas plano, similar al que proviene del Sol debido a su gran distancia a la Tierra.

Figura 12: Esquema de un expansor de haz.

-Diafragma: Permite limitar el diámetro del haz que atraviesa el sistema para evitar luz reflejada en zonas ajena a la esfera.

Figura13: Diafragma

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-Microscopio: El microscopio se utiliza para aumentar el tamaño de las gotas de agua y, gracias a

ello, es posible medir su tamaño haciendo uso del tornillo micrométrico. La imagen ampliada se proyecta sobre la CCD y se visualiza en el monitor.

-Cámara CCD: Se utilizará tanto para visualizar las imágenes del telescopio del goniómetro como para realizar medidas del tamaño de las gotas de agua visualizando la imagen aumentada por el microscopio.

Figura 14:Cámara CCD

Figura 15: Esquema del sistema Telescopio-CCD

Figura 16: Esquema del sistema Microscopio-CCD

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-Monitor de TV: El monitor tiene dos entradas externas en las cuales conectamos las cámaras

CCD del microscopio y del tubo del telescopio del espectrogoniómetro modificado. Posee dos canales que permiten visualizar las imágenes de las cámaras CCD.

Figura 17: Monitor de TV.

-Filtros grises:

Son láminas de plástico traslúcidas, que cuando se interpone entre el haz láser y los instrumentos de observación, disminuyen la intensidad de luz que les llega. Se utilizan para evitar la saturación de la cámara CCD durante el alineamiento del haz láser con el objetivo del sistema de observación. -Pies con desplazamiento trasversal:

Los pies con desplazamiento trasversal facilitan las operaciones de alineamiento -Jeringa:

Se utiliza para suspender la gota de agua. Las fuerzas de tensión superficial tienden a minimizar la energía en la superficie de un fluido haciendo que estas tengan una tendencia a una forma esférica. La tensión superficial del agua es mayor que la de muchos otros líquidos. Así podemos hacer pender de la aguja metálica la gota de agua hasta conseguir una forma cuasi esférica. -Esferas de vidrio:

Están hechas de borosilicato (BK7), y su índice de refracción para distintas longitudes de onda se encuentra en la tabla del apéndice D. Se disponen de varios diámetros para observar su efecto sobre el arco iris.

-Tornillo micrométrico digital:

El micrómetro es un dispositivo que mide el desplazamiento trasversal del pie del microscopio. En su pantalla de cristal líquido podemos leer pequeñas variaciones en la posición del husillo con un error de ±0,001mm Se utiliza para medir el diámetro de la gota. Una vez el microscopio ha enfocado la gota, posicionamos la marca vertical que existe en el centro de la pantalla de TV en uno de los extremos de la gota, y desplazamos el microscopio hasta que la marca coincida con el otro extremoEl desplazamiento transversal del microscopio es una medida directa del diámetro de la gota de agua.

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Figura 18: Fotografía del tornillo micrométrico instalado en la base del soporte del microscopio.

Al igual que para medir el diámetro de las gotas de agua, se puede utilizar para comprobar el radio de las esferas de BK7 proporcionado por el fabricante. -Espectrogoniómetro modificado: Es un espectrogoniómetro que se ha modificado con el fin de poder realizar las medidas que corresponden a nuestro experimento. Tiene una precisión de una décima de grado.

Un espectrogoniómetro consta esencialmente de un una plataforma giratoria en la que se coloca un elemento cromáticamente dispersor y un círculo graduado. En lugar del prisma, en el centro de la base giratoria tenemos una estructura que nos permite posicionar esferas de vidrio para que sean iluminadas con el haz láser. El colimador ha sido eliminado, y en su lugar, se ha utilizado el brazo sobre el que iba montado para instalar un soporte mediante el cual se sujeta la jeringuilla. Este brazo permite subir y bajar la jeringuilla, gira sobre su eje, y también permite acercarla o alejarla del eje del mismo. El ocular del anteojo ha sido sustituido por una cámara CCD, lo que hace la serie de medidas más cómoda. La matriz de píxeles de la cámara se encuentra en el plano focal del ocular del anteojo por lo que en la pantalla de TV veremos dicha imagen.

. -Matraz esférico:

Es un recipiente esférico y transparente que llenaremos con agua destilada. Lo utilizaremos para comprobar la dispersión cromática por retrorreflexión a través de una esfera. -Panel con papel milímetrado: Panel en el cual se ha pegado un papel milimetrado y que posee un agujero en su centro para dejar pasar un haz de luz. Cada cuadro corresponde a 1mm. -Proyector:

Proyector de diapositivas con fuente incandescente. Produce un haz colimado que se utiliza para iluminar el matraz lleno de agua, así como para iluminar el panel de microesferas -Panel con microesferas pegadas:

Consta de una tela de fieltro mate sobre la que se ha pulverizado pegamento en aerosol y se han depositado microesferas de vidrio. Las microesferas han sido tamizadas para que tengan un radio menor a mμ400 .

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-Mentonera: Se empleará para fijar la posición del observador a una cierta distancia del panel de microesferas. -Cinta métrica: Se emplea para medir la distancia del observador al panel de microesferas, así como, el diámetro del arco que se observa.

4.3 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 4.3.1 Modelo geométrico y ondulatorio para una única gota y luz monocromática. Alineamiento del sistema

En primer lugar, se alinea el haz láser con el objetivo del telescopio. Para ello, se debe orientar el haz de manera que se encuentre en el centro del objetivo y comprobar que se observa el punto en el centro de la pantalla conectada a la cámara CCD. Con la ayuda de un diafragma cuya apertura esté cerrada lo máximo posible, comprobamos que el haz está alineado a su vez con el banco óptico. Para ello se desplaza longitudinalmente sobre el banco el diafragma y se comprueba que en todo momento el haz pasa por la pequeña apertura del mismo. En segundo lugar, se coloca el diafragma lo más alejado posible del láser. Es ahora cuando se monta en el banco óptico la lente convergente de 25mm de focal pegada al láser. La lente plano-convexa de focal 200mm se sitúa de forma que su foco coincida con el foco de la primera lente. Para comprobar si se ha realizado correctamente esta operación se observará si el haz que sale de la segunda lente no diverge a medida que nos alejamos de la misma. Con esto, se consigue un frente de ondas plano similar al que llega del sol cuando ilumina las gotas de agua. Seguidamente, se coloca el diafragma cercano a la segunda lente, lo que permitirá controlar la anchura del haz que ilumina la bola. En el espectro goniómetro modificado, es posible estudiar ángulos de dispersión para esferas de vidrio o para gotas de agua. Con el fin de facilitar las medidas, es aconsejable asegurarse de que la posición que marca 0º del círculo graduado del goniómetro se encuentra, aproximadamente, en la dirección del eje óptico y en la parte posterior según la dirección de incidencia. Esferas de agua

Para realizar medidas de distintas gotas de agua se lleva a cabo el siguiente proceso: Se coloca la jeringuilla llena de agua en el brazo que hay montado solidario a la estructura del goniómetro. Debe comprobarse que la aguja de la jeringuilla se encuentra en el centro geométrico de la plataforma circular del goniómetro. Hecho esto, se aprieta el émbolo de la misma hasta conseguir una gota del mayor tamaño posible, aproximadamente entre 2,5 y 2,8 milímetros de diámetro.

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Se procede a medir el tamaño de la gota empleando el microscopio con otra cámara CCD conectada al monitor de TV por el canal 2. Para visualizar la imagen que proporciona el microscopio, no hay más que cambiar el canal del monitor.

Se enfoca la gota desplazando longitudinalmente el microscopio. Se hace

coincidir el eje perpendicular marcado en el monitor con uno de los extremos de la gota. El micrómetro digital se pone a cero y se desplaza el microscopio transversalmente, hasta que la línea perpendicular del monitor coincida con el otro extremo de la gota. El tornillo micrométrico proporcionará entonces la medida del diámetro.

Una vez medida la gota, se ilumina completamente la misma, regulando la anchura del haz con el diafragma para evitar reflexiones en la aguja metálica de la jeringuilla. Se puede ajustar la altura de la gota con el regulador instalado en el brazo, así como es posible desplazar todo el goniómetro transversalmente respecto a la dirección del eje óptico.

Hecho esto, se procede a la toma de medidas angulares. En primer lugar, se debe volver a cambiar el canal del monitor para observar la imagen proporcionada por el telescopio del goniómetro, sobre el que va montada la cámara CCD. Se moverá el telescopio hasta que, aproximadamente a 138º respecto a la dirección de incidencia, se observe una zona iluminada con un patrón interferencial de máximos y mínimos no equiespaciados. Esto corresponde a la zona del arco primario. Desplazando angularmente y de forma progresiva el telescopio, de forma que este se aleje de la dirección de incidencia, se observará una zona oscura que corresponde a la banda de Alejandro y, seguidamente, una nueva zona iluminada que también posee máximos y mínimos: esta zona corresponde al arco secundario. Como la luz retrorreflejada por la esfera se encuentra distribuida en un cono, es posible observar ambas zonas a izquierda y derecha de la dirección de incidencia. En la figura 19 se observa una fotografía de las zonas del arco primario, la banda de Alejandro y la zona del arco secundario, para una esfera de agua iluminada con el láser verde.

Figura 19: Fotografía de la retrorreflexión de una gota de agua iluminada con el láser verde. Se observan,

de derecha a izquierda, la zona del arco primario, la banda oscura de Alejandro y la zona del arco secundario.

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Figura 20: Fotografía en la que se observa la zona del primario al iluminar una gota de agua con el láser

rojo y el láser verde.

Es importante que las zonas de máximo y mínimo se observen paralelas al eje de la pantalla vertical, lo que nos indicará que estamos tomando una sección transversal del cono de luz retrorreflejada.

Seguidamente, para un láser, se mide 0θ para el arco primario y el secundario, así como la posición de cinco máximos del patrón de interferencia del arco primario. Las medidas se realizarán a izquierda y derecha de la dirección de incidencia repitiendo, de acuerdo con el criterio de errores del apartado A del apéndice, 3 veces cada medida.

Una vez realizadas las medidas, debe medirse nuevamente el radio de la gota de agua. Se comprobará que este ha disminuido debido a un proceso de evaporación. A la hora de realizar cálculos, se considerará un radio medio de la gota, dado por la media entre los valores inicial y final. El proceso completo se realiza para los dos láseres. Esferas de vidrio

Se tienen 4 esferas de vidrio de 2, 4, 6 y 8 mm de diámetro. Es posible comprobar que el diámetro de estas esferas es el mismo que el proporcionado por el fabricante mediante el canal en el que se encuentra conectada la CCD del microscopio. Seleccionado el diámetro de la esfera de vidrio con la que se desea experimentar, se coloca en el centro de la plataforma del goniómetro. Cada esfera está adherida a un soporte cilíndrico metálico, que se introduce en la hendidura de la plataforma montada en el centro del goniómetro. La altura de la esfera se puede variar mediante un tornillo para conseguir una plena iluminación de la misma.

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Figura 21: Colocación de una esfera de vidrio BK-7 sobre el goniómetro.

Se realiza la misma toma de medidas de ángulos que para las gotas de agua, repitiendo los mismos pasos que para estas. Nota: Es conveniente realizar las medidas para una longitud de onda dada de todas las esferas de vidrio así como de las gotas de agua. Después de tener estas medidas, se cambiará de láser con el fin de tener que alinear el sistema únicamente dos veces durante la realización del experimento. 4.3.2 Fenómeno individual con luz blanca En esta parte, se pretende mostrar como se produce la dispersión cromática a través de una gota de agua. Mediante un matraz esférico lleno de agua e iluminado con luz blanca proveniente de un proyector (ver figura 23), se observa la dispersión de los colores retrorreflejados para una única esfera. La retrorreflexión de la luz blanca a través del matraz se produce en un cono de luz de cierta extensión angular y, como hemos visto, cada color se dispersa hacia una posición angular distinta. El cono de luz se proyecta sobre el panel de medida, de forma que se puede observar un arco iris circular casi completo, excepto en la parte inferior y superior, debido a la no esfericidad del matraz en esas zonas. Este arco iris corresponde a una sola reflexión en el interior del matraz. El arco iris secundario puede llegar a observarse si se coloca el matraz muy próximo al panel. Sin embargo, debido a que su intensidad es baja y a que para posiciones alejadas del panel de medida aparece en lugares fuera de este, no realizaremos medidas del mismo. Para realizar las medidas de este apartado se debe considerar lo siguiente: El punto del que provienen los rayos del cono de luz es virtual (véase figura 22), por lo que no tenemos acceso físico al mismo. En consecuencia, no se pueden hacer medidas de la posición de este punto al panel, lo que permitiría conocer por trigonometría, el ángulo de desviación de cada color. Sin embargo, podemos obtenerlo por medio del siguiente procedimiento:

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Figura 22: Esquema en el que se observa la posición del vértice del cono de luz retrorreflejada.

El matraz está situado sobre un banco óptico, lo que permitirá observar el fenómeno para distintas distancias del matraz al panel de medida. Mediante un ajuste lineal, se comprobará la dependencia lineal del radio del arco con la distancia de observación (cuanto mas lejos esté el observador de las gotas, más grande verá el arco iris). Para ello, se mide el radio r del arco para 6 posiciones d distintas del matraz. Se realiza un ajuste de la distancia del matraz en función del radio del arco. La pendiente corresponderá a la tangente del ángulo complementario al de desviación mínima tal como lo definimos para el apartado anterior.

Figura 23: Esquema del montaje experimental

del matraz iluminado con luz policromática.

αθα

−==

+==

º180)arctan(

)(

0

mbmrd

rdd

Mediante la pendiente de este ajuste se puede obtener el ángulo de desviación mínima para distintos colores (lo haremos para el rojo y el verde). Nótese que la ordenada en el origen se corresponderá con la distancia del foco de luz al punto sobre el cual estamos midiendo.

Se comprobará que el valor calculado de 0θ mediante el ajuste lineal se

corresponde, aproximadamente y dentro del margen de error del método, con los calculados anteriormente. De esta forma, observaremos la dispersión cromática de la fuente a través de una esfera en la pantalla y vemos que la desviación del haz tiene simetría axial.

α

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Figura 24: Arco iris primario formado al iluminar un matraz esférico con un proyector de diapositivas.

Figura 25: Se observa el matraz iluminado por el proyector, así como el arco iris primario.

Nota: En las figuras 24 y 25, se observa que los rojos y amarillos del arco iris

primario para el matraz iluminado con el proyector de diapositivas aparecen muy saturados, pero los verdes y azules no se aprecian con claridad. La explicación es debida a que la bombilla del proyector es un filamento incandescente a una temperatura de unos 3000 K. El máximo de la distribución de radiancia de la fuente está desplazado hacia la zona del rojo, por lo que la proporción de azul en esta luz respecto a los amarillos y rojos es baja. El Sol se encuentra a una temperatura de unos 6000 K, lo que implica que el máximo de la distribución de radiancia está más desplazado hacia el azul. Es por ello por lo que en la naturaleza se observa el azul en el arco iris mucho más saturado que en el experimento. 4.3.3 Fenómeno colectivo con luz blanca Para este apartado se ha preparado un panel con microesferas de vidrio adheridas con pegamento en aerosol a una tela de fieltro de modo que simulan una cortina de agua. Es de gran importancia seleccionar un fondo mate sobre el que se depositan las microesferas debido a que el contraste con el que vemos el arco iris depende de varios factores, que se detallan a continuación.

La diferencia de índice aire-vidrio es mayor que la diferencia de índices aire agua, por lo tanto la cantidad de luz que por reflexión directa se lanza hacia el observador es mayor que con el agua. Debe existir por tanto un equilibrio a la hora de decidir la densidad de microesferas que se deposita en la tela, ya que a mayor densidad de microesferas, mayor es la luz retrorreflectada y mayor es la intensidad de los colores del arco iris, pero a su vez la luz que por reflexión directa lanzan las microesferas hacia el observador aumenta y por tanto, disminuye el contraste.

En la naturaleza, la cortina de agua en la que se produce la retrorreflexión tiene un espesor bastante grande. Todas las gotas que se encuentren en la línea de visión a cuyo ángulo corresponda la retrorreflexión de un determinado color se verán iluminadas con ese color. En el experimento tan solo disponemos de un espesor muy limitado debido a que sólo contribuye la capa de esferas que queda adherida en la tela.

El panel se coloca lo más alejado posible del proyector de manera que los rayos que inciden sobre la superficie se pueden considerar paralelos. En el panel se observa

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un arco iris completo formado por el conjunto de microesferas. Debido a que el índice de refracción del vidrio es mayor que el del agua, el tamaño angular del arco iris será menor que el observado en la naturaleza.

Figura 26: Esquema para determinar el ángulo en el que aparece el arco iris primario.

Se puede medir el ángulo en el que aparece dicho arco iris si se mide la anchura del cono y la distancia a la que nos situamos para observarlo. Para ello disponemos de una mentonera en la que se coloca el observador a una determinada distancia de la cortina de microesferas en la que observe un arco completo. Fijada la distancia a la que se coloca la mentonera de la cortina, el observador indica a una segunda persona la posición en la que esta visualizando el arco iris sobre el panel. Midiendo la distancia d entre la mentonera y la pared y el diámetro del arco completo se puede obtener experimentalmente el ángulo en el que aparece el arco iris.

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Figura 27: Captura fotográfica del arco iris primario en la que se observa el arco iris primario y una zona oscura por encima de este. En la esquina inferior izquierda se observa la sombra de la cámara de fotos (que en este caso sustituye al observador).

Figura 28: Arco iris observado al iluminar el panel de microesferas con el proyector.

El valor obtenido de la media de los valores experimentales de θ0 se comparará con el valor predicho por el modelo geométrico, considerando el índice de refracción de las microesferas 1,5.

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4.4 RESULTADOS OBTENIDOS

El criterio de asignación de errores a cada una de las medidas se encuentra en el Apéndice. Se repitieron 3 veces todas las medidas, teniendo en cuenta que el error de dispersión obtenido en todas ellas siempre fue menor al error del aparato. Asimismo, gran parte de las medidas directas se presentan en el apartado B del apéndice debido a su extensión y con el fin de ganar claridad en la exposición de los resultados.

Los valores del índice de refracción del agua para las dos longitudes de onda se han obtenido

por interpolación de la tabla que aparece en el apartado D del apéndice y son los siguientes:

λ (nm) n 632,8 1,33173±0,00003 533 1,3350±0,0004

Tabla 1: Valor del índice de refracción obtenido por interpolación para las dos longitudes de onda. Gotas de agua: A continuación se muestran tablas con los valores tanto teóricos como

experimentales del ángulo de desviación mínima del arco primario y secundario así como el de los máximos de interferencia correspondientes a arcos supernumerarios para distintas gotas de agua.

Láser verde Láser rojo

r± 0,0007(mm) θ0primario ±0,14 (º) θ0secundario ±0,14 (º) r±0,0007(mm) θ0primario ±0,14 (º) θ0secundario±0,14 (º) 1,2353 138,20 128,73 1,2882 137,68 129,62 1,2563 138,16 128,75 1,2028 137,60 129,55 1,2213 138,10 128,75 1,2423 137,70 129,60

Tabla 2:Ángulos de desviación mínima del arco primario y el secundario obtenidos para el láser

verde (λ=532 nm) y el láser rojo(λ=632,8 nm) para gotas de agua de distintos radios (r(mm)). El valor de los ángulos de desviación mínima de los arcos primario y secundario es

independiente del radio de la esfera, como se puede observar en la tabla superior. PRIMARIO


θ0primario (º) θ0teórico (º) θ0primario (º) θ0teórico (º) 138,16±0,14 138,21±0,09 137,66±0,14 137,737±0,007 SECUNDARIO Láser verde Láser rojo

θ0secundario (º) θ0teórico (º) θ0secundario (º) θ0teórico (º) 128,74±0,14 128,59±0,12 129,60±0,14 129,443±0,009

Tabla 3: Media de los valores experimentales obtenidos para los ángulos de desviación mínima de los arcos primario y secundario y valor teórico predicho por el modelo geométrico para las gotas de agua

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Nota: Los valores de los errores de θΝ obtenidos para el modelo ondulatorio, corresponden a los del error de 0θ (véase (28)), ya que, el resto de contribuciones son despreciables frente a éste.

-LÁSER VERDE

Radio medio de la gota: r=(1,2353±0,0007)mm

Láser verde Máximos 1º 2º 3º 4º 5º 6º

θN, media±0,14 (º) 138,50 138,85 139,10 139,32 139,52 139,67

θN,Young±0,09 (º) 138,39 138,74 139,00 139,21 139,41 139,59 Tabla 4: Valores de los máximos de los arcos supernumerarios para el láser verde medidos para una

gota de agua y sus respectivos valores predichos por el modelo de Young.


Máximos 1º 2º 3º 4º 5º 6º

θN,media±0,14(º) 138,50 138,85 139,10 139,30 139,50 139,68

θN,Young±0,09(º) 138,39 138,74 138,99 139,20 139,40 139,58 Tabla 5: Valores de los máximos de los arcos supernumerarios para el láser verde medidos para una

gota de agua y sus respectivos valores predichos por el modelo de Young. Radio medio de la gota:

r=(1,2213±0,0007)mm


θN,media±0,14(º) 138,37 138,75 138,97 139,23 139,35 139,60

θN,Young±0,09(º) 138,40 138,75 139,00 139,22 139,42 139,60 Tabla 6: Valores de los máximos de los arcos supernumerarios para el láser verde medidos para una

gota de agua y sus respectivos valores predichos por el modelo de Young. -LÁSER ROJO



θN, media±0,14(º) 138,02 138,40 138,70 138,95 139,18 139,40

θN,Young±0,007(º) 137,94 138,34 138,62 138,87 139,09 139,29 Tabla 7: Valores de los máximos de los arcos supernumerarios para el láser rojo medidos para una


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Radio medio de la gota:

r=(1,2028±0,0007)mm


θN, media±0,14(º) 137,90 138,27 138,60 138,83 139,03 139,27


gota de agua y sus respectivos valores predichos por el modelo de Young. Radio medio de la gota:

r=(1,2883±0,0007)mm


θN, media±0,14(º) 138,00 138,35 138,65 138,90 139,05 139,25



A continuación se presentan los gráficos de comparación entre los valores experimentales y los predichos por el modelo ondulatorio de θN. No se ha representado el error de θN,Young ya que este no se aprecia en la gráficas.

LÁSER VERDE:

GOTA DE AGUAλ=533 r=1,2353±0,0007mm

138,2138,4

138,6138,8

139139,2

139,4139,6

139,8140

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young

Gráfica 1: Valores predichos por el modelo de Young y experimentales de los ángulos correspondientes a máximos de interferencia para una gota de agua.

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GOTA DE AGUAλ=533nm r=1,2563±0,0007mm

138,2138,4

138,6138,8

139139,2

139,4139,6

139,8140

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young


GOTA DE AGUAλ=533nm r=1,2213±0,0007mm

138138,2138,4138,6138,8

139139,2139,4139,6139,8

140

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young


40

LÁSER ROJO

GOTA DE AGUAλ=632,8nm r=1,2423±0,0007mm

137,6137,8

138138,2138,4138,6138,8

139139,2139,4139,6139,8

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young



137,6137,8

138138,2138,4138,6138,8

139139,2139,4139,6

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young


41


137,6137,8

138138,2138,4138,6138,8

139139,2139,4139,6

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young


Esferas de vidrio: En este apartado presentamos los valores experimentales obtenidos para esferas de vidrio de distintos radios. El valor del índice de refracción de las esferas de vidrio para las dos longitudes de onda se extrajo de la tabla que aparece en el apartado E del apéndice y es

λ (nm) n 632,8 1,51509 533 1,51947

Tabla 11: Valores del índice de refracción obtenidos de la tabla (véase apéndice, apartado E)


r(mm) θ0primario ±0,14(º) θ0secundario±0,14(º) θ0primario ±0,14(º) θ0secundario±0,14(º) 1 158,80 90,15 158,33 90,85 2 158,85 90,05 158,30 90,75 3 158,80 90,03 158,40 90,82 4 158,80 90,02 158,45 90,85 Tabla 12: Ángulos de desviación mínima del arco primario y el secundario obtenidos para el

láser verde (λ=532 nm) y el láser rojo(λ=632,8 nm) para esferas de vidrio BK-7 de distintos radios.

42


θ0primario (º) θ0teórico (º) θ0primario (º) θ0teórico (º) 158,81 ±0,14 158,873±0,004 158,37 ±0,14 158,495±0,004 Láser verde Láser rojo

θ0secundario (º) θ0teórico (º) θ0secundario (º) θ0teórico (º) 90,063 ±0,14 89,747±0,005 90,82 ±0,14 90,498±0,006

Tabla 13: Media de los valores experimentales obtenidos para los ángulos de desviación mínima de los arcos primario y secundario y valor teórico predicho por el modelo geométrico para las esferas de vidrio.

-LÁSER VERDE

Radio de esfera: r= 1mm


θN, media±0,14(º) 159,00 159,28 159,50 159,70 159,88 160,00

θN,Young±0,004(º) 159,027 159,323 159,539 159,724 159,891 160,045 Tabla 14: Valores de los máximos de los arcos supernumerarios para el láser verde medidos

para la esfera de vidrio de radio 1 mm y los valores predichos por el modelo de Young

Radio de la esfera: r= 2mm


θN, media±0,14(º) 158,93 159,13 159,25 159,38 159,48 159,57


para la esfera de vidrio de radio 2 mm y los valores predichos por el modelo de Young Radio de la esfera:

r= 3 mm


θN, media±0,14(º) 158,90 159,05 159,15 159,25 159,32 159,40



43

Radio de la esfera: r= 4 mm


θN, media±0,14(º) 158,88 159,00 159,10 159,20 159,23 159,32



-LÁSER ROJO Radio de esfera:

r= 1 mm


θN, media±0,14(º) 158,78 158,95 159,15 159,42 159,60 159,80

θN,Young±0,004(º) 158,669 159,004 159,248 159,457 159,646 159,820 Tabla 18: Valores de los máximos de los arcos supernumerarios para el láser rojo medidos para

la esfera de vidrio de radio 1 mm y los valores predichos por el modelo de Young

Radio de la esfera: r= 2 mm


θN, media±0,14(º) 158,53 158,75 158,97 159,05 159,17 159,25


la esfera de vidrio de radio 2 mm y los valores predichos por el modelo de Young Radio de la esfera:

r= 3 mm


θN, media±0,14(º) 158,53 158,72 158,85 158,93 159,03 159,07


la esfera de vidrio de radio 3 mm y los valores predichos por el modelo de Young Radio de la esfera:

r= 4 mm


θN, media±0,14(º) 158,50 158,60 158,67 158,78 158,85 158,93


la esfera de vidrio de radio 4 mm y los valores predichos por el modelo de Young

44

-LÁSER VERDE

ESFERA DE VIDRIOλ=533nm r=1 mm

158,60158,80

159,00159,20

159,40159,60

159,80160,00

160,20160,40

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young

Gráfica 7: Valores predichos por el modelo de Young y experimentales de los ángulos correspondientes a máximos de interferencia para una esfera de vidrio de r=1 mm.

ESFERA DE VIDRIOλ=533nm r=2mm

158,60

158,80

159,00

159,20

159,40

159,60

159,80

160,00

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young


45


158,60158,70158,80158,90159,00159,10159,20159,30159,40159,50159,60159,70

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young

Gráfica 9: Valores predichos por el modelo de Young y experimentales de los ángulos correspondientes a máximos de interferencia para una esfera de vidrio de r= 3mm.


158,60158,70158,80158,90159,00159,10159,20159,30159,40159,50159,60

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young


46

-LÁSER ROJO

ESFERA DE VIDRIOλ=632,8nm r=1 mm

158,40

158,60158,80

159,00159,20

159,40159,60

159,80160,00

160,20

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young


ESFERA DE VIDRIOλ=632,8nm r=2mm

158,20

158,40

158,60

158,80

159,00

159,20

159,40

159,60

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young


47


158,20

158,40

158,60

158,80

159,00

159,20

159,40

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young



158,20158,30158,40158,50158,60158,70158,80158,90159,00159,10159,20

0 1 2 3 4 5 6 7 nº de máximo

θ(º)

Experimental

Young


48

Matraz esférico: ARCO VERDE:

Distancia ±0,1(cm)

Diámetro ±0,2 (cm)

Radio ±0,15(cm)

3,0 16,6 8,30 4,0 18,6 9,30 5,0 20,8 10,40 6,0 23,2 11,60 7,0 25,4 12,70 8,0 27,6 13,80

Tabla 22: Tablas de los arcos correspondientes al color al verde para distintas posiciones del matraz esférico lleno de agua.

ARCO ROJO:

Distancia ±0,1(cm)

Diámetro ±0,2 (cm)

Radio ±0,15(cm)

3,0 17,0 8,50 4,0 19,2 9,60 5,0 21,6 10,80 6,0 24,0 12,00 7,0 25,8 12,90 8,0 28,0 14,00

Tabla 23: Tablas de los arcos correspondientes al color rojo y al verde para distintas posiciones del matraz esférico lleno de agua.

ARCO VERDE

d =(0,898±0,008)r - (4,41±0,04)mmR2 = 0,9995

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00

radio del arco (cm)

d (cm)

Gráfica 15: Ajuste lineal de la distancia del matraz en función del radio para el color verde.

49

ARCO ROJOd = (0,906±0,016 )r - (4,73±0,07)mm

R2 = 0,9984

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 15,00

radio del arco (cm)

d (cm)

Gráfica 16: Ajuste lineal de la distancia del matraz en función del radio para el color rojo.

θ0primario (º) θ0teórico (º)

Verde/λ=533nm 138,0±0,3 138,21±0,09 Rojo/λ=632,8nm 137,8±0,5 137,737±0,007

Tabla 24: Valores del ángulo de desviación mínima del arco primario para los colores rojo y verde calculados a partir de la pendiente y comparación con los valores teóricos correspondientes a

λ= 632,8 nm y λ= 533 nm Panel de microesferas

r ± 0,5 (cm) d ± 1 (cm) θ ± 0,2 (º) 31,0 77 157,9 27,5 69 158,1 28,0 66 157,0 35,0 82 156,9 34,0 77 156,2 34,5 79 156,4

Tabla 25: Valores experimentales del radio del color rojo del arco iris primario frente a la distancia del observador al panel de microesferas. También se muestran los ángulos de desviación calculados a partir de r y d para el rojo.

Considerando el índice de las microesferas de vidrio 1,5, se obtiene

θ0primario (º) θ0teórico (º) 157,2±0,2 157,158

Tabla 26: Comparación de las medias de los ángulos de desviación del rojo del arco iris primario observado en el panel de microesferas frente al valor teórico del ángulo de desviación mínima para la longitud de onda del láser rojo (632,8 nm).

50

5. CONCLUSIONES Y VALORACIÓN DE RESULTADOS

En este apartado de la memoria se comentan los resultados obtenidos en los distintos apartados del experimento. Modelo geométrico y modelo ondulatorio: Ángulo de desviación mínima y arcos supernumerarios.

Inicialmente, se midió el ángulo de desviación mínima del arco iris primario y secundario para gotas de agua de distintos tamaños. Analizando los resultados se comprobó que, como predice la ecuación (1) del modelo geométrico, el ángulo de desviación mínima es independiente del radio. Se observó también la dependencia con la longitud de onda del índice de refracción, n(λ). Posteriormente, se realizó la medida de los máximos de interferencia de los arcos supernumerarios, la posición de los cuales depende del radio. Teniendo en cuenta la aproximación que se llevó a cabo considerando el radio medio de la gota de agua (media entre el valor inicial y final del mismo) los resultados se ajustan dentro del margen de error con los valores predichos por el modelo ondulatorio de Young. Aunque tanto para las gotas de agua como para las esferas de vidrio, las medidas coinciden con los valores teóricos dentro del margen de error experimental, se puede observar en las gráficas que la discrepancia de las medidas para el agua es mayor que para las esferas de vidrio. Esto es debido a que el radio de éstas últimas permanece constante en el tiempo y es conocido con precisión. Modelo individual con luz blanca Se comprueba experimentalmente la dependencia lineal del radio del arco con la distancia de observación (cuanto mas lejos esté el observador de las gotas, más grande verá el arco iris). Además se comprueba que la retrorreflexión de la luz blanca a través del matraz se produce en un cono de luz de cierta extensión angular y cada color se dispersa hacia una posición angular distinta. Se midió el ángulo de desviación mínima para los colores rojo y verde y de esta forma se comprobó que se corresponde con el medido para las gotas de agua suspendidas con la jeringa iluminadas con los láseres rojo y verde. El valor del ángulo de desviación mínima calculado mediante este método coincide, dentro del margen de error, con el valor teórico, aún teniendo en cuenta que dicho valor se corresponde a una longitud de onda en concreto y aquí nos limitamos a medir el radio del arco que subtiende un “color” sin conocer exactamente su longitud de onda. Se debe hacer notar que los errores de las medidas experimentales son bastante más grandes que los obtenidos empleando el goniómetro. Aun así, se puede pensar que las medidas experimentales son lo bastante precisas en este apartado, en el que se pretende hacer una estimación de los ángulos de desviación de los dos colores. Modelo colectivo

Se observa en el panel de microesferas el arco iris primario completo. En la parte exterior del arco se observa el rojo, y en la parte más interior del arco se observa

51

el azul. La estimación de θ0 del arco observado coincide, dentro del margen de error, con el predicho por el modelo de Descartes para un índice de refracción igual a 1,5. Las medidas se realizaron para el color rojo del arco iris, ya que este se encuentra en el exterior del arco iris y no aparece mezclado con el resto de colores. Cabe destacar que el índice de refracción de las microesferas de vidrio no es el mismo que el de las esferas de vidrio utilizadas para realizar medidas en el espectro goniómetro. Por lo tanto el ángulo en el que aparecerá el rojo del arco iris primario no tiene por qué coincidir con el ángulo de desviación mínima para las esferas de vidrio iluminadas por el láser rojo. Valoración personal: Para finalizar, nos gustaría incluir en este apartado una valoración personal de la práctica propuesta. Pensamos que es una práctica muy interesante por varios motivos. En primer lugar, se trata un fenómeno de la naturaleza conocido por todos, del cual se consigue dar una explicación bastante detallada y precisa. Por otra parte, se logra mostrar en ella la validez (así como las limitaciones) de la Óptica Geométrica, y a su vez demostrar la naturaleza ondulatoria de la luz. De este modo, se consigue plasmar que, aunque se estudien como independientes en la asignatura de Óptica de 3º de la licenciatura de Física, la Óptica Geométrica y la Ondulatoria son útiles en distintos ámbitos y son compatibles dentro del estudio de un mismo fenómeno con diferentes rangos de validez.

52

6. PROPUESTA DE UN GUIÓN DE LABORATORIO

El arco iris: De la retrorreflexión en una esfera a su observación en la naturaleza.

MATERIAL -2 bancos ópticos de 50 y 100cm de longitud -Láser He-Ne (λ=632.8nm). -Láser verde (diodo láser, λ=533nm) -Expansor de haz. -Espectrogoniómetro modificado. -Microscopio. -2 Cámaras CCD. -Monitor de TV. -Filtros grises. -Pies con desplazamiento transversal. -Tornillo micrométrico digital.

-Jeringa llena de agua. -Esferas de vidrio BK7 de 1, 2, 3 y 4 mm de radio. -Matraz esférico lleno de agua. -Panel con papel milimetrado.

OBJETIVOS:

El objetivo de esta práctica es explicar la formación del arco iris. Para ello, se

analiza, en primer lugar, a partir de los modelos geométrico y ondulatorio, la retrorreflexión en una esfera transparente con luz monocromática. Este estudio se realiza para esferas de distintos tamaños y materiales, así como para dos longitudes de onda diferentes. Posteriormente se analiza el fenómeno de la dispersión cromática en retrorreflexión con luz blanca. Finalmente, estudiamos la formación del arco iris para un colectivo de gotas, tal y como ocurre en la Naturaleza.

53

INTRODUCCIÓN:

Para comprender el fenómeno del arco iris, se debe estudiar inicialmente lo que le ocurre a la luz cuando incide sobre una única gota de agua. Supondremos a la hora de realizar los cálculos, que las gotas de lluvia son idealmente esféricas. Cuando se ilumina una esfera con un haz de luz se observa que existe una cierta cantidad de esta luz que es retrorreflectada. La descripción de este fenómeno es esencial para la comprensión completa del fenómeno del arco iris.

Fenómeno individual: Arco iris generado por una gota Consideremos un rayo de luz monocromática que incide sobre una esfera de una

sustancia cualquiera de radio a como se muestra en la figura 1. La altura b con la que incide el rayo respecto al eje paralelo al mismo y que pasa por el centro de la gota se conoce como parámetro de impacto. El ángulo de incidencia se puede expresar en función de dicho parámetro

xabi ≡= /sin (1)

Asimismo, el ángulo de refracción r de entrada y salida a la gota dado por la ley

de Snell se podrá escribir en función del nuevo parámetro x definido en la expresión superior como

)/(sin 1 nxr −= (2)

siendo n el índice de refracción de la esfera

De acuerdo con las leyes de la Óptica Geométrica, la trayectoria del rayo incidente se mantiene en un plano definido por la dirección de incidencia y la normal a la superficie en el punto de impacto. Se puede estudiar por tanto la trayectoria del haz en el interior de la esfera en un corte transversal de la misma.

54

Fig. 1. Retrorreflexión de un rayo de luz que incide en una esfera transparente con un ángulo de

incidencia i y que sale de la gota con un ángulo r.

Se desea conocer el ángulo de desviación θ respecto a la dirección de incidencia del rayo. Es posible hacerlo sumando cada una de las desviaciones que sufre el rayo dentro de la gota. Estas se deben a la reflexión y refracción de la luz. En la figura 1 se muestra el caso de una reflexión interna. Sumemos cada una de las desviaciones:

-La desviación en la entrada es (i – r) -La desviación debida a cada reflexión interna es (π - 2r) -La desvicación en la salida es (i – r)

Para m reflexiones internas, el ángulo de desviación será )2()(2 rmrim −+−= πθ (3) donde el módulo implica que [ ]πθ 2,0∈m El arco iris primario se corresponde con el valor m=1, el secundario con m=2, y así sucesivamente. En teoría, en el interior de la esfera se produce un número infinito de reflexiones internas. Sin embargo, debido a la disminución de la intensidad de la luz en cada reflexión y a que los rayos en ocasiones salen de la esfera con ángulos muy próximos al del primario y secundario (por ejemplo, para m=3), solo es posible observar la luz proveniente de una o dos reflexiones internas. Así pues, estudiaremos lo que ocurre para dichos valores de m.

a) Arco iris primario (m=1) El ángulo de desviación para un rayo que incide sobre la gota con un parámetro de impacto x y sufre una sola reflexión interna (m=1) viene dado por

)/(sin4sin2 11 nxx −− −+= πθ (3)

55

Si se representa θ =θ(x), la función presenta un mínimo. Esto implica que en las proximidades del mínimo, para pequeñas variaciones de x, el ángulo de desviación de los rayos que penetran en la esfera prácticamente no varía. En consecuencia, se produce una concentración de rayos para dicho ángulo.

Fig.2: Ángulo de desviación de los rayos que penetran en una esfera tras sufrir una reflexión interna en función del parámetro de impacto para un gota de agua.

El extremo se produce para 00

=xdx

dθ , con esta condición se obtiene el valor de 0x

para el primario

=0x3

4 2n− (4)

El ángulo de desviación mínima es por tanto )/(sin4sin2 0

10

10 nxx −− −+= πθ (5)

Suponiendo el índice de refracción del agua como 3/4≈n (correspondiente a una

longitud de onda del espectro visible situada en la región del amarillo), el ángulo de desviación mínima es el siguiente:

0θ =137,97º

56

Fig. 2: Esquema que muestra la concentración de rayos en un determinado ángulo (θ0) para una sola reflexión interna y una determinada longitud de onda. a) Arco iris secundario (m=2)

Calcularemos, al igual que hemos hecho para el primario, el ángulo de

desviación mínima del secundario, es decir, para dos reflexiones en el interior de la gota. En (1) sustituimos m=2

)/(sin6sin22 11 nxx −− −+= πθ (6)

En este caso, la función presenta un máximo

Fig. 3. Ángulo de desviación de los rayos que penetran en una esfera tras sufrir dos reflexiones internas en función del parámetro de impacto para un gota de agua.

En las proximidades del máximo, para pequeñas variaciones de x el ángulo de desviación de los rayos que sufren dos reflexiones internas en una esfera no varía.

Para el secundario, 0x toma el valor

57

8

9 2

0nx −

= (7)

y el ángulo de desviación mínima se produce para )/(sin6sin22 0

10

10 nxx −− −+= πθ (8)

Para una longitud de onda tal que observe un índice de refracción 3/4≈n , el

ángulo de desviación mínima es el siguiente 0θ =129,027º

La longitud de onda para la cual el índice de refracción del agua es 3/4≈n es la que corresponde a la región del amarillo en el espectro visible.

Fig. 4. Esquema que muestra la concentración de rayos en un determinado ángulo (θ0) para dos reflexiones en el interior de la esfera y una determinada longitud de onda.

Dispersión cromática y ancho angular del arco iris para luz blanca.

Se consideran los efectos de la variación del índice de refracción sobre el ángulo de desviación del arco iris primario. Derivamos respecto a n en (2)

=0xdn

dθ2

02

04

xnn

x

−=

142

2

2

−−

nn

n (9)

Para el agua, considerando de nuevo 3/4≈n , realizamos una estimación del

ancho angular del arco iris primario

=0xdn

dθ 2,536. (10)

Si definimos el rango visible de longitudes de onda entre los 400nm (violeta) hasta los 700nm (rojo), encontramos que el índice de refracción para el agua varía en

2103.1 −=Δ xn desde un extremo del rango visible al otro. Se sustituye dicho valor para estimar el ancho angular del arco iris:

58

=Δ 0θ0xdn

dθ nΔ = 1,89º. (11)

Los colores del arco iris se extienden alrededor de 2º en torno a los 42º respecto a la dirección de incidencia de los rayos del Sol (ángulo complementario al definido como θ0 ,es decir, 180º-138º ). Puesto que λddn / es menor que 0, la luz roja emerge con un ángulo menor que la violeta. Esto significa que, para el arco iris primario, se observará el color rojo en el exterior y el color violeta en el interior del mismo.

Fig. 5. )(xθθ = para m=1 y m=2 en el caso del agua para distintas longitudes de onda del espectro visible.

Modelo ondulatorio: Young (arco iris supernumerarios).

Hasta ahora hemos estado hablando de rayos, pero el verdadero comportamiento

de la luz es ondulatorio. Los frentes de onda avanzan en la misma dirección de los rayos, pero son en todo punto perpendiculares a estos. Por lo tanto podemos reconstruir el frente de ondas trazando superficies perpendiculares a los rayos. Para rayos incidentes con un valor del parámetro de impacto muy próximo a

axb 00 = , el ángulo de dispersión será prácticamente igual a 0θ . Por tanto, dos rayos incidentes con valores de b que difieran de 0b en una distancia xΔ lo suficientemente pequeña (véase figura 1), emergerán con el mismo ángulo de dispersión, y por tanto, ambos saldrán paralelos de la gota.

En el modelo ondulatorio, como observó Young por primera vez 1803, los frentes de onda paralelos a estos dos rayos que emergen en la misma dirección, pueden interferir.

59

Que la interferencia sea constructiva o destructiva depende de la diferencia de de fase entre los frentes de onda. Esta varía en función de xΔ lo que produce los efectos de interferencia . Se puede demostrar que la condición de interferencia constructiva para un cierto ángulo Nθ , siendo N el orden del máximo viene dada por

3/2

3/1

2

2

0 2)4/32(3

21

0

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=− ka

Ndxd

xN

πθθθ (12)

donde λπ2

=k es el número de ondas y

0

2

2

xdxd θ =

( ) 2/32

2

14

29

−

−

nn (13)

Como se observa en (11), la posición de los máximos depende de la longitud de

onda, del tamaño de las gotas y del índice de refracción del medio que se esté considerando.

Fig. 6. Patrón de interferencia del frente de ondas de los rayos a la salida de la gota tras una sola reflexión interna.

60

-PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Modelo geométrico y ondulatorio para una única gota y una longitud de onda: Montaje experimental

Fig. 7. Montaje experimental para realizar medidas sobre una gota de agua y esferas de vidrio.

Alineamiento del sistema:

En primer lugar, se alinea el haz láser con el objetivo del telescopio. Para ello,

se debe orientar el haz de manera que se encuentre en el centro del objetivo y comprobar que se observa el punto en el centro de la pantalla conectada a la cámara CCD. Con la ayuda de un diafragma cuya apertura esté cerrada lo máximo posible, comprobamos que el haz está alineado a su vez con el banco óptico. Para ello se desplaza longitudinalmente sobre el banco el diafragma y se comprueba que en todo momento el haz pasa por la pequeña apertura del mismo. En segundo lugar, se coloca el diafragma lo más alejado posible del láser. Es ahora cuando se monta en el banco óptico la lente convergente 25mm de focal pegada al láser. La lente plano-convexa de focal 200mm se sitúa de forma que su foco coincida con el foco de la primera lente. Para comprobar si se ha realizado correctamente esta operación se observará si el haz que sale de la segunda lente no diverge a medida que nos alejamos de la misma. Con esto, se consigue un frente de ondas plano similar al que llega del sol cuando ilumina las gotas de agua. Seguidamente, se coloca el diafragma cercano a la segunda lente, lo que permitirá controlar la anchura del haz que ilumina la bola. En el espectro goniómetro modificado, es posible estudiar ángulos de dispersión para esferas de vidrio o para gotas de agua. Con el fin de facilitar las medidas, es aconsejable asegurarse de que la posición que marca 0º del círculo

61

graduado del goniómetro se encuentra, aproximadamente, en la dirección del eje óptico y en la parte posterior según la dirección de incidencia.

Realización de medidas: Inicialmente, se realizarán medidas para una gota de agua y para las esferas de

vidrio BK-7 de radios 2 y 4 mm con uno de los láseres. Posteriormente, cambiaremos de longitud de onda y repetiremos las medidas. Es importante realizar el proceso de esta manera con el fin de alinear únicamente 2 veces el sistema a lo largo de la práctica.

Para realizar el proceso de medida de la gota de agua se lleva a cabo el siguiente

procedimiento: Se coloca la jeringuilla llena de agua en el brazo que hay montado solidario a la estructura del goniómetro. Debe comprobarse que la aguja de la jeringuilla se encuentra en el centro geométrico de la plataforma circular del goniómetro. Hecho esto, se aprieta el émbolo de la misma hasta conseguir una gota del mayor tamaño posible, aproximadamente del orden de entre 2.5 y 2.8 milímetros de diámetro.

Se procede a medir el tamaño de la gota empleando el microscopio con una cámara CCD conectada al monitor de TV por el canal 2. Para visualizar la imagen que proporciona el microscopio, no hay más que cambiar el canal del monitor.

Se enfoca la gota desplazando longitudinalmente el microscopio. Se hace

coincidir el eje perpendicular marcado en el monitor con uno de los extremos de la gota. El micrómetro digital se pone a cero y se desplaza el microscopio transversalmente, hasta que la línea perpendicular del monitor coincida con el otro extremo de la gota. El tornillo micrométrico proporcionará entonces la medida del diámetro.

Una vez medida la gota, se ilumina completamente la misma, regulando la anchura del haz con el diafragma para evitar reflexiones en la aguja metálica de la jeringuilla. Se puede ajustar la altura de la gota con el regulador instalado en el brazo, así como es posible desplazar todo el goniómetro transversalmente respecto a la dirección del eje óptico.

Hecho esto, se procede a la toma de medidas angulares. En primer lugar, se debe volver a cambiar el canal del monitor para observar la imagen proporcionada por el telescopio del goniómetro, sobre el que va montada la cámara CCD. Se moverá el telescopio hasta que, aproximadamente a 138º respecto a la dirección de incidencia, se observe una zona iluminada con un patrón interferencial de máximos y mínimos no equiespaciados. Esto corresponde a la zona del arco primario. Desplazando angularmente y de forma progresiva el telescopio, de forma que este se aleje de la dirección de incidencia, se observará una zona oscura que corresponde a la banda de Alejandro y, seguidamente, una nueva zona iluminada que también posee máximos y mínimos: esta zona corresponde al arco secundario. Como la luz retrorreflejada por la esfera se encuentra distribuida en un cono, es posible observar ambas zonas a izquierda y derecha de la dirección de incidencia. En la figura 8 se observa una fotografía con la presencia de las zonas del arco primario, la banda de y la zona del arco secundario. Se tomará como posición 0θ , dentro de la franja iluminada mas extensa, aquella posición

62

en la que mas intensidad de luz se observa. La siguiente franja iluminada corresponde al máximo de orden uno (N=1), la siguiente de orden dos (N=2), y así, sucesivamente.

Fig. 8. Fotografía de la retrorreflexión de una gota de agua iluminada con el láser verde. Se observan ,de

derecha a izquierda, la zona del arco primario, la banda oscura de Alejandro y la zona del arco secundario.

Fig. 9. Fotografía en la que se observa la zona del primario para el láser rojo y el láser verde.

Es importante que las zonas de máximo y mínimo se observen paralelas al eje de

la pantalla vertical, lo que nos indicará que estamos tomando una sección transversal del cono de luz retrorreflectada. También es posible mejorar la visualización de los mismos (si fuera necesario). Podemos iluminar únicamente media gota desplazando toda la plataforma del goniómetro. De esta forma, eliminaremos los rayos provenientes de reflexiones de mayor orden dentro de la gota de agua.

A continuación, se mide 0θ para el arco primario y el secundario, así como las posiciones de cinco máximos del patrón de interferencia del arco primario. Las medidas se realizarán a izquierda y derecha de la dirección de incidencia repitiendo, 3 veces cada medida.

Una vez realizadas las medidas, debe medirse nuevamente el radio de la gota de agua. Se comprobará que este ha disminuido debido a un proceso de evaporación. A la hora de realizar cálculos, se considerará un radio medio de la gota, dado por la media entre los valores inicial y final.

63

Después, se procede a la toma de medidas para las esferas de vidrio. Es posible

comprobar que el diámetro de estas esferas es el mismo que el proporcionado por el fabricante mediante el canal en el que se encuentra conectada la CCD del microscopio. La esfera que se desea medir se coloca en el centro de la plataforma del goniómetro. Cada esfera está adherida a un soporte cilíndrico metálico, que se introduce en la hendidura de la plataforma montada en el centro del goniómetro. La altura de la esfera se puede variar mediante el tornillo de esta plataforma para conseguir una plena iluminación de la misma. Al igual que antes con la jeringuilla, debemos asegurarnos de que nuestro haz no ilumina la plataforma de modo que esta produzca reflexiones molestas para el proceso de medida. Para ello, haremos uso del diafragma.

Se realiza la misma toma de medidas de ángulos que para las gotas de agua,

repitiendo los mismos pasos que para estas. Se compararán los resultados obtenidos con los valores predichos por las ecuaciones (5) ,(8) y (12). Fenómeno individual con luz blanca:

Montaje experimental

Fig. 10. Montaje experimental para el estudio del modelo individual con luz blanca. El proyector proporciona un haz colimado que ilumina el matraz de vidrio lleno de agua. El cono de luz retrorreflectado se proyecta sobre el panel de medida milimetrado.

Realización de medidas En esta parte, se pretende mostrar como se produce la dispersión cromática a

través de una gota de agua. Mediante un matraz esférico lleno de agua e iluminado con luz blanca proveniente de un proyector (ver figura 10), se observa la dispersión de los colores para una única esfera.

La retrorreflexión de la luz blanca a través del matraz se produce en un cono de

luz de cierta extensión angular y, como hemos visto, cada color se dispersa hacia una posición angular distinta. El cono de luz se proyecta sobre el panel de medida, de forma que se puede observar un arco iris circular casi completo, excepto en la parte inferior y

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superior, debido a la no esfericidad del matraz en esas zonas. Este arco iris corresponde a una sola reflexión en el interior del matraz. El arco iris secundario puede llegar a observarse si se coloca el matraz muy próximo al panel. Sin embargo, debido a que su intensidad es baja y a que para posiciones alejadas del panel de medida aparece en lugares fuera de este, no realizaremos medidas del mismo.

Para realizar las medidas de este apartado se debe considerar lo siguiente: El

punto del que provienen los rayos del cono de luz es virtual (véase figura 11), por lo que no tenemos acceso físico al mismo. En consecuencia, no se pueden hacer medidas de la posición de este punto al panel, lo que permitiría conocer por trigonometría, el ángulo de desviación de cada color. Sin embargo, se puede hacer lo siguiente

Fig. 11. Esquema en el que se observa la posición del vértice del cono de luz retrorreflejada.

El matraz está situado sobre un banco óptico lo que nos permitirá observar el

fenómeno para distintas distancias del matraz al panel de medida. Mediante un ajuste lineal, se comprobará la dependencia lineal del radio del arco con la distancia de observación (cuanto mas lejos esté el observador de las gotas, más grande verá el arco iris). Para ello, se mide el radio r del arco para 6 (o más) posiciones d distintas del matraz. Se realiza un ajuste de la distancia del matraz en función del radio del arco. La pendiente corresponderá a la tangente del ángulo complementario a θ0 ,tal como se definió para el apartado anterior.

Fig. 12. Esquema del montaje experimental del matraz iluminado con luz policromática

Mediante la pendiente de este ajuste se puede obtener θ0 para distintos colores (lo haremos para el rojo y el verde). Nótese que la ordenada en el origen se corresponderá con la distancia del foco de luz al punto sobre el cual estamos midiendo.

α αθα

−==

+==

º180)arctan(

)(

0

mbmrd

rdd

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Teniendo en cuenta que los láseres poseen una longitud de onda determinada y que mediante este método solo es posible apreciar colores, se comprobará que el valor calculado de 0θ mediante el ajuste lineal se corresponde, aproximadamente y dentro del margen de error del método, con los calculados anteriormente.

Fenómeno colectivo con luz blanca:

Montaje experimental

Fig. 13. Montaje experimental para la observación del arco iris primario. La pantalla mate con microesferas de vidrio, es iluminada con el proyector que proporciona un haz colimado. El observador sitúa la mentonera en una posición adecuada para la observación del arco iris.

Realización de medidas Se enciende el proyector, que está situado a unos 20 metros del panel de microesferas en el extremo opuesto del laboratorio, consiguiendo de esta manera que los rayos de luz que inciden sobre el panel sean prácticamente paralelos. A continuación el observador se sitúa a unos metros del panel de microesferas hasta encontrar la posición para la cual observa el arco iris (esto es aproximadamente formando unos 33º respecto a un plano perpendicular al panel y que lo atraviesa en su parte central)

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Fig. 14. Esquema para determinar el ángulo en el que aparece el arco iris primario.

El observador ajusta la mentonera a su altura y coloca la barbilla en la base metálica de aluminio. Una segunda persona mide con ayuda de la cinta métrica la distancia existente entre los ojos del observador y la pared sobre la que está colocado el panel (distancia d). El observador indicará la posición en la que aparece el arco iris sobre el panel de microesferas y se medirá la distancia entre la posición sobre el panel de microesferas y el centro del arco como se observa en la figura x (distancia r).

De esta forma se consigue el ancho angular del arco iris primario, lo que permite obtener al ángulo de desviación mínima para los distintos colores del espectro visible. Se propone la medida de θ0 para el color rojo del arco iris primario. Se realizarán medidas para distintas distancias d del observador a la pared. La media de los valores obtenidos con estas medidas se comparará con el valor teórico calculado con el modelo de Descartes, considerando que el índice de refracción de las microesferas es 1. OTRAS POSIBILIDADES Realizar las medidas del primer apartado de la práctica, para una única longitud de onda, de θ0 y de los máximos correspondientes al arco primario para dos nuevas gotas de agua, midiendo nuevamente el radio inicial y final de las mismas. Hacer la media de las medidas de θ0 de las tres gotas de agua y compararla nuevamente con el valor predicho por el modelo geométrico. Asimismo, mostrar la validez del modelo ondulatorio, comparando de nuevo la posición de los máximos con la predicción de éste y comprobando su dependencia con el radio de la gota.

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DATOS. En la siguiente tabla se muestran los índices de refracción del agua y el vidrio BK-7 para las dos longitudes de onda de los láseres.

Índice de refracción de las microesferas: n=1,5.

7. BIBLIOGRAFÍA 1. J.D.Jackson: From Alexander to Young and Airy, Physics Reports 320 (1999) 2. H.C. Van de Hulst: Light Scattering by Small Particles. Courier Dover Publications (1981) 3. H. Moysés Nussenzveig: Teoría del arco iris, en Colección Temas (Investigación y Ciencia) vol. 6. 4. F. S.Crawford: Rainbow dust, Am. J. Phys. 56 (1988) 5. R.L.Lee: The Rainbow Bridge, http://www.usna.edu/Users/oceano/raylee/RainbowBridge/Chapter_8.html 6. T. Arny: Rainbow Demonstration, http://www.unidata.ucar.edu/staff/blynds/RnbwEx.html 7. M. Bass, E.W Van Strickland, D.R.Williams,W.L.Wolfe: Handbook of Optics. Vol.1.OSA (2001) 8. F.Ballester, F.Tena: Técnicas Experimentales en Física General, 2ª Edición (2003) 8. AGRADECIMIENTOS: Por último, quisiéramos agradecer al Departamento de Óptica de la Facultad de Física de la Universidad de Valencia su colaboración sin la cual no hubiéramos podido llevar a cabo este trabajo. Especialmente, agradecemos a los profesores Genaro Saavedra y Juan Carlos Barreiro la atención y la ayuda prestada, imprescindibles en la presentación y realización de la práctica. También nos gustaría mencionar a Amparo Pons por su ayuda, tanto a la hora de tomar fotografías de la práctica como a la de prestarnos algunas tomadas por ella personalmente.

λ (nm)

Índice de refracción del

agua Índice de refracción del

BK-7 632,8 1,33173±0,00003 1,51509 533 1,3350±0,0004 1,51947

68

APÉNDICE A) CRITERIO DE ERRORES

A continuación se muestra el criterio de errores seguido durante la realización de las medidas y los cálculos de la práctica.

Criterio para medidas directas:

Se realizan una serie de 3 medidas de x , se calcula la media x y se obtiene la dispersión mediante:

100)(

(%) minmax ⋅−

=x

xxD

-Si D(%) < 2,5% no hace falta realizar más medidas -Si D(%) > 2,5% deben realizarse 3 medidas más

Para saber el error de estas medidas directas tenemos 2 tipos de error: 1- Error de sensibilidad o error de escala del instrumento que hayamos empleado. 2- Desviación típica,

∑=

− −=n

iin xx

1

21 )(σ

El error absoluto de la medida será el mayor de los dos. -Criterio para medidas indirectas:

Son aquellas medidas que se obtienen a partir de medidas directas, su error viene dado por:

22 ))(())(()( yyfx

xff εεε

∂∂

+∂∂

=

-Ajuste lineal por mínimos cuadrados:

Se ajusta una serie de N medidas de x a una recta:

nmxy += donde m es la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen y cuyos errores se calculan de la siguiente forma: Error de m

2

11

)(2

−

−=

Nrmmε

69

Error de n

N

xmn

N

ii∑

== 1

2

)()( εε

Interpolación en una tabla de simple entrada Si se desea conocer el valor de q para un valor de x que no aparece en la tabla, primero se debe encontrar el intervalo de x en el que se encuentra nuestro valor no tabulado. Tabla de simple entrada

..... ........ q1 x1

q2 x2 .... .....

Con (x1< x< x2) Considerando que para el intervalo de x1 a x2 la expresión q=f(x) puede aproximarse linealmente, tenemos que:

)( 112

121 xx

xxqqqq −

−−

+=

Conocido el valor de q en función de x, su incertidumbre aproximada será:

)()(12

12 xxxqq

q σσ−−

=

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B) MEDIDAS DIRECTAS Debido a la cantidad de medidas directas en el apartado de tratamiento individual y monocromático del arco iris, dichas medidas se presentan en este apéndice. Aparecerán en las tablas todas las medidas directas de los ángulos, así como las de los diámetros medidos para las gotas de agua.

Las medidas de ángulos se realizan a ambos lados del haz de luz con el espectro

goniómetro por lo que ángulos que superen los 200º se restarán a 360º con el fin de que a izquierda y derecha se mida el mismo ángulo. Los errores asignados a las medidas individuales corresponden al error de sensibilidad del espectrogoniómetro ε=±0’1º .

Gotas de agua: LÁSER VERDE:

1º) Diámetro de la gota:

inicial final Diámetro(mm) ±0,001 2,457 2,484

Ángulo de desviación mínima del arco primario:

Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 221,80 138,20 2ª 221,90 138,20 3ª 221,80 138,30

Ángulo de desviación mínima del arco secundario:

Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 231,30 128,80 2ª 231,30 128,70 3ª 231,30 128,80

Máximos de interferencia: Medidas\Maximos 1º ±0,1(º) 2º ±0,1(º) 3º ±0,1(º) 4º±0,1(º) 5º ±0,1(º) 6º±0,1(º) 1ª 221,50 221,20 220,90 220,70 220,50 220,40 2ª 221,50 221,20 220,90 220,70 220,50 220,30 3ª 221,50 221,20 220,90 220,70 220,50 220,40 Medidas\Maximos 1º ±0,1(º) 2º ±0,1(º) 3º ±0,1(º) 4º±0,1(º) 5º ±0,1(º) 6º±0,1(º) 1ª 138,50 138,90 139,10 139,30 139,60 139,70 2ª 138,50 138,90 139,10 139,40 139,50 139,70 3ª 138,50 138,90 139,10 139,30 139,50 139,70

71

2º) Diámetro de la gota: inicial final Diámetro(mm) ±0,001 2,586 2,439


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 221,90 138,20 2ª 221,90 138,20 3ª 221,80 138,30


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 231,30 128,80 2ª 231,40 128,90 3ª 231,30 128,80

Máximos de interferencia: Medidas\Maximos 1º ±0,1(º) 2º ±0,1(º) 3º ±0,1(º) 4º±0,1(º) 5º ±0,1(º) 6º±0,1(º) 1ª 221,50 221,20 220,90 220,70 220,50 220,30 2ª 221,50 221,20 220,90 220,70 220,50 220,30 3ª 221,50 221,20 220,90 220,70 220,50 220,40 Medidas\Maximos 1º ±0,1(º) 2º ±0,1(º) 3º ±0,1(º) 4º±0,1(º) 5º ±0,1(º) 6º±0,1(º) 1ª 138,50 138,90 139,10 139,30 139,50 139,70 2ª 138,50 138,90 139,10 139,30 139,50 139,70 3ª 138,50 138,90 139,10 139,30 139,50 139,70 3º) Diámetro de la gota:



Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 222,00 138,20 2ª 222,00 138,20 3ª 222,00 138,20


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 231,30 128,80 2ª 231,40 128,90 3ª 231,30 128,80

72


LÁSER ROJO:

1º) Diámetro de la gota:



Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 222,40 137,80 2ª 222,40 137,80 3ª 222,40 137,80


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 230,50 129,70 2ª 230,50 129,70 3ª 230,50 129,70




Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 222,40 137,60 2ª 222,40 137,60 3ª 222,40 137,60

73


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 230,30 129,40 2ª 230,30 129,40 3ª 230,30 129,40




Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 222,30 137,70 2ª 222,30 137,70 3ª 222,40 137,70


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 230,30 129,60 2ª 230,40 129,60 3ª 230,40 129,60


74

Esferas de vidrio: LÁSER VERDE:

1º) Radio de la esfera: r= 1mm Ángulo de desviación mínima del arco primario:

Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 201,20 158,80 2ª 201,30 158,80 3ª 201,20 158,90


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 270,00 90,30 2ª 270,00 90,30 3ª 270,00 90,30

Máximos de interferencia: Medidas\Maximos 1º ±0,1(º) 2º ±0,1(º) 3º ±0,1(º) 4º±0,1(º) 5º ±0,1(º) 6º±0,1(º) 1ª 201,10 200,80 200,60 200,40 200,30 200,10 2ª 201,10 200,80 200,60 200,40 200,20 200,10 3ª 201,10 200,90 200,60 200,40 200,20 200,10 Medidas\Maximos 1º ±0,1(º) 2º ±0,1(º) 3º ±0,1(º) 4º±0,1(º) 5º ±0,1(º) 6º±0,1(º) 1ª 159,10 159,40 159,60 159,80 160,00 160,10 2ª 159,10 159,40 159,60 159,80 160,00 160,10 3ª 159,10 159,40 159,60 159,80 160,00 160,10 2º) Radio de la esfera: r= 2mm Ángulo de desviación mínima del arco primario:

Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 201,20 158,90 2ª 201,20 158,90 3ª 201,20 158,90


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 270,00 90,10 2ª 270,00 90,10 3ª 270,00 90,10

75


3º) Radio de la esfera: r= 3mm Ángulo de desviación mínima del arco primario:

Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 201,30 158,90 2ª 201,30 158,90 3ª 201,30 158,90


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 270,10 90,20 2ª 270,10 90,10 3ª 270,00 90,10


76

4º) Radio de la esfera: r= 4 mm Ángulo de desviación mínima del arco primario:

Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 201,30 158,90 2ª 201,30 158,90 3ª 201,30 158,90


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 270,10 90,10 2ª 270,10 90,10 3ª 270,00 90,10


LÁSER ROJO:


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 201,70 158,40 2ª 201,80 158,40 3ª 201,70 158,40


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 269,00 90,70 2ª 269,00 90,70 3ª 269,00 90,70

Máximos de interferencia: Medidas\Maximos 1º ±0,1(º) 2º ±0,1(º) 3º ±0,1(º) 4º±0,1(º) 5º ±0,1(º) 6º±0,1(º) 1ª 201,40 201,10 200,90 200,60 200,40 200,20 2ª 201,40 201,10 200,90 200,60 200,40 200,30 3ª 201,40 201,10 200,90 200,60 200,40 200,30

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Medidas\Maximos 1º ±0,1(º) 2º ±0,1(º) 3º ±0,1(º) 4º±0,1(º) 5º ±0,1(º) 6º±0,1(º) 1ª 158,60 159,00 159,20 159,50 159,60 159,80 2ª 158,70 159,00 159,20 159,40 159,60 159,90 3ª 159,60 159,00 159,20 159,40 159,60 159,90 2º) Radio de la esfera: r= 2 mm Ángulo de desviación mínima del arco primario:

Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 201,70 158,30 2ª 201,70 158,30 3ª 201,70 158,30


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 269,30 90,80 2ª 269,30 90,80 3ª 269,30 90,80



Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 201,60 158,40 2ª 201,60 158,40 3ª 201,60 158,40


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 269,30 90,90 2ª 269,20 90,80 3ª 269,20 90,90

78

Máximos de interferencia: Medidas\Maximos 1º ±0,1(º) 2º ±0,1(º) 3º ±0,1(º) 4º±0,1(º) 5º ±0,1(º) 6º±0,1(º) 1ª 201,50 201,30 201,20 201,10 201,00 201,00 2ª 201,50 201,30 201,20 201,20 201,00 201,00 3ª 201,50 201,30 201,20 201,10 201,00 200,90 Medidas\Maximos 1º ±0,1(º) 2º ±0,1(º) 3º ±0,1(º) 4º±0,1(º) 5º ±0,1(º) 6º±0,1(º) 1ª 158,60 158,70 158,90 159,00 159,00 159,10 2ª 158,50 158,80 158,90 159,00 159,10 159,10 3ª 158,60 158,70 158,90 159,00 159,10 159,10 4º) Radio de la esfera: r= 4 mm Ángulo de desviación mínima del arco primario:

Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 201,50 158,40 2ª 201,50 158,40 3ª 201,50 158,40


Medidas 360-θ0(º) ±0,1 θ0 (º) ±0,1 1º 269,20 90,90 2ª 269,20 90,90 3ª 269,20 90,90


79

C) TABLA DEL ÍNDICE DE REFRACCIÓN DEL AGUA PARA DISTINTAS LONGITUDES DE ONDA. De la siguiente tabla se obtuvo el índice de refracción del agua para las longitudes de onda λ=632,8 nm y λ=533nm. Para obtener el error de la interpolación se considera como incertidumbre de la longitud de onda una unidad de la ultima cifra conocida. (±0,1nm y ±1nm respectivamente). Índice de refracción del agua a 20ºC para varias longitudes de onda

Longitud de onda (nm)

Índice de refracción del agua

n 670,8 1,3308 656,3 1,3311 643,8 1,3314 589,3 1,3330 546,1 1,3345 508,6 1,3360 486,1 1,3371 480,0 1,3374 404,7 1,3280 303,4 1,3581 214,4 1,4032

80

D) TABLA DE ÍNDICE DE REFRACCIÓN DEL VIDRIO BK-7 PARA DISTINTAS LONGITUDES DE ONDA

De la siguiente tabla se obtuvieron directamente los índices de refracción del BK-7, del que están compuestas las esferas de vidrio, para las longitudes de onda λ=632,8 nm y λ=533 nm

Longitud de onda

(nm)

Índice de refracción

n

Región Espectral

351,1 1,538940 UV 363,8 1,536490 UV 404,7 1,530240 Violeta 435,8 1,526680 Azul 441,6 1,526110 Azul 457,9 1,524610 Azul 465,8 1,523950 Azul 472,7 1,523390 Azul

476,5 1,523090 Azul 480,0 1,522830 Azul 486,1 1,522380 Azul 488,0 1,522240 Azul 496,5 1,521650 Verde 501,7 1,521300 Verde 514,5 1,520490 Verde 533,0 1,519470 Verde 546,1 1,518720 Verde 587,6 1,516800 Amarillo 589,3 1,516730 Amarillo

632,8 1,515090 Rojo 643,8 1,514720 Rojo 656,3 1,514320 Rojo 694,3 1,513220 Rojo 786,0 1,511060 IR 821,0 1,510370 IR 830,0 1,510200 IR 852,1 1,509800 IR 904,0 1,508930 IR 1014,0 1,507310 IR 1060,0 1,506690 IR 1300,0 1,503700 IR 1500,0 1,501270 IR 1550,0 1,500650 IR 1970,1 1,494950 IR

Tutor: Genaro Saavedra

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