Tutorial - Circuitos Rl, Lc y Rlc

TUTORIAL

FISICA 2009

“Electromagnetismo: Circuito RL,

LC y RLC”

DEPTO. DE CIENCIAS

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I.- MARCO TEORICO

¿Qué es el electromagnetismo? Es la pregunta natural que surge, para iniciar este tema. El electromagnetismo es una rama de la Física que estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos en una sola teoría, cuyos fundamentos fueron sentados por Michael Faraday y formulados por primera vez de modo completo por James Clerk Maxwell. La formulación consiste en cuatro ecuaciones diferenciales vectoriales que relacionan el campo eléctrico, el campo magnético y sus respectivas fuentes materiales (corriente eléctrica, polarización eléctrica y polarización magnética), conocidas como ecuaciones de Maxwell. Con esta breve definición, nos meteremos de lleno a lo que corresponden a las oscilaciones electromagnéticas que ocurren en tres tipos de circuitos que pasaremos a definir a continuación. Circuitos RL: Son aquellos circuitos que poseen una resistencia (R), un inductor o bobina como solenoide (L) y una Fem (fuerza electromotriz) o fuente de voltaje. Ahora a medida que la corriente avanza por el circuito (siempre en sentido de más a menos), el inductor se comienza a cargar y comienza a generar una corriente eléctrica en el sentido opuesto (actúa como una Fem inversa). En particular en este tipo de circuitos la energía es disipada por la resistencia, y la bobina genera que no existan cambios bruscos de corriente.

Fig.1: Circuito RL

Circuitos LC: Estos circuitos se componen solamente de un condensador (o capacitor) (C) y un inductor o bobina de solenoide (L), la característica de este tipo de circuitos es que conservan toda la energía eléctrica, ya que al no poseer resistencia, no hay ninguna disipación por medio del calor (efecto Joule). Si consideramos que en un tiempo t = 0, el momento en el que el capacitor esta completamente cargado, toda la Energía esta almacenada en el campo eléctrico del capacitor, esto implica que no hay corriente circulando por el circuito.

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Fig.2: Circuito LC

Luego después de un manejo matemático, y partiendo de las relaciones de campo eléctrico y basándose en el principio de conservación de la energía se obtiene la

siguiente ecuación:

C

Q

2

1U

2

máx

E =

Cuando el circuito deja de estar en corte, la energía almacenada en el campo eléctrico del capacitor comienza a disminuir, a su vez comienza a fluir una corriente eléctrica por el circuito, por lo que el inductor comienza a generar un campo magnético en donde ahora toda la energía será almacenada. Ahora cuando el capacitor este completamente descargado el inductor actuara como una Fem, por lo que comenzara hacer circular corriente en el circuito en sentido inverso, hasta que el capacitor este nuevamente cargado y toda la energía nuevamente este almacenada en su campo eléctrico, y luego se repite el ciclo indefinidamente, ya que no hay resistencias que disipen la energía del sistema. La cantidad de energía almacenada en el inductor esta dada por la siguiente expresión:

2

máxL Li2

1U =

Luego la cantidad de energía que hay en el capacitor mas la cantidad de energía que existan en el inductor en un tiempo t cualquiera debe ser constante. Por lo tanto al hacer unos cuantos cálculos se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria de segundo orden:

LC

Q

dt

Qd2

2

−=

Que tienen como solución φ)tcos(QQ(t) max += ω , y además al derivar esta

ecuación con respecto al tiempo se obtiene (cantidad de carga por unidad de

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tiempo, que es la definición de corriente eléctrica), la ecuación correspondiente a corriente eléctrica

φ)tsen(Q -ωφ)tsen(ii(t) máxmax +=+= ωω .

Circuitos RLC: En este caso, el circuito consta de una resistencia (R), un condensador (C) y por ultimo un inductor (L). Al existir una resistencia, esto genera un perdida de energía, por lo tanto en este tipo de circuito no se conserva la energía, ya que por efecto joule, se pierde como calor al pasar por la resistencia.

Fig. 3: Circuito RLC

De este circuito se obtienen las siguientes expresiones:

)`tcos(eQQ(t) 2L

Rt

máx φω +=

−

Donde 2

2

4

1`

L

R

LC−=ω , si R=0 0` ωω =→

Y la vida media estará dada por:

2L

Rt

máx

2

máx eQQ

−

=

Ahora es importante recalcar que todas estas expresiones se obtienen a través de las leyes de Kirchhoff corriente y Kirchhoff voltaje, realizados en cada lazo del circuito, eso es tema de otro tutorial y también de matemáticas avanzadas. Supongamos que tenemos un circuito RLC, y además le conectamos una Fem, ¿Que esperarías que sucediera en el circuito?

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En estos casos ocurre un fenómeno llamado oscilaciones forzadas. Oscilaciones forzadas y resonancia: Las oscilaciones forzadas se producen cuando hay una fuerza impulsora en este caso nuestra Fem adherida al sistema. Por lo tanto toda oscilación posee una amplitud y, por esto, la energía de un sistema en estado estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema impulsor sino también de su frecuencia. Se define la frecuencia natural de un oscilador como la que tendría si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento ni el sistema impulsor. El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia impulsora es igual (o aproximadamente igual) a la frecuencia natural del sistema.

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