Tutorial Función Exponencial y Logarítmica II

TutorialMT-a2

Matemática 2006 Tutorial Nivel Avanzado

Función exponencial y logarítmica II

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CEPECH Preuniversitario, Edición 20062


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Función exponencial y logarítmicaMarco Teórico 1. Función exponencial.

1.1 Definición: la función exponencial f con base a, se define como

f(x) = ax , si a > 0, x ∈ IR

1.2 Crecimiento y decrecimiento exponencial:

a) Si a >1, f(x) es creciente en todo IR.

x

f(x)

b) Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR.

x

f(x)

2. Función logarítmica.

La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se representa por loga .

2.1 Definición:

y = loga x ⇔ x = ay

2.2 Crecimiento y decrecimiento logarítmico:

a) Si a > 1, f(x) = loga x es creciente para x>0





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x

f(x)

b) Si 0 < a < 1 , f(x) = loga x es decreciente para x > 0

x

f(x)

2.3 Logaritmos.

2.3.1 Definición:

c = loga b ⇔ ac = b c es el logaritmo de b en base a, b > 0, a > 0, a ≠ 1

2.3.2 Propiedades:

a) Logaritmo de la base: loga a = 1

b) Logaritmo de la unidad: loga 1 = 0

c) Logaritmo del producto: loga (b ⋅ c) = loga b + loga c

d) Logaritmo del cuociente: = loga(bc ) = loga b – loga c

e) Logaritmo de una potencia: loga (bc) = c ⋅ loga b

f) Logaritmo de una raíz: loga √b n = 1

n ∙ logab

g) Cambio de base: logab = logcblogca



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2.3.3 Notación:

Log10 a = log a, loge a = Ln a , con e = 2,718281828......

3. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales:

3.1 Ecuación exponencial: es aquella en que la incógnita se encuentra en el exponente.

a) Bases iguales: Si ax = ay ⇒ x = y

b) Bases distintas: ax = by (Se aplica logaritmos a ambos lados de la ecuación)

log ax = log by (Aplicando propiedad de logaritmos)

x ⋅ log a = y ⋅ log b (Despejando la incógnita, que en este caso será x)

x = y · log blog a

3.2 Ecuación logarítmica:

loga x = loga y ∀ a > 0, x > 0, y > 0, a ≠ 1 ⇒ x = y

Ejercicios

1. logp x ⋅ logx y ⋅ logy p =

A) 0 B) 1 C) x D) p E) y





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2. Si x + y = 20, log x + log y = 2, (x – y)2 =

A) 0 B) 1 C) 4 D) 9 E) 16

3. log ( ) log ( )2

12

3

132 3

−

+ =

A) -53

B) -12

C) -13

D) 13

E) 23

4. log (log )2 2 2 =

A) - 3

B) 18

C) 3

D) 4

E) Otro valor



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5. Sea el gráfico de la función exponencial f(x) = 10-x. Si x disminuye en 3 unidades, el nuevo gráfico g(x) es:

x

f(x)

1

A)

x

g(x)

3

B)

x

g(x)

-3

C)

x

g(x)

0,001

D)

x

g(x)

-1000

E)

x

g(x)

1000

6. Determine el valor de a en la siguiente ecuación: ma – 2 = p3a

A) 2 log m – 3 log p

B) 2 log m3 log p

C) 3 log p - 2 log m2 log m

D) logmp3

m2

E) 2 log mlog m - log p





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7. Si log 4 = 0,6 y log 5 = 0,69, entonces, aproximadamente log 2000 es:

A) 3,96 B) 3,27 C) 2,58 D) 2,67 E) 0,87

8. El gráfico de la función y = log 15 x es:

A)

x

y

15

B)

x

y

1

5

C)

x

y

1

5

D)

x

y

15

1

1 E)

x

y

1

1

9. Al graficar y = 2x , no se cumple, la proposición:

A) Si el valor de x, está entre 0 y 1, el correspondiente valor de y es menor que 2.

B) Si el valor de x, está entre – 1 y 0, el correspondiente valor de y es negativo.

C) El punto (-2, 14 ) pertenece a la gráfica de la función.

D) En la medida que aumenta el valor de x, la gráfica de la función se aleja del eje de las abscisas.

E) La gráfica de la función, intersecta al eje de las ordenadas.



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10. En la ecuación, 3 3 3 3 27 813 3 3 44

32

22x x x x

xx+ + = + + , un valor posible de x que satisfaga la

igualdad:

A) 1

B) -34

C) 34

D) 98

E) -98

11. Si 53k = 729, entonces 5k2 =

A) 3-1

B) 3

C) 7296

D) 7292

E) Otro valor

12. Determine el valor de g(5), si g(x) = e2kx y g(3) = 2

A) √2 5

B) √2 3

C) √32 6

D) 2

E) √32 3





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13. Determine f(8), si f(x) = 20 + C e-3kx, f(0) = 40 y f(2) = 50

A) 8164

B) 8116

C) 40116

D) 4854

E) 8055

14. Se ha proyectado que dentro de x años, un cierto capital será aproximadamente Q(x) = 2 ⋅ 30,2x millones. ¿Cuál será la variación del capital al cabo de 5 años?

A) 2 millones B) 3 millones C) 4 millones D) 5 millones E) 6 millones

15. Un cultivo de bacterias, bajo ciertas condiciones ideales, crece exponencialmente según: Q(t) = Q0 ⋅ 3kt millones, con Q0 : cantidad inicial de bacterias, t: tiempo. Suponga que

inicialmente están presentes 9.000 bacterias y que 15 minutos después, hay 81.000 bacterias. ¿Cuántas estarán presentes al final de 1 hora ?

A) 34 ⋅ 103 millones B) 36 ⋅ 103 millones C) 310 ⋅ 103 millones D) 312 ⋅ 103 millones E) Otro valor



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Respuestas

Preg. Alternativa1 B2 A3 C4 A5 E6 D7 B8 D9 B10 C11 B12 E13 D14 C15 C





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1. La alternativa correcta es la letra B)

logp x ⋅ logx y ⋅ logy p= (Aplicando cambio de base)

loglog

loglog

loglog

xp

yx

py

⋅ ⋅ = (Simplificando)

1

∴ logp x ⋅ logx y ⋅ logy p = 1

2. La alternativa correcta es la letra A)

x + y = 20, log x + log y = 2, (x – y)2 =

a) log x + log y = 2 (Aplicando propiedad de logaritmos) log (x ⋅ y) = 2 (Expresando 2 como logaritmo) log (x ⋅ y) = log 100 (Aplicando ecuación logarítmica) x ⋅ y = 100

b) x + y = 20 / ⋅ ( )2

x2 + 2xy + y2 = 400 (Reemplazando xy) x2 + 2 ⋅ 100 + y2 = 400 (Despejando x2 + y2) x2 + y2 = 400 – 200 x2 + y2 = 200

c) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 (Reemplazando xy, x2 + y2) = 200 – 2 ⋅ 100 = 200 – 200 = 0

∴ (x – y)2 = 0



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3. La alternativa correcta es la letra C)

log ( ) log ( )2

12

3

132 3

−

+ =

a) Sea log ( )2

122−

= x ⇒ 2 21

2x

=−

(Transformando de raíz a potencia)

2 221

2x

=−

(Aplicando igualdad de potencias)

x2

= -12

(Despejando x)

x = -1

b) Sea log ( )3

133 = y ⇒ 3 3

13

y

= (Transformando de raíz a potencia)

3 321

3

y

=−

(Aplicando igualdad de potencias)

y2

= 13

(Despejando y)

y = 23

Entonces, log ( )2

122−

+ log ( )3

133 = x + y (Reemplazando x e y)

= - 1 + 23

(Sumando)

= -13

∴ log ( )2

122−

+ log ( )3

133 = -1

3

4. La alternativa correcta es la letra A)

log (log )2 2 2 =

a) log (log )2 2 2 = (Desarrollando la raíz)

log (log )2 2 2 = log28 2

Sea log28 2 = x ⇒ 2x = 2

18 (Aplicando igualdad de potencias)

x = 18





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∴ log (log )2 2 2 = 18

b) log (log )2 2 2 = (Reemplazando)

log (log )2 2 2 = log2 18

Sea log2 18

= y ⇒ 2y = 18

(Expresando 8 en base 2)

2y = 2-3 (Aplicando igualdad de potencias) y = - 3 ∴ = log (log )2 2 2 = - 3

5. La alternativa correcta es la letra E)

f(x) = 10-x, al disminuir x en 3 unidades, se obtiene g(x) = 10-(x-3) (Eliminando paréntesis) Entonces, nuestra nueva función es: g(x) = 10-x+3

Para determinar el punto de intersección del gráfico con el eje y, x = 0 Evaluando la función en 0: g(0) = 100+3 g(0) = 103 = 1000 ⇒ g(x) intersecta al eje y en el punto (0, 1000) ∴ El único gráfico que intersecta al eje y, es el correspondiente a la alternativa E)

6. La alternativa correcta es la letra D)

ma-2 = p3a (Aplicando propiedad de potencias)

ma ⋅ m-2 = p3a (Como tienen distinta base, aplicamos logaritmo)

log (ma ⋅ m-2) = log p3a (Aplicando propiedad de logaritmos)

log ma + log m-2 = log p3a (Aplicando propiedad de logaritmos)

a log m – 2 log m = 3a log p (Dejando la incógnita a, a un solo lado)

a log m – 3a log p = 2 log m (Factorizando)

a( log m – 3 log p) = 2 log m (Despejando a)

am

m p=

−2

3log

log log (Aplicando propiedad de logaritmos)



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am

m p=

−log

log log

2

3 (Aplicando propiedad de logaritmos)

amm

p

= log

log

2

3

(Aplicando proceso inverso del cambio de base)

a mm

p

= log3

2

∴ a mm

p

= log3

2


log 4 = 0,6 y log 5 = 0,69

log 2000 =

Descompondremos 2000, hasta llegar a base 4 y base 5.

2000 = 4⋅ 500 = 4 ⋅ 5 ⋅ 100 = 4 ⋅ 5 ⋅ 25 ⋅ 4 = 4 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 4 = 42 ⋅ 53

Entonces:

log 2000 = log ( 42 ⋅ 53 ) (Aplicando propiedad de logaritmos)

= 2 log 4 + 3 log 5 (Reemplazando )

= 2 ⋅ 0,6 + 3 ⋅ 0,69

= 1,2 + 2,07

= 3,27

∴ log 2000 = 3,27


y = log 15 x a) Si x = 1, log 1

51 = 0 ⇒ Punto de intersección del gráfico con el eje x es ( 1,0)

b) Si x = 15

, log 15

15

= 1 ⇒ El punto ( 15

, 1) pertenece al gráfico.

En este caso, el análisis a), era suficiente, ya que, el único gráfico que tenía el punto (1,0) era la alternativa D)





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y = 2x

a) Tomando los valores extremos de x:

Si x = 0, y = 20 = 1 ⇒ y = 1 Si x = 1, y = 21 = 2 ⇒ y = 2

∴ Los valores extremos de y son 1 y 2, o sea, los valores que toma y son menores que 2.

Entonces, alternativa A) correcta

b) Tomando los valores extremos de x:

Si x = - 1, y = 2-1 ⇒ y = 12

Si x = 0, y = 20 = 1 ⇒ y = 1

∴ Los valores extremos que toma y, son positivos.

Entonces, alternativa B) falsa, ya que, los valores de y no son negativos.

∴ La proposición que no se cumple es alternativa B)


3 3 3 3 27 813 3 3 44

32

22x x x x

xx+ + = + + (Expresando los términos de la ecuación, en base 3)

3 3 3 3 3 33 3 3 4 34

3 422

2x x x xx

x+ + = + +( ) ( ) (Aplicando propiedad de potencias)

3 3 3 3 3 33 3 3 4 4 42 2 2x x x x x x+ + = + + (Reduciendo términos semejantes)

3 ⋅ 33x = 3 ⋅ 34x2 (Aplicando propiedad de potencias y simplificando)

33x = 34x2 (Aplicando igualdad de potencias)

3x = 4x2 (Igualando a 0)

4x2 - 3x = 0 (Factorizando)

x (4x - 3) = 0 ⇒ x1 = 0 ó x2 = 34

De estas 2 soluciones, sólo está 34

⇒ x = 34



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Si 53k = 729, entonces 5k2 =

53k = 729 (Expresando 729 como potencia)

53k = 36 (Como piden 5k2 , elevamos a 1

6)

5 3316 6

16k( ) = ( ) (Aplicando propiedad de potencias)

5k2 = 3

∴ 5k2 = 3

12. La alternativa correcta es la letra E)

g(5) =

a) Si g(x) = e2kx ⇒ g(5) = e10k

b) g(3) = 2 ⇒ e6k = 2 (Como piden e10k, elevamos a 53

)

e k653

532( ) = (Aplicando propiedad de potencias)

e10k = e k653

532( ) = (Expresando la potencia como raíz)

e10k = √25 3

(Desarrollando la potencia)

e10k = √32 3

∴ g(5) = √32 3


f(8) =

Si f(x) = 20 + Ce-3kx ⇒ f(8) = 20 + Ce-24k

a) Debemos determinar C

f(0) = 40 ⇒ 20 + Ce0 = 40 (Aplicando propiedad de potencias) 20 + C = 40 (Despejando C) C = 20





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b) f(2) = 50 ⇒ 20 + Ce-6k = 50 (Reemplazando C)

20 + 20e-6k = 50 (Despejando e-6k)

e-6k = 3020

(Simplificando)

e-6k = 32

(Como falta determinar e-24k, elevamos a 4)

( )e k− =

6 4

432

(Aplicando propiedad de potencias)

e-24k = 8116

⇒ f(8) = 20 + Ce-24k (Reemplazando C y e-24k)

= 20 + 20 ⋅ 8116

(Simplificando y multiplicando fracciones)

= 20 + 4054

(Sumando fracciones)

= 80 + 4054

= 4854

∴ f(8) = 4854


Q(x) = 2 ⋅ 30,2x

Para determinar el capital inicial, ya que nos piden la variación, x = 0 años ⇒ Q(0) = 2 ⋅ 30 = 2 ∴ El capital inicial es 2 millones.

Para determinar el capital al cabo de 5 años, x = 5 ⇒ Q(5) = 2 ⋅ 30,2 ⋅ 5 (Multiplicando los exponentes) = 2 ⋅ 31

= 6



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∴ El capital al cabo de 5 años será 6 millones.

⇒ La variación del capital, al cabo de 5 años, será 6 millones – 2 millones = 4 millones.


Q(60) = ?

Q(t) = Q0 ⋅ 3kt y Q0 = 9.000 ⇒ Q(60) = 9.000 ⋅ 360k

a) Determinaremos el valor de k

Se sabe que a los 15 minutos, hay 81.000 bacterias ⇒ Q(15) = 81.000

Q(15) = 9.000 ⋅ 315k (Reemplazando Q(15))

81.000 = 9.000 ⋅ 315k (Despejando 315k)

81.0009.000

= 315k (Simplificando)

9 = 315k (Expresando 9 en base 3)

32 = 315k (Aplicando igualdad de potencias)

2 = 15k (Despejando k)

k = 215

b) Q(60) = 9.000 ⋅ 360k (Reemplazando k)

= 9.000 ⋅ 360

215

⋅ (Simplificando y multiplicando los exponentes)

= 9.000 ⋅ 38 (Expresando 9.000 como potencia)

= 32 ⋅ 103 ⋅ 38 (Aplicando propiedad de potencias)

= 310 ⋅ 103

∴ Al final de 1 hora, estarán presentes 310 ⋅ 103 millones de bacterias.





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Tutorial Función Exponencial y Logarítmica II

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