Tutorial Maxima

Ctedra: Anlisis Matemtico I

Tutorial Bsico de MAXIMA 2014

INTRODUCCIN GENERALIDADES OPERADORES CONSTANTES RESOLUCIN DE ECUACIONES FUNCIONES CLCULO DE LMITES GRAFICOS

a) Coordenadas cartesianas rectangulares, forma explcita

b) Coordenadas cartesianas rectangulares, forma paramtrica

c) de puntos

d) Coordenadas polares

CLCULO DE DERIVADAS CLCULO DE INTEGRALES

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INTRODUCCIN

Maxima es un programa de clculo simblico que se puede descargar en forma gratuita con

licencia libre. Existen en internet numerosas pginas de las que se puede descargar aunque la

oficial es http://maxima.sourceforge.net y es de fcil instalacin.

Los objetivos del uso del programa Maxima, en Anlisis Matemtico I, son: saber utilizarlo como

calculadora, resolver ecuaciones, derivar e integrar as como graficar puntos y funciones.

Para cubrir estas expectativas se recomienda trabajar con la interfase wxMaxima por que

incorpora la posibilidad de graficar y usar mens que facilitan el ingreso de frmulas y se instala

automticamente bajo el sistema Windows. En caso de dudas se puede recurrir al men Ayuda o

pulsando la tecla F1.

Maxima permite concretar su uso mediante una pantalla de texto donde el usuario

comienza a introducir rdenes en un lenguaje apropiado.

Ventana inicial de Maxima

Las instrucciones que se ingresan se numeran automticamente con etiquetas %i1, %i2, (i

de input) mientras que los resultados que se obtienen salidas se numeran con %o1, %o2, (o

de output). Si se necesita seguir operando con un resultado anterior se escribe %o seguido del

nmero correspondiente, el ltimo resultado se indica con %.

En esta pantalla se observa adems una Barra de mens: Archivo, Editar, Celda, Maxima, etc.

que permiten acceder al clculo simblico; una Barra de conos que facilitan un acceso rpido a

operaciones generales como Abrir un documento, Guardar, Pegar, etc. Las opciones de mens:

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Ecuaciones, lgebra, Anlisis, Simplificar y Grficos son de uso especfico. rea de entrada es el

espacio donde se digitan los comandos y rea de salida o consola, donde devuelve los

resultados.

Las operaciones bsicas y sus respectivos smbolos son: + suma; - resta ; * producto;

/ cociente ; sqrt( ) raz cuadrada; la potenciacin se escribe con el smbolo ^ ** . Por ejemplo:

ab se escribe a^b a**b. Debe quedar claro que en el producto se debe usar * y no sustituirlo

por espacio. Otra operacin posible es el clculo del factorial: n!, donde nN. Por ejemplo: 5 =

5.4.3.2.1.

Cuando se ingresan nmeros decimales se usa el punto . para indicar la coma decimal.

Se debe tener en cuenta lo relevante que es el uso del parntesis para indicar correctamente

el orden de las operaciones.

Si trabajamos con fracciones, Maxima dar por defecto el resultado en forma de fraccin y

lo simplifica automticamente.

Todas las rdenes que le damos a Maxima deben terminar con ; para que realice y muestre

los clculos, pero si queremos que el resultado no se muestre en pantalla, la instruccin debe

terminar con $.

Las restantes operaciones bsicas son:

Si queremos obtener la expresin decimal para este ltimo clculo, lo hacemos mediante

Nmeros en coma flotante de precisin fija, usando la orden float bien usando el men

Numrico A real. Pgina 3 de 26


La instruccin float devuelve entonces los resultados en notacin punto flotante que por

defecto son 16 dgitos. Para realizar clculos con una precisin diferente se usa la funcin bfloat

(Nmeros en coma flotante de precisin no fija) bien en el men la opcin Numrico A real

grande.

con una precisin de 50 dgitos

y con una precisin de 4 dgitos

En estas ltimas salidas puede observarse que las expresiones decimales terminan con b0.

Los nmeros en coma flotante grandes siempre terminan con b seguido de un nmero n para

indicar que debemos multiplicar por 10n. En nuestros casos deberamos multiplicarlos por 100=1.

En el ltimo ejemplo, esto significa que: 1.732b0 = 1,732 * 100 = 1,732.

Tambin se pueden realizar operaciones asignando valores a variables. Para asignar valor a

una variable se usa : y el signo = se reserva para las ecuaciones, es decir, para indicar una

igualdad. Es el caso de: (x-1)(x+2)=0 que es una ecuacin con races 1 y (-2).

Para definir variables ingresamos del siguiente modo

O bien:

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Como la salida es una fraccin se puede aadir una coma seguida de la orden numer y se

obtiene una expresin decimal. Otra alternativa es usando el men Numrico A real

O bien, para referirnos al valor numrico de una salida anterior usamos el operador % si es

la inmediata anterior %n donde n es el nmero de la salida deseada.

Se debe tener cuidado cuando se definen variables y se les asigna valores, porque cuando se

vuelve a operar con ellas dichos valores no se borran por si solos. Se deben eliminar para evitar

clculos errneos porque siguen activos mientras no los cambiemos o iniciemos una nueva

sesin con Maxima. Esto se consigue con la orden kill(x,y), por lo tanto, en nuestro caso:

bien entrando en el men Maxima Borrar variable. En general kill(nombre) elimina la

variable o variables indicadas dentro del parntesis.

Se utiliza tambin el operador , que evita que se evale la variable. Otra alternativa es

borrar el valor asignado a la variable con la orden remvalue.

La diferencia entre kill y remvalue, es que la primera no comprueba si la variable, lo que

sea, estaba previamente definida y siempre responde done. La segunda, remvalue(all) borra

todo.

GENERALIDADES

Para escribir comentarios se utilizan /* y */, todo lo que est entre ellos es ignorado por

Maxima. Esto nos permite escribir acotaciones, comentarios indicar los pasos que estamos

desarrollando.

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Maxima permite cortar y pegar entradas anteriores y editarlas. Se pueden dar varias

instrucciones separadas por ; o $.

El nombre de una variable puede ser cualquiera siempre y cuando no empiece por un

nmero. Puede ser una palabra, una letra o una mezcla de ambas.

Para escribir el smbolo ^ usar la tecla mayscula (shift) y tecla de la diresis, al lado de la P;

para escribir corchetes usar la tecla AltGra y la tecla de la diresis, al lado de la P.

OPERADORES

forget(expresin) olvida la expresin = igual

notequal distinto x>y mayor x=y mayor o igual x


- partfrac(expresin): divide en fracciones simples. Por ejemplo:

- ratsimp(expresin): saca comn denominador. Por ejemplo:

- radcan(expresin): simplifica radicales. Por ejemplo:

- fullratsimp(expresin): simplifica expresiones racionales. Por ejemplo:

- trigexpand(expresin): expande expresiones trigonomtricas. Por ejemplo:

- trigsimp(expresin): simplifica expresiones trigonomtricas. Por ejemplo:

Para evaluar una expresin para determinados valores o condiciones usamos

ev(expresin,cond1,cond2,). Por ejemplo:

Donde cond1 es x=4 y cond2 es y=.

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La instruccin solve se usa para resolver ecuaciones algebraicas. Si estn igualadas a cero

es suficiente escribir el primer miembro. Por ejemplo:

Otra alternativa es entrar al men Ecuaciones Resolver y completar en la pantalla que

aparece.

En caso de que se presente ms de una variable con coeficientes literales, se debe

indicar la variable a resolver, por ejemplo:

Solve tambin resuelve sistema de ecuaciones algebraicas haciendo solve([lista de

ecuaciones],[lista de incgnitas]) y devuelve una lista con las soluciones . Por ejemplo:

Como se puede apreciar Maxima introduce entre corchetes [,] tanto las ecuaciones como

las variables y las soluciones. Los corchetes significan listas de datos. Cuando los

introducimos manualmente se debe mantener presionada la tecla AltGr+tecla, de manera

similar para escribir {,}.

La instruccin allroots(polinomio) devuelve las races de un polinomio tanto reales como

imaginarias.

La instruccin realroots(polinomio) devuelve slo las races reales de un polinomio.

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Se usa la instruccin find_root(funcin,x,a,b) para buscar soluciones ceros de la funcin

en el intervalo [a,b], con la precaucin de que a y b deben tener distintos signos y la raz

de la funcin debe pertenecer a dicho intervalo. Por ejemplo:

La orden is(expresin) determina el valor de verdad de la expresin. En otras palabras se

puede utilizar para comprobar si una proposicin es cierta (true) falsa (false). Por

ejemplo:

que indica que lo que preguntamos es falso (false).

obtenemos que el resultado es verdadero (true).

RESOLUCIN DE INECUACIONES

No existe una funcin especfica para resolver inecuaciones, pero con los conocimientos

obtenidos se puede dar solucin a este tema. Veamos cmo podemos dar solucin a la

inecuacin 02xx2 > .

- Definimos el polinomio como si fuera una funcin

(^ mayscula (shift) y tecla de la diresis, al lado de la P)

- Resolvemos la ecuacin para determinar sus races

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- Analizamos el valor del polinomio tomando valores a la izquierda y derecha de las races

- Esta salida indica que como el polinomio es positivo (vale 4) a la izquierda de x=-1 y a la

derecha de x=2, es decir, 02xx2 > en (- , -1) U (2 , + ) . Por lo tanto 02xx2


- Eliminamos la condicin que 2x,1x , asumimos que x>2 y preguntamos si el polinomio es positivo

- Eliminamos la condicin x>2 y listamos las condiciones asumidas, que obviamente es el

conjunto vaco.

Se puede observar que los resultados son idnticos a los anteriores.

FUNCIONES

Maxima tiene definidas la mayor parte de las funciones elementales, comienzan con

minscula, abreviaturas del vocablo en ingls. En general, los argumentos de las funciones van

encerrados entre parntesis. stas son:

- Raz cuadrada de x: sqrt(x) - Factorial de x: x! - Exponencial ex: exp(x) bien %e^x - Logaritmo neperiano ln x: log(x) - Trigonomtricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x)

- Trigonomtricas inversas: arc sen x, arc cos x, arc tg x, arc cotg x, arc sec x, arc cosec x asin(x) acos(x) atan(x) acot(x) asec(x) acsc(x)

- Hiperblicas: seno hiperblico, coseno hiperblico, tangente hiperblica sinh(x) cosh(x) tanh(x)

- Hiperblicas inversas: Arg Sh x, Arg Ch x, Arg Thx asinh(x) acosh(x) atanh(x)

- Parte entera [x]: entier(x) - Valor absoluto mdulo |x|: abs(x)

Para crear funciones se utiliza el operador := . Por ejemplo:

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Tambin podemos evaluar las funciones en un punto, por ejemplo:

bien:

Tambin es posible definir funciones por tramos utilizando ifthenelse, (que

signfica si luego sino, como se muestra a continuacin

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