1. A + B: Se ubica el vector A, luego el vector B se

sita justo donde se acaba el A (en la punta de

la flecha) y el vector resultante de A+B (que

llamaremos C) va desde donde inicia el vector

A hasta donde termina el vector B de la

siguiente manera.

2. A B: Para la resta es el mismo procedimiento

solo que cambia el sentido del vector a restar, es decir:

A B = Se debe cambiar el sentido del vector B.

B A = Se debe cambiar el sentido del vector A.

TUTORIAL VECTORES Iniciamos diciendo que un vector es una magnitud fsica que se caracteriza por tener: MODULO Magnitud DIRECCION Orientacin (ngulo) SENTIDO Lo indica la punta de la flecha SUMA (+) Y DIFERENCIA (-) DE VECTORES Para la suma y resta de vectores se puede hacer por el mtodo del paralelogramo o por el mtodo del polgono, este ltimo es ms sencillo: METODO GRAFICO POLIGONO

A

B

C = A + B -> Resultante

A -B

A = 5 B = 3

: 30 : 45

3. Despus de hallar el vector resultante mediante el mtodo grfico se deben ubicar componentes del tringulo y los que hacen falta por encontrar, es decir; los ngulos necesarios para hallar la magnitud y la direccin del vector C.

4. Para hallar el ngulo que forman los vectores A y B (c) se debe tener en cuenta el ngulo de B (45) y que por congruencias el complementario sera igual al ngulo de A (30), como se muestra en la grfica.

45

30 c = 75

a =?

: 30

5. Debido a que no es un tringulo rectngulo para hallar la magnitud del vector C no se puede hacer con el teorema de Pitgoras. En este caso es necesario hacerlo por medio del teorema del coseno usando la siguiente ecuacin:

2 = 2 + 2 2 cos As que lo que nos resta es reemplazar los valores en las variables.

6. Reemplazando obtenemos:

2 = 52 + 32 2(5)(3) cos 75 2 = 25 + 9 30 cos 75 2 = 34 7,7645 2 = 34 7,7645 2 = 26,235

= 26,23 = ,

7. Ahora debemos hallar el ngulo de inclinacin () del vector C, para ello usaremos la frmula del teorema del seno;

sin

=

sin

=

sin

Debemos usar solo 2 de estas 3 relaciones segn lo deseemos hallar.

=?

c = 75

8. Debido a que ya sabemos que C=5,12 y que el ngulo c=75 usamos la relacin entre b y c ya que tenemos que saber cunto vale b.

sin

=

sin

sin =

sin

sin =3 sin 75

5,12

sin = 0,565972

= sin1(0,565972)

= ,

9. Ya para terminar tenemos que = + ; ya que 30 es el ngulo del vector A y b es el ngulo generado por los vectores A y C, se tiene qu;

= 30 + 34,46 = , . Si deseamos saber el valor del ngulo a tenemos que recordar que la suma de los ngulos de un rectngulo es igual a 180, con ello tenemos que:

180 = + + = 180 = 180 34,46 75 = 180 109,46 = ,

= 64,46

c = 75

a =?

: 30

Entonces ya tenemos que el vector C tiene una

magnitud de 5,12 y una direccin de = 64,46

COMPONENTES VECTORIALES

1. Para hallar el vector resultante se deben ubicar los componentes vectoriales en X y en Y de cada uno de los vectores A, B, y C, para ello se debe proyectar cada vector hacia el plano vertical (Vy) y horizontal (Vx) como se muestra en la imagen.

2. Para poder hallar los valores en X y en Y de cada vector debemos remitirnos a las identidades trigonomtricas

bsicas; sin =

; cos =

;

3. Entonces tenemos que para

encontrar los componentes se debe tener en cuenta cual es el lado o cateto adyacente al ngulo de cada vector, por ejemplo;

Para A el Ca = Ax y el Co = Ay; Para B el Ca = By y el Co = Bx; y para C el Ca = Cx y el Co = Cy.

5. La Hipotenusa (hip) en cada caso es el vector. Entonces:

VECTOR A: Ax = Como es el cateto adyacente (Ca) usamos

la frmula (cos =

).

Ay = Como es el cateto opuesto (Co) usamos la

frmula(sin =

).

VECTOR B:

Bx = Como es el cateto opuesto (Co) usamos la

frmula (sin =

)

By = Como es el cateto adyacente (Ca) usamos

la frmula(cos =

).

VECTOR C:

Cx = Como es el cateto adyacente (Ca) usamos

la frmula (cos =

).

Cy = Como es el cateto opuesto (Co) usamos la

frmula(sin =

).

4. Calculamos:

VECTOR A:

= cos = sin = cos = sin

= cos 45 = sin 45 = 4(0,7071) = 4(0,7071) = , = ,

VECTOR B:

= sin = cos = sin = cos

= sin 15 = cos 15 = 5(0,2588) = 5(0,9659) = , = ,

VECTOR C:

= cos = sin = cos = sin

= cos 30 = sin 30 = 2(0,8660) = 2(0,5) = , =

Bx

Cx

Ax

By

Ay

Cy

= 15

= 30 = 45

Entonces ya tenemos que el vector R tiene una magnitud de 2,57N y una direccin de r = 23 en el eje X negativo (-X).

6. Una vez hallados los componentes de cada vector se procede a ubicar los resultantes en el plano cartesiano de

acuerdo a su sentido . Se deben sumar los que van en el mismo eje y en el mismo sentido (X, -X, Y, -Y).

7. El siguiente paso es restar los resultantes que van en el mismo eje pero en sentidos opuestos (X con X) y (Y con Y). Si dan resultados negativos se toma el valor absoluto, es decir; siempre se toma como positivo y el sentido del resultante es el mismo del que tena mayor magnitud.

8. Entonces tenemos que: Y = 4,83N 3,82N = 1,01N (en Y) X = 4,11N 1,74N = 2,37N (en X)

9. Una vez ms las ubicamos en el cuadrante correspondiente del plano cartesiano y proyectamos el vector resultante final.

Cx = 1,74N

By = 4,83N

Ax + Bx = 4,11N

Ay + Cy = 3,82N

Y

X

-Y

-X

Y

-X

Y = 1,0

1N

X = 2,37N

= 23

10. Para encontrar la magnitud del vector R podemos usar el Teorema de Pitgoras ya que los vectores X y Y forman un ngulo

recto (). Entonces:

= 2 + 2 = 2 + 2

Reemplazando

= 2,372 + 1,012

= 5,6169 + 1,0201

= 6,637 = ,

11. Para hallar el ngulo r del vector R podemos usar alguna de las identidades trigonomtricas vistas anteriormente:

sin =

; cos =

; tan =

Lo ms normal es usar tan , as que:

tan r =1,01

2,37 tan r = 0,4261

r = tan1(0,4261) =

= 23