MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS AGRUPADOS POR INTERVALOS

• Rango

• Desviación media

• Varianza

• Desviación estándar

• Coeficiente de variación

ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES

Al finalizar la sesión el alumno reconoce las propiedades y laaplicación de las medidas de dispersión para datos agrupados porintervalos.

LOGRO

PRINCIPALES MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Rango o recorrido de la variable

Desviación media

Varianza

Desviación estándar

Coeficiente de variación

Recordemos:Medidas de dispersión

La importancia que tienen es porque proporcionan más información quepermite juzgar la confiabilidad de las medidas de tendencia central. Si losdatos están muy dispersos, las medidas de tendencia central son menosrepresentativas de los datos que cuando están más agrupadas alrededorde la media.

Desviación Media Es la media aritmética de los valores absolutosde las desviaciones de los valores observadosrespecto a la media aritmética de éstas.

Para datos agrupados por su frecuencias

𝐷𝑀 = 𝑖=1

𝑘 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥

𝑛

xi = Marca de clase

Medidas de dispersión

EJEMPLO: Se tiene la distribución de las ventas del producto Adurante 50 semanas, Halle la desviación media.

DM = 7.32

DM =

En este caso los datos están agrupados, primero debemos calcular la media

2 × 15 − 36.8 + 8 × 25 − 36.8 + 25 × 35 − 36.8 + 9 × 45 − 36.8 + 6 × 55 − 36.8

50

Medidas de dispersión

Varianza Se define como la media aritmética delcuadrado de las desviaciones de lasobservaciones con respecto a su media.

Para datos agrupados

Poblacional: 𝜎2 = 𝑖=1𝑘 𝑓𝑖 𝑥𝑖−𝜇 2

𝑁

𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙: 𝑠2 = 𝑖=1

𝑘 𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 2

𝑛 − 1

Medidas de dispersión

EJEMPLO: Se tiene la siguiente distribución del peso de los estudiantes,Hallar la varianza.

Medidas de dispersión

EJEMPLO: Se tiene la siguiente distribución del peso de los estudiantes,Hallar la varianza.

Nota: el valor de la varianza no es interpretable, porque su valor están dadas enunidades al cuadrado.

Medidas de dispersión

Desviación estándar Se define como la raíz cuadrada de la varianza.

Para el ejemplo anterior , la desviación estándar es: 𝑆 = 82.65 = 9.09

Medidas de dispersión

Muestral: S

Poblacional: 𝜎

Coeficiente de Variación

Las medidas de dispersión que vimos anteriormente, son “absolutas” yson útiles para describir la dispersión de un solo conjunto de datos,pero si se quiere comparar más de dos conjuntos de datos tendremosque usar una medida de dispersión relativa, como el coeficiente devariación; la cual está definida como el cociente entre la desviaciónestándar y la media.

En general consideraremos lo siguiente:

CV < 25% Implica baja dispersiónCV > 50% Implica alta dispersiónEn otro caso tiene dispersión moderada

Medidas de dispersión

𝐶. 𝑉. =𝜎

𝜇𝐶. 𝑉. =

𝑆

𝑋

Medidas de dispersión

PROPIEDAD 1

Si todos los valores observados son iguales a b(donde b es una constante) entonces

PROPIEDAD 2

Si a cada valor de las observaciones se le suma (oresta) una constante, la varianza del nuevo conjunto transformadoe será la misma que la varianza de las observacionesiniciales, es decir:

PROPIEDAD 3

Si a cada valor de las observaciones se le multiplica poruna constante diferente de cero, la varianza del nuevo conjuntotransformado es la varianza del conjunto originalmultiplicado por la constante elevado al cuadrado.

Medidas de dispersión

Supongamos que se tiene una variable X con varianza S2 = 2 y ademásconsidere las siguientes constantes c = 5 y b = 3

• Si Y = X + 5 entonces S2y = Var(X+5) = Var(X) = 2

• Si Y = 3X entonces S2y = Var(3X) = 32Var(X) = 9(2) = 18

• Si Y = 3X+5 entonces S2y = Var(3X+5) = 32Var(X) = 9(2) = 18

Medidas de dispersión

¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?

CONCLUSIONES

UNIVERSIDAD TECNOLICA DEL PERU

“ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES ”