Unidad No. 2: Función exponencial

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Armado y diseño de la unidad: Prof . Andrea Gandolf i

Página web: http://acgandolf i .w ix.com/matematica

Unidad No. 2

Función

Exponencial

Nombre: ………………………….………………

5to. Año 2019

CJSF

Unidad No. 2: Función exponencial

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Recordemos algunas propiedades importantes:

La potenciación y la radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y división de números. No es distributiva con la suma y ni con la resta.

Producto de potencias de igual base: n m n ma a a

Cociente de potencias de igual base: :n m n ma a a

Potencia de potencia: mn n ma a

0 1a

Todo número real elevado a una potencia de exponente negativo es igual a la

potencia de su inverso.

1 nna

a

Exponente fraccionario:

mmnna a

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Unidad 2: Función Exponencial

En un laborator io de biología se está estudiando la evolución del peso de una especie animal . Un ejemplar pesa 2 kg al nacer . Un mes después, e l peso se incrementa en un

10%.

Durante var ios meses se observa la misma tendencia: cada mes, e l peso se incrementa un 10% respecto al mes anter ior .

Suponiendo que esta tendencia s igue por un t iempo, ¿Qué peso tendr ía el animal a los seis meses? ¿y al año? ¿y a los dos años?

Completamos la evolución en los primeros meses:

Tiempo (en meses) Peso (en kg) En forma genérica

0

1

2

3

4

5

Respondemos las preguntas originales:

Si se representa la función P x , a partir de los puntos obtenidos, se obtiene la siguiente curva.

Las sustancias radiact ivas t ienen una propiedad de desintegrarse al emit i r espontáneamente part ículas al fa, electrones y rayos gamma, por lo cual p ierden masa a medida que pasa el t iempo.

En un laborator io, se hace una observación de una sustancia radiact iva que pierde el 2% de su masa cada día. En un pr incipio, la masa de dicha sustancia es de 3kg.

Después de x meses, el peso será:

P x , pudiéndose expresar

como una función de los meses

transcurridos. La función P x es una

función………………………..

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a. Escr iban una fórmula que permi ta calcular la masa de esta sustancia en función del t iempo.

b. ¿Cuál será la masa de dicha sustancia después de 60dias? ¿y 120 d ías después? ¿Y después de un año?

c. Graf icar

Una función exponencial es una función de la forma:

: / xf f x ka

y con 1k a a

Dadas las siguientes formulas de funciones, ¿Podemos decir que son funciones exponenciales?¿Por qué?

1xf x

2 xf x

La masa de una población de bacterias aumenta un 25% por hora. En un determinado momento, se colocan 120g de bacterias en una cubeta:

a . Escr iban una fórmula que permi ta calcular la masa de la población en función del t iempo

b . ¿Cuántos gramos de bacter ias habrá al cabo de una hora? ¿y de 2 horas?

Supongamos que un coche que hoy cuesta $165000 , se deprecia de tal forma que cada año que pasa, el valor es el 95% de su valor anterior.

a. Halla una fórmula que nos permita obtener directamente el valor luego de x años, sin necesidad de realizar tantas cuentas?

b. ¿Cuál será el valor del auto luego de dos años? ¿Luego de 3 años?

Recordar: n

nmma a

Ejemplo: 1

442 2

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c. Encuentra una fórmula que dé el valor del mismo pero con el tiempo expresado en meses.

d. ¿Cuál será el valor del auto luego de 14 meses?

Completar la siguiente tabla:

Fórmula Imagen de 0 Crece o decrece % de crec o Dec

1,2xf x

1,5xf x

0,75xf x

3 0,99xf x

2 0,75xf x

0,60xf x

2xf x

Hallar una expresión que describa el crecimiento exponencial de una colonia de 2000 bacterias que se quintuplican cada tres horas.

e. ¿Qué se modificaría en el gráfico si el valor inicial del automóvil fuera 180000?

f. ¿Es verdadera la siguiente afirmación? A medida que el tiempo pasa, el valor del auto decrece con menor rapidez. Justifica esta afirmación.

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Crecimiento lineal vs. Crecimiento exponencial

Propiedad:

Las funciones exponenciales tienen la propiedad de que

“a intervalos iguales de la VI se obtienen porcentajes iguales de

crecimiento o decrecimiento de la VD”

Desplazamientos de la gráfica

Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones con exponenciales , completar la tabla y sacar conclusiones.

: / xf f x ka b

Crece o Decrece Imagen . . :AH

lim

xf x

lim

xf x

1 1: / 2xf f x

2 2: / 2 1xf f x

3 3: / 2 1xf f x

4 4: / 2 4xf f x

5 51: /2

x

f f x

6 61: / 32

x

f f x

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2.5 1

2.5 1

12. 2

5

12. 2

5

x

x

x

x

f x

g x

h x

k x

Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones con exponenciales , completar la tabla y sacar conclusiones.

Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones con exponenciales , completar la tabla y sacar conclusiones.

Dadas las siguientes fórmulas de funciones definidas de , indiquen cuál corresponde a cada gráfico, justifiquen:

Crece o Decrece Imagen . . :AH

lim

xf x

lim

xf x

1 1: / 2xf f x

2 2: / 2 xf f x

3 31: /2

x

f f x

Crece o Decrece Imagen . . :AH

lim

xf x

lim

xf x

1 1: / 2xf f x

2 2: / 2xf f x

3 3: / 3 1xf f x

4 4: / 3 1xf f x

5 52: / 43

x

f f x

6 62: / 43

x

f f x

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Dadas las siguientes fórmulas de funciones definidas de , unan con flechas cada función con su respectivo conjunto imagen:

1( ) 3

2

( ) 2 3

( ) 10 2

( ) 0,1 1

x

x

x

x

f x

g x

d x

h x

2;

;0

; 1

0;

1;

Encuentren y justifiquen, si existe, una función exponencial que cumpla con:

a. Que sea decreciente y cuya imagen sea

b. Que sea decreciente y cuya imagen sea

c. Que sea creciente y cuya imagen sea

Escriban verdadero o falso, según corresponda. Justifiquen sus respuestas:

a. La imagen de la función

1: /

3

x

f f x

es 0, b. La función 1

: /2

x

f f x

es

decreciente.

c. La función 2

( )3

x

f x

es creciente.

d. La función 4 xf x tiene una asíntota horizontal que es recta de ecuación 0y .

e. Todas las funciones del tipo xy a , con 1a , cortan al eje x.

f. Todas las funciones del tipo xy a , con 0 1a , son decrecientes.

Estudio de las funciones exponenciales

Encontrar dominio, imagen, conjunto de ceros, conjunto de positividad y negatividad, límite en y en , ecuaciones de la asíntota horizontal y construir un gráfico aproximado de las siguientes funciones.

4: / .3 43

xf f x

0

ImDom

CCCII

ejeod

lim lim . : . :x x

f x f x AV AH

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1 42

x

g x

Encontrar dominio, imagen, conjunto de ceros, conjunto de positividad y negatividad, límite en y en , ecuaciones de la asíntota horizontal y construir un gráfico aproximado de las siguientes funciones.

a. 1 1

1: / 5. 5

4

x

f f x

b. 2 2

2: / 2 3

3

x

f f x

0

ImDom

CCCII

ejeod

0

ImDom

CCCII

ejeod

lim lim . : . :x x

f x f x AV AH

0

ImDom

CCCII

ejeod

lim lim . : . :x x

f x f x AV AH

lim lim . : . :x x

f x f x AV AH

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c. 3 3

3: / 2 3

2

x

f f x

d. 4 4

8: / 4 2

5

x

f f x

Completa la siguiente tabla, sin realizar el gráfico.

Función Conjunto Imagen

Asíntota vertical I I eje od

1 1: / 3 4xf f x

2 2: / 2.3 1xf f x

3 3

1: / 2 3

3

x

f f x

Completar la siguiente tabla:

75

x

h x 0,75 xj x 1 · 33

xl x 0,9xg x 2 · xk x e

Creciente o decreciente

% de crecimiento o decrecimiento

0

ImDom

CCCII

ejeod

0

ImDom

CCCII

ejeod

lim lim . : . :x x

f x f x AV AH

lim lim . : . :x x

f x f x AV AH

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Funciones exponenciales con base e

El número e es uno de los números irracionales (infinitas cifras no periódicas) más importantes. Es aproximadamente igual a 2,71828… y aparece en diversas ramas de las Matemáticas, al ser la base de los logaritmos naturales y formar parte de las ecuaciones del interés compuesto y otros muchos problemas.

El número e , conocido en ocasiones como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien en 1618 introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Unos años más tarde, Jacob Bernoulli estudió el problema del interés compuesto. En él hacía cálculos sobre los beneficios de una cantidad de dinero con un interés anual del 100% dependiendo de los periodos en los que se pague a lo largo de un año. y definió al

número e , como:

Si se invierte $1 y al cabo de un año el banco te da un interés del 100% , entonces nuestro dinero se ha duplicado

1 1 2

Si se invierte $1, pero queremos retirar nuestro dinero cada 6 meses

21 0.5 1 0.5 1 0.5 2,25

Si se invierte $1, pero queremos retirar nuestro dinero cada 4 meses

31 1 1 11 1 1 1 2,373 3 3 3

Pero a medida que vamos dividiendo el año en n partes este número no sigue aumentando, sino que se

aproxima al número

1lim 1n

ne

n

Sabiendo que

11n

nan

a. Completen la siguiente tabla:

1a 10a

2a 100a

3a 1000a

4a 10000a

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ImDom

0CCC

II

ejeod

La representación gráfica de xf x e se puede construir completando la tabla y aproximando alguna

potencias de e.

Para obtener 2e en la calculadora se oprimen las teclas:

Graficar y analizar las siguientes funciones: a. 1 1: / 1 xf f x e

b. 1 1: / xf f x e

x -2 -1 0 1 2

xf x e

0

ImDom

CCCII

ejeod

0

ImDom

CCCII

ejeod

ln - shift 2

lim lim . : . :x x

f x f x AV AH

lim lim . : . :x x

f x f x AV AH

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Otras funciones con el número e

2xf x e .Su representación gráfica, es la curva siguiente , que se denomina Campana

12

x xf x e e Esta curva se denomina Catenaria.

Carga de un condensador:

1t

RCfV t V e .

La corriente que pasa por el circuito está dada por la siguiente fórmula:

t

f RCVI t e

R

ImDom

ImDom

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Repaso para la evaluación

5. Encuentren si existe una función exponencial que cumpla con las siguientes condiciones:

a. Que sea creciente y cuya imagen sea R

b. Que sea decreciente y cuya imagen sea R

1. En una función exponencial 0,8xf x , por cada unidad que aumenta x , y disminuye un…

a. 80% b. 180% c. 20% d. 120%

2. Un ejemplo de crecimiento exponencial es cuando por cada unidad que aumenta x…

a. y también aumenta una unidad

b. y aumenta siempre el mismo valor

c. y aumenta siempre el mismo porcentaje

d. y se mantiene constante.

3. La función exponencial 1 55

x

f x

tienen por 0C y C , respectivamente , a

a. 1 1,y b. 1 , 1y c. 1 1,y d. 1 ,1y

4. Una sustancia radiactiva se desintrega de forma tal que cada día queda un 90% de la masa del día anterior. Si una muestra de ella tiene hoy un peso de 10 kg, su paso en 12 días será, aproximadamente, de…

a. 1210 kg b. 9,718kg c. 9kg d. 2,824kg

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6. Encontrar dominio, imagen, conjunto de ceros, conjunto de positividad y negatividad, límite en y en , ecuaciones de la asíntota horizontal, intersección con el eje y y construir un gráfico aproximado de

a.

3: / 2 3

2

x

f f x

b. 4 4

8: / 4 2

5

x

f f x

7. Identifica cada función con su gráfica. Justifica tu respuesta.

0,7 ; 0,4 ; 1,5 ; 3x x x xf x g x h x j x

0

ImDom

CCCII

ejeod

lim lim . : . :x x

f x f x AV AH

0

ImDom

CCCII

ejeod

lim lim . : . :x x

f x f x AV AH

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8. Los siguientes gráficos corresponden a funciones de la forma . xf x k a . Indiquen cuánto valen a y k en cada caso.

9. Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen.

a. La función 0.82 xf x por cada unidad que crece x, y decrece en un 82% .

b. La función 2 3xf x no tiene conjunto de ceros.

c. La función : / 2 xf f x es creciente.

d. Cuando x tiende a valores cada vez más chicos la función 1 23

x

f x

tiende a

e. No existen funciones exponenciales con base negativa

f. Las funciones 4.3xf x y 12xg x son iguales

g. La función 6 1xf x no tiene conjunto de ceros.