U2-S2-RESOL_PAPEL

INTEGRACIN

ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA

ANTIDERIVADA

Cmo se puede emplear una tasa de inflacin conocida para determinar precios

futuros? Cul es la velocidad de un objeto en movimiento rectilneo con aceleracin

conocida? Cmo se puede usar la tasa a la cual cambia la poblacin para predecir

niveles futuros de poblacin? En todas estas situaciones se conoce la derivada (tasa de

cambio) de una magnitud, y se quiere conocer esa magnitud. A continuacin se

presenta la terminologa que se usar en el proceso de obtencin de una funcin a

partir de su derivada.

Supongamos que se nos pide encontrar una funcin F cuya derivada sea 3( ) 4f x x

Por lo que sabemos de derivacin, probablemente diramos que

4( )F x x ya que 4 34

dx x

dx

Esto permite definir lo siguiente.

Definicin:

Una funcin F es una antiderivada (o una primitiva) de f en un intervalo I si

'( ) ( )F x f x para todo x en I .

Observacin

Decimos que F es una antiderivada de f y no que es la antiderivada de f .

La razn es que, por ejemplo,

4 4 41 2 1( ) , ( ) 3 y ( ) 54F x x F x x F x x

son, todas ellas, antiderivadas de 3( ) 4f x x . De hecho, para cualquier valor

de la constante C , 4( )F x x C es antiderivada de f .

Definicin: Antiderivada general

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada general,

G , de f en I es de la forma

( ) ( )G x F x C , para todo x en I

donde C denota una constante.

Observacin:

Resulta claro que el clculo de antiderivadas o primitivas no determina una

nica funcin, sino una familia d funciones, que difieren entre s en una

constante.

El proceso de hallar todas las antiderivadas de ( )f x se denomina integracin

indefinida o antiderivacin y se denota por el smbolo , llamado signo de

integracin, la expresin ( )f x dx se lee la integral indefinida de ( )f x con respecto a

x .

INTEGRAL INDEFINIDA

Definicin:

Si ( )F x es una antiderivada de ( )f x en un intervalo I , entonces a su antiderivada

general ( ) ( )G x F x C se le denota por

( ) ( )f x dx F x C x I

Llamada la integral indefinida de ( )f x con respecto a x .

Propiedades

Sean ,f g funciones derivables y k constante, entonces:

a) ( ) ( )kf x dx k f x dx

b) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

Ejemplos:

1) 33 2 5x x dx Solucin:

3 3 33 2 5 3 2 5 3 2 5x x dx x dx xdx dx x dx xdx dx

4 24 233 2 5 5

4 2 4

x xx C x x x C

2) 2 4 2y y dy Solucin:

3 4

2 4 2 42 2 23 4

y yy y dy y dy y dx dx x C

3) 3

2dy

y

Solucin:

23 2

3 2

2 12 2

2

ydy y dy C y C C

yy

4) (2sin 3cos )x x dx

Solucin:

(2sin 3cos ) 2sin 3cos 2cos 3sinx x dx xdx xdx x x C

FORMULAS BSICAS DE INTEGRACIN

Sea ( )u u x una funcin diferenciable en x , entonces:

1. 1

1

nn uu du C

n

2. lndu

u Cu

3. u ue du e C

4. , 0 1ln

uu aa du C a a

a

5. 2 2

1arctan , 0

du uC a

a au a

6. 2 2

1ln 0

2

du u aC a

a u au a

7. 2 2

1ln 0

2

du u aC a

a u aa u

Integrandos que contienen races cuadradas

8. 2 22 2

ln 0du

u u a C au a

9. 2 22 2

ln 0du

u u a C au a

10. 2 2

arcsin 0du u

C aaa u

11. 2 2

1arcsec 0

uduC a

a au u a

12. 2

2 2 2 2 2 2ln2 2

u au a du u a u u a C

13. 2

2 2 2 2 2 2ln2 2

u au a du u a u u a C

14. 2

2 2 2 2 arcsin2 2

u a ua u du u a C

a

Integrandos que contienen funciones trigonomtricas

15. sin cosudu u C

16. cos sinudu u C

17. tan ln cosudu u C

18. cot ln sinudu u C

19. sec ln sec tanudu u u C

20. csc ln csc cotudu u u C

21. csc ln csc cotudu u u C

22. 2sec tanudu u C

23. 2csc cotudu u C

24. sec tan secu udu u C

25. csc cot cscu du u C

Integrandos que contienen funciones hiperblicas

26. sinh coshudu u C

27. cosh sinhudu u C

28. tanh ln coshudu u C

29. coth ln sinhudu u C

30. 2sech tanhudu u C

31. 2csch cothudu u C

32. sech tanh sechu udu u C

33. cosh coth cschu udu u C

Integrandos que contienen funciones trigonomtricas inversas

34. 2arcsin arcsin 1udu u u u C

35. 2arccos arccos 1udu u u u C

36. 21

arctan arctan ln(1 )2

udu u u u C

37. 21

arccot arccot ln(1 )2

udu u u u C

38. 2arcsec arcsec ln 1udu u u u u C

39. 2arccsc arccsc ln 1udu u u u u C

Ejemplos

Halle las siguientes integrales

1) 4 2

3

10 25

5

z zdz

z z

Solucin:

2

2 24 2 2

3 2

5 510 25 5

5 5

z zz z zdz dz dz dz

z z zz z z z

25 5 15

2

zz dz zdz dz dz

z z z

2

5ln2

zz C

2) 4 2

2

20 3 15

5

x x xdx

x

Solucin:

4 2 4 22

2 2 2 2

20 3 15 20 3 15 3 34

55 5 5 5

x x x x x xdx dx x dx

xx x x x

2 33 3 4 3 14 35 3 5

x dx dx dx x x dxx x

34 3 3ln3 5x x x C

3) 2 5

2

xdx

x

Solucin:

2 5 1 1

2 2 2 ln 22 2 2

xdx dx dx dx x x C

x x x

4) 1

2 1

xdx

x

Solucin:

1 1 3 1 3

2 1 2 2 2 1 2 2 2 1

xdx dx dx dx

x x x

1 3 1 1 3 1ln 2 1

2 2 2 1 2 2 2dx dx x x C

x

1 3

ln 2 12 4x x C

5) 1

xdx

x

Solucin:

1 1

1 ln 11 1 1

xdx dx dx dx x x C

x x x

6) 2/31

( 1)3x x dx

Solucin:

2/3 1/3 2/3 1/3 2/31 1 1 1( 1)3 3 3 3x x dx x x dx x dx x dx

4/3 1/34/3 1/31 1 1

3 4 / 3 3 1/ 3 4

x xC x x C

7) 3

2sin3

xex dx

Solucin:

3 3312sin 2sin 2 sin

3 3 3

x xxe ex dx dx xdx e dx xdx

331 12cos 2cos

3 3 9

xxe x C e x C

8) 0.02 0.13 4t te e dt Solucin:

0.02 0.13 0.15 0.02 0.15 0.024 4 4t t t t t te e dt e e dx e dt e dt

0.15 0.020.02 0.15204 4

0.15 3 0.02

t tt te ee dt e C

0.15 0.0220 2003

t te e C

9) 2tan 3cosx x dx Solucin:

2 2 2tan 3cos tan 3cos sec 1 3cosx x dx xdx xdx x dx xdx

2sec 3 cos tan 2sinxdx dx xdx x x x C

10) 2

2sin 2x dxx

Solucin:

2 2 1

2sin 2 2sin 2 2 2 sin 2x dx dx x dx dx x dxx x x

cos(2 )2ln 2 2ln cos(2 )

2

xx C x x C

11) 23 2 3z z

dzz

Solucin:

2 23 2 3 3 2 3 33 2

z z z zdz dz z dz

z z z z z

3 13 2 3 2 3zdz dz dz zdz dz dz

z z

23 2 3ln2z z z C

12) 1/2 2 2t t t dt Solucin:

1/2 2 3/2 1/2 1/2 3/2 1/2 1/22 2 2t t t dt t t t dt t dt t dt t dt

5/2 3/2 1/21/2 5/2 3/22 22 2

5 / 2 3 / 2 5 3 1/ 2

t t tt dt t t C

5/2 3/2 1/22 2 45 3t t t C

13) 3 2 12 5x x dxx

Solucin:

3 2 2 3 2 3 212 5 5 2 10 5 11 2x x dx x x x x dt x x x dtx

3 2 3 25 11 2 5 11 2x dx x dx xdx x dx x dx xdx

4 3 25 11

4 3x x x C

14) 31

22

xx

Solucin:

3 3/2

1/2

1 12 2

2 2x dx x dx

x x

5/23/2 1/2 1/21 12 2

2 5 / 2 2

xx dx x dx dx x dx dx

1/25/2 5/2 1/22 2 2 42 2

5 3 1/ 2 5 3

xx x C x x x C

15) 2 3 2

2

x xdx

x

Solucin:

2 2 13 21

2 2

x xx xdx dx x dx

x x

2

2

xxdx dx x C

16) 23 5 2x x dx Solucin:

2 23 5 2 3 5 2x x dx x dx xdx dx

3 3/22 1/23 5 2 3 5 2

3 3 / 2

x xx dx x dx dx x C

3 3/22 5 23

x x x C

17) 4

5 te dtt

Solucin:

4 4 15 5 4 5 4ln 5t t t te dt dt e dt dt e dt t e C

t t t

18) /21 5

3

xe dxx x

Solucin:

/2 /2

1/2

1 5 1 1 15

3 3

x xe dx dx dx e dxx xx x

1/21/2 /2 /21 1 1ln 5 ln 5 2

3 1/ 2 3 1/ 2

x xxx x dx e x e

1/2 /21 ln 10 23

xx x e

19) tan cot

sin

x xdx

x

Solucin:

tan cot tan cotsec cot csc

sin sin sin

x x x xdx dx dx xdx x xdx

x x x

ln sec tan cscx x x C

20) 2

1 sin

cos

xdx

x

Solucin:

2

2 2 2

1 sin 1 sin sin 1sec

cos coscos cos cos

x x xdx dx x dx

x xx x x

2 2sec tan sec sec tan secx x x dx xdx x xdx tan secx x C

21) 2

2

(1 )

(1 )

xdx

x x

Solucin:

2 2 2

2 2 2 2 2

(1 ) 2 1 1 2 1 2

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1

x x x x xdx dx dx dx

xx x x x x x x x x

2

12 ln 2arctan

1

dxdx x x Cx x

22) 2

2 2

2

( 4)

xdx

x x

Solucin:

Expresemos 2 2x de la siguiente forma,

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 12 ( 4 ) ( 4) ( 4)2 2 2 2 2

x x x x x x x x x

Reemplazando esta ltima expresin en la integral original, se tiene,

2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1( 4)

2 1 1 ( 4)2 2

2 2( 4) ( 4) ( 4) ( 4)

x xx x x

dx dx dx dxx x x x x x x x

22 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 24 2

dx dx dxx dx

x x x

11 1 1 1 1

arctan arctan2 2 2 2 1 4 2 2

x x xC C

x

APLICACIONES DE LOS PROBEMAS CON VALOR INICIAL

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Un fabricante determina que el costo marginal es 23 60 400q q dlares por

unidad cuando se producen q unidades. El costo total de produccin de las

primeras 2 unidades es $900. cul es el costo total de produccin de las

primeras 5 unidades?

Solucin:

Recuerde que el costo marginal es la derivada de la funcin del costo total ( )C q .

Entonces,

23 60 400dC

q qdq

y por tanto, debe ser la antiderivada

2 3 2( ) (3 60 400) 30 400dC

C q q q dq q q q kdq

para alguna constante k . (La letra k se emple para denotar la constante a fin

de evitar confusin con la funcin del costo C )

El valor de k se determina por el hecho de que (2) 900C . En particular,

3 2

900 2 30 2 400 2 k

212k

De aqu,

3 2( ) 30 400 212C q q q q

y el costo de produccin de las primeras 5 unidades es

3 2

(5) 5 30 5 400 5 212 $1587C

2) Se ha determinado que la poblacin ( )P t de una cierta colonia de bacterias, t

horas despus de iniciar la observacin, tiene un razn de cambio

0.1 0.03200 150t tdP

e edt

Si la poblacin era de 200000 bacterias cuando inici la observacin, cul ser

la poblacin 12 horas despus?

Solucin:

La poblacin ( )P t se encuentra antiderivando dP

dt como se muestra a

continuacin:

0.1 0.03( ) (200 150 )t tdP

P t dt e e dtdt

0.1 0.03200 150

0.1 0.03

t te ec

0.1 0.032000 5000t te e c

Como la poblacin es de 200000 cuando 0t , se tiene que 0 0(0) 200000 2000 5000P e e c

200000 3000 c

203000c

As,

0.1 0.03( ) 2000 5000 203000t tP t e e

Entonces, despus de 12 horas, la poblacin es

0.1(12) 0.03(12)(12) 2000 5000 203000

206152

P e e

3) Un minorista recibe un cargamento de 10000 kilogramos de arroz que se

consumirn e un periodo de 5 meses a una tasa constante de 2000 kilogramos

por mes. Si los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes,

cunto pagar el minorista en costos de almacenamiento durante los prximos 5

meses?

Solucin:

Sea ( )S t el costo total de almacenamiento (en dlares) durante t meses. Como

el arroz se consume a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes, el nmero

de kilogramos de arroz almacenado despus de t meses es de 10000 2000t .

Por tanto, como los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al

mes, la tasa de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo es

costo mensual nmero de0.01(10000 2000 )

por kilogramo kilogramos

dSt

dt

Se deduce que ( )S t es una antiderivada de

0.01(10000 2000 ) 100 20t t

Es decir,

2( ) (100 20 ) 100 10dS

S t dt t dt t t cdt

Para alguna constante c . Para determinar c , se usa el hecho de que cuando

llega el cargamento (cuando 0t ) no hay costo, por lo que 20 100(0) 10(0) 0c c

De aqu,

2( ) 100 10S t t t

Y el costo total de almacenamiento durante los prximos 5 meses ser

2(5) 100(5) 10(5) $250S

4) Un automvil viaja en lnea recta a 45 millas por hora (66 pies por segundo) en

el instante en el que el conductor se ve forzado a aplicar los frenos para evitar un

accidente. Si los frenos proporcionan una desaceleracin constante de 22 pies/s2,

qu distancia recorre el automvil antes de detenerse por completo?

Solucin:

Sea ( )s t la distancia recorrida por el automvil en t segundos despus de

aplicar los frenos. Como el automvil desacelera a 222pies/s , se tiene que

( ) 22a t ; es decir,

( ) 22dv

a tdt

Integrando, se encuentra que la velocidad en el momento t est dada por

1( ) 22 22v t dt t C

Para calcular 1C , observe que 66v cuando 0t , de modo que

1 166 (0) 22(0) 66v C C

Por lo que la velocidad en el momento t es ( ) 22 66v t t .

A continuacin, para encontrar la distancia ( )s t , se inicia con el hecho de que

( ) 22 66ds

v t tdt

E integrando se tiene que 2

2( ) ( 22 66) 11 66s t t dt t t C

Como (0) 0s , se deduce que 2 0C y

2( ) 11 66s t t t

Finalmente, para encontrar la distancia a la que se detiene el automvil, ste se

detiene cuando ( ) 0v t , lo cual sucede cuando

( ) 22 66 0v t t

Resolviendo esta ecuacin, se obtiene que el automvil se detiene despus de 3

segundos de desaceleracin, y en ese tiempo ha recorrido

2(3) 11(3) 66(3) 99piess

5) CRECIMIENTO DE LA POBLACIN. Se ha estimado que dentro de t meses

la poblacin ( )P t de una cierta ciudad cambiar a razn de 2/3'( ) 4 5P t t

personas por mes. Si la poblacin actual es de 10000, cul ser la poblacin

dentro de 8 meses?

Solucin:

La poblacin ( )P t se encuentra antiderivando dP

dt como se muestra a

continuacin:

5/32/3 5/3( ) (4 5 ) 4 5 4 3

5 / 3

dP tP t dt t dt t C t t C

dt

Como la poblacin es de 10000 cuando 0t , se tiene que

5/3

(0) 10000 4 0 3 0P C

10000C

As,

5/3( ) 4 3 10000P t t t

Entonces, despus de 8 meses, la poblacin es

5/3

(8) 4 8 3 8 10000 10128P

6) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el

tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea ( )M t el nmero

de aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se

determina como

2'( ) 0.4 0.005M t t t

a) Cuntos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10 minutos?

b) Cuntos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10

minutos (del tiempo 10t al 20t )?

Solucin:

El nmero de aspectos ( )M t que puede memorizar Tony, se encuentra

antiderivando dM

dt como se muestra a continuacin:

3 22( ) ( 0.005 0.4 ) 0.005 0.4

3 2

dM t tM t dt t t dt C

dt

3 20.005 0.2

3t t C

Como ( )M t es 0 cuando 0t (pues al inicio de la prueba an no ha

memorizada ningn aspecto de la lista dada), se tiene que

0 (0)M

3 20.005

0 0 0.2 03

C

0C

As,

3 20.005( ) 0.23

M t t t

a) Despus de los primeros 10 minutos, el nmero de aspectos que ha

memorizado es

3 20.005

(10) 10 0.2 10 18.333

M

b) El nmero de aspectos adicionales que puede memorizar en los siguientes 10

minutos es

(20) (10)M M M

3 2 3 20.005 0.005

20 0.2 20 10 0.2 103 3

66.66 18.33 48.33

7) UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal ser 1/2'( ) 200R q q dlares por unidad cuando el nivel de produccin sea de q

unidades. Se ha determinado que el costo marginal correspondiente es de 0.4q

dlares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $2000 cuando en

nivel de produccin es de 25 unidades. Cul es la utilidad del fabricante cuando

el nivel de produccin sea de 36 unidades?

Solucin:

Recuerde que

utilidad marginal ingreso marginal costo marginal

As, si

'( ) utilidad marginalP q

'( ) ingreso marginalR q

'( ) costo marginalC q

Entonces

1/2'( ) '( ) '( ) 200 0.4P q R q C q q q

Por otro lado, recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la funcin

utilidad ( )P x . Entonces,

1/2200 0.4dP

q qdq

y por tanto, ( )P q debe ser la antiderivada de dP

dq, as

1/2 2

1/2( ) 200 0.4 200 0.41/ 2 2

dP q qP q q q dq k

dq

1/2 2400 0.2q q k

para alguna constante k .

El valor de k se determina por el hecho de que (25) 2000P . En particular,

2000 (25)P

1/2 2

2000 400 25 0.2 25 k

125C

De aqu, la funcin utilidad es

1/2 2( ) 400 0.2 125P x q q

y la utilidad cuando el nivel de produccin sea de 36 unidades es

1/2 2

(36) 400 36 0.2 36 125

$2265.8

P

8) TERAPIA CONTRA EL CANCER. Un nuevo procedimiento mdico se aplica a

un tumor canceroso que tiene un volumen de 30 cm3, y t das despus se

determina que el volumen cambia a la tasa

0.006 3'( ) 0.15 0.09 cm /datV t e

a) Determine una frmula del volumen del tumor despus de t das.

b) Cul es el volumen luego de 60 das? Cul es despus de 120 das?

c) A fin que el procedimiento sea exitoso, no debern transcurrir ms de 90

das para que el tumor comience a disminuir. Con base en este criterio,

tiene xito el procedimiento?

Solucin:

El volumen ( )V t del tumor canceroso, se encuentra antiderivando dV

dt como se

muestra a continuacin:

0.006 0.0060.09( ) (0.15 0.09 ) 0.150.006

t tdVV t dt e dt t e Cdt

0.0060.15 15 tt e C

Como el volumen del tumor es 330cmV cuando 0t , se tiene que

30 (0)V

0.006 030 0.15 0 15e C

45C

As,

a) La frmula del volumen del tumor es 0.006( ) 0.15 15 45tV t t e

b) El volumen del tumor luego de 60 das es

0.006 60(60) 0.15 60 15 45V e

332.5cm

El volumen del tumor luego de 120 das es

0.006 120(120) 0.15 120 15 45V e

332.18cm

c) El volumen del tumor luego de 90 das es

0.006 90(90) 0.15 90 15 45V e

332.75cm

Por lo tanto el procedimiento no es exitoso ya que el tumor no ha

disminuido, ms bien ha aumentado 32.75cm con respecto al volumen

inicial.

9) DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja

en el mostrador para que se descongele. Cuando se sac del congelador, la

temperatura de la carne era de -4C, y t horas ms tarde se incrementaba a una

tasa de

0.35 o'( ) 7 C/htT t e

a) Determine una frmula para la temperatura de la carne despus de t horas.

b) Cul es la temperatura despus de 2 horas?

c) Suponga que la carne est descongelada cuando su temperatura llega a 10C.

Cunto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne?

Solucin:

La temperatura ( )T t de la carne en cualquier tiempo t , se encuentra

antiderivando dT


0.35 0.357( ) (7 )0.35

t tdTT t dt e dt e Cdt

0.3520 te C

Como la temperatura de la carne es o4 CT cuando 0t , se tiene que

4 (0)T

0.35 04 20e C

16C

As,

d) La frmula para la temperatura de la carne es 0.35( ) 20 16tT t e

e) La temperatura de la carne despus de 2 horas es

0.35 2(2) 20 16 6.068T e

f) Para encontrar el tiempo que tiene que transcurrir para que la carne se

descongele, resolvamos la siguiente ecuacin

0.35( ) 20 16 10tT t e 0.3520 6te

0.35 3

10

te

0.35 3ln ln10

te

30.35 ln ln

10t e

30.35 ln

10t

3ln

10

0.35t

3.4399hrst

10) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de

rbol crece de tal forma que su altura ( )h t despus de t aos cambia a una

razn de

2/3'( ) 0.2 pies/aoh t t t

Si cuando se plant el rbol ste tena una altura de 2 pies, cul ser su altura

dentro de 27 aos?

Solucin:

La altura ( )h t de un rbol en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando

dh


5/3 3/22/3( ) (0.2 ) 0.2

5 / 3 3 / 2

dh t th t dt t t dt C

dt

5/3 3/220.12

3t t C

Como la altura del rbol es 2h cuando 0t , se tiene que

2 (0)h

5/3 3/22

2 0.12 0 03

C

2C

De aqu,

5/3 3/22( ) 0.12 23

h t t t

y la altura del rbol dentro de 27 aos es

5/3 3/22

(27) 0.12 27 27 2 124.69m3

h

11) COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir

q unidades de cierto bien es 2'( ) 3 24 48C q q q dlares por unidad. Si el

costo de produccin de 10 unidades es de $5000, cul es el costo de produccin

de 30 unidades?

Solucin:


Entonces,

23 24 48dC

q qdq

y por tanto, ( )C q debe ser la antiderivada de dC

dq, as

2 3 224( ) (3 24 48) 482

dCC q q q dq q q q k

dq

3 212 48q q q k



El valor de k se determina por el hecho de que (10) 5000C . En particular,

5000 (10)C

3 2

5000 10 12 10 48 10 k

4720k

De aqu, la funcin del costo total es

3 2( ) 12 48 4720C q q q q

y el costo de produccin de 30 unidades es

3 2

(30) 30 12 30 48 30 4720 $22360C

12) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la produccin de q

unidades de cierto artculo es 2'( ) 4 1.2R q q q dlares por unidad. Si el

ingreso derivado de la produccin de 20 unidades es de $30000, cul ser el

ingreso esperado por la produccin de 40 unidades?

Solucin:

Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la funcin del ingreso ( )R q .

Entonces,

24 1.2dR

q qdq

y por tanto, ( )R q debe ser la antiderivada de dR

dq, as

2 3 2 3 21.2 4( ) ( 1.2 4 ) 0.4 23 2

dRR q q q dq q q C q q C

dq

para alguna constante C .

El valor de C se determina por el hecho de que (20) 30000R . En particular,

30000 (20)R

3 2

30000 0.4 20 2 20 C

32400C

De aqu, el ingreso total es

3 2( ) 0.4 2 32400R q q q

y el ingreso por la produccin de 40 unidades es

3 2

(40) 0.4 40 2 40 32400 $10000R

13) UTILIDAD MARGINAL. La utilidad marginal de un bien es '( ) 100 2P q q

cuando se producen q unidades. Cuando se producen 10 unidades, la utilidad es

de $700.

a) Determine la funcin utilidad.

b) Qu nivel de produccin q da como resultado la utilidad mxima? cul es

la utilidad mxima?

Solucin:

a) Recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la funcin utilidad ( )P q .

Entonces,

100 2dP

qdq

y por tanto, ( )P q debe ser la antiderivada de dP

dq, as

2 22( ) ( 2 100) 100 1002

dPP q q dq q q C q q C

dq


El valor de C se determina por el hecho de que (10) 700P . En particular,

700 (10)P

2

700 10 100 10 C

200C


2( ) 100 200P q q q

b) Para determinar el nivel de produccin q que proporciona la utilidad

mxima, se debe de igualar la utilidad marginal a cero y resolver la ecuacin

para q , es decir

'( ) 0 100 2 0 50P q q q

Para verificar si justamente el valor hallado proporciona la utilidad mxima

se hace uso del criterio de la segunda derivada, as necesitamos calcular la

segundo derivada y reemplazar 50q en ella, si el valor de la segunda

derivada es negativa entonces 50q sera el nivel de produccin que

proporciona la mxima ganancia. En efecto

''( ) 2P q

Podemos notar que la segunda derivada es negativa para cualquier valor de

q , e particular para 50q . Por lo tanto el nivel de produccin que

maximiza la utilidad es 50q y la utilidad mxima es

2

(50) 50 100 50 200

2500 5000 200

$2300

P

14) La utilidad marginal por la venta de x cientos de artculos de un producto es 2'( ) 4 6 3P x x x , y la utilidad cuando ningn artculo se vende es de -

$40. Encuentra la funcin de utilidad.

Solucin:

Recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la funcin utilidad ( )P x .

Entonces,

2 6 43dP

xdx

x

y por tanto, ( )P x debe ser la antiderivada de dP

dx, as

2 3 2 3 23 6( ) ( 4) 4 3 43 2

3 6dP

P x dx x x x C x x x Cdx

x x


El valor de C se determina por el hecho de que (0) 40P . En particular,

40 (0)P

3 2

40 0 3 0 4 0 C

40C


3 2( ) 3 4 40P x x x x

15) Si el costo marginal mensual por un producto es '( ) 2 110 2800C x x x ,

Encuentre la funcin del costo total, si el costo fijo es de $5000.

Solucin:


Entonces,

2 110 2800dC

x xdx

y por tanto, ( )C x debe ser la antiderivada de dC

dx, as

32110( ) ( ) 2800

3 2

2 110 2800dC x

C x dx x x kdx

x x

3255 2800

3

xx x k



El valor de k se determina por el hecho de que Costo fijo (0) 5000C . En

particular,

5000 (0)C

320

5000 55 0 2800 03

k

5000k

De aqu, la funcin del costo total es

32( ) 55 2800 5000

3

xC x x x

16) Si el ingreso marginal mensual por un producto es '( ) 1,5 30R x x ,

Encuentre la funcin del ingreso total.

Solucin:

Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la funcin ingreso ( )R x .

Entonces,

1.5 30dR

xdx

y por tanto, ( )R x debe ser la antiderivada de dR

dx, as

2 21.5( ) ( 1.5 30) 30 0.75 302

dRR x x dx x x C x x C

dx


El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0R . En particular,

0 (0)R

2

0 0.75 0 30 0 C

0C

De aqu, la funcin del ingreso es

2( ) 0.75 30R x x x

TECNICAS DE INTEGRACION

I. SUSTITUCION ALGEBRAICA O CAMBIO DE VARIABLE.

En esta seccin estudiaremos una tcnica para integrar funciones compuestas, la cual

es el cambio de variable.

PRIMITIVA DE UNA FUNCION COMPUESTA

Sea g una funcin compuesta cuyo recorrido es un intervalo I , y sea f una

funcin continua en I . Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de

f en I , entonces

( ) '( ) ( )f g x g x dx F g x C

Si ( )u g x , entonces '( )du g x dx y

( ) '( ) ( )f g x g x dx f u du F u C

ESTRATEGIA PARA EL CAMBIO DE VARIABLE

1. Elegir una sustitucin ( )u g x . En general, conviene elegir la parte interna de

alguna funcin compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia.

2. Hallar '( )du g x dx .

3. Reescribir la integral dada en trminos de u .

4. Hallar la resultante en u .

5. Sustituir u por ( )g x para obtener la primitiva en trminos de x .

6. Verificar la respuesta por derivacin (opcional).


1) Hallar 2sin 3 cos3x xdx

Solucin:

En primer lugar, sea sin3u x . Su diferencial es 3cos3du xdx . Ahora, puesto

que cos3xdx es parte de la integral dada, podemos escribir

cos33

duxdx

Finalmente sustituyendo u y 3

du en la integral dada se obtiene

2 2sin 3 cos3 integral en trminos de 3

dux xdx u u

21

3u du

31primitiva en trminos de

3 3

uC u

31

9u C

31

sin39

x C

31 sin 3 primitiva en trminos de 9

x C x

2) Hallar 1 xe dx

Solucin:

En primer lugar, sea 1u x . Su diferencial es du dx . Ahora, puesto que

dx es parte de la integral dada, podemos escribir

dx du

Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene

1 integral en trminos de x ue dx e du u

ue du

primitiva en trminos de ue C u

1 primitiva en trminos de xe C x

3) Hallar ( )nax b dx

Solucin:

Hgase el siguiente cambio de variable,

1u ax b du adx dx du

a

Reemplazando en la integral dada, se tiene

1 11 1 1 1 ( )( )

1 1

n nn n n u ax bax b dx u du u du C C

a a a n a n

4) Hallar ( )

dx

ax b

Solucin:



a


1 1 1 1 1ln ln

( )

dx dudu u C ax b C

ax b u a a u a a

5) Hallar ax be dx

Solucin:



a


1 1 1 1ax b u u u ax be dx e du e du e C e Ca a a a

6) Hallar sin( )ax b dx

Solucin:



a


1 1 1 1sin( ) sin sin cos cos( )ax b dx u du udu u C ax b C

a a a a

7) Hallar cos( )ax b dx

Solucin:



a


1 1 1 1cos( ) cos cos sin sin( )ax b dx u du udu u C ax b C

a a a a

8) Hallar 5

2 5x dx

Solucin:

Por el ejercicio 3) se tiene,

6 6

5 1 (2 5) (2 5)2 5

2 6 12

x xx dx C C

9) Hallar 2 1x dx

Solucin:


1/2 1 3/21/2 1 (3 1) 1 (3 1)3 1 (3 1)

3 1/ 2 1 3 3 / 2

x xx dx x dx C C

3/22

(3 1)9

x C

10) Hallar cos(7 3)x dx

Solucin:


1cos(7 3) sin(7 3)

7x dx x C

11) Hallar 2 1x x dx

Solucin:

En primer lugar, sea 2 1u x . Su diferencial es 2du dx , de aqu 2

dudx .

Como el integrando contiene el factor x , hemos de expresar x en trminos de

u , as

12 1

2

uu x x

Ahora sustituyendo, se obtiene

1/2 3/2 1/21 1 12 1 12 2 4 4

u dux x dx u u u du u u du

5/2 3/2 5/2 3/21 1 2 1 2

4 5 / 2 3 / 2 4 5 4 3

u u u uC C

5/2 3/21 1

2 1 2 110 6

x x C

12) Hallar 4

5

2

1

xdx

x

Solucin:

En primer lugar, sea 5 1u x . Su diferencial es 45du x dx . Ahora, puesto

que dx es parte de la integral dada, podemos escribir

45

dudx

x


du

x en la integral dada se obtiene

4 4

5

5 4

2 2 2 2 2ln ln 1

5 5 51 5

x x du dudx u C x C

u ux x

13) Hallar

2

23 5

xdx

x

Solucin:


que 2x dx es parte de la integral dada, podemos escribir

2

3

dux dx



22 2

2 2 2 23 3

1 1 1 1

3 3 35 5

x du dudx x dx u du

u ux x

1

3

1 1 1 1 1

3 1 3 3 5

uC C C

u x

14) Hallar 3/4

2 3 1x x dx

Solucin:


que 2x dx es parte de la integral dada, podemos escribir

2

3

dux dx



3/4 3/4

2 3 3 2 3/4 3/411 13 3

dux x dx x x dx u u du

7/4 7/4

7/4 31 4 4 13 7 / 4 21 21

uC u C x C

15) Hallar 12

21 2 5x x x dx

Solucin:

En primer lugar, sea 2 2 5u x x . Su diferencial es

2 2 2 1du x dx x dx . Ahora, puesto que 1x dx es parte de la

integral dada, podemos escribir

12

dux dx



12 12

2 2 12 1211 2 5 2 5 12 2

dux x x dx x x x dx u u du

13 13

13 21 1 1 2 52 13 26 26

uC u C x x C

16) Hallar 2 12 xxe dx

Solucin:

En primer lugar, sea 2 1u x . Su diferencial es 2du xdx .

Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene 2 2 21 1 12 2x x u u xxe dx e xdx e du e C e C

17) Hallar 323 1 x xx e dx

Solucin:

En primer lugar, sea 3u x x . Su diferencial es 23 1du x dx .


3 3 32 23 1 3 1x x x x u u x xx e dx e x dx e du e C e C

18) Hallar 3

4 2

10 5

6

x xdx

x x

Solucin:


3 34 2 2 2du x x dx x x dx . Ahora, puesto que dx es parte de la integral dada, podemos escribir

32 2du

dxx x

Finalmente sustituyendo u y 32 2

du

x x en la integral dada se obtiene

3 33

34 2 4 2

5 2 210 5 55

22 26 6

x x x xx x du dudx dx

u ux xx x x x

1/2 1/2

1/2 1/2 4 25 5 5 5 62 2 1/ 2

uu du C u C x x C

19) Hallar 3 2

3

6 5

xdx

x x

Solucin:


2 6 2 3du x dx x dx . Ahora, puesto que dx es parte de la integral

dada, podemos escribir

2 3du

dxx

Finalmente sustituyendo u y 2 3du


1/3

3 33 2

3 3 1 1

2 3 2 26 5

x x du dudx u du

xu ux x

2/3 2/3

2/3 21 3 5 6 52 2 / 3 4

uC u C x x C

20) Hallar 2

6 3

4 4 1

xdx

x x

Solucin:


8 4 4 2 1du x dx x dx . Ahora, puesto que dx es parte de la integral

dada, podemos escribir

4 2 1du

dxx

Finalmente sustituyendo u y 4 2 1du


2 2

3 2 1 2 16 33

4 2 14 4 1 4 4 1

x xx dudx dx

u xx x x x

23 3 3ln ln 4 4 14 4 4

duu C x x C

u

21) Hallar

2

2

3 3

2 6

xdx

x x

Solucin:


2 2 2 1du x dx x dx . Ahora, puesto que dx es parte de la integral dada,

podemos escribir

2 1du

dxx

Finalmente sustituyendo u y 2 1du


2

2 2 2 22 2

3 1 13 3 3 33

2 1 2 22 6 2 6

x xx du dudx dx u du

x uux x x x

1

2

3 3 1 3 1

4 1 4 4 2 6

uC C C

u x x

22) Hallar 3 4 3

xdx

x

Solucin:

En primer lugar, sea 4 3u x , de donde 3du dx , de aqu 3

dudx . Como

el integrando contiene el factor x , hemos de expresar x en trminos de u , as

44 3

3

uu x x


3 3 3 3

4

4 1 43

3 3 94 3 3

u

x du u du udx du

x u u u

4/3 7/3

1/3 1/3 4/31 1 14 4 49 9 4 4 / 3 7 / 3

u uu u du u u du C

7/3

4/3 7/34/31 1 3 3 33 4 3 4 34 4 7 4 28

uu C x x C

23) Hallar

1

1dx

x x

Solucin:

En primer lugar, sea 1u x . Su diferencial es 2

dxdu

x . Ahora, puesto que


2dx xdu

Finalmente sustituyendo u y xdu en la integral dada se obtiene

1 1 2 2 2ln 2ln 1

1

dudx xdu u C x C

ux ux x

24) Hallar 2

2

2 ln( 1)

1

x xdx

x

Solucin:

En primer lugar, sea 2ln( 1)u x . Su diferencial es 2

2

1

xdxdu

x

.


2

22 2

2

2 2

12 ln( 1) 2ln( 1)

2 21 1

xx x x udx x dx udu C C

x x

25) Hallar

2/3

2

1 11 dx

xx

Solucin:

En primer lugar, sea 1

1ux

. Su diferencial es 2

dxdu

x . Ahora, puesto que


2dx x du

Finalmente sustituyendo u y 2x du en la integral dada se obtiene

2/3

2/3 2 2/3

2 2

1 1 11 dx u x du u du

xx x

5/3

5/3

13 1

5 / 3 5

u xC C

26) Hallar 1/2

3 24x x dx

Solucin:

En primer lugar, sea 24u x , de donde 2du xdx , de aqu

2

dudx

x .


1/2 1/23 2 3 2 1/214

2 2

dux x dx x u x u du

x

Como el integrando contiene el factor 2x , debemos de expresar 2x en trminos

de u , as

2 24 4u x x u

Finalmente reemplazando 2x en la ltima integral, se tiene

1/2

3 2 2 1/2 1/2 1/21 1 14 42 2 2

x x dx x u du u u du

1/2 3/21/2 3/21 1 24 8

2 1/ 2 3 / 2 2 3

u uC u u C

1/2 3/2

1/2 3/2 2 21 14 4 4 43 3

u u C x x C

27) Hallar 3/2

1/3 2/3 1x x dx

Solucin:

En primer lugar, sea 2/3 1u x , de donde 1/3

2

3du x dx , de aqu

1/33

2dx x du .


3/2 3/21/3 2/3 1/3 1/3 1/3 3/2 1/3 2/3 3/23 3 31

2 2 2x x dx x u x du x u x du x u du

Como el integrando contiene el factor 2/3x , debemos de expresar 2/3x en

trminos de u , as

2/3 2/31 1u x x u

Finalmente reemplazando 2/3x en la ltima integral, se tiene

3/2

1/3 2/3 2/3 3/2 3/2 5/2 3/23 3 31 12 2 2

x x dx x u du u u du u u du

7/2 5/27/2 5/23 3 2 2

2 7 / 2 5 / 2 2 7 5

u uC u u C

7/2 5/2

7/2 5/2 2/3 2/33 3 3 31 17 5 7 5u u C x x C

28) Hallar 2

2 1x xe e dx

Solucin:

En primer lugar, sea 1xu e , de donde xdu e dx , de aqu xdx e du . Ahora sustituyendo, se obtiene

2 22 2 21x x x x xe e dx e u e du e u du

Como el integrando contiene el factor

xe , debemos de expresar xe en trminos

de u , as

1 1x xu e e u

Finalmente reemplazando xe en la ltima integral, se tiene

2

2 2 2 3 21 1x x xe e dx e u du u u du u u du

4 3 4 31 1

1 14 3 4 3

x xu u C e e C

29) Hallar 2

1

x

x

edx

e

Solucin:

En primer lugar, sea 1xu e , de donde xdu e dx , de aqu xdx e du . Ahora sustituyendo, se obtiene

2 2

1

x x xx

x

e e edx e du du

u ue

Como el integrando contiene el factor xe , debemos de expresar xe en trminos

de u , as

1 1x xu e e u

Finalmente reemplazando xe en la ltima integral, se tiene

2 1 11

1

x x

x

e e udx du du du

u u ue

ln 1 ln 1x xu u C e e C

30) Hallar 2

sin 2

1 cos

xdx

x

Solucin:

En primer lugar, sea 21 cosu x . Su diferencial es 2cos sindu x xdx , de

aqu 2cos sinx xdx du .


2 2 2

sin 2 2sin cos 12sin cos

1 cos 1 cos 1 cos

x x xdx dx x xdx

x x x

21 1 ln ln 1 cosdu du u C x Cu u

31) Hallar 2

3 2( )

t dt

a bt

Solucin:

En primer lugar, sea 3u a bt . Su diferencial es 23du bt dt , de aqu

2

3

dut dt

b .


du

b en la integral dada se obtiene

22 2

2 2 23 3

1 1 1

3 3( )

t dt dut dx u du

b bua bt a bt

1 11 31 1 1

3 1 3 3

uC u C a bt C

b b b

32) Hallar sin

cos

x

x

e xdx

e x

Solucin:

En primer lugar, sea cosxu e x . Su diferencial es sinxdu e x dx . Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene

sin 1 1sincos cos

xx

x x

e xdx e x dx du

ue x e x

1/2 1/2

1/2 2 cos1/ 2

xuu du C e x C

33) Hallar arctan

21

xedx

x

Solucin:

Hgase el siguiente cambio de variable

2arctan

1

dxu x du

x


arctanarctan

21

xu u xe dx e du e C e C

x

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Se estima que el precio p (dlares) de cada unidad de un cierto artculo cambia

a una tasa de

2

135

9

dp x

dx x

Donde x (cientos) de unidades es la demanda del consumidor (el nmero de

unidades compradas a ese precio). Suponga que se demandan 400 unidades (

4x ) cuando el precio es de $30 por unidad.

a) Determine la funcin de la demanda

b) A qu precio se demandaran 300 unidades? A qu precio no se demandara

ninguna unidad?

c) cuntas unidades se demandaran a un precio $20 por unidad?

Solucin:

a) El precio por unidad demandada ( )p x se determina integrando '( )p x con

respecto a x . Para efectuar esta integracin, se emplea la sustitucin

2 19 , 2 ,2

u x du xdx xdx du ,

y se obtiene

1/21/2

1/22

135 135 1 135 135( )

2 2 2 1/ 29

x up x dx du u du C

ux

2135 9 x C

Como 30p cuando 4x , se tiene que

230 135 9 4 C

30 135 25 705C

Por tanto

2( ) 135 9 705p x x

b) Cuando se demandan 300 unidades, 3x y el precio correspondiente es

2(3) 135 9 3 705 $132.24p por unidad

No se demanda ninguna unidad cuando 0x y el precio correspondiente es

2(0) 135 9 0 705 $300p por unidad

c) Para determinar el nmero de unidades demandadas a un precio unitario de

$20 , se necesita resolver la ecuacin

2135 9 705 20x

2135 9 685x

2 6859135

x

29 25.75x

2 16.75x 4.09x

Es decir, se demandaran aproximadamente 409 unidades cuando el precio

sea de $20 por unidad.

2) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Se trasplant un rbol y despus de x aos

este creca a una tasa de

2

11

1x

metros por ao. Despus de 2 aos el rbol

alcanz una altura de 5 metros. Qu altura tena cuando se trasplant?

Solucin:

La altura del rbol, ( )h x , se determina integrando

2

1'( ) 1

1h x

x

con

respecto a x . As

2 2 2

1( ) '( ) 1

1 1 1

dx dxh x h x dx dx dx x

x x x

Para efectuar esta integracin, se emplea la sustitucin (al segundo miembro del

lado derecho)

1,u x du dx ,

y se obtiene

12

2 2( )

11

dx du uh x x x x u du x C

x u

1 1

1x C x C

u x

El valor de C se determina por el hecho de que (2) 5h . As,

5 (2)h

15 2

2 1C

15 2

3C

55

3C

10

3C

De aqu,

1 10( )

1 3h x x

x

Por lo tanto, la atura del rbol cuando este se trasplant es

1 10 10 7(0) 0 1

0 1 3 3 3h m

3) VENTAS AL MENUDEO. En cierta seccin del pas, se estima que dentro de t

semanas, el precio del pollo crecer a una tasa de '( ) 3 1p t t centavos por

kilogramo por semana. Si actualmente el pollo cuesta $3 por kilogramo, cunto

costar dentro de 8 semanas?

Solucin:

El precio del pollo , ( )p x , se determina integrando '( ) 3 1p t t con respecto

a t . As

( ) '( ) 3 1p t p t dt t dt

Para efectuar esta integracin, se emplea la sustitucin

1 ,u t du dt

y se obtiene

3/21/2( ) 3 1 3 3 3

3 / 2

up t t dt u dt u du C

3/23/22 2 1u C t C

Por dato del problema, 300p (pues el precio est dado en centavos) cuando

0t , as se tiene

300 (0)p

3/2

300 2 0 1 C

300 2 C

298C

De aqu,

3/2

( ) 2 1 298p t t

Por lo tanto, el precio del pollo despus de 8 semanas es

3/2 3/2

(8) 2 8 1 298 2 9 298 2 27 298

352centavos $3.52

p

4) INGRESO. El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artculo

se estima que ser 20.01'( ) 50 3.5 xR x xe dlares por unidad, donde ( )R x es el

ingreso en dlares.

a) Determine ( )R x , suponiendo que (0) 0R .

b) Qu ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?

Solucin:

a) El ingreso ( )R x se determina integrando '( )R x con respecto a x . As

2 20.01 0.01( ) '( ) 50 3.5 50 3.5x xR x R x dx xe dx dx xe dx

20.0150 3.5 xx xe dx

Para integrar el segundo miembro del lado derecho, se emplea la sustitucin

20.01 , 0.020.02

duu x du xdx xdx ,

y se obtiene

2 2

2

0.01 0.01

0.01

( ) 50 3.5 50 3.5 50 3.50.02

3.550 50 175 50 175

0.02

x x u

u u x

duR x x xe dx x e xdx x e

x e du x e C x e C

El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0R . As,

0 (0)R

2

0.01 00 50 0 175e C

0 175 C

175C

Por tanto 20.01( ) 50 175 175xR x x e

b) El ingreso por la venta de 1000 unidades es

2

0.01 1000(1000) 50 1000 175 175

$50175

R e

5) CONTAMINACION DEL AGUA. Un derrame de petrleo en el ocano tiene

una forma aproximadamente circular, con radio ( )R t pies, t minutos despus

del inicio del derrame. E radio crece a una tasa de

21'( ) pies/min

0.07 5R t

t

a) Determine una expresin para el radio ( )R t , suponiendo que 0R cuando

0t .

b) Cul es el rea 2A R del derrame despus de 1 hora?

Solucin:

a) El radio ( )R t se determina integrando '( )R t con respecto a t . As

21( ) '( )

0.07 5R t R t dt dt

t

Para realizar a integracin, se emplea la sustitucin

0.07 5, 0.070.07

duu t du dt dt ,

y se obtiene

21 1 21( ) 21

0.07 5 0.07 0.07

300ln 300ln 0.07 5

du duR t dt

t u u

u C t C

El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0R . As,

0 (0)R

0 300ln 0.07 0 5 C

0 300ln 5 C

482.83C

Por tanto

( ) 300ln 0.07 5 482.83R t t

b) La funcin rea es

22

( ) ( ) 300ln 0.07 5 482.83A t R t t

As el rea del derrame despus de una hora (60 minutos) es

2

(60) 300ln 0.07 60 5 482.83A

24144581.89 pies

6) CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO. La concentracin ( )C t en

miligramos por centmetro cbico (mg/cm3) de un medicamento en el torrente

sanguneo de un paciente es de 0.5mg/cm3 inmediatamente despus de una

inyeccin y t minutos ms tarde disminuye a la tasa de

0.01

20.01

0.01'( )

1

t

t

eC t

e

mg/cm3 por minuto.

Se aplica una nueva inyeccin cuando la concentracin es menor que 0.05

mg/cm3.

a) Determine una expresin para ( )C t .

b) Cul es la concentracin despus de 1 hora?

Solucin:

a) El concentracin ( )C t se determina integrando '( )C t con respecto a t . As

0.01

20.01

0.01( ) '( )

1

t

t

eC t C t dt dt

e


0.01 0.01, 0.01t tu e du e dt ,

y se obtiene

0.010.01

2 2 20.01 0.01

12

0.01

0.01 1 1( ) 0.01

1 1

1 1

1 1

tt

t t

t

eC t dt e dt du

ue e

uu du C C C

u e

Por dato del problema, 0.5C cuando 0t , as se tiene

0.5 (0)R

0.01 0

10.5

1C

e

10.5

2C

0C

Por tanto

0.01

1( )

1tC t

e

b) La concentracin despus de una hora (60 minutos) es

3

0.01 60

1(60) 0.354 mg/cm

1C

e

7) VALOR DE LA TIERRA. Se estima que dentro de t aos, el valor ( )V t de una

hectrea de tierra cultivable crecer a una tasa de

3

4

0.4'( )

0.2 8000

tV t

t

dlares por ao. Actualmente la tierra vale $500 por hectrea.

a) Determine ( )V t

b) Cunto valdr la tierra dentro de 10 aos?

Solucin:

a) El valor ( )V t se determina integrando '( )V t con respecto a t . As

3

4

0.4( ) '( )

0.2 8000

tV t V t dt dt

t


4 3 30.2 8000, 0.8 ,0.8

duu t du t dt t dt ,

y se obtiene 3

3

4 4

0.4 1 1( ) 0.4 0.4

0.80.2 8000 0.2 8000

t duV t dt t dt

ut t

1/2

1/2 1/20.4 1 1

0.8 2 2 1/ 2

du uu du C u C

u

40.2 8000t C

Por dato del problema, 500V cuando 0t , as se tiene

500 (0)V

4

500 0.2 0 8000 C

500 8000 C 410.55C

Por tanto

4( ) 0.2 8000 410.55V t t

b) El valor de la tierra dentro de 10 aos ser

4

(10) 0.2 10 8000 410.55 $510.55V

8) CONTAMINACION DEL AIRE. En cierto suburbio de Lima, el nivel de ozono

( )L t a las 7:00 a.m. es de 0.25 partes por milln (ppm). Una prediccin del

clima anticipa que el nivel de ozono t horas ms tarde cambiar a una tasa de

2

0.24 0.03'( )

36 16

tL t

t t

partes por milln por hora (ppm/h).

a) Exprese el nivel de ozono ( )L t como una funcin de t .

b) Cundo ocurre el nivel mximo de ozono? Cul es el nivel mximo?

Solucin:

a) El nivel de ozono ( )L t se determina integrando '( )L t con respecto a t . As

2

0.24 0.03( ) '( )

36 16

tL t L t dt dt

t t


236 16 , 16 2 2(8 ) , (8 )2

duu t t du t dt t dt t dt ,

y se obtiene

2 2 2

0.24 0.03 0.03(8 ) 1( ) 0.03 8

36 16 36 16 36 16

t tL t dt dt t dt

t t t t t t

1/21/2 1/21 0.03 0.030.03 0.03

2 2 2 1/ 2

du uu du C u C

u

20.03 36 16t t C

Por dato del problema, 0.25L cuando 0t (pues las 7:00 a.m. es la hora de

inicio), as se tiene

0.25 (0)L

2

0.25 0.03 36 16 0 0 C

0.25 0.03 36 C

0.07C Por tanto

2( ) 0.03 36 16 0.07L t t t

b) Para determinar cuando ocurre el nivel mximo de ozono, se debe de igualar

la tasa de variacin de ozono a cero, es decir

2

0.24 0.03 0.24'( ) 0 0 0.24 0.03 0 8

0.0336 16

tL t t t

t t

Para verificar si justamente el valor hallado proporciona el nivel mximo de

ozono, se hace uso del criterio de la segunda derivada, as necesitamos

calcular la segunda derivada de ( )L t y reemplazar 8t en ella, si el valor

de la segunda derivada es negativa entonces en 8t se alcanza el nivel

mximo de ozono y este nivel mximo se determina reemplazando 8t en

( )L t . En efecto

32

3''( )

16 36

L t

t t

Reemplazando 8t en ''( )L t , se tiene

3

2

3''(8) 0.003

8 16 8 36

L

Por lo tanto el nivel mximo de ozono ocurre cuando 8t , es decir a las 3

p.m. As el nivel mximo de ozono es

2

(8) 0.06 36 16 8 8 0.11 0.49 ppmL

9) OFERTA. El propietario de una cadena de comida rpida determina que si se

ofertan x miles de unidades de una nueva comida el precio marginal a ese nivel

de oferta estar dado por

2

'( )3

xp x

x

dlares por unidad, donde ( )p x es el precio (en dlares) por unidad a la cual

todas las x unidades se vendern. Actualmente, se ofertan 5000 unidades a un

precio de $2.20 por unidad.

a) Determine la funcin de oferta ( )p x (precio).

b) Si se ofertan 10000 alimentos a restaurantes en la cadena, Qu precio

unitario se deber cobrar para que se vendan todas las unidades?

Solucin:

a) El precio ( )p x se determina integrando '( )p x con respecto a x . As

2

( ) '( )3

xp x p x dx dx

x


3, ,u x du dx

y se obtiene

2 2

( )3

x xp x dx du

x u

Como el integrando contiene el factor x , debemos de expresar x en

trminos de u , as

3 3u x x u Finalmente reemplazando 3u en la ltima integral, se tiene

2

2 2 2

1

3 1 3 1 3( ) ln 3

3 3ln 3 ln ln 3

1 3

up x du du du du u u du

u uu u u

uu C u C x C

u x

Por dato del problema, 2.20p cuando 5x , as se tiene

2.20 (5)p

3

5 ln 5 35 3

C

3

5 ln 88

C

2.545C

Por tanto

3

( ) ln 3 2.5453

p x xx

b) El precio que se debe cobrar par que se vendan 10000 ( 10x ) alimentos es

3

(10) ln 10 3 2.54510 3

p

3ln 13 2.545 $5.34

13

II. POR PARTES

En esta seccin estudiaremos una tcnica muy importante de integracin, llamada

integracin por partes. Esta tcnica puede aplicarse a una amplia variedad de

integrales y es particularmente eficaz para integrandos donde aparecen productos de

funciones algbricas y trascendentes. Por ejemplo, funciona muy bien para resolver

integrales como 2ln , , sinx xx xdx x e dx e xdx

La integracin por partes se basa en la frmula de la derivada de un producto

' 'd dv du

uv u v uv vudx dx dx

Donde u y v son funciones derivables de x . Si 'u y 'v son continuas, podemos

integrar ambos lados para llegar al resultado

' 'uv uv dx vu dx

udv vdu

Reescribiendo esta ecuacin se obtiene el siguiente teorema.

TEOREMA:

Si u y v son funciones de x con derivadas continuas, entonces

udv uv vdu

Esta frmula expresa la integral original en trminos de otra integral. Dependiendo

de la eleccin de u y de dv , puede ocurrir que la segunda integral sea ms fcil que

la original. Como las elecciones de u y de dv son crticas para la buena marcha del

mtodo, damos unas indicaciones sobre como proceder

ESTRATEGIA PARA INTEGRAR POR PARTES

1. Para el clculo de la integral ( )f x dx , donde el integrando, ( )f x , es de la

forma mostrada abajo, se escoge u y dv como sigue:

a) Si ( ) ( ) ( );x xf x p x e u p x dv e dx

b) Si ( ) ( )ln( ) ln( ); ( )f x p x x u x dv p x dx

c) Si ( ) ( ) sin ,cos ( ); sin ,cosf x p x x x u p x dv x x dx

d) Si ( ) sin ,cos sin ,cos ;x xf x e x x u x x dv e dx

2. Intente tomar como dv la porcin ms complicada del integrando que se ajuste

a una regla bsica de integracin y como u el factor restante del integrando

3. Intente tomar como u la porcin del integrando cuya derivada es una funcin

ms simple que u y como dv el factor restante del integrando.


Calcular las siguientes integrales

1) xxe dx

Solucin:

Segn la estrategia 1. a), se elige u y dv como sigue

x xx

du dxu x

v e dx edv e dx

Se sabe que

udv uv vdu

As x x x x xxe dx xe e dx xe e C

2) 2 lnx xdx

Solucin:

Segn la estrategia 1. b), se elige u y dv como sigue

2 32

ln( )

3

dxdu

u x x

dv x dx xv x dx

Se sabe que

udv uv vdu

As

3 3 3 3 32 21ln ln( ) ln( ) ln( )

3 3 3 3 3 9

x x dx x x xx xdx x x x dx x C

x

3) sinx xdx

Solucin:

Segn la estrategia 1. c), se elige u y dv como sigue

sin cossin

du dxu x

v xdx xdv xdx

Se sabe que

udv uv vdu

As

sin cos cos cos cos cos sinx xdx x x xdx x x xdx x x x C

4) cosxe xdx

Solucin:

Segn la estrategia 1. d), se elige u y dv como sigue

sincos

x xx

du xdxu x

v e dx edv e dx

Se sabe que

udv uv vdu

As

cos cos( ) ( sin ) cos( ) sinx x x x xe xdx x e e xdx x e e xdx

Para la segunda integral del lado derecho, apliquemos nuevamente integracin

por partes, as haciendo

cossin

x xx

du xdxu x

v e dx edv e dx

Se tiene

cos cos( ) sin cos( ) sin( ) cosx x x x x xe xdx x e e xdx x e x e e xdx por lo tanto

cos cos cos( ) sin( )x x x xe xdx e xdx x e x e

2 cos cos( ) sin( )x x xe xdx x e x e

cos( ) sin( )cos

2

x xx x e x ee xdx C

5) Hallar (1 ln )xe x x

dxx

Solucin:

En primer lugar separemos las integrales, es decir

(1 ln )ln

x xxe x x edx dx e xdx

x x

Para la segunda integral del lado derecho apliquemos la tcnica de integracin

por partes. Elijamos u y dv como sigue

1ln

xx x

du dxu xx

dv e dxv e dx e

As,

(1 ln ) 1ln ln( )

x x xx x xe x x e edx dx e xdx dx x e e dx

x x x x

ln( )xe x C

6) ln(sin )cosx xdx

Solucin:

Se elige u y dv como sigue

cosln(sin )

sincos

cos sin

xdu dxu x

xdv xdx

v xdx x

Se sabe que

udv uv vdu

As

cosln(sin )cos ln(sin )sin sin ln(sin )sin cos

sin

xx xdx x x x dx x x xdx

x

sin ln(sin ) sinx x x C

7) 2 3(2 1) xx e dx

Solucin:


2 32 3 2 3

22 1

2

xx x

du dxu x

edv e dx v e dx

Se sabe que

udv uv vdu

As

2 3 2 3 2 32 3 2 3(2 1) (2 1) 2 (2 1)

2 2 2

x x xx xe e ex e dx x dx x e dx

2 3 2 3

(2 1)2 2

x xe ex C

8) (3 2)ln(5 )x x dx

Solucin:


2

ln(5 )

(3 2)(3 2) 3 2

2

dxdu

u x x

dv x dx xv x dx x

Se sabe que

udv uv vdu

As

2 2

(3 2)ln(5 ) ln(5 ) 3 2 3 22 2

x x dxx x dx x x x

x

2

ln(5 ) 3 2 3 22 2

x xx x dx

2 23 3ln(5 ) 2 2

2 4

x xx x x C

9) ln(5 )x dx

Solucin:


ln(5 )dx

duu xx

dv dxv dx x

Se sabe que

udv uv vdu

As

ln(5 ) ln(5 ) ln(5 ) ln(5 )dx

x dx x x x x x dx x x x Cx

10) 2ln (5 )x dx

Solucin:


2 2ln(5 )ln (5 )dx

du xu xx

dv dxv dx x

Se sabe que

udv uv vdu

As

(3 2)ln(5 ) ln(5 ) 2 ln(5) ln(5 ) 2 ln(5 )dx

x x dx x x x x x x dxx

ln(5 ) 2 ln(5 )x x x x x C

ln(5 ) 2 ln(5 ) 2x x x x x C

11) 3(2 2 )ln( )x x x dx

Solucin:


3 4 2 43 2

ln

(2 2 )(2 2 ) 2 2

4 2 2

dxdu

u x x

dv x x dx x x xv x x dx x

As aplicando la frmula de integracin por partes, se tiene

4 43 2 2(2 2 )ln( ) ln

2 2

x x dxx x x dx x x x

x

4 32 ln

2 2

x xx x x dx

4 4 22 ln

2 8 2

x x xx x C

12) 2( 3 1)sin( )x x x dx

Solucin:


2 (2 3)3 1

sin cossin

du x dxu x x

v xdx xdv xdx

As aplicando la frmula de integracin por partes, se tiene 2 2( 3 1)sin( ) ( 3 1)cos( ) ( cos )(2 3)x x x dx x x x x x dx

2( 3 1)cos( ) (2 3)cos (1)x x x x xdx

Para la segunda integral del lado derecho, (2 3)cosx xdx , apliquemos

nuevamente integracin por partes, as haciendo

22 3

cos sincos

du dxu x

v xdx xdv xdx

y usando la frmula de integracin por partes, se tiene

(2 3)cos (2 3)sin sin (2 ) (2 3)sin 2 sinx xdx x x x dx x x xdx

(2 3)sin 2cos (2)x x x C

Reemplazando (2) en (1), resulta 2 2( 3 1)sin( ) ( 3 1)cos( ) (2 3)cosx x x dx x x x x xdx

2( 3 1)cos( ) (2 3)sin 2cosx x x x x x C

13) 2(2 3 2) xx x e dx

Solucin:


2 (4 3)2 3 2x xx

du x dxu x x

v e dx edv e dx

As aplicando la frmula de integracin por partes, se tiene 2 2(2 3 2) (2 3 2) (4 3) (1)x x xx x e dx x x e e x dx

Para la segunda integral del lado derecho, (4 3)xe x dx , apliquemos

nuevamente integracin por partes, as haciendo

44 3

x xx

du dxu x

v e dx edv e dx


(4 3) (4 3) (4 ) (4 3) 4x x x x xe x dx x e e dx x e e dx

(4 3) 4 (2)x xx e e C

Reemplazando (2) en (1), resulta 2 2(2 3 2) (2 3 2) (4 3)x x xx x e dx x x e e x dx

2(2 3 2) (4 3) 4x x xx x e x e e C

2(2 3 2) (4 3) 4x x xx x e x e e C

2(2 1) xx x e C

14) xe dx

Solucin:

Aplique primero un cambio de variable, as haciendo

22mdm dx

m xm x

Se tiene

2 2x m me dx e mdm me dm

Aplique ahora integracin por partes, as tomando u y dv como sigue

m mm

du dmu m

v e dx edv e dx


2 2 2 2 2 2x m m m m m x xe dx me dm me e dm me e C xe e C

15) 2ln( 1 )x x dx

Solucin:


22ln( 1 ) 1

dxdu

u x xx

dv dxv dx x


2 22

ln( 1 ) ln 1 (1)1

dxx x dx x x x x

x

Para la segunda integral del lado derecho, 21

xdx

x , apliquemos la tcnica del

cambio de variable, as haciendo

2 22

2 21

1

udu xdx xdx uduu x

u x

se tiene

2

21 (2)

1

xdx ududu u C x C

ux

Reemplazando (2) en (1), resulta

2 22

ln( 1 ) ln 11

dxx x dx x x x x

x

2 2ln 1 1x x x x C 2 2ln 1 1x x x x C

16) arcsin xdx

Solucin:


2arcsin 1

dxduu x

xdv dx

v dx x


2arcsin (arcsin ) (1)

1

dxxdx x x x

x

Para la segunda integral del lado derecho, 21

xdx

x , apliquemos la tcnica del

cambio de variable, as haciendo

2 22

2 21

1

udu xdx xdx uduu x

u x

se tiene

2

21 (2)

1

xdx ududu u C x C

ux

Reemplazando (2) en (1), resulta

22

arcsin (arcsin ) (arcsin ) 11

dxxdx x x x x x x C

x

2(arcsin ) 1x x x C

17) arctanx xdx

Solucin:


2

2

arctan 1

2

dxdu

u x x

dv xdx xv xdx


2 2 2 2

2 2

1arctan (arctan ) (arctan )

2 2 2 21 1

x x dx x x dxx xdx x x

x x

2 2

2

1 1 1(arctan )

2 2 1

x xx dx

x

2 2

2 2

1 1 1(arctan )

2 2 1 1

x xx dx

x x

2

2

1 1(arctan ) 1

2 2 1

xx dx

x

2

2

1 1(arctan )

2 2 1

xx dx dx

x

2 1

(arctan ) arctan2 2

xx x x C

2 arctan(arctan )

2 2 2

x x xx C

METODO TABULAR

En problemas que exigen sucesivas integraciones por partes, conviene organizar el

trabajo, como indica el siguiente ejemplo. Este mtodo funciona bien en integrales

de los tipos ( ) ax bp x e dx , ( )sin( )p x ax b dx y ( )cos( )p x ax b dx

Ejemplos:

Calcular las siguientes integrales

1) 2(2 3 2) xx x e dx

Solucin:

Como de costumbre empiece haciendo 22 3 2u x x y xdv e dx . A

continuacin elabore una tabla de tres columnas como sigue.

Signos

alternados

u

y sus derivadas dv y sus

antiderivadas

22 3 2x x xe

4 3x xe

4 xe

0 xe

Derivar hasta

obtener una

derivada nula

La solucin se obtiene multiplicando las expresiones segn las lneas diagonales

y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. As 2 2(2 3 2) (2 3 2) (4 3) 4x x x xx x e dx x x e x e e C

2(2 1) xx x e C

NOTA: el ejercicio que se acaba de desarrollar, es el ejercicio 13 de esta seccin,

compare ambos procedimientos.

2) 2( 3 1)sin( )x x x dx

Solucin:

Como de costumbre empiece haciendo 2 3 1u x x y sindv xdx . A


Signos

alternados

u


antiderivadas

2 3 1x x sin x

2 3x cos x

2 sin x

0 cos x

Derivar hasta

obtener una

derivada nula


y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. As 2 2( 3 1)sin( ) ( 3 1)( cos ) (2 3)( sin ) 2cosx x x dx x x x x x x C

2( 3 1)cos (2 3)sin 2cosx x x x x x C

NOTA: el ejercicio que se acaba de desarrollar, es el ejercicio 12 de esta seccin,

compare ambos procedimientos.

3) 3(3 2 1)cos(2 )x x x dx

Solucin:

Como de costumbre empiece haciendo 33 2 1u x x y cos2dv xdx . A


Signos

alternados

u


antiderivadas

33 2 1x x cos2x

29 2x sin 2

2

x

18x cos2

4

x

18 sin 2

8

x

0 cos2

16

x

Derivar hasta

obtener una

derivada nula


y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. As

3 3 2sin 2 cos2(3 2 1)cos(2 ) (3 2 1) (9 2)2 4

x xx x x dx x x x

sin 2 cos218 18

8 16

x xx C

3 23 2 1 9 2 9 9sin 2 cos2 sin 2 cos2

2 4 4 8

x x x xx x x x C

4) 4 3 2(2 2 ) xx x e dx

Solucin:

Como de costumbre empiece haciendo 42 2u x x y 3 2xdv e dx . A


Signos

alternados

u


antiderivadas

42 2x x 3 2xe

38 2x 3 2

3

xe

224x

3 2

9

xe

48x 3 2

27

xe

48 3 2

81

xe

0 3 2

243

xe


y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. As

3 2 3 2 3 24 3 2 4 3 2(2 2 ) (2 2 ) (8 2) 24

3 9 27

x x xx e e ex x e dx x x x x

3 2 3 2

48 4881 243

x xe ex C

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