U5 4to CJSF 2020

Unidad No. 5: Funciones trigonométricas

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Armado y diseño de la Unidad: Prof. Andrea Gandolfi

Apuntes y videos tutoriales: http://acgandolfi.wix.com/matematica

Casa Salesiana

Juan Segundo Fernández

Unidad Nº5

Funciones

Trigonométricas

Nombre: ………………………….………………

4to. Año -2020-

CJSF 4to. Año 2020


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Unidad Nº5: Funciones Trigonométricas

razones trigonométricas Se llaman razones trigonométricas de ángulo agudo de un triángulo rectángulo a los siguientes cocientes:

Uso de la calculadora Colocamos la calculadora en modo DEG

Para calcular cos 35º 25 :

De igual modo obtenemos el seno o la tangente.

Para encontrar el ángulo , sabiendo su seno: ˆ 0, 62sen

De igual modo obtenemos el ángulo conociendo el coseno o la tangente, pulsando y

Ángulos Orientados El ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas que se intersecan en un punto 0, una de las

semirrectas se denomina lado inicial oa

y la otra lado finalob

.

Si consideramos el ángulo situado en el plano coordenadas, de modo tal que el lado inicial coincida con el semieje x positivo, el lado final puede rotar en dos direcciones, si lo hace en sentido anti- horario decimos que el ángulo es positivo y si la rotación es en sentido horario se dice que el ángulo es negativo:

ˆcateto opuesto de ˆ ˆseno de

hipotenusa

sen

hipotenusaˆ ˆcosecante de cos ˆcateto opuesto de

ec

ˆcateto adyacente de ˆ ˆcoseno de cos

hipotenusa

hipotenusaˆ ˆsecante de sec ˆcateto adyacente de

ˆcateto opuesto de ˆ ˆtangente de ˆcateto adyacente de

tg

ˆcateto adyacente de ˆ ˆcotangente de ˆcateto opuesto de

cotg

cos 3 5 5º ' " 2 º ' " =

shift sen 0 2 6 º ' "=

shift shiftcos tan

Ángulo positivo

Ángulo Negativo

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Sistemas de medición de ángulos El sistema de medición de ángulos que se utiliza con mayor frecuencia es el sistema sexagesimal. El ángulo recto mide 90º, el llano mide 180º y el ángulo de un giro mide 360º.

Otro sistema para medir ángulos Para el estudio de las funciones trigonométricas, no resulta práctico utilizar el sistema sexagesimal (grados, minutos y segundos) por este motivo, se buscó una forma de medirlos, el Sistema radial, que sea decimal: cuya unidad de medida es el radián.

1. Realizar la siguiente actividad, (con el link: https://www.geogebra.org/classic/bcdq85tb o escaneando el código QR :

a. Desplazar el punto B de la circunferencia y observar las amplitudes de los ángulos y sus arcos de circunferencias. Recordar que la longitud de una circunferencias es: 2 r

b. Completar la siguiente tabla :

Ángulos Sistemas Sistema Sexagesimal (grados) Sistema Circular o Radial (Radian)

Angulo Nulo

Angulo Recto

Angulo Llano

Angulo de un Giro

2. ¿Cuál es el ángulo, medido en el sistema radial que en el sistema sexagesimal mide 30º?¿y 60º? ¿podrías generalizar una fórmula para medido en grados?

3. Determinar cuál es el ángulo t , medido en el sistema sexagesimal, si en el sistema radial mide3

rad

. ¿y si

mide 4

3rad

?¿podrías generalizar una fórmula para medido en radianes?

El ángulo que mide 1 radian; es el ángulo cuyo arco de circunferencia AB es igual al radio.

Un ángulo medido en radianes es el cociente entre la longitud del arco que lo incluye y el radio de la circunferencia:

ˆlogitud de arco de ˆ=

r

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4. Completar la siguiente tabla:

Grados 60º 120º 135º 150º 225º 270º 300º

Radianes

5. Completar la siguiente tabla:

Grados 125º 15º 375º

Radianes 5

2rad

3 rad 3, 7rad 1rad

Razones Trigonométricas de un ángulo

Si P= ;p px y es un punto del lado terminal de un ángulo agudo cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las x, podemos construir un triangulo rectángulo y definir las razones trigonométricas de la siguiente manera:

Conclusiones: El seno de un ángulo es igual al coseno de su:

6. Completen:

a. El coseno de 30º, es igual al seno de: ……………………

b. En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo de 50º, es igual al coseno del otro ángulo agudo de dicho triángulo, ¿sería el coseno de qué ángulo? ……………….

c. ¿Es posible que ˆ ˆcossena a ? ¿por qué?

ˆ

ˆsen

ˆcos

ˆtg

ˆsen

ˆcos

ˆtg

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ˆ1

ˆcos1

ˆ

pp

pp

p

p

ysen y

xx

ytg

x

Circunferencia Trigonométrica Si consideramos un punto P= ;p px y sobre una circunferencia de radio 1, a la que llamamos circunferencia

trigonométrica o circunferencia unitaria, podemos visualizar gráficamente el seno, coseno y la tangente de un ángulo en un sistema cartesiano.

Como 1r :

El signo de cada razón trigonométrica depende de la ubicación del punto , ; p pp x y en el plano cartesiano.

Primer Cuadrante Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante

7. Realizar la siguiente actividad, (con el link: https://www.geogebra.org/m/huys3s2w o

escaneando el código QR : a. Desplazar el punto de la circunferencia y relacionar las coordenadas según los

cuadrantes y completar.

Signo según el cuadrante Primer Cuadrante Segundo Cuadrante tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante

seno

Coseno

Tangente

8. Responder; a. ¿Cuáles son los valores de los ángulos, medidos en radianes, que se

encuentran entre 0 y 2π, cuyo seno es igual a 0,5? ¿Qué relación tienen dichos ángulos?

Por lo tanto las coordenadas del punto P serian:

;P .

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b. ¿Cuáles son los valores de los ángulos, medidos en radianes, que se encuentran entre 0 y 2π, cuyo coseno es igual a -0,5? ¿Qué relación tienen dichos ángulos?

c. ¿Cuáles son los valores de los ángulos, medidos en radianes, que se

encuentran entre 0 y 2π, cuyo seno es igual a2

2? ¿Qué relación

tienen dichos ángulos?

Generalizando: Si ˆ 1 . er Cuadrante y queremos encontrar los ángulos correspondiéndote a los otros cuadrantes:

Relación Pitagórica: En cualquiera de los triángulos anteriores podemos aplicar el teorema de Pitágoras:

2 22 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ1 cos cos p pop x y sen sen

Por lo tanto:

2 2ˆ ˆcos 1 sen

Si P está en el … 1er cuadrante 2do cuadrante 3er. cuadrante 4to cuadrante

Relación de los ángulos

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Funciones Trigonométricas Si la medida de un ángulo orientado está expresada en radianes, o sea , es un número real, a partir de cada razón trigonométrica se puede definir una función trigonométrica de ese número real t.

Estas funciones son:

coscos sec

f t sent f t t f t tgtf t ect f t t f t cotgt

Gráfico de la función seno Analizamos la función seno a partir del siguiente link: https://www.geogebra.org/m/mwxtncph, o del qr

:Dom Im : Completar la siguiente tabla con los valores correspondientes:

Período de las funciones. ¿A partir de qué ángulo se comienzan a repetir las imágenes? Ángulos opuestos, calcular y completar:

Crecimiento y decrecimiento de las funciones:

A partir de los datos obtenidos, graficar la función seno.

0 90º

180º

270º

360º

sen

30º

-30º

60º

-60º

sen

Crece o decrece 1er cuadrante 2do cuadrante 3er. cuadrante 4to cuadrante

seno

Esta curva recibe el nombre de sinusoide.

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Gráfico de la función Coseno Analizamos la función seno a partir del siguiente link https://www.geogebra.org/m/udxc8ydg ; o del qr

:Dom Im : Completar la siguiente tabla con los valores correspondientes:

Período de las funciones. ¿A partir de qué ángulo se comienzan a repetir las imágenes? Ángulos opuestos, calcular y completar:

Crecimiento y decrecimiento de las funciones:

A partir de los datos obtenidos, graficar la función coseno.

Función tangente: https://www.geogebra.org/m/d2ybvrbb Función secante: https://www.geogebra.org/m/fyrjnccg

Función Cosecante: https://www.geogebra.org/m/met3bfv7

0 90º

180º

270º

360º

cos

30º

-30º

60º

-60º

cos

Crece o decrece 1er cuadrante 2do cuadrante 3er. cuadrante 4to cuadrante

cos

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Cambio de escala del eje de abscisas a Radianes.

9. Utilizando el , realiza el gráfico de las siguientes funciones

trigonométricas cuya fórmula tienen la forma: .sen y .cosf x a x f x a x , completar la tabla y sacar conclusiones.

Conjunto Imagen

a. senf x x

b. cosf x x

c. 2.seng x x

d. 2.cosg x x

e. 3senh x x

f. 3cosh x x

g. 1 sen2

p x x

h. 1 cos2

p x x

El factor a determina la ………………..de la onda y no afecta el período, que para todas estas funciones, es 2

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10. Utilizando el , (cambiar la escala del eje de abscisas a radianes) realiza el gráfico de las siguientes funciones trigonométricas cuya fórmula tienen la forma:

sen y cosf x bx g x bx , completar la tabla y sacar conclusiones.

11. Utilizando el , (cambiar la escala del eje de abscisas a radianes) realiza el gráfico de las siguientes funciones trigonométricas, completar la tabla y sacar conclusiones.

Im b Período

a.

: / senf f x x

: / sen 2h h x x

b.

: / senf f x x

1: / sen2

m m x x

c.

: / cosg g x x

: / cos 3t t x x

Período C C

a.

: / senf f x x

: / senj j x x

b.

: / cos 3t t x x

: / cos 3h h x x

El valor absoluto de b indica la cantidad de ondas que hay en el intervalo de longitud 2 :

En h(x) hay ……… ondas En m(x) hay ……… ondas En t(x) hay …..…ondas

Por lo tanto, el período p se puede calcular como: 2

pb

Cuanto mayor es b, ……………………….es el período.

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Gráficos de funciones trigonométricas

Grafiquen un período de la siguiente función 1: / 2.sen3

f f x x :

Teniendo en cuenta el gráfico de la función seno, sabemos que:

12. Graficar un período de la siguientes funciones y completar:

: / 0,75 sen 2a a x x

0

Im :

::

PeriodoCPuntoMaxPuntoMin

0

Im :

::


0

Im:

::


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: / senb b x x

: / 2 cos 3c c x x

13. Utilizando el , (cambiar la escala del eje de abscisas a radianes) realiza el gráfico de las siguientes funciones trigonométricas de la forma

.s enf x a bx h , y sacar conclusiones.

a. : / senj f x x

: / sen3

j j x x

: / sen3

j j x x

b. : / cos 2f f x x

: / cos 26

f f x x

: / cos 26

f f x x

0

Im:

::


0

Im:

::


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Desplazamientos de las funciones trigonométricas .s e nf x a b x h

Ejemplo 1: Dada la siguiente función : / 3sen 23

f f x x

, completar y Graficar

Imagen:

Período: Desplazamiento:

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Ejemplo2: Dada la siguiente función 3 1: / cos

2 2 6f f x x

, completar y Graficar un

período

14. Graficar un período de la siguientes funciones y completar : a. : / 2senf f x x

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b. : / 3cos3

f f x x

c.

: / 2sen2

f f x x

,

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; ; ; S

Ecuaciones Trigonométricas Las funciones trigonométricas son periódicas y sus valores se repiten cíclicamente, es habitual que las ecuaciones que las involucran tengan infinitas soluciones que también se repiten cíclicamente.

En las siguientes ecuaciones, nos limitaremos a buscar solo las soluciones que pertenezcan al intervalo señalado.

Dada la función f =sen2

x x

¿Cuáles son los valores de “x” entre y 3 que cumplen que 1f =-

2x ?

Para hallar estos valores implica plantear la siguiente ecuación:

Para resolver esta ecuación es necesario, en principio, hallar los valores de la variable t que cumplen 1sen2

t

Nos preguntamos, ¿en qué cuadrante la función seno es negativa?

Pero no todos los valores hallados se encuentran entre -π y 3π como pedía el problema.

Es necesario encontrar los valores entre -π y 3π que verifiquen la ecuación.

Como la función f(x) tiene un período de 2π, los valores de f(x) se repiten cada vez que a x se le suma un período, o dos períodos o números enteros de períodos.

Por lo tanto a las soluciones encontradas se le suman o restan períodos para encontrar las soluciones el intervalo pedido:


-2periodos -1 periodo Solución +1 periodo +2 periodos

Las soluciones de la ecuación que están entre -π y 3π son

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; ; ; S

Hallar los valores de x que pertenezcan la intervalo ; y que cumplan el 1cos (2 )2

x

¿En qué cuadrante la función coseno es positiva?

Como x debe verificar, además que -π ≤ x ≤ π:


-2periodos -1 periodo Solución +1 periodo +2 periodos

Las soluciones de la ecuación que están entre -π y π son

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15. Hallen el conjunto solución en 0;2 de las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a.

cos 1

3x

b. 1sen x

16. Hallen el conjunto solución en ;2 de las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a. 2cos 3 1x

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b. 2 2 1sen x

17. Indiquen la opción correcta. Justifique la respuesta:

a. La función cuya fórmula es cos 2f x x tiene exactamente tres raíces en el intervalo:

i. 0;2 ii. ; iii. ; 24

iv. 0;2

b. La función cuya fórmula es 2seng x x creciente en el intervalo:

i. ; ii. ;2 2

iii. 0; 2 iv. 0;

c. La cantidad de soluciones de la ecuación cos 3 0x es:

i. una ii. dos iii. infinitas iv. ninguna

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Repaso para la evaluación

1. Graficar un período de la siguientes funciones y completar la tabla:

2: / 2sen3

a a x x

: / 3cos 2b b x x

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2. Hallen el conjunto solución en 0;3 de las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a.

2sen 1

4x

b. 3cos 2 0x

3. La función cuya fórmula es cos 1f x x y la función cuya fórmula es cos 1g x x .son la

misma función? ¿.Por qué?

4. Las funciones cuyas fórmulas son 2senf x x y sen 2g x x son la misma función? .¿Por qué?

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