7.1

U.7 DINÀMICA

1. Força i moviment: revisió d'idees preconcebudes 2. Mesura i representació de les forces 3. Concepte de quantitat de moviment 4. Formulació dels principis de la dinàmica: lleis de Newton 5. Impuls mecànic i conservació de la quantitat de moviment 6. Revisió crítica dels principis de la dinàmica 7. Interacció gravitatòria: Llei de la Gravitació Universal 8. Tensions en cordes i cable 9. Forces de fricció entre superfícies en contacte 10. Resolució de problemes de dinàmica 11. Forces en moviments curvilinis: la força centrípeta 12. Dinàmica del moviment harmònic simple 13. Activitats complementàries

BIBLIOGRAFIA BÀSICA

HEWITT. Caps. 2, 4, 5, 6 i 9.

LORENTE et al. Cap. 3.

TIPLER. Caps. 4, 5 i 10.

Applets de física de la universitat de Colorado que es poden descarregar d'aquest enllaç:

https://phet.colorado.edu/es/simulations/category/physics

U.7 DINÀMICA

7.2

1. FORÇA I MOVIMENT: REVISIÓ D'IDEES PRECONCEBUDES

La dinàmica és la part de la física que tracta d'explicar per què un cos posseeix un cert tipus de moviment i estableix les condicions necessàries per tal que açò ocórrega.

Aquesta part de la ciència és on més persisteixen tot un seguit d'idees preconcebudes errònies o inexactes que coincideixen prou amb les idees escolasticoaristotèliques. A més, se corresponen prou bé amb l'anomenada física del sentit comú, car és el que molta gent opina si li demanes espontàniament. Per exemple, molta gent estaria d'acord amb una afirmació com aquesta: "Si vo lem que un cos es moga hem de f er força sobre e l l i empènyer- lo i s i de ixem d'empènyer- lo acabarà aturant-se". ¿És això cert?

A.1 Expliqueu per què no és necessària cap força per a mantenir un cos en moviment, sinó només quan volem que el moviment es modifique.

A.2 Raoneu sobre la veracitat d'aquestes afirmacions: a) Si sobre un cos no actua cap força, o la força resultant és nul·la, el cos

haurà d'estar en repòs. b) El moviment d'un objecte sempre té lloc en la direcció de la força neta. c) Si en un instant la velocitat d'un cos és nul·la, la força total també ho és.

2. MESURA I REPRESENTACIÓ DE LES FORCES

A.3 Dibuixeu les forces implicades en aquestes situacions dinàmiques: a) llibre en repòs sobre el pupitre de classe; b) pernil en repòs que penja d'una corda; c) carret que empenyem i es mou sobre el terra amb moviment uniforme; d) pedra que cau lliurement; e) bloc de fusta en repòs sobre un pla inclinat; f) bola que hem llançat cap amunt per un pla inclinat; g) satèl·lit que orbita la Terra. Les forces són magnituds vectorials que es representen mitjançant el vector força, per tant

es poden descompondre en components cartesianes i es sumen seguint les regles de la geometria: 1) regla del paral·lelogram; 2) regla del polígon, tal com vèiem el curs anterior.

A.4 Enumereu i dibuixeu tots els elements bàsics que defineixen una força i argumenteu perquè diem que es tracta d'una magnitud vectorial.

U.7 DINÀMICA

7.3

SUMA GRÀFICA DE VECTORS: 1) regla del paral·lelogram; 2) regla del polígon

Les forces es mesuren a partir de l'efecte deformador que exerceixen sobre els materials elàstics. Això s'aprofita per a construir els dinamòmetres, aparells de mesura de forces que consten d'un moll de certa elasticitat i una escala graduada que ha estat calibrada prèviament.

A.5 Enuncieu la llei de Hooke de l'elasticitat i escriviu la seua expressió matemàtica. Raoneu si aquesta llei es pot aplicar indefinidament o té algun límit. Per què s'ha d'emprar un dinamòmetre diferent segons l'escala de la força?

3. CONCEPTE DE QUANTITAT DE MOVIMENT

La dinàmica es basa en uns pocs principis fonamentals que permeten d'explicar nombrosos casos de moviments. Vegem com sorgeixen alguns d'aquests principis. Per això començarem amb la definició d'una magnitud que caracteritza l'estat de moviment d'un cos: la quanti tat de moviment o moment l ineal , (del llatí momentum, moviment o impuls). L'establiment d'aquesta magnitud per Isaac Newton partí de considerar quines magnituds cal tenir en compte quan volem modificar l'estat de moviment.

A.6 Proposeu una definició operativa de la quantitat de moviment d'un cos de manera que permeta de caracteritzar correctament el seu estat de moviment i la dificultat per a modificar-lo. Poseu exemples de cossos que tinguen poca quantitat de moviment i d'altres que en tinguen molta. Quin és en cada cas el factor que influeix en la major o menor quantitat de moviment del cos?

A.7 Definiu la unitat de quantitat de moviment en el Sistema Internacional.

A.8 ¿Podem afirmar que la quantitat de moviment és una magnitud escalar o vectorial? En cas que fóra vectorial indiqueu la seua direcció i el seu sentit.

U.7 DINÀMICA

7.4

A.9 Un cos de massa 8 kg té un moviment definit per l'equació: r = t3·i + 5t2·j Calculeu el seu moment lineal p en els instants t = 1 i t = 2 s .

A.10 Un cos de 5 kg, amb una rapidesa inicial de 15 m/s, acaba parant-se. Calculeu la variació que ha experimentat la seua quantitat de moviment.

A.11 Un cos de 3 kg de massa descriu circumferències amb una rapidesa constant de 8 m/s. Calculeu la quantitat de moviment en qualsevol posició i la variació que aquesta experimenta quan el cos descriu mitja circumferència.

4. FORMULACIÓ DELS PRINCIPIS DE LA DINÀMICA: LLEIS DE NEWTON

Formularem la dinàmica de Newton en la forma habitual de tres principis: principi d'inèrcia, principi fonamental i principi d'interacció, però ara ho farem a partir del concepte de quantitat de moviment. Tanmateix, com veurem després, els tres principis són en realitat corol·laris o conseqüències d'un únic principi bàsic: el princ ipi de conservac ió de la quanti tat de moviment .

A.12 En aquests esquemes estan resumides les principals idees que contenen els tres principis de la dinàmica, tal com els hem estudiat en cursos anteriors. Reviseu-los i poseu exemples de situacions on es mostren.

Princ ip i d ' inèrc ia

A.13 Enuncieu el principi d'inèrcia i esmenteu exemples on es visualitze. Qui el va enunciar abans que Newton? Com ho va fer?

Equació fonamental de la dinàmica

A.14 Enuncieu el segon principi de la dinàmica de Newton a partir de la variació produïda en el moment lineal d'un sistema que interacciona amb l'exterior.

A.15 De les dues formes donades pel al segon principi:

F = dpdt (1) ; F = m·a (2)

comenteu quina és més general i en quin cas seran totalment equivalents ambdues.

A.16 Definiu la unitat de força en el Sistema Internacional d'unitats.

U.7 DINÀMICA

7.5

A.17 Un cos de 4 kg de massa varia la seua rapidesa de 20 a 35 m/s en 1,5 s. Calculeu la força mitjana que ha actuat durant l'interval de temps esmentat.

A.18 Un cos de 5 kg de massa descriu circumferències de radi 1,5 m i fa 60 r.p.m. Calculeu l'acceleració del moviment i la força que actua sobre el cos. Com s'anomena aquesta força?

A.19 Un cos de massa 2 kg té un moviment descrit per l'equació: r = 3t2·i + 5t·j

Calculeu el valor de la força que actua sobre ell en l'instant t = 3 s .

A.20 Expliqueu d'on sorgeix la idea del principi d'interacció, com a propietat de la matèria, alternativa a la "inèrcia" i perquè les dues forces implicades han de ser necessàriament iguals. Poseu diversos exemples que mostren com les forces sempre actuen per parelles i no pas individualment, com tendim a pensar espontàniament.

A.21 A partir d'una màquina d'Atwood, dissenyeu i realitzeu al laboratori una experiència per a verificar la 2a llei de Newton, mitjançant l'ús de sensors de moviment per a mesurar les acceleracions. Quines altres magnituds caldrà controlar i mesurar i com s'ha de fer?

5. IMPULS MECÀNIC I CONSERVACIÓ DE LA QUANTITAT DE MOVIMENT

Per entendre l'acció de les forces sobre els cossos cal tenir en compte el temps que dura la interacció. Això requereix introduir una magnitud nova molt útil: l ' impuls mecànic . Considerem l'exemple d'un got de vidre que cau a terra en dues circumstàncies diferents: en el primer cas cau directament a terra i en el segon cau sobre un coixí viscoelàstic. Què passa? Perquè és diferent cada cas? La raó és el diferent temps de contacte de la interacció. El coixí d'escuma viscoelàstica retarda considerablement la interacció, cosa que fa que per a la mateixa variació del moment lineal hi haja una força molt menor que si impacta directament en un sòl rígid. La magnitud implicada no és altra que l'impuls mecànic de caràcter vectorial, ja que es defineix com a:

Impuls mecànic l ineal = F · Δt = Δp

U.7 DINÀMICA

7.6

A.22 Calculeu l'impuls mecànic i la força exercida sobre la caixa toràcica d'un conductor d'una massa aproximada de 50 kg, que circula en un vehicle a 60 km/h si impacta bruscament contra un arbre i s'atura en 0,1 s. Repetiu els càlculs per al cas que s'òbriga un coixí de gas, cosa que augmenta el temps d'impacte contra el volant a 1 s. Comenteu els resultats. (R: 833 kg·m/s; 8333 N; 833 N)

A.23 Un futbolista xuta un penal i llança el baló a 45 km/h. Si el peu del jugador està en contacte amb el baló durant 6,5 ms, determineu el valor de la força mitjana exercida sobre la pilota (massa 430 g) i de l'impuls mecànic transferit. (R: 827 N; 5,38 kg·m/s)

Princ ip i de conservac ió de la quant i tat de moviment

A.24 Considerem un sistema format per dues partícules que interaccionen entre elles. Raoneu què passa amb el moment lineal total del sistema. Expresseu-ho de forma matemàtica i en paraules.

Princ ip i d ' interacc ió

A.25 Deduïu el principi d'interacció a partir del principi de conservació de la quantitat de moviment i enuncieu-lo en paraules.

A.26 Un llapis és atret per la Terra amb una força de 0,2 N. Raoneu amb quina força és atreta la Terra pel llapis i determineu el valor de l'acceleració que sofreix la Terra com a conseqüència de l'atracció del llapis, si la seua massa és de 5,9·1024 kg.

A.27 Un cos de 10 kg es llança amb una rapidesa de 40 m/s contra un altre de 90 kg inicialment en repòs, de manera que queda incrustat en ell. Calculeu la rapidesa final que adquireixen ambdós cossos units.

U.7 DINÀMICA

7.7

A.28 Un canó de 500 kg dispara un projectil de 15 kg que ix amb una rapidesa de 400 m/s. Si el temps que tarda el projectil en recórrer l'interior del canó és de 0,01 s. Determineu: a) l'acceleració mitjana del projectil en l'interior del canó; b) la força mitjana que ha actuat sobre el projectil; c) la força que ha actuat sobre el canó; d) la rapidesa del canó després del dispar.

A.29 Un cos de 5 kg es llança amb una rapidesa de 10 m/s contra un altre de 20 kg inicialment en repòs. Després de l'impacte, el primer rebota amb una rapidesa de 6 m/s en sentit contrari a l'inicial. Calculeu la rapidesa adquirida per l'altre cos.

A.30 Un canó de 800 kg dispara un projectil de 20 kg amb una rapidesa de 500 m/s, i forma un angle de 300 amb l'horitzontal. Calculeu la rapidesa amb què retrocedeix el canó.

Convé que recordem que tota for ça té el seu origen en una interacc ió entre almenys dues partícules. Hi ha distints tipus d'interaccions: la interacc ió gravi tatòr ia , responsable del moviment planetari i la caiguda lliure de cossos; la interacc ió e l e c tromagnèt i ca , que explica les propietats elèctriques i magnètiques de la matèria i justifica l'estabilitat dels àtoms i les molècules; la interacc ió nuc lear for ta , que explica l'estabilitat dels nuclis dels àtoms i la interacc ió nuc lear f eb le implicada en la desintegració de certes partícules subatòmiques. En general totes les altres interaccions es poden reduir a alguna de les quatre esmentades.

6. REVISIÓ CRÍTICA DELS PRINCIPIS DE LA DINÀMICA

A.31 Exposició pel professor del concepte de sistema de referència inercial. Estem en un autobús que viatja a una determinada rapidesa. Penjat d'una barra hi ha un

pèndol amb una esfera que es manté en repòs. Aquest repòs està referit a l'autobús, que juntament amb tots els objectes que conté -nosaltres inclosos- té una rapidesa respecte al paisatge de fora. Imaginem-nos que de sobte l'esfera del pèndol se'n va cap a la part darrera de l'autobús. La dinàmica afirma que tota força que puga aparèixer sobre un cos és deguda a la interacció amb un altre cos, però ¿quina podria ser la interacció en aquest cas? La força que aparentment ha actuat sobre l'esfera -i sobre els altres cossos de l'autobús- no sembla produïda per cap interacció, amb la qual cosa no es compliria el principi d'interacció, ja que l'esfera ella sola hauria experi-mentat una força sense interaccionar amb cap altre objecte.

U.7 DINÀMICA

7.8

A.32 Quina explicació es podria donar a les acceleracions que experimenten els cossos que formen part de l'autobús? Si l'autobús viatja amb rapidesa constant es comporta com un s i s t ema inerc ia l i s'hi

compleixen els principis de la dinàmica, entre ells el principi d'inèrcia: tots els cossos conserven el seu moviment. Tanmateix en un s i s t ema no- inerc ia l -el vehicle que sofreix acceleracions en seria un exemple- semblen aparèixer les pseudoforces o forces inerc ia ls que sovint s ' inventen per a descriure el sistema amb els principis de Newton. Ara, aquests sistemes poden ser descrits igualment si els observem des d'un sistema exterior que siga inercial sense recórrer a les imaginàries forces inercials.

El planeta Terra, a causa del seu moviment de rotació, és un sistema no-inercial i s'hi

poden detectar alguns efectes d'aquesta rotació. Són experiències diverses que poden servir per a demostrar la rotació del planeta. Una de molt coneguda és el pèndol de Foucault , que aparentment varia el seu pla d'oscil·lació en sentit invers a la rotació terrestre, sempre que el situem lluny de l'equador. Altres fenòmens relacionats amb la rotació terrestre són els produïts per l 'acce l erac ió de Corio l i s , com ara la rotació dels ciclons i anticiclons o l'enrotllament del tronc dels eucaliptus, tots ells en sentits contraris si els observem a l'hemisferi nord o al sud.

7. INTERACCIÓ GRAVITATÒRIA: LLEI DE LA GRAVITACIÓ UNIVERSAL

La principal contribució de Newton a la física fou, sens dubte, la descripció de la llei general que explica els moviments planetaris, la caiguda lliure dels cossos o les marees, entre d'altres fenòmens. Els seus treballs se centraren a demostrar que la força que fa caure els objectes amb un moviment uniformement accelerat (com ara la famosa poma de l'anècdota) ha de ser la mateixa que manté en òrbita un objecte, per voluminós i massiu que siga, com la Lluna.

En el dibuix següent es veu la descripció de les òrbites que faria un projectil llançat amb la velocitat apropiada en sentit tangencial a la superfície de la Terra i com, si li donàvem la velocitat suficient, podria posar-se en una òrbita tancada al voltant de la Terra i esdevenir un satèl·lit com la Lluna.

U.7 DINÀMICA

7.9

L'explicació del moviment de satèl·lits com la Lluna portà a Newton a relacionar aquests fenòmens amb la caiguda d'objectes en la proximitat de la superfície terrestre. Així va deduir que en ambdós casos intervindria una força o interacció entre els cossos produïda per la seua massa.

A.33 Emeteu algunes hipòtesis sobre les variables que poden influir en la intensitat de la interacció entre masses, anomenada interacció gravitatòria. Escriviu una equació que reculla aquestes hipòtesis.

La força pes

Anomenem pes la força que exerceix un planeta sobre els objectes situats a prop de la seua superfície. També s'anomena gravetat o força gravitatòria perquè és conseqüència de la interacció gravitatòria entre el planeta i l'objecte, que, segons la 3a llei de Newton, és mútua, té el mateix valor sobre cada cos que interactua i sentits contraris. Ara bé, com que el planeta té una massa significativament major que l'altre objecte, només es nota una de les dues forces de la parella que interactua, la força sobre l'objecte que anomenem pes.

Segons això el càlcul del pes es podrà fer mitjançant l'equació

FPES = G· M· m /r2 = m· g per tant g = G· M / r2

Aquesta equació val per a calcular la gravetat en diferents situacions.

A nivell del mar: r = RTERRA

A certa altura: r = RTERRA + h

En un altre planeta: r = RPLANETA

Per a la Terra: G = 6,67· 10-11 N· m2· kg-2, MT = 5,97· 1024 kg, RT = 6371 km.

A.34 Demostreu que, en absència de fregament, tots els cossos cauen amb la mateixa acceleració independentment de la massa que tinguen, tal com raonava Galileu. Quina suposició important cal fer?

A.35 Dibuixeu les forces que actuen sobre un satèl·lit que orbita la Terra en els casos següents: a) Quan s'està posant en òrbita i encara hi ha encesos els coets. b) Quan es troba molt lluny de l'atmosfera terrestre en òrbita estable. c) Quan al cap de molts anys perd altura i entra en l'atmosfera terrestre.

A.36 Calculeu la massa i el pes d'un astronauta de 65 kg, en la superfície de la Terra, a 200 km sobre el nivell del mar i en una òrbita a 1000 km d'altura. ¿Hi ha alguna situació en què el pes de l'astronauta s'anul·le?

A.37 Consulteu les dades necessàries i calculeu el valor de la massa de la Terra.

A.38 Calculeu el valor de la gravetat en la Lluna, en Mart i en Venus. Dades necessàries: ML = 7,35·1022 kg, RL = 1737 km; MM = 6,42·1023 kg, RM = 3390 km; MV = 0,815 ·MTERRA, RV = 0,95·RTERRA; G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2.

Applet sobre la llei de la Gravitació:

https://phet.colorado.edu/es/simulation/gravity-force-lab

U.7 DINÀMICA

7.10

8. TENSIONS EN CORDES I CABLES

Anomenem t ens ions les forces que actuen sobre un cable o bé sobre un material sòlid en equilibri, com ara els pilars i les bigues d'un edifici. No hi ha fórmules per calcular les tensions, les hem de tractar sempre com a variables incògnites i deduir el seu valor del conjunt de la situació dinàmica on apareguen.

A.39 Un tractor de 1500 kg arrossega un remolc de 3000 kg mitjançant un cable de manera que tot el sistema adquireix una acceleració de 0,5 m/s2. Calculeu: a) la força que farà el motor del tractor; b) la tensió a què estarà sotmès el cable.

A.40 Un carret de 5 kg està sobre un pla horitzontal i és arrossegat per un pes de 2 kg que penja d'una corriola. Calculeu: a) l'acceleració d'ambdós cossos; b) la tensió de la corda.

A.41 Dos cossos de 7 i 4 kg respectivament, pengen a ambdós costats d'una corda col·locada en una corriola. Calculeu: a) l'acceleració amb què es mourà tot el sistema; b) la tensió de la corda.

9. FORCES DE FRICCIÓ ENTRE SUPERFÍCIES EN CONTACTE

A.42 A un cos de 50 kg situat sobre un pla horitzontal se li apliquen diferents forces de tracció i s'obtenen en cada cas les acceleracions que s'indiquen en aquesta taula. Completeu-la amb el càlcul de la força de fricció que està actuant en cada cas i digueu el valor màxim que aquesta pot adquirir.

F (N) 10 20 30 40 50 60 70 80

a (m/s2) 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7

FR (N)

A.43 El cos de l'activitat anterior es llança amb una rapidesa inicial de 8 m/s. Calculeu l'acceleració del moviment i el temps que tardarà en parar-se.

A.44 Discutiu de quins factors poden dependre les forces de fricció i tracteu d'ob-tenir una equació que els relacione.

A.45 Dissenyeu i realitzeu al laboratori una experiència senzilla per a verificar l'equació de les forces de fricció: ⏐FR⏐ = µ · ⏐FN⏐.

U.7 DINÀMICA

7.11

A.46 Determineu el valor de la força normal en aquests casos:

a) cos de massa m sobre una superfície horitzontal; b) cos de massa m sobre un pla inclinat d'angle α conegut.

A.47 Resoleu l'activitat A.40 si suposem que existeix una força de fricció i el coeficient de fricció val µ = 0,2 .

A.48 S'abandona un cos de 5 kg sobre un pla inclinat 600 i el coeficient de fricció val µ = 0,4. Calculeu l'acceleració a què es veu sotmès el cos.

A.49 Quan es llança un cos de 50 kg per un pla horitzontal amb una força de 100 N adquireix una acceleració d'1,5 m/s2. Calculeu la força de fricció i el coeficient de fricció.

A.50 Determineu quina força cal aplicar si volem traslladar un paquet de 40 kg de massa, tot arrossegant-lo per un sòl horitzontal amb rapidesa constant. Feu el mateix per al cas que vulguem pujar-lo per un pla que forme un angle de 400 amb l'horitzontal. Coeficient de fricció µ = 0,1 .

A nivell microscòpic la fricció depèn de les interaccions entre àtoms i molècules de les dues superfícies

Vegeu aquesta simulació per a explicar les forces de fregament:

https://phet.colorado.edu/es/simulation/friction

!

!

U.7 DINÀMICA

7.12

10. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES DE DINÀMICA

La resolució d'un sistema dinàmic implica escollir un sistema de referència i definir el sistema d'estudi compost per un o més cossos. Caldrà també decidir el sentit del moviment en cas que no estiga en equilibri, a fi d'assignar correctament el sentit a forces com el fregament que s'hi oposa i poden afectar al resultat final. Tot seguit descriurem els aspectes generals d'aquesta mena de situacions i proposarem alguns exemples resolts per a facilitar-ne l'estudi personal.

Representac ió i descomposi c ió cartes iana de forces

Ja hem vist al principi de la unitat que les forces són magnituds vectorials que representarem, normalment, en dues dimensions i haurem d'acoblar a l'esquema de cada problema. Tal com veiem a la figura, dues forces molt freqüents en un pla inclinat seran la normal N (perpendicular a la superfície) i el pes P (perpendicular a l'horitzontal). A fi de fer els càlculs per separat en cada eix, convindrem en anomenar tangencial tota força paral·lela al moviment i normal total força perpendicular al pla del moviment. D'altra banda hi ha les direccions convencionals vertical i horitzontal referides als plans no inclinats. Així, doncs, considerarem com a eix X, la direcció tangencial, i com a eix Y la normal. Segons mostra la figura, tindrem:

N = NY ; P = PX + PY = (mg·sin α)· i + (mg·cos α)·j

Qualsevol altra força que hi dibuixem (fricció, tensions, etc.) ha d'ajustar-se a aquest

esquema, a fi de poder obtenir la força resultant en cada eix i aplicar-hi la 2a llei de Newton.

Càlcul de la força normal quan s 'apl i ca una força inc l inada

Ja hem vist en una activitat anterior (A.46) com es calcula la força normal en dues situacions diferents: un pla horitzontal i un pla inclinat. Hi ha, però una tercera situació que ens pot dur a engany: un pla horitzontal on arrosseguem un objecte tot aplicant-hi una força inclinada. En tal cas, cap de les dues situacions anteriors és vàlida, només hem d'aplicar la 2a llei a les components verticals i aïllar el valor de la força normal. Vegem-ho en l'exemple resolt següent.

EXEMPLERESOLTI:

Esbrineuquinaforçacalaplicarsivolemtraslladarambunmovimentuniformeunembalumde100kgdemassa,totarrossegant-loperunsòlhoritzontalperòfent una tensió mitjançant un cable que forme un angle de 300 amb l'ho-ritzontal.Coeficientdefriccióµ =0,3.

U.7 DINÀMICA

7.13

Laforçaquecalfer(T) ladescomponemenTx iTyquevaldran:Tx=T·cos300 ;Ty=T·sin300,segonslafigura.Aplicantla2alleialadireccióvertical(onhihaequilibriia=0),obtenimlaforçanormal:Ty+N=P,d'onN=P-Ty=mg-T·sin300.

Per al càlcul de la forçaT, plantegem la 2a llei a la direcció horitzontal, que tambéestaràenequilibrijaquevolemunmovimentuniforme:Tx-FR=0,ésadir:Tx=FR.

SicalculemaralaFR:FR=µ·N=µ·(mg-T·sin300)

Desenrotllem l'equació anterior: Tx = FR ; T·cos 300 = µ·(mg - T·sin 300), on tot ésconegutexcepteelvalordelaforçaT,pertantsubstituïmlesdadesioperemfinsaïllar:T·0,866=0,3·(100·9,8-T·0,5)=294-0,15·T;1,016·T=294;T=289,4N

Aplicac ió de la 2a l l e i de la d inàmica a cada e ix

Vegem ara un cas general d'aplicació de la segona llei a un sistema format per dos objectes que es mouen amb acceleració de manera que un d'ells penja d'un cable i arrossega l'altre que es mou per un pla inclinat.

EXEMPLERESOLTII:

Calculeuambquinaacceleracióesmouràelsistemadelafiguraiquèvaldràlatensiódelcable,sisabemquelesmassesm1 im2valenrespectivament30i20kg, i la massa m1 s'arrossega per un pla inclinat un angle de 300 amb l'ho-ritzontalambuncoeficientdefriccióµ =0,2.

Alafiguranoesmostralaforçadefregament,quecalsituarenelcontactedelcos"1"ielplainclinatensentitcontrarialmoviment.SicalculemlaforçaFR=µ·N,comqueestractad'unpla inclinat idescomponemelpes(P)enPx iPy, l'aplicacióde la2a lleial'eixnormalquedarà:N=Py.Pertant:FR=µ·N=µ·Py=µ·mg·cos300.

Araapliquemlasegonalleial'eixtangencial,peralscossos1i2,encaraquetambélapodem aplicar al conjunt d'ambdós, però ens sobrarà una equació. Recordem quel'acceleracióésúnicaperatotelsistema.

Cos1: Px-FR-T=m1·a

Cos2: T-P=m2·a

Desenrotllemlesequacionsanteriors:

Cos1: m1·g·sin300-µ·m1·g·cos300-T=m1·a

Cos2: T-m2·g=m2·a

Tal com queden plantejades les equacions, només tenim dues incògnites T i a. Calsubstituirlesdadesconegudesiresoldreelsistema.

U.7 DINÀMICA

7.14

Cos1: 30·9,8·0,5-0,2·30·9,8·0,866-T=30·a;96,08-T=30·a

Cos2: T-20·9,8=20·a;T-196=20·a

Resolemelsistemapereliminaciótotsumantambduesequacions,vistqueTestrobaambsignedistintencadacasiensumarqueda:96,08-T+T-196=50·a;-99,92=50·a

Pertant,aïllant:a=-2,0m/s2

AraaïllemTenl'equaciódelcos2:T=20·a+196=20·(-2)+196=156N

Proposem ara d'altres situacions que inclouen tota mena de forces per exercitar el procediment explicat amb els exemples anteriors.

A.51 Un objecte de massa m2 penja d’un cable que passa per una corriola i continua unit a un altre cos de massa m1 = 5 kg que es desplaça per un pla horitzontal. La tensió de cable val 15,4 N i el sistema es mou cap a la dreta amb una acceleració de 2,1 m/s2. Determineu: a) la massa del cos m2; b) el coeficient de fregament dinàmic de la superfície. (R: a) 2 kg ; b) µd = 0,1)

A.52 Una locomotora de 20000 kg arrossega tres vagons de 40000 kg cadascun amb una rapidesa constant. Calculeu la força que realitzarà el motor i també les tensions de cadascun dels cables si el fregament amb les vies val µ = 0,2. (R: ⏐FM⏐ = 274 400 N; ⏐T1⏐ = 235 200 N; ⏐T2⏐ = 156 800 N; ⏐T3⏐ = 78 400 N)

U.7 DINÀMICA

7.15

A.53 Llancem un objecte cap amunt per un pla inclinat 30° amb una rapidesa inicial de 12 m/s. Determineu fins a quina altura arribarà si el coeficient de fregament val µ = 0,1. (R: 6,26 m)

A.54 Un objecte rellisca per un pla inclinat 30° des d'una altura de 2 m fins que arriba a un pla horitzontal. Suposem que el coeficient de fregament és el mateix en ambdós plans i val µ = 0,1. Si l'objecte té una massa de 20 kg, calculeu la distància que recorrerà en el pla horitzontal fins aturar-se. (R: 16,63 m)

A.55 Dos objectes, un de massa 50 kg (verd) i un altre de massa 25 kg (blau), estan units mitjançant un cable que passa per una corriola i es desplacen, el primer sobre un pla inclinat 30° amb l’horitzontal i l'altre sobre un pla inclinat 60° però amb inclinació contrària, tal com es veu a la figura. El coeficient de fregament dinàmic entre el cos i la superfície d'ambdós plans inclinats val µd = 0,3. Determineu: a) la tensió del cable; b) l’acceleració amb què es mou el sistema. (R: a) 241 N ; b) -2,63 m/s2)

A.56 Estirem un objecte de 10 kg de massa cap amunt per un pla inclinat 30° amb l'horitzontal mitjançant una força F de valor 100 N, inclinada α = 10° sobre el pla on rellisca. Determineu la força resultant i l'acceleració amb què es mou si el coeficient de fricció dinàmic val µ = 0,13. (R: 40,7 N ; 4,07 m/s2)

U.7 DINÀMICA

7.16

Applet sobre rampes, forces i moviment:

https://phet.colorado.edu/sims/motion-series/ramp-forces-and-motion_es.jnlp

11. FORCES EN MOVIMENTS CURVILINIS: LA FORÇA CENTRÍPETA

Finalment, una situació dinàmica especial es presenta en els moviments curvilinis. Com ja hem estudiat en cinemàtica els moviments curvilinis es caracteritzen per l'acceleració normal o centrípeta, per tant, des del punt de vista dinàmic això significa que els cossos que descriuen un moviment curvilini han d'estar sotmesos a una força paral·lela a aquesta acceleració, la força centrípeta. Aquesta força no és cap interacció especial, simplement és el nom que li donem a la resultant de les forces que actuen per produir una tal acceleració.

Per als càlculs corresponents únicament recordarem que, aplicant la 2a llei de Newton, la força centrípeta serà igual a la massa per l'acceleració normal:

⏐FCP ⏐ = m· ⏐an ⏐ = m· v2 / R = m· ω 2· R Quan la representem tindrà la direcció radial, perpendicular al vector velocitat, i el sentit

cap al centre de la corba (això significa la paraula "centrípeta").

Hi ha diferents possibles forces que fan el paper de força centrípeta: la interacció gravitatòria o pes, el fregament entre superfícies en contacte, les tensions en cables, etc. Vegem-ho en les següents activitats.

A.57 Un cas particular de moviment curvilini és el moviment circular uniforme. Dibuixeu la trajectòria d'un tal moviment amb els següents vectors clarament representats: velocitat, acceleració normal i força centrípeta.

A.58 Sabem que el període de la Lluna al voltant de la Terra és de 27,32 dies i que la distància mitjana entre el centre de la Terra i el de la Lluna val 384 399 km. Amb aquestes dades, calculeu: a) l'acceleració de la Lluna respecte a la Terra; b) la força que obliga a la Lluna a girar (Massa de la Lluna: 7,348·1022 kg). c) Raoneu perquè si aquesta força és tan gran, la Lluna "no cau" verticalment cap a la Terra.

A.59 Dos germans juguen a fer voltes, el major agafant el menut de les mans i girant-lo com un pèndol cònic. Determineu la força que ha de fer el germà gran quan gira i l'angle dels braços amb la vertical, si el germà menut pesa 20 kg, pega mitja volta per segon i descriu un radi d'1 m.

U.7 DINÀMICA

7.17

A.60 Un objecte lligat a una corda es mou circularment respecte a un sistema de referència fix, sobre un pla horitzontal sense fregament amb un dels seus extrems subjecte al centre de la trajectòria. Es demana: a) dibuixeu un esquema de la situació descrita on apareguen totes les forces implicades; b) raoneu de quines magnituds depèn el valor de la tensió de la corda. c) Si la corda resisteix una tensió màxima de 50 N sense trencar-se, té un radi de gir de 50 cm i la massa de l'objecte val 4 kg, determineu la velocitat màxima a la que pot girar l'objecte sense que es trenque la corda.

A.61 Un dau de massa 5 g es troba situat damunt d'un disc a 10 cm del centre de gir. Si el disc gira a 45 r.p.m., determineu el valor de la força centrípeta que manté el dau damunt del disc sense caure i el valor del coeficient de fricció µ.

EXEMPLERESOLTIII:

Una atracció de fira, que consta d'una cabina cilíndrica sense bases, girarespectealseueixambunarapidesaangularconstantde5rad/s.Encontacteamb la paret interna hi ha una persona de 40 kg de massa que girasolidàriamentamblacabinaiespotposarenqualsevolposicióperònocauperefecte centrípet. El coeficientde fricció estàtic valµ = 0,2. a) Identifiqueu lesforcesexercidessobrelapersonaal'interiordelacabinagirant.b)Quinaforçaexerceixlafunciódeforçacentrípeta?c)Calculeuelvalordelradidelacabinacilíndrica.

a) Sobre la persona actuen tres forces: el pes, la normal des de la superfície i elfregamentqueequilibraelpespermantenirlapersonaquieta,malgratlarotació.

b)Elpaperdeforçacentrípetanoméselpotferlaforçanormal, jaqueenaquestcasapuntacapalcentredelarotació.

c)Comhemditquelanormaléslacentrípeta:N=m·ω2·R; d'onobteniml'equacióperalcàlculdelradidelacabina:R=N/(m·ω2).

Necessitemel valorde la forçaN i el calculemapartirde la relacióamb la forçadefregament:FR=µ·N.Comhemditabans,laforçadefregaments'had'igualaralpesperestarenequilibrii,pertant:FR=P=µ·N,ésadir:N=P/µ.

Hoincorporemtotal'equacióprimeraonhavíemaïllatRiquedarà:

R=P/(µ·m·ω2)=m·g/(µ·m·ω2)=g/(µ·ω2).ComveiemelRnodepèndelamassa.

Substituïmlesdadesiquedarà:R=9,8/0,2·52=1,96m

!

U.7 DINÀMICA

7.18

A.62 Un bloc de 2 kg de massa està unit per un cable de 30 cm al centre d'una taula horitzontal. El bloc es mou descrivint un moviment circular uniforme amb una rapidesa angular de 10 rpm sobre la taula. Es demana: a) Calculeu el valor de la tensió del cable si suposem que no hi ha fregament. b) Si unim el primer bloc a un segon bloc de 5 kg mitjançant un segon cable de 15 cm de longitud, determineu el valor de la tensió dels cables.

A.63 Una massa m = 1 kg situada sobre una taula horitzontal, on el fregament és menyspreable, està unida a una altra massa M = 4 kg penjada mitjançant un cable que passa per un orifici de la taula. L'objecte de massa M es troba en repòs mentre que el cos de massa m descriu un moviment circular uniforme de radi 10 cm. Es demana: a) identifiqueu les forces que actuen sobre cada cos amb els diagrames de forces corresponents; b) calculeu el valor de l'acceleració i la rapidesa del cos de massa m.

A.64 Un trenet d'una muntanya russa es troba fent un rínxol en la part més alta de la corba vertical. a) Identifiqueu les forces que actuen sobre un vagó que es troba en la posició més elevada i raoneu quines d'elles faran el paper de força centrípeta. b) Calculeu el valor de la força de contacte si el tren circula a una velocitat de 40 km/h en aquest punt, el radi del rínxol és de 5 m, la massa aproximada del vagó amb els passatgers és de 250 kg i el coeficient de fricció val µd = 0,4. (R: 3723 N)

U.7 DINÀMICA

7.19

Corbes amb peral t o amb inc l inac ió de l mòbi l

EXEMPLERESOLTIV:

Unautomòbils'aproximaaunacorbamolttancadaqueperpoderfacilitarelgirs'ha dissenyat amb un peralt de 25° d'inclinació. Es demana: a) Analitzeu lafiguraadjunta i raoneuquina força faràelpaperdecentrípeta.b)Calculeu lavelocitatmàxima ambquè el vehicle podrà agafar la corba sense eixir-se'n siaquestatéunradide75m,sisuposemqueelfregamentésmenyspreable.

a)Perentendrelasituació,enaquestcas,convédescompondrelaforçanormalsobrelasuperfíciedelperalt,aixícomprovemqueapareixunacomponentendirecció isentitcapalcentredelacorbaiaquestahadeserlaforçacentrípeta:FCP=NH=N·sinθ.

b)Apartirdelraonamentanteriorpodemescriure:FCP=NH=N·sinθ=m·v2/R.

D'altrabanda, la component verticalde lanormal s'had'equilibrar ambelpes i, pertant:NV=P=N·cosθ.

Sidividimlesduesequacions,atèsquelanormalnoensinteressa,quedarà:NH/NV=N·sinθ/N·cosθ=tgθ,peròtambé:NH/NV=m·v2/(mg·R)=v2/gR.Pertantelproblemaquedaresoltsubstituintiaïllantvenl'equació:

tgθ=v2/gR,oncomprovemquelamassadelvehiclenoinflueix,totdepèndelradiidel'angledelperalt.Pertantsubstituintvalors:tg25°=v2/(9,8·75);d'on:

v=18,5m/s=66,6km/h.

Una altra possibilitat per a descr iure una corba sense necess i tat que es t iga peral tada la tenen els vehicles com la moto o la bicicleta que aprofiten la força normal de contacte amb la superfície i s'inclinen cap al centre de la corba per tal d'augmentar l'efecte del fregament, així la seua força centrípeta es compon del fregament i la component horitzontal de la normal, ja que ací la normal estarà també inclinada.

U.7 DINÀMICA

7.20

A.65 a) Determineu l'expressió per a calcular la velocitat màxima amb què un motorista pot prendre una corba plana amb fregament. b) Calculeu la velocitat màxima amb la qual un cotxe de 1000 kg i una moto de 100 kg poden agafar una corba de 25 m de radi sense peralt, si suposem que µe = 0,5 i que el motorista pot inclinar la seua moto un angle de 45° respecte de la vertical. (R: b) v cotxe = 11,1 m/s ; v moto = 20,45 m/s)

El motorista no necessita peralt per agafar la corba, ho aconsegueix igualment inclinant-se

cap al centre de la corba que vol agafar

En inclinar-se, la component horitzontal de la normal fa de força centrípeta, sumada a la

fricció estàtica que ací és necessària

12. DINÀMICA DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

Considerem un ressort elàstic ideal que hi porta subjecta una massa "m" amb llibertat per moure’s sobre una superfície horitzontal sense fregament. L’observació de les deformacions produïdes per una força que actua sobre el ressort o moll, mostren que a major força major deformació. Això permet emetre la hipòtesi que la força aplicada és proporcional a la deformació, o dit d’altra manera, que el ressort s’oposa a la deformació amb una força idèntica però de sentit contrari, que rep el nom de for ça recuperadora o for ça e làs t i ca :

Fext = k·x Fint = −k·x

Tal com hem vist anteriorment, les expressions anteriors, vàlides dintre del límit

d’elasticitat del moll, constitueixen la l l e i de Hooke . La constant k rep el nom de constant recuperadora o e làst i ca , i es mesura en N/m en el S.I.

U.7 DINÀMICA

7.21

La llei de Hooke ens permet donar una definició operativa del moviment harmònic simple:

Una partícula oscil·lant, movent-se alternativament a ambdós costats de la seua posició d’equilibri, descriu un M.H.S. quan la força que actua sobre el mòbil és proporcional a la distància respecte de la posició d’equilibri (elongació) i dirigida en sentit contrari a aquesta.

Ara igualem l’equació fonamental de la dinàmica a la llei de Hooke i substituïm l'acceleració per l'equació del moviment harmònic simple. Així podem obtenir l’equació que relaciona la constant elàstica (k) amb la massa del ressort (m) i el període de l'oscil·lador (T):

Faplicada = m· a = − m· ω 2·x

Frecuperadora = − k· x = − m· ω 2·x

Igualem, eliminem termes comuns i queda: k = m· ω 2 , és a dir: ω 2 = k/m

Substituïm ω per 2π/T i tenim: (2π/T)2 = k/m que equival a: T2 = 4π 2· m/k

T = 2π √(m/k)

Podem concloure que un oscil·lador té un període major com més massa tinga i menor siga la constant elàstica i que hi ha una relació quadràtica entre el període (T) i les magnituds esmentades.

A.66 Determineu el període d'un moll de constant elàstica 50 N/m que sosté una massa de 2 kg. (R: 1,26 s)

A.67 Per a determinar la constant elàstica d'un moll hem penjat una massa de 4 kg i l'hem feta oscil·lar amb una freqüència de 1 Hz. Calculeu el valor de k. (R: 158 N/m)

A.68 Determineu la pulsació i la freqüència d'un moviment harmònic simple que experimenta una massa de 400 g subjecta a un ressort de k = 40 N/m. (R: ω = 10 rad/s ; ν = 1,59 Hz)

U.7 DINÀMICA

7.22

12. ACTIVITATS COMPLEMENTÀRIES

ASPECTES BÀSICS

A.69 Expliqueu si aquestes frases són correctes: a) El principi d’inèrcia és fals ja que quan un ciclista deixa de pedalar acaba

aturant-se. b) Un cos que es mou molt lentament és molt fàcil frenar-lo. c) Quan es llança verticalment cap amunt un cos, la força que el fa pujar va

fent-se cada vegada menor fins que s’anul·la en el punt més elevat. d) La força gravitatòria que la Terra exerceix sobre una persona és major

que la que exerceix la persona sobre la Terra, ja que l’efecte apreciat en la persona és major.

(R: a) F; b) F; c) F; d) F)

A.70 Determineu quina serà la força que hem d’aplicar a un cos de 60 kg per a comunicar-li una acceleració de 3 m/s2. ¿I per a comunicar-li una rapidesa de 9 m/s, als 6 s de començar el moviment? ¿I si volem que recórrega un espai de 30 m en 5 s, si ix del repòs? (R: 180 N; 90 N; 144 N)

A.71 Dibuixeu totes les forces implicades en aquestes situacions dinàmiques: a) Un objecte de massa “m” descansa sobre un altre de massa “2m” que a la

vegada reposa sobre un pla horitzontal. b) Un objecte A es recolza sobre un pla ascendent inclinat 20° i està unit

mitjançant una corda que passa per una corriola a un altre objecte B que es recolza sobre un altre pla inclinat 40° en sentit contrari al pla anterior. Ambdós cossos tenen la mateixa massa i es mouen amb certa acceleració i el coeficient de fregament dinàmic és distint de zero.

A.72 Un home de 70 kg es troba en un ascensor. Calculeu la força que ell exerceix sobre el terra de l’ascensor (o la que l’ascensor exerceix sobre ell), en aquests casos: a) quan l’ascensor té un moviment uniforme de pujada o baixada; b) quan l’ascensor té una acceleració cap amunt de 2 m/s2; c) quan l’acceleració siga de sentit contrari al cas anterior; d) en el cas que es trenque el cable de l’ascensor i caiga amb l’acceleració de la gravetat. (R: a) 686 N; b) 826 N; c) 546 N; d) 0 N)

A.73 Dibuixeu totes les forces implicades en aquestes situacions dinàmiques: a) Un objecte de massa “m” penja d’un cable lligat del sostre, a la vegada

que d’aquest objecte penja un altre cos de massa “2m” mitjançant un altre cable.

b) Un objecte A penja d’un cable que passa per una corriola i està unit a un altre objecte B que es recolza sobre un pla horitzontal. El cos B també està unit amb un altre cable que passa per una altra corriola a un tercer cos C que penja per l’altre costat del pla. Tots els cossos tenen la mateixa massa i es mouen amb certa acceleració i el coeficient de fregament dinàmic és distint de zero.

U.7 DINÀMICA

7.23

LA QUANTITAT DE MOVIMENT

A.74 Un atleta llança un cos de 10 kg amb una força de 250 N. Si l'impuls dura 2 s, calculeu la rapidesa del cos a l'eixida. (R: 50 m/s)

A.75 Els gasos procedents de l’expansió de la pólvora actuen en un fusell durant una centèsima de segon. El projectil llançat té 8 g i els gasos produeixen una força de 120 N. Calculeu: a) l’acceleració del projectil; b) la rapidesa que té a l’eixida; c) la longitud del canó; d) la rapidesa de retrocés del fusell, si té una massa de 4 kg. (R: a) 15000 m/s2; b) 150 m/s; c) 75 cm; d) -0,3 m/s)

A.76 El canó d’un avió que té una massa de 15000 kg llança un projectil de 7,6 kg de massa amb una rapidesa de 570 m/s. Calculeu la variació en la rapidesa de l’avió quan dispara en la mateixa direcció i sentit que vola. (R: Δv = -0,29 m/s)

A.77 Disparem horitzontalment amb una rapidesa de 90 km/h un projectil de 50 g de massa dirigit cap a un bloc de fusta d’1 kg que es troba en repòs sobre una superfície horitzontal sense fregament de manera que amb l’impacte el projectil s’incrusta en el bloc. Calculeu la rapidesa amb què es mourà el conjunt després de l’impacte i expliqueu en quin principi et bases per a fel el càlcul. (R: 1,19 m/s)

A.78 Un patinador de 80 kg que es desplaça a 36 km/h xoca frontalment amb un altre de 50 kg que està inicialment en repòs i continuen units sense caure després de la col·lisió. Determineu la rapidesa amb què es desplacen units. Indiqueu i enuncieu el principi en què us baseu per a calcular la velocitat. (R: 6,15 m/s)

DIFERENTS SITUACIONS DINÀMIQUES

A.79 Un tractor de 2000 kg arrossega dos remolcs de 3000 kg cadascun amb una acceleració de 0,25 m/s2. Calculeu la força que realitzarà el motor i també les tensions de cadascun dels cables. (R: ⏐FM⏐ = 2000 N; ⏐T1⏐ = 1500 N; ⏐T2⏐ = 750 N)

A.80 Trobeu la tensió de la corda en el punt A de la figura, quan el sistema es mou si suposem: a) que no hi ha fricció; b) que el coeficient de fricció val µ = 0,3. Dades: m1 = 100 kg; m2 = 200 kg; θ = 30°. (R: a) 980 N; b) 1130 N)

U.7 DINÀMICA

7.24

A.81 Llancem un objecte cap amunt per un pla inclinat 25° amb l’horitzontal. a) Dibuixeu un esquema amb les forces que actuen sobre l’objecte. b) Calculeu l’acceleració del cos quan puja. Dada: coeficient de fregament dinàmic: µd = 0,15. (R: b) –5,47 m/s2)

A.82 Un objecte de 3 kg de massa (m2) penja d’un cable que passa per una corriola i continua unit a un altre cos de 2 kg de massa (m1) que es desplaça per un pla horitzontal. El coeficient de fregament dinàmic entre el cos i la superfície val µd = 0,2. Determineu: a) la tensió del cable; b) l’acceleració amb què es mou el sistema. (R: a) 14,1 N ; b) 5,1 m/s2)

A.83 Un tractor de 3000 kg arrossega mitjançant un cable un remolc de 5000 kg. Considerem el coeficient de fregament dinàmic de les rodes amb el sòl per ambdós cossos µd = 0,2. Calculeu la tensió del cable i la força que fa el motor de tracció per tal que el sistema es moga amb una acceleració constant de 0,83 m/s2. (R: T = 13950 N ; b) FM = 22320 N)

A.84 Un objecte de 5 kg de massa penja d’un cable que passa per una corriola i continua unit a un altre cos de 3 kg de massa que es desplaça per un pla inclinat 30° amb l’horitzontal, tal com es veu a la figura. El coeficient de fregament dinàmic entre el cos i la superfície val µd = 0,15. Determineu: a) la tensió del cable; b) l’acceleració amb què es mou el sistema. (R: a) 29,95 N ; b) 3,81 m/s2)

A.85 Un cos es desplaça per un pla inclinat 20° amb l’horitzontal i es troba unit a

un altre cos que penja d’un cable que passa per una corriola, tal com es veu a la figura. El coeficient de fregament dinàmic entre el cos i la superfície val µd = 0,2. Sabem que la tensió del cable val 18 N i l’acceleració amb què es mou el sistema és de 0,80 m/s2. Determineu les masses dels dos cossos. (R: m1 = 3 kg, m2 = 2 kg)

U.7 DINÀMICA

7.25

A.86 Un tractor de 2500 kg arrossega mitjançant dos cables successius dos remolcs de 4500 kg cadascun. Considerem el coeficient de fregament dinàmic de les rodes amb el sòl per a tots els cossos µd = 0,3. Calculeu: a) la força que fa el motor de tracció per tal que el sistema es moga a velocitat constant; b) les tensions que suporten els cables. (R: a) FM = 33810 N ; b) T1 = 26460 N, T2 = 13230 N)

A.87 Dos objectes de 10 kg de massa estan units mitjançant un cable que passa per una corriola i es desplacen cadascun sobre un pla inclinat 30° amb l’horitzontal amb inclinació contrària, tal com es veu a la figura. El coeficient de fregament dinàmic entre el cos i la superfície d'un pla inclinat val µ1 = 0,25 i el de l'altre val µ2 = 0,45. Determineu: a) la tensió del cable; b) l’acceleració amb què es mou el sistema. (R: a) 40,52 N ; b) -2,97 m/s2)

A.88 Un objecte de massa m1 es mou sobre un pla horitzontal arrossegat per un

cable que més endavant passa per una corriola i continua unit a un segon cos de massa m2 que es desplaça per un pla inclinat descendent respecte al primer. L'angle del segon pla amb l'horitzontal val 30°, la tensió del cable val 880 N i el sistema es desplaça amb una acceleració de 0,5 m/s2. Si el coeficient de fregament dinàmic val µd = 0,1 per a les dues superfícies, calculeu les masses m1 i m2. (R: m1 = 594,6 kg ; m2 = 247,5 kg)

A.89 Determineu el pes d’una persona de 60 kg de massa en aquestes situacions:

a) a 100 km sobre el nivell del mar; b) a 2 radis terrestres sobre el nivell del mar; c) en el planeta Mart. d) Enuncieu breument la llei en què us baseu per a fer els càlculs. Dades: MTERRA = 6·1024 kg; RTERRA = 6378 km ; G = 6,67·10-11 Nm2/kg2 ; MMART = 6,6·1023 kg ; RMART = 3380 km. (R: a) 572,2 N ; b) 65,6 N ; c) 231,2 N)

ELS MOVIMENTS CIRCULARS

A.90 Un cotxe agafa una corba de 80 m de radi a una rapidesa de 72 km/h. Si suposem que no hi ha fricció entre les rodes i el ferm, calculeu la tangent de l’angle de peralt i el mateix angle que cal per tal que el cotxe no se n’isca de la corba. (R: tg α = 0,51 ; α = 27°)

U.7 DINÀMICA

7.26

A.91 En una prova de seguretat de cotxes un model va ser capaç de girar una corba horitzontal de 45 m de radi amb una rapidesa de 68 km/h sense lliscar. Suposant que la rapidesa del cotxe es va mantenir constant durant tota la trajectòria, calculeu: a) el valor de l’acceleració centrípeta; b) el valor mínim del coeficient de fregament estàtic. (R: a) 7,93 m/s2 ; b) µe = 0,81)

A.92 Una esfera de 300 g lligada a una corda gira en un cercle horitzontal de 20 cm de radi constituint un pèndol cònic com indica la figura. La corda forma un angle de 45° amb la vertical. Calculeu: a) la tensió de la corda; b) la rapidesa de l’esfera. (R: a) 4,16 N ; b) 1,4 m/s)

A.93 El satèl·lit europeu Envisat es troba en una òrbita estable a 800 km de la

superfície de la Terra. Si sabem que la massa del satèl·lit és de 8 t, determineu: a) el valor de la força que fa girar el satèl·lit. b) Feu un dibuix amb les forces que actuen sobre el satèl·lit i explica’n l’origen i l’efecte. Si suposem que el moviment del satèl·lit, respecte al centre de la Terra, és circular uniforme: c) calculeu l’acceleració centrípeta del satèl·lit; d) ¿quantes voltes fa el satèl·lit en un dia al voltant del centre de la Terra? Dades: MTerra = 6·1024 kg ; RTerra = 6378 km ; G = 6,67·10-11 Nm2/kg2. (R: a) 62138 N ; c) 7,77 m/s2 ; d) 14,3 voltes)

L'OSCIL·LADOR HARMÒNIC

A.94 Determineu la freqüència d'un oscil·lador de constant elàstica 100 N/m que sosté una massa de 5 kg. (R: 0,71 Hz)

A.95 Per a determinar la constant elàstica d'un moll hem fet oscil·lar una massa de 0,5 kg de manera que en cada cicle ha emprat 1,5 s. Calculeu el valor de k. (R: 8,8 N/m)

A.96 Una massa de valor desconegut ha oscil·lat penjada d'un moll de k = 20 N/m amb un ritme de 2 cicles per segon. Determineu el valor de la massa. (R: 0,1 kg)

A.97 Una massa m penjada d’un moll de constant elàstica k i longitud L oscil·la harmònicament amb freqüència ν. Tot seguit, la mateixa massa es penja d’un altre moll que té la mateixa constant elàstica k i longitud doble 2L. Amb quina freqüència oscil·larà? Raoneu la resposta.

U.7 DINÀMICA

7.27

UN TAST D'HISTÒRIA DE LA CIÈNCIA

A.98 Llegiu i comenteu la següent biografia de Newton amb l'ajut de les qüestions.

ElfísicanglèsIsaacNewtonvanàixereldiadeNadaldel'any1642enelllogaretdeWoolsthorpe,alcomtatdeLincolnshire.Fouunxicottranquilque,comaljoveGalileu,liagradavaconstruir i arreglaraparellsmecànics i semblava teniruna inclinació secretaenvers lesmatemàtiques.Era fillpòstum inasquéprematur,améssamarees tornàacasarquanellerapetitiescriàambelsavis.L'afortunadaajudad'unoncleseulipermetéd'estudiaralTrinityCollegedelaUniversitatdeCambridge,el1661.Allívademostrarserunexcel·lentalumneimoltaplicatal'estudi.Als24anys,el1666,jahaviafetimportantscontribucions al càlcul matemàtic (el teorema del binomi i el càlcul diferencial), al'òptica(teoriadelcolor)ienmecànica.

Respected'aquestperíodeNewtonescriguéanysdesprés:"Ielmateixanyvaigco-mençarapensarenlagravetatques'esteniaal'òrbitadelaLlunai...apartirdelaregladeKeplervaigdeduirquelesforcesquemantenenelsplanetesenòrbitahand'estarenraó inversadelquadratde lesdistànciesalcentrealvoltantdelqualgiren iaixívaigcompararlaforçanecessàriaperamantenirlaLlunaenlaseuaòrbitaamblaforçadelagravetatalasuperfíciedelaTerraivaigtrobarperaellaunresultatbastantexacte.Totaixòvaserenelsdosanysdelapestade1665i1666,jaqueenaquellsanysestavaal'edat ideal per a la invenció i discorria sobre matemàtiques i filosofia millor quequalsevoltempsdesprés".

Dels escrits deNewtonpodemdeduir quedurant aquells anys sen'havia anat de

Cambridge,acausadelapesta,iestudiavatotsolasacasadeWoolsthorpeillavorsha-viadesenrotllatunaclaraideadelesduesprimereslleisdelmovimentidelafórmulapera l'acceleració centrípeta, encara que no ho va anunciar fins molts anys després del'aparició de la formulació equivalent deHuygens. En aquesta època tindria lloc la fa-mosaanècdotadelacaigudadelapoma.UndelsmillorsbiògrafsdeNewton,elseuamicStukely,esmentaqueundiaestavenprenenttéenunjardídavalld'unespomeresiNew-tonlicontàquefouenunasituaciósemblantquanseliacudíperprimeravegadaelcon-ceptedegravitació,quanestrobavaassegutambesperitcontemplatiu iveiécaureunapoma.

QuantornàaCambridge,Newtonvaarribarasertanfamóspelsseustreballsquevasucceirelseumestrecomaprofessordematemàtiques.DonàmoltesconferènciesivapublicararticlesenlaRoyalSocietydeLondres.Tinguerenrenomelstreballssobreòp-ticaiquanpublicàen1672laseuaTeoriasobrelallumielscolorshihaguerengrans

U.7 DINÀMICA

7.28

controvèrsiesentreellielsseusrivalsi,pelseucaràcterintrovertititímid,decidídenopublicarresmés.Arrand'aixòesconcentràenelsseustreballssobremecànicacelesteil'estudidelsmovimentsplanetariscomaproblemafísic.

En1684,elseuamicEdmondHalleylidemanàconsellenladisputaquemanteniaambChristopherWreniRobertHookerespectealaforçaquehad'actuarsobreuncospertalqueesmogaambunatrajectòriael·líptica,d'acordambleslleisdeKepler.Newtonlicontestàquefeiaanysqueelljahaviaresoltaquesti"moltsaltres"problemes.Halleyl'animà a completar el seu treball i publicar les seues conclusions sobre un dels pro-blemescientíficsmésdebatutsiinteressantsd'aquellmoment.Enpocmenysdedosanysd'intens treballpreparà lapublicació en 1687delsPrincipismatemàticsde filosofianatural,potserelllibredefísicamésfamósdelahistòria,ambelqualNewtonadquirílareputaciód'undelsmajorscientíficsdetotselstemps.Enaquestllibreapareixenlessín-tesiselaboradesapartirdelesideesdelmovimentencetadesperGalileuienunciadesenformadeprincipisbàsicspelmateixNewton,peròdestacasobretotlaseualleisobrelaGravitacióUniversalamblaqualexplicaelmovimentplanetari.

Uns anys després,Newton, que sempre havia tingut una salut delicada, patí unamenadedepressiónerviosaielseucomportamentliocasionàgreusenfrontamentsambquihavienestatamicsseus.Méstardesdedicàalsseusestudisprimitiussobreòptica,peròjanoféudescobrimentsimportantsiesdecantàméscapaestudisteològics.Durantaquellsanysrebénombrososhonors.En1699founomenatGuardiàdelaCasadelaMo-nedaiméstardarribàadirectord'aquestainstitució,dedicant-seaorganitzarlacircu-laciómonetàriadelseupaís.En1689i1701representàlaseuaUniversitatalParlamentili fouconceditel títoldeSiren 1705.Desde 1703 finsquevamorir, foupresidentde laRoyalSociety,desd'oncontrolavalapublicaciódenombrosostreballsdecompanysseus.Són coneguts els enfrontaments amb l'alemany Leibniz sobre la prioritat del descobri-ment del càlcul diferencial i integral. Vamorir en 1727 i fou sepultat amb lamàximadignitatal'abadiadeWestminster,comtotselsheroisnacionalsanglesos.

Q1. Confeccioneu una llista dels personatges que apareixen en el text i feu un es-quema que expresse les relacions entre ells.

Q2. Esmenteu algun personatge històric conegut del vostre país o ciutat que siga contemporani de Newton.

Q3. Destaqueu els principals científics contemporanis de Newton i recolliu informació sobre els treballs que van fer.

Q4. Feu una breu cronologia amb les dates que apareixen en el text i, pa-ral·lelament, esmenteu els principals fets històrics que ocorregueren durant la vida de Newton.

Q5. Resumiu els fets que considereu més significatius de la vida de Newton.

B