Repaso Programación Lineal

Modelo Giepetto

Variables de Decisiónx1 = número de soldados producidos cada semana

x2 = número de trenes producidos cada semana

Función Objetivo Maximize z = 3x1 + 2x2

Restricciones:

1 En cada semana se dispone de un máximo de 100 hrs para terminado

2 x1 + x2 ≤ 100

2 En cada semana se dispone de a lo más 80 horas de carpintería

x1 + x2 ≤ 80

3 A lo más se deben producir 40 soldados.

x1 ≤ 40

Un conjunto de puntos S es un conjunto convexo si el segmento que une cualquier par de puntos en S está contenido totalmente en S.

Para cualquier conjunto convexo S, un punto p en S es un punto extremo si cada segmento que está completamente en S que contiene el punto P tiene P como punto final del segmento

Considere las figuras (a) – (d):

A E B

DC

A B

A B

(a) (b) (c) (d)

Max z = 3x1 + 2x2 (función objetivo)

Sujeto a (s.a.):

2 x1 + x2 ≤ 100 (terminado)

x1 + x2 ≤ 80 (carpintería)

x1 ≤ 40 (máx demanda de soldados)

x1 ≥ 0 (positivo)

x2 ≥ 0 (positivo)

X1

X2

10 20 40 50 60 80

20

40

60

80

10

0

finishing constraint

carpentry constraint

demand constraint

z = 60

z = 100

z = 180

Feasible Region

G

A

B

C

D

E

F

H

Se tiene que:

La región factible para cualquier problema de PL será un conjunto convexo.

La región factible para cualquier problema de PL tiene sólo un número finito de puntos extremos.

Cualquier problema de PL que tiene una solución óptima tiene un punto extremo que es óptimo.

Infinitas soluciones

1

40x1

1

60x2 1

1

50x1

1

50x2 1

x1 x2 0

1

40x1

1

60x2 1

1

50x1

1

50x2 1

x1 x2 0

max z = 3x1 + 2x2

X1

X2

10 20 30 401 0

2 03 0

4 05 0

Feasible Region

F50

6 0

z = 60

z = 100 z = 120

A

B

C

D

E

s.a.

max z = 3x1 + 2x2

1

40x1

1

60x2 1

1

50x1

1

50x2 1

x1 30

x2 20

x1 x2 0

No existe región factible X1

X2

10 20 30 4010

2030

4050

No Feasible Region

5060

x1 >= 0

x2 >=0

Sin solución

max z = 2x1 – x2

s.t. x1 – x2 ≤ 1

2x1 +x2 ≥ 6

x1, x2 ≥ 0

X11 2 3 4

1

2

3

4

X2

5

6

5 6

A

B

C

Feasible Region

z = 4

z = 6

D

No acotado, con soluciones factibles

Forma Standard Problema de Programación Lineal: Método Simplex

Min Z = CT X

s.a. Ax = b x≥0

Min(-z) = -3x1 - 2x2 (función objetivo)

Sujeto a (s.a.):

2 x1 + x2 + x3 = 100 (terminado)

x1 + x2 + x4 = 80 (carpintería)

x1 + x5 = 40 (máx demanda de soldados)

xi ≥ 0, i=1,..,5

x3 , x4 ,x5 variables de holgura

Tableau 1 del Ejemplo

Tableau 2 del Ejemplo

Tableau 3 del Ejemplo

Tableau 4 del Ejemplo