Ubicación de cintas transportadoras. Enfoque geométrico · 2007-03-14 · Ubicacion optima en 1D...

Ubicacion de cintas transportadoras.Enfoque geometrico

J. Cardinal, S. Colette, F. Hurtado, S. LangermanB. Palop, Dpto. Informatica, U. Valladolid, Spain

PlanteamientoCalculo del diametro en 1D

Ubicacion optima en 1DTecnica de Chan

Ubicacion optima en 2D con orientacion fijada

Planteamiento

I La ubicacion optima minimiza el diametro

I Los medios de transporte modifican las distancias

Cardinal, Colette, Hurtado, Langerman, Palop Ubicacion de cintas transportadoras. Enfoque geometrico




Planteamiento

?





Calculo del diametro en 1D

Ubicacion optima en 1D

Tecnica de Chan






Cota inferior Ω(n log n)Algoritmo θ(n log n)

Diametro 1D. Cota inferior Ω(n log n)

I Sean A y B dos conjuntos de numeros

I Saber si A ∩ B = ∅ es Ω(n log n)







0 1 2

A B

ba







0 1 2

A B

ba

B+1







0 1 2

A B

ba

B+1

0 1 2

ba







ba

ba







ba







I En tiempo lineal sabemos si el diametro es 1

I El diametro es 1 sii A ∩ B 6= ∅I Calcular el diametro es Ω(n log n)






Diametro 1D. Algoritmo θ(n log n)

Escalar y dividir en O(n log n)

I II III IV

0 (a+b)/2 1a b







Siempre se usa la cinta. Localizar extremos en O(1)

I II III IV

0 (a+b)/2 1a b







Nunca se usa la cinta. Localizar extremos en O(1)

I II III IV

0 (a+b)/2 1a b







Transportar al cırculo. Calcular mayor angulo en O(n)

I II III IV

0 (a+b)/2 1a b





Algoritmo θ(n)

Ubicacion 1D. Algoritmo O(n)

Buscar maximo y mınimo en O(n)

(n+m)/2n m





Algoritmo θ(n)


Buscar mas proximos al punto medio en O(n)

r sn m





Algoritmo θ(n)


Ubicar la cinta en los puntos medios en O(1)

r sa bn m





Problemas de tipo LPFunciones cuasiconvexasTeorema de Chan

Chan. Problemas de tipo LP

I H es un conjunto de restricciones

I w : 2H → W asocia un valor a cada subconjuntoI w(H) es de tipo LP si para H ⊆ H y h ∈ H

1. w(H) = w(B) para algun B ⊆ H2. w(H ∪ h) ≥ w(H)3. si w(H) = w(B) y B ⊆ H,

w(H ∪ h) = w(H) ⇐⇒ w(B ∪ h) = w(B)

I Si d es constante, los problemas de tipo LP son O(n) esperado






Chan. Funciones cuasiconvexas

I Interpretamos la busqueda de w(H) como la localizacion delmınimo en la envolvente superior de un conjunto desuperficies.

I Una funcion es cuasiconvexa si todos sus niveles inferiores sonconvexos.

I f ((x + x ′)/2) ≤ maxf (x), f (x ′)I Teorema. Un programa cuasiconvexo en dimension d es un

problema de tipo LP de dimension, a lo mas, 2d + 1.








I Si las superficies son hiperplanos, es un problema deprogramacion lineal;












I si las definen funciones convexas, es programacion convexa.












I si las definen funciones convexas, es programacion convexa.

I Se resuelven con algoritmos aleatorizados en O(n)












I f ((x + x ′)/2) ≤ maxf (x), f (x ′)

I Teorema. Un programa cuasiconvexo en dimension d es unproblema de tipo LP de dimension, a lo mas, 2d + 1.






Chan. Teorema

Sea P la entrada de tamano n y H las funciones cuasiconvexas.Si existe una funcion g : 2P → 2H t.q. :

I Para B ⊂ P con |B| = O(1), g(B) es O(1)

I Dado P ⊂ P y (x , y), es O(D(P)) decidir si y ≥ fi (x) coni = 1, 2 . . . n. Ademas, D(n)/nε es monotona creciente.

I Existen α < 1 y r ∈ N t.q. para cualquier P ⊂ P podemosdefinir P1,P2, . . . ,Pr de tamano α|P| t.q. g(P) = ∪r

i=1g(Pi )en tiempo O(D(|P|))

Podemos calcular g(P) en tiempo esperado O(D(|P|)) paracualquier P ∈ P






Chan. Consecuencias

I Podemos resolver un problema cuasiconvexo en el mismotiempo (asintotico) en que decidimos si una solucion esfactible.

I El diametro de un conjunto es uno de entre los(n2

)pares de

puntos

I Si se satisfacen las condiciones de Chan y podemos comprobaruna solucion en O(D(n)), podemos encontrar el par enO(D(n))





Pares origen-destinoProblema decisionalAlgoritmo O(n log n) esperado

Diametro 2D. Origen-destino

I Problema: Dados n pares de origen-destino, encontrar laubicacion optima de la cinta

I Solucion: La distancia entre pares de puntos es una funcioncuasiconvexa.fi (a, b) = mind(si , ti ), d(si , a) + 1

v d(a, b) + d(b, ti )

I El problema es de tipo LP, por lo que cuesta tiempo lineal

ax xbay

if (a*,b)






Diametro 2D. Origen-destino

I Problema: Dados n pares de origen-destino, encontrar laubicacion optima de la cinta

I Solucion: La distancia entre pares de puntos es una funcioncuasiconvexa.fi (a, b) = mind(si , ti ), d(si , a) + 1

v d(a, b) + d(b, ti )I El problema es de tipo LP, por lo que cuesta tiempo lineal

ax xbay

if (a*,b)






Diametro 2D. Decision

I Problema: Dados n puntos y una cinta, determinar si eldiametro no es mayor que cierta cantidad y

I Solucion:

1 Partir segun bisector y hallar diametros euclıdeos

R B








I Solucion:

2 Suponer discos de tiempo y sobre los puntos de R

y

R B








I Solucion:

3 Comprobar si los puntos de B estan en la interseccion3.1 Ordenar los puntos de R por distancia al extremo

y

854

13

76

2

R B








I Solucion:

3 Comprobar si los puntos de B estan en la interseccion3.2 Localizar el ultimo ındice para cada punto de B

85

13

76

4

2

y

3

87

7

3 3

R B








I Solucion:

3 Comprobar si los puntos de B estan en la interseccion3.3 Verificar si se llega sin usar la red desde los demas

85

13

76

4

2

y

3

87

7

3 3

R B








I Usando las estructuras de datos adecuadas se resuelve enO(n log n)






Algoritmo O(n log n) esperado

Teorema de Chan Sea P la entrada de tamano n y H lasfunciones cuasiconvexas. Si existe una funcion g : 2P → 2H t.q.:

I Para B ⊂ P con |B| = O(1),g(B) es O(1)











Teorema de Chan Sea P el conjunto de puntos y H las funcionescuasiconvexas. Si existe una funcion g : 2P → 2H t.q.:












Teorema de Chan Sea P el conjunto de puntos y H la distanciatemporal. Si existe una funcion g : 2P → 2H t.q.:












Teorema de Chan Sea P el conjunto de puntos y H la distanciatemporal. El diametro es t.q.:

I Para B ⊂ P con |B| = O(1), g(B) es O(1)












I Calcular el diametro si |B| = O(1) es O(1)













I Dado P ⊂ P y (x , y), es O(n log n) decidir si y ≥ fi (x) coni = 1, 2 . . . n. Ademas, D(n)/nε es monotona creciente.












I Dado P ⊂ P y (x , y), es O(n log n) decidir si y ≥ diam(P).Ademas, D(n)/nε es monotona creciente.












I Dado P ⊂ P y (x , y), es O(n log n) decidir si y ≥ diam(P).Ademas, (n log n)/nε es monotona creciente.













I Para α = 2/3 y r = 3 para cualquier P ⊂ P podemos definirP1,P2, . . . ,Pr de tamano α|P| t.q. g(P) = ∪r

i=1g(Pi ) entiempo O(D(|P|))











I Para α = 2/3 y r = 3 para cualquier P ⊂ P podemos definirP1 = Q ∪ R,P2 = R ∪ S ,P3 = Q ∪ S de tamano α|P| t.q.g(P) = ∪r

i=1g(Pi ) en tiempo O(D(|P|))Podemos calcular g(P) en tiempo esperado O(D(|P|)) paracualquier P ∈ P











i=1g(Pi ) en tiempo O(D(n log n))












i=1g(Pi ) en tiempo O(D(n log n))

Podemos calcular el diametro en tiempo esperado O(n log n) paracualquier P ∈ P


Moving Walkways, Escalators and ElevatorsJ. Cardinal, S. Colette, F. Hurtado, S. Langerman, B. Palop

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