GUÍA Nº 2(Integral Definida y Aplicaciones)

CÁLCULO II

INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL

UNIVERSIDAD DEL DESARROLLO

1.- Mediante la definición calcule las siguientes integrales

a) 4

1

xdx b)

b

a

dxx )13( c) 2

1 x

dx d)

b

a

dxxCos )(

e) 4

1

2dxx f) 1

0

dxe x g) b

a

xdxe

Haga un grafico que explique cada caso

2.- Calcule el área de las regiones limitadas por las siguientes curvas

a) 0)1( yxxy

b) 312

2

xyx

y

c) 0,12,2 xxyxy

3.- Dada una función continua f estrictamente creciente, tal que 0)0( f .Si g es la

función inversa de f , muestre gráficamente que ba , se tiene que:

a b

abdxxgdxxf0 0

)()(

4.- Si f es una función integrable en ],[ ba entonces

n

k

a

n n

abkaf

n

abLimdxxf

10

])(

[)()( .Luego verifique mediante esta formula

que 4

1

2dxx = 21

5.- Demuestre que si f es una función integrable

a) b

a

dxxf )( =

cb

ca

dxcxf )(

b) b

a

dxxf )( = cb

ca

dxc

xf

c)(

1

6.- Demuestre que si f es una función integrable y

a) Par, entonces

a

a

dxxf )( = 2 a

dxxf0

)(

b) Impar, entonces

0

)(a

dxxf = a

dxxf0

)( y además

a

a

dxxf )( = 0

c) a

dxxf0

)( =

a

dxxaf0

)(

(Interprete Geométricamente)

7.- Demuestre que si f es una función integrable y periódica de periodo T entonces

a) T

dxxf0

)( = Ta

a

dxxf )(

b) nTa

a

dxxf )( = T

dxxfn0

)(

(Interprete Geométricamente)

8.- Demuestre que

a)

1

21a

x

dx =

a

x

dx

1

1

21 donde 0a

b)

1

0

)1( dxxx nm =

1

0

)1( dxxx mn con Nnym

9.- ¿Se puede afirmar que si existe b

a

dxxf )( entonces también existe b

a

dxxf )( ?

En caso afirmativo demuestre, si no proporcione un contraejemplo

10.- Sin calcular las integrales determine cual es mayor

a) 1

0

xdx o

1

0

21 dxx b) 1

0

dxx o 1

0

3dxx

c)

0

)( dxxSen o

0

2 )( dxxSen d) dxx

2

1

1 o dx

x2

1

2

1

11.- Sea )( fAb

a el valor medio de la función f en ],[ ba , dado por:

)( fAb

a =

b

a

dxxfab

)(1

.

Demuestre que si bca entonces existe un número t , 10 t tal que

)( fAb

a = )( ftAc

a + )()1( fAt b

c

Además demuestre que )( gfAb

a = )( fAb

a + )(gAb

a y que )(cfAb

a = )( fcAb

a

12.- Demuestre que las siguientes integrales están acotadas según se indica

a) 6.0)4)(1(

5.0

5.0

5.022

xx

dx

b) 21.0)(25

20.0

4

32

xCos

dx

c) 8

3

2

)(1

2

2

0

2

dxxSen

d) 1)1(

2

1

0

qp

q

x

dx con Nqyp

e) 2

3

32

3

2

3

142

xx

dx (Use que 23 2 x en ]

3

2,

3

1[ )

f) 042.1)1(

)1(010.1

1

02

4

x

dxx (Use que

411

422 x

xx y la desigualdad de

Schwarz que dice que si gyf son integrables en ],[ ba entonces

))()()((])()([ 222

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf ).Aplique esta desigualdad para

estimar el valor de 2

0

)(

dxxxSen

13.- Aplicando el teorema del valor medio para integrales acote las siguientes

a) dxx

x

5

1

2

2

1 b)

2

2

2

1

)1(dx

x

xSen

c) dxx

x

4

2

1 d)

1

0

41 dxx

14.- Calcule el límite de la sucesión a)

n

n

n dxxn

xSenu

3

)1(2

)2(

b)

n

n

n dxx

xCosnv

2

12

)(

15.- Demuestre que si f es una función continua en [ ba, ] y

b

a

dxxf 0)( .Entonces

Existe al menos un ],[ bac tal que 0)( cf

16.- Calcule las derivadas respecto de x para las siguientes funciones

a)

x

dtty1

221 b)

b

xtSent

dty

)(1 22 c)

b

a tCos

xdty

)(1 2

d) x

dttxSenxf1

2 )()( e)

3

)()( 2

x

x

dttLnxf f)

3

)(.)(

x

x

dtt

tTgArcxxf

g) x

x dttxLnxf1

)()(

17.- Demuestre que si h es una función continua y gf , son derivables, entonces para

la función

)(

)(

)(

xg

xf

dtthy se tiene que )('))(()('))(( xfxfhxgxghdx

dy

18.- Aplique el resultado del ejercicio anterior para calcular las derivadas de las

siguientes funciones

a)

2

1

4 )(

x

dttCosy b)

2

6

2

1

x

x

dtt

ty c)

)(

2

3

)()(

xSen

x

dttSentxy

19.- Demuestre que si x

dttfxSenxg0

)())(()( entonces

)()(')()(2)()('' xSenxfxCosxfxgxg

20.- Dada una función 5)1( g y

1

0

2)( dxxg

Conocida

x

dttgtxxf0

2 )()(2

1)( calcule )1(''')1('' ff

21.- La siguiente ecuación define implícitamente a y como función de x .Calcule dx

dy

1)(

)(

)(2

dtt

tSenxyxSen

ySenx

y

22.- Usando el teorema fundamental del cálculo, demuestre que si f es una función

continua de periodo T ,se tiene que a T

dttf0

)( = Ta

a

dttf )(

(Ilustre gráficamente esta igualdad)

Hint: Considere la función

Tx

x

dttfxg )()( derívela y……….)

23.- Demuestre que si yxxf ,0)('' se tiene

1

)()()(

x

x

dttftxxg

Entonces )('' xg no cambia de signo

24.- Determine las constantes bya de manera que 1)(

1

0

2

0

x

x ta

dtt

xSenbxLim

25.- Calcule los siguientes límites a) dttSenx

Lim

x

t

x

0

1

0))2(1(

1

b) dtt

tSent

xLim

x

x

2

0

2

20 1

))((1

26.- Demuestre que si

x

duufxuxF0

)(')()( entonces )()0()(' xffxF

27.- Si

2

1

4 )()(

x

x dttLntxf Calcule )1('')1(' ff

28.- Si dttSen

x

ySenArc

)(.

0

2

2

)(1 calcule )0(''y respuesta 0)0('' y

29.- Dada la función dtt

tSenxf

x

0

22

)(13)( Determine un polinomio

cbxaxxp 2)( tal que )0()0( fp ; )0(')0(' fp ; )0('')0('' fp

Respuesta 2

1 ba 3c

30.- Demuestre que si x

dtxSentfxg0

)()()(

entonces )()(')()(2)()('' xSenxfxCosxfxgxg

31.- Utilizando la integral definida y determinando directamente las primitivas que

necesite, calcule los siguientes límites

a) )1

.........21

(222 n

n

nnLimn

b) )2

.........21

(2

2

2

2

2

2

n

n

n

n

n

nLimn

c) )))1(

(.........)2

()((1

n

nSen

nSen

nSen

nLimn

d) )......21

(1

p

ppp

n n

n

nLim

con 0p