UEM/CTC – Departamento de Informática Curso: Ciência da...
36
UEM/DIN – Prof. Flávio Uber UEM/CTC – Departamento de Informática Curso: Ciência da Computação Professor: Flávio Rogério Uber Eletrônica Digital Mapa de Karnaugh Obs.: a elaboração deste material foi baseada no material do prof. Dr. João Angelo Martini (UEM/DIN) e maioria das figuras é de sua autoria.
Transcript of UEM/CTC – Departamento de Informática Curso: Ciência da...
UEM
/DIN
– Pro
f. Flávio
Uber
UEM/CTC – Departamento de InformáticaCurso: Ciência da ComputaçãoProfessor: Flávio Rogério Uber
Eletrônica Digital
Mapa de Karnaugh
Obs.: a elaboração deste material foi baseada no material do prof. Dr. João Angelo Martini (UEM/DIN) e maioria das figuras é de sua autoria.
UEM
/DIN
– Pro
f. Flávio
Uber
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
-Representação gráfica (visual) da tabela verdade
-Usado para simplificar expressões ou circuitos lógicos
UEM
/DIN
– Pro
f. Flávio
Uber
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh(4 variáveis)(4 variáveis)
TV para 4 variáveis
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
S1 S2 S4 S3
S5 S6 S8 S7
S13 S14 S16 S15
S9 S10 S12 S11
B
A
A
B
CC
A B C D S
0 0 0 0 S1
0 0 0 1 S2
0 0 1 0 S3
0 0 1 1 S4
0 1 0 0 S5
0 1 0 1 S6
0 1 1 0 S7
0 1 1 1 S8
1 0 0 0 S9
1 0 0 1 S10
1 0 1 0 S11
1 0 1 1 S12
1 1 0 0 S13
1 1 0 1 S14
1 1 1 0 S15
1 1 1 1 S16
B
DD D
UEM
/DIN
– Pro
f. Flávio
Uber
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
Hexa
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
B
A
A
B
CC
B
DD D
H1=1
UEM
/DIN
– Pro
f. Flávio
Uber
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
Octeto
1 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 1
1 0 0 1
B
A
A
B
CC
B
DD D
O1=D
UEM
/DIN
– Pro
f. Flávio
Uber
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
Octeto
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
B
A
A
B
CC
B
DD D
O1=B
UEM
/DIN
– Pro
f. Flávio
Uber
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
Octeto
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
B
A
A
B
CC
B
DD D
O1=D
UEM
/DIN
– Pro
f. Flávio
Uber
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
Octeto
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
B
A
A
B
CC
B
DD D
O1=B
UEM
/DIN
– Pro
f. Flávio
Uber
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
Quadra
1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 1
B
A
A
B
CC
B
DD D
Q1=BD
UEM
/DIN
– Pro
f. Flávio
Uber
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
Quadra
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 0
B
A
A
B
CC
B
DD D
Q2=BD
Q1=BD
S=BD+BD
UEM
/DIN
– Pro
f. Flávio
Uber
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
Exemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 4 variáveis
Pares
0 1 0 0
1 0 0 1
0 0 0 0
0 1 0 0
B
A
A
B
CC
B
DD D
P1=BCD
P2=ABD
S=ABD+BCD
12
ExercícioExercício
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio de Mapa de Karnaugh
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
1)
13
SoluçãoSolução
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio de Mapa de Karnaugh
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
1)
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
+ABCD+ABCD+ABCD
Expressão da TV
0 1 1 1
0 1 1 0
1 1 1 0
1 1 1 0
B
A
A
B
CC
B
DD D
O1=D
Q1=AC
P1=ABC
S=ABC+AC+D
14
ExercícioExercício
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio de Mapa de Karnaugh
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
2)
15
SoluçãoSolução
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio de Mapa de Karnaugh
A B C D S
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
2)
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
Expressão da TV
0 1 1 0
1 1 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1
B
A
A
B
CC
B
DD D
Q1=AD
P1=BCD
Q2=AB
S=AD+AB+BCD+ABCD
I1=ABCD
16
ExercícioExercício
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio de Mapa de Karnaugh
A B C D S
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
3)
17
SoluçãoSolução
Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio de Mapa de Karnaugh
A B C D S
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
3)
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
+ABCD+ABCD+ABCD
Expressão da TV
1 0 0 1
1 1 1 1
1 0 1 1
1 0 0 1
B
A
A
B
CC
B
DD D
O1=D
Q2=BC
Q1=AB
S=D+AB+BC
18
ExercíciosExercícios
Minimize as expressões usando Mapa de Karnaugh
1)
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
Expressão
2)
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
Expressão
19
SoluçãoSolução
Minimize as expressões usando Mapa de Karnaugh
1)
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
Expressão
1 1 1 0
1 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
B
A
A
B
CC
B
DD D
P1=ABC
P5=ACD
P2=ABD
S=ABC+ABD+ABC+ABD+ACD
P3=ABC
P4=ABD
20
SoluçãoSolução
Minimize as expressões usando Mapa de Karnaugh
2) Expressão
1 1 0 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 1 0 1
B
A
A
B
C
B
DD D
Q1=CD
Q2=BD
P1=ABD
S=ABD+CD+BD
C
S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD
21
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
Mapa de Karnaugh para 5 variáveis
A B C D E S
0 0 0 0 0 S1
0 0 0 0 1 S2
0 0 0 1 0 S3
0 0 0 1 1 S4
0 0 1 0 0 S5
0 0 1 0 1 S6
1 1 0 1 1 S28
1 1 1 0 0 S29
1 1 1 0 1 S30
1 1 1 1 0 S31
1 1 1 1 1 S32
... 25=32 Combinações
TV para 5 variáveis
22
Fundamentos de Fundamentos de LógicaLógica
Mapa de Karnaugh para 5 variáveis
S1 S2 S4 S3
S5 S6 S8 S7
S13 S14 S16 S15
S9 S10 S12 S11
C
B
B
C
DD
C
EE E
S17 S18 S20 S19
S21 S22 S24 S23
S29 S30 S32 S31
S25 S26 S28 S27
C
B
B
C
DD
C
EE E
A A
23
Mapa de KarnaughMapa de KarnaughExemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 5 variáveis
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
C
B
B
C
DD
C
EE E
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
C
B
B
C
DD
C
EE E
A AHexa
H1=C
24
Mapa de KarnaughMapa de KarnaughExemplos de Agrupamentos
Mapa de Karnaugh para 5 variáveis
0 0 0 1
0 1 1 1
0 1 1 0
1 0 0 0
C
B
B
C
DD
C
EE E
0 0 0 1
0 1 1 1
0 1 1 0
1 0 0 0
C
B
B
C
DD
C
EE E
A AOcteto
O1=CE
Q1=BDE
P1=BCDES=CE+BDE+BCDE
25
ExercícioExercício
A B C D E S
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 1 1
0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 1 1
0 1 1 1 0 1
0 1 1 1 1 0
A B C D E S
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0
1 0 1 0 0 0
1 0 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0
1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0
1 1 1 0 0 1
1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
ABCDE
1) Determine a expressão da TV e simplifique o circuito usando Mapa de Karnaugh
26
SoluçãoSolução
1) Determine a expressão da TV e simplifique o circuito usando Mapa de Karnaugh
1 0 1 0
1 1 1 0
0 1 0 1
1 1 0 1
C
B
B
C
DD
C
EE E
0 0 0 0
0 1 0 1
1 1 1 1
0 0 0 0
C
B
B
C
DD
C
EE E
A A
Q2=ABC
Q1=CDE
P2=ABDES=CDE+ABC+ACDE+ABDE+ABCD+ABDE+ABDE
P1=ACDE
P3=ABCD
P4=ABDE P5=ABDE
27
ExercícioExercício
2) Minimize a expressão booleana S usando Mapa de Karnaugh
Expressão:
S=ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE
+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE
28
SoluçãoSolução2) Minimize a expressão booleana S usando Mapa de KarnaughS=ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE
+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE
1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
C
B
B
C
DD
C
EE E
1 1 0 0
1 1 0 1
0 0 1 1
1 0 1 1
C
B
B
C
DD
C
EE E
A A
Q1=ABD
O1=BD
S=BD+ABD+ACDE+CDE
P1=ACDE
Q2=CDE
29
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes• Condição Irrelevante: para determinadas combinações de
entradas, a saída pode assumir o valor 0 ou 1 indiferentemente• Para se utilizar a condição irrelevante no mapa de Karnaugh,
deve-se adotar o valor que possibilite o maior agrupamento
A B C S
0 0 0 X
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
X 1 1 1
0 0 0 0
B
A
A
B
CC C
Q1=A
S=AExpressão Simplificada a partir do MK
Se escolhermos X=1 ⇒ obtemos um agrupamento maior
30
Mapa de KarnaughMapa de Karnaugh
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes• Condição Irrelevante: para determinadas combinações de
entradas, a saída pode assumir o valor 0 ou 1 indiferentemente• Para se utilizar a condição irrelevante no mapa de Karnaugh,
deve-se adotar o valor que possibilite o maior agrupamento
A B C S
0 0 0 X
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
X 1 1 1
0 0 0 0
B
A
A
B
CC C
P1=AB
S=AB+ACExpressão Simplificada a partir do MK
Se escolhermos X=0, obtemos um agrupamento menor
P2=AC
31
ExercícioExercício
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantesSimplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 X
1 0 0 X
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
1)
32
SoluçãoSolução
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantesSimplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 X
1 0 0 X
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
0 0 X1 0
X2 1 1 1
B
A
A
B
CC C
Q1=A
S=AExpressão Simplificada a partir do MKSe escolhermos X1=0 e X2=1, obtemos uma expressão mais simplificada
1)
33
ExercícioExercício
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantesSimplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 X
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 X
1 0 1 1
1 1 0 X
1 1 1 X
2)
34
SoluçõeSoluçõessMapa de Karnaugh com condições irrelevantes
Simplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 X
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 X
1 0 1 1
1 1 0 X
1 1 1 X
1 X 1 0
X 1 X X
B
A
A
B
CC C
Q2=C
S=B+CExpressão Simplificada a partir do MK
Q1=B
2)
35
ExercícioExercício
Mapa de Karnaugh com condições irrelevantesSimplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
3) A B C D S
0 0 0 0 X
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 X
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 X
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 X
1 1 1 0 0
1 1 1 1 X
36
SoluçõeSoluçõessMapa de Karnaugh com condições irrelevantes
Simplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh
3) A B C D S
0 0 0 0 X
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 X
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 X
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 X
1 1 1 0 0
1 1 1 1 X
X 0 X 1
1 0 1 1
0 X X 0
0 1 0 X
B
A
A
B
CC
B
DD D
Q1=AD
Q2=ACP1=ACD
S=AD+AC+ACD
