UFRO 2008 Master Fisica Medica 1 3 Emitir Rayos Gamma Y Particulas

G ió d R di ió I i tGeneración de Radiación Ionizante 1.3 Emitir Rayos Gamma y Partículasy y

Dr. Willy H. GerberInstituto de FisicaInstituto de FisicaUniversidad Austral

Valdivia, Chile

Objetivos: Comprender como son emitidos rayos gammas o partículas cargadas con equipamiento empleado en radioterapia.

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Elementos

Generación de electrones(Filamento)

Emitir Rayos Gamma o Partículas

Generación de Rayos Gamma

Aceleración adicional

( )


Emisión de electrones

De la primera parte concluimos que a temperatura T los electrones que “evaporaríamos” están dados por la ecuación de Richardson‐Dushman:

ATγ

Constante [C/m2K2s]Temperatura absoluta [K]Reflexión [‐]

ϕk

Función de trabajo [J]Constante de Boltzmann

3

Ahora debemos acelerarlos para alejarlos del cátodo y dirigirlos a donde deseemos.

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Elementos

Generación de electrones(Filamento)

Emitir Rayos Gamma o Partículas

Generación de Rayos Gamma

Aceleración adicional

( )


Aceleradores

Las placas ”básicas”Las placas básicas‐Movimiento de una Carga ‐


Aceleradores básicos

Principio básico:

Campo eléctrico

Ánodo (positivo)Cátodo (negativo)

Campo eléctrico

Carga eléctrica



z

ztm

Posición de la partícula [m]Tiempo [s]Masa de la partícula [kg]

7

qEz

Carga de la partícula [C]Campo eléctrico [N/C]



d

V E Campo eléctrico [N/C]

+‐

EzVd

Campo eléctrico [N/C]Potencial aplicado [V]Distancia entre placas [m]



9Si queremos impartir mayor energía debemos aumentar el potencial.


Aceleradores

L l ”bá i ”Las placas ”básicas”‐Movimiento de una Distribución de Cargas ‐


Aceleración entre placas

Aceleración entre dos placas

cátodo ánodo

De las ecuaciones de Maxwell y definición de potencial:

EZV

Campo eléctrico [F/C]Potencial [V]

De las ecuaciones de Maxwell y definición de potencial:

zden

[ ]Posición en el campo [m]Distancia entre las placasCarga del electrón [C]Concentración de electrones [1/m3]

11

nε0

Concentración de electrones [1/m3]Constante de campo [C2/Nm2](8.85x10‐12 C2/Nm2)


Calculo de la concentración de electrones

Por conservación de energía tenemos

Por continuidad tenemos una corriente

mju(z)

Masa del electrón [kg]Densidad de Corriente [A/m2]Velocidad en el punto z [m/s]Velocidad inicial [m/s]u0

n0Velocidad inicial [m/s]Concentración inicial [1/m3]


Ley de Child‐Langmuir

Con lo que se obtiene (nota j < 0 por la carga de los electrones):

Solucionando se obtiene:

Para el caso de dos placas con diferencia de potencial V y distancia d y despejando j se obtiene la ley de Child‐Langmuir:


Ley de Child‐Langmuir

De esta forma:

20

25

0.8

0.9

1

15

0.5

0.6

0.7

y en particular:5

10

0.2

0.3

0.4

00

0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


Limites

El incremento de la corriente en el tubo se incrementa en función del potencial según Child‐Langmuir.

40kV

80kV

1 0

1.5

A)

2.5

2.0

A)

No saturado T1

T2

T

0 5

1.0

rien

te en tubo

(A

1.5

1.0

rien

te en tubo

(A T3

20kV

0.0

0.5

Cor

0.5

0.0Co

rr Saturado

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Corriente en filamento (A) Voltaje Ánodo (kV)

0 20 40 60 80 100

El i l d t ió l d l “ ” l t d

15

El nivel de saturación se alcanza cuando no se logran “evaporar” mas electrones de los que están dados por la ecuación de Richardson‐Dushman


Limitaciones

La segunda limitación esta dada por el peligro de fundir el filamento.

La temperatura del filamento se determina en función que la energía irradiada sean igual a aquella generada por la resistencia eléctrica:

σ Constante de Stefan Boltzmann [5 6704x10‐8 J/sm2K4]σεST

Constante de Stefan Boltzmann [5.6704x10 8 J/sm2K4]Grado de emisión [‐]Superficie del filamento [m2]Temperatura del filamento [K]

T0IR(T)

Temperatura ambiental [K]Corriente [A]Resistencia en función de la temperatura [Ohm]


Limitaciones

La densidad de resistencia puede ser modelada, por ejemplo para el Tungsteno, en función de la temperatura mediante:

17Su temperatura de fusión es de 3695 K.


Modelo de Filamento

Modelamiento del sistema filamento‐placas(p: placa, f: filamento, a: ánodo)

Superficie del filamento [m2]S Superficie del filamento [m2]Sección del filamento [m2]Largo del Filamento [m]Constante de Stefan Boltzmann

SALσ

C T t


[5.6704x10‐8 J/sm2K4]Grado de emisión [‐]ε

Caso Tungsteno:

Aceleradores

El Betatrón


Betatrón

Vista superior Vista lateral

Imanes de control

FilamentoÁnodo

I bImanes base

Orbita de almacenamiento


Betatrón

La variación del campo magnético índice un potencial:

UindR

Potencial inducido [V]Radio de la orbita [m]

lo que genera un campo

Bt

Campo magnético [Tesla=Vs/m2]Tiempo [s]

lo que genera un campo:

UindREz

Potencial inducido [V]Radio de la orbita [m]Campo eléctrico [V/m]

21

z


Betatrón

lo que genera una fuerza sobre los electrones

con lo que


Betatrón

Para mantener el electrón en la orbita debe de existir un campo magnético B0 tal que

De ambas ecuaciones del impulso

Se obtiene la condición de Wideroe:Se obtiene la condición de Wideroe:

23

Que se satisface diseñando el imán de modo de lograr los respectivos campos en las distintas orbitas.


Betatrón

Como la velocidad es cercana a la de la luz la energía cinética es:

y el impulso:y el impulso:

con lo que se obtiene


Betatrón

y la energía es

o para altas velocidades (υ ~ c)p ( )


Aceleradores

El Ciclotrón


Ciclotrón


Ciclotrón

Vista de arriba Vista lateral

Campo magnéticoCampo magnéticopermanente

Campo eléctricoalternanteSINCRONIZADOcon el haz.

“Inyección de iones”

“Salida de iones”


Ciclotrón

Velocidad angula independiente del radio

29

independiente del radio


Fuentes

Radiación


Radiación

Decaimiento de Cobalto


Radiación


Accesorios

Klistrón


Klistrón

Bunch deelectrones

Flujo eléctrico Flujo eléctrico

R jill 1 R jill 1 Rejilla 2R jill 2R jill 2

35

Rejilla 1 Rejilla 1 Rejilla 1 Rejilla 2Rejilla 2Rejilla 2


Klistrón

Cavidad de Cavidad deCañón de entrada salidaelectrones

“Buncher” “Catcher”

z

V0V1

f(z)

Señal

ωV1sin(ωt) d

36

Señal


1 ( )

Klistrón

Si la masa es m, la velocidad inicial u0, la carga del electrón e y el potencial del canon de electrones V0 la energía inicial será:

La energía tras cruzar el “buncher” que esta a un potencial V1 y oscila con la a e e g a t as c u a e bu c e que esta a u pote c a 1 y osc a co afrecuencia angular ω será:

en donde u es la velocidad en este punto y M el factor de acoplamiento.

La velocidad es entonces:


Klistrón

Si al tiempo t1 esta en el buncher, llegara al catcher a una distancia l en el tiempo:

o como fase:

con

el llamado Bunching parameter

38

el llamado Bunching parameter


Klistrón

Para calcular el M debemos asumir la forma de la perturbación en el buncher:

con Em el valor máximo y f(z) una función de forma. El potencia V1 seria entonces:

ósea

La ecuación de movimiento del electrón será:


Klistrón

Si se integra la ecuación en z desde 0 a la distancia del canal d:

como la primera integral se puede integrar de la forma:

y el camino recorrido es

con lo cual

y el camino recorrido es

siendo

40

siendo

factor de propagación del haz


Klistrón

pero dado que

Se concluye que (omitiendo el factor sin)y q

Para un campo constante y simétrico en torno al eje del haz el M se reduce a:


Klistrón

El factor

se denomina el ángulo de transito y representa el cambio de fase de la onda durante el paso de la partículael paso de la partícula.

La energía del electrón varié en

Con lo que


Fuentes

Magnetron


Magnetrón


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