UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA

CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIERIA.

GUIA DE APRENDIZAJE N◦1:Integrales de LıneaBAIN042 Calculo II

Resultados de Aprendizaje:1. Parametrizar y graficar curvas en el plano y en el espacio.

2. Calcular integrales de Lınea de funciones escalares y vectoriales.

Contenidos:1. Integral de Lınea.

2. Aplicaciones genericas de la integral de Linea.

1. Introduccion

La integral de lınea tiene varias aplicaciones en el area de ingenierıa, y una de las interpretaciones importantespara tales aplicaciones es el significado que posee la integral de lınea de un campo escalar.

2. Curvas

Definicion 1 Una curva en R2 puede ser presentada de una las siguientes formas:

a) Forma Vectorial: −→r : [a, b] ⊆ R −→ R2 definida por −→r (t) = (x(t), y(t)).

b) Forma Parametrica {x = x(t),y = y(t), t ∈ [a, b]

c) Forma Implıcita: F (x, y) = 0 (con alguna posible restricion para x o y).

d) Forma Explıcita: y = f(x), x ∈ [a, b].

Definicion 2 Una curva en R3 puede ser presentada de una las siguientes formas:

a) Forma Vectorial: −→r : [a, b] ⊆ R −→ R3 definida por −→r (t) = (x(t), y(t), z(t)).

b) Forma Parametrica x = x(t),y = y(t), t ∈ [a, b]z = z(t)

c) Interseccion de dos Superfices,{F (x, y, z) = 0,G(x, y, z) = 0,

con alguna posible restricion para alguna de las variables x, y o z..

1

3. Integral de Lınea para una Funcion Vectorial

Definicion 3 Sea C una curva suave y orientada, definida por −→r : [a, b] ⊆ R −→ R3

definida por −→r (t) = (x(t), y(t), z(t)). Sea−→f : D ⊆ R3 −→ R3, donde

−→f = (f1, f2, f3), f

continua en C ⊂ D. La integral de lınea de−→f sobre la curva C es

∫C

−→f · d−→r =

∫ b

a

−→f (−→r (t)) · −→r ′(t)dt

=

∫C

f1dx+ f2dy + f3dz

Ejemplo 1 Calcular∫C

−→f · d−→r , donde

−→f (x, y) = (x, y2) y C :

{x = et,y = t, t ∈ [1, 2].

Desarrollo.

∫C

−→f · d−→r =

∫ 2

1

(et, t2) · (et, 1)dt

=

∫ 2

1

(e2t + t2)dt

=1

2e4 − 9

2+

7

3≈ 28,27

Ejemplo 2 Sea C la curva definida por −→r (t) = (2 cos t, 3 sin t, t),con t ∈ [0, π2 ] calcular∫Cydx+ zdy+x2dz

Desarrollo.

∫C

ydx+ zdy + x2dz =

∫ π2

0

[(3 sin t)(−2 sin t) + t(3 cos t) + (4 cos2 t)1]dt

=

∫ π2

0

(−6 sin2 t+ 3t cos t+ 4 cos2 t)dt

= π − 3

≈ 0,14159.

4. Integral de Lınea para una Funcion Escalar

Definicion 4 Sea C una curva suave, definida por −→r : [a, b] ⊆ R −→ R3 definida por−→r (t) = (x(t), y(t), z(t)). Sea g : D ⊆ R3 −→ R, con g continua en C ⊂ D. La integral delınea de g sobre la curva C es

∫C

gds =

∫ b

a

g(−→r (t))||−→r ′(t)||dt

=

∫ b

a

g(x(t), t(t), z(t))√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt

2

Ejemplo 3 Calcular∫C

√x2 + y2ds, si C es la curva definida por

{x = 2 cos t,y = 2 sin t, t ∈ [0, 2π].

Desarrollo. En este caso tenemos

∫C

√x2 + y2ds =

∫ 2π

0

√4 cos2 t+ 4 sin2 t ·

√(−2 sin t)2 + (2 cos t)2dt

=

∫ 2π

0

4dt

= 8π.

Ejemplo 4 Para la curva C definida por

x = 4t,y = 5

2 t2, t ∈ [0, 1]

z = 1− 3t,,calcular

∫C

( 34x

2 + xz)ds.

Desarrollo. En este caso tenemos

∫C

(3

4x2 + xz)ds =

∫ 1

0

(3

4(4t)2 + 4t(1− 3t)

)√42 + (5t)2 + (−3)2dt

=

∫ 1

0

4t√

25 + 25t2dt

= 20

∫ 1

0

t√

1 + t2dt

=20

3(√

8− 1).

En los ejemplos anteriores las curvas se dieron en forma vectorial o parametrica, pero si se dan de otra forma,para poder calcular la integral de lınea la curva se debe parametrizar.

Ejemplo 5 Parametrizar la curva del plano

a) x2 − 2y + 4 = 0, x ≥ 0, 4 ≤ y ≤ 10.

b) 4x2 + 9y2 − 36 = 0, x ≤ 0.

Desarrollo.

a) De la ecuacion tenemos y = x2

2 + 2, ademas tenemos

4 ≤ y ≤ 10 ⇐⇒ 4 ≤ x2

2+ 2 ≤ 10

⇐⇒ 4 ≤ x2 ≤ 16

⇐⇒ 2 ≤ x ≤ 4

de aquı tenemos que una parametrizacion es : C :

x = t,

y =t2

2+ 2, t ∈ [2, 4]

3

b) De la ecuacion original tenemos

4x2 + 9y2 − 36 = 0⇐⇒ x2

9+y2

4= 1

Ası tenemos x3 = cos t e

y

2= sin t, luego una parametrizacion es : x = 3 cos t,

y = 2 sin t, t ∈[π

2,

3π

2

].

t (x, y)0 (3,0)π2 (0,2)π (-3,0)3π2 (0,-2)

2π (3,0)

Ejemplo 6 Parametrizar la curva en el espacio:

a)

{x2 + y2 + z2 = 4,x+ z = 2, y ≥ 0, orientada partiendo del eje X

.

b)

{x

23 + y

23 = 1,

z = 3,

Desarrollo.

a) En este caso como x+ z = 2 =⇒ z = 2− x, ası reemplazando en la ecuacion de la esfera tenemos

x2 + y2 + z2 = 4 ⇐⇒ x2 + y2 + (2− x)2 = 4

⇐⇒ 2(x− 1)2 + y2 = 2

⇐⇒ (x− 1)2 +y2

2= 1

4

De aquı tenemos x− 1 = cos t, y√2

= sin t, de donde se tiene que la parametrizacion buscada es:x = 1 + cos t,

y =√

2 sin t, t ∈ [0, π]z = 1− cos t,

t (x, y, z)0 (2,0,0)π2 (1,

√2,1)

π (0,0,2)3π2 (1,-

√2,1)

2π (2,0,0)

b) Tenemos x23 + y

23 = 1⇐⇒ (x

13 )2 + (y

13 )2 = 1, ası x

13 = cos t, y

13 = sin t =⇒ x = cos3 t, y = sin3 t

luego tenemos x = cos3 t,y = sin3 t, t ∈ [0, 2π]z = 3,

Un caso mas a considerar es la parametrizacion de una recta en el plano o en el espacio:

a) Si la recta se encuentra en el plano, llamemos C al segmento de recta que va desde el punto P1(x1, y1)al punto P2(x2, y2). Una parametrizacion de C orientada es:

{x = x1 + (x2 − x1)t,y = y1 + (y2 − y1)t, t ∈ [0, 1]

5

b) Si la recta se encuentra en el espacio, llamemos C al segmento de recta que va desde el puntoP1(x1, y1, z1) al punto P2(x2, y2, z2). Una parametrizacion de C orientada es:

x = x1 + (x2 − x1)t,y = y1 + (y2 − y1)t, t ∈ [0, 1]z = z1 + (z2 − z1)t,

Aplicando ahora al calculo de una integral de lınea tenemos:

Ejemplo 7 Sea C el arco de la curva definida por{x2 + z2 = 4x,x = y,

que va desde (3, 3,√

3) hasta (0, 0, 0) en el primer octante. Calcule∫C

−→f · d−→r

si−→f (x, y, z) = (x− y − z, z, y − 2).

Desarrollo.Intersectando se tiene

x2 − 4x+ z2 = 0 =⇒ (x− 2)2 + z2 = 4 =⇒(x− 2

2

)2

+(z

2

)2= 1

Parametrizando tenemos

x(t) = 2 + 2 cos t

y(t) = 2 + 2 cos t, t ∈[π

3, π]

z(t) = 2 sin t

de aquı tenemos

6

∫c

−→f · d−→r =

∫ π

π3

(−2 sin t, 2 sin t, 2 cos t) · (−2 sin t,−2 sin t, 2 cos t)dt

=

∫ π

π3

4 cos2 tdt

=4π

3−√

3

2.

5. Ejercicios

Ejercicio 1 Hallar∫C

(y2 + z2)dx+ (z2 + x2)dy + (x2 + y2)dz a lo largo de la curva

C :

{x2 + y2 = 2z,x+ y − z + 1 = 0,

Ejercicio 2 Calcular∫c(x+ y)ds, donde C es el borde del triangulo con vertices en (0, 0), (1, 0), (0, 1).

Ejercicio 3 Calcular∫c

√x2 + y2ds, donde C es la circunferencia x2 + y2 = ax, a > 0.

Ejercicio 4 Calcular∫Cyzdx+xzdy+xydz donde C consta de los segmentos de rectas que unen los puntos

(1, 0, 0) con (0, 1, 0) y con (0, 0, 1).

Ejercicio 5 Evalue la siguiente integral de lınea∫Cfds , si f(x, y, z) = x+y+z donde la curva C esta dada

parametricamente por −→g : [1, 3] −→ R3, con −→g (t) = (t, 3t, 2t).

Ejercicio 6 Calcular∫Cydx + zdy + xdz, siendo C el arco de elipse limitado por las superficies x + z =

1, x2 + y2 + z2 = 1, entre los puntos P (0, 0, 1) y Q( 12 ,−

√22 ,

12 ).

7

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA

1. Sea C la curva en el espacio definida por:

Calcular el momento de inercia respecto del eje Z de un alambre que tiene la forma de la curva C, si

la densidad en cada punto está dada por 1

( , , )1

x y zxy

.

Solución:

Una parametrización de C es:

2

2 2 2 2 2

0

1 1( ) ( sin ) (cos ) (sin cos )

1 1 cos sinZ

CI C x y ds t t t t dt

xy t t

2. La fuerza 2 3( , , ) ( , , )f x y z xyz x yz x actúa sobre una partícula para trasladarla a lo largo de una

trayectoria cerrada en forma de triángulo, de vértices A(2,0,0), B(0,6,0) y C(0,0,2) orientada en ese

orden. Calcular el trabajo que realiza la fuerza.

Solución:

La curva C es la unión de tres curvas C1, C2 y C3 cuyas parametrizaciones son:

3. Un alambre tiene la forma de la curva C : 2 24 4 0, con 2, 0.x y x y

Calcular la masa de este alambre si la densidad en cada punto es igual al producto de las distancias

desde el punto a los ejes X e Y.

Solución: 2

2 2 24 4 0 12

xx y y

, así una parametrización

de la curva C es:

2 2 1

1

x y

x y z

cos

sin , 0,2

1 cos sin

x t

y t t

z t t

2 2 2

0 0

12 2cos sin 2 2 2 . . . .

1 cos sint tdt dt u m u l

t t

1

2 2

: 6 0,1

0

x t

C y t t

z

2

0

: 6 6 0,1

2

x

C y t t

z t

3

2

: 0 0,1

2 2

x t

C y t

z t

1 2 3

1 1

0 0

1

0

1

0

(0,0, 2 2 ) ( 2,6,0) (0,0,0) (0, 6,2)

(0,0, 2 ) (2,0, 2)

4 2 . .

C C C CT f dr f dr f dr f dr

t dt dt

t dt

tdt U T

2cos

, 0, / 4sin

x tt

y t

4. Sea C la curva, en coordenadas polares, definida por: 1 cosr .

Esta curva es una cardioide. Calcular su longitud.

Solución:

Una parametrización de C es:

O también:

Para calcular ds tenemos:

Así:

2 2 2 2

2

( ') ( ') (sin 2 sin ) (cos cos 2 ) 2 2(sin 2 sin cos cos 2 )

1 cos = 2 2cos(2 ) 4 2 sin 2sin

2 2 2

ds x y dt t t t t dt t t t t dt

t t tt t dt dt dt dt

Ahora calculamos la longitud de C:

2

0

2

0

( ) 2sin 2 2cos 8 . .2 2C

t tL C ds dt u l

OBSERVACIÓN:

La parametrización que se hizo en el ejercicio 4, es un método general para parametrizar

curvas definidas en coordenadas polares. Es decir si C

es la curva, en coordenadas polares, definida por:

Entonces, como las coordenadas polares se definen por

y para esta curva tenemos que

entonces una parametrización de C es:

/4 /42 2 2 2

0 0

3/4 /42 2 2

0 0

3

/ 4

0

( ) 2cos sin ( 2sin ) (cos ) 2cos sin 4sin cos

1 1 2 2cos sin 1 3sin 1 3sin (6cos sin ) 1 3sin

3 3 3

2 5 1 . .

9 2

CM C xyds t t t t dt t t t tdt

t t tdt t t t dt t

u m

(1 cos )cos

, 0,2(1 cos )sin

x t tt

y t t

2 2

' sin 2cos sin sin 2 sin

' cos cos sin cos cos 2

dxx t t t t t

dt

dyy t t t t t

dt

2cos cos

, 0,2 sin sin cos

x t tt

y t t t

( ), con ,r f

cos

sin

x r

y r

( )r f

( ) cos

, ,( )sin

x f

y f

INTEGRALES DE SUPERFICIE

Superficies:

Forma Vectorial:

Forma Paramétrica:

Vector Normal:

Forma Explícita:

Forma Implícita:

Integral de Superficie para función escalar:

Sea S superficie suave definida por

entonces la Integral de Superficie de la función escalar g sobre la superficie S se define como:

(Es análogo si S está definida paramétricamente).

Si S está definida explícitamente por entonces:

2 3: , ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))r R r u v x u v y u v z u v

3( , ), ( , ) .z f x y x y D

3

( , )

( , ) ( , )

( , )

x x u v

y y u v u v R

z z u v

( , ) ( , ) ( , ), , , ,

( , ) ( , ) ( , )

y y z z x x

y z z x x y u v u v u vn

z z x x y yu v u v u v

u v u v u v

, ,1f f

nx y

3y : , continua, g D g S D

( , , ) 0, ( , ) ( proyección en plano ). , ,1

( , , ) 0, ( , ) ' ( ' proyección en plano ). ,1,

( , , ) 0,

FF

yxF x y z x y D D XY nF F

z z

F F

x zF x y z x z D D XZ nF F

y y

F x y z

( , ) '' ( '' proyección en plano ). 1, ,

F F

y zy z D D YZ nF F

x x

2 3: , ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))r R r u v x u v y u v z u v

2 2 2

( , ) ( , ) ( , )( , , ) ( ( , )) ( ( , ), ( ( , ), ( , ))

( . ) ( . ) ( . )S R R

y z z x x yg x y z d g r u v n dudv g x u v y u v z u v dudv

u v u v u v

2( , ), ( , )z f x y x y D

22

( , , ) ( , , ( , )) 1S D

f fg x y z d g x y f x y dxdy

x y

Si S está definida implícitamente por entonces:

z(x,y) se obtiene despejando z de

Es análogo si S se proyecta en plano XZ o en plano YZ.

Integral de Superficie para función vectorial:

Sea S es una superficie suave y orientada, definida por

entonces la Integral de Superficie de la función vectorial sobre la superficie S se define como:

, donde es el vector normal unitario a la superficie S, correspondiente a la

orientación de S.

Si entonces la integral de superficie se expresa:

Ejemplos:

1. Calcular donde S es la superficie:

Solución:

El vector normal es:

Así:

2. Sea S la parte del paraboloide en el primer octante, con

Calcular la integral de superficie:

Solución:

Según el gráfico se observa que la proyección de S

en el plano XY es

S está definida explícitamente, con

así el vector normal es:

Entonces:

2 2

2 2

x yz

, ,1 ( , ,1)f f

n x yx y

2( , , ) 0, ( , )F x y z x y D

22

( , , ) ( , , ( , )) 1 S D

FF

yxg x y z d g x y z x y dxdyF F

z z

( , , ) 0.F x y z

2 3: , ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))r R r u v x u v y u v z u v

3 3y : , continua, f D f S D

f

Sf Nd =

nN

n

2 2

Sx z d

4cos

( , ) 0,2 1,2

4sin

x u

y v u v R

z u

( , ) ( , ) ( , ), , ( 4cos ,0, 4sin )

( , ) ( , ) ( , )

y z z x x yn u u

u v u v u v

2 22 2 2 2

0 1(4cos ) (4sin ) ( 4cos ,0, 4sin ) 16 96

S Rx z d u u u u dudv dvdu

0 1, 0 1.x y

2( , ) / 0 1, 0 1D x y x y 2 2

( , )2 2

x yf x y

2 2

1 12 2

2 2 2 2 0 0

2 2 1 1( , ,1)

2 31 1S R

x y

zd x y dxdy x y dydx

x y x y

2 2 1S

zd

x y

1 2 3( , , )f f f f 1 2 3S

f dydz f dzdx f dxdy

3. Sea S la superficie exterior de un cubo ubicado en el primer octante,

de arista a y vértice en el origen.

Calcular la integral de superficie:

Solución:

La superficie S consta de 6 partes:

Observar que en cada cara el vector normal apunta hacia el exterior.

En esta integral se tiene que la función vectorial integrando es:

Así tenemos:

4. Sea S la superficie lateral del cilindro con Calcular

Solución:

Si se expresa S en forma implícita es necesario dividirla en dos partes:

Para ambas el vector normal es:

Para S1 se tiene que y para S2

También en S1 se cumple que pero en S2

Análogamente se calcula la integral sobre S2, obteniéndose:

Así:

Observar que si S se expresa en forma paramétrica tenemos que

el vector normal es: y por tanto:

1 1 2 2

3 3 4 4

5 5 6

: 0, ( , ) 0, 0, , (0,0, 1); : , ( , ) 0, 0, ; (0,0,1)

: 0, ( , ) 0, 0, , (0, 1,0); : , ( , ) 0, 0, ; (0,1,0)

: 0, ( , ) 0, 0, , ( 1,0,0); : , (

S z x y a a n S z a x y a a n

S y x z a a n S y a x z a a n

S x y z a a n S x a y

6, ) 0, 0, ; (1,0,0)z a a n

1 2 3 4 5 6

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 ( , ,0) (0,0, 1) ( , , ) (0,0,1) ( ,0, ) (0, 1,0)

S S S S S S S

a a a a

x dydz y dzdx z dxdy f Nd f Nd f Nd f Nd f Nd f Nd

x y dxdy x y a dxdy x z dx

0 0

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 ( , , ) (0,1,0) (0, , ) ( 1,0,0) ( , , ) (1,0,0)

a a

a a a a a a

dz

x a z dxdz y z dydz a y z dydz

2 2 2

Sx dydz y dzdx z dxdy

2 2 2( , , ) ( , , )f x y z x y z

2 2 2 4

0 0 0 0 0 03

a a a a a a

a dxdy a dxdz a dydz a 2 2 4x z 2 5.y ( ) .

Sx y d

2 2

1 : 4 0, 0, ( , ) 2,5 2,2S x z x y z D

2 2

2 : 4 0, 0, ( , ) 2,5 2,2S x z x y z D

/ /1, , 1,0,

/ /

F y F z zn

F x F x x

24x z 24 .x z

x x .x x

1

22 2

2 2

5 2 5

22 2 2

2( ) ( 4 ) 1 ( 4 )

4 4

2 2 (8 2 ) 24 21

4

S D D

zx y d z y dydz z y dydz

z z

ydzdy y dy

z

2

5 2 5

22 2 22

2 2( ) 2 2 ( 8 2 ) 24 21

44S D

x y d dydz dzdy y dyzz

( ) (24 21 ) ( 24 21 ) 42 .S

x y d

2cos

: ( , ) 0,2 2,5

2sin

x u

S y v u v R

z u

( 2cos ,0, 2sin )n u u

2 5 2

0 2 0( ) (2cos )2 (4cos 2 ) (12cos 21) 42 .

S Rx y d u v dudv u v dvdu u du

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE SUPERFICIE

1. Sea S la parte de la superficie del cono comprendida entre los planos

Calcular la masa de una lámina que tiene la forma de la superficie S, si la densidad en cada punto es

proporcional a la distancia desde el punto al eje Z, y vale 10 gr/cm2 en el punto

Solución:

La densidad está dada por:

En el punto indicado se tiene:

Así la densidad queda definida como:

La masa de la lámina es:

En forma implícita la superficie S se puede expresar como:

De donde se obtiene que el vector normal es:

Ahora calculamos la masa de la lámina:

2. Sea S la superficie definida por

Un líquido fluye a través de la superficie S con un campo de velocidades dado por:

Calcular el flujo.

Solución:

La superficie en forma explícita queda definida por:

Su vector normal es:

Chequeamos su orientación:

Para el punto (0,0,9) que pertenece a S, se tiene que:

, que según el gráfico es exterior.

Calculamos el flujo:

2 2 29 9 4x y z

2 2 2 2 29 , ( , ) ( , ) / 9z x y x y R x y x y

3, 9.z z

2 2( , , )x y z k x y

2 2(3,4,15 / 2) 3 4 10 5 2k k k

2 2( , , ) 2x y z x y

2 2( ) 2S

M S x y d

2 2 2 2 2 2( , , ) 9 9 4 0,( , ) ( , ) / 4 36F x y z x y z x y R x y x y

18 18 9 9, ,1 , ,1 , ,1

8 8 4 4

FFyx

F Fz z

x y x yn

z z z z

2 22 22 2 2 2 2 2

2 2

2 22 2 2 2

2 2

2 62

0 2

117( )81 81( ) 2 2 1 2

16 16 4

117( ) 1 = 2 9 13 13

3 34

2

416 3 = 13 . . (Acá se

3

S R R

R R R

x yx yM S x y d x y dxdy x y dxdy

z z z

x ydxdy x y dxdy x y dxdy

x y

r drd u m

usó coordenadas polares).

2 29 , 0.z x y z

, ,1 (2 ,2 ,1)f f

n x yx y

(0,0,9) (0,0,1)n

2 2

2 32 2 2

0 0

(3 ,3 , ) (2 ,2 ,1) (6 6 )

567 (5 5 9) (5 9) . . / . .

2

(Acá se usó coordenadas polares).

S R R

R

F f Nd x y z x y dxdy x y z dxdy

x y dxdy r rdrd u v u t

( , , ) (3 ,3 , ).f x y z x y z

3. Sea S la parte de la esfera: 2 2 2 25, comprendida entre los planos 0 y 3.x y z y y

Una plancha de hojalata tiene la forma de la superficie S (las unidades están en metros) y necesita ser

pintada. La pintura tiene un valor de $ 14.000 el tarro que rinde 18 m2.

Calcular el costo de la pintura necesaria para pintar esta plancha, si se pintará interior y exteriormente

con dos manos de pintura.

Solución:

Implícitamente S queda definida por:

(Observar que se ha proyectado en el plano XZ).

El vector normal es:

Se calculará el área de S:

(Observar que se ha usado coordenadas polares, pero “modificadas”:

Para pintar, con 2 manos de pintura, el interior y el exterior de esta superficie, se necesita

cubrir

Como cada tarro rinde 18 m2, se necesitan 21 tarros de pintura (pues 377:18=20,9 )

Así el costo total es de $ 294.000 (es decir 21X14.000).

4. Sea S la superficie definida paramétricamente por

Una placa delgada de metal tiene la forma de la superficie S y la densidad en cada punto está

dada por la función

Calcular el momento de masa de esta placa respecto del plano XY.

Solución:

El vector normal es:

Así el momento de masa

es:

2 2 2 2 2 2( , , ) 25 0,( , ) ( , ) /16 25F x y z x y z x z R x z x z

2 2,1, ,1, ,1,

2 2

F Fx z

F Fy y

x z x zn

y y y y

2 22 5

2

2 2 2 2 20 4

5( ) 1 5 30

25 25S R R

x z rA S d dxdz dxdz drd m

y y x z r

cos

sin

x r

z r

2 2 24 30 120 377m m m

cos

sin , ( , ) 0,1 0,

x u v

y u v u v R

z v

2 2( , , ) 1 .x y z x y

( , ) ( , ) ( , ), , (sin , cos , )

( , ) ( , ) ( , )

y z z x x yn v v u

u v u v u v

2 2 2 2 2 2 2

21

2 2

0 0

( ) 1 1 cos sin 1

2 = 1 1 . . . .

3

XYS R

R

M S x y zd u v u v v u dudv

u vdudv u vdvdu u m u l