(Ultimate) solución y rúbrica algebra lineal primera evaluación 2013 t1

SOLUCIÓN Y RÚBRICA

Primera Evaluación de Algebra Lineal

TEMA 1 (12 puntos)

Sea RCV 1 el espacio vectorial de todas las funciones continuas en el conjunto de

los reales R , que poseen primera derivada que es también continua en R . Se definen

los subconjuntos de V :

0 2 / xyxyVxyW

xxyxyVxyH 2 /

a) Determine si W y H son subespacios de V [8 PUNTOS]

b) Suponga que H, 21 . ¿Se puede afirmar que W 21 ? [4 PUNTOS]

Solución:

a)

(i) W , pues WxOy )( , ya que 0 2 xyxy pues

0)(0 xyxy

(ii) Sean )(1 xy , Wxy )(2 entonces

0 2 11 xyxy y 0 2 22 xyxy , sumando tenemos

0 2 2 2211 xyxyxyxy esto es

0 2 2 2121 xyxyxyxy

0 2 21

!

21 yyxyy

Por lo tanto

Wyy 21

(iii) Sean y Wxy )( entonces 0 2 xyxy multiplicando por

, obtenemos

0 2 xyxy

Lo que equivale a

0 y 2 xxy

Por lo tanto Wxy )(

W es subespacio vectorial de V

RUBRICA

DEFICIENTE Vacío o desarrollo incoherente, escribe la

definición de subespacio.

0 - 1

REGULAR Escribe la caracterización de subespacio e intenta

aplicarla pero incompleto

2

BUENO Aplica correctamente la caracterización pero le

falta probar uno de los ítems o falla en alguno

3 - 4

EXCELENTE Demostración correcta completa 5

iv) xxyxyVxyH 2 / no es subespacio vectorial pues no tiene neutro

de V , la función )(xOy , pues 0 2 xyxy y no cumple con

xxyxy 2

De otro modo

Supongamos que H es subespacio de W:

Si H,y entonces xxyxy 2 y también H, yy por lo tanto

xxyyxyy 2 ́ xxx 0 2 ́0 x 0

lo que es una contradicción.

Por contraejemplo:

Sea xexy 2

14

1

2

1 y xexy 2

2 24

1

2

1 están en H, pues xxyxy 2

Pero para 11 yy tenemos que xxyxy 2 2 .

RUBRICA

DEFICIENTE Vacío o desarrollo incoherente, intenta probar la uno de

los puntos de la caracterización de Subespacio.

0

REGULAR Aplica caracterización en búsqueda de probar pero no es

efectivo.

1

BUENO Aplica contraejemplo pero están mal elegidas las

funciones

2

EXCELENTE Demostración correcta completa por absurdo o por

contraejemplo

3

b) Suponga que H, 21 . ¿Se puede afirmar que W 21 ?

Solución:

Si, se puede afirmar, pues:

Sean H, 21 , esto es

xxx 11 2 ́

xxx 22 2 ́

Restando a ambos lados (operaciones en R)

xxxxxx 2 2 ́ ́ 2121

Por algebra de funciones

0 2 ́ 2121 xx

Por lo tanto

W 21

RUBRICA:

DEFICIENTE Vacío o desarrollo incoherente, 0

REGULAR Aplica el concepto de que las funciones están en

H

1-2

BUENO Resta con intención de probar pero falla en algo 3


TEMA 2 (10 puntos)

Ratifique o rectifique las siguientes DEFINICIONES

DEFINICIÓN RATIFIQUE O RECTIFIQUE

Se dice que los vectores

nv,,v,v,v 321 de un espacio vectorial

V son linealmente dependientes, si y

sólo si, al menos uno de ellos se puede

escribir como combinación lineal de

los 1n vectores restantes

Se dice que los vectores nv,,v,v,v 321

de un espacio vectorial V son

linealmente dependientes, si existen

escalares no todos iguales a

cero, tales que:

Sean V y W espacios vectoriales

sobre un campo K . Se dice que

WV:T es una transformación

lineal si se cumple que:

:

212121 vTvTvvTVv,v

212121 vTvTvvTVv,v

Sean V y W espacios vectoriales sobre

un campo K . Se dice que la función

WV:T es una transformación lineal

si se cumple que:

:

212121 vTvTvvTVv,v

Desempeño

Insuficiente Regular Satisfactorio Excelente

No realiza procesos coherentes o deja el

espacio vacío, o sólo

califica la proposición o pone ejemplos

Trata de confirmar cualquiera de ambas

definiciones pero no lo

hace de manera explícita.

Confirma correctamente una de

las definiciones,

cualquiera de ellas, pero la otra la plantea

de manera errónea.

Planteamiento, cálculo correcto y conclusión

adecuada

0-1 2 – 5 6 - 9 10

TEMA 3 (10 puntos)

Demuestre la siguiente proposición: “Si mxnMA , entonces la imagen de A es igual al

espacio columna de A ”

SOLUCIÓN:

Denotemos la imagen de A como Im A y el espacio columna de A como AEC .

Probaremos primero que Im AA EC y luego que ImAEC A .

i. Sea mxnMA . Suponga que Imy A , entonces existe un vector x

n tal

que y xA . Es decir

1 111 12 1

2 21 22 2 2

1 2

n

n

m m mnm n

y xa a a

y a a a x

a a ay x

.

Ahora realicemos el producto de matrices indicado y démosle una forma

conveniente.

11 1 12 2 1 11 11 1 12 2

2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2

2 1 2 21 1 2 2

n n n n

n n n n

m m mm m m n

a x a x a x a xy a x a x

y a x a x a x a x a x a x

y a x a xa x a x a x

111 12

21 22 21 2

1 2

mn n

n

nn

m m mn

a x

aa a

a a ax x x

a a a

Observemos que y puede ser expresado como un combinación lineal de las

columnas de A . Por lo tanto, yAEC , de manera que Im AA EC .

ii. Suponga ahora que AECy , entonces y se puede ser expresar como un

combinación lineal de las columnas de A , es decir

11 11 12

2 21 22 21 2

1 2

n

nn

m m m mn

ay a a

y a a aC C C

y a a a

Ahora realicemos las operaciones y démosle a la expresión una estructura

conveniente.

1 11 1 12 2 11 11 1 12 2

2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2

2 1 2 2 1 1 2 2

n n n n

n n n n

m m m mn n m m

a C a C a C a Cy a C a C

y a C a C a C a C a C a C

y a C a C a C a C a C

111 12 1

21 22 2 2

1 2

m n

n

n

m m mn n

a C

Ca a a

a a a C

a a a C

Si decimos que

1

2

n

C

C

C

x , entonces y xA . Así Im Ay , lo que prueba que

ImAEC A .

Por lo tanto, por i y ii, Im AA EC .

RUBRICA:

DEFICIENTE Vacío o intenta escribir definiciones o escribe un ejemplo 0 - 2

REGULAR Escribe definiciones de imagen y espacio columna de una

matriz, intenta escribir pasos de la demostración, pero no

sabe cómo trabajarlos.

3 - 5

BUENO Escribe definiciones correctas y desarrolla una metodología

apropiada para la demostración pero no la completa.

6 - 9


TEMA 4 (14 puntos)

Califique como verdadera o falsa cada proposición que se enuncia a continuación.

Justifique su respuesta.

a) Sean H y W subespacios de un espacio vectorial V . Si WHV , entonces

WHV [7 PUNTOS]

FALSO.

Sea V= ℝ2 y sea H = { v ϵ ℝ2

/ v = ( x, 0 ); x ϵ ℝ} y W { v ϵ ℝ2/ v = ( 0, y ); y ϵ ℝ}.

Por definición: H⊕ W { v ϵ ℝ2/ v = h + w; h ϵ H y w ϵ W} Esto es: v = ( x,0 ) + ( 0,y ), así se puede escribir a todo vector de ℝ2. Mientras que la unión de H y W tendría a vectores de forma ( x, 0 ) o (0, y), lo cual no es ℝ2.

Desempeño


No realiza procesos

coherentes o deja el espacio vacío, o sólo

califica la proposición.

Trata de explicar la

calificación correcta de la proposición pero no

lo hace de manera

convincente.

Confirma

correctamente la proposición, pero el

contraejemplo no es

bien sustentado.

Planteamiento, cálculo

correcto y conclusión adecuada

0-1 2 - 3 4 - 6 7

b) Sean 321 v,v,v vectores de un espacio vectorial V . Si 321 u,u,u son linealmente

independientes y son, respectivamente, los vectores coordenadas de 321 v,v,v respecto

de una base B de V entonces 3 Vdim [7 PUNTOS]

VERDADERO.

Suponga que la dimensión de V sea igual a 2. Es decir B una base de V, con:

B = {w1,w2}. Esto es:

u1=[v1]B =( a1, a2 ) ; u2=[v2]B =( b1, b2 ) ; u3=[v3]B =( c1, c2 ), esto implica que:

{( a1, a2 ) , ( b1, b2 ) , ( c1, c2 )} es un conjunto linealmente dependiente contradiciendo

la premisa.

Por otro lado si se considera que:

u1=[v1]B =( a1, a2, …an) ; u2=[v2]B =( b1, b2,…bn) ; u3=[v3]B =( c1, c2, …..cn), y por

hipótesis, el conjunto:

{( a1, a2, …an),( b1, b2,…bn),( c1, c2, …..cn)}

Es linealmente independiente, por lo se puede concluir que la dimensión debe ser de al

menos 3, ya que tenemos tres vectores linealmente independientes, formados con n

elementos.

Desempeño


No realiza procesos

coherentes o deja el

espacio vacío, o sólo

califica la proposición.

Trata de explicar la

calificación correcta de

la proposición pero no

lo hace de manera convincente.

Confirma

correctamente la

proposición, pero el

contraejemplo no es bien sustentado o la

generalización no es

correcta.

Planteamiento, cálculo

correcto y conclusión

adecuada

0-1 2 - 3 4 - 6 7

TEMA 5 (14 puntos)

Sea el espacio vectorial real 22xMV . Sean los subespacios de V :

badbac/M

dc

baH x 2 221

12

22

15

11 2 ,genH

dbca/M

dc

baH x 583 223

a) Encuentre una base y determine la dimensión de 21 HH [5 PUNTOS]

b) Determine si 31 HH es un subespacio de V . Justifique su respuesta [4 PUNTOS]

c) ¿ 32 419

58HH

? Justifique su respuesta [5 PUNTOS]

SOLUCIÓN:

a)

por lo tanto

b)

Si se reemplaza en la condición de , se determina que

a=3(2a+b)-8(b)-5(a-b)

es un subespacio vectorial de

c)

El sistema tiene solución

Literal Grado de cumplimiento Puntaje

a

Deja el literal vacío o escribe incoherencias 0

Determina las bases de los dos subespacios 1

Plantea correctamente el sistema de ecuaciones pero comete errores de

cálculo 2-3

Plantea y resuelve correctamente el sistema de ecuaciones,

encontrando la intersección de los subespacios pero no define la base y

dimensión de la intersección

4

Plantea y resuelve correctamente el sistema de ecuaciones,

encontrando la intersección de los subespacios, base y dimensión 5

b


Sólo plantea la unión de los subespacios 1

Plantea la unión de los subespacios pero determina que la unión no es

subespacio 2-3

Plantea la unión de los subespacios y determina que sí es subespacio 4

c


Expresa la suma como el espacio generado por la unión de los dos

subespacios pero no resuelve el sistema 1

Resuelve el sistema pero no concluye si la matriz es elemento de la

suma 2-3

Resuelve el sistema y determina que la matriz es elemento de la suma 4

TEMA 6 (10 puntos)

Sea 22 RR:f una función con regla de correspondencia:

xy

yx

y

xf

2

a) Pruebe que f es un operador lineal en 2R [4 PUNTOS]

b) Suponga que a cada punto de la recta definida por la ecuación 42 yx se le aplica

el operador f . Encuentre la ecuación del nuevo lugar geométrico y grafíquelo

[6 PUNTOS]

ℝ

Sean

y

entonces:

ℝ ℝ

Suponga que a cada punto de la recta definida por la ecuación y se

le aplica el operador . Encuentre la ecuación del nuevo lugar geométrico y

Grafíquelo (6 puntos):

ℝ siendo la recta con ecuación y , entonces:

Por lo que la ecuación paramétrica de la imagen de la recta estará dada por:

y

Criterio Puntaje

Demuestra correctamente uno un axioma de la definición de

transformación lineal

2

Demuestra los dos axiomas de la definición de transformación lineal 2

Al despejar el parámetro en ambas ecuaciones e igualarlas, se tiene que otra

representación de la imagen de la recta está dada por:

y

Criterio Puntaje

Expresa un punto cualquiera P de la recta dada en términos de un

parámetro

1

Aplica la transformada dada al vector OP 2

Expresa, ya sea en forma paramétrica o en la forma general, la ecuación de

la recta

1

Grafica tanto la recta dada como la imagen de la recta 2

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