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1 Un Desarrollo Algebraico de los Apéndices F y G del Texto de Gandolfo (2002) Este documento es el resultado de mis exposiciones de algunos temas del curso de macroeconomía I y estuvo destinado a los estudiantes que cursaron conmigo esta asignatura correspondiente al campo de Economía Aplicada del Posgrado en Economía de la UNAM. El propósito de este documento es presentar un desarrollo detallado de las proposiciones algebraicas contenidos en los apéndices F y G de los capítulos 10 y 11, respectivamente, del texto de Gandolfo 1 . La numeración de ecuaciones, secciones y subsecciones es la misma del texto. Michel Rojas Romero Semestre 2013-1 1 Gandolfo, Giancarlo (2002): “International finance and open economy macroeconomics”, Springer-Verlag.
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1
Un Desarrollo Algebraico de los Apéndices F y G del Texto de Gandolfo
(2002)
Este documento es el resultado de mis exposiciones de algunos temas del curso de
macroeconomía I y estuvo destinado a los estudiantes que cursaron conmigo esta asignatura
correspondiente al campo de Economía Aplicada del Posgrado en Economía de la UNAM.
El propósito de este documento es presentar un desarrollo detallado de las proposiciones
algebraicas contenidos en los apéndices F y G de los capítulos 10 y 11, respectivamente, del
texto de Gandolfo1. La numeración de ecuaciones, secciones y subsecciones es la misma del
texto.
Michel Rojas Romero
Semestre 2013-1
1 Gandolfo, Giancarlo (2002): “International finance and open economy macroeconomics”, Springer-Verlag.
2
Contenido
APENDICE F AL CAPÍTULO 10......................................................................................................... 3
F 1 El modelo Mundell - Fleming en régimen de tasas de cambio fijas .................................... 3
F.1.1 Las pendientes de los esquemas IS, BB y LM ............................................................... 4
F.1.2 El estudio de la estabilidad dinámica ........................................................................... 5
F.1.3 Estática comparativa .................................................................................................... 9
F 1 El modelo Mundell Fleming en régimen de tasas de cambio flexibles ............................. 15
Segundo caso en el punto d de la sección 10.3 del capítulo 10 .......................................... 15
Primer caso en el punto d de la sección 10.3 del capítulo 10 ............................................. 18
APENDICE G AL CAPÍTULO 11 ...................................................................................................... 22
G.1 Política monetaria y fiscal en un régimen de tasas de cambio fijas ................................. 22
G.1.1 El modelo estático ..................................................................................................... 22
G.1.2 El problema de la asignación ..................................................................................... 26
G.1.2 Una generalización del problema de asignación ....................................................... 30
G.1 Política monetaria y fiscal en un régimen de tasas de cambio flexibles .......................... 31
G.3 Movilidad perfecta de capital ........................................................................................... 36
Efectos de las políticas monetaria y fiscal en régimen de tasas de cambio fijas ................ 37
Efectos de las políticas monetaria y fiscal en régimen de tasas de cambio flexibles ......... 38
3
APENDICE F AL CAPÍTULO 10
F 1 El modelo Mundell - Fleming en régimen de tasas de cambio fijas
El modelo Mundell - Fleming en régimen de tasas de cambio fijas se reduce a las tres
ecuaciones siguientes:
(a) ecuación de equilibrio en el mercado de bienes o equilibrio real (expresa la
determinación del ingreso nacional en una economía abierta)
( ) ( )iymxiyAy ,, 0 −+= (10.1)
con i = tasa de interés, A = gasto nacional (absorción) = C + I y 0<− ii mA .
(b) ecuación de equilibrio monetario (expresa el equilibrio en el mercado de dinero)
( )iyLM ,= (10.2)
M stock monetario y L demanda de dinero.
(c) ecuación de equilibrio en la balanza de pagos (equilibrio externo)
( ) ( ) 0,0 =+− iKiymx (10.3)
donde ( ) 0≥iK indica entradas (salidas) netas de capital privado. La condición 10.3 es
equivalente a la condición de que el stock de reservas internacionales es estacionario.
El modelo M-F consiste de un sistema de tres ecuaciones (10.1–10.3) con tres
incógnitas (y, i, M).
Sin perder generalidad, precios y tasas de cambio se pueden normalizar2 a uno (porque
son fijas) y esto permite simplificar la notación de manera importante introduciendo la
variable demanda de producto nacional hecha por residentes
( ) ( ) ( )iymiyAiyd ,,, −≡
Entonces la condición de equilibrio real se puede escribir
( ) 0, xiydy +=
con yyy mAd −≡ y iii mAd −≡ siendo A – m gasto de residentes en producto nacional.
2 Significa que se puede elegir convenientemente una unidad de medida tal que las magnitudes nominales y las reales sean iguales.
4
F.1.1 Las pendientes de los esquemas IS, BB y LM
Aplicando la regla de diferenciación implícita3 a cada una de las tres ecuaciones
implícitas de equilibrio del sistema
( )( ) ( )
( ) 0,0 ,0,
0,0,10 ,0,
0,10 ,0,
0
0
<>=−
><<<=+−
<<<=−+
iy
iiy
iy
LLMiyL
KmmiKiymx
ddyxiyd
(F1)
obtenemos las derivadas de los esquemas IS, BB y LM siguientes
011
<−
=−
−=−=
∂∂
i
y
i
y
i
y
ISd
d
d
d
d
d
y
i
Esta derivada es negativa porque 10 << yd y 0<id .
F2
0>−
=−
−−=−=
∂∂
ii
y
ii
y
i
y
BBmK
m
mK
m
m
m
y
i
Esta derivada es positiva porque 10 << ym , 0<im , 0>iK .
0>−=
∂∂
i
y
LML
L
y
i
Esta derivada es positiva porque 0>yL , 0<iL
Respecto a los puntos fuera de estos tres esquemas, se considera como ejemplo el
equilibrio real. Definida la función de exceso de demanda de bienes como
( ) yxiydEDG −+= 0, (F3)
calculamos la derivada parcial
0<=∂
∂i
G di
ED (F4)
Por F4, para cada y, los puntos arriba y debajo de los que dan lugar a 0=GED (los
puntos del esquema IS) implican 0<GED .
3 Ver anexo A.
5
Para el esquema ( ) 0,0 =+−= iKiymxBB
0>+−=∂
∂ii Km
i
BB
Esto implica que para cada y, los puntos arriba y debajo de los que dan lugar a 0=BB
(los puntos del esquema BB) implican 0>BB .
Para analizar el cambio en el esquema LM, asumiendo que M es un parámetro, la
tercera ecuación en F1, ( ) 0, =− MiyL , define la función implícita en tres variables
( ) 0,, =iyMh (F5)
Aplicando la regla de la función implícita tenemos
011
<=−
−=−=
∂∂
iii
M
LLh
h
M
i (F6)
0<
∂∂M
i porque 0<iL y, entonces, para cada y, a valores mayores (menores) de M le
corresponden valores menores (mayores) de i, de lo cual se deducen los movimientos
hacia arriba o hacia debajo del esquema LM.
F.1.2 El estudio de la estabilidad dinámica
De los supuestos de comportamiento dinámico del capítulo 10, se deduce el siguiente
sistema de ecuaciones diferenciales
( ) ( )[ ]
( )[ ]
( )[ ] 0 ,
0 ,
0 ,
22
101
0
>−==
>−+==
>+−==
kMiyLkidt
di
kyxiydkydt
dy
aiKiymxaMdt
dM
&
&
&
(F7)
Haciendo una expansión de Taylor4 alrededor del punto de equilibrio hasta orden uno
para cada una de las ecuaciones en (F7) resulta
( ) ( ) ( )
( )imKayamM
iaKiamyamM
i-iaKi-iamy-yamM
iiy
iiy
e
i
e
i
e
y
−+−=
+−−=
+−−=
&
&
&
4 Ver anexo B.
6
( ) ( ) ( )
( ) idkydky
yidkydky
y-yi-idky-ydky
iy
iy
ee
i
e
y
11
11
11
1
1
+−=
−+=
−+=
&
&
&
( ) ( ) ( )MiLkyLki
M-Mi-iLky-yLki
iy
ee
i
e
y
−+=
−+=
22
22 1
&
&
Con 121 === kka , estas tres últimas ecuaciones se reducen a
( )( )
MiLyLi
idydy
imKymM
iy
iy
iiy
−+=
+−=
−+−=
&
&
&
1 (F8)
Nota. En el sistema (F8) del anexo F al capítulo 10 del texto de Gandolfo hay un error
de notación: en lugar de decir i& debería decir i en al lado derecho de las ecuaciones.
El arreglo matricial del sistema (F8) es
( )( )
−
−
−−
=
i
y
M
LL
dd
mKm
i
y
M
iy
iy
iiy
1
10
0
&
&
&
La estabilidad depende de las raíces de la ecuación característica
( )( ) 0
100
010
001
1
10
0
=
−
−
−
−−
λ
iy
iy
iiy
LL
dd
mKm
o bien
( )( ) 0
1
10
0
=
−−
−−
−−−
λλ
λ
iy
iy
iiy
LL
dd
mKm
o
( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ][ ] 001110010 =−−−−−−−−−−−−+−+−−−− iiyiyyiiiyiyiy mKLdmdmKLmdLLd λλλλλλ
7
o bien, desarrollando y simplificando
( ) ( )[ ] ( )( )[ ] 0111 23 =−−−+−−−−+−−+ iyiiyyiiyiiiy dmmKddLdLmKLd λλλ (F9)
Las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad son (Gandolfo, 1997)
(a) iy Ld −<1
(b) i
yiii
yL
LdmKd
−
−−+<1
(F10)
(c) ii
iy
ymK
dmd
−−<1
(d) ( ) ( ) ( )[ ]
i
yiiyiyiii
yd
dLdLLdmKLm
−
−−−−−+−<
11
Debido a los signos de estas derivadas, 1<yd es condición suficiente (aún si no es
condición necesaria) para que las desigualdades (a) - (c) se cumplan. Además, si 1<yd ,
(d) > 0, por lo cual, esta desigualdad admite valores 0>ym .
(a) - (c) son condiciones necesarias y suficientes para que cada raíz real de la ecuación
característica F9 sean negativa y excluir, por lo tanto, inestabilidad monótona (pero no
oscilatoria). (¿Porqué?) .
Por otro lado, (a) - (d) son necesarias y suficientes para que las raíces complejas tengan
parte real negativa, lo que excluye inestabilidad oscilatoria. (¿Porqué?)
¿Qué ocurre con la forma y posición del esquema BB cuando el pago de intereses del
saldo de la deuda externa se considera? En este caso, la ecuación de equilibrio externo
toma la forma de la función implícita
( ) ( ) ( ) 0,0
0 =+−− ∫=
t
i
iKdiKiiymx τ (F11)
En el periodo actual (t está dada) la integral ( )∫=
t
i
diK0
τ es una constante dada γ . Por
regla de función implícita (F11) resulta
8
( ) ( )∫∫==
−−
=
−−
−−=−=
∂∂
t
i
ii
y
t
i
ii
y
i
y
BB diKmK
m
diKmK
m
m
m
y
i
00
ττ
o bien
γ−−=
∂∂
ii
y
BBmK
m
y
i (F12)
con ( )∫=
=t
i
diK0
τγ .
Si la respuesta de los movimientos de capital a la tasa de interés ( iK ) es
“suficientemente grande”, entonces 0>−− γii mK y en este caso BB tiene su
pendiente normal (positiva);
Si la respuesta de los movimientos de capital a la tasa de interés ( iK ) no es
“suficientemente grande”, entonces 0<−− γii mK y en este caso BB tiene pendiente
negativa;
iK disminuirá cuando i aumente porque incrementos sucesivos iguales en i conducen
progresivamente a menos entradas de capital. Lo que puede ocurrir entonces es la
presencia de algún valor crítico de i, por ejemplo, ci , tal que
0>−− γii mK para cii <
(F13)
0<−− γii mK para cii >
En este caso, (F12) resulta
0>−−
=
∂∂
γii
y
BBmK
m
y
i para cii <
0<−−
=
∂∂
γii
y
BBmK
m
y
i para cii > (F14)
∞=
∂∂
→BB
ii y
i
c
lim ¿Porqué?
9
El límite en (F14), significa que el esquema BB crece y se dobla hacia atrás cuando
cii = .
¿Qué ocurre al pasar el tiempo con los cambios de BB? En este caso, la ecuación (F11)
( ) ( ) ( ) 0,0
0 =+−− ∫=
t
i
iKdiKiiymx τ
es la función implícita de tres variables (y,i, t)
( ) 0,, =Φ tiy (F15)
de modo que los cambios en BB al pasar el tiempo se pueden deducir calculando las
derivadas parciales de (F15)
y
t
t
y
ΦΦ
−=∂∂
(F16)
Esta derivada indica cómo debe moverse y en correspondencia con cada i para mantener
la balanza de pagos en equilibrio cuando t cambia. Aplicando la derivada (F16) a la
integral5 (F11) tenemos
( ) ( )0<−=
−−
−=ΦΦ
−=∂∂
yyy
t
m
iiK
m
iiK
t
y (F17)
(F17) es negativa porque 10 << ym y 0>iK , de donde se sigue que al pasar el tiempo
BB cambia a la izquierda.
F.1.3 Estática comparativa F.1.3.1 El problema de la transferencia
Si asumimos que la transferencia T es un parámetro y que éste modifica los
componentes exógenos del gasto, el sistema de ecuaciones implícitas de equilibrio
ahora es
( )( ) ( )
( ) 0,
0,
,
20
10
=−
=++−
++=
MiyL
TaiKiymx
Taxiydy
(F18)
donde
0´´´1´ 211112 <−−≡<−≡ bbaa µµ (F19)
y condición inicial T = 0.
5 Diferenciar una integral respecto a un parámetro.
10
Diferenciando el sistema (F18) con respecto a T resulta
( )
( )
( )
0
0
1
2
2
2
1
1
1
=∂∂
−
∂∂
+
∂∂
=
∂∂
−+
∂∂
−=
∂∂
−+
∂∂
−
=+
∂∂
−
∂∂
+
∂∂
−
=
∂∂
−
∂∂
−
=
∂∂
−
∂∂
−
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
=
∂∂
T
M
T
iL
T
yL
aT
iKm
T
ym
aT
imK
T
ym
aT
im
T
iK
T
ym
aT
id
T
yd
aT
id
T
yd
T
y
aT
id
T
yd
T
y
iy
iiy
iiy
iiy
iy
iy
iy
(F20)
El arreglo matricial de (F20) es
( )( )
=
∂∂∂∂∂∂
−
−
−−
01
0
01
2
1
a
a
T
M
T
i
T
y
LL
Kmm
dd
iy
iiy
iy
con regla de Cramer, las soluciones son
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )[ ][ ]( ) ( )( ) ( )[ ][ ]
( )( )( )
( )D
damKa
T
y
dmmKd
damKa
T
y
mdKmd
adKma
Kmm
dd
Kma
da
LL
Kmm
dd
L
Kma
da
T
y
iii
iyiiy
iii
yiiiy
iii
iiy
iy
ii
i
iy
iiy
iy
i
ii
i
21
21
212
12
1
1
11
1
11
1
1
0
01
10
0
0
−−=
∂∂
−−−−−
=∂∂
−−−−−−−−−
=
−
−−−
−
−−
=
−
−
−−
−
−
−
=∂∂
11
( )
( )( )
( ) ( )[ ] ( )D
mada
D
mada
D
am
ad
D
L
am
ad
T
i yyyyy
y
y
y
y
12122
12
1
111
11
10
0
01
+−−=
−−−=
−−
=−
−
=∂∂
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )[ ]{ }
( )[ ] ( )[ ]{ }D
dLdLamKLmLa
T
M
D
dLdLamKLmLa
T
M
D
LL
dda
D
LL
Kmma
D
LL
aKmm
add
T
M
iyyiiiyyi
iyyiiiyyi
iy
iy
iy
iiy
iy
iiy
iy
+−−−+==
∂∂
−−−−−−=
∂∂
−−
−
−
=
−
−−
=∂∂
1
1
1
0
1
21
21
21
2
1
(F21)
con ( )( ) 01 <−−−≡ iyiiy dmmKdD (F22).
0<D porque 10 << yd , 0>iK , 0<im , 0<id
Ya que 0<D , entonces las soluciones en (F21) tienen las siguientes propiedades:
0<∂∂T
y es decir, la transferencia disminuye el ingreso.
La tasa de interés crece
>∂∂
0T
i si
1<+ yy dm (F23)
es decir, si la propensión marginal al consumo del gasto agregado ( ) 1<+≡ yyy dmA .
(¿porqué?)
Por último, el stock de moneda disminuirá
<∂∂
0T
M si
i
y
ii
y
L
L
mK
m−<
− (F24)
es decir, si la pendiente de BB es mayor que la pendiente de LM. (¿porqué?) (Ver
(F2)).
12
F.1.3.2 Devaluación de la tasa de cambio
Otro ejemplo de estática comparativa es una variación exógena en la tasa de cambio en
un régimen de fijación ajustable. Con este fin, incorporamos la tasa de cambio r como
un parámetro en las distintas ecuaciones en el sistema (F1), es decir
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )iyLM
r
miKriyrmrx
r
d
d
driydrxy
r
x
,
0 ,0,,
0 ,0 ,,,
=
<∂∂
=+−
>∂∂
>+=
(F25)
En la segunda ecuación del sistema (F25) se hace el supuesto implícito de que la tasa de
cambio no influye en el saldo de la cuenta de capital de modo que K es sólo función de i
y no de r.
Diferenciando el sistema (25) respecto a r tenemos
( )r
d
d
d
r
id
r
yd
r
d
r
id
r
yd
d
d
r
y
r
xiy
iy
r
x
∂∂
+=∂∂
−∂∂
−
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=∂∂
1
( )
( )r
mrm
d
d
r
iKm
r
ym
r
mrm
d
d
r
imK
r
ym
r
iKm
r
ym
r
im
r
mr
d
d
r
xiiy
r
xiiy
iyi
r
x
∂∂
−−=∂∂
−−∂∂
∂∂
++−=∂∂
−+∂∂
−
=∂∂
+−∂∂
−∂∂
−∂∂
−
0
(F26)
0=∂∂
−∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
=∂∂
r
M
r
iL
r
yL
r
iL
r
yL
r
M
iy
iy
El signo del lado derecho de la igualdad en la quinta expresión en (F26) depende de las
elasticidades porque
ηηη =
−+=
∂∂
−−=∂∂
−− 11 mx
r
x
rm
xm
r
m
m
r
dr
dx
x
r
rm
xm
r
mrm
d
d (F27)
con dr
dx
x
rx =η y
r
m
m
rm ∂
∂=η .
13
0>η si la condición crítica de elasticidades (7.9) ( )0>rB se cumple, lo que aquí se
supone cierto.
El arreglo matricial del sistema F26 es
( )( )
∂∂
−−
∂∂
+
=
∂∂∂∂∂∂
−
−
−−
0
1
0
01
r
mrm
d
d
r
d
d
d
r
M
r
i
r
y
LL
Kmm
dd
r
x
r
x
iy
iiy
iy
con soluciones
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )[ ][ ]
( )
( )( )
( )
D
dmKr
d
d
d
dmmKd
dmKr
d
d
d
r
y
mdKmd
dr
mrm
d
dKm
r
d
d
d
r
y
Kmm
dd
Kmr
mrm
d
d
dr
d
d
d
LL
Kmm
dd
L
Kmr
mrm
d
d
dr
d
d
d
r
y
iii
r
x
iyiiy
iii
r
x
yiiiy
i
r
xii
r
x
iiy
iy
ii
r
x
i
r
x
iy
iiy
iy
i
ii
r
x
i
r
x
ηη −−
∂∂
+
=−−−
−−
∂∂
+
=∂∂
−−−−−
−
∂∂
−−−−
∂∂
+−
=∂∂
−
−−−
−∂∂
−−
−∂∂
+−
=
−
−
−−
−
−∂∂
−−
−∂∂
+
=∂∂
1
11
1
11
1
1
0
01
10
0
0
con ( )( ) 01 <−−−≡ iyiiy dmmKdD y r
mrm
d
d
r
x
∂∂
−−=η .
14
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
D
dmr
d
d
d
r
i
D
mr
d
d
dd
r
i
D
mr
d
d
d
r
mrm
d
dd
r
mrm
d
d
r
i
D
mr
d
d
d
r
mrm
d
dd
r
mrm
d
d
r
i
D
mr
d
d
d
r
mrm
d
dd
r
i
D
r
mrm
d
dm
r
d
d
dd
D
L
r
mrm
d
dm
r
d
d
dd
r
i
yy
r
x
y
r
xy
y
r
x
r
xy
r
x
y
r
x
r
xy
r
x
y
r
x
r
xy
r
xy
r
xy
y
r
xy
r
xy
−−
∂∂
+
=∂∂
∂∂
+++−
=∂∂
∂∂
++
∂∂
−−+
∂∂
−−−
=∂∂
∂∂
+−
∂∂
−−−
∂∂
−−−
=∂∂
∂∂
+−
∂∂
−−−−
=∂∂
∂∂
−−
∂∂
+−−
=
−∂∂
−−
∂∂
+−
=∂∂
1
1
11
1
110
0
01
η
ηη (F28)
r
yL
r
iL
r
Myi ∂∂
+∂∂
=∂∂
.
Las tres soluciones en (F28) tienen las siguientes propiedades:
(a) 0 >∂∂r
y porque 0 ,0 >
∂∂
>r
d
d
d
r
x , 0,0 >< ii Km , 0>η y 0<id , D < 0.
(b) r
i
∂∂
tiene signo indefinido ya que 0 ,0 >∂∂
>r
d
d
d
r
x , 0>η , 10 << yd , 10 << ym y D
< 0.
(c) Ya que r
M
∂∂
depende de r
i
∂∂ que tiene signo indefinido,
r
M
∂∂
también tiene signo
indefinido.
El valor r
y
∂∂ también representa un multiplicador internacional en la medida en que da
el efecto sobre el ingreso de equilibrio de un cambio exógeno en las exportaciones y en
las importaciones: el cambio en el parámetro r provoca cambios en exportaciones e
15
importaciones, los cuales pueden considerarse, para todo efecto, cambios exógenos en
este modelo.
F 1 El modelo Mundell Fleming en régimen de tasas de cambio flexibles
El modelo Mundell-Fleming del sistema de tres ecuaciones (10.1–10.3) con tres
incógnitas (y, i, M) ahora se extiende a tasas de cambio flexibles (pero con precios aún
rígidos y normalizados a uno) de lo que resulta
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) 0K ,0,,
0 0, ,,
0,0 ,0 ,10 ,0 ,0 ,10 ,,,,
>=+−=
<>=
<−<<<<><<<−+=∗
i
iy
iiriyriy
iKriyrmrxB
LLiyLM
mAmmmxAAriyrmrxiyAy
(F29)
ii mA − es el efecto de la tasa de interés sobre el gasto en producción interna de
residentes por lo cual tiene signo negativo.
El modelo Mundell-Fleming en régimen de tasas de cambio flexibles consiste del
sistema de tres ecuaciones (F29) con tres incógnitas (y, i, r), de modo que la oferta
monetaria se supone exógena (constante) y es por esto que se representa con un
asterisco ( ∗M ).
Segundo caso en el punto de la sección 10.3 del capítulo 10
En este segundo caso, ∗M es constante porque para todo conjunto de valores y, i, la tasa
de cambio r es siempre tal que B = 0, es decir, la tasa de cambio mantiene
instantáneamente en equilibrio la balanza de pagos. Formalmente, esto significa que r
se puede expresar como una función de (y, i) a partir de la función implícita
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =+−= iKriyrmrxriyB
si el jacobiano de ( )riyB ,, con respecto a r es distinto de cero, lo cual es cierto porque
rrr
r
x
rmmxB
r
mrm
d
d
r
B
−−=
∂∂
−−=∂∂
(F30)
por (F27)
−+=−−=∂∂
−− 1 mxrr
r
x
rm
xmrmmx
r
mrm
d
dηη
Sustituyendo esta expresión en (F30) tenemos que el jacobiano de ( )riyB ,, con
respecto a r es
16
01 ≠
−+=−−= mxrrrrm
xmrmmxB ηη (F31)
0≠rB porque se ha supuesto que la condición crítica de elasticidades (7.9) se cumple
de modo que 0>=ηrB .
Dado que el jacobiano de ( )riyB ,, con respecto a r es distinto de cero ( 0≠rB ),
podemos expresar a r como la función diferenciable de (y, i)
( )iyr , (F32)
con derivadas implícitas para la función implícita ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =+−= iKriyrmrxriyB :
r
ii
r
ii
r
i
r
y
r
y
r
y
B
Krm
B
Krm
B
B
i
r
B
rm
B
rm
B
B
y
r
−=
+−−=−=
∂∂
=−
−=−=∂∂
(F33)
Ya que r > 0 y 10 << ym la derivada implícita r
y
B
rm
y
r=
∂∂
tiene signo positivo si
0>=ηrB y tiene signo negativo sí 0<=ηrB , es decir según que la condición crítica
de elasticidades se cumple o no.
Similarmente, ya que r > 0, 0<im y 0>iK , la derivada implícita r
ii
B
Krm
i
r −=
∂∂
tiene
signo positivo si 0>=ηrB y tiene signo negativo sí 0<=ηrB , es decir según que la
condición crítica de elasticidades se cumpla o no.
Ya que por (F32) r se puede expresar como una función de (y, i), la tasa de cambio r es
siempre tal que B = 0, es decir, la tasa de cambio mantiene instantáneamente en
equilibrio la balanza de pagos. Debido a esto, en el sistema (F29), B = 0, y entonces la
dinámica del equilibrio de este sistema se puede describir por el sistema de ecuaciones
diferenciales
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }
( )[ ]∗−==
−−+==
MiyLkidt
di
yiyriymiyriyrxiyAkydt
dy
,
,,,,,,
2
1
&
&
(F34)
Haciendo una expansión de Taylor alrededor del punto de equilibrio hasta orden uno,
normalizando r = 1 en el punto de equilibrio y definiendo 121 == kk , el sistema (F34)
se escribe
17
( ) ( )
( ) ( ) ( )iLyLi
M-Mi-iLky-yLki
iB
KmmmxmAy
B
mmmxmAy
iy
ee
i
e
y
r
iirrii
r
y
rryy
+=
−+=
−−−+−+
−−−+−=
&
&
&
22
1
(F35)
TAREA DESARROLLAR PARA y&
Sustituyendo (F31) ( ) rrr rmmxB −−= en y& del sistema (F35) resulta
( ) ( ) irmmx
KmmmxmAy
rmmx
mmmxmAy
rr
iirrii
rr
y
rryy
−−−
−−+−+
−
−−−−+−= 1&
normalizando r = 1
( ) ( )
[ ] [ ][ ] [ ]
iLyLi
iKAyAy
iKmmAymmAy
immx
KmmmxmAy
mmx
mmmxmAy
iy
iiy
iiiiyyy
rr
iirrii
rr
y
rryy
+=
−+−=
−+−+−+−=
−
−−−
−−+−+
−
−−−−+−=
&
&
&
&
1
1
11
(F36)
El arreglo matricial de (F36) es
( ) ( )
−−=
i
y
LL
KAA
i
y
iy
iiy 1
&
&
La estabilidad depende de las raíces de la ecuación característica
( ) ( )0
10
011=
−
−−λ
iy
iiy
LL
KAA
o bien
( ) ( )0
1=
−
−−−
λλ
iy
iiy
LL
KAA (F37)
es decir de
18
( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] 011
0
0
011
01
2
2
2
2
=−−−+−−+
=−−−+−−+
=+−−++−−
=+−−+−−−
=−−−−−
iiyiyiy
iyiyiiyiy
iyiyiyiiy
yiyiiyiy
yiiiy
KALLALA
KLALLLALA
KLALLALLA
LKLALALA
LKALA
λλ
λλλλ
λλλλ
λλλ
λλ
(F38)
Por lo tanto, las condiciones suficientes y necesarias para que el equilibrio del sistema
(F35) sea estable son las siguientes
01 >−− iy LA
(F39)
( ) ( ) 01 >−−− iiyiy KALLA
que se cumplen porque 0K ,0 0, 0, ,10 ><><<< iiyiy ALLA . De esta manera, la
condición crítica de elasticidad, es condición suficiente pero no necesaria. ¿Porqué? La
razón es que ahora los ajustes pueden también ocurrir a través de la tasa de interés, lo
cual modera la carga sobre la tasa de cambio.
Primer caso en el punto d de la sección 10.3 del capítulo 10
Este es el caso general en el cual la tasa de cambio r no puede mantener
instantáneamente en equilibrio la balanza de pagos, originando el siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]{ }
( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]iKriyrmrxkrdt
dr
MiyLkidt
di
yriyrmrxiyAkydt
dy
iKriyrmrxaMdt
dM
−+−==
−==
−−+==
+−==
,,
,
,,,
,,
3
2
1
&
&
&
&
(F40)
Se asume que 1321 ==== kkka .
Nota. En Gandolfo (2002) hay un error en la notación de la tercera ecuación en (F40):
en vez de 1k debería decir 2k .
Sumando las ecuaciones uno y cuatro del sistema (F40) con 13 == ka resulta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =−+−+−=+ iKriyrmrxiKriyrmrxrM &&
19
Por lo tanto,
( )( ) 0
0,
0
=+
=+
=+
rtM
iyrM
rM
&
&&
Por lo tanto, es posible establecer que en la vecindad del equilibrio
( ) ( ) 0=+=−+− rMrrMM ee implica que rM −= (F41)
Haciendo una expansión de Taylor alrededor del punto de equilibrio hasta orden uno,
normalizando r = 1 en el punto de equilibrio y definiendo 121 === kka , el sistema
(F34) se puede reducir al sistema de tres ecuaciones
( )( ) ( ) ( )
( ) rBimKymr
riLyLi
rriiLyyLi
rBiAyAy
riiy
iy
ee
i
e
y
riy
−−−=
++=
−+−+−=
++−=
&
&
&
& 1
(F42)
Donde rrr rmmxB −−= por (F31).
El arreglo matricial de (F42) es
( )
( )
−−−
−
=
r
i
y
BmKm
LL
BAA
r
i
y
riiy
iy
riy
1
1
&
&
&
La estabilidad depende de las raíces de la ecuación característica
( )
( )0
100
010
001
1
1
=
−
−−−
−
λ
riiy
iy
riy
BmKm
LL
BAA
o bien
( )
( )01
1
=
−−−−
−
−−
λλ
λ
riiy
iy
riy
BmKm
LL
BAA
(F43)
20
Desarrollando y simplificando
( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] 01
)1(1
=−−−−−−+−−
−−+−−−−−
λλλ
λλλ
yiiryiyir
iiyryiriy
AmKBLAmLB
mKLBmABLA
( )( )[ ] 0
2
=−+−++−−−−−
+−+−−+−+−−
λλλλ
λλλλλ
iiyyiiyiyiryiyryir
iyriyryiriiyiy
mKmAmKAKLABLAmBmLB
mLBKLBmABLLALA
0
22
=+−+−−++++−+−+
−+−++−−+−++−
λλλλ
λλλλλλλλλλλλλλ
iiyyiiyiyiryiyryiriyriyryi
iiyriyrrirriryriy
mKmAmKAKLABLAmBmLBmLBKLBmA
LLALABBLBBLBABLA
0
32222
=+−+−−++++−+−+
−+−++−−+−++−
λλλλ
λλλλλλλλλλ
iiyyiiyiyiryiyryiriyriyryi
iiyriyrrirriryriy
mKmAmKAKLABLAmBmLBmLBKLBmA
LLALABBLBBLBABLA
0
22223
=+−++−−+−++−
+++−++−+−+++−−−
yiyiyiyiyiriyriyrryiririy
yiriiyrriryriiyriyr
mAAmAKmKmLBmLBKLBBLABLBLA
LALLABLBABmKmBLAB λλλλλλλλλλλλλλ
( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } 0
111 23
=+−++−−+−++−
+−−−−−+−+−−+−−
yiyiyiyiryiiryriyyiririyr
yiiyiyriiryiyr
mAAmAKmKBmLmBLBKLLABLBLAB
LALALABmKBmLAB λλλ
( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )( ){ } 011
111 23
=++−−−−−++−
+−−−−−+−+−−+−−
yiiiyryiriiyyiiyr
yiiyiyriiryiyr
mAmKABmLBmKLLALAB
LALALABmKBmLAB λλλ
Nota. La ecuación característica que desarrollo aquí tiene signos opuestos a los de la
ecuación característica (F43) en Gandolfo. Se debe a que aquí la entrada (3,2) de F(43)
es ( )ii mK −− mientras en Gandolfo es ( )ii mK − aún cuando en su sistema (F42) el
coeficiente de i en la tercera ecuación del sistema (F42) tiene el signo correcto
( )ii mK −− .
REVISAR ESTE RESULTADO.
Las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad del equilibrio del sistema
linealizado (F42) son las siguientes (Gandolfo, 1997. P.221):
(a) ( ) ( )[ ] 011 >+−−−−−+− yiiyiyriiry LALALABmKBm
(b) ( )[ ] ( )[ ] ( )( ){ } 011 >++−−−−−++ yiiiyryiriiyyiiyr mAmKABmLBmKLLALAB
(c) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )( ){ } 011
111
>++−−−−−++−
+−−−−−+−×−−+
yiiiyryiriiyyiiyr
yiiyiyriiryiyr
mAmKABmLBmKLLALAB
LALALABmKBmLAB
21
En lugar de analizar las desigualdades (a - c), se pone énfasis en la relevancia de la
condición crítica de elasticidades ( )0>rB , la cual ahora no es condición necesaria ni
suficiente puesto que si se considera, por ejemplo, la primera condición de estabilidad
(a) se tiene
( ) ( )[ ] 011 >−+−−+−−− iiyiiyiyyr mKLALALmAB (F45)
El término ( )iiyiiy mKLALA −+−−1 es positivo porque 10 << yA , 0<iL , 0<iA ,
0 >yL , 0K >i y 0m <i .
Por su parte, en el término ( )iyy LmA −−−1 , 10 << yA , 0<iL y 10 << ym , por lo
cual puede ser positivo o negativo. Suponer que es negativo. Entonces, 0>rB
(condición crítica de elasticidades) no es condición necesaria ya que con 0<rB la
condición de estabilidad se cumple. La condición crítica de elasticidades tampoco es
condición suficiente porque si ( )iyy LmA −−−1 es “suficientemente negativa” 0>rB
puede dar lugar a inestabilidad.
Ejercicio. Usando la condición crítica de elasticidades ( )0>rB , muestre que no son
necesarias ni suficientes las condiciones de estabilidad
(b) ( )[ ] ( )[ ] ( )( ){ } 011 >++−−−−−++ yiiiyryiriiyyiiyr mAmKABmLBmKLLALAB
(c) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )( ){ } 011
111
>++−−−−−++−
+−−−−−+−×−−+
yiiiyryiriiyyiiyr
yiiyiyriiryiyr
mAmKABmLBmKLLALAB
LALALABmKBmLAB
para el sistema
( )
( ) rBimKymr
riLyLi
rBiAyAy
riiy
iy
riy
−−−=
++=
++−=
&
&
& 1
(F42)
22
APENDICE G AL CAPÍTULO 11
G.1 Política monetaria y fiscal en un régimen de tasas de cambio fijas
G.1.1 El modelo estático
Se asume que la política monetaria se identifica con la administración de los tipos de
interés (implica que la oferta de moneda siempre se establece en el nivel apropiado) y la
política fiscal con la administración del gasto del gobierno.
El modelo
( )[ ]( ) ( )[ ] 0,
0,
0
0
=+−−
=++−
iKiymxB
Gxiydy (G1)
contiene cuatro variables, dos son objetivos (y, B) y dos instrumentos (G, i). Por el
teorema de la función implícita podemos expresar dos variables, por ejemplo, (G, i),
como funciones de las otras dos, (y, B), si es distinto de cero el jacobiano del sistema
(G1) con respecto a (G, i). Esto es cierto puesto que diferenciando la primera ecuación
en (G1)
( )
( )
( ) 11
011
011
01
01
=∂∂
−∂∂
−
=−∂∂
−∂∂
−
=
+∂∂
−∂∂
−
=
+∂∂
−∂∂
−∂∂
=
+∂∂
+∂∂
−∂∂
G
id
G
yd
G
id
G
yd
G
id
G
yd
G
id
G
yd
G
y
G
id
G
yd
G
y
iy
iy
iy
iy
iy
diferenciando la segunda ecuación de (G1)
( ) 0
0
=∂∂
−+∂∂
=∂∂
−∂∂
+∂∂
G
iKm
G
ym
G
iK
G
im
G
ym
iiy
iiy
El arreglo matricial de estos dos resultados es
23
( )( )
=
∂∂∂∂
−
−−
0
11
G
i
G
y
Kmm
dd
iiy
iy
de donde el jacobiano con respecto a (G, i)
( ) ( )[ ] ( ) 0010
1≠−=−−−=
−
−= iiiii
ii
iKmdKm
Km
dJ (G2)
0≠J porque 0>iK y 0<im . Esto asegura la existencia de las funciones de un solo
valor
G = G(y, B), i = i(y, B) (G3)
por lo cual, dado que y = yF y B = 0, dichas funciones permiten determinar los valores
de los instrumentos (G, i) correspondientes a los valores prefijados de los objetivos (y,
B).
Desde el punto de vista económico, 0≠J significa que existe un efecto directo de la
tasa de interés en la balanza de pagos, dado por ( )ii mK − .
Nota. En J de (G2) la entrada (1,1) es -1 en Gandolfo; aquí obtuve +1. Debido a esto
el resultado aquí mostrado es ( )ii Km − que es distinto del presentado por Gandolfo
( )ii mK − . REVISAR
Eficiencia relativa de los diversos instrumentos en los diversos objetivos Para analizar esta eficiencia, ahora se usa la operación inversa de expresar las dos
variables (y, B) como función de las otras dos, (G, i). Esto es posible si es distinto de
cero el jacobiano del sistema (G1) con respecto a (y, B), lo que se cumple puesto que
diferenciando (G1) resulta
( ) 01
0
0
=∂∂
−∂∂
−
=
∂∂
−∂∂
−∂∂
=
∂∂
+∂∂
−∂∂
B
id
B
yd
B
id
B
yd
B
y
B
id
B
yd
B
y
iy
iy
iy
( ) 1
01
−=∂∂
−+∂∂
=∂∂
−∂∂
+∂∂
+
B
iKm
B
ym
B
iK
B
im
B
ym
iiy
iiy
24
El arreglo matricial de estos dos resultados es
( )( )
−=
∂∂∂∂
−
−−
1
01
B
i
B
y
Kmm
dd
iiy
iy
Entonces se tiene que el jacobiano con respecto a (y, B) es distinto de cero
( )( )( ) ( )[ ] ( ) 01011
1
01≠−−=−−−=
−
−= yyy
y
ydmd
m
dJ (G2)
0≠J porque 10 << yd .
Nota. Gandolfo obtiene ( )ydJ −+= 1 (con signo positivo) aquí se obtiene ( )
ydJ −−= 1
(con signo negativo). Se debe a que en J la entrada (2,2) en Gandolfo es 1 y aquí es -1.
REVISAR.
Diferenciando G1 se tiene
( )
( )y
y
y
dG
y
G
yd
G
yd
G
y
−=
∂∂
=∂∂
−
=−∂∂
−∂∂
1
1
11
01
, ( )
( )y
y
y
di
y
i
yd
i
yd
i
y
−=
∂∂
=∂∂
−
=∂∂
−∂∂
1
1
11
0
(G4)
G
ym
G
B
G
ym
G
B
y
y
∂∂
−=∂∂
=∂∂
+∂∂
0´
,
iiy
iiy
mKi
ym
i
B
mKi
ym
i
B
−+∂∂
−=∂∂
=+−∂∂
+∂∂
0
De (G4) se tiene
25
(i)
( )( )
( )( )[ ]
( )( )i
yii
y
i
y
y
yiiiy
y
i
y
yiiiy
y
i
i
y
iy
iy
i
iy
d
dmKm
i
yi
B
d
d
d
dmKdm
i
yi
B
d
d
d
dmKdm
d
d
mKd
dm
d
d
mKi
ym
i
yi
B
−−+−=
∂∂∂∂
−
−
−−+−=
∂∂∂∂
−
−
−−+−
=
−
−+−
−
=
−
−+∂∂
−=
∂∂∂∂
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(ii) ( )
( ) y
y
yy
y
y
y
y
y
md
dm
d
dm
d
G
ym
G
yG
B
−=−
−−=
−
−−
=
−
∂∂
−=
∂∂∂∂
11
1
1
1
1
1
1
1
(G5)
(iii) yy
y
y
y
y
y
y
y
md
d
m
dm
d
G
ym
d
G
BG
y
−=
−
−
−=
−−
−=
∂∂
−
−=
∂∂∂∂
1
1
11
1
1
1
1
1
1
(iv)
( )( )
( )( )yiiiy
i
y
yiiiy
y
i
ii
y
iy
y
i
dmKdm
d
i
Bi
y
d
dmKdm
d
d
mKd
dm
d
d
i
Bi
y
−−+−=
∂∂∂∂
−
−−+−−
=
−+
−−
−=
∂∂∂∂
1
1
1
1
1
1
Ya que ( )( )
01
<−−
i
yii
d
dmK, porque 0>iK , 0<im , 10 << yd y 0<id , de los
valores absolutos de (i) y (ii) y de (iii) y (iv), respectivamente, se tiene
G
yG
B
i
yi
B
∂∂∂∂
>
∂∂∂∂
,
i
Bi
y
G
BG
y
∂∂∂∂
>
∂∂∂∂
(G6)
26
Según (G6), la política monetaria tiene una influencia relativamente mayor en la
balanza de pagos que la política fiscal
∂∂∂∂
>∂∂∂∂
Gy
GB
iy
iB y la política fiscal tiene una
influencia relativamente mayor en el ingreso que la política monetaria
∂∂∂∂
>∂∂∂∂
iB
iy
GG
Gy.
En el caso tradicional donde el instrumento de la política monetaria se identifica con la
administración de la oferta de dinero, debe incorporarse al sistema (G1) la ecuación de
equilibrio monetario ( ) 0, =− MiyL de lo cual resulta el sistema
( )[ ]( ) ( )[ ]
( ) 0,
0,
0,
0
0
=−
=+−−
=++−
MiyL
iKiymxB
Gxiydy
de tres ecuaciones con cinco incógnitas, de las cuales dos son exógenas (los
instrumentos G y M) y tres exógenas (y, B, i), dos de las cuales son objetivos (y, B).
Ejercicios
(a) Mostrar el jacobiano de este sistema con respecto a (G, m, i) y (y, B, i) y mostrar
que es distinto de cero.
(b) Para el sistema de tres ecuaciones, calcular las derivadas parciales My ∂∂ , MB ∂∂ .
Gy ∂∂ , GB ∂∂ .
(c) A partir de las derivadas parciales del ejercicio (b) probar las desigualdades en G6 se
siguen cumpliendo.
G.1.2 El problema de la asignación Ahora se trata el problema de la asignación de instrumentos a objetivos. El
emparejamiento de política fiscal - equilibrio interno y política monetaria - equilibrio
externo da lugar al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
( )
( ) ( )( )
( )( ) 0 , )(
0 , )(
0 )(
303
202
11
>−++==
>−−==
>−==
vyGxiydvydt
dyc
viKxiymvidt
dib
vyyvGdt
dGa F
&
&
&
(G7)
Estas ecuaciones son las reglas de ajuste siguientes:
(a) el gasto del gobierno crece (decrece) si el ingreso es menor (mayor) al del nivel de
pleno empleo y
27
(b) la tasa de interés crece (decrece) si hay un déficit (excedente) en la balanza de
pagos.
(c) proceso usual de ajuste del ingreso nacional es respuesta al exceso de demanda en un
contexto de precios rígidos.
321 ,, vvv : velocidades de las reglas de ajuste.
Expandiendo una serie de Taylor alrededor el punto de equilibrio de pleno empleo con
equilibrio externo y omitiendo términos no lineales tenemos
( )( )
−
−
−
=
i
y
G
dvdvv
mvKmv
v
y
i
G
yi
yii
1
0
00
333
22
1
&
&
&
o bien
Azz =& (G8)
con
=
y
i
G
&
&
&
&z , ( )( )
−
−
−
≡
1
0
00
333
22
1
yi
yii
dvdvv
mvKmv
v
A ,
=
i
y
G
z (G9)
La ecuación característica del sistema (G7) es
( )( )
0
100
010
001
1
0
00
333
22
1
=
−
−
−
−
λ
yi
yii
dvdvv
mvKmv
v
( )( )
0
1
0
00
333
22
1
=
−−
−−
−−
λλ
λ
yi
yii
dvdvv
mvKmv
v
28
Desarrollando este expresión
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )[ ] 00100
0010
323321
133232
=−+−−+−−−−
−++−−−−−
λλλ
λλλ
iyyii
iyyii
dvmvdvvKmvv
vdvvmvdvKmv
( )( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )[ ]
[ ] 0
0
3231321321
332323223232
3232213322
=−++−−
−−+−−+−+−−+−−+−+−+−+−
=−+−−−−−−−−−
λλ
λλλλλλλ
λλλλλ
iyii
yiiyiiiyi
iyiiyii
dvmvvvvKvvvmvv
vdvKvvKvdvKvmvvmvdvmv
dvmvvKvmvvvdvKvmv
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) [ ] 0323132132133
2323223232
=−++−−−−−+−−−+−−+
−−−+−−−+−−+−+−−+−−+−−
λλλλλλλλλ
λλλλλλλλλλ
iyiiy
iiyiiiyi
dvmvvvvKvvvmvvvdv
KvvKvdvKvmvvmvdvmv
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) [ ] 0323132132133
2323223232
=−++−−−−−+−−−+−−+
−−−+−−−+−−+−+−−+−−+−
λλλλλλλλλ
λλλλλλλλλ
iyiiy
iiyiiiyi
dvmvvvvKvvvmvvvdv
KvvKvdvKvmvvmvdvmv
Simplificando
( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) 032132131323232
323222
=+−−+−+−−+
−−+−−−+−−+−−−+−−−
vmvvvKvvvvdvmvdvmvvmv
dvKvvKvmvKv
iiiyyii
yiiii
λλλλ
λλλλλλλλλ
( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( ) 011 321313232
2
32
3 =−++−−−+−+−+ iiyiyiiyii mKvvvvvdmvvdmKvvdvmKv λλλ (G10)
REVISAR desarrollo de ecuación característica.
Las condiciones necesarias y suficientes de la estabilidad son (Gandolofo, 1997, pp.
219-221)
( ) ( )( )( )( )
( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( ) 0111
11
0
01
01
2
31323232
32131323232
321
313232
32
>−+−−−+−+−=
−−+−−−−+−
>−
>+−−−
>−+−
yiyyiiyii
iiyiyiiyii
ii
yiyii
yii
dvvdmvvdmKvvdvmKv
mKvvvvvdmvvdmKvvdvmKv
mKvvv
vvdmvvdmKvv
dvmKv
(G11)
Por lo signos de las derivadas y dado que se asume que dy < 1, estas condiciones se
cumplen. Partiendo de una situación inicial por debajo del pleno empleo, el sistema
converge al equilibrio de pleno empleo con equilibrio externo.
Ahora, si se toma en cuenta la tarea de la política monetaria para el equilibrio interno y
la política fiscal para el equilibrio externo se obtiene el sistema de ecuaciones
diferenciales
29
( ) ( )( )
( )
( )( ) 0 , )(
0 )(
0 , )(
303
22
102
>−++==
>−==
>+−==
kyGxiydkydt
dyc
kyykidt
dib
kiKiymxkGdt
dGa
F
&
&
&
(G12)
Expandiendo una serie de Taylor alrededor el punto de equilibrio de pleno empleo
tenemos
( )
( )
−
−−
=
i
y
G
dkdkk
k
mkmKk
y
i
G
yi
yii
1
00
0
333
2
11
&
&
&
o bien
zAz 1=& (G13)
con
=
y
i
G
&
&
&
&z ,
( )
( )
−
−−
≡
1
00
0
333
2
11
1
yi
yii
dkdkk
k
mkmKk
A ,
=
i
y
G
z (G14)
La ecuación característica del sistema (G14) es
( )
( )0
100
010
001
1
00
0
333
2
11
=
−
−
−−
λ
yi
yii
dkdkk
k
mkmKk
( )
( )0
1
00
0
333
2
11
=
−−
−
−−−
λλ
λ
yi
yii
dkdkk
k
mkmKk
Desarrollando y reordenando esta expresión tenemos
30
( )
( )( )
( )
( )( )( ) ( )( )[ ][ ] ( )( )[ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 01
01
0
0
0
01
01
1
00
0
3213231
2
3
3
3213231
2
3
3
321321323133
3
2
333231321321
32
2
3331321321
32
2
33121213
3231213
33
2
2
11
3
333
2
11
=−−−+−+=
=−+−−−−−=
−++−+−−=
=−+−+−−=
=+−−+−−=
=−++−−−−=
=−−−−−−−−−=
=−−
−−
−
−−=
−−
−
−−−
iiiyy
iiiyy
iiyy
yiyi
iyyii
iyyii
iyyii
yi
yii
yi
yii
mKkkkdkkmkkdk
mKkkkdkkmkkdk
mkkkKkkkdkkmkkdkk
dkkdkkmkkmkkkKkkk
dkkkdkmkkmkkkKkkk
dkkkdkmkmkkKkkk
dkkdkmkkmKkk
dkdk
k
k
mkmKkk
dkdkk
k
mkmKk
λλλ
λλλ
λλλλλλλ
λλλλλλλλ
λλλλλλλλ
λλλλλ
λλλλ
λ
λλ
λλ
λλ
(G15)
Ya que el término ( ) 0321 <− ii mKkkk porque 0>iK , 0<im y 0,, 321 >kkk , una
condición de estabilidad no se cumple y entonces la tarea asignada origina un
movimiento que diverge del equilibrio de pleno empleo.
G.1.2 Una generalización del problema de asignación
Se considera el problema típico de política objetivo-instrumento
Ayx = (G16)
donde x es el vector de desviaciones de los n objetivos del equilibrio, y es el vector de
desviaciones de los n instrumentos del equilibrio y es una matriz de dimensión n x n
representando la forma reducida del modelo base. Se ha supuesto que el número de
instrumentos independientes es igual al número de objetivos Supongamos ahora que los
instrumentos cambian en respuesta a los desequilibrios en los objetivos de acuerdo con
el siguiente sistena dinámico general
Kxy =& (G17)
donde los elementos de la matriz K representan el peso del j-ésimo objetivo en la
determinación del ajuste del j-ésimo instrumento. El sistema de asignación (o la
formulación de políticas descentralizadas) es un caso particular en donde cada
instrumento es manejado en relación con un solo objetivo. En este caso es siempre
posible, por renumeración adecuada de las variables y reordenando las ecuaciones, si es
el caso, escribir el sistema dinámico (G17) como
kxy =' (G18)
donde { }mmkkk ,...,, 2211=k es una matriz diagonal. Sustituyendo (G16) en (G18) resulta
kAyy =' (G19)
31
El problema es entonces elegir los parámetros de política iik de una manera de modo tal
que el sistema (G19) sea estable.
La estabilidad del modelo depende de las raíces de la matriz kA . Si la matriz A es
estable por si misma, usando los resultados de estabilidad D (Gandolfo, 1997, sección
18.2.2.1) será posible elegir con sentido económico (positivo) los parámetros de política
tal que la matriz kA se mantenga estable (Gandolfo, 1997, sección 18.2.2.1). Además,
la matriz diagonal k se puede elegir de modo que la matriz kA tenga autovalores
reales estrictamente negativos. De ello se deduce que, si A es inestable pero cumple las
condiciones requeridas, es posible hallar una matriz diagonal k que no sólo estabilice el
sistema sino que, además, elimine las posibles oscilaciones.
En nuestro caso queremos 0>iik , por lo tanto la matriz A debe satisfacer las
condiciones (18.80) en Gandolfo, 1997.
G.1 Política monetaria y fiscal en un régimen de tasas de cambio flexibles Ahora se considera el modelo
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) 0K ,0,,
0 0, ,,
0,0 ,0 ,10 ,0 ,0 ,10 ,,,,
>=+−=
<>=
<−<<<<><<<−+=
i
iy
iiriyriy
iKriyrmrxB
LLiyLM
mAmmmxAAriyrmrxiyAy
(G20)
0<− ii mA es el efecto de la tasa de interés en el gasto de residentes en producción
interna, y, tienes por lo tanto, signo negativo.
Se asume que para todo conjunto de valores y, i, la tasa de cambio r es siempre tal que
B = 0, es decir, la tasa de cambio mantiene instantáneamente en equilibrio la balanza de
pagos. Formalmente, esto significa que r se puede expresar como una función de y, i a
partir de la función implícita
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =+−= iKriyrmrxriyB (G21)
porque su jacobiano de ( )riyB ,, con respecto a r es distinto de cero, es decir porque
011
≠=
−+=
∂∂
−−=
−−=
∂∂
−−=∂∂
ηηη mxr
rrr
r
x
rm
xm
r
m
m
r
dr
dx
x
r
rm
xmB
rmmxB
r
mrm
d
d
r
B
(G22)
obteniendo de esta manera la función diferenciable
32
( )iyr , (F23)
con derivadas implícitas
r
ii
r
ii
r
i
r
y
r
y
r
y
B
Krm
B
Krm
B
B
i
r
B
rm
B
rm
B
B
y
r
−=
+−−=−=
∂∂
=−
−=−=∂∂
(G24)
Ya que r > 0 y 10 << ym , la derivada implícita r
y
B
rm
y
r=
∂∂
tiene signo positivo si
0>=ηrB y tiene signo negativo sí 0<=ηrB , es decir según que la condición crítica
de elasticidades ( )0>η se cumpla o no.
Similarmente, ya que r > 0, 0<im y 0>iK , la derivada implícita r
ii
B
Krm
i
r −=
∂∂
tiene
signo positivo si 0>=ηrB y tiene signo negativo sí 0<=ηrB , es decir según que la
condición crítica de elasticidades ( )0>η se cumpla o no.
De (G21) y (G23), el sistema básico (G20) es descrito por el sistema
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }( ) 0,
0,,,,,,
=−
=−−+
MiyL
yiyriymiyriyrxiyA (G25)
Si el jacobiano de (G25) con respecto (y, i) es distinto de cero, se pueden expresar (y, i)
como funciones diferenciables de G y M. El jacobiano es
( ) ( )
iy
r
iirrii
r
y
rryy
LL
B
KmmmxmA
B
mmmxmA
J
−−−+−−−−+−
=1
(G26)
Usando (G22), (G26) resulta
( )( )
( )( )
iy
rr
iirrii
rr
y
rryy
LL
mmx
KmmmxmA
mmx
mmmxmA
J −−−
−−+−−−−
−−+−=
1
es decir
33
iy
iiiiyyy
LL
KmmAmmAJ
−+−−−−=
1
( ) ( ) 011
>−−−=−−
= iiyyi
iy
iiyKALAL
LL
KAAJ
0>J porque 0K ,0 0, ,10 0, ><><<< iiyyi ALAL .
Diferenciando (G25) con respecto a G
( ) ( )
0
11
01
=∂∂
+∂∂
−=∂∂
−+∂∂
−
=+∂∂
−∂∂
+∂∂
−∂∂
G
iL
G
yL
G
iKA
G
yA
G
iK
G
iA
G
y
G
yA
iy
iiy
iiy
(G27)
El arreglo matricial de (G27) es
( ) ( )
−=
∂∂∂∂
−−
0
11
G
i
G
y
LL
KAA
iy
iiy
con soluciones
( )( )( ) ( )( )[ ]
0010
1
>−
=−−−
=
−−
=∂∂
J
L
J
KAL
J
L
KA
G
y iiiii
ii
0>∂∂G
y porque 0<iL , 0>J ,
( )( )( ) ( )( )[ ]
01010
11
>=−−−
=
−−
=∂∂
J
L
J
LA
J
L
A
G
i yyyy
y
(G28)
0>∂∂G
i porque 0>yL , 0>J .
De (G25) también se tiene
34
J
LB
KrmL
B
rm
G
i
i
r
G
y
y
r
G
ry
r
iii
r
y −+−
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
(G29)
Según (G28):
(i) una política fiscal expansiva incrementa el ingreso
>∂∂
0G
y,
(ii) la tasa de interés
>∂∂
0G
i (la tasa de interés debe crecer para mantener constante
la demanda de dinero ante el incremento del ingreso).
Según (G29):
(i) la tasa de cambio se depreciará 0>
∂∂G
r si el grado de movilidad del capital es
positivo 0>
−+− y
r
iii
r
yL
B
KrmL
B
rm y
(G30)
(ii) la tasa de cambio se apreciará 0<
∂∂G
r si el grado de movilidad del capital es
negativo 0<
−+− y
r
iii
r
yL
B
KrmL
B
rm.
Estableciendo que r = 1 en una vecindad del punto de equilibrio y reacomodando
términos, de (G29) tenemos
0>
∂∂G
r si
i
y
ii
y
L
L
mK
m−>
− y
0<
∂∂G
r si
i
y
ii
y
L
L
mK
m−<
− (con alta movilidad de capital Ki la tasa de cambio se
apreciará). (G31)
De (F2) del anexo F al capítulo 10, resultó que
0>−
=
∂∂
ii
y
BBmK
m
y
i
(G32)
0=>−=
∂∂
i
y
LML
L
y
i
35
Por lo cual, (G31) se puede escribir también como
0>
∂∂G
r si
LmBBy
i
y
i
∂∂
>
∂∂
y
(G33)
0<
∂∂G
r si
LmBBy
i
y
i
∂∂
<
∂∂
.
Ahora, diferenciando (G25) con respecto de M
( ) ( )
1
01
0
=∂∂
+∂∂
=∂∂
−+∂∂
−
=∂∂
−∂∂
+∂∂
−∂∂
M
iL
M
yL
M
iKA
M
yA
M
iK
M
iA
M
y
M
yA
iy
iiy
iiy
con arreglo matricial
( ) ( )
=
∂∂∂∂
−−
1
01
M
i
M
y
LL
KAA
iy
iiy
con soluciones
( )( )( ) ( )( )[ ]( ) ( )
01
101
0
>−
=−−−
−−=
−
=∂∂
J
AK
KALAL
KAL
J
L
KA
M
y ii
iiyyi
iiii
ii
0>∂∂M
y porque 0K >i , 0<iA , 0>J ,
( )( )( ) ( )( )[ ]
010111
01
<−
=−−
=
−
=∂∂
J
A
J
LA
J
L
A
M
i yyyy
y
0<∂∂M
i porque 10 << yA y 0>J . (G34)
36
De (G25) también se tiene
( ) ( )0
1
>−
−+−
=∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
J
AB
KrmAK
B
rm
M
i
i
r
M
y
y
r
M
ry
r
iiii
r
y
(G35)
0>∂∂M
r porque se asume que 0>rB , r > 0, 10 << ym , 0K >i , 0<iA , 0<im ,
10 << yA y 0>J .
De (G34), un incremento de la oferta monetaria incrementa el ingreso
>∂∂
0M
y pero
la tasa de interés disminuye
<∂∂
0M
i de modo que la demanda de dinero aumenta lo
suficiente para mantener el equilibrio monetario.
De (G35), la tasa de cambio en cualquier caso se depreciará tanto más cuanto más alta
sea la movilidad del capital Ki
>∂∂
0M
r.
G.3 Movilidad perfecta de capital Se considera otra vez el sistema básico
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) 0K ,0,,
0 0, ,,
0,0 ,0 ,10 ,0 ,0 ,10 ,,,,
>=+−=
<>=
<−<<<<><<<−+=
i
iy
iiriyriy
iKriyrmrxB
LLiyLM
mAmmmxAAriyrmrxiyAy
(G36)
0<− ii mA es el efecto de la tasa de interés en el gasto de residentes en producción
interna, y, tienes por lo tanto, signo negativo.
En el caso de movilidad perfecta de capital ( )∞→iK y expectativas de estática, la
tercera ecuación se colapsa en la tasa de interés externa dada ∗i
∗= ii (G37)
En correspondencia, la pendiente del esquema BB en el plano (y, i) tiende a cero.
(¿porqué). En efecto, si se asume que r se puede expresar como una función de y, i a
partir de la función implícita
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, =+−= iKriyrmrxriyB
37
por el teorema de la función implícita tenemos
ii
y
ii
y
i
y
BB mK
rm
mK
rm
B
B
i
y
−=
−
−−=−=
∂∂
(G38)
De lo cual
0lim =
∂∂
→∞BB
K i
y
i
(G39)
porque 0<iK y 0<im .
De esta manera, para examinar los efectos de las políticas monetaria y fiscal bajo
régimen de tasas de cambio fijas o flexibles se usa el siguiente modelo
( ) ( ) ( )[ ]( ) 0,
G,,,
=−
+−+−∗
∗∗
iyLM
riyrmrxiyAy (G40)
se asume que 0>rB .
Efectos de las políticas monetaria y fiscal en régimen de tasas de cambio fijas En régimen de tasa de cambio fija, M ya no es un instrumento de política porque con
∞→iK cualquier intento de modificar la oferta monetaria a partir de su nivel de
equilibrio (el nivel correspondiente a la demanda de dinero) es inmediatamente
compensado por los flujos de capital inducidos por la presión del desequilibrio
monetario sobre las tasas de interés. En consecuencia, M se considera una variable
endógena en (G40).
Es posible expresar (y, M) como funciones diferenciables de G si es distinto de cero el
jacobiano de (G40) con respecto a (y, M)
( ) ( ) ( ) 011011
01≠+−−=−+−−=
−
+−= yyyyyy
y
yymALmAL
L
mAJ (G41)
0≠J porque 0>yL , 10 << yA y 10 << ym .
Diferenciando (G40) respecto a G se tiene
38
0
01
1
>∂∂
=∂∂
>+−
=∂∂
G
yL
G
M
mAG
y
y
yy (G42)
0>∂∂G
y porque 10 << yA y 10 << ym y 0>
∂∂
G
M porque 0>yL y 0>
∂∂G
y. Por
(G42), la política fiscal es eficaz.
Efectos de las políticas monetaria y fiscal en régimen de tasas de cambio flexibles En régimen de tasas de cambio flexibles, es posible expresar (y, r) como funciones
diferenciables de G y M si es distinto de cero el jacobiano de (G40) con respecto a (y, r)
( )( ) ( )( )[ ] 0100
1≠−=−−−+−=
−
−+−= yryryy
y
ryyLBLBmA
L
BmAJ (G41)
0≠J porque 0>yL y 0>rB .
Diferenciando (G40) respecto a M se tiene
( )
1
01
01
0
−=∂∂
−
=∂∂
−
=∂∂
−∂∂
+−
=∂∂
−∂∂
+∂∂
−∂∂
M
yL
M
yL
M
rB
M
ymA
M
rB
M
ym
M
yA
M
y
y
y
ryy
ryy
(G44)
De la cuarta expresión de (G44)
011
>=−−
=∂∂
yy LLM
y
De la segunda expresión de (G44)
39
( )
( )
01
11
1
>+−
=∂∂
+−=
∂∂
∂∂+−
=∂∂
yr
yy
yr
yy
r
yy
LB
mA
M
r
LB
mA
M
r
M
y
B
mA
M
r
(G45)
En (G45), M
y
∂∂ porque se asume que 0>yL y 0>
∂∂M
r porque 10 << yA , 10 << ym ,
0>rB y 0>yL .
Nota. En Gandolfo, en el denominador de la ecuación M
r
∂∂
en (G45) debería decir yr LB
y no LBr .
Según (G45), la política fiscal es eficaz porque en el nuevo equilibrio
(i) el ingreso será más alto
>∂∂
0G
y y
(ii) la tasa de cambio se depreciará
>∂∂
0G
r.
Diferenciando ahora (G40) respecto a G se tiene
( )
0
11
01
=∂∂
−
=∂∂
−∂∂
+−
=−∂∂
−∂∂
+∂∂
−∂∂
G
yL
G
rB
G
ymA
G
rB
G
ym
G
yA
G
y
y
ryy
ryy
(G46)
De la tercera expresión de (G46)
00
=−
=∂∂
yLG
y
De la segunda expresión de (G46)
( )
( )( )
01
011
11
<−=∂∂
+−+
−=
∂∂
∂∂+−
+−
=∂∂
r
r
yy
r
r
yy
r
BG
r
B
mA
BG
r
G
r
B
mA
BG
r
(G47)
40
En (G47), 0=<∂∂G
r porque se asume que 0>rB .
Según (G47), la política fiscal es ineficaz porque en el nuevo equilibrio
(i) el ingreso no cambia 0=
∂∂G
y y
(ii) sólo la tasa de cambio se apreciará
<∂∂
0G
r.
