U N ESQUEMA DEL METODO ClENTlFlCO Y S U EMPLEO EN CURSOS DE INGENIERIA

Gerard0 AragÓn G., Aurelio Canales P., René Molnar

DIVISION DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA DEPARTAMENTO DE ENERGIA

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Unidad Arcapotzalco

México 16, D.F.

ISBN 968-597-481-0 Marzo de 1983 México, O. F.

UN ESQUEMA DEL METODO CIENTIFICO Y SU

EMPLEO EN CUGO:3 DE INGENIERIA *

(2) Gerard0 AragÓn González, ('I Aurelio Canales Palma, ('I René Molnar de l a Parra

(*) Enviado a l a revis ta Contactos (IJAM-A) para su aprobación.

(1) blaestros en Ciencias. geniería. UAM-A

Depto. de Energía, División de Ciencias Básicas e I n -

(2) Licenciado en Física. Depto. de Ciencias Básicas. División de Ciencias Bá- sicas e Ingeniería. UAM-A

3

RESUMEN

Abord;ir txi jo el ángulo del método científico acarrea diversas dificultades. La mcnor quizá sea la falta de riqueza, la esquematización con que necesariamente quedará plasmado. Sin embargo, ello deja un margen, todavía, en el cual pode- mos mostrar un esquema no demasiado aberrante.

En este trabajo mostraremos al método científico como una guía, para la activi- dad cientlfica, constituida por tres etapas nítidamente demarcadas: Experimen- tación, Análisis y Predicción.

A su vez la Experimentación la presentamos como aquella etapa en la cual se efec - tÚan observaciones conscientes, dirigidas, de fenómenos de la naturaleza con la intención manifiesta de comprenderla. La etapa de Análisis la mostramos como a- quella etapa mediante la cual se intenta confrontar las hipótesis cimentadas ba- jo la experimentación con la ciencia ya establecida. La Última etapa, Predic- - ciÓn, muestra la necesidad de que el moldelo -elaborado y validado durante las -

etapas anteriores- pueda ampliar el ámbito de los conocimientos sugiriendo nuevas hipótesis que requerirán, de nueva cuenta, de pasar por las etapas anteriormente presentadas. La forma específica que le hemos dado al trabajo es el estudio del - circuito R-L.

Finalmente, este trabajo es el segundo de una serie denominada "Ingeniería, Físi- ca y iVatemáticas" la cual es producto de necesidades derivadas de nuestra labor en los temas de Investigación y Desarrollo Curricular.

5

I . EWERIMENTACION .

Iin es te apartado pretendemos obtener algunas hipótesis acerca del comportamiento dcl c i rcu i to R - L . Para l levar la a cabo emplearemos como instrumentos fundamenta - les de trabajo un osciloscopio, un generador de señales y algunas resistencias y bobinas.

Conectemos el osciloscopio, e l generador de señales, una resistencia y una bobi- na como l o muestra l a figura siguiente.

j L__-_ Conora do r de Soñalss

OICi loscopio

Realicemos un primer experimento con los siguientes valores: V= 2.54 vo l t s , res is tencia R= 155Cl ohms. y bobina L=5.13 henrys. Supondremos que e l experimento se in ic ia en e l tiempo t= O segundos y que es te valor de t coin- cide con el instante en que cerramos e l c i rcu i to mostrado en l a figura anter ior .

fuente de vol ta je

Fediante e l osciloscopio podemos obtener una gráfica de vol ta je en l a bobina, VL, respecto a t ; una fotografía de l a gráfica es

7

VOLTAJE EN LA BOBINA

v = 2 ,54 VOLTS; R = 1550 OHMS; L = 5 1 1 3 HENRYS,

De l a fotografía st' deduce que e l voltaje en l a bobina decae conforme e l tiempo transcurre. Ik dicha fotografía obtenemos también, l a siguiente tabla de valo- re c

En l a t a

TI w o

l a se observa cómo valores de V I L

VL (experimental)

1.39 O. 70 0.35 0.20

0. 15

isminuyen sucesivamente por un -

factor aproximado de 0.43. Ahora bien, s i l a tabla se elabora con otros datos, tomados de l a fotografía, obtendreinos factores d is t in tos a l anter ior ; s in embar -

go, es to no contradice a l hecho básico de que V (t i disminuye significativamen- te cuando e l tiempo pasa. Notemos que cuando t= ~ O X ~ O - ~ segs. V L ( t ) = 0.15 vol ts l o cual es t á muy cercano a l valor cero.

L

8

Impcccrrios por v a r I ;ir 1,.

osciloscopio cuando empleamos en e l c i rcui to los valores V= 2.54 vo l t s ; R= 1550 -

ohms y L= 4.8 henrys; 1 2 m henrys; 7.15 ni henrys.

Presentamos 3 continuación t r e s fotografías obtenidas del

VOLTAJE EN LA BOBINA VARIANDO LA INDUCTANCIA,

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L = 12 M tlENRYS Estas fotografías confirman e l comportamiento de ITI,: VL tiende a cero conforme t transcurre.

(lbservenlo.; :ihoi-a cl comportamiento d e V (t ) variando los valores de la resicten- L ( - i o R y m; intcn ic\nt lo ('11 r.1 circ-iiito V= 2.54 vo l t s , I = 5 . 1 3 henrys. Este cxprrimcri t o i>ropoix- i on;^ I ; I L, I !:i I I ( ' 1 1 1 ( ' 5 t r('< f o t o g r a f í ; ~ 5.

\!9i TAJL EN LA EOEIIJA VARIANDO LA RESISTENCIA,

Tr = 1000 0tir"S

10

R = 10 OUO GHNS

1 1

VOLTAJE tN LA BOBINA VARIANDO LA FUENTE,

v = I 5 VOLTS

V = 1,5 VOLTS

12

V = 8# 5 VOLTS

h e c t 0 que l a s filtimas fotograf jnc confirman l a hipótesis comprobada en l o s ex-

periinenrns antcxriorcs es legítimo ectahlecer la ley siguiente: V, ( t ) se aproxi-

13

En e l l a observamos que e l vol ta je VR(t) se aproxima, conforme e l tiempo pasa, a l valor 2 .5 e l cual e s cercano a V= 2.54 vol ts . Para consolidar l a afirmación que V ( t ) tiende a V conforme e l tiempo pasa, debemos rea l izar una serie de experi- mentos análogos a los efectuados para V L ( t ) , e s decir , en los que se vaden R , I , , V sucesivamente. Sin embargo, por brevedad sólo mostramos una de l a s fotogra. f í a s obtenidas de dichos experimentos (vea l a siguiente fotografía); en e l l a ve- mos como nuestra hipótesis de que V ( t ) se aproxima a l valor 2.54 continúa cum- -

pliéndose.

R

R

Fcyro TIPICA VARZANDO UNO DE Ix)s P m

V = 2.54 VOLTS; R = 1000 OHMS; L = 5.13 "filys

En resumen. E l t rabajo de experimentación realizado hasta ahora con e l c i rcu i to R-L permite plantear l a s siguientes hipótesis:

A. V,(t) -+ O , cuando t -f m

B. V,(t) + V / R , mando t+ m

Para obtener información sobre l a variación de l a intensidad de co r r i ene ' en e l c i rcu i to R-L emplearemos la hipótesis A y l a ecuación:

-

VL = L dI d t

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o equivalentcmentc coricliiímos que - t [ t ) es aproxim;idanicritc constante p r : i -_ t - - wl'i -. -

cientemente grande.

Ahora podemos predecir también el conqlortamicnto d r I c-;irnpo magkt del c i rcu i to I<-I,. Recordemos que a l c i rcu lar una c-orricntc u11 u11

r a u11 campo magnético alrededor dc3 dicho alambre. y quc' al v a r i a r generan variaciones del campo magnético. En nucstro caso, puesto

('o I'll I ; I l ) O b i 11:1

;I I mhrc sc gcnc a corrientc sc

que l a i n t e n s i -

dad de corriente en es te c i rcu i to es constantc, para t suficientemente grandc, tendremos clue - el campo magnético se mantendril constante. -

15

11. TEORIA - COMPROBACION

Las hipótesis y conclusiones que hemos efectuado sobre el comportamiento R-I, rc- quieren, todavía, de una mayor fundxnentación. Buscaremos confrontarlas con uno

parte del cuerpo de conocimientos, e s decir, las confrontaremos con conocimientos ya aceptados vista su adecuación para explicar y transformar la naturaleza.

Empecemos por relacionar las tres caídas de voltaje presentes en el circuito R-L:

el debido a la bobina VL: el de la resistencia VR; y el de la fuente de voltaje V.

El principio de conservación de energ5a asegura que los voltajcs V

equilibrarse con el voltaje V, es decir: y V,? dekn -

L

v = VR (t) + VL (t)

El carácter general de la ecuación anterior no permite obtener información acerca del comportamiento de VR (t), VL (t) o I(t); por eso cada uno de los términos de su derecha los cambiaremos en base a las siguientes dos ecuaciones:

VL (t) = L -- d I(t) VR (t) = R I(t) Y dt

obteniendo así la ecuación:

. . . (R-L) d I ( t )

dt V = R T(t) + L, --

En esta Última ecuación tenemos tres constantes V , R y L ; las cuales tomaremos PO-

sitivas; notemos que en ella aparece la función I (t) -función incógnita. Ahora bien, si logramos "despejar" la función I (t) es claro que conoceremos VR (t) y VL.(t); pues, ambos potenciales se comportan, salvo factor constante, como I (t) O r (ti.

Para encontrar I(t) transformemos la ecuación R-L de la siguiente manera:

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L d [(t) - - V - RI(t) dt

Observenos cómo las transformaciones consiguieron dejar en un sólo miembro de la ecuación todo término que involucre I(t) o i(t). mediante el cambio de variable u(t) = I(t) - , obtenemos:

Al integrar la Última igualdad, v

V R R L In (I(t) - - ) = - - t + C

In z- Con el fin de obtener I(t) emplearemos la fórmula e -z

Es claro que para conocer I(t) falta determinar C de corriente en el circuito R - L , supondremos I(0) =O; lo cual nos lleva a:

; como en t=O no existe flujo 1

y consiguientemente

A partir de esta ecuación iniciaremos la confrontación de las hipótesis y conclu- siones obtenidas en el apartado de experimentación.

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- ; t se - v I ( t ) converge a l valor -. R 1. Esto es evidente s i recordamos que e

aproxima a cero cuando t tiende

V i í m I ( t ) = i í m (1 t- t-

R a 09 (, > O ) , a s í

2 .

( 2 ) en V R ( t ) = R I ( t ) y pasar a l liímite; veamos

VR (t) tiende a V. Para mostrar e s t a afirmación basta sus t i t u i r l a ecuación

R - - t R - - t

) ) = v (1 - e L , v V R ( t ) = R I ( t ) = R ( (1 - e

- R t i í m V (t) = V (1 - i í m e ) = V

t- R t-

3. V L ( t ) tiende 3 cero. y pasemos a l l lmite:

Sustituyamos e l valor I(t) cn l a ecuación V L ( t ) = I, I ( t ) --

R - r t l í m VL ( t ) = R l l m e = o t- t-

4 .

rencia es inmediata; de l a ecuación (2 ) obtuvimos: E l campo magnético, para tiempos grandes, se mantendrá constante. Esta infe-

v l í m I (t) = - R t-

luego 1-5 razón de cambio de I (t) respecto a l tiempo será nula cuando trabajemos con tiempos grandes; a l no e x i s t i r variación de l a intensidad e l campo magnético tampoco su f r i r á variaciones.

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Pasemos a resumir l o v i s to en es te apartado. mientos -conservación de l a energía, integración y l ímites- pertenecientes a

teor ías aceptadas que nuestras afirmaciones sobre e l c i rcu i to R-L se siguen cum- pl iendo.

Hemos comprobado mediante razona- -

En consecuencia, esas afirmaciones no requieren de mayor sustentación.

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E l cstudio del c i rcu i to R-L que hemos realizado conllcva que la iiitcrisicl;id dr\ <-o-

r r ien te , I ( t ) , y la caída de voltaje en l a bobina, V , ( t ) , están dnclos por Las si - guientes fórmulas :

R - 7 t (3)

L V L ( t ) = V e . . . . .

Mostraremos aiior;i que lac ecurrcioncs anteriores nos permiten ant icipnr, sobrc ha-

s~"; s6l id:is, corirl)ort:irnicritos d c l ci rcuito I<-I, no obscrvados cn cl ap;ir.t;ido I .

1 , La cantidad cn In ecii;iciÓn ( 2 ) debe tener dimensiones de tiempo; pues, cl cxpo-

nente no debe tener dimensiones. L S i ponemos t = R en l a ecuación (2) obtenemos:

V 1 v ) = - (1 - - ) = ( 1 - 0.37) = 0.63 - I ( R R e R

L Predicción 1 .

del valor de equi l ibr io - l a cantidad - (aproximadamente 37%). R e ra muestra e s t a situación:

En t = - l a corriente del c i rcu i to alcanzará un valor que d i s t a -

R V 1 La siguiente figu-

0.63

t

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L ( 1 ) a t = - se le denomina constante de tiempo inductiva I?

Concidcxrcmos ahora un circuito R-L con un interruptor como lo muestra la siguien- te figura:

Si colocmos el interruptor en la posiciÓn A, hemos visto que la corriente en el circuito y el voltaje en la bobina estarán regidos por las ecuaciones (2) y (3).

V Además, para tiempos suficientemente grandes la corriente I'(t) es igual a R' De- jemos el interruptor en A un tiempo suficientemente grande, para así obtener la corriente de equilibrio - . V

R

(1 ) Podemos rsnctatar experimentalmente, empleando un osciloscopio, que, dados unos valores de L, R y V, para t = -tendremos el tiempo para el cual la co-

V rriente es aproximadamente e l 63% del valor final R. L R

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Ahora, pasemos el interruptor a l a posición B, esto equivale a quitar l a b a t e d a

(V = O ) . Estudiemos e l comportamieilto de l a corriente I (t).

Aplicando e l principio de conservación de energía, tenemos:

vn(tj + vL(t) = O

y puesto que:

tendremos 23 ecuación:

L d I (t) dt

+ R I (t) = O

transformando e s t a ecuación, obtenemos:

t i 1 integrar y cl~spejar 1 ( t ) nos qiicda:

R - - t 1, 1 ( t ) = c c

Ahora, recordemos que en e l instante -__ t = O pasamos e l interruptor a l a posición R y teníamos, en e l c i rcu i to , l a corriente - R . V Así

v I ( O ) =

l o cual nos l l eva a

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de ahí que R

- - t L . . . (4) V 1: 1 (t) = - c

!< - - t L es -

es una constante positiva y - es fácil prcdecir ahora el comportamiento de 1 (t); en efecto, como e una cantidad que disxinuye de valor al crecer t, también lo es v tendremos el siguiente comportamiento de la corriente . Predicción 2. Ijado el circuito --.

v en el cual circulaba una corriente inicial - R tendremos que:

"La corriente I , en este circuito, al cerrar el interruptor B

, y al pasar el tiempo, t su - v tiene su valor máximo, I ( 0 ) =

ficientemente yande, la intensidad empezará a decrecer hasta llegar a cero ".

Mostramos este comportamiento en la siguiente figura:

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II - - t L V ( t ) = K I ( t ) ; V (t) = V e R R R t

Para VL (t) debemos derivar I (t) = V - e - , para obtener finalmente: R - ; t

VL (t) = - v e

Las siguientes figuras muestran l a s gráficas de V y VL . R

E s c laro que e l comportamiento de I ( t ) , VR (t) y VL (t) caso estudiado, interrup -

t o r e n posición B y corriente i n i c i a l , d i f i e re del caso en que e l interruptor e s t á en posición A.

V

Estas diferencias podemos resumirlas así:

I . In te r rmtor nosición A.

I (t) aumenta, V (t) aumenta y VL (t) disminuye a cero con signo positivo. R

II . - _ Interruptor posición B.

I (t) y V (t) disminuyen a cero y VL (t) aunenta a cero con signo negativo. R

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1)rcdicción 3. q u i 1 itirio

i n i r i t i i t l o tm<;t:i cero (posición del interruptor en B). o 1 ) t c . n ida pira I It ) cn el caso dcl interruptor en A teníamos:

E1 tiempo necesario para que I (t) haya alcanzado su estado de e- (posición del interruptor en A) es el mismo que cuando I (t) ha dis-

En efecto, de la ecuación -

_---- v I\

R - i t K - - t v L ' e . . . (2) ) = R - R 1 (t) = - (1 - e R

e s fácil vcr que el segundo miembro de esta ecuación tiene a l a intensidad encon- t rada cuando e l interruptor estaba en la posición B; I (t) = - e -(R/L)t . Es- R cribamos la ecuación (2) en la forma:

V I (t) = - I*(t) . . . ( 5 )

cn donde I* (t') es la corriente en el circuito correspondiente a cuando el inte- rruptor se encuentra en l a posición B.

Ahom, si 'I' es e l tiempo para el cual I (t) es aproximadamente igual a a , tenemos ; i I s u s t i t u i r t -7 ' en ( S ) y despejar T*(t):

V

i)or l o tan to , si a l interruptor en el circuito se pasa de la posición A a la po-

sición li y recíprocamente, manteniéndose un tiempo T en cada posición, obtenemos las siguientes gráficas para V,(t) y VL (t) :

'r 21' 3T 4T 5T

J!,os.A p0s.R p0s.A p0s.E p0s.A p0s.R

FIGURA 1 26

t

\ \

b t

FIGIJRA 2

T,a fuente de vol t a j e tendrá, entonces, el siguiente comportamiento:

FIGIJRA 3

E l voltaje aplicado es una función variable (denotemos por V ( t ) es te vo l t a j e ) . Por ende, podemos considerarlo como un c i rcu i to R-L a l cual se l e aplica una fuente vol ta je como l a que se muestra en la figura anter ior es decir:

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s i 2n'I' < t < (2n+l) T rv _ - < v ( t ) = (n=0 ,1 ,2 , . . . )

s i (2n+l) T < t <(2n+2) T I o L

-.. Predicción 4 .

nioc l a función representada en l a figura 3. A l sumar las funciones representadas en l a s figuras 1 y 2, obtene-

E s decir:

v (t) = VI, (t) + VR (t)

E- ; t , i predicción es f á c i l de explicar basándonos en e l principio de conservación de energía (2)

Consideremos, nuevamente, l a ecuación para l a corriente cuando e l interruptor es - t a en la posición A:

rccordenios que I * (t) e s l a corriente cuando e l interruptor e s t á en la nosición B.

i,a ccunción ( 5 ) puede interpretarse como sigue :

-~ Prediccihi 5. corriente quc e s I* ( t ) .

v t e de tqu i l ib r io -. R minuyc y por ende I (t) se aproxima a l a corriente de equi l ibr io .

A l cerrar e l interruptor (t=O) a l a corriente I (t) se l e opone una Esta se opone a que inmediatamente I (t) sea l a corrien-

pasa l a posición que presenta I* ( t ) d i s - Conforme e l tiempo V

Claramente, la corriente I* (t) surge cuando l a corriente l lega a l a bobina L. -

Esto Últiiiio puede sei- constatado experimentalmente a l colocar una brújula, a l i n i - cio del experimento, cerca de l a bobina, l a cual suf r i rá una deflexión cuando l a corriente llegue a la bobina; si colocamos una brújula cerca de la resis tencia R no se cncimitr-ii ninguna deflexión de l a aguja.

La corrien'cc I * (t ) -corriente t rans i tor ia - se puede considerar como una corrien- t e inducida o debida 3 l a corriente 1 (t). De es t a forma, podemos establecer la

(2) 1.a cual puede ser fácilmente constatada en e l laboratorio.

(1) . siguiente Icy

l t A una corriente en l a bobina L exis te una corrientc t rans i tor ia que se pone a l paso de l a corriente " .

Con todo l o anter ior , hemos v is to que a p a r t i r de nuestro modelo teórico del c i r - cuito R-L hemos establecido algunas predicciones -hipótesis acerca del comporta- miento de este circui to . de confirmar e s t a s hipótesis y por ende iniciaríamos de nueva cuenta un c ic lo ex- perimentación - t eor ía - predicción.

Correspondería ahora rea l izar experimentos con e l f i n

--

( 3 ) A es t e fenómeno se le denomina AUTOINDUCCION de la bobina L.

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