Un método para construir globalmente una variedad diferenciable, usando el teorema de la función...
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7/23/2019 Un mtodo para construir globalmente una variedad diferenciable, usando el teorema de la funcin implcita. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
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Mdulo 2: Ms ejemplos
Geometra diferencial y Mecnica: Una introducci n
(Modulo 2) Mas ejemplos 1 / 5
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7/23/2019 Un mtodo para construir globalmente una variedad diferenciable, usando el teorema de la funcin implcita. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
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El cuerpo rgido y SO(3)
Un cuerpo rgido
(Modulo 2) Mas ejemplos 2 / 5
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7/23/2019 Un mtodo para construir globalmente una variedad diferenciable, usando el teorema de la funcin implcita. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
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El cuerpo rgido y SO(3)
Un cuerpo rgido
Asumiremos que el movimiento es continuo
Se preserva la orientaci n del objeto
(Modulo 2) Mas ejemplos 2 / 5
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7/23/2019 Un mtodo para construir globalmente una variedad diferenciable, usando el teorema de la funcin implcita. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
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El cuerpo rgido y SO(3)
Un cuerpo rgido
Asumiremos que el movimiento es continuo
Se preserva la orientaci n del objeto
El cuerpo se puede mover solamente por una combinaci n de rotaciones ytraslaciones
(Modulo 2) Mas ejemplos 2 / 5
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7/23/2019 Un mtodo para construir globalmente una variedad diferenciable, usando el teorema de la funcin implcita. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
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El cuerpo rgido y SO(3)
Un cuerpo rgido
Asumiremos que el movimiento es continuo
Se preserva la orientaci n del objeto
El cuerpo se puede mover solamente por una combinaci n de rotaciones ytraslaciones
Consideramos el movimiento rotacional de un cuerpo rgido alrededor deun punto fijo
(Modulo 2) Mas ejemplos 2 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
X configuraci n de referencia
(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
X configuraci n de referencia
x(t) posicin de una partcula del cuerpo en un instante t
(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
X configuraci n de referencia
x(t) posicin de una partcula del cuerpo en un instante t
una matriz de rotaci n R(t): x(t) = R(t)X
(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
X configuraci n de referencia
x(t) posicin de una partcula del cuerpo en un instante t
una matriz de rotaci n R(t): x(t) = R(t)X
Rt = R1, det(R) = 1
(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
X configuraci n de referencia
x(t) posicin de una partcula del cuerpo en un instante t
una matriz de rotaci n R(t): x(t) = R(t)X
Rt = R1, det(R) = 1
SO(3) ={
R matriz de orden 3|Rt
=R1
,
det(R
) = 1}
(Modulo 2) Mas ejemplos 3 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable
(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable
gl(3,R)= R9
(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable
gl(3,R)= R9
GL(3,R) ={A gl(3,R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3,R)
(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable
gl(3,R)= R9
GL(3,R) ={A gl(3,R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3,R)
Sim(3,R)= R6 espacio de matrices simtricas [Variedad diferenciable]
(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable
gl(3,R)= R9
GL(3,R) ={A gl(3,R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3,R)
Sim(3,R)= R6 espacio de matrices simtricas [Variedad diferenciable]
F: GL(3) Sim(3) aplicaci n diferenciable
F(R) =RtR Id
(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable
gl(3,R)= R9
GL(3,R) ={A gl(3,R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3,R)
Sim(3,R)= R6 espacio de matrices simtricas [Variedad diferenciable]
F: GL(3) Sim(3) aplicaci n diferenciable
F(R) =RtR Id
DF(R)(B) = Bt
R+Rt
Btiene rango 6
(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
SO(3) es un variedad diferenciable
gl(3,R)= R9
GL(3,R) ={A gl(3,R)/ det(A) = 0} abierto de gl(3,R)
Sim(3,R)= R6 espacio de matrices simtricas [Variedad diferenciable]
F: GL(3) Sim(3) aplicaci n diferenciable
F(R) =RtR Id
DF(R)(B) = Bt
R+Rt
Btiene rango 6
O(3) =F1(0) ={R|R matriz de orden n: Rt =R1}
es una variedad diferenciable de dimesi n 3
(Modulo 2) Mas ejemplos 4 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
O(3) = F1(0) ={R|R matriz de orden n: Rt = R1}
es una variedad diferenciable de dimesi n 3
(Modulo 2) Mas ejemplos 5 / 5
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7/23/2019 Un mtodo para construir globalmente una variedad diferenciable, usando el teorema de la funcin implcita. Francisco Javier Cervigon Ruckauer
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El cuerpo rgido y SO(3)
O(3) = F1(0) ={R|R matriz de orden n: Rt = R1}
es una variedad diferenciable de dimesi n 3
Si RO(3) det(R) =1
(Modulo 2) Mas ejemplos 5 / 5
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El cuerpo rgido y SO(3)
O(3) = F1(0) ={R|R matriz de orden n: Rt = R1}
es una variedad diferenciable de dimesi n 3
Si RO(3) det(R) =1
SO(3) =det1(] 1,[) O(3) es una variedad diferenciable de dimensin 3
(Modulo 2) Mas ejemplos 5 / 5
