Un modelo para el cálculo de la pérdida esperada

en una cartera de préstamos hipotecarios

Juan Bazerque a Jorge Sander b

BCU – SSF – Depto. Estudios BCU – SSF – Depto. Estudios

Resumen En este trabajo se analiza un aspecto dejado de lado en la determinación de las pérdidas esperadas de

carteras de crédito de largo plazo, a saber el horizonte temporal de los mismos. Ante la ausencia de

series de default tomadas a partir de incumplimientos en plazos largos surge la necesidad de determinar

como se acumula la probabilidad de incumplimiento anual cuando el vencimiento de un préstamo

excede los doce meses. En el caso particular de la cartera hipotecaria al habitual largo plazo del crédito se

unen dos características particulares que complican el modelo, la fijación de porcentajes de garantía

iniciales y el pago en cuotas del préstamo, lo que tiene como efecto que a partir de determinado período

la pérdida derivada del incumplimiento se anule.

Se desarrolló una fórmula cerrada para el cálculo de la pérdida esperada total a partir de la derivación de

un límite de integración que define el momento en que las garantías exceden los saldos adeudados y se

anula la pérdida esperada del período. Adicionalmente se simularon escenarios de las variables

principales encontrándose que para una cartera a 20 años la pérdida esperada total acumula cerca de

cuatro veces y media el valor de la pérdida esperada anual, dada una garantía del 70% al inicio del

préstamo y una tasa de interés de entre 6% y 8% anual.

JEL: G21, G33

_______________________

Las opiniones vertidas en este artículo son responsabilidad exclusiva de sus autores, y no comprometen la posición

institucional del Banco Central del Uruguay.

a bazerque@bcu.gub.uy

b jjsander@bcu.gub.uy

Introducción

Cuando se hace referencia a la pérdida esperada de una cartera de

créditos generalmente se utilizan conceptos tales como “probabilidad

de default” y “loss given default” sin demasiado análisis de los

fundamentos de tales explicaciones. Así, los requisitos de capital de

Basilea II permiten a los bancos utilizar modelos para determinar su

capital por riesgo de crédito que en principio surgen de estimar la

probabilidad de default (probabilidad de que el deudor impague) y la

pérdida condicionada en el evento anterior, es decir, cuánto deja de

cobrar la institución una vez que el deudor incumple sus obligaciones,

cantidad que dependerá entre otras cosas de las garantías que el

deudor haya presentado al contratar el préstamo.

Al estimarse dichos requisitos, las pérdidas inesperadas (calculadas

en función de la dispersión de la Probabilidad de Default –PD- en

torno a su media y más precisamente la estimación de las pérdidas

hasta un determinado umbral de probabilidad1) conllevan la necesidad

con contar con una distribución de la probabilidad de default además

de su valor medio.

Un extremo que no parece haber sido revisado es que el requisito de

capital y las probabilidades de default se calculan básicamente con un

horizonte de un año, período elegido tan arbitrariamente como

cualquier otro. Esta decisión conlleva que para calcular la media y la

dispersión o desviación estándar de esta última variable (de la que

1 Ver Acuerdo de capitales de Basilea II

generalmente se asume distribución normal) se construya una variable

aleatoria que se aplica sobre los datos de forma que asume un valor

de 1 cuando un deudor2 , al observarse nuevamente al año de haber

entrado en la base de datos aparece en cesación de pagos o con un

atraso estándar, mientras que asume el valor 0 si está pagando sus

deudas o desapareció de la base por haberlas cancelado en su

totalidad.

De esa manera el cálculo de la probabilidad media de default, por

ejemplo se calculará como:

casostotalNro

PDvecesNro

1

estimando la probabilidad de default de un individuo a partir del

número de casos que hacen default en la población analizada.

Cabe notar que los parámetros estimados dependerán no solamente de las

condiciones primarias utilizadas en la definición del evento de

default, es decir los elementos objetivos que debe presentar un deudor

para considerarse en cesación de pagos (días de atraso, porcentaje de

deuda atrasada, etc.) sino también, siendo este el punto central del

trabajo, del horizonte que se utilice para esta definición. Es

evidente que cuanto mayor sea el plazo de un préstamo, existen mayores

2Cabe señalar que en principio se trata de operaciones y no de deudores, aunque esto nos traerá la necesidad de definir la continuidad de operaciones

que se renuevan.

probabilidades de ocurrencia de shocks que afecten la capacidad de

pago del deudor por lo que la PD media de un crédito debería aumentar

con el plazo.

El hecho que el mecanismo de fijación de capital por riesgo de crédito

conocido como “Basilea II” utilice un horizonte de un año para

requerir capital a los bancos, no implica que deba seguirse igual

definición en la valuación de créditos, en la medida que dicho

requerimiento de capital se calibró para que generara un número que se

supone básicamente previsto de antemano como punto de partida.

Adicionalmente, la fijación de un horizonte de default como parte de

un requerimiento de capital, parte de la base de que un banco deberá

resistir un tiempo determinado de pérdidas sin condiciones de mercado

que le permitan emitir nuevo capital para seguir operando y desde ese

punto de vista, sin entrar a juzgar si el plazo de un año es el más

razonable, la fijación de un horizonte cualquiera dependerá del grado

de holgura de capital que el regulador pretenda tener en función de su

conocimiento de la liquidez de los mercados.

Sin embargo, cuando lo que se calcula es el valor de un crédito y su

pérdida esperada (que surgirá también de la probabilidad de default y

la pérdida en caso de default), es necesario definir un horizonte

teóricamente correcto para el cálculo. Así, un deudor hipotecario con

un préstamo a 15 años, podrá entrar en default en cualquiera de los

15 años en que mantenga deuda con el banco, mientras que un deudor

comercial, con un préstamo a un año tendrá solamente en ese período

probabilidad de incumplir sus obligaciones con la institución.

Entonces, independientemente de aspectos contables de devengamiento de

la pérdida esperada que un préstamo implique, el precio de un bono

equivalente debería tomar en cuenta la pérdida esperada del mismo en

el horizonte del contrato (quedando por definir el horizonte en el

caso de préstamos comerciales que se renuevan automáticamente3).

En la medida que no se cuenta con bases de datos con períodos

suficientemente prolongados como para poder estimar probabilidades de

default para préstamos hipotecarios o de largo plazo se presenta un

modelo inicial que puede permitir entender la forma en que debiera

acumularse la probabilidad anual de default en caso de préstamos o

bonos con este tipo de vencimiento, incluyendo la existencia de

garantías. Cabe señalar, que más allá de la derivación de fórmulas

definitivas que permitan el cálculo, se trata de un punto poco

explorado y del que no se tienen referencias, particularmente respecto

a la no linealidad introducida por las características de estos

préstamos, cuyos saldos disminuyen en el tiempo frente a la existencia

de garantías fijadas al inicio del contrato.

3

3 Es difícil obtener de datos contables información acerca de la capacidad de

repago total de créditos que un deudor pueda tener, en la medida que pocas

veces esté evento es observable, debiéndose entrar en un análisis detallado

de carpetas deudor a deudor. De ésta manera no se está en condiciones de

proponer un tratamiento definitivo para fijar el horizonte de default en caso

de préstamos renovables en forma automática, en la medida que los supuestos a realizar harían diferir los resultados en forma importante.

El modelo

En primera instancia derivaremos la forma de cálculo de la pérdida

esperada para un crédito a más de un año, garantizado parcialmente al

inicio, como es el caso de los créditos hipotecarios.

Un crédito hipotecario a cuota fija presenta como característica que

el saldo del mismo en un período t surge de la siguiente fórmula:

(1)

siendo la sumatoria del factor de descuento

a la tasa y hasta el período t, y la cuota del préstamo.

Asumiendo que no existieran comportamientos estratégicos, es decir que

el deudor hará default solo como causa de eventos ajenos a su

voluntad, y que la probabilidad de default anual es independiente4,

existirán pérdidas para el prestamista cuando el saldo del deudor

exceda las garantías5.

4 En este primer modelo se trabaja con una probabilidad invariante que se

derivaría como la media anual estimada a lo largo del ciclo económico.

5 También en este caso se optó por mantener el valor de la garantía en el

tiempo, a efectos de la simplicidad y en la medida que se trata de una

primera aproximación.

y

yV

t

t

11

nV

SC 0

01

ttt CVSyS

jy1

1

De esa manera se llega a que el impago esperado anual del período t

(que luego se sumará a lo largo de la vida del préstamo) sea en

términos de valor actual:

(2)

donde indica el valor de la garantía en el período t, la

probabilidad de default o incumplimiento en el mismo período e y la

tasa de descuento.

La fórmula permite entonces ver que existirá un impago anual positivo

cuando en el momento de incumplimiento el saldo adeudado sea mayor que

el valor de la garantía.

A efectos de realizar un primer cálculo simplificado consideremos que

la probabilidad de impago es invariante de un año a otro, eso es:

PDPDt

y el valor de la garantía es asimismo invariante:

GGt

Así, solo resta definir el período tt en que la disminución del

saldo hace que el banco, de ejecutar la garantía, no sufra pérdidas.

tPDtG

t

ttt

y

PDGSMax

1

0;

De ese modo, esto sucederá para el primer t tal que: , o lo

que es lo mismo, habrá impago positivo cuando: , pudiendo

demostrarse que habrá impagos positivos para todo t tal que6:

siendo Int () el operador que da como resultado el número entero que

corresponde al resultado de la expresión contenida entre paréntesis.

El impago total descontado vendrá dado entonces por (podemos omitir el

operador de máximo al sumar hasta t* sustituyendo (1) en (2):

PDy

GCVSyIE

t

jj

jj*

0

0

1

1)( (3)

***

000

01

)(t

jj

t

j

jt

j y

GVCSPDIE

*

0

0

0 11)(t

j

tj

nVGV

V

StSPDIE

6 Ver Anexo.

0GSt

0GSt

t y

S

GyGS

Intt

n

1ln

1ln

0

0

descomponiendo

*

*

....21

0

tot

j

j VVVVV (4)

y

y

y

y

y

y

y

yt*

11........

111111210

sacando y hacia fuera, viendo que el primer sumando se anula, y

agrupando nos queda:

*

*

1

1...

1

1

1

11

21 t

t

jyyy

*

1

1...

1

1

1

12 t

yyyt

*tVt

y sustituyendo (4) en la última expresión de (3) nos queda

definitivamente la pérdida total esperada:

(5)

A partir de la pérdida esperada que surge de la fórmula anterior se

simularon los valores del ratio entre dicha pérdida y la

pérdida esperada anual que normalmente se expresa como

siendo la pérdida dado el incumplimiento o LGD computada como ,

calculándose el referido ratio para diferentes valores de plazo,

garantía y tasa de interés.

El resultado del ratio depende de la tasa de interés del préstamo y

evidentemente del plazo (pues a más años se acumulan más

probabilidades de default) así como también al valor de la garantía en

términos del valor presente del préstamo o bono. Se obtuvo el

resultado esperable de que el ratio en cuestión es invariante frente

al valor de la probabilidad de default anual.

Se presentan tablas del ratio referido para tasas de interés del 0% al

10% anual, plazos de 1 a 25 años, y ratio de garantías a valor

presente de 0% a 100%.

LGDPDanual

)1( G

11

)( 0

t

n

tn

VGyV

VtytVSPDIE

TABLAS 1 a 6

CONVERSIÓN DE PÉRDIDA ESPERADA ANUAL A PÉRDIDA ESPERADA

TASAS DE INTERÉS de 0% a 10%

2%

1 5 10 15 20 25

0 1 2,96 5,34 7,63 9,84 11,97

10 1 2,76 4,91 7,04 9,11 11,13

20 1 2,50 4,48 6,43 8,35 10,23

30 1 2,29 4,03 5,78 7,54 9,28

40 1 2,02 3,57 5,13 6,69 8,28

50 1 1,82 3,10 4,43 5,80 7,19

60 1 1,54 2,61 3,72 4,86 6,05

70 1 1,35 2,12 2,95 3,87 4,82

80 1 1 1,61 2,21 2,83 3,49

90 1 1 1 1,41 1,74 2,07

100 1 1 1 1 1 1

0%

1 5 10 15 20 25

0 1 3,00 5,50 8,00 10,50 13,00

10 1 2,78 5,00 7,26 9,50 11,76

20 1 2,50 4,50 6,50 8,50 10,50

30 1 2,29 4,00 5,76 7,50 9,26

40 1 2,00 3,50 5,00 6,50 8,00

50 1 1,80 3,00 4,27 5,50 6,76

60 1 1,50 2,50 3,50 4,50 5,50

70 1 1,33 2,00 2,78 3,50 4,27

80 1 1 1,50 2,00 2,50 3,00

90 1 1 1 1,33 1,50 1,80

100 1 1 1 1 1 1

10%

1 5 10 15 20 25

0 1 2,81 4,73 6,28 7,51 8,46

10 1 2,66 4,50 6,05 7,30 8,29

20 1 2,47 4,24 5,78 7,06 8,09

30 1 2,29 3,96 5,48 6,78 7,85

40 1 2,09 3,64 5,13 6,45 7,57

50 1 1,87 3,29 4,72 6,05 7,21

60 1 1,65 2,89 4,24 5,55 6,75

70 1 1,41 2,43 3,63 4,90 6,12

80 1 1 1,91 2,89 4,01 5,20

90 1 1 1 1,90 2,72 3,70

100 1 1 1 1 1 1

4%

1 5 10 15 20 25

0 1 2,92 5,18 7,27 9,21 10,99

10 1 2,73 4,82 6,80 8,68 10,43

20 1 2,49 4,43 6,30 8,09 9,80

30 1 2,29 4,03 5,77 7,46 9,10

40 1 2,04 3,61 5,18 6,77 8,33

50 1 1,83 3,17 4,57 6,00 7,46

60 1 1,57 2,70 3,89 5,15 6,46

70 1 1,37 2,21 3,17 4,21 5,33

80 1 1 1,70 2,37 3,15 4,01

90 1 1 1 1,48 1,93 2,42

100 1 1 1 1 1 1

6%

1 5 10 15 20 25

0 1 2,88 5,02 6,93 8,61 10,07

10 1 2,71 4,71 6,55 8,22 9,69

20 1 2,49 4,38 6,15 7,78 9,26

30 1 2,29 4,02 5,70 7,29 8,77

40 1 2,06 3,64 5,21 6,74 8,20

50 1 1,85 3,22 4,65 6,11 7,52

60 1 1,60 2,77 4,04 5,37 6,72

70 1 1,39 2,29 3,33 4,51 5,73

80 1 1 1,78 2,55 3,46 4,49

90 1 1 1 1,64 2,19 2,84

100 1 1 1 1 1 1

8%

1 5 10 15 20 25

0 1 2,85 4,87 6,59 8,04 9,23

10 1 2,68 4,61 6,30 7,75 8,97

20 1 2,48 4,32 5,97 7,43 8,68

30 1 2,29 4,00 5,60 7,06 8,33

40 1 2,08 3,64 5,19 6,63 7,93

50 1 1,86 3,25 4,71 6,12 7,43

60 1 1,63 2,83 4,15 5,50 6,81

70 1 1,40 2,36 3,51 4,74 6,00

80 1 1 1,85 2,73 3,76 4,90

90 1 1 1 1,79 2,43 3,27

100 1 1 1 1 1 1

GRÁFICO 1 – RATIO DE CONVERSIÓN PARA TASA DE INTERÉS DEL 6%

Adicionalmente pueden calcularse para cada tabla (tasa de interés) los

ratios de garantía a valor presente que igualan pérdida esperada anual

y pérdida esperada para los préstamos a plazos de 15, 20 y 25 años,

los que se presentan a continuación:

TABLA 7

NIVELES DE GARANTÍA QUE IGUALAN PÉRDIDA ESPERADA ANUAL Y TOTAL

a 15, 20, 25 años

Como puede apreciarse, para el ejercicio realizado, la pérdida

esperada total es igual a la pérdida anual esperada para los plazos

generalmente observados de préstamos hipotecarios, sólo en caso de

niveles de garantía extremadamente altos donde ya en el segundo

período la deuda quedaría cubierta totalmente, resultado que valida la

necesidad del cálculo propuesto.

PLAZO

15 20 25

TASA

0% 93,33 95,00 96,00

2% 94,22 95,88 96,88

4% 95,00 96,64 97,60

6% 95,70 97,28 98,18

8% 96,32 97,81 98,63

10% 96,85 98,25 98,98

Conclusiones

El modelo presentado permite calcular la pérdida esperada en el

horizonte de largo plazo de préstamos hipotecarios tomando en cuenta

la no linealidad introducida por las características de flujos y

garantías de este tipo de contrato, mostrando una divergencia

significativa entre el cálculo así realizado y la pérdida esperada

calculada en el horizonte de un año.

Como ya se dijo existen dos principales supuestos a levantar, el

primero de ellos referido a la utilización de una PD constante y el

segundo que es la utilización de un valor de garantía constante.

Ambos supuestos fueron utilizados a los efectos de poder desarrollar

una fórmula cerrada sencilla y su levantamiento supone en principio

algunos cambios al resultado. En primer lugar una PD variable cuyo

nivel subiera hacia el final de la vida del préstamo tendería a

presentar resultados del ratio calculado menores, puesto que

incrementaría la probabilidad de default en momentos en que el saldo

fuera menor y reduciría dicha probabilidad con saldos impagos mayores.

Del mismo modo, si se introduce correlación negativa (razonable) entre

las probabilidades de default y el valor de la garantía a partir de

estimaciones de variables macro como ser el precio de la vivienda y la

morosidad bancaria los resultados del ratio que convierte la pérdida

esperada anual en pérdida esperada también se reducirían7.

Sin perjuicio de dicha disminución y de la volatilidad del ratio

calculado, generada por la no linealidad de las fórmulas involucradas,

se entiende que este modelo reducido permite pensar en una forma de

estimar el valor de una cartera de préstamos hipotecarios y las

variables que se deben tener en cuenta para la determinación de un

modelo más completo.

Las deducciones del modelo surgen del apalancamiento del préstamo tipo

que introduce no linealidad en la medida que la garantía exceda o no

al saldo adeudado en cada fecha y permiten delinear un instrumento

para valuar créditos ilíquidos de plazos largos ante la ausencia de

datos de incumplimientos en horizontes de varios años.

Por último, se señala una vez más la falta de estudio del tema a nivel

general, y en particular acerca de la no linealidad introducida por

las características contractuales de los préstamos hipotecarios,

resaltando la necesidad de seguir el trabajo con el levantamiento de

de los supuestos utilizados de probabilidad de incumplimiento y

garantías invariantes en el tiempo y su reemplazo por un modelo para

estas dos variables que permita simular escenarios más ajustados para

utilizar en la práctica.

7No se tienen relevados datos en la actualidad sobre los ratios de garantías

exigidos por las instituciones bancarias en distintos momentos del ciclo, que

podrían ser parte relevante de un modelo más ajustado.

ANEXO

DERIVACIÓN DEL LÍMITE DE INTEGRACIÓN DE LA SUMA DE IMPAGOS ANUALES

01010 0

00 GVV

SSyGCVSyGS t

n

ttt

t

01 0 G

V

VVSy

t

n

nt

011

1111

1 0 G

y

y

y

y

y

y

Syn

tn

t

011

110

11

111 00 G

y

ySG

y

yySy

n

nt

n

ntt

01111011

1100

nnt

n

nt

yGySGy

yS

011 00 nnt

yGGSyS

0

0

00

1111

111

S

yy

G

y

GS

yy

GGSyyS

nnnt

n

nt

0

0

0

0 1ln1ln

11

S

GyGSy

S

GyGSy

nt

nt

0

0 1ln1ln

S

GyGSyt

n

y

S

GyGS

t

n

1ln

1ln

0

0

t y

S

GyGS

Intt

n

1ln

1ln

0

0

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