UN SISTEMA DE UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL DEDUCCIÓN NATURAL

PARA EL CÁLCULO PARA EL CÁLCULO PROPOSICIONALPROPOSICIONAL

Dr. Pedro Arturo Ramos VillegasDr. Pedro Arturo Ramos Villegas Academia de Filosofía, UACM Academia de Filosofía, UACM

Colegio de Filosofía, FFyL, UNAMColegio de Filosofía, FFyL, UNAM parv@servidor.unam.mxparv@servidor.unam.mx

ANTECEDENTESANTECEDENTES

Una primera versión del sistema de reglas de deducción Una primera versión del sistema de reglas de deducción natural para el cálculo proposicional que presento a natural para el cálculo proposicional que presento a continuación fue elaborada por los profesores Raúl continuación fue elaborada por los profesores Raúl Orayen, Arturo Yáñez y yo en la primera mitad de la Orayen, Arturo Yáñez y yo en la primera mitad de la década de los 90s. Hasta la fecha no he sabido de década de los 90s. Hasta la fecha no he sabido de alguien más que proponga un sistema similar a aquél. alguien más que proponga un sistema similar a aquél.

La elaboración de ese sistema obedecía a objetivos La elaboración de ese sistema obedecía a objetivos didácticos y prácticos. didácticos y prácticos.

El sistema que presento a continuación pretende El sistema que presento a continuación pretende mejorar el sistema original atendiendo a los mismos mejorar el sistema original atendiendo a los mismos objetivos.objetivos.

OBJETIVOS DEL SISTEMAOBJETIVOS DEL SISTEMA

EN LO DIDÁCTICOEN LO DIDÁCTICO Está diseñado expresamente para facilitar la enseñanza Está diseñado expresamente para facilitar la enseñanza

y el aprendizaje de las reglas del cálculo proposicional, y el aprendizaje de las reglas del cálculo proposicional, al clasificarlas en cinco grupos atendiendo a sus al clasificarlas en cinco grupos atendiendo a sus propiedades lógicas y su utilidad; a diferencia de las propiedades lógicas y su utilidad; a diferencia de las presentaciones tradicionales, que las clasifican presentaciones tradicionales, que las clasifican únicamente en dos grupos, como reglas de implicación y únicamente en dos grupos, como reglas de implicación y reglas de equivalencia, atendiendo sólo a su forma reglas de equivalencia, atendiendo sólo a su forma lógica. lógica.

EN LO PRÁCTICO:EN LO PRÁCTICO: Está diseñado expresamente para facilitar el empleo de Está diseñado expresamente para facilitar el empleo de

las reglas al efectuar deducciones, justo debido a sus las reglas al efectuar deducciones, justo debido a sus ventajas didácticas.ventajas didácticas.

VENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMAVENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMA

El sistema está diseñado expresamente para facilitar El sistema está diseñado expresamente para facilitar la enseñanza y el aprendizaje de la lógica la enseñanza y el aprendizaje de la lógica proposicional, debido básicamente a dos aspectos:proposicional, debido básicamente a dos aspectos:

1.1. Debido al modo peculiar en que se expone y Debido al modo peculiar en que se expone y contextualiza dentro del sistema cada regla en contextualiza dentro del sistema cada regla en particular, como ilustraremos a continuación. particular, como ilustraremos a continuación.

VENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMAVENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMA

2. Debido a que anexo a cada grupo de reglas se incluyen 2. Debido a que anexo a cada grupo de reglas se incluyen dos conjuntos de ejercicios. Uno diseñado para el dos conjuntos de ejercicios. Uno diseñado para el grupo mismo y otro para la conjunción de ese grupo grupo mismo y otro para la conjunción de ese grupo con los anteriores que ya hayan sido expuestos. con los anteriores que ya hayan sido expuestos. De modo que al final de la exposición del sistema el De modo que al final de la exposición del sistema el alumno adquiere los siguientes saberes prácticos:alumno adquiere los siguientes saberes prácticos:

Sabe para qué sirve cada regla, en particular, y Sabe para qué sirve cada regla, en particular, y cómo articular ese saber práctico dentro del manejo cómo articular ese saber práctico dentro del manejo del grupo al que la regla pertenece y, más en del grupo al que la regla pertenece y, más en general, dentro del manejo del sistema en el que general, dentro del manejo del sistema en el que ésta se inserta.ésta se inserta.

Es capaz de realizar inferencia con todas las reglas Es capaz de realizar inferencia con todas las reglas de manera fluida.de manera fluida.

ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE CADA REGLAEXPOSICIÓN DE CADA REGLA

Hay seis aspectos de cada regla que se consideran dentro Hay seis aspectos de cada regla que se consideran dentro del sistema. Veamos un ejemplo:del sistema. Veamos un ejemplo:

1.1. NombreNombre:: Doble Negación.Doble Negación.

2.2. AbreviaturaAbreviatura: : DN.DN.

3.3. PresentaciónPresentación formalformal: : A A A.A.

4.4. LecturaLectura estructuralestructural: Una fórmula equivale a su doble : Una fórmula equivale a su doble negación.negación.

5.5. Prueba de validezPrueba de validez::

AA AA AA

vv

ff

v vfv vf

v fvv fv

ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE CADA REGLAEXPOSICIÓN DE CADA REGLA

6. Utilidad:6. Utilidad: Individual:Individual: Permite introducir o eliminar el signo de Permite introducir o eliminar el signo de

negación en fórmulas o subfórmulas individuales.negación en fórmulas o subfórmulas individuales. Grupal:Grupal: Misma que la anterior, dado que el grupo de Misma que la anterior, dado que el grupo de

reglas al que pertenece incluye una sola regla.reglas al que pertenece incluye una sola regla. Sistémica:Sistémica: Es auxiliar de todas aquellas reglas que Es auxiliar de todas aquellas reglas que

incluyen negación.incluyen negación.

REGLA AUXILIARREGLA AUXILIAR

1. 1. Doble NegaciónDoble Negación ( (DNDN))

AA AA

I. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA I. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓNLA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN

22. Conjunción. Conjunción ( (ConjConj)) 3. 3. SimplificaciónSimplificación ( (SimpSimp))AA A A BBBB____________ // AA// A A BB

4. 4. AdiciónAdición (Ad) (Ad) 5. 5. Silogismo Disyuntivo Silogismo Disyuntivo ((SDSD))AA____________ A A BB// A A BB A __A __

// BB

II. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA II. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA EL CONDICIONALEL CONDICIONAL

6. 6. Modus PonensModus Ponens ( (MPMP)) 7. 7. Modus TollensModus Tollens ((MTMT))

A A BB A A BBA___A_____ B___B___// BB // AA

8. 8. Silogismo HipotéticoSilogismo Hipotético ( (SHSH))A A BBB B C___C___// A A CC

III. REGLAS DE EQUIVALENCIA III. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA LA CONJUNCIÓN Y LA PARA LA CONJUNCIÓN Y LA

DISYUNCIÓNDISYUNCIÓN

9. 9. ConmutaciónConmutación ( (ConmConm)) 10. 10. AsociaciónAsociación ( (AsocAsoc)) ((A A BB) ) ( (B B AA)) [ [A A ( (B B CC)] )] [(A [(A BB) ) CC]] ((A A BB) ) ( (B B AA)) [ [A A ( (B B CC)] )] [(A [(A BB) ) CC]]

11. 11. IdempotenciaIdempotencia ( (IdemIdem)) 12. 12. DistribuciónDistribución ( (DistDist)) AA ( (A A AA)) [[AA ((B B CC)] )] [( [(A A BB) ) ((A A CC)])]

AA ( (A A AA) ) [[A A ((B B CC)] )] [( [(A A BB) ) ((A A CC)])]

IV. REGLAS DE EQUIVALENCIA IV. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA EL CONDICIONALPARA EL CONDICIONAL

13.13. Transposición Transposición ( (TrTr)) 14. 14. ExportaciónExportación ( (ExpExp)) ((A A BB) ) ( (B B AA)) ( (A A BB) ) CC] ] [ [A A ( (B B CC)])]

15. 15. Distribución del CondicionalDistribución del Condicional ( (DCDC)) [(A [(A BB) ) CC)] )] [(A [(A CC) ) ((B B CC)])] [A [A ( (B B CC)] )] [(A [(A BB) ) ((A A CC)])]

V. REGLAS DE TRADUCCIÓNV. REGLAS DE TRADUCCIÓN

16. 16. Leyes de Morgan Leyes de Morgan ((de Mde M)) 17.17. Implicación Material Implicación Material((IMIM))((A A BB) ) ((A A BB)) ((A A BB) ) ( (A A BB))((A A BB) ) ((A A BB)) ((A A BB) ) ((A A BB))

18. 18. Equivalencia Material Equivalencia Material ((EMEM)) 19.19. Ley Expansiva Ley Expansiva Fundamental Fundamental ((LEFLEF))

(A (A BB) ) [(A [(A BB) ) ((B B AA)])] AA [( [(A A BB) ) ((A A BB)])](A (A BB) ) [(A [(A BB) ) ((A A BB)])] AA [( [(A A BB) ) ((A A BB)])]

GRACIAS POR SUS GRACIAS POR SUS COMENTARIOS Y COMENTARIOS Y

CRÍTICASCRÍTICAS

CONDICIONALIZACIÓN Y CONDICIONALIZACIÓN Y REDUCCIÓN AL ABSURDO EN UN REDUCCIÓN AL ABSURDO EN UN

SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL CÁLCULO PARA EL CÁLCULO

PROPOSICIONALPROPOSICIONAL

Dr. Pedro Arturo Ramos VillegasDr. Pedro Arturo Ramos Villegas Academia de Filosofía, UACM Academia de Filosofía, UACM

Colegio de Filosofía, FFyL, UNAMColegio de Filosofía, FFyL, UNAM parv@servidor.unam.mxparv@servidor.unam.mx

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Hace poco presenté ante el TDL un sistema de Hace poco presenté ante el TDL un sistema de reglas de deducción natural para la lógica reglas de deducción natural para la lógica proposicional (proposicional (LPLP), el cual modificaba un ), el cual modificaba un sistema anterior elaborado originalmente sistema anterior elaborado originalmente durante la primera mitad de la década de los durante la primera mitad de la década de los 90s por los profesores Raúl Orayen, Arturo 90s por los profesores Raúl Orayen, Arturo González y el que esto escribe.González y el que esto escribe.

En lo que sigue, expondré los métodos de En lo que sigue, expondré los métodos de prueba condicional (prueba condicional (PCPC) y de reducción al ) y de reducción al absurdo (absurdo (RAARAA) dentro del sistema modificado. ) dentro del sistema modificado.

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN Primero, presentaré informalmente ambos Primero, presentaré informalmente ambos

métodos. Luego, propondré demostraciones métodos. Luego, propondré demostraciones semánticas y sintácticas de validez para cada semánticas y sintácticas de validez para cada uno, mostrando las ventajas didácticas de las uno, mostrando las ventajas didácticas de las primeras sobre las segundas (estas últimas las primeras sobre las segundas (estas últimas las desarrollaré dentro del sistema modificado). Por desarrollaré dentro del sistema modificado). Por último, hablaré sobre la utilidad de estos último, hablaré sobre la utilidad de estos métodos de prueba. métodos de prueba.

Debo aclarar que la exposición de ambos Debo aclarar que la exposición de ambos métodos es una elaboración mía, por lo que métodos es una elaboración mía, por lo que cualquier error lógico que contenga no debe cualquier error lógico que contenga no debe atribuirse a los otros profesores mencionados.atribuirse a los otros profesores mencionados.

TRES MÉTODOS FORMALES DE TRES MÉTODOS FORMALES DE PRUEBA: PRUEBA: MDMD, , PCPC Y Y RAARAA

Los sistemas deductivos de Los sistemas deductivos de LPLP suelen contar con suelen contar con tres tipos de métodos formales o sintácticos de tres tipos de métodos formales o sintácticos de demostración: el método directo (demostración: el método directo (MDMD) y dos ) y dos métodos indirectos, la métodos indirectos, la PCPC y la y la RAARAA..

El El MDMD consiste en deducir una conclusión a partir de consiste en deducir una conclusión a partir de un conjunto dado de premisas usando sólo ese un conjunto dado de premisas usando sólo ese conjunto de premisas y las reglas de deducción conjunto de premisas y las reglas de deducción habituales (conjunción, adición, etc.).habituales (conjunción, adición, etc.).

Los métodos indirectos operan sumando premisas Los métodos indirectos operan sumando premisas extra al conjunto original de premisas y deduciendo, extra al conjunto original de premisas y deduciendo, con el auxilio de las reglas habituales, no con el auxilio de las reglas habituales, no directamente la conclusión, sino otras fórmulas (de directamente la conclusión, sino otras fórmulas (de las que la conclusión deseada es deducible en las que la conclusión deseada es deducible en cualquier caso).cualquier caso).

DESCRIPCIÓN INFORMAL DE LA DESCRIPCIÓN INFORMAL DE LA PCPC Y LA Y LA RAARAA

La La PCPC opera añadiendo como premisa extra el opera añadiendo como premisa extra el antecedente de un condicional que se desea antecedente de un condicional que se desea demostrar y deduciendo su consecuente (del demostrar y deduciendo su consecuente (del cual es deducible el condicional usando cual es deducible el condicional usando básicamente adición e implicación material).básicamente adición e implicación material).

La La RAARAA opera añadiendo como premisa extra lo opera añadiendo como premisa extra lo contradictorio de lo que se desea demostrar y contradictorio de lo que se desea demostrar y deduciendo a partir de ello una contradicción deduciendo a partir de ello una contradicción cualquiera (de la cual es deducible la conclusión cualquiera (de la cual es deducible la conclusión usando básicamente adición y silogismo usando básicamente adición y silogismo disyuntivo).disyuntivo).

DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA PCPC

Si P1, P2, …, Pn son las fórmulas-premisa de un argumento cualquiera y A B su fórmula-conclusión, entonces

No es posible que: No es posible que:P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v

. .

. .Pn ___ _ = v Pn = v/ A B = f A___ = v

/ B = f

Demostración semántica del primer Demostración semántica del primer condicional de la condicional de la PCPC::

1. Hipótesis: 2. Por demostrar: No es posible que: No es posible que:

P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v

. .

. .Pn ___ = v Pn = v/ A B = f A___ = v

/ B = fY, en efecto, tomando como fijos los valores de (P1, P2,…

Pn) = v, no es posible que A = v y B = f (en 2), pues, en tal caso, A B = f (en1), lo cual no es posible por la hipótesis.

Demostración semántica del Demostración semántica del segundo condicional de la segundo condicional de la PCPC::1. Hipótesis: 2. Por demostrar:

No es posible que: No es posible que:P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v. .. .Pn = v Pn_____ = vA___ = v / A B = f/ B = f Y, en efecto, tomando como fijos los valores de (P1, P2,…

Pn) = v, no es posible que A B = f (en 2), pues, en tal caso, A = v y B = f (en 1), lo cual no es posible por la hipótesis.

DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA PRUEBA POR PRUEBA POR RAARAA

Si P1, P2, …, Pn son las fórmulas-premisa de un argumento cualquiera, AA su fórmula-conclusión y B una subfórmula cualquiera de P1, P2, …, Pn o A, entonces

No es posible que: No es posible que:P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v

. .

. .Pn _ = v Pn = v/ A = f A_____ = v

/ B BB = f

Demostración semántica del primer Demostración semántica del primer condicional de la prueba por condicional de la prueba por RAARAA::

1. Hipótesis: 2. Por demostrar: No es posible que: No es posible que:

P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v

. .

. .Pn _ = v Pn = v/ A = f A _____ =

v / B BB = f

Y, en efecto, tomando como fijos los valores de (P1, P2,… Pn) = v, no es posible que A = v (en 2), pues, en tal caso, A = f (en 1), lo cual no es posible por la hipótesis.

Demostración semántica del segundo Demostración semántica del segundo condicional de la prueba por condicional de la prueba por RAARAA::1. Hipótesis: 2. Por demostrar:

No es posible que: No es posible que:P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v. .. .Pn = v Pn__ = vA______ = v / A = f/ B BB = f Y, en efecto, tomando como fijos los valores de (P1, P2,

… Pn) = v, no es posible que A = f (en 2), pues, en tal caso, A = v , lo cual no es posible por la hipótesis.

DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA PCPC

Si Si PP11, , PP22, …, , …, PnPn son las fórmulas-premisa de un son las fórmulas-premisa de un argumento cualquiera y argumento cualquiera y AA BB su fórmula-conclusión, su fórmula-conclusión, entonces:entonces:

PP1 1 PP1 1

PP22 PP22

.. ..

.. ..PnPn______________ PnPn// A A B B A___A___

// B B

Demostración formal del primer Demostración formal del primer condicional de la condicional de la PCPC::

Hipótesis:Hipótesis: Por demostrar:Por demostrar:

PP11 PP11 PP22 PP22

.. ..

.. ..PnPn__________ PnPn// A A B B A___A___

// B B

Demostración:Demostración:

1. 1. PP1 1

2. 2. PP22

..

..n. n. PnPnn+1. n+1. A / / B B....n+k. n+k. A B B 1,1, 2,…, 2,…, nn, Hip., Hip.n+k+1. n+k+1. BB n+1, n+k, n+1, n+k, MPMP

Demostración formal del segundo Demostración formal del segundo condicional de la condicional de la PCPC::

Hipótesis:Hipótesis: Por demostrar:Por demostrar:

PP11 PP11 PP22 PP22

.. ..

.. ..PnPn Pn____Pn____A___A___ // A A B B // B B

Demostración:Demostración:

1.1. PP11 2. 2. P P2 2

.. n.n. PnPn / / A B B ..n+(n-1). n+(n-1). PP11 PP22 PnPn 1, 2,…n, 1, 2,…n, Conj.Conj...n+(n-1)+k. (n+(n-1)+k. (PP11 PP22 Pn Pn A A) ) B Hip B Hip., ., LEFLEFn+(n-1)+k+1. (n+(n-1)+k+1. (PP11 PP22 PnPn) ) ((A B B) n+(n-1)+k) n+(n-1)+k, Exp, Exp..n+(n-1)+k+2. n+(n-1)+k+2. A B B n+(n-1), n+(n-1)+k+1, n+(n-1), n+(n-1)+k+1, MPMP

DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA PRUEBA POR PRUEBA POR RAARAA

Si P1, P2, …, Pn son las fórmulas-premisa de un argumento cualquiera, AA su fórmula-conclusión y B una subfórmula cualquiera de P1, P2, …, Pn o A, entonces

PP11 PP1 1

PP22 PP22

.. ..

.. ..PnPn____ PnPn// A A A______A______

// B B BB

Demostración formal del primer Demostración formal del primer condicional de la prueba por condicional de la prueba por RAARAA::

Hipótesis:Hipótesis: Por demostrar:Por demostrar:

PP1 1 PP11 PP22 PP22

.. ..

.. ..PnPn____ PnPn// A A A________ A________

// B B B B

DemostraciónDemostración

1. 1. PP1 1

2. P2. P22

..

..n. n. PnPn

n+1. n+1. A // B B BB....n+k. n+k. A 1, 2,…, n, Hip.Hip.

n+k+1. AA v ( v (BB BB)) n+k n+k AdAd N+K+2 N+K+2 BB BB n+1, n+k+1, n+1, n+k+1, SDSD

Demostración formal del segundo Demostración formal del segundo condicional de la prueba por condicional de la prueba por RAARAA::

Hipótesis:Hipótesis: Por demostrar:Por demostrar:

PP11 PP11 PP22 PP22

.. ..

.. ..PnPn Pn____

A_____A_____ // A A

// B B B B

Demostración:Demostración:

1. 1. PP1 1

2. P2. P22

..

..n. n. PnPn // A A....n+k. n+k. A ( (BB BB) ) Hip., PCHip., PCN+k+1.N+k+1. A v ((BB BB)) n+k, IMn+k+2.n+k+2. A v ((BB BB)) n+k+1, n+k+1, DNDNn+k+3.n+k+3. ( (A v BB) ) ( (AA v v BB)) n+k+2, n+k+2, DistDistn+k+4. n+k+4. A n+k+3, LEF

UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE LA DEMOSTRACIÓN DE LA PCPC Y LA Y LA RAARAA

En general, la utilidad de ambos métodos radica en que En general, la utilidad de ambos métodos radica en que facilitan las deducciones pues, debido a la premisa extra facilitan las deducciones pues, debido a la premisa extra que permiten añadir, aumentan las posibilidades deductivas que permiten añadir, aumentan las posibilidades deductivas respecto del conjunto original de premisas.respecto del conjunto original de premisas.

En particular, la En particular, la PCPC se aplica con provecho a la se aplica con provecho a la demostración de fórmulas cuya conectiva principal sea ‘demostración de fórmulas cuya conectiva principal sea ‘’, ’, ‘‘≡’ o ‘v’; mientras que la ≡’ o ‘v’; mientras que la RAARAA se puede aplicar se puede aplicar con provecho con provecho a cualquier tipo de fórmula.a cualquier tipo de fórmula.

Usando cualquiera de ambos métodos pueden deducirse Usando cualquiera de ambos métodos pueden deducirse conclusiones intermedias que coadyuven, luego, a deducir conclusiones intermedias que coadyuven, luego, a deducir la conclusión final de argumentos; también pueden la conclusión final de argumentos; también pueden combinarse ambos en una misma deducción. En todos combinarse ambos en una misma deducción. En todos estos casos deben introducirse hipótesis con alcances estos casos deben introducirse hipótesis con alcances limitados en las demostraciones, cuidándose de cerrarlos limitados en las demostraciones, cuidándose de cerrarlos adecuadamente a fin de evitar falacias en las deducciones. adecuadamente a fin de evitar falacias en las deducciones.

UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE LA DEMOSTRACIÓN DE LA PCPC Y LA Y LA RAARAA

El sistema de reglas de deducción natural para la El sistema de reglas de deducción natural para la LP LP modificado, mencionado al principio de esta charla, cuenta modificado, mencionado al principio de esta charla, cuenta con una con una LEFLEF para introducir tautologías, por lo que es para introducir tautologías, por lo que es completo: ‘completo: ‘AA [( [(A A BB) ) ((A A BB)]’. Mediante esta regla )]’. Mediante esta regla puede demostrarse que una tautología se deduce de puede demostrarse que una tautología se deduce de cualquier fórmula.cualquier fórmula.

Los métodos de la Los métodos de la PCPC y la y la RAARAA también permiten introducir también permiten introducir tautologías tautologías en las demostraciones. Se diferencian de en las demostraciones. Se diferencian de LEFLEF en que son más manejables, debido a lo ya mencionado, y en que son más manejables, debido a lo ya mencionado, y más potentes, pues permiten demostrar más potentes, pues permiten demostrar que una tautología que una tautología se deduce del conjunto vacío de fórmulas.se deduce del conjunto vacío de fórmulas.

En sistemas de deducción directa incompletos en los que En sistemas de deducción directa incompletos en los que no se pueden demostrar tautologías (como el de Copi en no se pueden demostrar tautologías (como el de Copi en Lógica simbólicaLógica simbólica) estos métodos permiten, pues, ) estos métodos permiten, pues, completarlos (tal como lo hace Copi con su sistema completarlos (tal como lo hace Copi con su sistema mencionado). mencionado).

GRACIAS POR SUS GRACIAS POR SUS COMENTARIOS Y COMENTARIOS Y

CRÍTICASCRÍTICAS