- Introducción y casos de aplicación. - Definiciones, características y suposiciones. - Terminología y notación. - Proceso de nacimiento – muerte. Modelos Poisson. - Un servidor, fuente finita, cola finita. - Un servidor, cola infinita, fuente infinita. - Servidores múltiples, cola infinita, fuente infinita. - Servidores múltiples, cola finita, fuente infinita.

LINEAS DE ESPERA

ANTECEDENTES:

Las colas, filas o líneas de espera, son parte de la vida diaria. Todos en algún momento tenemos que esperar por un servicio, por ejemplo: en el supermercado, en el banco, en las tortillas, al tomar un taxi en un sitio, para subir a un juego mecánico, etc.

Importancia de la teoría de colas: El estudio de las líneas de espera, llamado teoría de colas, es una de las técnicas de análisis cuantitativo más antiguas y que se utilizan más extensamente; la mayoría de los problemas de líneas de espera se centran en la vital cuestión de encontrar el nivel ideal de servicio que debe proporcionar una empresa. La importancia radica, en observar el costo total esperado, un concepto que se ilustra en la figura #1, El costo total esperado es la suma de los costos esperados de servicio más los costos de espera.

¿Cuáles creen que serian las afectaciones de que haya poca o mucha cola en una tortillería?

¿Y en un banco?, ¿en una terminal marítima de carga y descarga?, ¿En la planeación de desalojo e personas en un avión o en un barco trasatlántico en caso de accidentes?

Figura #1

Ejemplo de Three Rivers Shipping Company

Esta empresa opera una enorme instalación portuaria ubicada en el río Ohio cerca de Pittsburgh. Durante cada turno de

trabajo de 12 horas llegan a descargar aproximadamente cinco barcos repletos de acero y mena. Cada hora que un barco permanece ocioso esperando en la fila para descargar le cuesta mucho dinero a la empresa, cerca de $1000 dólares. Por su experiencia, la dirección estima que si un equipo de estibadores está de turno para manejar el trabajo de descarga, cada barco esperará un promedio de siete horas para descargar. Si son dos equipos los que trabajan, el tiempo de espera promedio cae hasta cuatro horas; cuando laboran tres equipos, disminuye a tres horas y cuando hay cuatro equipos de estibadores, solamente esperan dos horas. Sin embargo, cada equipo adicional de estibadores también es una propuesta cara, debido a los contratos del sindicato.

El superintendente de Three Rivers quiere determinar el número óptimo de equipos de estibadores de turno en cada horario. El objetivo es minimizar los costos totales esperados. Para minimizar la suma de costos de servicio y costos de espera, la empresa toma la decisión de emplear dos equipos de estibadores en cada turno.

Nota: las líneas de espera o colas, contienen la propiedad de Markov de los procesos estocásticos.

Proceso de las líneas de espera o colas…

- Los clientes requieren un servicio, y llegan de manera aleatoria a solicitarlo, lo que se conoce como entrada al sistema. “Cuando la demanda de los clientes es mayor que el tiempo de respuesta, se genera una cola”. - Una vez dentro del sistema el cliente entra a una cola, luego pasa a un servidor o estación de servicio y por último sale del sistema. - El orden en el que se elige a los clientes de la cola, se conoce como disciplina de la cola.

Clasificación de líneas de espera

Nota: es posible que por estrategias comerciales, también se puedan utilizar la combinación de los tipos de líneas de espera, por ejemplo, en un banco hay clientes que hacen cola y hay otros clientes que por el tipo de transacciones son llamados en otra ventanilla.

Tipos de líneas de espera…

Donde: Proceso de nacimiento: llegada de clientes al sistema. X = cantidad de llegadas en el período. λn = tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo)

Distribución de Poisson: permite calcular la probabilidad de que ingresen X clientes al sistema

MODELO DE COLAS DE UN SOLO CANAL CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES (M/M/1)

Distribución exponencial: permite calcular la probabilidad de atender al cliente en X unidad de tiempo.

Donde: X = Tiempo entre eventos µ =promedio de eventos por unidad de tiempo.

Identificación de modelos mediante el uso de la notación Kendall D. G. Kendall desarrolló una notación ampliamente aceptada para especificar el patrón de las llegadas, la distribución del tiempo de servicio y el número de canales en un modelo de colas.

La notación Kendall básica de tres símbolos es de la forma:

distribución de llegadas/distribución de tiempos de servicio/número de canales de servicio abiertos

Donde se utilizan letras específicas para representar las distribuciones de probabilidad. Las siguientes letras se utilizan comúnmente en la notación Kendall:

M = distribución de Poisson del número de ocurrencias (o tiempos exponenciales) D = tasa de la constante (determinística) G = distribución general con varianza y media conocidas Así, un modelo de un solo canal con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales se representaría mediante: M/M/1

Cuando se añade un segundo canal, se tendría: M/M/2

Si existen m canales de servicio distintos dentro del sistema de colas con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales, la notación Kendall sería M/M/m. Un sistema de tres canales con llegadas Poisson y tiempo de servicio constante se identificaría mediante M/D/3.Un sistema de cuatro canales con llegadas Poisson y tiempos de servicio que se distribuyen normalmente se identificaría como M/G/4. Existe una notación más detallada con términos adicionales que indican el número máximo dentro del sistema y el tamaño de la población. Cuando éstos se omiten, se supone que no hay límite en la longitud de la cola o en el tamaño de la población.

Modelo M/M/1:

Ejemplo #1 del procesamiento de colas:

En un servicio de Fotocopiado llegan 5 clientes cada hora y el operador de la fotocopiadora puede atenderlos a una tasa de 6 clientes cada hora. DETERMINE: A) Cantidad de clientes en el Sistema B) Tiempo total que esperan los clientes en el Sistema C) Cantidad de personas formadas en la fila. D) Tiempo en el cual los clientes esperan en fila. E) Porcentaje de uso del servidor. F) Porcentaje de tiempo en el cual el servidor está ocioso. G) Probabilidad de que se encuentren 2 clientes en el Sistema.

Ejemplo de procesamiento de colas:

Ejemplo de procesamiento de colas:

Ejemplo #2:

El gerente de una cafetería considera que el domingo es el día más transitado. En promedio llegan 20 personas por hora,

el tiempo de atención es de 2 min por persona. Se cuenta con una sola línea de espera. Suponiendo que las llegadas son por distribución de Poisson y tiempos de servicio son exponenciales, calcula los parámetros de operación.

Solución: λ = 20 personas por hora (tasa de llegada) μ = 30 personas por hora (tasa de servicio) Identificamos el modelo: una cola y un servidor (M/M/1)

Ejemplo #2:

Bibliografía: Métodos cuantitativos para los negocios, 9na edición, Editorial Pearson. A partir de página 567