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Fecha de recepción: Febrero de 2005/ Fecha de aceptación: Abril de 2006

Departamento de Análisis Matemático y Didáctica de la Matemática, Universidad de Valladolid, España.

Facultad de Ingeniería y Ciencias Económico-Sociales, Universidad Nacional de San Luis, Villa Mercedes, Argentina.

Parte de la presente investigación está sufragada por una beca del Banco Río para Proyectos de Investigación

Científica para el Perfeccionamiento Docente, concedida al proyecto Enseñanza de conceptos de análisis matemático

en cursos de ingeniería (Argentina).

Una conceptualización de límite para el aprendizaje inicial

de análisis matemático en la universidad

Sonsoles Blázquez 1

Tomás Ortega 1

Stella Gatica 2

Julio Benegas 2

RESUMEN

En el presente trabajo se contrasta la conceptualización métrica de límite, dada porWeierstrass, que se utiliza tradicionalmente en la docencia, con su conceptualizacióncomo aproximación óptima, dada por Blázquez y Ortega (2002), para establecer cuál delas dos es más sencilla y apropiada para la docencia-aprendizaje inicial de tal noción.Se describe el análisis hecho a los datos proporcionados por dos trabajos de exploracióny, finalmente, se enuncian sus conclusiones, corroborando que la segundaconceptualización es más sencilla que la primera y, por tanto, la más apropiada para losaprendizajes iniciales 3.

PALABRAS CLAVE : Límite, conceptualización, métrica, aproximación óptima,proceso, docencia, aprendizaje, representación.

ABSTRACT

In the present work is contrasted the metric conceptualization of limit, given by Weierstrass,that is utilized traditionally in the teaching, with its conceptualization as optimumapproximation, given by Blázquez and Ortega (2002), to establish which of the two issimpler and appropriate for the initial teaching-learning of such notion. It is described theanalysis of the data provided by two exploration works and, finally, its conclusions areenunciated, corroborating that the second conceptualization is simpler than the first oneand, therefore, the most appropriate for the initial learning.

KEYWORDS: Limit, conceptualization, metric, approximation, optimum process,teaching, learning, representation.

Relime Vol. 9, Núm. 2, julio, 2006, pp. 189-209.

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RÉSUMÉ

Dans ce travail, la conceptualisation métrique de limite, donnée par Weierstrass et quis’utilise traditionnellement dans l’enseignement, est contrastée avec sa conceptualisationcomme approximation optimale, donnée par Blázquez et Ortega (2002), afin d’établirlaquelle des deux est la plus simple et appropriée pour l’enseingement-apprentissageinitial de cette notion. L’analyse faite aux données obtenues grâce à deux travauxd’exploration est décrite, et, finalement, ses conclusions sont énumérées, corroborantainsi que la seconde conceptualisation est plus simple que la première et, pour autant,la plus appropriée pour les apprentissages initiaux.

MOTS CLÉS : Limite, conceptualisation, métrique, approximation, optimale,processus, enseignement, apprentissage, représentation.

RESUMO

Neste trabalho é comparado o conceito de métrica de limite, dada por Weierstrass, quese utiliza tradicionalmente na docência, com seu conceito como aproximação ótima,dada por Blázquez y Ortega (2002), para estabelecer qual delas é mais simples eapropriada para o ensino e aprendizagem inicial de tal noção. É apresentado a análisefeita dos dados proporcionados por dois trabalhos de pesquisa e, finalmente, se enunciamsuas conclusões, corroborando que o segundo conceito é mais simples que o primeiroe, portanto, a mais apropriada para a aprendizagem inicial.

PALAVRAS CHAVE : Limite, conceituar, métrica, aproximação, ótima, proceso,docência, aprendizagem, representação.

INTRODUCCIÓN

Esta investigación forma parte de unproyecto mucho más amplio, que dacontinuidad a los trabajos de Blázquez yOrtega (1997, 1999, 2000, 2001a, 2001by 2002), sobre todo a este último, dondese establece una nueva conceptualizaciónde límite funcional (definición que surge

en el proceso de formación del concepto)basada en la idea de aproximación óptima,que no requiere del formalismo presenteen la conceptualización métrica deWeierstrass. Ni estos trabajos ni los quesirvieron como punto de partida para losestudios de Blázquez y Ortega (Tall y

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Vinner, 1981; Cornu, 1983; Robinet, 1983;Sierpinska, 1985 y 1987; Sánchez, 1997;entre otros) tratan de esclarecer cuál deestas dos conceptualizaciones es la mássencilla y, en consecuencia, la que puedeser más adecuada para que se utilice enlos currículos de educación secundaria yen el primer curso de las carreras deingeniería o similares.

Por tanto, el objetivo fundamental de estainvestigación, que ocupa una metodologíacualitativa, es conocer si laconceptualización métrica de límitefuncional es más fácil o más difícil que lade límite funcional como aproximaciónóptima. Con base en la labor de Blázquezy Ortega, así como en el trabajoexperimental que se está desarrollandocon alumnos de Ingeniería, se hicieron dosexploraciones de aula para llegar a dichoobjetivo.

La primera exploración se llevó a cabo enla Universidad Nacional de San Luis(Argentina) con estudiantes de la Facultadde Ingeniería de Villa Mercedes, mientrasque la segunda en la Universidad deValladolid (España) con los estudiantes delCurso de Aptitud Pedagógica (CAP). Losalumnos habían egresado de laslicenciaturas en Matemáticas, Física,Ingenierías, Estadística y Económicas-Empresariales, y durante su formaciónuniversitaria, de cinco años, recibieron unaamplia formación matemática; por tanto,sus respuestas debían tener un rango devalidez destacado. En la primeraexploración se trabajó sobre las propiasconceptualizaciones, y en la segunda seconfrontaron ambas mediante lascorrespondientes demostraciones quesurgen al aplicarlas para establecer elteorema del signo y el de unicidad dellímite.

Los documentos producidos en una y otra

experimentación se analizan en el marcoteórico de Duval, donde se considera alconcepto de sistema semiótico como unsistema de representación que puede serun registro de representación si permitetres actividades cognitivas:

•La presencia de una representaciónidentificable como una representación deun registro dado.

•El tratamiento de una representación ,que es la transformación de larepresentación dentro del mismo registrodonde ha sido formada.

•La conversión de una representación ,que consiste en la transformación de larepresentación en otra de otro registro,en la que se conserva la totalidad o partedel significado de la representacióninicial. Tal actividad cognitiva es diferentee independiente a la del tratamiento.

Según Duval (1998, pp. 15-21), paracomprender un concepto es necesaria lacoordinación de los diferentes registrosde representación, pues con uno solo(mono-registro) no se obt iene lacomprensión integral del concepto. Sinembargo, la conversión entre registrosno se realiza en forma espontánea, amenos que se trate de representacionescongruentes entre el registro de partiday el de llegada.

Esta teoría plantea que la comprensiónintegral de un concepto se encuentrabasada en la coordinación de al menosdos registros de representación; talcoordinación se pone de manifiesto pormedio del uso rápido y la espontaneidadde la conversión cognitiva, lograndoarticulaciones entre diferentes registrosde representación semiót ica. Enpalabras del propio Duval:

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En los sujetos, una representaciónpuede funcionar verdaderamentecomo representación, es decir, darleacceso al objeto representado, sólocuando se cumplen dos condiciones:que dispongan de al menos dossistemas semióticos diferentes paraproducir la representación de unobjeto, de una representación, de unproceso... y que puedan convertir“espontáneamente” de un sistemasemiótico a otro las representacionesproducidas, sin siquiera notarlo.

Nosotros atenderemos a la espontaneidady dejaremos tiempo para que los alumnospiensen las respuestas. Así está reflejadoen las entrevistas grabadas, donde ciertasintervenciones hacen referencia aperíodos de pensamiento de los alumnos.

De acuerdo con este marco teórico, elprincipal objetivo de la entrevista consistióen averiguar hasta qué punto los alumnosentendían ambas conceptualizaciones, porlo cual tuvieron que explicar susinterpretaciones en el paso al registrográfico. Aunque estamos hablando de dosdefiniciones, hay una correspondenciaasociativa entre sus unidades significanteselementales, que se establecerá despuésy, a tenor de la evolución del concepto, nodebe ser obvia. Nosotros pensamos quelas dificultades de aprendizaje quepresentan estas unidades para losalumnos pueden ser indicadores de ladificultad de cada definición.

LA CONCEPTUALIZACIÓN

Una revisión histórica del concepto delímite, siguiendo las investigaciones deCornu (1983) y Robinet (1983), nospermite considerar tres etapas que sediferencian básicamente por la idea de

límite que subyace en ellas. Ahora bien,en la evolución del concepto se distinguela necesidad de explicitarlo y formalizarlo,que se utiliza de manera implícita desdela época griega, y no llega a su forma actualhasta el siglo XIX, en parte para validaralgunos resultados obtenidos y en partepara demostrar otros más generales.

Etapa 1. Hasta los métodosinfinitesimales

En esta etapa no es posible hablar de límitede funciones, pero sí aparece implícito enalgunos métodos para resolver,básicamente, problemas cinemáticos y detangentes, determinación de extremos ycálculo de cuadraturas. Sin pretendermencionar a todos los autores, destacamoslas siguientes aportaciones: el método deexhausción de Eudoxo de Cnido (360 a. C.);las cuadraturas de Arquímedes (siglo III a.C.); el estudio de las series numéricas deNicole de Oresme, alrededor de 1360; losmétodos para el cálculo de tangentes deextremos de Fermat (1601-1665); el de lastangentes de Barrow (1630-1677); el de losinfinitésimos de Kepler (1571-1630), y el delos indivisibles de Cavalieri (1598-1647), conel se puede dar por terminado este período.

Etapa 2. La supremacía del cálculo

Este período inicia en la segunda mitad delsiglo XVII y se extiende al XVIII. Losmatemáticos de esta época se esfuerzanen el tratamiento de procesos infinitos y,siguiendo el nuevo cálculo creado porNewton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716), consiguen separar este cálculo dela geometría, aunque no aciertan a separarlos métodos analíticos de los algebraicos.De las aportaciones relacionadas con elconcepto de límite, sobresalen losdescubrimientos de Newton (1712) sobre

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series infinitas, fluxiones y diferencias, asícomo los trabajos de Leibniz sobre elcálculo diferencial y series infinitas. Boyer(1999, pp. 500-501), en la sección 1 dellibro I que conforma el tratado Philosophiaenaturalis principia matematica, señala queNewton, al intentar definir el límite de unafunción, postula dos lemas:

Lema I: Cantidades, y la razón decantidades, que en cualquierintervalo finito de tiempo convergencontinuamente a la igualdad, y queantes del final de dicho tiempo seaproximan una a la otra más quecualquier diferencia dada, se hacenfinalmente iguales.

Lema VII: La razón última del arco,cuerda y tangente, cualquiera deellos respecto de cualquier otro, esla razón de igualdad.

Jaques Bernoulli (1654-1705) y JeanBernoulli (1667-1748) continúan la obra deLeibniz; Jean descubre la regla deL’Hospital y la serie de Taylor, publicadapor Brook Taylor en 1715. Leonhard Euler(1707-1883) integra el cálculo diferencialde Leibniz y la teoría de las fluxiones,dando lugar al “análisis” como área de lamatemática que estudia los procesosinfinitos. Él basa su obra en el conceptode función y, afirma Boyer (1999, p. 558),siguiendo la formulación de Leibniz, definea la función como cualquier expresiónanalítica, finita o infinita, formada con lacantidad variable y números o cantidadesconstantes.

Sin duda, el desarrollo del nuevo cálculopropició que D’Alembert (1717-1783),oponiéndose a Leibniz y Euler, pensaraque la notación de las diferenciales teníaque ser sustentada por algo con mayorfundamento que el desvanecimiento decantidades. D’Alembert interpreta las

razones primeras y últimas de Newtoncomo límites; según Boyer (1999, p. 567),postula:

Una cantidad es el límite de otracantidad variable, si la segundapuede aproximarse a la primerahasta diferir de ella en menos quecualquier cantidad dada (sin llegarnunca a coincidir con ella).

Etapa 3. Aritmetización del análisis

Durante esta época, en la búsqueda deuna fundamentación se intentareconstruir el análisis sobre la base deconceptos aritméticos, surgen nuevosproblemas en la propia matemática y enla f ís ica, y la enseñanza de lasmatemáticas en Francia pasa a serobligatoria tanto en la Escuela NormalSuperior como en la Politécnica. Losmatemáticos se ven obligados a enseñary, por ende, a escribir manuales dematemáticas que tengan basesrigurosas.

Hay que esperar hasta el Coursd’analyse de l’École Polytechnique, deAugustine Louis Cauchy (1821) para quesurja una nueva definición que, si bienes totalmente subjetiva, supone unavance respecto a la dada porD’Alembert:

Cuando los sucesivos valores quetoma una variable se aproximanindefinidamente a un valor fijo, demanera que terminan por diferir deél en tan poco como queramos,este último valor se llama el límitede todos los demás.

C. Boyer menciona que Heine, en 1872,escribe una nueva definición, atribuida aKarl Weierstrass (1815-1897), que eliminael subjetivismo de la definición de Cauchy:

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Si, dado cualquier , existe un ,tal que para , la diferencia

es menor en valorabsoluto que , entonces se diceque es el límite de para

(Boyer, 1999, p. 696).

En el siglo pasado se sustituye la deWeierstrass por , notación que en laactualidad se suele considerar en todoslos manuales de Análisis Matemático,aunque desde un análisis didáctico sedescubren variaciones bastante notorias(sobre ellas estamos trabajando). Lasiguiente definición está tomada deMichael Spivak (1981, p. 110):

La función tiende hacia el límite len significa: para todo existealgún tal que, para todo x, si

, entonces

Otra variante consiste en escribir laprimera desigualdad como un entornoreducido de radio centrado en a, y lasegunda como un entorno de radio centrado en l. Definiciones parecidaspueden verse en otros autores, comoApostol (1989); Courant y Robbins (1964);García y otros (1993); Larson, Hostetler yEdwards (1998); Linés (1983); Rudin(1980); Thomas y Finney (1998). Sinembargo, ninguno postula una definiciónigual a la que se describe a continuacióny, como es lógico, no se utiliza nada similarpara establecer las propiedades de loslímites. El Anexo 2 muestra un par deejemplos de aplicación pero, siguiendoeste modelo, no creemos que losposesores puedan tener dificultades paraprobar todas las propiedades que sueleninstaurarse en el primer curso de análisismatemático de la mayor parte de lastitulaciones universitarias.

Se puede hablar de una cuarta etapa, enel siglo XX, que tiene como característica

ε ηo

0 < η < ηo

ε

ηδ

ε > 0δ > 0

ε

δ

la generalización a otros espaciosmatemáticos. Esto permitiría afirmar quela concepción de límite es topológica y,como es lógico, en dichos espacios laformulación es diferente.

La evolución de la noción de límite y lasvariaciones que ha tenido en el desarrollode la matemática pone de manifiesto lodifícil que ha resultado suconceptualización. Ahora bien, todas estasconceptualizaciones surgen desde lapropia matemática, no desde la didáctica.Van orientadas hacia el rigor matemáticoy su formalismo sintáctico ha incrementadocon el avance de la matemática; sinembargo, no tienen en cuenta losaprendizajes de los alumnos.

La conceptualización con la quetrabajamos, surgida de la Didáctica de laMatemática, enlaza las concepciones deD’Alembert y Cauchy, aportando rigor a laprimera y eliminando el subjetivismo de lasegunda. Por otra parte, debe quedar claroque en ningún caso tratamos dedeslegitimar a ninguna conceptualizaciónde límite, sólo hacemos un análisis sobrelos aprendizajes de los alumnos, utilizandotanto la definición métrica de Weierstrasscomo la que formularon Blázquez y Ortega(2002), que referimos brevemente acontinuación.

El punto de partida se encuentra en las ideasbásicas de aproximación y de tendencia, quese pueden esbozar numéricamente comosigue: 1, 1.1, 1.11, 1.111, ... es una sucesiónque se aproxima a 100, mas es evidenteque no tiende a 100; sin embargo, lamisma sucesión se aproxima a 10/9 ytiende a 10/9. La diferencia estriba en que,en el primer caso, fijada una aproximaciónde 100, por ejemplo 2, no se mejora porlos términos de la sucesión; sin embargo,en el segundo caso, fi jada unaaproximación arbitraria de 10/9, distinta de

f (xo± η) − L

L f (x)x = xo

fa

0 < x − a < δ f (x) − l < ε.


El límite de la función f en x=a es Lsi para cualquier aproximación K deL, K • L , existe una aproximaciónH de a, H • a , tal que las imágenesde todos los puntos que están máscerca de a que H están máspróximas a L que a K.

Esto equivale a decir que:

El límite de la función f en x=a es Lsi para cualquier aproximación K deL, , existe un entorno reducidode a, tal que las imágenes de todossus puntos están más próximas a Lque K.

Si se emplea la significación de tendenciasestablecida antes, el límite de la función fen x=a es L si cuando x tiende a a susimágenes f (x) tienden a L.

10/9, es posible encontrar un término dela sucesión que, a partir de él, todos losque le siguen están más próximos a 10/9que la aproximación establecida.

Esta reflexión permite definir los límitessecuencial y funcional, evitando elformalismo –pero no el rigor–, elsubjetivismo de Cauchy y el supuestoimpersonalismo de Heine; los dos últimosestán todavía presentes en los manuales.Las definiciones de límite secuencial ylímite funcional que proponen Blázquez yOrtega son:

L es el límite de una sucesión sipara cualquier aproximación K deL, K • L , existe un término de lasucesión tal que todos los quesiguen están más próximos a L quea K.

K ≠ L

Figura 1.

Esto se refleja de forma directa en elgráfico de la izquierda, mientras que el dela derecha representa las dos primerasacepciones: cualquier aproximación a L(distinta de L) determina una bandahorizontal que contiene a L, y cualquieraproximación a a (distinta de a) define otrabanda vertical que contiene a a yrecíprocamente. Por tanto, fijada una

banda horizontal que contiene a L, existeuna banda horizontal que contiene a a, talque la gráfica de la función tiene queatravesar el rectángulo ADCBexclusivamente por los segmentos AB yCD. Resulta evidente que estarepresentación no está ligada al gráfico dela función y que se puede dibujar despuéso no.

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Sin renunciar a trabajar la definición métrica de Weierstrass, que dependerá del tipo deformación matemática que se persiga, Blázquez (1999) indica la conveniencia de hacerlodespués de que los alumnos hayan asimilado la conceptualización como aproximaciónóptima. Desde otra perspectiva, si ambas definiciones hacen referencia al mismoconcepto y son sus representaciones, ambas tienen que ser equivalentes; de hecho loson, como muestra la correspondencia asociativa entre las unidades significanteselementales que las constituyen:

Asociación de las unidades significantes elementales

Definición métrica

Para todo

Existe

Los x tales que

Definición como aproximación óptima

Para toda aproximación ,

Existe una aproximación ,

Los x que mejoran la aproximación H de a.

Las imágenes f (x) mejoran la aproximación K de l.

ε > 0

δ > 0

K ≠ L

H ≠ a

PRIMER ANÁLISIS

Una vez que se examinaron los documentosproducidos por los alumnos de ingenieríadurante el curso 2003, en el marcometodológico de la investigación-acción(Elliot, 1997; Kemmis y McTaggart, 1988),se constató que sus respuestas a las tareasde traducción entre ambas definiciones, yaen el segundo ciclo, fueron bastanteprecarias y no eran excesivamenteconcordantes con otras que habían dadoantes sobre aproximaciones, cotas de error,y caracterizaciones de intervalosdeterminados por aproximaciones y pordesigualdades de valores absolutos. Poresta razón, el equipo investigador creyóconveniente hacer unas entrevistas para quelos alumnos explicaran sus dificultades.

De este modo, al finalizar el curso seaplicaron tres entrevistas semiestructuradasa tres parejas de alumnos de AnálisisMatemático I, correspondiente a Ingenieríaen Alimentos. Las entrevistas versaron sobrelos siguientes contenidos: idea intuitiva delímite funcional, concepto de aproximación

y mejorar la aproximación, tendencia de unavariable, definición de límite comoaproximación óptima y definición métrica delímite. Todas se grabaron en audio y setranscribieron para efectuar su análisis.

Las entrevistas fueron realizadas por laprofesora responsable del curso, quientambién es investigadora, ya que sólo ellacumplía los requisitos enunciados porBlázquez, Ibañes y Ortega (2004) sobre lainvestigación en curso; de ellos, resaltamoslos siguientes:

• Es especialista en los contenidosmatemáticos y sabe cómo se handesarrollado los conceptos en el aula.

• Ha analizado las producciones de losalumnos, sobre las que se ha hecho elanálisis y las correspondientesreflexiones.

• Conoce las hipótesis de trabajo de lainvestigación y el estado de la misma.

0 < x − a < δ

f (x) − l < ε.


• Conoce las actitudes los alumnos, sucomportamiento en el aula, la facilidadde palabra, etc.

• Sabe cuáles son las apreciacionescontrovertidas de los alumnos que vana ser entrevistados en torno a loscontenidos que son objeto de lainvestigación.

La elección de las tres parejas se llevó acabo después de analizar las respuestasdadas por los estudiantes en cuestionariosanteriores.

De las tres entrevistas, la más interesantefue la que se hizo a Gustavo y a Jéssica,ya que mantuvo dos planteamientosdiferentes. Por una parte, trató de indagarlas ideas que tenían los alumnos sobrecada uno de los contenidos anteriores, susdificultades y preferencias; por otra, laprofesora-investigadora intentó cerciorarsede que los alumnos llegaban a entendercada uno de los contenidos. La entrevistaa cada una de las partes terminó cuandola profesora-investigadora tuvo laseguridad de que los entrevistadosllegaron a expresar el conceptocorrespondiente (de hecho, se produjo unaprendizaje social). Las tres entrevistasfueron revisadas por el director de lainvestigación y el análisis se hizoconjuntamente.

La entrevista a Gustavo y a Jessicapresentó 315 intervenciones, que sedistribuyeron de la siguiente forma:

• Para la idea intuitiva de límite, 14: 7 dela profesora y 7 de los alumnos.

• Para el concepto de aproximación ymejorar la aproximación, 15: 6 de laprofesora y 7 de los alumnos.

• Para el de tendencia de una variable,12: 6 de la profesora y 6 de los alumnos.

• Para la definición de límite comoaproximación óptima, 29: 14 de laprofesora y 15 de los alumnos.

• Para la definición métrica, 246: 122 dela profesora y 124 de los alumnos.

Por razones de espacio, sólo mostramosalgunas intervenciones de la entrevista, apartir de las cuales se desprenden lassiguientes reflexiones: la primeraindicación, acerca de la mayor o menordificultad que pueden presentar ambasconceptualizaciones para los alumnos,viene dada por el número deintervenciones hasta que los entrevistadosllegan a expresar la correspondienteconceptualización, ya que es un reflejo delesfuerzo que necesitan para elaprendizaje.

Con tal criterio, de los cinco tópicosabordados en la entrevista, el más sencillofue el de tendencia de una variable,seguido del tocante a idea intuitiva delímite y el de aproximación y mejorar laaproximación, mientras que los másdifíciles correspondieron a definición delímite como aproximación óptima ydefinición métrica de límite. Este últimoresultó muy complicado, ya que talindicador requiere entre tres y cuatrointervenciones de los tópicos anteriores.

Referente a la conceptualización comoaproximación óptima, durante la entrevistase percibió que estos alumnos tuvieronserias dificultades para interpretar mejorarcualquier aproximación distinta del propiolímite y, en principio, consideraron que essuficiente que se aproxime, pero soninsignificantes en comparación con las quese descubren en la conceptualización

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métrica. En ésta, destacan las asociadasal formalismo de la escritura, las deinterpretación del simbolismo algebraicorelacionado a la función valor absoluto y alas desigualdades –descritas en lassecuencias de la entrevista que sereproducen–, las de la implicación depertenencia o inclusión, la confusión de lospapeles de y . Además, creemos queson considerables las de dependencia de respecto de ,en mayor grado, yrespecto del punto y de la función, enmenor, aunque aquí no están tratadas.

A lo largo de la entrevista afloraron lasdificultades asociadas a la semántica delestatus conceptual y a los procesos depensamiento matemático que, segúnSocas (1997, pp. 127-133) “se ponen demanifiesto en la naturaleza lógica de lasmatemáticas y en las rupturas que se dannecesariamente en relación con los modosde pensamiento matemático”. En primerlugar, si ya es conflictiva la interpretación dela función valor absoluto y hay dificultadessemánticas del estatus conceptual, alasociarla con las desigualdades implícitasen la conceptualización, el problema resultaaún mayor y surgen las rupturas que sedetectaron en las entrevistas. En segundolugar, la traducción de estas desigualdadessimbólicas a los intervalos asociados y sucorrespondiente expresión verbal sondificultades añadidas, de ahí que vuelvana producirse nuevas rupturas en los modosde pensamiento matemático.

Tal situación se manifiesta en la siguientesecuencia de la entrevista sobre ladesigualdad , y que transcurreconsiderando al soporte gráfico como larepresentación que coordina lastraducciones entre los sistemas simbólico,verbal y gráfico. Las intervenciones seindican con G (Gustavo), J (Jéssica) y P(Profesora):

εδ

ε δ

f (x) − L < ε

81. J: Bueno, épsilon sería… tendremosun épsilon acá y un épsilon acá. Estoes épsilon más, menos L y épsilonmás L.

Y continúa con las siguientesintervenciones, que no son las últimas alrespecto:

117. G: Para mí, el épsilon está de L hastael punto que yo tomo del entorno, osea, éste sería el épsilon…

118. P: Bien (comentario: Gustavo marcabien el épsilon) ¿Te das cuenta,Jéssica?

119. J: Sí.

120. P: Épsilon es la distancia que va deacá hasta acá, y es la misma que vade acá hasta acá. Entonces, si a esteL le sumas épsilon te queda L másépsilon…

121. J: Sí.

122. P: ¿Y éste de acá?

123. J: Épsilon menos L.

124. P: ¿Épsilon menos L?

125. J : No, más, porque si esto esépsilon…

126. P: Esto es épsilon, ¿no? Gustavo dijoque es épsilon, que es lo mismo queesto que está acá. Bueno, si a estepunto, L, le sumo épsilon obtengoeste otro (Y lo señala).

127. J: ¡Bien! Y a L le resto épsilon.

128. P: ¡Ajá! Si a L le resto épsilon, ¿quépunto es?


129. J: Épsilon, épsilon menos L.

130. P: L menos épsilon, ¿está bien? Alrevés, L menos épsilon.

131. J: ¡Claro! Esto es épsilon más L4…

132. P: Esto es L más épsilon y esto es Lmenos épsilon, ¿te das cuenta de ladiferencia?

133. J: Sí.

Sin embargo, esta dificultad persiste, comoindica la siguiente intervención, que seproduce después:

277. J: También delta menos a5 .

En el caso de hay queañadir la di f icul tad que supone lainterpretación de entorno reducido, queno es tan simple como puede parecer, atenor de la reincidencia de Jéssica ensus intervenciones. Al tocarse este tema,Jéssica afirma que la notación anteriorexpresa dicho entorno, mas esto nobasta, ya que para que realmentecomprenda su significado debe saber elpapel que juega cada elemento de laexpresión.

142. P: ¿El centro de qué?

143. J: Del entorno.

144. P: Muy bien. ¿De qué entorno?

145. J: Reducido.

Considera y , en lugar de y .Intercambia la aritmética entre L y no las distingue

porque no capta la significación de la desigualdad del valor absoluto, y su error persiste.

Sigue el mismo error de intercambio de la aritmética, en este caso entre y a.

Se evidencia que la interpretación del entorno reducido es una dificultad añadida al simbolismo .

4

5

La profesora-investigadora quiere indagar sirealmente Jéssica hace una interpretacióncorrecta de su significado, o sólo parafraseaa Gustavo. Efectivamente, las sospechasacerca de las dificultades asociadas a esteconcepto se confirman en las intervencionessiguientes, que tienen su desenlace hastala 195. Transcribimos las últimas:

185. J: Ahí voy a tener igual a cero.

186. P: Entonces, ¿cuál es el caso en quevalor absoluto de x menos a es cero?¿Cuándo qué?

187. J: Cuando el valor de x sea mayor quea6.

188. P: No, mayor no.

189. J: Igual que a.

190. P: Igual que a, ¿está bien? Si yo pongoacá cero igual, la única posibilidad esque x tiene que ser igual a a.

191. J: Hum…, hum…

192. P: Si yo ahora pongo cero menor quevalor absoluto de x menos a, ¿quépasa?

193. J: Cero menor que valor absoluto de xmenos a….

194. P: Tengo que sacar este caso.

195. J: Tengo que exceptuar, por eso, notengo igual porque exceptúo este casoen que a sea igual a x.

6

δ

0 < x − a < δ

ε − L ε + L L −ε L + ε

0 < x − a < δ

ε

Relime200

Debido a las enormes dificultades holísticasidentificadas en los procesos de pensamientomatemático que tienen los alumnos sobre elformalismo de la definición métrica,asociadas a las unidades significantes delvalor absoluto, la profesora-investigadoraoptó por no tratar en la entrevista ladependencia de respecto del punto, nirespecto de la función, ni respecto de ,cuyos aprendizajes están siendoinvestigados en la actualidad. Sin embargo,cabe resaltar que tales obstáculos noaparecieron en la secuencia de la entrevistaque correspondió a la definición de límitecomo aproximación óptima –que no sereproduce en este trabajo–, pues los alumnosexplicaron la significación de las unidadessignificantes con cierta elocuencia.

SEGUNDO ANÁLISIS

En este segundo trabajo se pretendíaconocer hasta qué punto los alumnos delCurso de Aptitud Pedagógica (CAP) erancapaces de aplicar conceptualizaciones parademostrar dos teoremas sencillos: el del signoy el de unicidad (ver Anexos 1 y 2). Con tal fin,se dio un test a un grupo de egresados de laUniversidad de Valladolid, pensando quedurante sus estudios sólo habían ocupado laconceptualización métrica; dicho supuesto fueconfirmado por las respuestas que escribieronen el test. Por esa razón, se les ofrecieron dosejemplos de aproximación, como hechosincuestionables, que podían aplicar: que 0 esuna aproximación de cualquier número y queun punto interior a un segmento es unaaproximación de sus extremos.

Este pequeño test constó de dos fases: en laprimera, sin ninguna ayuda externa, losalumnos tenían que demostrar el teorema delsigno y el de unicidad, aplicando las dosconceptualizaciones, mientras que en lasegunda debían explicar la dificultad de estasdemostraciones.

εδ

Para poder valorar la validez de lasrespuestas emitidas, describiremos lacomposición del aula y la dinámica dela prueba. La especialidad dematemáticas del CAP, de la Universidadde Valladolid, fue cursada por 49alumnos de varias licenciaturas: 12alumnos eran licenciados enMatemáticas (11 hicieron el test), 22 enIngeniería (1 de ellos no respondió eltest), 4 en Física, 8 en Estadística, 2 enEmpresariales y 1 en Económicas.

En España, el CAP es un requisitonecesario para poder ingresar al cuerpode profesores de educación secundaria.Si bien los egresados de la licenciaturaen Matemáticas pueden ser los másadecuados para opositar, tambiénpueden aplicar los de otras carreras. Portanto, hay que contemplar a estostitulados como posibles candidatos, yaque de no hacerlo se caería en unavisión sesgada por contemplar sólo unaparte de los posibles profesores deeducación secundaria.

Para la primera fase se les distribuyó eltest a los alumnos (Anexo 1) y se lesdio tiempo hasta que lo terminaran (bienporque lo hicieron entero, o porque nosabían qué hacer). Luego, el profesorescribió en la pizarra dosdemostraciones de cada uno de losteoremas, donde aplicó las dosconceptualizaciones y util izó losregistros simbólico-algebraico,gráfico y verbal (en el Anexo 2 sólo sereproducen los correspondientes a laconceptualización como aproximaciónóptima, pues las demostracionesderivadas de la definición métricaaparecen en cualquier manual). Acontinuación, se les pidió a los alumnosque compararan en cada caso las dospruebas y escribieran cuál les parecíamás sencilla y porqué.


De los 48 alumnos presentes en el aula, 47 respondieron el test. La Tabla 1 muestra susresultados globales, considerando las dos fases.

Conceptualización

Métrica

Aprox. Óptima

Totales

Teorema del signo Teorema de unicidad Totales

Bien Mal Pref. Bien Mal Pref. Bien Mal Pref.

13

16

29

34

31

65

6

41

47

8

6

14

39

41

80

4

43

47

21

22

43

73

72

145

10

84

94

De entrada, llamó nuestra atención elporcentaje tan alto de titulados que nofueron capaces de aplicar lasconceptualizaciones para hacer lasdemostraciones propuestas, sobre todo alutilizar la definición métrica, ya que ladebieron haber aprendido y empleadodurante su formación universitaria. Sólo el27.66% hizo la demostración del primerteorema aplicando la conceptualizaciónmétrica, mientras que el 17.02% realizó laprueba del segundo teorema, utilizando lamisma definición.

Los resultados positivos globales fueronligeramente mejores cuando se aplicó lasegunda conceptualización (22 resultadospositivos frente a 21), aunque en elsegundo teorema fueron peores. Esto sedebió a que los alumnos no habían recibidoninguna instrucción acerca de la segundaconceptualización, no la conocían y, portanto, nunca la habían aplicado paracomprobar. La única referencia que teníande ella fue la indicación sobreaproximaciones que figuró en el test, ycreemos que tal situación habla por sí solaen favor de esta definición en formaincuestionable.

Respecto a las posiciones que mostraronlos egresados sobre las posibles

Tabla 1 . Resultados globales del test.

dificultades para aplicar una u otraconceptualización en cada una de lasdemostraciones, fue claro que los tituladospiensan que son más sencillas lasaplicaciones de la conceptualización deaproximación óptima. Hubo una mayoríadel 87.23% para la demostración del primerteorema y del 91.49% para la del segundo.

En la Tabla 2 se han distribuido por carreraslas respuestas positivas en las pruebas deambos teoremas y sus preferencias. Losmejores resultados al aplicar laconceptualización métrica corresponden alos licenciados en Matemáticas, siendo el72.73% en ambos teoremas, pero no sucedelo mismo al trabajar con la definición comoaproximación óptima (54.55% y 18.18% enel primer y segundo teorema,respectivamente).

Resulta evidente que en esta licenciatura sehace un estudio más formalista que en otras,donde se invierten los porcentajes. Porejemplo, los licenciados en Física, al aplicarla definición como aproximación óptima enel primer teorema, alcanzaron el 75%,mientras que el 18.18% de los titulados enIngeniería aplica bien la definición comoaproximación óptima para demostrar elsegundo teorema, alcanzando el mismoporcentaje que los matemáticos.

Relime202

Tituladosen

Matemática

Ingeniería

Física

Estadísticas

Econ-Emp

Totales

Teorema 1 Teorema 2

Tabla 2 . Resultados del test por licenciaturas.

Métrica

8

2

2

1

0

13

6

5

3

2

0

16

2

2

1

0

1

6

Aprox.Ópt.

Pref.Métric.

Pref. ApÓpt.

9

19

3

8

2

41

Métrica

8

0

0

0

0

8

2

4

0

0

0

6

2

2

0

0

0

4

Aprox.Ópt.

Pref.Métric.

Pref. ApÓpt.

9

19

4

8

3

43

En cuanto al criterio sobre la sencillez deaplicación, todos los egresados opinaronque son más sencillas las demostracionesque se derivan de aplicar laconceptualización de aproximación óptima:87.23% frente a 12.76% para el primerteorema, y 91.49% frente a 8.51% para elsegundo.

Las declaraciones indicadas por losegresados sobre qué demostraciones eranmás sencillas tienen su fundamento en lasjustificaciones que dieron. Su análisis nosva a esclarecer en qué se fijan para afirmarque las demostraciones basadas en lasaplicaciones de la conceptualización delímite como aproximación óptima son mássencillas que las establecidas en ladefinición métrica, y cuáles son las razonespara afirmar lo contrario. A continuación,describiremos estas consideraciones:

Para 16 alumnos, las demostraciones quese derivan de la conceptualización comoaproximación óptima son más sencillasporque carecen de formalismo o son menosformales. El 21.28% de los alumnos opinanlo mismo, pero opinan que estasdemostraciones son más intuitivas o tienenmás sentido común. Así por ejemplo,Yolanda, licenciada en Matemáticas, afirma:

Siempre es más fácil laconceptualización como aproximaciónóptima porque no usa formalismos, sinomás la intuición y el sentido común.

Un 25.53% de los egresados argumentóque son más sencillas porque se entiendenmejor o porque son más claras o menosfarragosas, mientras que un 27.66%resaltó la mayor sencillez de estasdemostraciones porque son más fáciles deentender. Como ejemplos, citamos lossiguientes:

La segunda demostración es menosformal, por tanto, menos farragosapara los alumnos y aunque su nivelde razonamiento va en aumento, venmejor lo menos formal. La primeralleva mucho más formalismo y sueleser más complicada de entender(Ruth, ingeniera agrónoma).

Me han sorprendido mucho lasdemostraciones basadas en laaproximación óptima por no estaracostumbrado a ellas, supongo quepara los alumnos de enseñanzasecundaria lo vean más claro de estaforma (José Javier, licenciado enEstadística).


Hacer las demostraciones sinformalismo me resulta más fácil deentender (Rosa María, licenciada enMatemáticas).

Como es natural, algunos licenciadosjustificaron su elección, señalando más deuna razón:

La segunda es más fácil deentender, pues exige tener menosconocimientos teóricos. Es muchomás fácil de seguir por los alumnosy más fácil de aplicar (Luis Alberto,ingeniero industrial).

La segunda es mucho más sencillaporque se entiende mucho mejor yno usa tecnicismos que los alumnosno van a entender. Es mucho máscercana a la inteligencia de losalumnos (Olga, l icenciada enEstadística).

Otros egresados afirmaron que estasdemostraciones son más sencillas poralguna de las siguientes causas: porqueel razonamiento es más sencillo, porqueno es necesario tener soltura con ellenguaje matemático, porque son másexplicativas o fáciles de explicar, o bienporque se puede imaginar la solución.

Es mejor trabajar la segunda porqueaplica los conceptos directamente,sin tener que usar el lenguaje formalde las matemáticas (Juan Carlos,licenciado en Físicas).

Un grupo se refirió indistintamente a laconceptualización de límite comoaproximación óptima y a las demostracionesque aplican esta conceptualización, yaseguró que son más sencillas por estasrazones: tiene el mismo rigor, es más visualy no introduce otros conceptos. Finalmente,otro grupo numeroso de alumnos, que se

fijó exclusivamente en la conceptualización,dijo que es más sencilla porque es más útily eficaz, requiere menos capacidad deabstracción, no se olvida fácilmente o es másventajosa por su facilidad de aplicación.

En resumen, la mayor parte de losegresados dijo que es más sencilla laconceptualización basada en laaproximación óptima, argumentandorazones muy diferentes que, sin duda,pueden considerarse como rasgoscaracterísticos facilitadores del aprendizajede la conceptualización.

Ya se ha dado cuenta de que muy pocosalumnos afirmaron que las demostracionesbasadas en la conceptualización métrica sonlas más sencillas. La mayor parte de estoslicenciados (sólo representan el 12.76% deltotal) esgrimió como única razón que esteha sido el único procedimiento que hanutilizado durante su carrera y es al que estánhabituados. Por ejemplo, María Teresa,ingeniera en Telecomunicaciones, señala:

Para mí es más sencilla laconceptualización métrica, ya quetodas las demostracionesestudiadas hasta ahora han sido deese modo.

Una matemática, Isabel, indicó que esmenos abstracta. A nuestro juicio, estadeclaración es totalmente errónea y sólomerece una consideración testimonial.

Finalmente, algunos egresados emitieronjuicios de valor contrarios al aprendizaje dela definición métrica. Por ejemplo, Rosario,ingeniera de Telecomunicaciones, asevera:

La definición métrica se aprende dememoria y se olvida fácilmente.

Por su parte, Yolanda, egresada enMatemáticas, apunta:

Relime204

Para poder usar la conceptualizaciónmétrica hace falta tener ya una solturacon el lenguaje matemático.

En definitiva, muy pocos egresadosopinaron que la conceptualización métricaes más sencilla. La única razón quepresentan se basa en el hábito de lacostumbre, ya que el resto de susargumentos son negativos.

CONCLUSIONES

Tras el análisis de la entrevista quedó claroque para los alumnos de Ingeniería laconceptualización como aproximaciónóptima, aunque tiene su mayor dificultaden la interpretación de “mejorar cualquieraproximación”, son menores que losproblemas de la conceptualización métrica,ya que su formalismo les impide entenderel significado y se enfrentan a mayoresobstáculos al interpretar las desigualdadesde los valores absolutos.

Por otra parte, los egresados comprendenmejor la conceptualización basada en laaproximación óptima que en la métrica.Además, creen que es más útil y eficaz;que requiere de menos capacidad deabstracción; que no se olvida tanfácilmente; que es más ventajosa por sufacilidad de aplicación, y que los alumnosla entenderían mejor.

En el caso de la conceptualización comoaproximación óptima, los egresadostuvieron serias dificultades para interpretar“mejorar cualquier aproximación distintadel propio límite” y, en principio, consideranque “es suficiente que se aproxime”. Sinembargo, estos problemas soninsignificantes respecto a los que sedescubren en la conceptualización métrica,como los asociados al formalismo de laescritura, la interpretación del simbolismo

algebraico vinculado a la función valorabsoluto y a las desigualdades, laimplicación de pertenencia o inclusión, laconfusión de los papeles de y . Deigual manera, creemos que también sonconsiderables los problemas dedependencia de respecto de ,enmayor grado, y respecto del punto y de lafunción, en menor medida, aunque aquíno están tratados.

Los alumnos del CAP también opinaronque la aplicación de la conceptualizacióncomo aproximación óptima para explicarlos teoremas es más útil, que susdemostraciones son más sencillas, másintuitivas o tienen más sentido común,además de que se entienden mejor. Yjustifican estas preferencias porque lasdemostraciones por aproximación óptimason más claras o menos farragosas;carecen de formalismo o son menosformales; el razonamiento resulta mássencillo; no es necesario tener soltura conel lenguaje matemático; son másexplicativas o más fáciles de explicar; sepuede imaginar su solución; tienen elmismo rigor; son más visuales o porqueno introducen otros conceptos.

En resumen, la conceptualización basadaen la aproximación óptima debe ser másapta para los aprendizajes inicialesuniversitarios de análisis matemático que laconceptualización métrica. Las razones quese han indicado pueden considerarse comorasgos característicos facilitadores delaprendizaje de la primera conceptualización,en oposición a las dificultades asociadas alformalismo de la definición métrica.

Por otra parte, se percibe una mayor defensade la conceptualización métrica en losegresados que más la han utilizado y, enprimera instancia, parece que se produce elefecto túnel, lo cual nos lleva a pensarque el profesorado será más reacio

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a utilizar esta conceptualización. Tal problemática no se ha investigado, es un problemaabierto y deberá ser tratado en el futuro.

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Sonsoles BlázquezTomás OrtegaDepartamento de Análisis Matemático y Didáctica de la MatemáticaUniversidad de Valencia, España

E-mail: [email protected]

Stella N. GaticaJulio BenegasFacultad de Ingeniería y Ciencias Económico-SocialesUniversidad Nacional de San LuisVilla Mercedes, Argentina

E-mail: [email protected]

Relime

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) − L < ε.

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Ejemplos de aproximaciones: 0 es unaaproximación de cualquier valor. El puntomedio de un segmento es unaaproximación de sus extremos.

Conceptualizaciones de límite de unafunción en un punto.

Conceptualización métrica: L es el límitede la función f en el punto a si se verifica que

Conceptualización como aproximaciónóptima: L es el límite de la función f en elpunto x=a si se verifica que para cualquieraproximación K de L, existe unentorno reducido de a ta l que lasimágenes de todos sus puntos mejorandicha aproximación.

K ≠ L

Demostrar los dos teoremas que seenuncian a continuación utilizando lasdos conceptualizaciones.

Teorema 1: Si el límite, L, de una función enun punto, x=a, es positivo, existe un entornoreducido de a en el que la función es positiva.

1. Demostración utilizando la primeraconceptualización.

2. Demostración utilizando la segundaconceptualización.

Teorema 2. El límite de una función en unpunto, si existe, es único.

3. Demostración utilizando la primeraconceptualización.

4. Demostración utilizando la segundaconceptualización.

ANEXO 1

Apellidos y nombre:Licenciatura:

ANEXO 2

Demostración del primer teorema. Por serL>0 el límite en x=a, considerando que 0 esuna aproximación de L, existirá un entorno

reducido de a tal que la imagen de todos suspuntos mejorará dicha aproximación y, portanto, todas sus imágenes serán positivas.

La explicación verbal utiliza el soporte gráfico de la Figura 2.


Demostración del segundo teorema.Considerando que tuviera dos límitesL y L’ diferentes en x=a. En el supuesto deque L<L’ , como el punto medio,M= (L+L’ ) / 2, es una aproximación de L yde L’ , aplicando la conceptualización,existe un entorno reducido de a tal que las

imágenes de todos sus puntos mejorandicha aproximación (tanto a L como a L’ )y, por tanto, todas esas imágenes tienenque ser mayores y menores que M. Enconsecuencia, es falso que L<L’ .Análogamente, también resultaría ser falsoque L’<L y, en consecuencia, L=L’ .

La explicación verbal utiliza el soporte gráfico y se atiende individualmente a cada unode los supuestos límites, con un entorno reducido para cada uno. El menor de ellosserviría para los dos.

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