Una introducción al álgebra lineal y sus aplicaciones
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Una introducción al álgebra lineal y sus aplicaciones
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Muñoz Chipatecua, Edwin Fernando
Una introducción al álgebra y sus aplicaciones / Edwin Fernando Muñoz Chipatecua. Bogotá : Universidad Piloto de Colombia, 2021
130 páginas.
Incluye referencias bibliográficas
ISBN: 9789585106352
ALGEBRA LINEAL
CCD 512.5
Presidente: Olinto Eduardo Quiñones Quiñones
Rectora: Ángela Bernal Medina
Director de Publicaciones y Comunicación Gráfica: Rodrigo Lobo-Guerrero Sarmiento
Director de Investigaciones: Mauricio Hernández Tascón
Coordinador de Publicaciones: Diego Ramírez Bernal
© Una introducción al álgebra lineal y sus aplicaciones
Autor: Edwin Fernando Muñoz Ch
ISBN: 978-958-5106-35-2
Primera edición, 2021. Bogotá, Colombia
Coordinadora de Publicación: Catalina Moreno Correa
Diseño y diagramación: María Paula Martín
Atribución - No comercial - Sin derivar: esta licencia es la más restrictiva de las seis licencias principales, solo permite que otros puedan descargar las obras y compartirlas con otras personas, siempre que se reconozca su autoría y al sello editorial pero no se pueden cambiar de ninguna ma-nera ni se pueden utilizar comercialmente.
La obra literaria publicada expresa exclusivamente la opinión de sus respectivos autores, de manera que no repre-sentan el pensamiento de la Universidad Piloto de Colombia. Cada uno de los autores suscribió con la Universidad una autorización o contrato de cesión de derechos y una carta de originalidad sobre su aporte, por tanto, los autores asumen la responsabilidad del contenido de esta publicación.
En memoria de mi amada madre.
A mi familia.
Agradezco en primera instancia a la Universidad Piloto de Co-lombia por la oportunidad de registrar en este documento mis conocimientos, ideas y experiencias adquiridas en mis años como docente del Área común de matemáticas y por las afor-tunadas ocasiones que he impartido la asignatura de Álgebra lineal. Mis agradecimientos se extienden al profesor Carlos Garzón por la oportunidad brindada y la colaboración al per-mitirme materializar un sueño, y a la profesora María Angélica García por su apoyo en este proceso. Envío un agradecimiento muy especial a los docentes del Área común de matemáticas por compartirme sus conocimientos y cada uno de los aportes que enriquecieron mi trabajo. Finalmente, quiero agradecer a los docentes que realizaron sus revisiones técnicas, pues cada una de sus contribuciones me permitieron ver más allá de lo que en una primera ocasión había quedado registrado, siem-pre en aras del mejorar.
Agradecimientos
Edwin Fernando Muñoz Chipatecua
Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales
Capítulo 2. Matrices
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Ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
Métodos de solución de sel de tamaño 2 × 2
Análisis gráfico
Métodos algebraicos
Aplicaciones
Programación lineal: un enfoque geométrico
Regresión lineal (cálculo de los coeficientes del modelo de regresión)
Fracciones parciales (cálculo de las fracciones parciales)
Física: diagramas de cuerpo libre
Ejercicios
Tipos de matrices
Operaciones matriciales
Inversa de una matriz
Cálculo de la inversa de una matriz por reducción de renglones
Cálculo de la inversa de una matriz 2×2 por la adjunta
Contenido
Capítulo 3. Determinantes
Referencias
Capítulo 4. Métodos matriciales en la solución de sistemas de ecuaciones lineales
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Determinantes
Propiedades
Cálculo de la inversa de una matriz n× n por la adjunta
Aplicaciones
Criptograma
Ejercicios
Métodos matriciales
Solución de sel por el método de eliminación de renglones (Gauss-Jordan)
Solución de sel por el método de Gauss
Solución de sel por Cramer
Solución de sel por la matriz Inversa
Ejercicios
Aplicaciones
Matriz varianza: covarianza y matriz de correlaciones
Grafos
Ejercicios
Introducción
Enfoque general y prerrequisitos
En este libro, Una introducción al álgebra lineal y sus aplicaciones, el autor tiene como objetivo presentar una propuesta inno-vadora, tanto para el docente como para el estudiante de la asignatura de álgebra lineal, para que sirva como apoyo en el proceso de enseñanza-aprendizaje al fortalecer la clase teórica impartida en el aula de clase, brindar un esquema de conteni-do temático, y aplicar técnicas y estrategias didácticas para la enseñanza basadas en el uso de la tecnología, como es el caso del trabajo con GeoGebra.
Por lo anterior, en este texto se presentan un total de 91 ejem-plos distribuidos en cada una de las secciones. Estos se desa-rrollaron paso a paso y están acompañados por explicaciones precisas implementando gráficas, cuando así lo requieran. Igualmente, cada capítulo se complementa con teorías a par-tir de un conjunto conformado por definiciones, teoremas y propiedades establecidas alrededor de los temas introducto-rios del álgebra lineal, los cuales corresponden a la enseñanza media superior, accesible a nuestros lectores. Asimismo, se propone una sección de ejercicios en cada capítulo para que los estudiantes los desarrollen. Por último, y debido a la gran aplicabilidad de los temas propios de la asignatura en numero-sas disciplinas, el autor presenta en cada capítulo una sección con aplicaciones en áreas como estadística, probabilidad, in-vestigación de operaciones, economía, entre otras.
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Contenido y planeación del curso
Una introducción al álgebra lineal y sus aplicaciones es un libro diseñado para un curso introductorio de la asignatura Álgebra lineal, la cual dura un se-mestre. Por tal razón, el autor propone un plan de trabajo tal que, en el “Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones lineales”, los estudiantes tengan un acercamiento al planteamiento de sistemas de ecuaciones y su solución por medio de métodos algebraicos; además de su análisis geométrico. Poste-riormente, en el “Capítulo 2. Matrices” se incluye el concepto de matriz, sus propiedades y operaciones, y se hace énfasis en la representación matri-cial de un sistema lineal de ecuaciones. En el “Capítulo 3. Determinantes” se realiza un trabajo arduo en la definición del concepto de determinante y el tecnicismo que permite su cálculo, así como de las propiedades y la rela-ción con la solución de sistemas de ecuaciones lineales con métodos como Cramer y la matriz inversa. De esta forma, se crea un vínculo que se amplía en el “Capítulo 4. Métodos matriciales en la solución de sistemas de ecua-ciones lineales”, pues en este se relacionan los métodos no algebraicos en la solución de sistemas de ecuaciones de diferentes tamaños y caracterís-ticas. Con lo anterior, se abordan los temas básicos del algebra matricial.
Uso de GeoGebra
Particularmente, temas como el análisis geométrico de las soluciones de siste-mas de ecuaciones lineales, vectores, rectas y planos en el espacio, aplicacio-nes de optimización, entre otros requieren de un análisis gráfico y, por tanto, de un instrumento de fácil acceso, didáctico e interactivo. En esta oportunidad se considera el uso de GeoGebra como el software matemático de preferen-cia; además de ser una aplicación libre, cuyo uso es permitido para comercia-lización, como se cita en la página oficial https://www.geogebra.org/license, está disponible en múltiples plataformas, lo que lo hace accesible.
Con el objetivo de definir los conceptos de ecuación lineal y sistema de ecuaciones lineales se considera la siguiente situa-ción problema:
La ciudad A se ubica a una distancia de 300 km de la ciudad B. Un automóvil sale de A hacia B a una velocidad de 85 km/h. Al mismo tiempo, un segundo auto sale de B hacia A con una velocidad de 90 km/h. Se supone la velocidad de ambos auto-móviles es constante. Teniendo en cuenta lo anterior, calcule el tiempo y la distancia que requieren cada uno hasta el mo-mento en el que se encuentran.
El primer paso para resolver el problema consiste en reescri-birlo en lenguaje matemático. Según los datos del problema, se tomará a x como la distancia que recorre el automóvil que sale de A hasta el instante del encuentro, como se observa en la siguiente imagen:
300km
300 – x90km/h85km/h
x
Punto de encuentroA B
Figura 1.1. Representación gráfica del problema.
Capítulo 1 . Sistemas de ecuaciones lineales
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Ahora, de acuerdo con la ecuación de velocidad, v= , siendo e el espacio recorrido, v la velocidad y t el tiempo, se tiene que x=v ∙ t, lo que para los datos del problema permite establecer dos ecuaciones de movimiento, una para cada automóvil.
Automóvil Ecuación de movimiento
En dirección a B x= 85 ∙ t
En dirección a A 300 – x=90 ∙ t
De esta manera, se han propuesto dos ecuaciones que representan el movi-miento lineal de los automóviles, conocidas, cada una, como ecuación lineal y en conjunto como sistema de ecuaciones lineales. En este caso, un sistema de tamaño 2 × 2 debido a la cantidad de ecuaciones establecidas y al número de incógnitas que corresponden a la distancia recorrida x y al tiempo nece-sario para el encuentro. En general son varios los problemas que pueden ser planteados y solucionados a partir de ecuaciones lineales en diferentes ámbitos del conocimiento. De tal manera que, en el presente capítulo, se introducen los principales métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales necesarios para su aplicación futura en temas más abstractos.
Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es una expresión de la forma
a1 x1+a2 x2+...+an xn=b (1.1)
donde ai,b ∈ y los xi corresponden a las incógnitas (variables) de la ecua-ción, todas de primer grado.
Los escalares ai son los coeficientes de los xi respectivamente, y b es el término constante de la ecuación. Por tanto, es posible que dicho valor sea cero, en tal caso se conoce como ecuación lineal homogénea.
Tabla 1.1. Formulación matemática de las ecuaciones de movimiento para los automóvi-les A y B.
tx
Definición 1.1. Ecuación lineal
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la cual es una expresión análoga a la ecuación del intercepto en el eje y de la recta, y=mx+b, donde la pendiente es m= y el intercepto correspon-de a b= .
Pero, ¿qué significado tienen la pendiente y el intercepto? Para dar respuesta a la pregunta considere dos puntos en el plano definidos por las coordenadas P1=P1 (x1, y1 ) y P2=P2 (x2, y2 ) (véase la figura 1.2). Posteriormente, calcule la variación entre los puntos según su proyección en el eje y, diferencia conocida como elevación (∆y), y divida dicho valor entre la diferencia en el eje x (∆x) o el recorrido, es decir:
Una forma común de una ecuación lineal es
Ax+By=C (1.2)
donde x y y son variables reales y A,B, y C son constantes reales. Si A y B no son cero, entonces la gráfica de esta ecuación es una línea recta, siendo la anterior una de las razones por la cual recibe el nombre de ecuación lineal. Ahora, si de (1.2) se despeja la variable y, se tiene
Considerándose, entonces, como la razón de cambio de la elevación res-pecto al recorrido y según el resultado obtenido se puede clasificar como pendiente: nula, indeterminada, positiva o negativa (véase la Tabla 1.1). El punto de corte con el eje y corresponde al lugar en el que se cortan o se encuentran la línea recta y el eje 0Y o el eje de las ordenadas.
B
RecorridoElevación
∆x x2 – x1
m= = =∆y y2 – y1 . (1.4)
–BA
C
B BAy=– C x+ (1.3),
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Ejemplo 1.1. Caracterización de una ecuación lineal
Sea la ecuación lineal –2x –3y= 4. Encuentre la pendiente y el intercepto
con el eje y.
Considere a A= –2, B= –3 y C= 4. Por tanto, la pendiente
Ejemplo 1.2. Caracterización de una ecuación lineal
Dada la expresión 4x + 5y – 6= 0 encuentre la pendiente y el intercepto con
el eje y de la recta que caracteriza dicha ecuación.
3=– 2 y b= .= =–BC
�34
34
Figura 1.2. Pendiente e intercepto de una línea recta.
Solución:
A continuación, se presenta un ejemplo referente al uso de la ecuación (1.3).
Bm=– A =– –3–2
el punto de corte con el eje y, el intercepto es
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Solución:
En esta oportunidad se considera a A=4, B=5 y, debido a que la expresión se encuentra igualada a cero, el valor del coeficiente C corresponde a 6; de tal
manera que, la pendiente m=– y el punto de corte con el eje y es54 b= .
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(a) Pendiente nula (b) Pendiente indeterminada
Tabla 1.2. Caracterización de la recta según la pendiente.
(c) Pendiente negativa (d) Pendiente positiva
y1 = y2 = y, entonces m= = 0.y–y
x2– x1x1 = x2 = x, entonces m= = ∄.
y2 – y1
x– x
> 0.m=y2 – y1
x2– x1< 0.m=
y2 – y1
x2– x1
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De acuerdo con la ubicación de los puntos y a la aplicación de (1.4) se tiene que (a) línea recta con elevación cero; por tanto, la pendiente es nula (b) el recorrido corresponde a cero; lo que implica una pendiente indeterminada y la recta vertical (c) pendiente negativa, recta decreciente y (d) pendiente positiva, recta creciente.
Ejemplo 1.3. Caracterización de una ecuación lineal
Graficar la línea recta que se relaciona con la ecuación del ejemplo 1.1, teniendo en cuenta su pendiente y punto de corte.
Solución:
Teniendo en cuenta la ecuación lineal –2x – 3y = 4 con pendiente m=–
y el punto de corte con el eje y, es b= –
ta dicha expresión es decreciente y por cada tres unidades de recorrido la
misma desciende dos unidades. Finamente, cruza por y=–
≈ –0.67
≈ –1.33. La recta que represen-
cuando x=0;
es decir, el punto de corte está caracterizado por la coordenada
Figura 1.3. Caracterización de una ecuación lineal.
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0, – .34
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Graficación de ecuaciones lineales
En la interfaz de usuario de GeoGebra aparece por omisión la barra de entrada, en la cual se realiza el ingreso de funciones, expresiones algebrai-cas, entre otros. En primera instancia, a manera de ejemplo, ingrese las expresiones y = 2x+1, y = –2x+3 e y = 4, obteniendo como resultado las respectivas líneas rectas:
Figura 1.4. Graficación de ecuaciones lineales en GeoGebra.
Una herramienta didáctica que ofrece GeoGebra es el uso de deslizadores, los cuales le permiten al usuario interactuar con la función y observar cambios en la gráfica dependiendo de los parámetros que la caractericen. La introducción de un deslizador se realiza desde la barra principal, en la opción herramientas básicas, y se representa por el icono .Como ejemplo, se utilizarán dos desli-zadores para graficar la línea recta: uno para la pendiente m y otro para el pun-to de corte b. Como propiedades para la pendiente se propone lo siguiente:
a=2
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Figura 1.5. Aplicación de deslizadores en GeoGebra.
Figura 1.6. Trazo de ecuaciones lineales en GeoGebra.
Lo mismo se propone para el punto de corte, a lo que se sugiere configurar el intervalo entre -5 a 5 para generar la gráfica. En esta, el usuario puede interactuar con el sintonizador de control de valores y así observar su com-portamiento en los diferentes valores de los parámetros.
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Sistemas de ecuaciones lineales
Definición 1.2. Sistemas de ecuaciones lineales
Se considera un sistema de ecuaciones lineales (sel) al conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas.
a11 x1+a12 x2+...+a1n xn=b1
a11 x1+a12 x2+...+a1n xn=b1=
am1x1+am2 x2+...+amn xn=bm
(1.5)
Donde x1,x2,…,xn son las incógnitas y los números aij∈ son los coeficien-tes del sistema.
Definición 1.3. Solución y conjunto solución de un sel
Sea un conjunto de valores de las incógnitas
x1= k1,x2= k2,…,xn=kn
una solución de (1.5), si la proposición que se obtiene sustituyendo ki por xi
a1 k1+a2 k2+...+an kn=b
es verdadera. Siendo ki el conjunto de valores que satisface la ecuación li-neal. Se notará dicha solución por la n-upla u=(k1,k2,…,kn ), conocida como conjunto solución (cs).
12 17 16 satisface el sistema de ecuaciones:25 25 25
–
Ejemplo 1.4.
Verificar que el cs u=
2x1 + x2 + 2x3 = 1–3x1 – 2x2 + 3x3= 2
2x1 – x2 + x3= –1
, ,
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17 1625
25 25 25
25 25– –2
– +
+3–3 =2
=2
2=2
12 17 1625 25 25
– – +2 =–1
24 17 1625 25 25 =–1– – +
–1=–1
12
24 17 32
17 1625
25 25 25
25 25– + +22 =1
=1– + +
1=1
Solución:
Reemplazando los valores de u en cada ecuación lineal se debe cumplir cada igualdad, tal que
Lo que verifica que u si es cs de las ecuaciones propuestas.
6x – 2y= –2–3x + 7y= –22
C.S.=(0,0)
3x1 + 7x2=02x1 – 3x2=0
C.S.= 29 2318 6
,–
sel y sus respectivos cs
Solución:
Sistema 2× 2
Ejemplo 1.5.
–
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2a + b – 3c=75a – 4b + c= –19
a – b – 4c= 4
4x1– 2x2– 6x3= 0
x1+7x3= 0
2x1–3x2= 0
Sistema 3× 3
Sistema 4×4
w – 2x + 2y – 3z= 153w + 4x – y + z= –62w – 3x + 2y – z= 17w + x – 3y – 2z= –7
3x1 + x2 +x3 = 0x1 – x2 + 4x3= 0
2x1 + 3x2 – 2x3 + x4= 0– x1 – 3x2 + x3 + x4= 0
C.S.=(2,–2,3,–1)
C.S.=(–1,3,–2)
C.S.= (0,0,0,0)
C.S.=(0,0,0)
Para los ejemplos anteriores, se deja al lector la verificación de los cs esta-blecidos en cada caso.
Notas:
1. Nótese que en cada una de las situaciones presentadas el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. Por tal motivo, los sel reciben el nombre de sistemas cuadrados, o, de lo contrario, rectan-gulares.
2. Dependiendo de la cantidad de incógnitas, el cs se conforma por n-tuplas; por ejemplo, dupla, tripla, cuádrupla, quíntupla, … n-tupla.
3. En el caso en que cada una de las ecuaciones lineales del sel se en-cuentra igualada a cero, el sistema recibe el nombre homogéneo.
Ejemplo 1.6.
sel y sus respectivos cs
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x – y – 4z= 23x + 7y + 2z= 10
3x1 + 7x2= 0x1– 3x2– x3= 0
C.S.=(2.4 + 2.6z, 0.4 – 1.4z,z) C.S.=(0.4375z, – 0.1875z,z)
Notas:
1. Los sistemas de ecuaciones aquí presentados tienen como característi-ca diferenciadora a los anteriores. El número de variables es mayor al número de ecuaciones, por tal motivo se les conoce como sel rectan-gulares.
2. Como caso particular, se observa que el cs sigue siendo n-tuplas, pero, por la naturaleza del sistema, el tipo de solución se conoce como infi-nitas soluciones y se encuentra expresado en términos de un parámetro; para los casos anteriores, el parámetro es z.
estaría caracterizado por m1=
Métodos de solución de sel de tamaño 2 × 2
Análisis gráfico
En primera instancia se realiza una revisión a los sel de tamaño 2 × 2, comenzando con el análisis gráfico del sistema, el cual permite establecer el tipo de solución resultante. Por lo anterior, y a partir de (1.3), todo sis-tema de la forma
a11 x1 + a12 x2= c1
a21 x1 + a22 x2= c2
(1.6)
conocidas sus pendientes y puntos de corte, se establecen tres tipos de so-luciones para dicho sistema: única solución, infinitas soluciones e inconsis-tente. Estas se relacionan según la tabla 1.2.
a12
, m2 =–a11
a12a22
–a21
a22
y b1= ., b1c1 c2 Entonces,
Solución:
Sistema 2× 3
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Tipo de solución Pendientes y m1 y m2 Puntos de corte b1 y b2
Única solución Diferentes Diferentes
Infinitas soluciones Iguales Iguales
Inconsistente Iguales Diferentes
Tabla 1.3. Caracterización de la solución de un sistema de ecuaciones 2×2 a partir de análisis gráfico.
Ejemplo 1.7.
A continuación, se presentan tres ejemplos en los que se puede apreciar la naturaleza de la solución del sel, según las pendientes y los puntos de corte de las ecuaciones.
Analizar el tipo de solución del siguiente sel:
x + 2y = 72x + y= 8
Solución:
De la primera ecuación se sabe que las pendientes
para la segunda. Además, los puntos de corte con el eje y son
m1= 2
–11
–2 = –0.5 y m2= =–2
respectivamente. Por tanto, ambas rectas son decrecientes con
27b1= =3.5 y
18 =8, b2=
pendientes diferentes, al igual que sus puntos de corte; lo que implica que ambas deben interceptarse en un único punto, que en esta ocasión corres-ponde al cs=(3,2), siendo esta una única solución.
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Figura 1.7. sel con única solución.
Ejemplo 1.8.
Analizar el tipo de solución del siguiente sel:
x + 2y = 72x + 4y = 14
Solución:
Se sabe que la pendiente para la primera ecuación es
para la segunda. Los puntos de corte con el eje y corres-
2–1
27
214
m1= = –0.5 y
4–2m1= = –0.5
ponden a b1= respectivamente. Lo anterior, implica =3.5 y b2 =3.5,
que ambas rectas decrecen a la misma razón, partiendo del mismo punto; por tanto, pueden ser consideradas como la misma o tal vez como dos rectas montadas una sobre la otra. Tal apreciación se puede entender al momento de multiplicar la primera ecuación por 2, o dividir la segunda entre 2; en otras palabras, existe una relación de proporcionalidad entre las ecuaciones. Siendo así, las rectas se intersecan en infinitos puntos, por lo que se considera como un sistema con infinitas soluciones.
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Figura 1.8. sel con infinitas soluciones.
Ejemplo 1.9.
Analizar el tipo de solución del siguiente sel:
x + 2y = 72x + 4y = 8
Solución:
La pendiente para la primera ecuación corresponde2
–1m1= = –0.5 y
27b1= =3.5 y
48b2= =2,
4–2m2= = –0.5 para la segunda, en cuanto a los puntos de corte con el eje y
se tiene, respectivamente. De tal manera que
ambas rectas son decrececientes y lo hacen a la misma razón, pero, a dife-rencia del ejemplo anterior, parten de puntos diferentes. Por tanto, pueden ser consideradas como dos rectas paralelas; siendo así, no existen puntos de intersección entre las mismas, lo que implica que el tipo de solución del sistema se considere como inconsistente.
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Figura 1.9. sel inconsistente.
Graficación de sistemas de ecuaciones lineales de tamaño 2 × 2.
La actividad propuesta para el estudiante consiste en representar cada uno de los sel de tamaño 2 × 2 de los ejemplos anteriores en GeoGebra.
Métodos algebraicos
En esta sección se presentan los tres métodos algebraicos que permiten solucionar un sel en el caso particular de contar con dos ecuaciones y dos incógnitas, los cuales son: sustitución, reducción e igualación. Lo anterior, con la intención de dar solución a problemas aplicativos que puedan ser planteados bajo dicha representación.
a. Sustitución
Considerando el sel de la forma (1.6), el método de sustitución consiste en despejar u obtener el valor de una de las incógnitas; por ejemplo, x1 de cualquiera de las ecuaciones. En particular, se recomienda al lector des-pejar la expresión que considere más simple. En este caso, se tomará como ejemplo la primera ecuación:
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Una vez resuelta, se ha calculado el valor de x2, que finalmente se sustituye en la expresión de x1, calculando así el de ambas variables.
Ejemplo 1.10.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución:
x – y= 4
x + y= 6
a21 x1+a22 x2= c2 ,
c1– a12 x2
a11 x1=
y se sustituirá su expresión en la otra ecuación. De tal manera que el sel se reduzca a una ecuación de primer grado en términos de una sola varia-ble, en este caso x2.
a21
c1– a12 x2
a11 +a22 x2= c2.
Solución:
Para la solución del sistema de ecuaciones, se procede a despejar la variable x de la primera ecuación, de tal manera que:
x= 4 + y.
Posteriormente, se sustituye el valor de la x en la segunda ecuación, de lo que resulta:
4 + y + y= 6.
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c1– a12 x2
a11 x1=
c2– a22 x2
a21 x1=
c2– a22 x2
a21 c1– a12 x2
a11
Se debe igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado:
=
Al resolver la anterior expresión se obtiene el valor de y:
4 + y + y = 6
4 + 2y = 6
2y = 2
y = 1
Finalmente, se sustituye el resultado de y en la ecuación en la que está despejada la variable x, es decir:
x= 4 + y
x= 4 + 1
x= 5.
De lo anterior, se concluye que la solución del sistema se encuentra dado por el cs=(5,1).
b. Igualación
El método de igualación consiste en una pequeña variante del de susti-tución. Para resolver un sel de la forma (1.6) por este método hay que despejar una incógnita, la misma en las dos ecuaciones:
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Después, resolver la ecuación para obtener el valor de la primera variable; en este caso, x2. Luego, regresar a cualquiera de los despejes para obtener el valor de la segunda variable.
Ejemplo 1.11.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de igualación:
x – y= 4
x + y= 6
Solución:
Se despeja de ambas ecuaciones lineales la misma variable, en este caso x, e igualamos las segundas partes:
4 + y = 6 – y,
y se resuelve la ecuación lineal:
y + y = 6 – 4
2y = 2
y = 1.
Finalmente, se sustituye el resultado de la variable y en una de las ecua-ciones del sistema; en esta ocasión, se reemplaza en la primera expresión:
x – 1 = 4
x = 4 + 1
x = 5.
Se concluye que la solución del sistema se encuentra dado por el C.S=(5,1), mismo resultado obtenido por el método de sustitución.
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c. Reducción
El propósito de este método consiste en obtener dos ecuaciones cuya suma dé como resultado una ecuación con una sola variable. De esta manera, se procede según los siguientes pasos:
• Paso 1. De ser necesario, multiplique una o ambas ecuaciones por una constante para que al sumarlas el resultado contenga solo una variable.
• Paso 2. Sume los lados respectivos de las ecuaciones, así obtendrá una sola ecuación con una variable.
• Paso 3. Despeje la variable en la ecuación obtenida en el paso 2.
• Paso 4. Sustituya la variable en cualquiera de las ecuaciones origi-nales con el valor determinado en el paso 4.
• Paso 5. Resuelva esa ecuación para determinar el valor de la varia-ble restante.
Los pasos 2 al 5 se encuentran ligados a la necesidad de realizar el paso 1, de no ser necesario, comience en el 2.
Ejemplo 1.12.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción.
x – y = 4
x + y = 6
Solución:
En este caso, se suman las dos ecuaciones que componen el sel; de tal manera que se cancelan las variables y, y se obtiene lo siguiente:
x + x = 4 + 6
2x = 10
x = 5,
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Si se sustituye el anterior resultado en la primera ecuación, por ejemplo, se tiene lo siguiente:
x – y = 4
5 – y = 4
–y = 4 – 5
y = 1
De esta manera, se concluye que el cs =(5,1).
A continuación, se resuelven sel de tamaños diferentes a 2× 2 como ca-sos particulares, con la intensión de revisar el uso simultáneo de métodos algebraicos, además de los tipos de solución que existen en dichos casos, y, por último, la complejidad que los mismos conllevan.
Ejemplo 1.13.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de tamaño 2× 3 por medio de métodos algebraicos:
(1) x + 4y – z = 12
(2) 3x + 8y – 2z = 4
Solución:
En esta oportunidad se aplica el método de reducción de ecuaciones li-neales y, para ello, se multiplica la ecuación (1) por –3 y se suma con la ecuación (2):
–3x – 12y + 3z = –36
3x + 8y – 2z = 4.
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Entonces, se tiene una nueva ecuación (3):
–4y – z= –32,
de la que se despeja la variable y:
Este valor se reemplaza en (1):
x+4 =12–z8 – z4
x +32 – z– z=12
x +32 – 2z=12
x – 2z= –20.
De acuerdo con los procesos anteriores, se observa que las variables x e y quedaron definidas en términos de z, variable que por la naturaleza del sis-tema de ecuaciones es considerada como parámetro. Por tal razón, se defi-ne como z=t. Finalmente, se concluye que el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, cuya representación general está dada por lo siguiente:
x= –20 + 2tt4y= 8 –
z = t con t є .
Por ejemplo, si t=0, la solución sería (–20,8,0). Para t=1 resulta –4,1
18,31 o t=–1,
entonces Por tanto, se deduce la existencia de infinitas soluciones.– ,–122,334
.
y= =8 ––32 + z z–4 4
.
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Ahora, se utiliza el método de reducción, para lo cual se multiplica por -2
la ecuación (2*) y se suma con (3*), como resultado se tiene que y= –
Ejemplo 1.14.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de tamaño 3× 3 por medio de métodos algebraicos:
(1) x – 2y = 2
(2) 4x + 3y + z = –4
(3) 2x – y + 2z = 0
Solución:
De la primera ecuación se despeja la variable x y se sustituye en las otras dos:
(1) x = 2+2y
De allí se obtiene una versión modificada de la segunda ecuación, la cual denotaremos por (2*):
4(2 + 2y) + 3y + z= –4
8 + 8y + 3y + z= –4
8 + 11y + z= –4
11y + z=–12 (2* ),
y para la tercera (3*)
2x – y + 2z= 0
2(2 + 2y) – y + 2z= 0
4 + 4y – y + 2z= –4
3y + 2z= –4.
1920 .
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Ejemplo 1.15.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de tamaño 4× 4 por medio de métodos algebraicos:
x1 +2x2 – x3 + 3x4 = –8
2x1 + 2x2 – x3= 13
–x1 + x2 + x3 – x4= 8
3x1 + 3x2 – x3 + 2x4= –1
Se concluye que el sistema de ecuaciones tiene única solución, la cual está
representada por la terna
x=2+2–
= 2 –
= – ,
1920
1940
192
z=–2–
= – 2 +1930
= – .198
23
193
y
192– .– –, ,
1920
198
Dado que x se despejó en términos y, tal que x=2+2y, y despejando z de
(3*), z=–2 – y, se procede, entonces, a reemplazar el valor obtenido de
y de la siguientes maneras:23
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En las ecuaciones 3 y 4 se reemplaza x2
x1= – 2x2+ x3– 3x4 – 8
x2 = x3– 1.75x4 – 7.25
0 = 3( x3– 1.75x4– 7.25)+ 2x4
23 = – 3( x3– 1.75x4– 7.25)+ 2x3– 7x4.
Solución:
Se despeja la variable x1 de la primera ecuación, la cual queda definida por las otras tres variables:
x1=– 2x2 + x3 – 3x4 – 8.
En las ecuaciones 2, 3 y 4 se reemplaza x1, así:
13 = 2(– 2x2 + x3 – 3x4 – 8)+ 2x3 – 1x4
8 = – ( – 2x2 + x3 – 3x4 – 8)+ x2+ 1x3 – 1x4
–1 = 3( – 2x2+ x3– 3x4– 8)+ 3x2– x3+ 2x4.
Después de la simplificación se tiene lo siguiente:
x1=– 2x2 + x3 – 3x4 – 8
29= – 4x2 + 4x3 – 7x4
0= 3x2 + 2x4
23 = – 3x2 + 2x3 – 7x4.
Y luego se divide la segunda ecuación entre -4 y se define la variable x2 en términos de las otras:
x1= – 2x2 + x3 – 3x4 – 8
x2= x3 – 1.75x4 – 7.25
0=3x2+ 2x4
23= – 3x2+ 2x3– 7x4.
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x3= x4 + 7.251213
x3 = x4 + 7.251213
1.25=–x3 – 1.75x4.
En la ecuación 4 se reemplaza el valor de x3:
x1 = – 2x2 + x3 – 3x4 – 8
x2 = x3 – 1.75x4 – 7.25
1.25 =– 1213 x4 + 7.25 – 7.25x4
Y después de la simplificación se obtiene lo siguiente:
x1 = – 2x2 + x3 – 3x4 – 8
x2 = x3 – 1.75x4 – 7.25
21.75 = 3x3 – 3.25x4
1.25 = –x3 – 1.75x4.
Del paso anterior se observa que todas las ecuaciones han quedado defini-
das en términos de x3 y x4. Ahora se procede a dividir la tercera ecuación entre 3 y definir x3 en términos de la otra variable, x4:
x1= – 2x2 + x3 – 3x4 – 8
x2= x3 – 1.75x4 – 7.25
Para simplificar, se tiene lo siguiente:
x1 = – 2x2 + x3 – 3x4 – 8
x2 = x3 – 1.75x4 – 7.25
x3 = x4 + 7.251213
8.5 = – x4 .617
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Finalmente, se divide la cuarta ecuación entre – y se encuentra el valor de x4:
x3= x4 + 7.251213
x4 = –3.
x1= – 2x2 + x3 – 3x4 – 8
x2= x3 – 1.75x4 – 7.25
617
Ahora, como ya se conoce x4 y al reemplazar desde la última ecuación a la primera se puede calcular el valor de las de otras variables para obtener x1= 1,x2= 2,x3= 4 y x4=–3, lo que permite concluir que existe una única solución al sistema de ecuaciones, y se encuentra dado por la cuádrupla =(x1, x2, x3, x4)=(1, 2, 4, –3).
Como se puede apreciar en los ejemplos 1.13 a 1.15, la solución de siste-mas de ecuaciones lineales de tamaño igual o superior a 3×3 requiere de la aplicación de una gran cantidad de operaciones algebraicas, junto con el uso adecuado de los métodos requeridos. Lo anterior, en ocasiones, es un proceso engorroso, motivo por el cual se introdujo la notación matricial como forma abreviada de escribir un sistema de ecuaciones, la cual será profundizada en el siguiente capítulo. Allí se definen las propiedades y operaciones sobre el cuerpo llamado matriz y se establecen métodos para la solución de los sistemas de ecuaciones, entre los que se consideran los siguientes:
1. Eliminación Gaussiana.
2. Eliminación de Gauss-Jordan.
3. Solución por la inversa de una matriz.
4. Regla de Cramer.
Esos métodos se revisarán en el "Capítulo 3. Determinantes".
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Aplicaciones
Hasta el momento, se ha presentado la teoría correspondiente a la solu-ción de sistemas de ecuaciones lineales desde una perspectiva geométrica y algebraica. Posteriormente, se hará lo mismo con el uso de métodos que involucran matrices. Es por lo anterior que, a continuación, se presentan algunas aplicaciones con las que es posible establecer una relación entre la teoría y la práctica.
Programación lineal: un enfoque geométrico
La programación lineal (pl) se define comúnmente como un método ma-temático de optimización, dedicado a minimizar o maximizar una función lineal, la cual a partir de este momento será llamada como función objetivo. De tal manera que las variables de esta se encuentran sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecua-ciones también lineales.
Ejemplo 1.16.
Una prestigiosa pastelería de la ciudad maneja dos estilos de tortas: tres leches y chocolate con maní. La torta de tres leches requiere, para su pre-paración, medio kilo de azúcar y ocho huevos, y su precio de venta al públi-co es de 8 €. El segundo tipo de torta necesita un kilo de azúcar, la misma cantidad de huevos que la primera, y tiene un precio de venta de 10 €. Se sabe que en la cocina de la pastelería les quedan 10 kilos de azúcar y 120 huevos. ¿Cuántas unidades de cada especialidad de torta se pueden produ-cir con la intención de obtener el mayor ingreso por ventas?
A partir de este enunciado, se establecerá un sistema de ecuaciones con la intención de solucionar el problema y encontrar la cantidad de tortas de ambos estilos que permitan obtener el mayor ingreso por ventas. Para ello, se va a representar con la variable x al número de tortas tres leches y con y al número de tortas de chocolate. Además, al hacer uso de la representa-ción tabular se extrae la información del problema; para ello, se tienen en cuenta los dos tipos de tortas, la cantidad de kilos de azúcar que se utilizan por cada especialidad de torta y la cantidad de huevos.
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Tipo de torta Azúcar (kilos) Huevos
Tres Leches 0,5 x 8x
Chocolate Y 8y
10 120
Tabla 1.4. Distribución insumos.
En este tipo de problemas es de gran importancia establecer las restricciones, es decir, todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables involucradas en el problema. Por ejemplo, en este caso los valo-res de x e y deben ser mayores o iguales a cero x ≥0,y ≥0; esto debido a que debe existir una cantidad positiva de tortas o en su defecto no debe haber ninguna. Además, se deben cumplir las condiciones de las cantidades de azúcar y huevos por torta, junto con los recursos existentes en la cocina de la pastelería, lo que conlleva a plantear las siguientes condiciones:
x ≥ 0, y ≥ 0
0.5x + y ≤ 10
8x + 8y ≤ 120,
x ≥ 0, y ≥ 0
x + 2y ≤ 20
x + y ≤ 15.
Lo que, al multiplicar la segunda ecuación por 2 y la tercera al dividirla entre 8, se debe obtener es:
Una vez establecidas las restricciones se procede a identificar la función objetivo (fo), la cual, de acuerdo con el problema, representa los ingresos por ventas de las tortas. Es decir:
z= f(x,y)= 8x + 10y
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Graficación de la región factible
Al hacer uso de las restricciones dadas anteriormente y la herramienta GeoGebra, se realiza la siguiente diagramación de la región factible.
Ahora, se define la región factible como el conjunto de todas las soluciones factibles; es decir, las soluciones óptimas que dan el valor más favorable de la función objetivo. A continuación, se realizará el estudio de la región factible por medio de GeoGebra.
Figura 1.10. Graficación de la región factible en GeoGebra.
Entonces, el estudiante debe representar cada uno de los sel de tamaño 2 × 2 de los ejemplos anteriores en GeoGebra.
Regresión lineal (cálculo de los coeficientes del modelo de regresión)
Una de las aplicaciones más recurrentes de la estadística es la regresión li-neal, un modelo matemático cuyo objetivo es explicar la relación que existe entre una variable dependiente (variable respuesta, y) y un conjunto de variables independientes (variables explicativas) x1, x2, …,xn. En esta oca-sión, se parte del siguiente problema:
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Ejemplo 1.17.
Considere un conjunto de 10 pacientes de una entidad prestadora de ser-vicios de salud de los cuales se conocen los resultados de una prueba de glucosa pre/pos, tal y como se muestra en la siguiente tabla:
El propósito es encontrar una relación entre la variable pre y la variable pos. Para ello, se procede a realizar la gráfica de los respectivos pares ordenados de valores.
Graficación de diagrama de dispersión
Por medio de GeoGebra, se realiza una gráfica conocida como diagrama de dispersión, por medio de la cual es posible comprender la relación existen-te entre las variables. En este caso, se aprecia que las variables en cues-tión tienen un comportamiento de crecimiento lineal, lo que supone que a mayor valor de la variable pre, mayor será el resultado de la variable pos. Ahora, la pregunta es: ¿existe un método matemático que permita calcular la función para que sea una buena aproximación de la nube de puntos? La respuesta es sí, y el método utilizado es conocido como mínimo cuadrados.
Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pre 39 43 21 64 57 43 38 75 34 52
Post 65 75 52 82 92 80 73 98 56 75
Tabla 1.5. Resultados de una prueba de glucosa pre/pos para una muestra de 10 pacientes.
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Figura 1.11. Gráfica de dispersión en GeoGebra.
A partir de este momento, el objetivo es calcular una ecuación lineal que describa la relación de las variables x e y, de la forma: y = ax + b. Para ello, se deben calcular los coeficientes a y b, solucionando el siguiente sistema de ecuaciones:
an+bn n
i=1 i=1
xi= yi
an
i=1
xi+b ==n
i=1
x2
n
i=1
xi yii
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i xi yi xi2 xi yi
1 39 65 1521 2535
2 43 75 1849 3225
3 21 52 441 1092
4 64 82 4096 5248
5 57 92 3249 5244
6 43 80 1849 3440
7 38 73 1444 2774
8 75 98 5625 7350
9 34 56 1156 1904
10 52 75 2704 3900
466 748 23934 36712
Tabla 1.6. Cálculos previos para la solución de sel.
10
i=1
Al reemplazar los resultados de la tabla 1.5. se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
10a + 466b = 748
466a + 2393b = 36712
cuya solución es: a=35.83; b=0.836. Es así como la ecuación que mejor se aproxima al comportamiento de los datos es y=35.83+0.836.
Fracciones parciales (cálculo de las fracciones parciales)
Una de las aplicaciones más recurrentes en las matemáticas, en las que se plantea un sistema de ecuaciones y, por ende, se requiere de su solución, es la descomposición de una expresión algebraica racional en términos de sus fracciones parciales. A continuación, se presenta un ejemplo en el que se descompone una fracción que tiene como denominador un producto de factores lineales distintos.
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7x + 3 7x + 3=
x2 + 3x – 4 (x + 4)(x – 1)
Que pude se puede descomponer así:
7x + 3 =(x + 4)(x – 1)
Ax + 4
Bx –1
+
7x + 3 =(x + 4)(x – 1)
5x + 4
2x – 1
+
De tal manera que, con la intención de encontrar los valores de A y B, se opera la parte de la derecha de la igualdad y se tiene lo siguiente:
7x + 3 = A(x – 1) + B(x + 4)
7x + 3 = Ax – A + Bx + 4B
Si se desarrolla se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente:
A + B = 7
–A + 4B = 3
cuya solución es A=5, B=2. Por tanto, la fracción original se descompone
de la siguiente forma:
Ejemplo 1.18.
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Física - diagramas de cuerpo libre
La representación gráfica utilizada por físicos e ingenieros para el análisis de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es conocida como diagrama de cuerpo libre. En esta oportunidad, se representa un sistema físico constituido por una cuerda atada al techo del que a su vez pende una masa (m1), un resorte (r) y otras dos masas (m2 y m3) respectivamente. Véase la figura 4.3. en la cual se realiza un diagrama y el análisis de las fuerzas que actúan en el sistema.
Figura 1.12. Sistema físico.
Ahora, se considera la siguiente información al respecto del sistema:
T= 40 N La tensión de la cuerda
W1= 40 N El peso de m1
fr= ?La fuerza del Resorte (r) no se conoce ni en magni-tud ni en dirección (no se sabe si está en tensión o en compresión).
W2= ? El peso de m2 , valor desconocido.
N1= ? Fuerza Normal, entre las masas m2 y m3 , valor des-conocido.
N2= 200 N La normal entre m3 y el suelo.
W3=40 N El peso de m3
Tabla 1.6. Información sistema físico.
Por lo anterior, y teniendo en cuenta las fuerzas sobre el sistema, y que, a su vez, el mismo se encuentra en equilibrio, se obtiene:
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Figura 1.13. Diagramas de cuerpo libre del sistema físico.
De tal manera, el sistema de ecuaciones que se propone al realizar la suma-toria de fuerzas, es el siguiente:
40 – 60 – R= 0
N1 + R – W2= 0
200 – N1 – 80= 0
El cual, al simplificar, resulta en lo siguiente:
–20 – R= 0 → R= 20
N1 + 20 – W2= 0
200 – N1 – 80= 0 → N1= 120
De lo cual se concluye que:
R=20 N; N1=120 N, W2= 140N.
Ejercicios
Ejercicios teóricos
x + 2y = 4
–x – 4y = 6
–3w + 2p = 4
–6w + 4p = 8
–6x + y = 2
x – 1/6y = 1/3
3w + 4m – 2 = 0
–2w – 2m = 5
a.
b.
c.
d.
1. Identifique el tipo de solución que tienen los siguientes sistemas de ecuaciones:
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Repuestas:
a. Única solución.
b. Infinitas soluciones.
c. Inconsistente.
d. Única solución.
Ejercicios de aplicación
Para los problemas 2 a 5 se deben plantear y resolver los siguientes proble-mas, y aplicar los métodos de solución algebraicos:
2. Cierto granjero tiene conocimiento de que la suma de gallinas (g) y marranos (m) es de 132 y la de sus extremidades es 402. Establezca el sistema de ecuaciones que permite conocer el número de gallinas y de marranos.
Respuesta: g=63, m=69.
3. El valor del servicio de telefonía móvil del operador Conectaplus de cada factura es la suma de una tasa fija, mantenimiento (x), más un precio fijo por minuto de consumo (y). En el mes anterior, cierto clien-te recibió la factura del teléfono por un total de €39.000 por un con-sumo de 80 minutos, mientras que la del presente mes corresponde a €31.500 por un consumo de 55 minutos. Entonces, ¿cuál es el valor de la tasa y el precio de cada minuto?
Respuesta: x=€15.000,y=€300.
4. A favor de cierta comunidad marginada por la violencia se realiza un concierto benéfico en el país. El promotor informa que se vendieron todas las entradas y que se recaudó un total de €23000. La boletería estaba disponible de acuerdo con los siguientes valores: €50 las entra-das normales (x) y €300 las vip (y). Establezca el sistema de ecuacio-nes con el fin de calcular el número de entradas de cada tipo, teniendo en cuenta que el aforo del lugar es de un total de 160 personas.
Respuesta: x=100, y=60.
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5. El mes pasado se compraron espinacas (x) a un costo de €2.7 por ki-logramo, también lechuga (y) por el valor de €0.7 por kilogramo, y se canceló un total de €15.1. Pero, en este mes se ha pagado un total de €18 por la compra de las mismas cantidades de hortalizas a unos precios de €2 por kilogramo de espinacas y €1.2 por kilo de lechuga. Entonces, ¿qué cantidad de cada producto se compró?
Respuesta: x=3, y=10.
6. A continuación, se presentan las cantidades de sólidos eliminados de cierto material cuando se expone a periodos de secado de diferentes duraciones:
x (horas) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
y(gramos) 3.5 4.1 5.5 7.2 8.7 9.5
Tabla 1.7. Cantidad de sólidos eliminados vs. Horas de secado.
a. Construya un diagrama de dispersión de los datos.
b. Encuentre la recta de mínimos cuadrados que permite modelar la situación.
Ejercicios – aplicación de GeoGebra
Para los sistemas de ecuaciones del ejercicio 5, dar la solución, si exis-
te, de forma gráfica.
Realizar las gráficas de las regiones factibles asociadas a las siguientes restricciones:
x+y ≥ 4
y ≤ 4
y ≥ x
2x + y ≤ 18
2x + 3y ≤ 42
3x + y ≤ 24
x ≥ 0, y ≥ 0
2x1 + x2 ≤ 100
x1 + x2 ≤ 80
x1 ≤ 40
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
7x1 + 2x2 ≥ 28
2x1 + 12x2 ≥ 24
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
a. b. c. d.
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¿Para qué sirven las matrices? Dicha pregunta suele formularse repetidamente si nos limitamos a verlas como simples tablas de elementos organizados. Sin embargo, en realidad, su apli-cabilidad es muy extensa, dado que sobre dicho constructo matemático se definen operaciones y ciertas propiedades que permiten la solución de sistemas de ecuaciones de primer gra-do con varias incógnitas; el ingreso de datos organizados en "filas" y "columnas" en los diversos lenguajes de programación; el estudio de las conexiones entre distintos núcleos urbanos (urbanismo); la influencia de individuos en diversos grupos (sociología); el análisis de producción, distribución y organi-zación de las empresas (economía); el estudio de un mode-lo estocástico (probabilidad y estadística); los problemas de optimización de recursos (programación lineal), entre otros. Por lo anterior, las matrices se consideran como herramientas útiles en diversos campos de las ciencias naturales, aplicadas y sociales, lo que se acrecienta debido al aporte de un lengua-je facilitador y manejable a la hora de plantear y solucionar problemas aplicables a las ramas anteriormente mencionadas. De esta manera, en este capítulo se presentan los siguientes temas: tipos de matrices, operaciones matriciales, cálculo de determinantes y de matrices inversas.
Capítulo 2. Matrices
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En un salón de clases, la asignatura de inglés la han aprobado el 62,5% de las niñas y el 80% de los niños; mientras que la asignatura de matemáticas la han aprobado $87,5 de las niñas y el 60% de los niños. ¿Cuál es el nú-mero de niñas y niños que hay en el salón de clases si en total aprobaron 26 estudiantes inglés y 26 matemáticas?
Nótese que, de acuerdo a la información suministrada por el problema, se consideran dos incógnitas a saber: el número de niños y niñas que cumplen con dichas condiciones. Por tal motivo, suponga a x como el número de niños y a y como la cantidad de niñas; ahora, de acuerdo a los requerimientos establecidos por la situación, es posible contemplar la existencia de dos escenarios que corresponden a los estudiantes que aprobaron las asignaturas de inglés y matemáticas. Esta información se resume en la tabla 2.1.
De esta manera, se tiene que los estudiantes que aprueban inglés (primera columna) corresponden a 62.5% de las niñas y a 80% de los niños, lo que en total se refiere a 26 estudiantes y que se puede resumir de acuerdo con lo siguiente:
0.625x + 0.80y = 26
Inglés Matemáticas
Niñas 62.5 % 87.5 %
Niños 80 % 60 %
Total 26 26
Tabla 2.1. Planteamiento de un problema a partir de la organización matricial de la información.
Para la asignatura de matemáticas (segunda columna), el 87.5% de las ni-ñas y el 80% de los niños corresponden a 26 estudiantes, lo que se modela matemáticamente así:
0.875x + 0.60y = 26.
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Bajo dicho planteamiento, se tiene un sistema de ecuaciones de tamaño 2× 2, lo que, de acuerdo con lo anterior, cuenta con una solución única, que corresponde a la dupla conformada por (20,16). Esto significa que en total el salón de clases cuenta con 36 estudiantes, de los cuales 20 son niños y 16 niñas. Este ejemplo es un primer acercamiento a la noción de matriz, un arreglo bidimensional (para el caso) de elementos ordenados en filas (o renglones).
Definición. 2.1. Matriz
Una matriz se define como un conjunto de elementos (en este libro se asu-men como ), que están dispuestos en m filas y n columnas, de tal manera que A es una matriz de tamaño m× n.
A= (2.1)
a11a21
a12a22
a1na2n
am1 am2 amm
Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A,B,…, y los elementos de estas por minúsculas, a,b,…
Entonces, cada uno de los valores registrados en la matriz A, definida en (2.1), se conoce como elemento o componente, y se distinguen por la posición que ocupan dentro del arreglo. Esto se nota por aij siendo i la fila y j la co-lumna , tal que 1≤ i≤ n,1≤ j≤ m. Por ejemplo, el elemento a21 representa el valor en la fila 2 y la columna 1; a33 representa el valor en la fila 3 y columna 3. Ahora, el número de filas y de columnas de una matriz se denomina di-mensión m× n, de tal manera que una matriz de 3 filas y 4 columnas tiene una dimensión 3× 4, 2 filas y 2 columnas, dimensión 2× 2, entre otras. En el caso particular en el que la matriz cuente con el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2,3,4…
Se aclara que en este libro como notación matricial se utilizarán paréntesis circulares, aunque suele ser normal observar en diversos textos que las ma-trices se representen por paréntesis cuadrados. Finalmente, dos matrices se consideran iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. De acuerdo con ciertas carac-terísticas y aspecto que poseen las matrices, estas pueden ser clasificadas.
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Tipos de matrices
En la Tabla 2.2. se presentan los diversos tipos de matrices junto con su de-finición matemática; además, ejemplos de cada una y una breve observación que permite establecer la característica principal de la misma. Es importante recalcar que en algunos de los ejemplos se requiere de un proceso que veri-fique su naturaleza, por tal razón, encontrará el símbolo (*) , el cual indica que en próximos ejemplos se realizará tal desarrollo.
Tipo de Matriz
Representación Ejemplo Observaciones
Rectangular A=(aij ),1≤ i≤ n,1≤ j≤ m,i≠ j
Ejemplo 2.1.El número de filas es diferente al de colum-nas, siendo su dimen-sión m× n .
Fila A=(a11 a12 a13… a1n )
Ejemplo 2.2.
C=(–1 2 4 –2 0)
Se conoce como vector fila (renglón). Su di-mensión es 1× n .
Columna
Ejemplo 2.3.
Se conoce como vector columna. Su dimen-sión es m× 1
Opuesta –A=(–aij)
Ejemplo 2.4.
Tomando como refe-rencia la matriz A se tiene que su opuesta es:
Tiene todos los ele-mentos de signo contrario a la matriz original.
A = 10
2 –31 4
–A = –10
–2 3–1 –4
A=
a11a21a31
am1
C=
–213–40
Tabla 2.2. Tipos de matrices y su caracterización.
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Traspuesta (At )ij=Aij,1≤ i≤ n,1≤ j≤ m
Ejemplo 2.5.
Tomando como refe-rencia la matriz A se tiene que su matriz traspuesta es:
Se obtiene al convertir las filas en columnas de una matriz cual-quiera de dimensión m× n . Se representa con el superíndice “t” y su dimensión es, por tanto, n× m .
Cuadrada de orden n A=(aij ),1≤ i≤ n,1≤ j≤ m,i=j
Ejemplo 2.6.Igual número de filas que de columnas. Su dimensión es n× n
Triangular superior
Ejemplo 2.7. Matriz cuadrada en la que al menos uno de los términos que están por encima de la diagonal principal son distintos a cero y todos los términos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Triangular inferior
Ejemplo 2.8. A diferencia de la triangular superior, al menos uno de los tér-minos por debajo de la diagonal principal son distintos a cero y los situados por encima son ceros.
Diagonal
Ejemplo 2.9. Matriz cuadrada en la que todos los ele-mentos que no están situados en la diagonal principal son ceros.
Escalar
Ejemplo 2.10.
Toda matriz diagonal en la que todos los ele-mentos de la diagonal principal son iguales.
At = 1
021
–34
D2 = 15
2–3
A=
a11
0a12a22
a1na2n
0 amm0
A=
a11
00a22
00
0 amm0
A=
a0
0a
00
0 a0
E = 02
1–4
0023
–1
A=
a11a21
0a22
00
am1 am2 amm
F = –12
10
60
00
–1
G = 02
30
00
00
–2
H = 04
40
00
004
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Identidad
Ejemplo 2.11. Matriz escalar cuyos elementos de la diago-nal principal valen uno; es decir, la diagonal principal está formada por 1 y el resto de los elementos son 0.
Nula
Ejemplo 2.12.
Todos los elementos de la matriz son 0.
Idempotente A2=A
Ejemplo 2.13.La multiplicación de una matriz por sí mis-ma da como resultado la misma matriz A. (*)
Involutiva A2=I
Ejemplo 2.14.
La multiplicación de una matriz por sí mis-ma da como resultado la matriz identidad I. (*)
Simétrica A=At
Ejemplo 2.15.
Es aquella matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. (*)
Antisimétrica o hemisimé-trica
A=–At
Ejemplo 2.16.Matriz cuadrada que es igual al inverso multiplicativo de su traspuesta. (*)
Ortogonal A At=I
Ejemplo 2.17.Matriz que multiplica-da por su traspuesta da como resultado la ma-triz identidad.
I=
10
01
00
0 10
o=
00
00
00
0 00
L = 15
81
23
325
M = 01
–6–10
8
–860
0
10 00
I4 = 01 0
10
00
01
00
0
00 00
o = 00 0
00
00
00
00
J = 32
23
31
13
K = 21
√32
2√3
12–
.N = cosα sinα
–sina cosa
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NormalesA At=At A
Ejemplo 2.18. Una matriz es normal si conmuta con su tras-puesta; es decir, si
A At=At A.
Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesa-riamente normal. (*)
Escalonada Ejemplo 2.19.Una matriz es esca-lonada si al principio de cada fila (columna) existe un elemento nulo más que en la fila (o columna) anterior.
P = 10
01
A=
a11a22
00
00
am1 am2 0Q = 4
–6
23
4
01
0
0–3
00
Ejemplo 2.20.
Hallar la matriz transpuesta de las siguientes matrices:
A = 12
3–4
B =
C =
D =
E = Et =
Ct =
Dt =
–1
1
1
1
4
5
–12
5
5
5
2
2
6 3
–3
2
1
0
1
–1 –1
1
1–1
1
4
5
1
1
–12
4
2
2
5
5
3
–3
6
24
2
–1
5
–1
5
43
–3
4
4
3
3
3
3
3
33
6
3
3
4
4
3 3
3
32
1
2
2
2
2
3
0
22 3
0
3 3
2
14
0 1 52 6
–3 1
At =
Bt =
23–4
a)
b)
c)
d)
e)
1
..
. .
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esG = Gt =
F = Ft =
–2 2
1 5
4 –4
3
0 0
–1 –1
2 –2
5 1
–4 4
3
0 0
5 5
3 –3
0
–3 3
0
0 0
f)
g)
A+B=(aij )+(bij )= +
=C (2.2)
+ +++ ++
+ ++
=
a11a21
a1na2n
b11b21
b11b21
b1nb2n
b12b22
b12b22
a12a22
b1nb2n
am1 amm
bm1
bm1 b_mnbm2
bm2
am2
bmm
a11a21
a12a22
a1na2n
am1 am2 amm
Por tanto, se concluye que para sumar matrices se debe cumplir lo siguiente:
1. Las matrices deben tener igual dimensión.
2. Se suman los elementos correspondientes a su posición.
Nota: La definición de suma de matrices es aplicable para su operación inversa, es decir, para la resta de matrices, tal que:
A+B= (aij )+(bij )=C (2.3)
Nótese que B es también la matriz traspuesta de sí misma, es decir Bt=B; por tanto, la matriz se conoce como matriz simétrica. En cambio, para la matriz G se tiene que Et=–E; por tanto, se le conoce como matriz antisimé-trica o hemisimétrica.
Operaciones matriciales
Definición 2.2. Suma de matrices
Considere dos matrices A=(aij) y B=(bij) de dimensión m × n, tal que la suma de ambas es la matriz resultante C con dimensión m × n, es decir:
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Sean las matrices A= y B= , hallar:
a) A+B
A+B=
=
=
=
+ 1
5
42
5
33
4
12
1
–14
4
01
3
2
0
1
0+11+4
2+(–1)
–4+23+11+2
1+32+34+0
11
4
3–4
–2
2
01
12
–4
2 413
14
33
2
–1 021
b) A-B
A–B=
=
=
=
– 1
–3
42 33
2
12
3
–14
4
01
–1
2
0
–1
0 – 11 – 4
2–(–1)
–4 –23 – 11 – 2
1 – 32 – 34 – 0
11
–2–1
3–4
–6
2
Si se cumplen también cada una de las condiciones atribuidas para la suma.
Ejemplo 2.21.
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es
=
=
=
– 4
3
13 21
–2
3–1
–3
20
–4
42
1
1
1
1
1 – 04 – 1–1–2
2–(–4)1 – 32 – 1
3 – 13 – 20 – 4
03
21
12
6
–4
c) B-A
d) B-A
e. Nota: Se aclara que la operación de suma y resta entre matrices no es conmutativa, por tanto, A – B ≠ B – A. Además, se nota que A – B = –(B – A).
B–A=
B–A=
=
=
=
– 4
3
13 21
–2
3–1
–3
20
–4
42
1
1
1
1
1 – 04 – 1–1 –2
2–(–4)1 – 32 – 1
3 – 13 – 20 – 4
03
21
12
6
–4
Definición 2.3. Multiplicación por un escalar
Considere la matriz B=(b{ij}) de dimensión m× n y α ∈ como el producto entre el escalar y la matriz. Esta operación es conocida como multiplicación por un escalar, y se define de la siguiente manera:
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αB=α(bij )
=a
= (2.4)
b11b21
b12b22
b1nb2n
bm1 bm2 bmm
ab11ab21
ab12ab22
ab1nab2n
abm1abm2 abmm
Teorema:
Considere las matrices A,B,C de dimensiones m× n y α, β ∈ (conocidos como escalares). Si se cumple lo siguiente:
i. A+0=A
ii. 0A=O , siendo O la matriz nula
iii. A+B=B+A
iv. (A+B)+C=A+(B+C)
v. α(A+B)=α A+α B
vi. 1A=A
vii. (α+β)A=α A +β A
Nota: el inciso (iii) corresponde a la ley conmutativa para la suma de ma-trices, (iv) a la ley asociativa para la suma y (v) a la ley distributiva para la multiplicación por un escalar.
Ejemplo 2.22.
Sean las matrices A = , B= y C=1 442 –233 312 2–14 101 02
0 011 13–4 22Hallar:
A+2B+C
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A+2B+C= +2 +1 42 33 12 –14 01 2
0 11 3–4 24 –232 10
0 12
+= +1 82 63 22 –24 01 4
0 21 6–4 44 –232 10
0 12
Solución:
Primero se reescribe la expresión A+2B+C en términos de las matrices especificadas:
Ahora, se realiza la multiplicación por un escalar en el caso de 2C:
En este momento es posible asociar las matrices, de tal manera que, para este caso, se aplica la ley asociativa para las primeras dos matrices:
A+2B+C=2 2 8
13 8 62 5 5
=
= +
+ +0
2
2 0
0
–4
0
4 2
2
1
7
6 1
1
1
9
8 4
4
3
5
2 3
3
2
8
6 –2
–2
2
0
–2 2
2
1
5
4 0
0
4
4
0 1
1
Finalmente, se operan las dos matrices resultantes:
Ejemplo 2.23.
a. Verificar At + 2Bt + Ct=(A + 2B +C)t
Nota: se sugiere al lector revisar otras formas de asociatividad.
.
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At= ,Bt = Ct =–4 2 21 2 03 1 31 3 14 0 12 3 –2
0 1 02 –1 21 4 4
2Bt = 2 = 2 42 41 23 60 03 6
1 2–1 –24 8
=
=
+ +At+2Bt+Ct=
–4
2
3+2+3 1+4+0
–4 4 2
+2
5
+4
8
3 2 31 4 0
1
8
2+6+(–2) 4+0+1
1 6 1
+1
5
+6
6
2 6 –24 0 1
0
2
1+8+4 2+(–2)+2
0 2 0
+0
2
+2
13
1 8 42 –2 2
Ahora, se calcula 2Bt:
Y se procede a realizar At+2Bt+Ct
De tal manera que, para comprobar la identidad, se desarrollar el extremo derecho de la expresión. Es decir, (A+2B+C)t
Solución:
En principio, se procede a calcular las respectivas transpuestas de A,B y C, tal que:
65
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+2 +(A+2B+C)t= 1 4 43 1 32 3 –22 –1 21 2 04 0 1
0 1 0–4 2 21 3 1t
t
tt
+ += 1 8 43 2 32 6 –22 –2 21 4 04 0 1
0 2 0–4 4 21 6 1
13 8 62 5 5
2 2 8= =1 3+2+3 2+6+(–2)+4+8
1+4+0 4+0+1
0 –4+4+2 1+6+1+0+2
2+(–2)+2
2 8 58 6 5
2 13 2=
3 4 14 –1 2
1 –2 –4
Teorema:
Dadas las matrices A y B, y el escalar α, se tiene lo siguiente:
i. La traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original (At )t=A.
ii. La suma traspuesta de matrices es igual a la suma de las matrices tras-puestas (A+B)t=At+Bt.
iii. El producto traspuesto de una constante α por una matriz es igual al producto de la constante h por la matriz traspuesta (α ∙ A)t=αAt.
iv. El producto traspuesto de la multiplicación de matrices es igual al pro-ducto de la multiplicación de matrices traspuestas (A∙B)t=At ∙ Bt.
Ejemplo 2.24.
Sea la ecuación matricial A+B+C+X= , hallar la matriz X.
Solución:
Se despeja la matriz X, tal que X=–A–B–C– , entonces X:3 4 14 –1 2
1 –2 –4
.
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X=–A–B–C+
X=–[A+B+C]+
–3
–3
–4
–4
–1
–1
–4
–4
1
1
–2
–2
–1
–1
2
2
4
4
+ +=– 1
–3
–9 –3
–3
4 43
–4
–7 –4
–4
1 32
–1
–3 –1
–1
3 –22
–4
–3 –4
–4
–1 21
1
–3 1
1
2 04
–2
–5 –2
–2
0 1
0
–1
–1 –1
–1
1 0–4
2
0 2
2
2 21
4
–5 4
4
3 1
–12 –11 –4–7 –2 –7
–2 2 –1
–12 –11 –4–7 –2 –7
–2 2 –1
9 7 33 3 5
1 0 5+
=
=
+
=– +
Por tanto, la matriz X que satisface la ecuación matricial corresponde a lo siguiente:
Ejemplo 2.25.
Hallar x, y, z y w, si 4 = +
+
xz
x
4x
4
x+4
6
4y
x+y
6+x+y
yw –1
4z
z+w
–1+z+w
2w
4w
3
2w+3
Solución:
Si se reescribe, se tiene lo siguiente:
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es
1 3 22 1 4
0 –4 1
Ahora, si se iguala cada una de las componentes de las matrices, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
4x=x+4
4y=6+x+y
4z=–1+z+w
4w=2w+3
La solución del ejercicio es:
A=
x= ,y= ,z= y w= .34
922
61
23
.
Solución:
En este caso, A3 corresponde a multiplicar tres veces la matriz A:
Nota: queda como ejercicio para el estudiante resolver el sistema de ecua-ciones por métodos algebraicos.
Definición 2.4. Producto de matrices
Dos matrices A y B se consideran multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B, de la siguiente forma:
Am× n Bn× p= cm×p (2.5)
Nota: el elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y luego sumándolos.
Ejemplo 2.26.
Hallar A3, teniendo en cuenta que a
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(1 2)+(2 –2)
(1 2)+(2 –2)(–1 2)+(0 –2)
..
..
.
.
(1 1)+(2 3) (1 0)+(2 3) (1 –1)+(2 4)
(1 –1)+(2 4)(–1 –1)+(0 4)
(1 1)+(2 3) (1 0)+(2 3)(–1 1)+(0 3) (–1 0)+(0 3)
A3=
=
y B=
=
=
1
–1
1
–1
1 1–4
2
–4
6
–4 –42 2
1 –2
2 22
1
2
7
2 21
2
1
6
1 14 4
7 –2
4 4
0
1
0
7
0 03
0
3
0
3 31
31
7 –2
1 1
A= –12
1 2
10 , halle la matriz resultante 0 –1 2
31
3 4 –2
0 –1 231
3 4 –2
=
=
=
1 3 22 1 4
0 –4 1
37
7
8
7
81
15
39
9
–19
–1
87
20
–19
–2
–29
–11
40
–4
1 3 22 1 4
0 –4 1
1 3 22 1 4
0 –4 1
1 3 22 1 4
0 –4 1
Ejemplo 2.27.
Si las matrices
Al organizar las matrices se tiene lo siguiente:
.
.
. . .
..
...
. .. .
. .
..
. .
A B =.
.
.
Solución:
de A B.
69
Capí
tulo
2: M
atric
es
Teorema:
Sean A,B y C matrices tales que la multiplicación entre ellas está bien defi-nida; es decir, el número de filas y de columnas permite efectuar la opera-ción. Entonces, se cumplen las siguientes propiedades:
i. Propiedad clausurativa: A B es también una matriz.
ii. Existencia del elemento neutro: si A es una matriz de tamaño m × m, entonces la matriz identidad Im × m es el elemento neutro, tal que I A= A I=A.
iii. Propiedad asociativa: (A B) C=A(B C)
iv. Propiedad distributiva: (A+B)C=A C+B C y C(A+B)=C A+C B.
Inversa de una matriz
Definición 2.5. Matriz inversa
Sean A y B matrices cuadradas de dimensión m × m, tal que lo siguiente:
A B = B A = I. (2.6)
Donde I es la matriz identidad de dimensión m × m, y B se conoce como la matriz inversa de A y se denota como A-1.
A B =
363
3
001
1
363
3
.
. .
.
.
. .. .
.
. .
..
+ +
++.=
= = I2
.
.
. . . .
B =–
31
–31
32
31
–31
–31
32
31
es la matriz inversa de A=
Solución:
31
31
31
32
31
31
32
– –
– –31
3 3
3
3 3
636
Ejemplo 2.28.
Verificar que la matriz
Una
intr
oduc
ción
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acio
nes
70
Uso de matrices en GeoGebra
Las matrices trabajadas anteriormente y sus operaciones se pueden repre-sentar mediante GeoGebra. Para llevarlo acabo, se debe tener en cuenta que el ingreso de una matriz debe ser como una lista de listas que contie-nen las filas de la matriz; por ejemplo:
A = {{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}} representa la matriz a de tamaño 3x3:
A= 4 657 98
1 32
Ahora, en el caso de realizar la suma o la resta de matrices, bajo las condi-ciones aquí expuestas, basta con ingresar las matrices previamente y hacer uso de los símbolos “+” y “–”. En este caso en particular se define una segunda matriz B = {{0,–2,3},{1,0,–1},{–3,1,2}}, su suma y su resta se es-tablecen de la forma, A+B y A–B.
En el caso de la multiplicación, es importante distinguir entre el producto por un escalar y la multiplicación entre matrices. Para el primer caso haga uso de la siguiente sentencia:
Matriz * Número, por ejemplo, A*3, y obtendrá como resultado lo siguiente:
A*3= 12 15 1821 24 27
3 6 9
Para multiplicar matrices basta con recordar que las filas de la primera y las columnas de la segunda matriz deben tener el mismo número de elemen-tos. Para este caso, supongamos {{1,2},{3,4},{5,6}}*{{1,2,3},{4,5,6}}, cuyo resultado es una matriz de tamaño 3×3 {{9,12,15},{19,26,33},{29,40,51}}.
Finalmente, y con la intención de que el lector profundice al respecto, al-gunos comandos relacionados con matrices son:
De esta manera se cumple la ecuación (2.6); por tanto, B es la matriz in-versa de A.
71
Capí
tulo
2: M
atric
es
1. Determinante[Matriz]: calcula el determinante de una matriz.
2. Inversa[Matriz]: invierte la matriz.
3. Traspone[Matriz]: traspone la matriz.
4. Escalonada reducida[Matriz]: convierte la matriz a la forma reducida escalonada por fila.
Cálculo de la inversa de una matriz por reducción de renglones
Se conoce como método de reducción de renglones al proceso de aplicar las operaciones elementales de renglón con el propósito de simplificar una matriz. Dichas operaciones se consideran a continuación. Antes de eso, suponga una matriz A de dimensión m × n, de manera que sea posible lo siguiente:
1. Multiplicar un renglón por un escalar diferente de cero. Esto se denota como CFi, siendo C ∈ .
2. Sumar el múltiplo de un renglón i a otro renglón j, el cual se denota como Fi+CFj, siendo C ∈ .
3. Intercambiar dos renglones, el cual se denota por Fi↔ Fj.
Con la intención de calcular la inversa de una matriz cuadrada, si se aplica el método de reducción de renglones, se debe partir de una matriz aumentada conformada por las matrices A e I. Esto es (A│I), de tal manera que se llegué a la siguiente matriz aumentada de la forma (I│A-1), siendo la parte de la derecha la matriz inversa.
Ejemplo 2.29.
D= 6 33 3Hallar la matriz inversa de por medio del método de reduc-
ción de renglones.
Una
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ción
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72
6
6
0
0
3
3
1
1
3
1F1: F2:F2: F2–6F1
F1: F1–F2
F1: F2:1 13 3
1
1/3
3
1
0
00 –2–3 11 1/31 0
0
0
1
1
1
1
1/3
–1/3
1
0
0
1/3
2/3
2/3
–1/3
–1/3
Finalmente, la matriz inversa es D1=–1/3 1/32/3 –1/3
E=
Ejemplo 2.30.
Hallar la matriz inversa de 1 –1 22 6 5
2 1 4por medio del método de re-
ducción de renglones.
Solución:
Para calcular la matriz inversa de E por el método de reducción de renglo-nes se debe aumentar la matriz original con la Identidad y se siguen las operaciones presentadas en medio de cada matriz.
Solución:
Para calcular la matriz inversa de D por el método de reducción de renglo-nes se debe aumentar la matriz original con la Identidad y se siguen las operaciones presentadas en medio de cada matriz.
73
Capí
tulo
2: M
atric
es
F2: F2–F1 F3: F3–2F1
F1: F1–2F3
F3: F3–5F20 10 00 –1
–3/25 01 1
1 02 0
1 0–1 12 02 06 05 1
2 11 04 0
F1: F1:12
F2: F2:23
1/2
–21
0 10 0
2 6 5 0 0 1
1 02 021
21
–23 –2
11 0 12 02 0
–16 05 1
1 02 021
21
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
–1
1 1
1 1
5 0
0 0
01 1
1 1
1
1 1
1
1 1
1 1
0 02 2
0 00
0 0
–2 –2
21
21
21
21
21
635
317
31
31
31
31
38
38
38
310
310
310
32
32
32
32
3 3
21
–
F1: F1F2:
12–
– –
– –
– –
– –
–
20 19
Finalmente, la matriz inversa es D-1= 0
1
–2317
31
38
310323
–
–
–
19
A-1= (2.7)1|A|
a11
a22
a12
–a12
a21
–a21
a22
a11
Cálculo de la inversa de una matriz 2×2 por la adjunta
Sea A una matriz de dimensión 2× 2 de la forma ,
tal que
A2× 2=
la matriz inversa de A es:
a22 –a12–a21 a11
donde se conoce como la matriz adjunta de A, Adj(A) y | A |
es el determinante de A, la cual se calcula de la siguiente manera:
| A |=a11 a22– a12 a21, (2.8)
Una
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ción
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74
c. Para la matriz C se tiene que su determinante es |C|=0; lo que im-plica que la matriz no tiene inversa.
3 21 4
1
2
–1
6
2
1
3
3
a)
b)
b)
A=
B=
C=
(1×3 –(–1)×2)
Solución:
a. Se verifica, en primera instancia, el determinante de A, |A|=10≠0, de tal manera que
A-1= 1 =4 4 2/5–2 –2 –1/5–1 –1 –1/103 3 3/1010– 1
(3×4 – 2×1)
B–1= 1 =3 3 3/51 1 1/5–2 –2 –2/51 1 1/55
= 1
b. Para la matriz B se tiene que su determinante es |B|=5≠0; por tanto,
.
De tal manera que A-1 existe sí |A |≠0.
En esta sección únicamente se revisa el caso del cálculo de la inversa de una matriz de tamaño 2×2, debido a que en el capítulo 3 se profundiza-rá en la obtención de determinantes, matrices adjuntas e inversas para tamaños 3×3.
Ejemplo 2.31.
Aplicar la ecuación (2.7) para calcular la matriz inversa de lo siguiente:
75
Capí
tulo
2: M
atric
es
Aplicaciones
Las matrices como herramientas matemáticas tienen bastante aplicabili-dad en diferentes ámbitos del conocimiento. En esta sección estudiaremos su uso en la estadística y las ciencias de la computación, por medio de los grafos y los procesos de Márkov.
Matriz varianza – covarianza y matriz de correlaciones
Ejemplo 2.32.
Dando continuidad al ejemplo anterior, se presentan un par de matrices
estudiadas desde la estadística, las cuales son conocidas como matriz de varianzas – covarianzas y matriz de correlaciones. La primera de ellas es una matriz simétrica que tiene distribuidas las varianzas en la diagonal principal y las covarianzas en los elementos fuera de la diagonal principal:
σ11
σ21
σ12
σ22
σ1m
σ2m
σn1 σn2 σnm
Σ= (2.9)
2
2
2
En la que σ11 representa la varianza de la variable 1 respecto a su media y σ12, y la covarianza de la variable 1 respecto a la variable 2. De esa manera, esta matriz contiene información esencial de la variabilidad de los datos, y para el caso en cuestión, corresponde a lo siguiente:
2
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76
Σ= 221,84 185,52185,52 188,56
R= 1 0.90708090.9070809 1
Finalmente, la segunda matriz, la de correlaciones, es una representación or-denada de los coeficientes de correlación de cada variable con la otra y consigo misma (diagonal principal, que siempre equivale al valor de 1). Por ejemplo,
Es así como r11=r22= 1 representa una correlación del 100%, lo que es lógico, pues se está estudiando la relación consigo misma. y r12=r21= 0.9070809, la cual, en consecuencia, corresponde a una correlación aproxi-mada del 91%; resultado que, desde la estadística, implica una correlación lineal positiva fuerte, es decir, los datos tienen un comportamiento lineal, tal como se muestra en la gráfica de dispersión.
Grafos
Conocidos como representaciones simbólicas mediante esquemas gráficos de elementos que constituyen un sistema o conjunto, los grafos resultan ser un ejemplo particular del uso de las matrices, en especial, en las cien-cias de la computación.
Un grafo está definido por un conjunto de puntos llamados vértices o nodos y un conjunto de pares de vértices denominados aristas o arcos. Si el grafo tiene sus aristas o arcos sin orientar, el grafo se conoce como no dirigido, y si tiene sus aristas o arcos orientados, es decir, si sus aristas vienen dadas por pares ordenados, se le llaman grafos dirigidos o dígrafo.
77
Capí
tulo
2: M
atric
es
Ejemplo 2.33.
Figura 2.1. Grafos no dirigidos y dirigidos.
Para el caso no dirigido, los vértices son { a,b,c,d,e}, los cuales están re-presentados como puntos, y las aristas { ab,ad,ae,bc,cd,de} como una línea que une dichos vértices. Mientras que, para el caso dirigido { a,b,c,d,e } y { ab,ae,bc,bd,cd,da}, sus vértices y aristas están representados como puntos y flechas que parten de un vértice (el primero de cada par) y llegan a otro (el segundo de cada par), respectivamente.
Ahora, como formalización matemática, todo grafo, dirigido o no, puede representarse mediante una matriz cuadrada que tiene como orden el nú-mero de vértices del grafo. Dicha matriz recibe el nombre de matriz asociada o matriz de adyacencia. Para construir las matrices de adyacencia de un grafo no dirigido, como el del ejemplo, se deben ordenar los vértices y, si se tiene una arista que une los vértices a y b en la matriz de adyacencia, se debe poner un 1, tanto en la posición ab, como en la posición ba. Por ejemplo,
Finalmente, en el caso dirigido, al tener una flecha que parte del vértice a y llega al vértice e, se debe poner un 1 en la posición ae de la matriz de adyacencia. En el caso de no tener esa flecha, se relaciona un 0.
1 0 0 010 1 1 001 0 0 111 0 1 00
0 1 1 10
a b c d e
bcde
a
Una
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nes
78
1 0 0 010 1 1 001 0 0 111 0 1 00
0bcde
a 1 1 10
a b c d e
Ejercicios
Ejercicios teóricos
1. Sean las matrices A= B= C=
D= ,calcule:
; ; ; –1
–2
1
5
2 3 1
–1
1
–4 –2
2
6 2
–1
3
0
–2
3 3
2
1/2
–32 43 20 3
–5 12 0 0
2
–4
–1 –2 2
6
3
0
2 –2
2
–1
12 –2
–3–6 2
21
23
49
25
41
a) A+B
d) C+D
a)
d)
c)b)
b) A–B
e) D+C
c) B–A
e) C+D
Respuestas:
y
79
Capí
tulo
2: M
atric
es
3. Dadas las matrices A= B=, y 0,5 0,3 0,1
1 12 3
0,3
0,3 0,1
0,5
0,4
0,2 0,40,2 0,5 0,5
1
–1 –10
3
2
13
10
23–13
–3
85
7
2–8
–9
–3–1
–6
11
21
21
51
41
61
21
31
51
51
31
51
51
92
25
23
31
21
3132
71
51
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
e)
e)
e)
f)
j)
f ) g )
i)
h)
k)
Respuestas:
14
14
A
A
B
–A
A+B+C
A+B+C
2A–3B+C
–2A–B+4C
A+D
3(A+C)
3A+4B–2C
A B – 2C
No es posible
–
– 31–
–
–
–
–
–C= , calcule:
–
,Calcule:
2. Dadas las matrices A= B= C=
y D=
1 0 1
10 1
452
5 3 2–2 2 –32 1 4–3 –1 –5–1 –61
1 2 –4
, ,
Una
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ción
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y s
us a
plic
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nes
80
–0,5 –0,30.37 0.44
1.23
0,82 0,9
–0,1–0,3 –0,2 –0,4–0,2 –0,5 –0,5
23
43
31
51a) c)b)
Respuestas:
81
403
201
403
201 1
81
81
41
10–
–3
–24
–3
4
1
15
–5
2
0
–108
36
0
0
–45
–18
2
6
9
0
14
0
–126
42
0
2
9
8
–6
7
0
–3
12
1
54
15
0
2,13
0
0,9
2,7
2,1
1,6
1,81,5
11
–4
2
2
4
0
3–1
95
–16–6
6–516–9
d) e) f)
a)
d)
c)
e) f)
b)
1.33
–1
0.46
0.870,2
0,820,97
21
52–
4. Hallar x,y,z y w si: 2 = +–x x 2y y x–yz –1 z–ww 2 1
2 1 533 3 22
– ,– ,–,Respuestas:
Respuestas:
5. Dadas las matrices A= y B= , calcule: 2 –11 1
–3 4
1 –1 21 1 4
a) AB
d) [–3(AB)2]t
b) BA
e) 2(AB)t
c) (AB)2
f) –(BA)t
81
Capí
tulo
2: M
atric
es
6. Haga uso del método de reducción de renglones para calcular la matriz inversa de lo siguiente:
A= 2–1 2
103
–2 2 1
32
32
31
32
31
65
31
32
76
–
–
––
Respuesta A-1=
Ejercicios de aplicación
7. Dadas las siguientes matrices de adyacencia, represente los grafos co-rrespondientes:
1 0 0 110 1 1 001 0 0 010 1 0 00
0 1 1 001 0 0 0 010 1 0 0 001 0 0 1 0000
00
10
0 00 0
00
0 1 1 0 00a b c d e a b c d e f
bcde
abcde
a
a) b)
f
Ejercicios – aplicación de GeoGebra
Haga uso de las sentencias de GeoGebra para resolver los ejercicios 1 al 6 de esta sesión.
82
El determinante se conoce como una operación sobre matrices cuadradas de dimensión m×m, cuyo resultado es un número real. Con la intención de realizar una definición formal del determinante, se consideran los siguientes conceptos previos:
1. Permutación de un conjunto de n elementos: conside-re un conjunto de 3 números, por ejemplo, A={1,2,3}. Se entiende por permutación de esos 3 números a las distintas formas que tenemos de ordenar ese conjun-to. De tal manera que las posibles permutaciones de A son las siguientes:
{1,2,3},{1,3,2},{2,3,1},{2,1,3},{3,1,2},{3,2,1},
Un total de 6 permutaciones, número que coincide con el valor factorial de 3, es decir 3!=3×2×1=6.
En general, si se tiene un total de n elementos y se desean obtener todas las permutaciones que se pue-den tener al ordenar esos n elementos, sería posible conseguir un total de n! permutaciones.
Capítulo 3. Determinantes
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84
2. Trasposición de una permutación: es el cambio de orden entre dos elementos de una permutación. Por ejemplo, si se pasa de la permutación {1,3,2} a la permutación {1,2,3}, se ha realizado una trasposición debido al intercambiado los lugares del 2 y 3.
En ocasiones resulta conveniente obtener el número de traspo-siciones necesarios para reordenar una permutación cualquiera y transformarla en la permutación inicial {1,2,…,n}. Por ejemplo, las siguientes permutaciones requieren los siguientes cambios:
• {3,2,1}→ {1,2,3}, lo que implica una sola trasposición,
• {2,3,1}→ {1,3,2} (cambio 1 por 2) → {1,2,3} (el 2 por el 3), y se llevan a cabo un total de 2 trasposiciones.
Determinantes
De esta manera, y a partir de estos conceptos, se define el determinante de una matriz cuadrada así:
Definición.3.1. Determinante de una matriz cuadrada
Si A es una matriz cuadrada de dimensión m × m, se define el determinante de A (por notación det(A) o |A|) a la suma de los n! productos (signados) que están formados por n factores y se obtienen al multiplicar n elementos de la matriz. De tal forma que cada producto contenga un solo elemento de cada fila y columna de A.
|A|= (–1)s∑ n!
k=1
k a1j1 (3.1). . ...a2j2a3j3
anjn
donde j1,j2,… jn es una de las n! permutaciones del conjunto 1,2,…,n, y sk es el número de transposiciones requeridos para reordenar la permutación j1,j2,… jn en el orden, {1,2,…,n}.
85
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
s
A partir de esta definición, se deduce la ecuación (2.6), si se parte de una matriz
se tiene que el número de permutaciones a considerar son a11 a12a21 a22
,A2× 2=
las siguientes:
• {1,2} con 0 trasposiciones
• {2,1} con 1 trasposición
Por lo tanto:
|A|=(–1)0 a11 . a22+(–1)1 a12 . a21=a11 a22– a12 a21.
Esta es la expresión matemática que textualmente se traduce como el pro-ducto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la otra diagonal; es decir, un determinante de la matriz de tamaño 2 × 2.
12–11
12–11
2311a)
a)
b) c) C=A=
A=
B=2–4
–121
Solución:
Se procede así:
12–11
|A|= =[(2)(–1)–(1)(1)]=(–2–1)=–3.
Hallar el determinante de las siguientes matrices de tamaño 2×2:
Ejemplo 3.1.
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86
Bajo la definición de un determinante de tamaño 2×2:
Sí el sel de tamaño 2×2 tiene una única solución, entonces, el deter-minante da diferente de cero; de lo contrario, se dice que tiene infinitas soluciones o es inconsistente.
Ejemplo 3.2.
¿Qué valor tiene el determinante del sistema de ecuaciones y qué tipo de
solución tiene?
2311b) B=
Se procede así:
Se procede así:
231
|B|= =[(3)(1)–(2)(1)]=(3 – 2)=1.
|C|= =[(–4)(–0.5)–(2)(1)]=(2–2)=0.
1
c)
A.
C=2
2
–4
–4
–
–
1
1
21
21
Teorema resumen (determinante) – Sistemas 2 X2
Dado un sel de tamaño 2×2:
a11 x1+a12 x2=b1
a21 x1+a22 x2=b2
→
→ det(A)=18; tiene una única solución.
=a11 x1 b1a12a21 x2 b2a22
3x1 – 6x2 = 2
x1 + 4x2= – 4
87
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
s
B. → det(A)=2–2=0; x1 + x2= –2
2x1 + 2x2= –4
tiene infinitas soluciones o es inconsistente. En este caso, tiene infinitas soluciones por ser la misma ecuación. Simplemente cambia puesto que la segunda fue multiplicada por un factor 2.
Representación geométrica de un determinante de tamaño 2×2
Considere un paralelogramo con lados U y V:
Teniendo en cuenta que el área de este se calcula de la siguiente forma:
Área=X2 Y2 – X1 Y1= det(U,V)
Por tanto, el determinante de tamaño 2×2 se piensa como el área del paralelogramo.
Para el caso de una matriz de A3×3=a11a21
a12a22
a13a23
a31 a32 a33
,se consideran las
siguientes permutaciones:
Una
intr
oduc
ción
al á
lgeb
ra li
neal
y s
us a
plic
acio
nes
88
• {1,2,3},transposiciones 0
• {1,3,2},transposiciones 1
• {3,2,1},transposiciones 1
• {3,1,2},transposiciones 2
• {2,1,3},transposiciones 1
• {2,3,1},transposiciones 2
Por tanto, si se aplica la ecuación (3.1) se tiene lo siguiente:
|A|=(–1)0a11 . a12 . a13+(–1)1a11 . a23 . a32+(–1)1a12 . a21 . a33
+(–1)1a13 . a22 . a31+(–1)2a13 . a21 . a32+(–1)2a12 . a23 . a31
=a11 a22 a33+a13 a21 a32+a12 a23 a31–a11 a23 a32–a12 a21 a33–a13 a22 a31,
Esta expresión se conoce como la regla de Sarrus. A continuación, se pre-sentan dos ejemplos que permiten comprender dicha regla desde un punto de vista didáctico.
Ejemplo 3.3.
Halle el determinante de la matriz C3×3=3–2
–1125
142
Solución:
Para el cálculo de este determinante se utilizará la regla de Sarrus, de tal forma que se añaden las dos primeras columnas a la parte posterior de la matriz. De esta manera, se ve con mayor claridad cuáles son sus diagonales princi-pales y cuáles las inversas para el cálculo de los productos.
89
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
s
Halle el determinante de la matriz E3×3=–112
311
023
=(–2×–1×5)+(3×2×2)+(1×1×4)
=–(2×–1×1)–(4×2×–2)–(5×1×3)
=(10)+(12)+(4)–(–2)–(–16)–(15)
=10+12+4+2+16–15
=29.
|C|=–2 3 11 –1 22 4 5
Ejemplo 3.4.
=(1×2×1)+(–1×1×3)+(3×0×2)
=–(3×2×3)–(2×1×1)–(1×0×–1)
=(2)+(–3)+(0)–(18)–(2)–(0)
=2–3+0–18–2–0
=–21.
|E|=1 –1 30 2 13 2 1
Solución:
Para el cálculo de este determinante, nuevamente se utilizará la regla de Sarrus.
1
0 2
2
1 0 2
233 1
3–1 –11+ + +
Una
intr
oduc
ción
al á
lgeb
ra li
neal
y s
us a
plic
acio
nes
90
Definición. 3.2. Matriz menor
Si A es una matriz cuadrada y el menor del elemento aij se denota como Mij y es el determinante de la matriz que queda después de borrar el renglón i y la columna j de A, el cofactor de aij se denota como Aij y está dado por lo siguiente:
Aij=(–1)i+j|Mij | (3.2)
Ejemplo 3.5.
Determine el menor y el cofactor de los elementos a11 y a32 de la matriz A =
01–1
321
4–20
Hasta el momento se ha revisado el cálculo de determinantes para las ma-trices 2× 2 y 3× 3. Con respecto a lo anterior, se aclara que la regla de Sarrus es aplicable únicamente en el caso de las matrices de orden 3. A continua-ción, se define como caso general el cálculo de determinantes para toda matriz cuadrada n × n, y se parte del conocimiento de matrices menores y cofactores.
Solución:
Si se aplica la definición (3.2), se tiene lo siguiente:
M11=
M32=
–1–2
21
14
32
A11=(–1)1+1 M11=(–1)2 (3)=3
A32=(–1)3+2 M32=(–1)5 (–10)=10
|M11 |=
|M32 |=
=–1+4=3
=2–12=–10
–1 2–2 1
1 34 2
91
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
s
Ejemplo 3.6.
Halle el determinante de la matriz D=111
225
021
Definición. 3.3. Determinante de una matriz n×n por expansión por cofactores
El determinante de una matriz A de n× n es la suma de los productos de los elementos del i-ésimo renglón por sus cofactores.
De la definición anterior se tiene que, para el primer renglón, el determi-nante de A por expansión de cofactores corresponde a lo siguiente:
• Si A es de tamaño 3× 3, |A|=a11 A11+a12 A12+a13 A13
• Si A es de tamaño 4× 4, |A|=a11 A11+a12 A12+a13 A13+a14 A14
• Si A es de tamaño n× n, |A|=a11 A11+a12 A12+a13 A13+...+a1n A1n
|D|= =+1 –1 +21 0 02 2 12 1 15 5 2
1 1 201
12
25
Solución:
Este determinante será calculado por medio del método de cofactores y se propondrán dos opciones diferentes para su solución. En primer lugar, se encuentra el determinante tomando el primer renglón de la matriz como referencia, de esta manera:
=1[(1)(5)–(2)(2)]–1[(0)(5)–(2)(1)]+2[(0)(2) –(1)(1)]
=1(5–4)–1(0–2)+2(0–1)
=1(1)–1(–2)+2(–1)
=1+2–2
=1.
Una
intr
oduc
ción
al á
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ra li
neal
y s
us a
plic
acio
nes
92
|D|= =–0 +1 –21 1 12 2 12 1 15 5 2
1 1 201
12
25
=–0[(1)(5)–(2)(2)]+1[(1)(5)–(2)(1)]–2[(1)(2)–(1)(1)]
=0+1(5–2)–2(2–1)
=1(3)–2(1)
=3–2
=1.
Ahora, se calcula el determinante tomando como referencia el segundo renglón, que además se espera sea un proceso más simple debido a que uno de los elementos de dicho renglón es cero (0). Por tanto, un cofactor tomará el valor de cero y anulará la primera matriz menor, es decir:
Como era de esperar, en esta oportunidad el proceso para calcular el deter-minante fue corto a comparación de la primera opción.
Nota: queda como ejercicio para el estudiante resolver el determinante a partir del tercer renglón.
Ejemplo 3.7.
Halle el determinante de la matriz E=32
–1–140
11–1
Solución:
Este determinante se calculará por medio del método de cofactores y se propone, para su solución, tomar como referencia el segundo renglón de la matriz.
93
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
s
Halle el determinante de la matriz F=2–1
–1–1 02 1
–1 2–1 2
114
–11
=(–1) +(–1) –(4)3 2 2–1 –1 31 –1 –10 0 1|E|=
2 3 –11
–1–11
40
=–1[(3)(0)–(–1)(1)]–1[(2)(0)–(–1)(–1)]–4[(2)(1)–(3)(–1)]
=–1(0+1)–1(0–1)–4(2+3)
=–1(1)–1(–1)–4(5)
=–1+1–20
=–20.
Ejemplo 3.8.
F=2–1
–1–1 02 1
–1 2–1 2
114
–11
Solución:
A partir del primer renglón de la matriz se procede con lo siguiente:
= +(–1) –(2) +(–1)
–(0)
–1 1 1
1
2 2 –1
–1
1 1 1
1
1 –1 –1
–1
4 1 1
1
–1 –1 1
1
–1 –1 4
4
2 2 2
–1
2 2 2
–1
=–1(15)–2(10)–1(–15)
=–15–20+15
=–20.
Una
intr
oduc
ción
al á
lgeb
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acio
nes
94
Propiedad Ejemplo
El determinante de una ma-triz y de su transpuesta es el mismo:
|A|=|At |
Ejemplo 3.9.
Sean,
El determinante del producto de dos matrices cuadradas A y B es igual al producto de los determinantes de A y de B. Si A y B son dos matrices cuadra-das del mismo orden:
|A ⋅ B|=|A| ⋅ |B|
Ejemplo 3.10.
Sean
Propiedades
A continuación, en la tabla 3.1. se presentan las propiedades de los de-terminantes que facilitan su cálculo, más aún cuando el tamaño de la matriz cuadrada es superior a 3× 3. Además de ejemplos que permiten su entendimiento.
A=–472
80
1711
01
1172
10
17–4
08y At= , con
determinantes |A|=970 y |At |=970.
A . B=
A= B=con |A|=–2 y 2143
69107
26235855
con |B|=48, donde |A| ⋅ |B|=–96. Ahora, se
procede con el producto entre las matrices:
Posteriormente, al calcular su determinante
|A ⋅ B|=–96 se comprueba la propiedad.
Tabla 3.1. Propiedades de los determinantes.
95
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
s
Si se multiplica una fila (co-lumna) por un número k, el determinante queda multipli-cado por dicho número:
k|A|
Ejemplo 3.11.
Sea
Si A es una matriz de orden n y k, entonces es un número real:
|KA|=kn |A|
Ejemplo 3.12.
Sea
Si se intercambian dos ren-glones (columnas) de un determinante, entonces cam-bia su signo.
Ejemplo 3.13.
Sí
A= con |A|=–12, entonces sí k=2 214
332
512
224
332
1014
y si se multiplica la primera columna de A por k se
tiene A*=
De tal manera que su determinante es |A*|=24.
Por tanto, se cumple que 2|A|=24.
|A|=
=–96.
=–12, siendo A una matriz 1 2 352
41
32
2|A|=2⋅1 2⋅2 2⋅32⋅5 2⋅4 2⋅32⋅2 2⋅1 2⋅2
de orden 3. Además, considérese k=2, entonces
al multiplicar la matriz por k se tiene:
Por tanto, se cumple que 23 (–12)=23 |A|.
=3
=–3
y al intercambiar la fila 1 |A|=1 2 001
32
11
con la fila 2, entonces:
|B|=0 3 111
22
01
Una
intr
oduc
ción
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nes
96
Si en un determinante los elementos de un renglón (columna) son sumas de dos sumandos, se puede descom-poner en suma de dos deter-minantes.
Ejemplo 3.14.
Si una matriz tiene un ren-glón (columna) nulo(a), su determinante vale cero.
Ejemplo 3.15.
Sean
Si una matriz tiene dos ren-glones (columnas) proporcio-nales o iguales, entonces su determinante vale cero.
Ejemplo 3.16.
Sea
Si un renglón (columna) pue-de expresarse como combina-ción lineal de otros renglones (columnas), su determinante vale cero.
Ejemplo 3.17.
donde F1=2 ⋅ F2–F3.
423
211
221
213
111
221
|A|= =0 =0.y |B|=0 0 001
32
11
0 3 100
–22
01
= +1+1 2 35+2 4 32+3 1 2
1 2 352
41
32
1 2 323
41
32
–27=–12+(–15)
–27=–27.
A=
.B=
una matriz tal que la fila 1 es
dos veces la fila 3 y su determinante es
|A|=0
Una matriz con la fila 1 igual a la fila 3; por tanto, su
determinante es |B|=0.
=|A|=2 ⋅ 2–1 2 ⋅ 3–2 2 ⋅ 1–1
2 3 11 2 1
3 4 121
32
11
=0,
97
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
s
Si a un renglón (columna) se suma una combinación lineal de otros renglones (colum-nas) paralelos, su determinan-te no varía; es decir, si se suma otro renglón (columna) multi-plicado por un número real, su determinante no varía.
Ejemplo 3.18.
Ahora, al renglón número 1 se le aplica la siguiente operación:
Si A es una matriz diagonal, su determinante es el pro-ducto de los elementos de su diagonal principal.
Ejemplo 3.19.
Si A es una matriz triangular
inferior, su determinante es el
producto de los elementos de
su diagonal principal.
Ejemplo 3.20.
Si A es una matriz triangular
superior, su determinante es
el producto de los elementos
de su diagonal principal.
Ejemplo 3.21.
|A|= =–12.
=–12
2 ⋅ 3+1 2 ⋅ 2+2 2 ⋅ 1+33 2 12 1 3
1 2 332
21
13
|A|= =12.4 0 000
30
01
|A|= =15.5 0 01–3
32
01
|A|= =8.–2 1 200
40
–3–1
F1=F1+2 ⋅ F2, entonces
Una
intr
oduc
ción
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y s
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acio
nes
98
Ejemplo 3.22.
Halle el determinante de la matriz F=
11–1
2 22 01 12 2
124
24
G=
02–1
4 41 04 12 2
323
01
Solución:
En esta ocasión, resulta útil aplicar las propiedades de los determinantes, particularmente se puede aplicar la siguiente propiedad:
Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante es cero
Y como se puede observar, los renglones 3 y 4 de la matriz F son propor-cionales puesto que el renglón 4 es dos veces el renglón 3. Por tanto, se tiene lo siguiente:
F= =0
11–1
2 22 01 12 2
124
24
Ejemplo 3.23.
Halle el determinante de la matriz
Solución:
Si se hace uso de las propiedades de los determinantes, se simplifica el cálculo del determinante de G al reducir por renglones; es decir:
99
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
s
De tal manera que el cambio de renglones efectuado como primer paso cambia el signo del determinante de la matriz G, mientras que las siguien-tes dos operaciones entre renglones no afectan el valor del determinante. Tal que lo siguiente
|G|=(–1)
31–10
2 2–5 –64 10 0
02
–600
se puede seguir reduciendo, pero se puede observar que el último renglón contiene una considerable cantidad de ceros (0); por tanto, se procede a cal-cular el determinante por cofactores por medio del tercer renglón:
21–5
2–61
040
31–10
2 2–5 –64 10 0
02
–600
|G|=(–1) =(–1)(+1)(–6)
Nótese que, el primer factor (–1) corresponde a la ya nombrada aplicación de la propiedad del cambio de renglones, el segundo factor (+1) se refiere al signo del cofactor, el cual en este caso es (–6); por último, el determi-nante de la matriz menor
21–5
2–61
040
=19.
02–1
4 41 04 12 2
323
01
31–1
2 21 04 14 4
320
02
31–10
2 2–5 –64 10 0
02
–600
31–10
2 2–5 –64 12 2
023
01
F2: F2–3F1 F4: F4–2F1F1↔ F4
Una
intr
oduc
ción
al á
lgeb
ra li
neal
y s
us a
plic
acio
nes
100
Entonces, se tiene lo siguiente:
|G|=(–1) =(–1)(+1)(–6)(19)=114.
31–10
2 2–5 –64 10 0
02
–600
Finalmente, se concluye este ejercicio si se desarrolla en su totalidad por medio del método de cofactores para una matriz 4×4. Por tal razón, se toma como referencia el primer renglón, puesto que contiene un cero (0) como elemento. Para simplificar dicho cálculo se hace lo siguiente:
1–14
012
223
134
012
021
–1 –13 32 2
0 11 42 2
0 03 31 1
|G|=
=2 –0 +4 –4
02–1
4 41 04 12 2
323
01
=2(–7)–0(19)+4(2)–4(–30)
=–14+0+8+120
=114.
Nota: queda como ejercicio para los estudiantes resolver los determinan-tes de las matrices menores que resultaron del último paso del ejemplo anterior.
Cálculo de la inversa de una matriz n × n por la adjunta
Ahora que se conoce la teoría acerca del cálculo de determinantes y sus propiedades, se retoma el tema de las inversas de una matriz. Por esto es que, a continuación, se presentan algunos ejemplos que permiten com-prender el cálculo de inversas al aplicar lo siguiente:
A-1= Adj(A) (3.3)|A|1
101
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
sEjemplo 3.24.
Hallar la inversa de la matriz E=12
–1425
162
12–1
265
124
Solución:
A continuación, se soluciona la inversa de la matriz E por el método de la matriz adjunta. Para ello, se calcula en primera instancia su determinante utilizando la regla de Sarrus.
2
1 –1
6
2 1
622 5
41 1
–1
2+ + +
12–1
425
162
|E|= =(2×–1×5)+(1×2×2)+(4×1×6)
=–(2×–1×4)–(6×2×2)–(5×1×1)
=(–10)+(4)+(24)–(–8)–(24)–(5)
=–10+4+24+8–24–5
=–3.
Una vez calculado el determinante se aplica la ecuación para el cálculo de la inversa de una matriz de tamaño 3× 3.
Después, se procede a calcular la matriz transpuesta Et, tal que Et= .
En seguida, las determinantes de cada una de las matrices menores de tamaño 2× 2 de la matriz Et, así:
Con |A|≠0 y siendo Adj(A), la matriz conocida como adjunta de una matriz se entiende como la matriz transpuesta de cofactores.
Una
intr
oduc
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acio
nes
102
211
340
065
6 6 –1
–12
2 2 1
2 1
–1 1 1
1–1
1 2 2
2 2
5 5 2
6
5 5 2
6
=–17 =–19 =6
=8
=1 =2 =0
=10 =–3
,
2 4 4
2 4 4
1 1
De esta manera, se procede a crear la matriz de cofactores. Para esto, se usan los resultados de los pasos anteriores con el fin de crear una matriz de cofactores nueva y alinear el determinante de cada una de las matrices de 2× 2 con su posición correspondiente en la matriz original. Por ejem-plo, el determinante que se calculó para el término E1,1 de la matriz original debe ir en la posición (1,1) en la matriz de cofactores. Luego, se cambia alternativamente el signo de los términos de esta matriz nueva según el patrón de se muestra a continuación:
+ – +
+ – +– + –
de lo que resulta
+(–17) –17–(–19) 19=
=
+(6) 6–(1) –1+(2) 2–(0) 0+(8) 8–(10) –10+(–3) –3
–17 19 6–1 2 08 –10 –3
Adj(E)=
E-1=
F=Halle la matriz inversa de
.
.
Finalmente, se aplica la ecuación (3.3) y se obtiene la matriz inversa:
317
319
31
32
38
310–
–
–
–2
0
131–
Ejemplo 3.25.
103
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
s
Una vez calculado el determinante se aplica la ecuación 3.3 en la matriz F, se procede a cacular entonces la matriz transpuesta, Ft, tal que
Solución:
A continuación, se soluciona la inversa de la matriz F por el método de la adjunta. Para ello, se calcula en primera instancia su determinante utilizando la regla de Sarrus.
1
0 1
6
4 0
655 0
32 2
1
1+ + +
F= =( 1×1×0)+(2×4×5)+(3×0×6)1 2 305
16
40
=–(5×–1×3)–(6×4×1)–(0×0×2)=1.
1 0 523
14
60
Ft=
Ahora, se calculan las determinantes de cada una de las matrices menores de tamaño 2× 2 de la matriz Ft:
6 6 1
5
5
5
5
0
0
1 2 2
0
0
1
1
1
1
0 0 4
0
6
0
6
4
1
=–24 =–18 =5
.
=–20
=–5
=–15
=–4
=4
=1
4 3 3
4
1
3
2
3
2
La matriz adjunta resultante es:
–24 18 520Adj(F)= –15 –4–5 4 1
Una
intr
oduc
ción
al á
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acio
nes
104
–24 –2418 185 520 20F-1= –15 –15–4 –4–5 –54 41 1
Finalmente, se aplica la ecuación (3.3) y se obtiene la matriz inversa:
=11
Aplicaciones
Criptograma
La criptografía es la técnica que permite proteger información o documen-tos por medio de un mensaje escrito en un código secreto, conocido como criptograma. Las matrices juegan un papel muy importante en este tipo de técnicas, puesto que para crear criptogramas se debe asignar un número a cada letra del alfabeto (el cero representa espacios en blanco).
A=1 G=7 M=13 R=19 X=25
B=2 H=8 N=14 S=20 Y=26
C=3 I=9 Ñ=15 T=21 Z=27
D=4 J=10 O=16 U=22 .=28
E=5 K=11 P=17 V=23 _=29
F=6 L=12 Q=18 W=24
Luego, el mensaje es convertido a números y se divide en matrices fila sin co-dificar, cada uno con "n" elementos (a la escogencia del usuario). Se encripta multiplicando cada matriz fila formada por n elementos por una matriz cua-drada de orden n que tenga inversa. El resultado es el mensaje encriptado (a la matriz cuadrada utilizada la llamamos matriz clave).
Encripte las palabras “algebra lineal” utilizando matrices filas de tres ele-mentos.
A L G E B R A L I N E A L .
1 12 7 5 2 19 1 29 12 9 14 5 1 12 28
Ejemplo 3.26.
105
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
s
Complicamos el cifrado al multiplicar cada 3 elementos por una matriz de orden tres invertible. Por ejemplo:
1 2 305
16
40
A=
–24 18 520–5
–154
–41
A-1 =
1 2 305
16
40
(1 12 7) .
1 2 305
16
40
(5 2 19) .
1 2 305
16
40
(1 29 12) .
1 2 305
16
40
(9 14 5) .
1 2 305
16
40
(1 12 28) .
=(36 56 51)
=(100 126 23)
=(61 103 119)
=(34 62 83)
=(141 182 51)
Por tanto, el mensaje cifrado corresponde a lo siguiente:
36 56 51 100 126 23 61 103 119 34 62 83 141 182 51
Ahora, ¿es posible decodificar un mensaje cifrado? En este caso, la res-puesta es afirmativa, y para su decodificación es necesario conocer la ma-triz clave A y calcular su respectiva inversa.
Se procede, entonces, a multiplicar cada matriz fila de orden tres (formada por tres elementos del mensaje cifrado) por la matriz inversa de A.
Una
intr
oduc
ción
al á
lgeb
ra li
neal
y s
us a
plic
acio
nes
106
B=1 1 20
–1–43
24
C=1 2 –2 4112
–1–34
0 1–2–4
18
2 –10 1
A=
(36 56 51) .
(100 126 23) .
(61 103 119) .
(34 62 83) .
(141 182 51) .
=(1 12 7)
=(5 2 19)
=(1 29 12)
=(9 14 5)
=(1 12 28)
–24 18 520–5
–154
–41
–24 18 520–5
–154
–41
–24 18 520–5
–154
–41
–24 18 520–5
–154
–41
–24 18 520–5
–154
–41
Los anteriores son los valores originales que conforman la frase “algebra lineal”.
Ejercicios
Ejercicios teóricos
1. Si las matrices
entonces halle:
, , ,
a) |A|
d) |C|
b) |B|
e) C-1
c) B-1
f) |Bt|
107
Capí
tulo
3: D
eter
min
ante
s
e) No es invertible, f) -32.
2. Encuentre el valor del determinante teniendo en cuenta el parámetro
a y use únicamente las propiedades
3. Partiendo del determinante
4. Dadas las matrices siguientes:
a2a2a
a aaa
a 2a
aaa
aa
A=
=7,
Repuesta: 5a4
a b cpx
qy
rz
encuentre el valor de los
siguientes determinantes sin desarrollarlos y use únicamente las propie-dades:
a)
a) 14, b) –35
b) a+2x –bb+2y c+bc+2z 5a
2x+p –y2y+q z+y2z+r 5xP –qq r+qr 5p
Respuesta:
0 11 0
A= 2 21 11 01 2
, ,B= C=
,a) 2, b) –32, d) 0c) B-1=
Repuestas:
1611
161
165
161
163
81
81
81
– –
– 161
2aa
Una
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nes
108
Halle el determinante del producto de las matrices A . B . C.
Respuesta: –4
1 20 3
A=
5. Calcule el determinante de la transpuesta de la matriz:
7. Encripte las siguientes frases:
a. Matriz inversa.
b. Determinante de una matriz.
Haga uso de la matriz clave:
Respuesta: 3
Respuesta: 24409
6. Haga uso de la eliminación por renglones para reducir la siguiente matriz de tamaño 5×5 en una matriz triangular y, por medio de las propiedades de los determinantes, calcule su resultado:
A=2 8 5 474153
31
–3
24
5 3 –42
–72
6 29 5
–2 –2
Ejercicios de aplicación
A=0 2
01
–12
53
–1
Ejercicios – aplicación de GeoGebra
Resuelva los ejercicios 4 y 5 de esta sección haciendo uso de los co-mandos de GeoGebra.
109
Capí
tulo
1: S
iste
mas
de
ecua
cion
es li
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es
Un sistema de ecuaciones lineales (sel) es una colección de dos o más ecuaciones lineales, cada una con dos o más varia-bles (incógnitas). La solución de un sel consta de valores de las variables que son verificados en cada ecuación.
Al conjunto de todas las soluciones se le llama conjunto solu-ción (cs) del sel.
Métodos matriciales
Solución de sel por el método de eliminación de renglones (Gauss-Jordan)
El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n número de varia-bles. Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicará a toda la fila o a toda la co-lumna, según sea el caso. En esta oportunidad se denotará de la forma , indicando que la operación se efectuará sobre la n-ésima fila (reglón).
El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz en la que están los coeficientes de las variables en una matriz identidad (I). Esto se logra mediante simples operacio-nes de suma, resta y multiplicación.
Capítulo 4. Métodos matriciales en la
solución de sistemas de ecuaciones lineales
Fn: KFn
111
Capí
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3: M
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cion
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es
Luego, la información se resume en una matriz aumentada de la forma [A|b] en la que A es la matriz de coeficientes y b el vector de resultados, hasta ob-tener, por medio del uso de las operaciones entre renglones, a la izquierda la matriz identidad I y a la derecha el vector de resultados transformado b*. Este último vector es la solución del sistema de ecuaciones [I|b].
El procedimiento es el siguiente: primero, se debe tener el sistema de ecua-ciones que se quiere resolver y que puede ser de n número de variables, por ejemplo:
a11x1
a21x1
a12x1
a22x1
+ + + =+ + + =
+ + + =
a1nx1
a21x1
b1
b2
an1x1 an2x1 anmx1 bm
a11
a21
a12
a22
a1n
a21
b1
b2
an1 an2 anm bm
→
→
→
→
→
Operaciones elementales entre renglones
Sea la siguiente matriz:
2 3
23
–451
–1–2
2 3
23
–451
–1–2
5 8
23
–451
–3–2
Por medio de la cual vamos a iniciar las operaciones elementales entre matrices.
i. Suma entre renglones
Ejemplo 4.1.
Es posible realizar la suma entre renglones de una matriz, para ello se
denota lo siguiente:
F1+F2
(4.1)
Una
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nes
112
con elementos que únicamente son 1 y 0. Esto se conoce como matriz
identidad y se representa, en este caso, I3×3=I3=
A continuación, se presenta el proceso por medio del cual es posible con-
vertir la siguiente matriz de coeficientes
F2
–F3
F1 ↔ F2
F2 + 2F1–F1F3 + 2F1
ii. Producto de un renglón por un escalar
iii. Intercambio de renglones
Ejemplo 4.2.
En este caso, se afirma que es posible multiplicar una fila (renglón) por cualquier escalar, menos el cero.
2 3
23
–451
–1–2
2 3
23
–451
–1–2
2 3
23
–451
–1–2
–2 –3
23
–451
1–2
–2 –3
2–1–4
–11
10
–2 –3
0–10
–1–5
10
0 0
01 .0
1
10
2 3
23
–451
–1–2
2 3
2 –4 1
–1
–212
23
25
2 334
5–1
–1–2–2
3 52
–431
–2–12
Ejemplo 4.3.
en una matriz
Observe cada una de las operaciones indicadas, previa a cada matriz:
113
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es
De esta manera, se puede observar que la primera columna ya cuenta con los elementos 1, 0 y 0:
–2 –3
0–10
–1–5
10
Ahora, se procede a transformar la segunda columna con los elementos 0,1 y 0:
–F2 F1 + 2F2
–2 –3
010
1–5
10
0 –1
010
1–5
10
0 –1
010
11
10
–2 –3
0–10
–1–5
10
F31
–5
De esta manera, se cumple el objetivo:
0 –1
010
11
10
Finalmente, se procede a convertir los elementos de la última columna de 0,0 y 1:
0 –1
010
11
10
0 –1
010
01
10
0 0
010
01
10F2 – F3 F1 + F3
En este ejercicio, los elementos en las posiciones a11,a22 y a33 son considera-dos como elementos de referencia para realizar las operaciones entre renglo-nes, elementos conocidos bajo el nombre de “pivotes” de la matriz
Ejemplo 4.4.
Convierta la matriz en identidad:
3 4
–223
–14
2–1
.
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114
Solución:
3 3/2
3/2 3/2 0
0 0 0 0
3/2 3/24 2
2 2 11/7
11/7 11/7 11/7 1
2 2
–2 –2
0 0 0
0 0 0 0
–2 02 2
1 1 1
1 1 1 1
7/2 7/23 3
6 0 0
0 0 0 0
3 6–1 –1
2/7 2/7 2/7
2/7 2/7 0 0
44/7 44/7
44/7 1 1 1
1 14 4
8
4 8
2 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1–1 –1
0 0 0
0 0 0 0
0 0F1
12
F227
F37
44 F37
44
F2 + F1 F3 + 2F1
F3 – 6F2
F2 – 2/7F3 F1 – 11/7F3
F1 F232–
.
Representación matricial Proceso
1a21
a12
a22
a1n
a2n
b1*b2*
an1 an2ann bn*
10
a12
a22
a1n
a2n
b1*b2*
an1 an2ann bn*
10
a12
a22
a1n
a2n
b1*b2*
0 an2ann bn*
10
a12
1a1n
a2n
b1*b2*
0 an2ann bn*
F1: KF1 Multiplicar la fila 1 por una constante k, de tal manera que el elemento a11 se convierta en 1, en otras palabras, por el inverso multiplicativo de a11.
F2: F2+kF1 Sumar (restar) a la fila 2, k-veces la fila 1, tal que el elemento a21 sea igual a cero (0).
Fi:Fi+kF1
F2:kF2
Sumar (restar) a la i-ésima fila, -veces la fila 1, de tal manera que todos los elementos de la prime-ra columna ai1 sean iguales a cero (0), a excepción de a11. Para ello, se repite hasta la fila n-ésima.
Multiplicar la fila 2 por una constante k tal que el elemento a22 se convierta en 1, en otras palabras, por el inverso multiplicativo de a22.
Tabla 4.1. Operaciones entre renglones para convertir una matriz cuadrada en identidad.
115
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Sumar (restar) a la i-ésima fila, k-veces la fila 2, de tal manera que todos los elementos de la segunda columna sean iguales a cero (0), a excepción de Para ello, se repite hasta la fila n-ésima.
Tal como se hizo con las dos primeras columnas, se repite el proceso cumpliendo con el objetivo de trans-formar la matriz de coeficientes en la matriz identidad I. Entonces, el vector con los elementos (b1*,b2*… bn*) es la solución del sistema de ecuaciones. Es impor-tante aclarar que esto último no siempre sucede, es posible que el sistema tenga infinitas soluciones o sea inconsistente.
Debido a que la eliminación Gauss-Jordan se basa en el método de reducción de renglones, existe la posibilidad de realizar intercambio de renglones si así lo desea.
10
01
a1n
a2n
b1*b2*
0 0 ann bn*
10
01
00
b1*b2*
0 0 1 bn*
Fi:Fi+kF1
2x–3y+4z=1
–2x+y–2z=4
–4x+2y+3z=–1
–3 3/2 3/2
3/2 3/2 3/2
1/2 1/2
1/2 1/2 1/2
4 2 2
2 2 2
–4 –1 –4 –4
0 0 0
1 4 1 4 5
5 –5/2 –5/2
2 2 2–1 –1
1 1 –9
–2 –2 2
2 –1 –1
–2
–2 1 1–4 –4 0
3 3 3
11 11 7
–22 1 1
1 1 1
1–2 0
0 0 0
F112 F2 +2F1
F2 +F3
F3 +4F1 F3 +4F2
F1
F1
F2
F3
32
12
+
–
F317
– –
– – –F2
12
–
0 0 0
0
–13/4 –13/4 –13/4
–73/28
1/2 1/2 1/2
0
0 0 0
0
–5/2 –5/2 –53/14
–53/14
–1 –1 0
0
–9 –9/7 –9/7
–9/7
7 1 1
1
1 1 1
1
0 0 0
0
1 1 1
1
0 0 0
0
Ejemplo 4.5. Sistema de ecuaciones con solución única
Solución de sel por Gauss-Jordan:
Una
intr
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116
2x–3y+4z=1–2x+y–2z=4
–4x+6y–8z=–2
–3
3/2 3/2
3/2
1/2 1/2
1/2
4
2 2
2
–4 –2
–4 –4
0
1 4
1 4 5
5
6
6 6
0
–2 –2
0
–2–8
–2 2
2
–2
–2
–8 –8
0
–22
2 1
1
1
–2 0
0
F112 F2 +2F1
F3 +4F1
– –
–
Solución: 7328
5314
97
– ,– ,–
Figura 4.1. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones con solución única.
Ejemplo 4.6. Sistema de ecuaciones con infinitas soluciones
En este caso, queda una fila completa de ceros; por tanto, se asume que el sistema tiene infinitas soluciones. Esto se escribe de la siguiente forma:
117
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x – 3/2y + 2z = 1/2– 2y + 2z = 5
0x + 0y + 0z = 0
x – 3/2y + 2z =1/2–2y + 2z = 5
z = z
En el renglón que queda la fila de ceros se expresa en términos de un parámetro:
32
52
12
12
12
12
12
12
32
154
154
134
32
52
x= y–2z + z– – 2z +
z=z
+ + = – = –z – z –– 2zz–=
– 2z +5– 2
y = =z
→
–
Respuesta:
Solución múltiple o infinitas soluciones:
12
134
52
– z– , z– , z
¿Por qué infinitas soluciones?:
Si z=0
Si z=1
134
52
– , – , 0
154
32
– , – , 1
En este paso se pueden dar infinitos valores para z, de tal manera que, asimismo, tendremos infinitas soluciones.
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2x – 3y + 4z= 1–2x + y – 2z= 4
–4x + 6y – 8z = 10
Figura 4.2. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones.
Ejemplo 4.7. Sistema de ecuaciones inconsistente
–3 3/2 3/2
3/2
1/2 1/2
1/2
4 2 2
2
–4 10 –4 –4
0
1 4 1 4 5
5
6 6 6
0
10 10
12
–2–8
–2–8
2
2
–2
–2
–8
0
–22 2 1
1
1–2 0
0
F112 F2 +2F1
F3 +4F1
– –
–
Nota: en el caso de que una fila (renglón) dé como resultado ceros, pero al otro lado del igual un número distinto de cero, entonces, se dice que el sel es inconsistente o que no tiene solución. Entonces, se tendría lo siguiente en este caso:
0x + 0y + 0z =12
0≠ 12
Lo que ratifica que es una inconsistencia.
119
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Solución de sel por el método de Gauss
El método de eliminación de Gauss consiste en transformar un sel en otro equivalente por medio de la reducción de renglones. De forma que este sea escalonado (triangular superior o inferior) y, por el método algebraico de sustitución, se encuentren los valores de las incógnitas.
Ejemplo 4.8.
2x+3y+4z=2–5x–2y+4z=–5
3x–y+z=1
3 3/2 14 2
3 1 3–51
4–2–1 1
4–2–1 1
–5 –52 12
–5F1
12
F2211
F319
F2112
F232
F2 +5F1
F3 +3F1
3/2 12
301
1411/2–1 1
10
3/2 3/2
0
3/2
0
1 1
1
1
1
2 2
–20/11
2
–20/11
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
–2 –2
–2
–2
–2/9
14 28/11
28/11
28/11
28/11
11/2 1
1
1
1
11/2 11/2
0
11/2
0
–5 –5
9
–5
1
1 1
1
1
1
0 0
0
0
0
– – –
F3+
F1–
La matriz en color rojo es una matriz conocida como triangular superior.
(1)x+0y– z=1
z=0
z=–→
11281120
92
92
(2)0x+1y+
(3)0x+0y+1z=–
Una
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120
4x –y –7z=12x +3y +z=0x +3y –4z –1
–1 3 –1–7 –4
1 –1 401
133 –1
43–1 –7
2 04 11
2F1↔F3
F21
–3
F2 +2F1
F3 +13F2F3 –4F1
3
3 3 3
–1
–1 –1 –1
–4
–4 –4 –4
–3 –3
–30
4
00 0
2
2 23
113
1
55
9
9
–3
–3 1 1
–1
–13–13 0
–7
99
1
1 1 1
0
0 0 0
En casos como este es que se aplica el método de sustitución:
(2)0x+1y+ z=0
=0
=0
1128
(1)x+0y–
x–
x+ =1
z=1
=1
1120
1120
9940
1128
956
9956
1y+92–
y –
y=
Finalmente, se hace una sustitución para la primera ecuación:
– 29
5999
5699
29
→x=1 x=9940
9959–
Resultado:
(x,y,z)= , , –
Ejemplo 4.9.
23– –
–
121
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es
En este caso, ya se llegó a la matriz triangular superior.
(1)x+3y–4z=–1
2x+3y–5z=8 3x–2y+6z=2
23113
(2)0x+1y–3z=–
(3)0x+0y–30z=–
De la (3):
–30z=–
x=
113
718
z= = 1190
113
301
–
–
Reemplace en (2):
y=–3/10
Luego reemplace z,y en (1):
Respuesta:
718
310
1190
,– ,
Ejemplo 4.10.
23
32
32132
52
52
272
82
–56
3–2
F112 1
14 4
3 02 –106–2
––
–F2 +3F1
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122
132
32
32
132
132
272
52
52
2013
272
272
272
–
x+
–
–
–
y+
y –
y +–
y=–10
–10–
113
132
52
272
(1) x+
(3)z=z
(2) –
y–
y+
z=4
z=–10
z=–10
z=4
zx=4
z
zz
y= = +
En este caso, al ser una matriz rectangular y al escribirla de forma triangu-lar, se tiene que existe un parámetro z:
Por lo tanto, en la (2):
32
2013
2713
52+–x=4 + z z
3013
2213
8126
813
52+–x=4
x=
–
–
z
z
z
Ahora en la (1):
Se tiene un sel con solución infinita:
2213
2013
2713
813
– +z, z,z
123
Capí
tulo
3: M
étod
os m
atric
iale
s en
la s
oluc
ión
de s
iste
mas
de
ecua
cion
es li
neal
es
En este caso, está siendo parametrizado por z:
Sí z =0
Sí z =1
2213
1413
2013
4713
0
1
,
,
,
,
Ejemplo 4.11. sel rectangular homogéneo
2x+3y–5z=0
3x–2y+6z=0
23
32
32132
52
52
272
00
–56
3–2
F112 1
10 0
3 00 06–2
––
–F2 +3F1
En este caso, al ser una matriz rectangular y al escribirla de forma trian-gular, se tiene que existe un parámetro z:
32
32
2713
8126
813
52
52
52x+ x+ x+ x= –z– –y – z=0 z=0 z=0 zz
132
272 – y + z=0
132
2713
272 – y = – z→ y = z
32
132
272
52(1) x+
(2) –
y –
y +
z=0
z=0
(3)z=z
De la segunda:
De la primera:
→ → →
Una
intr
oduc
ción
al á
lgeb
ra li
neal
y s
us a
plic
acio
nes
124
x+y+z=0
x–y=0
x+3y+2z=0
Ejemplo 4.12.
1 1 1 1–1 –2 1 1–1 1/2 1/2
1 1 1 1
1 0 0 00 0 0 00
3 2 2 02 1 1 01 0 0 00 0 0 01 1 1 10 0 0 0F2 –F1
F3 –F1F3 +2F2
f212
–
z=z
(x,y,z)=
Δ= ,donde Δ≠0. (4.2)
12
12+y+z=0 → x=–y–z→x = z–z= z–
12
12z, z, z– –
12
12 zz=0 → y = –y +
Solución de sel por Cramer
La regla de Cramer se aplica a sistemas que cumplen con las siguientes condiciones:
1. El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
2. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.
Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.
Considere un sistema de Cramer de la forma (4.1), tal que Δ sea el deter-minante de la matriz de coeficientes
a11
a21
a12
a22
a1n
a2n
an1 an2 ann
125
Capí
tulo
3: M
étod
os m
atric
iale
s en
la s
oluc
ión
de s
iste
mas
de
ecua
cion
es li
neal
es
Sean Δ1 ,Δ2…Δn, los determinantes que se obtienen al sustituir los coefi-cientes del vector de resultados b en la primera columna, en la segunda columna y en la n-ésima columna, respectivamente. Tal que el sistema de Cramer tiene una única solución y se encuentra definida por lo siguiente:
→
x1= ,…,xn=,x2 =Δ1
ΔΔ2
ΔΔn
Δ
En caso de que el Δ=0, se dice que el sel no tiene una única solución, sino que, al contrario, cuenta con infinitas soluciones o puede que sea un sistema inconsistente.
Ejemplo 4.13. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1
–1–1
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
2
1
1
z 21
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
–2
–2
–2
–2
–2
–2
–2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
x 1–4
–4
–4
–4
–4
–1
–4
–4
y –1
|A|=
x1=
x2=
xn=
=
=
=
=
=
=
=–49
=
–25
–31
–10
25
31
10
–49
–49
–49
49
49
49
Una
intr
oduc
ción
al á
lgeb
ra li
neal
y s
us a
plic
acio
nes
126
2 3
1 z
z
z
0
0
52
63
4x
x
xx = A-1 . b → =
2
2
–1y
y
y
–1
–1
=
=
Solución de sel por la matriz inversa
El sistema de ecuaciones (4.1) es planteado de la forma A . x .=b, en la que A es la matriz de coeficientes, x el vector de incógnitas o variables y b el vector de resultados.
→ →
→ →
Ejemplo 4.14.
–x+2y+3z=–1
4x+5y+6z=2
x+2y+3z=0
→→01
1/2
1/2
5/6
13/6–3
1
1–1/2
–1/2 –2/3
–
Por tanto, la solución al problema es única y corresponde a 12
56,1–
Ejercicios
Ejercicios teóricos
1. Para los siguientes sistemas de ecuaciones verifique qué tipo de solu-ción tienen (recuerde que no es necesario llegar al resultado, solamen-te realice un análisis de los sistemas).
a.
b.
2x+5y=–1
–x–2.5y=0.5
4x+5y=015
35
25x+ y =
(x,y,z)=
127
Capí
tulo
3: M
étod
os m
atric
iale
s en
la s
oluc
ión
de s
iste
mas
de
ecua
cion
es li
neal
es
c.
d.
4x–10y=–18x–20y=5
3x+y–12=05x–y+3=0
Respuesta:
a. Infinitas soluciones.
b. Única solución.
c. Sistema inconsistente.
d. Única solución.
2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones rectangulares utilizan-do los métodos de solución matriciales (Gauss o Gauss-Jordan):
a.
a.
b.
c.
b.
c.
3x+y+z+w=05x–y+z–w=0
x–y–z+w=43x+5y–6w=0
9x+5y+9z=3–45x+10y+27z=–6
Respuesta:
14
14z, –w, z, w– –
52
58+ z +
421
17+ z, 9
357235
32
38
98
18 w, .
.
.
z+–
–
– w, z, w
z, z
Una
intr
oduc
ción
al á
lgeb
ra li
neal
y s
us a
plic
acio
nes
128
3. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando cualquiera de los métodos de solución matriciales (Gauss, Gauss-Jordan, Cramer o Inversa de una matriz):
a.
a. b. c.
d. e. f.
b.
c.
d.
e.
2x+5y=–1x+5y+3z=1
y=2–z
(–23,9,–7), (0,0,0),
4,– , ,
(z,–z,z),
(–1,3,–2) ,
2x+y–z=04x+2y–2z=0
x–z=0
2x+y–3z=75x–4y+z=–19
x–y–4z=4
w–2x+2y–3z=153w+4x–y+z=–62w–3x+2y–z=17w+x–3y–2z=–7
4x–5y +2z =0
– x+
x+ y=0
y+z=01525
25
25
Respuesta:
12
21971
24771
16271
6171
12, ,– ––
129
Capí
tulo
3: M
étod
os m
atric
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s en
la s
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ión
de s
iste
mas
de
ecua
cion
es li
neal
es
Ejercicios de aplicación
Para los ejercicios 4 y 5 se pide plantear el sel y dar solución por medio de los métodos matriciales.
4. Un estudiante de matemáticas básicas tiene la siguiente situación problema: si se suma 7 al numerador y al denominador de una de-terminada fracción, se obtiene la fracción 2/3. Si en vez de sumar 7 se resta 3 al numerador y al denominador, se obtiene la fracción 1/4. Entonces, encontrar dicha fracción.
5. Hay una familia bogotana conformada por los padres y una hija. La suma de las edades actuales de los 3 es de 80 años. Dentro de 22 años, la edad de la hija será la mitad de la de la madre. Si el padre es un año mayor que la madre, ¿qué edad tiene cada uno actualmente?
6. Una cabaña vacacional en la Sabana de Bogotá tiene una excelente reputación por la atención que brinda a las necesidades especiales de salud de sus huéspedes. En la semana de receso académico, el administrador espera recibir cuatro huéspedes universitarios, todos ellos con la condición de ser diabéticos dependientes de insulina. Estos huéspedes planean permanecer en la posada durante 8, 15, 20 y 27 días, respectivamente.
La cabaña se encuentra muy alejada de la farmacia más cercana (7 km, aproximadamente), de modo que, antes de que lleguen los hués-pedes, el administrador planea obtener la cantidad total de insulina necesaria.
Se requieren tres tipos diferentes de insulina: A, B y C. El adminis-trador almacenará la insulina y después el personal administrará la dosis diaria de los tres tipos a cada uno de los huéspedes.
Los requerimientos diarios son:
• Huésped 1: 20 unidades de insulina B, 30 de A y 10 de C.
• Huésped 2: 40 unidades de insulina B, 0 de A y 0 de C.
Una
intr
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y s
us a
plic
acio
nes
• Huésped 3: 30 unidades de insulina B, 10 de A y 30 de C.
• Huésped 4: 10 unidades de insulina B, 10 de A y 50 de C.
a. Represente esta información en una matriz de requerimientos llamada R.
b. Determine las cantidades totales de los tres tipos de insulina nece-sarios para los cuatro huéspedes.
c. Suponga que cada huésped decidió duplicar su tiempo de estancia original. Entonces, calcule el total de la cantidad de insulina de los tres tipos.
Ejercicios – aplicación de GeoGebra
Haga uso de los comandos de GeoGebra para solucionar el ejercicio 3 de la presente sección por medio del método de Cramer. Además, grafique en el GeoGebra 3D el conjunto de soluciones de cada sel.
130
Referencias
Kolman, B. y Hill, D. (2006). Álgebra lineal: fundamentos y aplicaciones. Pearson.
Hohenwarter, M. (2021). Manual de GeoGebra. https://wiki.geogebra.org/es/Manual
Lay, C. (2012). Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson.
Poole, D. (2011). Álgebra lineal: una introducción moderna. Cengage Learning.
Strang, G. (2012). Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson.
