UNA INTRODUCCION A LA INTEGRAL DE RIEMANN...

UNA INTRODUCCION A

LA INTEGRAL DERIEMANN STIELTJES

Raul Alfonso Galeano Acosta

Director

Milton del Castillo Lesmes Acosta

UNIVERSIDAD FRANCISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA D.C.

12 Febrero 2017

Contenido

Agradecimientos 5

INTRODUCCION 7

1 Preliminares 9

2 Teorema de la integral de Stieltjes 19

3 Integracion por partes 25

Bibliografıa 29

3

Dedicado a:

Mi Familia.

AGRADECIMIENTOS

A todos los que hicieron posible esteproyecto

6 CONTENIDO

Introduccion

En el presente trabajo definiremos y se dara una introduccion al el Teorema de laIntegral de Stieljes.Para ello revisare algunos conceptos del Analisis Matematicocomo lo son la integral, funciones monotonas, de variacion acotada, y algunaspropiedades que nos permitiran abordar e interpretar lo deseado.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El teorema de la integral de Stieltjes es mas comunmente conocido como la ”integracion por partes” , la integracion por partes se emplea con frecuencia paratransformar una integral de otra forma integrable a una forma mas susceptiblea las tecnicas de integracion conocidas, en esta monografıa nos centraremos enlas caracterısticas del teorema de la integral de Stieltjes.

JUSTIFICACION

La idea de integral ha estado presente desde Arquımedes, en 1854 George Rie-mann dio un conjunto de condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales unafuncion acotada es integrable, en 1984 el Matematico Holandes llamado ThomanEne Stieltjes desarrollo la integral de Riemann-Stieltjes, esta permite la termi-nacion de una integral cerrada,este tema se estudia con profundidad en la en lateorıa del analisis matematico, por tanto cuando se quiere hablar de areas bajola curva o de formas de integracion, se debe dar todo el rigor apropiado a lateorıa dada.

OBJETIVOS

Objetivo General

Reconstruir parte la teorıa de el capitulo 7 del libro Analisis matematico Apos-tol que desarrolla parte de la teoria del teorema de la integral de Stieltjes.(ver[?])

7

8 CONTENIDO

Objetivos Especıficos

• Presentar algunas propiedades de la integral de Stieltjes.

Capıtulo 1

Preliminares

El desarrollo del cuerpo teorico del tema seleccionado se sustenta en las sigu-ientes definiciones y resultados, se han incluido algunas demostraciones que sehan considerado relevantes, las otras pueden ser consultadas en la bibliografiarelacionada.

Definicion 1 Una funcion F es un conjunto de pares ordenados (x, y) ningunode los cuales tiene el mismo primer elemento, es decir, si (x, y) ∈ F y (x, z) ∈ Fentonces y = z,donde para cada x del dominio de F existe un unico y tal que(x, y) ∈ F

Definicion 2 Una funcion f tiende hacia el lımite l en a si para todo ε > 0existe δ > 0 tal que para todo x, si 0 < |x− a| < δ entonce |f(x)− l| < ε

Definicion 3 Sean (S, ds) y (T, dT ) espacios metricos y sea f : S → T unafuncion de S en T . La funcion f se llama continua en un punto p de S si paracada ε > 0 existe un δ > 0 tal que:

dT (f(x), f(p)) < ε siempre que ds(x, p) < δ

Definicion 4 Sea S 6= ∅, S ⊆ R, a ∈ R, c es llamado cota superior de S six ≤ c, ∀x ∈ S, se dira que c es cota inferior de S si x ≥ c ∀x ∈ R

Teorema 1 Sea S ⊆ R no vacıo. Si m es finito m = infS si y solo si m esuna cota inferior de S y para cada ε > 0 existe x ∈ S que depende de ε tal quem ≤ x < xm+ ε

⇒Sea S ⊆ R, S 6= ∅, m finito m = infS por tanto m es la maxima cota inferiorde S,m es cota inferior de S dado ε > 0 se tiene

m+ ε > m

ası m+ ε no es una cota inferior de S como m es cota inferior existe x ∈ S talque m+ ε > x por lo tanto

9

10 CAPITULO 1. PRELIMINARES

m+ ε > x ≥ m

⇐ Supongamos que m es finito ademas m es una cota inferior de s,sea k unelemento finito de R con k > m entonce k −m > 0 tomemos ε = k −m luegoexiste un x ∈ Re tal que m+ (k−m) > x ≥ m esto quiere decir que m ≤ x < kpor lo tanto k no es una cota inferior de S es decir m es la maxima cota inferiorde S.

Proposicion 1 Sea S1 y S2 subconjuntos no vacıos de Re tal que S1 ⊆ S2

entonces supS1 ≤ supS2

Sea X = SupS1, Y = SupS2, supongamos que Y < X x una cota superior deS1 y no es una cota superior de S2, luego existe K ∈ S1 tal que Y < K < X,como S1 ⊆ S2 entonces k ∈ S2 un elemento de S2 mayor a al mınima cotasuperior de S2 lo que es una contradiccion

Definicion 5 Un Una funcion monotona f es una funcion real definida enun subconjunto S de R, f es creciente o decreciente en s si pata todo par de xe y de s:

x < y → f(x) 6 f(y)

Si x < y → f(x) < f(y), entonces f se llamara estrictamente creciente sobreS

Definicion 6 Sea I un intervalo, una funcion θ : I −→ R es llamada funcionpaso si hay una coleccion finita {I1, I2, I3, ..., In} intervalos disjuntos

dos a dos tal que S = I1 ∪ I2 ∪ I3∪, ...,∪In ⊆ I y el conjunto de numerosreales {C1, C2, c3, ..., Cn} diferentes de cero tal que:

θ(x) =

Cj si x ∈ Ij , j = 1, 2, 3, ..., n

0 si x ∈ I − S

en otras palabras θ es constante y no nula en cada intervalo Ij y cero en otraspartes de I. Si el soporte de una funcion de paso θ tiene longitud total finitaentonces se asocia con A(θ) como el area entre la grafica de θ y el eje X.

Ejemplo 1 Sea θ1, θ2 : [0, 3] −→ R definida por:

θ1x) =

1 si 0 ≤ x < 1

−1 si 1 ≤ x ≤ 2

4 si 2 < x ≤ 3

11

θ2(x) =

−2 si 0 ≤ x ≤ 1

3 si 1 < x ≤ 3

veamos θ1−2θ2 y verifiquemos que A(θ1−2θ2) = A(θ1)−2A(θ2), en efecto:

θ(x) =

5 si 0 ≤ x < 1

−7 si 1 ≤ x ≤ 2

−2 si 2 < x ≤ 3

A(θ1 − 2θ2) = 1(5) + 1(−7) + 1(−2)

= 5− 7− 2

= −4

y A(θ1)− 2A(θ2) = 4− (4) = −4, por lo tanto A(θ1)− 2A(θ2) = A(θ1 − 2θ2)


Definicion 7 Si [a, b] es un intervalo compacto en un conjunto de puntos

P = {x0, x1, ..., xn},

que satisfaga la igualdad

a = x0 < x1 <, ..., < xn − 1 < xn = b,

se llama particion de [a, b]. El intervalo [xk−1−xk] se llama K-esimo subinter-

valo de P y se escribe 4xk − xk−1 con lo que

n∑k=1

4xk = b− a

Definicion 8 Supongamos que f es acotada sobre [a, b] y p = {x0, x1, x2, ..., xn}es una particion de [a, b], se tiene,

mi = Inf{f(x) : xi−1 ≤ x ≤ xi

Mi = Sup{f(x) : xi−1 ≤ x ≤ xi}

La suma inferior de f para p, designada por L(f, p) se define poniendo,

L(f, p) =

n∑i=1

mi(xi − xi−1)

la suma superior de f para p, designada por U(f, p) se define poniendo,

U(f, p) =

n∑i=1

Mi(xi − xi−1)

Ejemplo 2 Tomemos el intervalo [a, b] tomemos el caso particular cuando elintervalo es [0, 3] dividiendolo en cinco subintervalos,

13

[0, 0.5][0.5, 1][1, 1.5][1.5, 2][2, 2.5][2.5, 3]

a = 0 < 0.5 < 1, ..., < 3 = b

en el intervalo [0, 0.5] la funcion f(x) = xsin(x) tiene un valor mınimo mi y unvalor maximo Mi en virtud de la definicion la suma inferior de f(x) en [0, 3]sera,

L(f, p) =

n∑i=1

mi(xi − xi−1)

=

6∑i=1

xi−1sen(xi− 1)3

6

analogamente la suma superior de la particion de la funcion f(x) U(f, x) sedefine por,

U(f, p) =

n∑i=1

Mi(xi − xi−1)

=

5∑i=1

xisen(xi)3

6


Definicion 9 Una funcion f acotada sobre [a, b] es integrable sobre [a, b] si,

Sup = {L(f, p)}Inf{U(f, p)}

con p una particion de [a, b].En este caso este numero recibe el nombre de integralf sobre [a, b] y se nota,

∫ baf

Ejemplo 3 Demostrar que

∫ b

0

x4 =b5

5La funcion f(x) = x4, sea P = {x0x, x1, x3, ..., xn}

una particion del intervalo [0, b] entonces,

mi = f(xi−1) = (xi−1)4, Mi = f(xi) = x4i

15

L(f, p) =

n∑i=1

mi(xi − xi−1)

=

n∑i=1

xi(xi=1)4(xi − xi−1)

=

n∑i=1

(xi−)b

n

=

n∑i=1

(i− 1)4b4

n4b

n

=b5

n5

n−1∑j=0

j4

=b5

n5

(n5

5− n4

2+

n

30

)

de forma analoga tenemos U(f, p), para un n suficientemente grande se con-cluye,

SupL(f, p) = InfU(f, p) = b5

5

Teorema 2 Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].

Como f es continua en [a, b] y ademas [a, b] es cerrado y acotado es decir escompacto entonces f es uniformemente continua, por tanto, dado ε > 0 existeδ > 0 tal que para todo x e y de [a, b], si

| x− y |< δ ⇒ (x)− f(y) |< ε3(b−a)

tomemos una particion P = {x0, x1, ..., xn} de [a, b] con n ∈ N que n > b−aδ

entonces δ > b−an tenemos que x, y en (xi−1, xi) tal que,

f(x) > Mi − δ3(b−a)

f(y) < mi + ε3(b−a)

se tiene | x− y |< (xi − xi−1) = b−an , ası,

f(x)− f(y) < ε3(b−a)

Mi − ε3(b−a) −mi

ε3(b−a) < f(x)− f(y) < ε

3(b−a)


Mi −ε

3(b− a)−mi

ε

3(b− a)<

ε

3(b− a)

Mi −mi <ε

3(b− a)+

ε

3(b− a)+

ε

3(b− a)

Mi −mi <3ε

3(b− a)

=ε

b− a

Para todo i tenemos

U(f, p)− L(f, p) =

n∑i=1

(Mi −mi)(xi − xi−1)

<ε

b− a

n∑i=1

(xi − xi−1)

=ε

b− a(b− a)

= ε

Definicion 10 Sea f definida en [a, b]. Si P = {x0, x1, x2, ..., xn} es una par-ticion de [a, b] escribiremos 4fk = f(xk) − f(xk − 1) para k = 1, 2, 3, ..., n siexiste un numero positivo M tal que

n∑k=1

| 4 fk| ≤M

para toda particion de [a, b] entonces diremos que f es de variacion acotada en[a, b].

Teorema 3 Si f es monotona en [a, b] entonces f es de variacion acotada en[a, b]

Si f es creciente, entonces para cada particion P = {x0, x1, ..., xn} de [a, b] setiene que f(xk)− f(xk−1) ≥ 0 para todo k = 1, 2, 3, ..., n por lo tanto

n∑k=1

| 4 fk| =n∑k=1

4fk =

n∑k=1

[f(xk)− f(xk−1)] = f(b)− f(a) = M

Ejemplo 4 Determinar si f(x) = x2sen(1/x) si x 6= 0, f(0) = 0, es de variacionacotada en [0, 1] Para determinar si la funcion es de variacion acotada primeronombraremos un resultado cuya demostracion puede consultarse en Apostol

Teorema 4 Si f es continua en [a, b] y si f ′ existe y esta acotada en el interior,es decir que |f ′(x)| ≤ A para todo x de (a, b) entonces f es de variacion acotadaen [a, b] en efecto f(x) = x2sen(1/x) derivando tenemos

f ′(x) = 2xsen(1/x)− cos(1/x)

17

para x ∈ (0, 1] y f ′(0) = 0 tenemos

f ′(x) es acotada en [0, 1] ya que |f ′(x)| ≤ 3 como lo podemos apreciar en lagrafica anterior, y en virtud del teorema 3 se tiene que la funcion f es devariacion acotada.

Capıtulo 2

Teorema de la integral deStieltjes

En el presente capıtulo se presentan las definiciones y resultados basicos delpresente trabajo; para ello se consideran definiciones, teoremas y propiedades dela integral de Stieltjes

Definicion 11 · Una particion P ′ de [a, b] es mas fina que P si P ⊆ P ′ orefinamiento.· El sımbolo 4αk designa la diferencia 4αk = α(xk)− α(xk−1) luego,

n∑k=1

αk = α(b)− α(a)

Definicion 12 Sea P = {x0, x1, x2, ..., xn} una particion de [a, b] y sea tk unpunto del subintervalo [xk−1 − xk] una suma formal

S(p, f, α) =n∑k=1

f(tk)4 αk

se llama de Riemann Stieltjes de f respecto a α.

Definicion 13 Se dira que f es Riemann-integrable respecto a α en [a, b] siexiste un numero A tal que para cada ε > 0 existe una particion Pε de [a, b] talque para cada particion P mas fina que Pε y para cada eleccion de los puntos tkdel intervalo [xk−1 − xk] se tiene,

| S(f, p, α)−A |< ε

entonces se dira que f es Riemann integrable respecto de α en [a, b].

Propiedades de Linealidad

19

20 CAPITULO 2. TEOREMA DE LA INTEGRAL DE STIELTJES

Teorema 5 Si f y g en (α) en [a, b] entonces c1f + c2g ∈ R(α) en [a, b] parac1, c2 constantes se tiene,∫ b

a(c1f + c2g)dα = c1

∫ badα+ c2

∫ bagdα

Demostracion. Tomemos h = c1f+c2g y una particion cualquiera P de [a, b],

S(P, c1f + c2g, α) = S(P, h, α) =

n∑i=1

h(tk)4 αk

=

n∑i=1

c1f(tk)4 αk +

n∑i=1

c2g(tk)4 αk

= c1

n∑i=1

f(tk)4 αk + c2

n∑i=1

g(tk)4 αk

= c1S(P, f, α) + c2S(p, g, α)

Dado ε > 0 existe una particion P ′ε tal que P ⊇ P ′ε esto implica que

| S(P, f, α)−∫ bafdα |< ε

tomando una particion P ′′ tal que P ⊇ P ′′ε e implique que

| S(P, g, α)−∫ bafdα |< ε

tomando Pε = P ′ε ∪ P ′′ε entonces para P mas fina que Pε se tiene

| S(P, h, α)c1∫ bafdα− c2

∫ bagdα |≤ c1 | ε | + | ε |

Teorema 6 Supongamos que c ∈ (a, b), si dos de la integral existen entonces latercera tambien existe y ademas se tiene∫ c

afdα+

∫ bcfdα =

∫fdα

Demostracion. Tomando P una particion de [a, b], c ∈ P , sea P ′ = P ∩ [a, b]y P ′′ = P ∩ [c, b] donde P ′ es una particion de [a, c] y P ′′ una particion de [c, b]por definicion se tiene,

S(P, f, α) = S(P ′, f, α) + S(P ′′, f, α)

Suponiendo que∫ cafdα existe e

∫ bcfdα entonces, dado ε > o existe una particion

P ′ε de [a, c] tal que

| S(P ′, f, α)−∫ cafdα |< ε

2 siempre que P ′ sea mas fina que P ′ε

y una particion P ′′ε de [c, b] tal que

| S(P ′′, f, α)−∫ bcfdα |< ε

2 siempre que P ′′ sea mas fina que P ′′ε

21

Pε = P ′ε ∪ P ′′ε es una particion de [a, b] tal que P ′′ε y P ′′ ⊇ P ′′ε luego siendo Pmas fina que Pε se tiene que P ⊇ Pε combinando se tiene,

| S(P, f, α)−∫ cafdα−

∫ bcfdα |< ε

es decir∫ bafdα existe y es igual a

∫ cafdα+

∫ bcfdα

Definicion 14 Sea P una particion de [a, b] y sea

Mk(f) = Sup{f(x) : x ∈ [xk−1, xk]}

mk(f) = Inf{f(x) : x ∈ [xk−1, xk]

Los numeros U(p, f, α) =n∑k=1

Mk(f)4 αk y L(p, f, α) =n∑k=1

mk(f)4 αk

se llaman sumas superiores e inferiores respectivamente de Stieltjes de f conrespecto a α para la particion P .

Teorema 7 Supongamos que α ↗ en [a, b] entonces: i) si P ′ es mas fina queP , tendremos

U(P ′, f, α) ≤ U(P, f, α) y L(P ′, f, α) ≥ L(P, f, α)

ii) Para cada par de particiones p1 y P2 tendremos

L(P1, f, α) ≤ U(P2, f, α)

Demostracion. Supongamos que P ′ posee solo un punto mas que P , tomemosc, si c esta en el i-esimo subintervalo de P podemos escribir

U(P ′, f, α) =

n∑k=1k 6=i

Mk(f)4 αk +M ′[α(c)− α(xi−1)] +M ′′[α(xi)− α(c)]

donde M ′ y M ′′ designan el Sup de f en [xi−1, c]y[c, xi] respectivamente, dadoque

M ′ ≤Mi(f) y M ′′i (f)

luego

n∑k=1k 6=i

Mk(f)4 αk +M ′[α(c)− α(xi−1)] +M ′′[α(xi)− α(c)] ≤

n∑k=1k 6=i

Mk(f)4 αk +M ′[α(c)− α(xi−1)]

y se tiene

U(P ′, f, α)(P, f, α)


haciendo un proceso analogo se prueba que L(P ′, f, α) ≥ L(P, f, α). Para probar(ii) tomamos P = P1 ∪ P2 y por (i) se tiene

L(P1, f, α) ≤ L(P, f, α) ≤ U(P, f, α) ≤ U(P2, f, α)

Definicion 15 Supongamos que α ↗ en [a, b] la integral superior de Stieltjesde f respecto a α se define como∫ b

adα = Inf{U(P, f, α) : P ∈ ℘[a, b]}

la integral inferior ∫ badx = Sup{L(P, f, α) : P ∈ ℘[a, b]}

se denotara I(f, α) a la integral superior y I a la integral inferior.Propiedadesi) Si α↗ en [a, b] entonces∫ b

afdα =

∫ cafdα+

∫ bcfdα

con a < c < b.Demostracion. Sea ε > 0 existe una particion P tal que

U(P, f, α) < I(f, α) + ε

tomemos otras dos particiones P1 = {a = x0, x1, ..., xn1 = c} y P2 = {xn1 =c, ..., xn2 = b} con P12 = P ∪ {c} y llamamos P ′ = P ∪ {c} ası

I(a, c) + I(c, b) ≤ U(P1, f, α) + U(P2, f, α) = U(P ′, f, α) ≤ U(P, f, α)

como U(P, f, α) ≤ I(f, α) + ε entonces

I(a, c) + I(c, b) ≤ I(a, b)

donde ε es arbitrario. Ahora hagamos la otra desigualdad, dado ε > 0 existenP1 y P2 particiones tales que

U(P1, f, α) + U(P2, f, α) ≤ I(a, c) + I(c, b) + ε

esto implica que P = P12, por lo tanto

U(P, f, α) ≤ I(a, c) + I(c, b) + ε

luego

I(a, b) ≤ U(P, f, α) ≤ I(a, c) + I(c, b) + ε

esto es

I(a, b) ≤ I(a, c) + I(c, b)

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con ε arbitrario.Ciertas igualdades que se verifican con integrales se convierten en desigualdadescuando se remplazan aquellas por integrales superiores e inferiores∫ b

a(f + g)dα ≤

∫ bafdα+

∫ bagdα∫ b

a(f + g)dα ≥

∫ bafdα+

∫ bagdα

Condiciones suficiente para la existencia de las integrales de Rie-mann Stieltjes

Teorema 8 Si f es continua en [a, b] y si α es de variacion acotada en [a, b]entonces f ∈ R(α) en [a, b]

Demostracion. Es suficiente demostrar el teorema para α↗ con α(a) < α(b)como f es continua en [a, b] entonces f es uniformemente continua, dado ε > 0existe δ > 0 tal que

|x− y| < δ entonces |f(x)− f(y)| < εA

con A = 2[α(b) − α(a)], si Pε es una particion de norma ||Pε|| < δ entoncespara P mas fina que Pε se tendra

Mk(f)−mk(f) ≤ εA

puesto que Mk(f)−mk(f) = Sup{f(x)− f(y) : x, y ∈ [xk−1, xk] multiplicandola desigualdad por 4αk y sumando se tiene

n∑k=1

{Mk(f)−mk(f)} 4 αk =

n∑k=1

Mk(f)4 αk −n∑k=1

mk(f)αk

= U(P, f, α)− L(P, f, α)

≤ ε

2[α(b)− α(a)]

n∑k=1

4αk

=ε

2[α(b)− α(a)](α(b)− α(a))

=ε

2< ε

Condiciones necesarias para la existencia de las integrales de Riemann-Stieltjes

Teorema 9 Supongamos que α ↗ en [a, b] y sea a < c < b supongamos quetanto α como f son discontinuas en x = c, esto es supongamos que existe unε > 0 tal que para todo δ > 0 existen valores de x e y en el intervalo (c, c + δ)para los que


|f(x)− f(c)| ≥ ε

|α(y)− α(c)| ≥ ε

entonces la integral no existe, Tampoco existe la integral si α y f son discontin-uas por la izquierda de c.

Capıtulo 3

Integracion por partes

Definicion 16 Si a < b definimos∫ abfdα = −

∫ bafdα siempre que exista∫ b

afdα. Definamos tambien

∫ aafdα = 0.Luego la ecuacion del teorema anterior

se puede escribir ∫ bafdα+

∫ cbfdα+

∫ acfdα = 0

Integracion por partes

Teorema 10 Si f en R(α) en [a, b] entonces α(f) en [a, b] y se tiene,∫ baf(x)dα+

∫ baα(x)df(x) = f(b)α(b)− f(a)α(a)

Demostracion. Dado ε > 0, como∫ bafdα existe hay una particion Pε en [a, b]

tal que para cada P ′ mas fina que Pε se tiene

| S(P ′, f, α)−∫ bafdα |< ε

tomando una suma de Riemann Stieltjes arbitraria para∫ baαdf

S(P, α, f) =

n∑k=1

α(tk)4 fk

=

n∑k=1

α(tk)f(xk)−n∑k=1

α(tk)f(xk−1)

donde P es mas fina que Pε, nombrando A = f(b)α(b)− f(a)α(a) se tendra laidentidad

A =

n∑k=1

f(xk)α(xk)−n∑k=1

f(xk−1)α(xk−1)

25

26 CAPITULO 3. INTEGRACION POR PARTES

haciendo la diferencia de las dos ecuaciones anteriores

A− S(P, α, f) =

n∑k=1

f(xk)α(xk)−n∑k=1

f(xk−1)αx(k − 1)−n∑k=1

α(tk)f(tk)−n∑k=1

α(tk)f(tk−1)

=

n∑k=1

f(xk) [α(xk)− α(tk)] +

n∑k=1

f(xk−1) [α(tk)− α(xk−1)

las dos sumas de la derecha se pueden combinar en una sola de forma queS(P ′, f, α) donde P ′ es una particion de [a, b] que contiene los puntos xk y tk,P ′ resulta ser mas fina que Pε por tanto

| A− a(p, α, f)−∫ bafdα |< ε

Siempre que P sea mas fina que Pε esto asegura que∫ baαdf existe y vale

A−∫ bafdα

es decir ∫ baαdf = [f(b)α(b)− f(a)α(a)]−

∫ bafdα

Teorema 11 Supongamos que f ∈ R(α) en [a, b] y supongamos que α posee una

derivada α′ continua en [a, b] entonces la integral de Riemann∫ baf(x)α′(x)dx

existe y se verifica ∫ baf(x)dα(x) =

∫ baf(x)α′(x)dx

Teorema 12 Cada suma finita puede expresarse como una integral de Riemann

Stieltjes, de hecho dada una suma finita

n∑k=1

ak definamos f en [0, n] como sigue

f(x) = ak si k − 1 < x < k con k = 1, 2, 3, ..., n y f(x) = 0

entoncesn∑k=1

ak =

n∑k=1

f(k) =

∫ n

0

f(x)d[x]

donde [x] es el mayor entero ≤ x.

Ejemplo 5 Utilizar la integral por partes de Stieltjes para deducir

n∑k=1

1

k= ln n−

∫ n

1

x− [x]

x2dx+ 1

Demostracion. Haciendo uso del teorema anterior se tienen∑k=2

1

n=

∫ n

1

1

xd[x] + 1

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usando la integracion por partes se tiene∫ n

1

1

xd[x] + 1 = −

∫ n

1

[x]dx−1 +[n]

n− 1 + 1

= −∫ n

1

[x]dx−1 + 1

por la reduccion de la integral de Riemann∫ n1

[x]dx−1 =∫ n1

[x]x2 dx+ 1

luego ∫ n1

1xdx−

∫ n1

1xdx+

∫ n1

[x]x2 dx+ 1

por tanto se tiene

ln n∫ n1x−[x]x2 dx+ 1

Ejemplo 6 Si fn+1 es continua en [a, x] definamos

In(x) = 1n!

∫ xa

(x− t)nfn+1(t)dt

Demostrar que

Ik−1(x)− Ik = fk(a)(x−a)kk! , k = 1, 2, 3, ..., n

Demostracion. k = 1, 2, 3, ..., n se tiene

Ik(x) = 1k!

∫ xa

(x− t)kfk+1(t)dt

haciendo uso de la reduccion a una integral de Riemann se tiene

1k!

∫ xa

(x− t)kdfk(t)

integrando por partes

Ik(x) =1

k!

[(x− t)kfk(t)

∣∣xa

]+

∫ x

a

fk(t)d(x− t)k

= −fk(a)(x− a)k

k!+

∫ x

a

fk(t)d(x− t)k−1

= −fk(a)(x− a)k

k!+ k

∫ x

a

(x− t)k−1fk(t)dt

= −fk(a)(x− a)k

k!+

1

(1− k)!

∫ x

a

(x− t)k−1fk(t)dt

= −fk(a)(x− a)k

k!+ Ik−1(x)

lo que es tiene

Ik−1(x)− Ik(x) = fk(a)(x−a)kk!

28 CAPITULO 3. INTEGRACION POR PARTES

CONCLUSIONES

· La integral de Riemann resulta ser una caso particular de la integral de Riemann-Stieltjes.· En la probabilidad la distribuciones discretas y continuas las podremos tratarcon la integral de Riemann Stieltjes en el caso finito, ya que cada suma finitapuedes expresarse como una integral.

Bibliografıa

[1] Tom M Apostol, Analisis Matematico, segunda edicion, Reverte S.A.

[2] M. Carter B. van brunt, The Lebesgue-Stieltjes integral, Springer, .

[3] Michael Spivak, Calculo infinitesimal, Reverte, Universidad de brandeis,1970.

[4] James R. Munkres, Topologıa General, segunda edicion, Pearson Edu-cacion, Madrid 2012.

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UNA INTRODUCCION A LA INTEGRAL DE RIEMANN...

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