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Una introduccion a las

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Pedro Marın Rubio

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Pedro Marın Rubio - Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Analisis Numerico - Universidad de Sevilla

Nota previa

El material desarrollado en estas paginas recoge, o al menos lo intenta, parte de los resultadosmas significativos que un alumno deberıa conocer tras haber recibido un curso inicial de ecuacionesdiferenciales ordinarias (EDO).

La autorıa de estos apuntes es diversa, y merece por tanto una advertencia previa: Dirichlet,Lagrange, Lindelof, Lyapunov, Peano, Picard... y muchos otros matematicos y autores de librosque habilmente han reunido antes material similar.

Como siempre que se refiere a notas reelaboradas sobre material bien conocido, se trata masbien de una cuestion de revision, de hacer una propuesta coherente de conjunto como temario deun posible proyecto docente. En lo que a mı, el abajo firmante, respecta, he intentado aportar mipropia vision de conjunto al inicio en el estudio de una materia tan importante como las EDO, ylo he hecho pensando en el formato de una asignatura cuatrimestral como hoy dıa suele ser usual.

Junto con las fuentes bibliograficas consultadas (veanse al final del texto), he de citar y agrade-cer el trabajo previo de otros companeros del Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Analisis Numericode la Universidad de Sevilla donde actualmente desarrollo mi labor docente, especialmente a losprofesores Tomas Caraballo Garrido y Jose Real Anguas.

Por supuesto, las erratas que pueda haber en el manuscrito son absolutamente culpa mıa, porlo que pido disculpas de antemano.

En Sevilla, septiembre de 2006

Fdo.: Pedro Marın Rubio

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Indice general

Introduccion y notas bibliograficas 7

1. Preliminares sobre ecuaciones diferenciales 111.1. Primeros ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Primeras definiciones. Interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Otros ejemplos en el ambito matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4. El problema de Cauchy y e.d.o. de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5. Sistemas diferenciales ordinarios de dimension N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Metodos elementales de integracion 232.1. Resolucion e.d.o. de primer orden en forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. E.D.O. de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1. Coeficientes constantes. Casos homogeneo y no homogeneo . . . . . . . . . 332.2.2. Ejemplos y aplicaciones de e.d.o. de 2o orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3. Otras ecuaciones de orden mayor que uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4. Integrales primeras de sistemas diferenciales ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.1. Calculo de integrales primeras. Combinaciones integrables . . . . . . . . . . 41

3. Existencia y unicidad de solucion local para el problema de Cauchy 473.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Algunas notas sobre el espacio C(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3. Aplicaciones contractivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.1. Otros resultados de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4. Funciones lipschitzianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5. Formulacion integral del problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6. Teorema de Picard. Metodo de las aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . 583.7. Existencia local de solucion. Teorema de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7.1. El Teorema de Ascoli-Arzela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.7.2. Soluciones aproximadas. El Teorema de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4. Unicidad global y solucion global del problema de Cauchy 694.1. Unicidad global de solucion del (PC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2. Prolongacion de soluciones para s.d.o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3. Comportamiento de la solucion maximal en los extremos . . . . . . . . . . . . . . . 744.4. Algunos casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.1. El caso de un “dominio banda” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4.2. El caso de un s.d.o. lineal de dimension N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.4.3. La forma de los terminales para N = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

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6 INDICE GENERAL

5. Ecuaciones y sistemas diferenciales ordinarios lineales 835.1. Consideraciones generales sobre s.d.o.l. Matriz fundamental . . . . . . . . . . . . . 835.2. Ecuaciones lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.1. Metodo de variacion de las constantes para una e.d.o.l. no homogenea . . . 915.3. S.D.O.L. de coeficientes constantes. Exponencial matricial . . . . . . . . . . . . . . 93

5.3.1. Calculo efectivo de la exponencial matricial. Formas de Jordan . . . . . . . 955.4. Sistemas diferenciales lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . 1015.5. E.D.O. lineal de orden n con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6. Regularidad de las soluciones del problema de Cauchy. Continuidad y derivabi-lidad respecto de datos iniciales y parametros 1076.1. Regularidad de la solucion del (PC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2. Continuidad de la solucion respecto de los datos iniciales . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2.1. Continuidad respecto datos iniciales y parametros . . . . . . . . . . . . . . 1116.3. Comparacion de soluciones de (PC) con ecuaciones parecidas . . . . . . . . . . . . 1136.4. Derivabilidad respecto datos iniciales y parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.4.1. Comentarios preliminares. Desarrollo heurıstico . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7. Introduccion a la teorıa de la estabilidad para sistemas diferenciales ordinarios1217.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.2. Propiedades de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3. Criterios de estabilidad para s.d.o. lineales homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.4. Estabilidad en 1a aproximacion para s.d.o. no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.5. Segundo metodo de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.5.1. Preliminares. Introduccion heurıstica del metodo . . . . . . . . . . . . . . . 1297.5.2. Metodo directo de Lyapunov para s.d.o. autonomos . . . . . . . . . . . . . 130

8. Introduccion a las E.D.P. de primer orden, casos lineal y casi-lineal. Integralesprimeras de un s.d.o. Metodo de las Caracterısticas 1358.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.2. Integrales primeras para un s.d.o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.3. E.D.P. de 1er orden lineales y casi-lineales. Integral general . . . . . . . . . . . . . 1398.4. (PC) y Metodo Caracterısticas para E.D.P. casi-lineales . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.4.1. Introduccion heurıstica para dimension N = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.4.2. Formulacion del (PC). Metodo de las caracterısticas . . . . . . . . . . . . . 144

Bibliografıa 153


Introduccion y notas bibliograficas

Como ya se ha dicho antes, estas notas pretenden recopilar el material esencial de un cursosobre ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.). Hemos pretendido generar un texto autoconte-nido, pero resulta conveniente poder contrastar la exposicion con otras monografıas y otros puntosde vista. En este sentido, intentamos recoger aquı cual es la estructura de la memoria, esbozarbrevemente sus contenidos y conexiones, y hacer a la vez algunos comentarios sobre bibliografıaen parte utilizada o donde poder profundizar sobre un tema concreto.

El Tema 1 es introductorio. Principalmente constituido por ejemplos reales que motiven lanecesidad de estudio de las E.D.O., contiene definiciones fundamentales sobre las soluciones deuna ecuacion, o del problema de Cauchy asociado, que seran de utilidad en el resto de la memoria.

Referenciar algun texto esencial en un tema como este es vano, pues se pueden encontrar encualquier libro. Para las resenas historicas sı hay dos textos en nuestra opinion destacables: Guzman[11] (en parte seguido); y de lectura muy agradable –incluso a este nivel para el alumno– Simmons[26]. Pueden resultar tambien de interes Hartman [13], y por sus numerosos ejemplos, Amann [2](algunos explicados con bastante detalle), aunque ambos de lectura mas densa. Otros libros quecabe citar son Braun [4], Fernandez & Vegas, [10], Miller & Michel [19] y el texto de Novo, Oba-ya & Rojo [21]. Existen otros textos recientes donde las motivaciones a traves de aplicaciones yproyectos a realizar por el alumno, como Edwards & Penney [9], Nagle, Sa↵ & Snider [20] y Zill [28].

El Tema 2 continua la labor introductoria del Tema 1. En el se tratan ciertas ecuaciones dife-renciales resolubles, varios tipos de primer orden y algunos casos concretos de segundo orden (casosparticulares que seran ampliados y justificados posteriormente). Puede parecer contradictorio re-solver casos concretos dado que la mayorıa de las ecuaciones no seran resolubles explıcitamente. Sinembargo, el interes de dichos ejemplos es mostrar explıcitamente la variedad de comportamientosde las soluciones, su existencia a veces global, otras local, explosion en tiempos finitos, unicidaden determinados casos cuando se anade una condicion inicial, etc. Ası se justifica la necesidaddel estudio cualitativo en temas posteriores. El tema concluye con algunas simplificaciones paraecuaciones de orden superior, y el concepto y calculo explıcito de integrales primeras de un sistemadiferencial ordinario, punto importante en el Tema 8, al final de la memoria.

El texto clasico para este tema es Kiseliov, Krasnov & Makarenko [16]. Pueden resultar tambienmuy utiles las monografıas de Fernandez & Vegas [10], Guzman [11], Leighton [17], Novo, Obaya& Rojo [21] (este con muchos ejemplos y un estudio muy sistematico) y de nuevo Simmons [26],donde se ilustra a la vez la resolucion de ecuaciones y las aplicaciones de estas. Existen otros librosmas orientados a la resolucion de ejercicios, como el libro de Acero & Lopez [1].

Los temas previos justifican la necesidad de un estudio teorico valido en un marco general.El Tema 3 es el primero donde se hace un desarrollo importante en este sentido. Se estructuraen dos bloques, correspondientes a las dos cuestiones que seran tratadas (ambas de forma local):la existencia y unicidad de solucion (local), y la existencia, pero sin unicidad, de solucion (local).Comenzamos por el resultado de existencia y unicidad sencillamente por la simplicidad de la prueba,el Teorema de Picard. No obstante resulta mas intuitiva la idea subyacente en la construccion delas poligonales de Euler, que daran lugar al segundo resultado: el Teorema de Peano (y util en

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otros ambitos, como el Analisis Numerico), que, como se vera, solo garantiza existencia localde solucion (mas no unicidad), en un marco obviamente mas general que el de Picard. Ambosresultados requieren sendas introducciones funcionales que consideramos de capital importancia enel desarrollo posterior de los estudios de la licenciatura, esto es, las tecnicas de punto fijo (aquı severa el Teorema de Banach para aplicaciones contractivas) y de compacidad (veremos el Teoremade Ascoli-Arzela) respectivamente.

El analisis del problema de Cauchy esta expuesto con claridad en muchos textos, citemos porejemplo Amann [2], Coddington & Levinson [7], Corduneanu [8], Guzman [11], Hartman [13],Martınez Carracedo & Sanz Alix [18], Novo, Obaya & Rojo [21] y Rouche & Mawhin [25]. Los li-bros de Guzman [11] y Martınez Carracedo & Sanz Alix [18] proponen varias formas de demostrarel teorema de Picard, ademas de cuestiones relacionadas con las iterantes de Picard y la convergen-cia de estas. Es muy interesante el libro de Coddington [6], en el que se comienza el desarrollo delos sistemas diferenciales de orden n motivando algunas ecuaciones de segundo orden que aparecenen Fısica y los cambios que la llevan a un sistema de primer orden. Asimismo describe en detalle lasdiferencias entre las demostraciones referentes a sistemas y las referentes al caso de una ecuacion,particularizando los resultados al caso lineal, en el que las soluciones estan definidas en todo R.Ademas plantea numerosos ejercicios, que vienen resueltos al final del libro.

En el Tema 4 se abordan cuestiones complementarias al Tema 3. ¿Que hay del caracter globalde las soluciones? ¿Cuando y como se puede hablar de ellas no solo de forma local? ¿Cuantas hay?Estudiamos la unicidad de solucion, para ello el resultado fundamental expuesto es el Lema deGronwall, y posteriormente se trata la existencia (y unicidad) de solucion maximal o global delproblema de Cauchy bajo condiciones adecuadas, que seran estandar ya en el resto de la memoria.Para este objetivo se tratara la prolongacion de soluciones, y se establecera tambien un resultadosobre condiciones equivalentes de prolongacion (y por tanto de no prolongacion). El tema acabacon algunos casos particulares, en concreto se analizan un dominio banda y un sistema lineal, encuyos resultados nos apoyaremos para el tema siguiente.

El estudio de prolongacion y unicidad de solucion es bastante completo en Corduneanu [8].El libro de Guzman [11] tambien es muy interesante, ya que demuestra los resultados de prolon-gacion de forma mas general, aunque por tanto mas compleja. En Coddington & Levinson [7] yen Rouche & Mawhin [25] hay ejemplos numerosos de cuando fallan las condiciones de unicidad,describiendo las trayectorias de las soluciones. Tambien debemos citar aquı las monografıas deHartman [13] y Martınez Carracedo & Sanz Alix [18].

Hacemos un alto en el analisis cualitativo general para detenernos en el caso de los sistemaslineales. Ası, por un lado acentuamos la importancia teorica de los resultados vistos en los dostemas previos, respecto del resto de cuestiones teoricas generales que se analizaran; y por otro ladoreforzamos la idea general tan frecuente en el estudio matematico de que el caso lineal siempre esmas rico en propiedades (y muchas veces un rodeo que es util dar). El Tema 5 se compone de dosbloques, en el primero se estudia la estructura del conjunto de soluciones tanto de ecuaciones (deorden superior a uno) como de sistemas de ecuaciones lineales, casos homogeneo y no homogeneo,abordando el concepto de matriz fundamental y la formula de variacion de las constantes. Ensegundo lugar se particulariza a la situacion de coeficientes constantes del termino lineal, para cal-cular explıcitamente la solucion, abordando la exponencial matricial con un necesario recordatorioprevio de las formas de Jordan (compleja y real).

El contenido teorico de este tema puede encontrarse en casi todos los textos que tratan sobreecuaciones diferenciales. Nos parecen especialmente recomendables los libros de Guzman [11], No-vo, Obaya & Rojo [21], Coddington [6] y Hirch & Smale [14]. Tambien pueden seguirse Fernandez& Perez [10], Hartman [13] y Rouche & Mawhin [25]. Para la segunda parte del tema, una muybuena referencia es el libro de Novo, Obaya & Rojo [21] (aunque no detalla la factorizacion deJordan). Aparte de los textos clasicos de Algebra Lineal, hay una demostracion completa en ellibro de Guzman [11]. Otras referencias utiles son Leighton [17], Martınez Carracedo & Sanz Alix[18], Miller & Michel [19] y Simmons [26]. Es muy interesante el ejemplo de aplicacion de sistemas


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lineales de primer orden que aparece en el libro de Zill [28], modelando la accion de terremotossobre edificios de varios pisos.

El Tema 6 retoma el analisis teorico general de ecuaciones y sistemas diferenciales. En el seresponden principalmente tres cuestiones: la regularidad de la solucion, y la continuidad y deri-vabilidad respecto a datos iniciales y parametros. La primera cuestion sera desarrollada mas enprofundidad en asignaturas de ampliacion para busqueda de soluciones a traves de otros metodos.La segunda cuestion es logica desde el punto de vista de la modelizacion: mal modelo serıa aquelproveniente de una ecuacion diferencial que no tuviera un comportamiento continuo (en intervalosfinitos) respecto de los datos. Este punto sera ampliado con una comparacion entre soluciones desistemas con segundos miembros parecidos (tambien en intervalos finitos). Finalmente la tercerapregunta muestra, apoyandose en la continuidad anteriormente probada, que bajo hipotesis ade-cuadas la solucion es derivable respecto de datos iniciales y parametros. Posiblemente se trata deltema mas complejo en cuanto a pruebas, pero su desarrollo es necesario para el Tema 8.

Para los resultados de regularidad podemos consultar Coddington & Levinson [7], Corduneanu[8], Guzman [11] y Martınez Carracedo & Sanz Alix [18]. El estudio de la continuidad y derivabili-dad respecto de los datos iniciales y parametros esta bien desarrollado en los textos de Amann [2],Pontriaguine [23] y Rouche & Mawhin [25]. Tambien se pueden consultar los libros de Fernandez& Vegas [10] y Hartman [13].

El Tema 7 pretende ser una introduccion a la teorıa de la estabilidad para ecuaciones diferencia-les. La propiedad vista antes de continuidad respecto de la variable independiente en un intervalofinito no responde en absoluto al deseo en las aplicaciones. Un objetivo en el funcionamiento deun mecanismo es que los errores o pequenas variaciones en los datos iniciales no influyan en lasolucion obtenida: grosso modo la estabilidad consiste en pedir distintas condiciones de cercanıaentre las soluciones “ideal” y “perturbada” en todo tiempo futuro. Es frecuente dejar este estudiopara cursos (opcionales) de ampliacion, pero creemos conveniente dar al menos una breve pinceladaal respecto aquı. Ası, en este tema se tratan la primera aproximacion de Lyapunov para sistemaslineales y pequenas perturbaciones, y se esboza el segundo metodo de Lyapunov solo en sistemasautonomos pero ahora no lineales.

En general, todos los textos de ecuaciones diferenciales tienen un apartado sobre estabilidad.Algunas obras que creemos adecuado citar son las de Guzman [11], Brauer & Nohel [3], MartınezCarracedo & Sanz Alix [18], y por sus muchos ejemplos la monografıa de Pontriaguine [23]. Tambienresultan interesantes Corduneanu [8], Rouche & Mawhin (Tomo II) [25], Simmons [26], Kiseliov,Krasnov & Makarenko [16] y Hartman [13].

Por ultimo, el Tema 8 muestra una aplicacion de los sistemas diferenciales ordinarios. Se in-troducen las ecuaciones en derivadas parciales (E.D.P.) y se consideran dos metodos de resolucionpara las E.D.P. lineales y casi-lineales. El primero de ellos usa integrales primeras de sistemasdiferenciales asociados a E.D.P. lineales (en los ejemplos se recuperaran las tecnicas de calculo delTema 2). En el desarrollo de esta parte se utilizaran los resultados del Tema 6 en combinacion conel Teorema de la Funcion Implıcita. La segunda parte del tema desarrolla el Metodo de las Carac-terısticas para resolver E.D.P. de tipo lineal y casi-lineal. De nuevo los resultados del Tema 6 seranesenciales, ahora en combinacion con el Teorema de la Funcion Inversa. Para facilitar la exposicion,primero nos restringimos al caso de dimension 2, consideraciones geometricas nos ayudaran a daruna introduccion heurıstica de la prueba.

Para esta aplicacion hemos tenido que introducir algunas referencias de E.D.P. Consideramosmuy recomendables el desarrollo de Peral [22], y valido, aunque mas profundo, el libro de John [15].Otras monografıas clasicas de E.D.P. utiles aquı son Casas [5] y Sneddon [27]. Tambien puedenconsultarse libros propiamente de ecuaciones ordinarias, por ejemplo, Hartman [13].


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Tema 1

Preliminares sobre ecuacionesdiferenciales

Este tema pretende ser introductorio y servir al alumno para comenzar a conocer a traves dealgunos ejemplos la naturaleza y variedad de las ecuaciones diferenciales ordinarias y sus soluciones,posibilidades de calculo, dominios de definicion, comportamientos, etc.

Servira como motivacion previa a la asignatura en si, de modo que salvo por algunas definicionesbasicas, los desarrollos seran formales en su mayorıa.

1.1. Primeros ejemplos

Es bien conocido que muchas leyes de la naturaleza son expresables en terminos de ecuacio-nes diferenciales. Dada una magnitud cuya cantidad evoluciona con el tiempo, digamos y(t), lavelocidad a la que esta crece o decrece es y0(t).

Las relaciones entre la evolucion de una magnitud y su(s) derivada(s) tienen aplicacion en leyesde la Fısica, la Economıa, la Quımica, incluso en las Ciencias Sociales, y por supuesto tambien enla propia Matematica. Veamos algunos ejemplos que suscriben esta afirmacion.

Ejemplo 1.1 (Prediccion termica). Consideramos la ley de enfriamiento de Newton, un modelopara predecir la evolucion de la temperatura de un cuerpo situado en un ambiente a temperaturaconstante.

dT

dt= k(A� T ),

donde T = T (t) es la temperatura del objeto estudiado, A es el valor de T en situacion de equilibrio,o dicho de otro modo, la del medio, y k es una constante positiva.

Ejemplo 1.2 (Caıda en medio resistente). Otro ejemplo tambien con origen fısico: la caıdade un cuerpo en un medio resistente.

d2x

dx2

=1m

✓F � c

dx

dt

◆,

donde x = x(t) representa el espacio recorrido, F es la fuerza exterior (supuesta constante) ejercidasobre el cuerpo, m la masa del cuerpo, y c un coeficiente de resistencia a la caıda en el medio.

Ejemplo 1.3 (Desintegracion radioactiva). Fenomenos naturales de origen fısico-quımico:descomposicion de elementos radioactivos.

dN

dt= ��N,

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12 TEMA 1. PRELIMINARES SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES

donde N = N(t) es el numero relativo de moleculas sin desintegrar de la sustancia, y � es unaconstante positiva dependiente del material.

Un ejemplo muy interesante lo constituye el isotopo radioactivo del carbono C14

. Resolver laecuacion junto a datos concretos permite conocer en paleontologıa edades a que pertenecieron losrestos hallados.

Ejemplo 1.4 (Dos modelos simples de Dinamica de Poblaciones). Veamos dos casos tıpi-cos dentro del campo de la Biologıa, mas concretamente la Dinamica de Poblaciones.

(a) El Modelo de Malthus (economista londinense preocupado por la relacion entre el numero depersonas en una sociedad y los recursos alimenticios de la misma) propone

dp

dt= ↵p,

donde p = p(t) es el numero de individuos de una poblacion, y ↵ es una constante relacionadaempıricamente con la diferencia entre natalidad y mortalidad.

No tardaremos mucho en comprobar que se trata de un modelo valido para etapas muy cortasya que su solucion es exponencial.

(b) Para subsanar los fallos evidentes del modelo anterior, se introdujo el Modelo logıstico o deVerhulst.

dp

dt= ↵p� �p2 = p(↵� �p),

donde es obvio que se consigue evitar el problema de un crecimiento ilimitado marcando un umbralen la propia ecuacion a traves de las constantes ↵ y �.

Dicha ecuacion sera uno de los tipos tratados en el Tema 2. Anticipamos que

y0 = y(1� y) ) dy

y(1� y)= dt )

✓1y

+1

1� y

◆dy = dt

conduce tras una integracion a la solucion y = 1� 1Cet + 1

.

A pesar de este ultimo ejemplo, cabrıa citar a tıtulo informativo otros muchos modelos, me-jor adaptados a situaciones biologicas concretas, como por ejemplo modelos con retardo que sonvariantes del anterior.

Ejemplo 1.5 (Modelo presa-depredador). Veamos otro caso de modelo aplicable a Dinamicade Poblaciones, pero algo distinto de los anteriores. Ahora tratamos un sistema, donde x = x(t)representa el numero de depredadores, y = y(t) representa el numero de presas, y se tienen tambienlas constantes a, b, c, d > 0.

Es posible estudiar relaciones en el crecimiento o decrecimiento no solo de una funcion, sinode varias combinadas. Es claro que el numero de presas depende de la cantidad de depredadores yviceversa. ⇢

x0 = �ax + bxy,y0 = cy � dxy = y(c� dx).

La primera ecuacion indica que el hecho de que haya depredadores depende sobretodo de que hayapresas, si no, compiten entre ellos.

Sin embargo, el numero de presas podrıa depender solo de la propia especie (si no hubieradepredadores, y sı medios “ilimitados”). Pero si hay depredadores, el numero de encuentros entreambas especies es proporcional al numero de individuos de ambas especies.

Tras estos ejemplos es facil deducir que muchos modelos son simplificaciones de la realidad, yque son muchas veces mejorables (en la medida en que se tengan tecnicas de resolucion).


13 1.2. PRIMERAS DEFINICIONES. INTERPRETACION GEOMETRICA

1.2. Primeras definiciones. Interpretacion geometrica

Antes de proseguir con mas ejemplos, podemos dar ya algunas nociones generales y definicionessobre ecuaciones diferenciales.

En este curso veremos dos tipos de ecuaciones diferenciales (que describimos a continuacionmuy a grosso modo):

-Mayoritariamente nos dedicaremos a tratar resolucion explıcita y/o aspectos teoricos cualita-tivos de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.). En ellas, la incognita es una funcion,que denotaremos normalmente por y(x) o y(t), y que depende exclusivamente de una variable. Enla ecuacion esta funcion aparecera relacionada con sus derivadas.

-El segundo tipo que trataremos (muy brevemente, de forma introductoria, y en realidad comoaplicacion de lo que se habra visto hasta ese momento de ecuaciones diferenciales ordinarias)seran las ecuaciones en derivadas parciales (E.D.P.). En ellas, la incognita es una funciony(x

1

, x2

, . . . , xn) dependiente de varias variables, y que aparece en la ecuacion relacionada con susderivadas parciales.

Definicion 1.6. Una ecuacion diferencial ordinaria (e.d.o.) de 1er orden es una expresion de laforma

F (x, y, y0) = 0

donde x es la variable independiente, y = y(x) es la funcion desconocida, y0 su derivada, y F :O ⇢ R3 ! R es una funcion dada.

Observacion 1.7.

Como ya se dijo antes, a menudo se denota tambien F (t, y, y0) = 0. (Cuando en el problemala variable independiente juega el papel del tiempo).

Usualmente se pedira que O sea un abierto y que F sea continua (sera el requerimientomınimo natural, al menos en este curso).

El termino “de 1er orden” que aparece en la definicion hace referencia al orden de la derivadamayor que aparece en la ecuacion.

Definicion 1.8 (momentanea). Llamaremos solucion de la e.d.o. de 1er orden

F (x, y, y0) = 0 (1.1)

a cualquier funcion ' : I ⇢ R ! R definida en algun intervalo I no degenerado y tal que severifiquen las siguientes tres condiciones:

(i) ' tiene derivada en cada punto de I,

(ii) (x,'(x),'0(x)) 2 O 8x 2 I,

(iii) F (x,'(x),'0(x)) = 0 8x 2 I.

Diremos que (I,') es una solucion (local) de (1.1), o equivalentemente, que ' es solucion de (1.1)definida en I.

Definicion 1.9. Se dice que la e.d.o. (1.1) esta en forma normal si F (x, y, y0) = y0 � f(x, y)siendo f : ⌦ ⇢ R2 ! R.

Observacion 1.10.

Tener una e.d.o. en forma normal, no es algo insustancial. Caso de no ser ası, esto es unaforma implıcita general como (1.1), hace que el manejo y resolucion de la ecuacion sea mascomplejo.

En el caso de tener la e.d.o. en forma normal, por supuesto tendrıamos que O = ⌦⇥ R.



La forma “sensata” en que podemos definir solucion de una e.d.o. en forma normal es analogaal caso anterior. Se dice que (I,') es solucion de y0 = f(x, y) si

(i) ' tiene derivada en cada punto de I,

(ii) (x,'(x)) 2 ⌦ 8x 2 I,

(iii) '0(x) = f(x,'(x)) 8x 2 I.

Junto al concepto de solucion hay otra terminologıa frecuente que resulta conveniente intro-ducir:

{(x,'(x)) : x 2 I} es la trayectoria de la solucion.

{'(x) : x 2 I} es la orbita de la solucion.

Si tenemos un espacio X tal que la solucion ' 2 X, a X se le suele denotar el espacio defases.

Interpretacion geometrica

Por simplicidad, que no por necesidad, hacemos el siguiente planteamiento para una e.d.o. dadaen forma normal.

Sea la e.d.o. y0 = f(x, y) con f : ⌦ ⇢ R2 ! R. Supongamos que ' es solucion de la e.d.o. encierto intervalo I. Para cada (x

0

, y0

) 2 ⌦ denotamos p0

= f(x0

, y0

), que debe ser la pendiente dela recta tangente a la curva y = '(x) en (x

0

, y0

).Podemos ver ⌦ y sobre dicho conjunto la funcion f : ⌦ ! R como un “campo de direcciones”,

el dado por (1, f(x0

, y0

)), que va “conduciendo” la solucion.

Observacion 1.11.

Es facil con paquetes informaticos, como por ejemplo Matlab, dibujar el “campo de direccio-nes” generado por f en ⌦ y compararlo con la solucion concreta en algun caso.

La interpretacion geometrica puede ser muy beneficiosa para su uso posterior, tanto teori-co (cuando se demuestre el Teorema de Peano en el Tema 3), como practico (cuando seimplemente el metodo numerico de Euler en otras asignaturas).

Existen algunos casos “especiales” en la interpretacion geometrica anterior que nos obligana replantearnos algunas cuestiones.

- El caso de tangentes paralelas al eje OY requerirıa que los puntos (x0

, y0

) donde estoocurre tuvieran |f(x

0

, y0

)| = 1.

- Otro inconveniente es que y = '(x) no puede cortar mas de una vez rectas paralelas aleje OY. Sin embargo se podrıa generalizar el problema si se buscan curvas parametricasx(t) e y(t) tales que sus tangentes cumplan

dy

dx(t

0

) =y0(t

0

)x0(t

0

)= f(x(t

0

), y(t0

)).

Para poder evitar casos extranos (como el primero de los dos anteriores) como para asegurarque los calculos formales tengan sentido, si p.ej. la derivada fuera continua y distinta de cero en unpunto, redefinimos el concepto de solucion de una e.d.o. anulando con ello el dado en la Definicion1.8. [Lo hacemos solo para el caso de una e.d.o. dada en forma normal; en forma implıcita esanalogo.]

Definicion 1.12. Una solucion (local) de una e.d.o. de primer orden escrita en forma normal,y0 = f(x, y), con f 2 C(⌦), es un par (I,')

(i) ' 2 C1(I),


15 1.3. OTROS EJEMPLOS EN EL AMBITO MATEMATICO

(ii) (x,'(x)) 2 ⌦ 8x 2 I,

(iii) '0(x) = f(x,'(x)) 8x 2 I.

A veces, cuando se busca una solucion de una ecuacion diferencial, se emplea tambien la ex-presion “integracion de la ecuacion diferencial”.

Veremos mas adelante tanto con ejemplos como teoricamente que cuando una ecuacion dife-rencial tiene una solucion, entonces tiene infinitas soluciones.

1.3. Otros ejemplos en el ambito matematico

Problemas de eliminacion de parametros

Sea F (x, y, C) = 0 una familia de curvas, donde C es un parametro. Para eliminar C se intentadespejar en el sistema ⇢

F (x, y, C) = 0,Fx(x, y, C) + Fy(x, y, C)y0 = 0.

Esto conducira muchas veces a una ecuacion de la forma f(x, y, y0) = 0, que entre sus solucionescontiene a la familia de curvas inicial (y posiblemente a otras soluciones).

Ejemplo 1.13. Las parabolas de vertice el origen y eje OY son de la forma y = Cx2. Si planteamosel sistema ⇢

y = Cx2,y0 = 2Cx,

obtenemos que la familia esta contenida en las soluciones de

y0

y=

2x

x2

) y0 =2y

x.

Familias que se cortan con un angulo fijo

Trayectorias ortogonales

Supongamos una familia de curvas dada (segun la seccion anterior) a traves de la ecuaciondiferencial y0 = f(x, y).

Si se desea que una familia de curvas interseque a la anterior de forma ortogonal, es claro que

la pendiente en cada interseccion de la nueva familia ha de ser�1y0

en el mismo punto (donde y0

es la pendiente de la familia dada). Esto se traduce simplemente en que la ecuacion de la familiaortogonal sera

y0 =�1

f(x, y).

Ejemplo 1.14. Consideremos la familia de curvas dada por la e.d.o. y0 = 2y/x (que en particularvimos que contiene a las parabolas con vertice el origen y eje OY).

Entonces las curvas ortogonales vienen dadas por y0 = �x/(2y). Una manipulacion formal noslleva a que 2yy0 = �x. Por tanto y2 = �x2/2 + C, es decir, la familia ortogonal son elipses.

Trayectorias isogonales

Dado un angulo ↵ cualquiera, tambien es posible plantear a partir de una e.d.o. f(x, y, y0) = 0,o dicho de otro modo, para la familia de curvas solucion, cual deberıa ser la ecuacion para la familiacuyas curvas intersequen a las dadas con ese angulo fijo.

Para ello, si llamamos y0 = tan� a una pendiente de una curva de la familia original, entoncesdebemos tener para la nueva curva buscada una pendiente y0 = tan(↵+ �). Como

tan(↵+ �) =tan↵+ tan�

1� tan↵ tan�,



la familia de curvas isogonales de angulo ↵ sera

f

✓x, y,

y0 + tan↵1� y0 tan↵

◆= 0.

Curvas dadas por condiciones sobre tangentes, normales o proyecciones

Podemos extender los comentarios anteriores sobre ortogonalidad para tratar tambien curvasdadas a traves de relaciones de sus tangentes o normales con ciertas condiciones geometricas.

Ejemplo 1.15. Hallar las curvas planas cuya normal en cada punto pasa por el origen.Si consideramos la curva (x, y(x)), su normal tendra pendiente �1/y0. Si deseamos que pase

por el (0, 0) y por (x, y), entonces

y

x=�1y0

) y0 =�x

y.

Definicion-construccion de funciones a traves de e.d.o.

A veces las ecuaciones diferenciales permiten construir a traves de sus soluciones nuevas fun-ciones que anadir a las ya “conocidas”. Veamoslo a traves de un ejemplo.

Ejemplo 1.16. Supongamos que no conocemos la existencia de la funcion exponencial, aun ası tie-ne sentido que planteemos una e.d.o., y veremos que solo tiene una solucion, cuyas propiedadesnos ayudara a determinar como es (recuperando la funcion exponencial).

Concretamente, consideramos la e.d.o. y0 = y unida a una condicion y(0) = 1.

Su solucion, caso de existir (resultados locales seran expuestos en el Tema 3), la denotaremospor ahora y = f(x).

• Una propiedad interesante que se consigue sobre la funcion f, derivando la funcion g(x) =f(x)f(�x) es que f(�x) = 1/f(x). Por tanto, la funcion f, caso de existir, cumple f(x) 6= 08x 2 dom(f).

• Si f es distinta de cero, por su continuidad, tiene signo constante, y por verificar la ecuaciondiferencial y la condicion de positividad en 0, sabemos que f es creciente, mas aun, y00 = y0, o sea,que f es convexa.

• Supongamos que el problema consistente en la e.d.o. junto con la condicion y(0) = 1, admitedos soluciones f

1

y f2

. Entonces derivando la funcion f1

(x)/f2

(x) obtenemos que f1

(x) = kf2

(x).Pero al cumplirse que fi(0) = 1 para i = 1, 2 obtenemos unicidad de solucion.

• Consideremos ahora un valor fijo a 2 R. Entonces la funcion r(x) = f(x + a) verifica quer0(x) = f 0(x + a) = f(x + a) = r(x). De nuevo por tanto r(x) = kf(x) para cierto k 2 R.

Particularizando para x = 0 deducimos que r(0) = f(a) = kf(0) = k, o sea, k = f(a).Concluimos entonces que

f(x + a) = f(x)f(a) 8x 2 R, 8a 2 R.

• Veamos ahora que para cualquier n 2 N, se tiene

f(na) = (f(a))n. (1.2)

Por induccion, dado que es cierto trivialmente para n = 1, si lo creemos para un valor natural k,el caso k + 1 se resuelve simplemente aplicando la propiedad vista en el punto anterior:

f((k + 1)a) = f(ka + a) = f(ka)f(a) = (f(a))kf(a) = (f(a))k+1.

• En particular, si denotamos e = f(1), entonces tenemos que f(n) = en. Y por un resultadoanterior f(�n) = e�n.


17 1.4. EL PROBLEMA DE CAUCHY Y E.D.O. DE ORDEN SUPERIOR

Para cualquier q 2 N, se tiene

e = f(1) = f

✓q · 1

q

◆=✓

f

✓1q

◆◆q

,

de modo que

f

✓1q

◆= e1/q.

De nuevo usando (1.2) concluimos que

f

✓p

q

◆= ep/q

primero para p 2 N, y despues para p 2 Z.• Finalmente, por continuidad, podemos afirmar que f(x) = ex 8x 2 dom(f). Ademas, sabe-

mos algo sobre la constante e = f(1), y es que al ser f creciente, e = f(1) > f(0) = 1.Si la funcion f esta definida para todo x 2 R, entonces

lımx!+1

f(x) = +1

ya que en = (1 + b)n con b > 0, y se tiene que (1 + b)n > 1 + nb. Ası, tambien ocurre que

lımx!�1

f(x) = 0

pues tenıamos que f(�x) = 1/f(x).

Es posible desarrollar un analisis analogo al anterior para obtener las propiedades principalesde otras funciones vistas como soluciones de ecuaciones diferenciales, como por ejemplo la funcionlogarıtmica.

1.4. El problema de Cauchy y e.d.o. de orden superior

Hemos afirmado que si es posible resolver una ecuacion diferencial puede ocurrir que tengainfinitas soluciones (la prueba sera natural tras el Tema 3).

De modo que se requiere alguna condicion mas para plantear un problema en el que esperemosobtener solo una. De hecho, en la seccion anterior ya hemos visto un ejemplo, la ecuacion y0 = y,en que se tenıa unicidad de solucion si ademas se imponıa la condicion de que la solucion pasarapor un cierto punto (x

0

, y0

), en aquel caso el (0, 1).

Si imaginamos el tipo mas simple de ecuacion diferencial, aquella en que y0 = f(x), es decir,donde la respuesta es obvia (ya que no hay ecuacion propiamente), se trata solo de integrar, el“grado de libertad” que se tiene al calcular la integral indefinida, queda neutralizado con un datoinicial. Esto refuerza lo visto en el ejemplo previo, y nos induce a dar la siguiente definicion.

Definicion 1.17. Se llama problema de Cauchy o de valor inicial relativo a la e.d.o.

f(x, y, y0) = 0

con dato inicial (x0

, y0

) y se escribe

(PC)⇢

F (x, y, y0) = 0,y(x

0

) = y0

,

al problema de encontrar ' : I ! R tal que (I,') sea solucion de la e.d.o., que x0

2 I, y que'(x

0

) = y0

. A tal par (I,') se le llamara solucion local del problema de Cauchy.



Observacion 1.18. De forma analoga se puede definir el problema de Cauchy y una solucion localen el caso de una e.d.o. en forma normal,

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

.

Observacion 1.19 (Anticipo del Tema 2, sobre la resolucion de ec. diferenciales). Delmismo modo que no se puede escribir de forma cerrada toda integral definida en terminos defunciones elementales, el problema de Cauchy mas basico

⇢y0 = f(x),y(x

0

) = y0

,

cuya solucion es y(x) = y0

+R x

x0f(s)ds, nos permite observar que tampoco cabe esperar que las

soluciones de ecuaciones diferenciales en general o bien de problemas de Cauchy puedan darse ex-plıcitamente siempre. Se considerara resuelto el problema si se reduce a un problema de cuadratura.

Ejemplo 1.20. Hallar la curva plana que pasa por el punto (1, 2) y cuya normal en cada puntopasa por el origen.

Se trata de resolver el problema de Cauchy⇢

y0 = �x/y,y(1) = 2.

Como yy0 = �x, es facil en este caso resolver la ecuacion: 1

2

y2 = �1

2

x2 + C. Si a la curva buscadaen la familia x2 + y2 = 2C le imponemos que pase por el (1, 2) entonces 2C = 5. Ası la expresionfinal de solucion es x2 + y2 = 5 (que no es propiamente una funcion).

Ejemplo 1.21. Consideramos ahora el

(PC)⇢

y0 = 2xey2,

y(1) = 0.

Despejando obtenemos e�y2y0 = 2x, con lo que la solucion viene dada a traves de la expresion

Z y

0

e�t2dt = x2 � 1,

de donde no puede ser despejada la y.

Definicion 1.22. Llamamos ecuacion diferencial ordinaria de orden n a una expresion de laforma G(x, y, y0, . . . , y(n) = 0, donde G : O ⇢ Rn+2 ! R, x es la variable independiente, y = y(x)es la funcion incognita, e y0, y00, . . . , y(n son sus derivadas primera, segunda, ... y enesima.

Observacion 1.23. Normalmente O sera un abierto, y que G sera continua sobre O.

La primera idea sensata que viene a la cabeza de lo que deberıa ser solucion de una e.d.o. deorden n es la siguiente.

Definicion 1.24 (incompleta; vease Observacion 1.25). Dada una e.d.o. de orden n

G(x, y, y0, . . . , y(n) = 0 (1.3)

y una funcion ' : I ⇢ R ! R definida sobre un intervalo no degenerado y tal que

(i) ' tiene derivada hasta orden n, 8x 2 I,

(ii) (x,'(x),'0(x), . . . ,'(n(x)) = 0 8x 2 I,

(iii) G(x,'(x),'0(x), . . . ,'(n(x)) = 0 8x 2 I,


19 1.4. EL PROBLEMA DE CAUCHY Y E.D.O. DE ORDEN SUPERIOR

diremos que (I,') es solucion local de (1.3) o que ' es solucion de (1.3) en I.

Observacion 1.25. Normalmente G sera continua en un abierto O, de modo que al igual que sehizo para e.d.o. de orden uno, pediremos a la solucion en vez de que satisfaga la condicion (i), quecumpla ' 2 Cn(I).

Definicion 1.26. Llamamos e.d.o. de orden n en forma normal o explıcita a una e.d.o.de orden n donde

G(x, y, y0, . . . , y(n) = y(n � g(x, y, y0, . . . , y(n�1)

con g : ⌦ ⇢ Rn+1 ! R.

Observacion 1.27. Usualmente se pedira que g 2 C(⌦).

Definicion 1.28. Llamamos problema de Cauchy relativo a la e.d.o. implıcita de orden n

G(x, y, y0, . . . , y(n) = 0

y dato inicial (x0

, y0

, y00

, . . . , y(n�1

0

) y se escribe

(PC)⇢

G(x, y, y0, . . . , y(n) = 0,

y(x0

) = y0

, y0(x0

) = y00

, . . . , y(n�1(x0

) = y(n�1

0

,

a encontrar ' : I ! R tal que (I,') sea solucion de la e.d.o. de orden n y verifique las condiciones

'(x0

) = y0

, '0(x0

) = y00

, . . . ,'(n�1(x0

) = y(n�1

0

.

Al par (I,') lo llamaremos solucion local del (PC).

Algunas situaciones con e.d.o. de orden superior a uno

Problemas de eliminacion de varios parametros

Consideramos la familia dada por la siguiente ecuacion con dos parametros: F (x, y, a, b) = 0.Para eliminar los parametros y obtener una ecuacion diferencial, calculamos (supuesto que

F tiene regularidad suficiente y es posible) derivadas parciales respecto de x y de y. Ası, si lasderivadas cruzadas son iguales, se tiene el sistema

8<

:

F (x, y, a, b) = 0,Fx(x, y, a, b) + Fy(x, y, a, b)y0 = 0,Fxx(x, y, a, b) + 2Fxy(x, y, a, b)y0 + Fyy(x, y, a, b)(y0)2 + Fy(x, y, a, b)y00 = 0.

Ejemplo 1.29. Las circunferencias de radio R se expresan a traves de la familia

(x� a)2 + (y � b)2 = R2. (1.4)

Derivando resulta2(x� a) + 2(y � b)y0 = 0 (1.5)

de dondex� a = �y0(y � b).

Una segunda derivada en (1.5) implica 1� (y0)2 + (y � b)y00 = 0, de donde deducimos

y � b = �1 + (y0)2

y00

y por tanto

x� a =y0(1 + (y0)2)

y00.



Ası, la forma general (1.4) que tenıa la familia se transforma en

✓y0(1 + (y0)2)

y00

◆2

+✓

1 + (y0)2

y00

◆2

= R2,

que operando queda reducida a(1 + (y0)2)3/2

y00= R.

Definicion de funciones

Al igual que se hizo antes con ecuaciones diferenciales de orden 1, que permitıan demostrary caracterizar algunas funciones como ex y lnx, ecuaciones de orden superior, como y00 = �ypermiten deducir una serie de propiedades sobre las funciones senx y cos x cuando se usan losdatos iniciales adecuados (y(0) = 0, y0(0) = 1, e y(0) = 1, y0(0) = 0 respectivamente).

Aplicaciones fısicas donde aparecen e.d.o. de orden 2

El movimiento de un pendulo sin rozamiento corresponde a la situacion “ideal” en que uncuerpo de masa m colgado de una cuerda no extensible, de masa despreciable y longitud L tieneun movimiento oscilante debido a la fuerza de gravedad, supuesta constante. (Volveremos en elTema 7 sobre este ejemplo).

Si denotamos ✓ = ✓(t) el angulo en radianes que forma la cuerda con la vertical, la distanciade arco de circunferencia recorrida por el pendulo en un instante t es x = ✓(t)L.

La segunda ley de Newton, F = ma, nos da la ecuacion diferencial �mg sen ✓ = mL✓. Ası, elproblema de Cauchy (no trivial, para que se genere movimiento) es

(PC)

8<

:✓ +

L

gsen ✓ = 0,

✓(0) = ✓0

, ✓(0) = 0.

1.5. Sistemas diferenciales ordinarios de dimension N

Consideramos en esta seccion una forma equivalente de ver las e.d.o. de orden superior a uno.Esta forma resultara muy conveniente, ya que nos permitira formular y demostrar los resultadosde toda la teorıa de este curso relativa a e.d.o. de cualquier orden de manera unificada como unsistema de orden uno.

Definicion 1.30. Se llama sistema diferencial ordinario (s.d.o.) de ecuaciones de primer

orden de dimension N en forma normal o explıcita a un sistema de N ecuaciones de laforma 8

>>><

>>>:

y01

= f1

(x, y1

, . . . , yN ),y02

= f2

(x, y1

, . . . , yN ),...y0N = fN (x, y

1

, . . . , yN ),

donde fi : ⌦ ⇢ RN+1 ! R para i = 1, . . . , N.

Observacion 1.31.

En general se supondra que ⌦ es un conjunto abierto, y que fi 2 C(⌦) para todo i.

Cabrıa la posibilidad de considerar sistemas con distinto numero de ecuaciones que de incogni-tas.


21 1.5. SISTEMAS DIFERENCIALES ORDINARIOS DE DIMENSION N

Se puede introducir una notacion vectorial que abrevia y unifica el tratamiento de una e.d.o.de orden uno y de un s.d.o. de primer orden.Dicha notacion vectorial serıa ~y0 = ~f(x, ~y), donde se entiende que los vectores siempre estanescritos por columna. Para unificar, como ya se ha dicho, el tratamiento de e.d.o. de ordenuno y de s.d.o. de primer orden normalmente se omitira el sımbolo vectorial (salvo que sequiera hacer especial hincapie en la diferencia).

Definicion 1.32. Dado un s.d.o. de primer orden y dimension N en forma normal, diremos quela funcion ~' = ('

1

, . . . ,'N ) : I ⇢ R ! RN definida en un intervalo no degenerado I es soluciondel s.d.o. si se cumplen las siguientes tres condiciones:

(i) ~' admite derivada para todo x 2 I,

(ii) (x, ~'(x)) 2 ⌦ 8x 2 I,

(iii) ~'0(x) = ~f(x, ~'(x)) 8x 2 I.

En tal caso se dira que (I,') es solucion local del s.d.o.

Observacion 1.33 (Modificacion de la definicion anterior).

En general se pedira que ~f 2 C(⌦).

Por tanto pediremos que en vez de (i) en la definicion anterior, se cumpla ~' 2 C1(I; RN ).

Cualquier e.d.o. de orden N, y(N = g(x, y, y0, . . . , y(N�1), es equivalente a un s.d.o. de ecua-ciones de primer orden y dimension N mediante el cambio de variables

y1

= y, y2

= y0, y3

= y00, . . . , yN = y(N�1.

Ası se obtiene el s.d.o. 8>>>>><

>>>>>:

y01

= y2

,y02

= y3

,...y0N�1

= yN ,y0N = g(x, y

1

, . . . , yN ).

Observese que el recıproco no es cierto, es decir, dado un s.d.o. de primer orden y dimensionN, no siempre es posible reducirlo a una e.d.o. de orden N. (Para hacerlo, cuando se puede, seprocede por diferenciacion y eliminacion de las variables superfluas.)

Al hilo de la observacion anterior, damos el siguiente

Ejemplo 1.34.(a) Comencemos con un caso en que hay respuesta positiva al problema recıproco.

Se considera el s.d.o. ⇢y0 = y + z,z0 = y � 2z.

Entoncesy00 = y0 + z0 = (y + z) + (y � 2z) = 2y � z = 2y � (y0 � y) = 3y � y0.

Una segunda opcion serıa

z00 = y0 � 2z0 = y + z � 2(y � 2z) = �y + 5z = �(z0 + 2z) + 5z = �z0 + 3z.

(b) Es inmediato dar un contraejemplo a la cuestion, es decir, no siempre es posible hacer el cambiode un s.d.o. a una e.d.o. Considerese el caso del s.d.o.

⇢y0 = y,z0 = 2z.



Definicion 1.35. Se llama problema de Cauchy para un s.d.o. de primer orden y dimen-

sion N al problema de encontrar solucion a

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

,

donde f : ⌦ ⇢ RN+1 ! RN .

Definicion 1.36. Se dice que (I,') es solucion local del (PC) anterior si ' : I ⇢ R ! RN essolucion del s.d.o. y0 = f(x, y) y ademas x

0

2 I, y se verifica '(x0

) = y0

.

Observacion 1.37. Aunque tiene sentido tratar un s.d.o. de orden superior a uno, en tal caso sepodrıa hacer un cambio que lo transformara a un sistema equivalente de orden uno y otra dimension(mayor), por lo que siempre se trataran en esta forma.

Un ejemplo de s.d.o. fue tratado al principio del tema: el modelo biologico para un sistema dedos especies presa-depredador.

Notas finales

El estudio aquı iniciado de un problema de Cauchy deja varias cuestiones abiertas:

Sabemos ya que encontrar solucion exacta al problema en general es imposible.

Por tanto nuestro objetivo a partir de ahora es desarrollar un estudio teorico de cuestionescualitativas como la existencia y otras propiedades de la(s) solucion(es) sin conocerla(s)explıcitamente.

El desarrollo de la teorıa cualitativa de e.d.o. se ve complementado con metodos de calcu-lo aproximados de las soluciones. Este es el objetivo del Analisis Numerico aplicado a lasecuaciones diferenciales.


Tema 2

Metodos elementales deintegracion

Ya anticipamos en el tema anterior que en general no es posible obtener soluciones explıcitaspara ecuaciones diferenciales. Aun ası, para ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias sı esposible, y ese sera nuestro objetivo en este tema.

Aunque resulta aparentemente contradictorio invertir tiempo en un problema que en generalno sera posible resolver, mas que en casos contados, el motivo no es otro que servir de ejemplosobre algunos de los comportamientos que exhibiran las soluciones de las e.d.o. y que despuesdescribiremos con el estudio teorico de forma general.

2.1. Resolucion e.d.o. de primer orden en forma normal

Los tipos estandar que aparecen en los libros de problemas y que veremos aquı son los siguientes.

De tipo inmediato.

Variables separables.

Homogeneas.

Lineales de primer orden.

Ecuaciones exactas.

Reducibles a exactas por factor integrante.

De tipo Bernoulli.

De tipo Ricatti.

De tipo inmediato

Entendemos como e.d.o. de tipo inmediato una ecuacion diferencial que propiamente no esecuacion (no aparece la incognita en el miembro de la derecha).

y0 = f(x) ) y(x) =Z

f(s)ds.

Si se tratara de un problema de Cauchy con dato inicial (x0

, y0

) evidentemente la solucion serıay(x) = y

0

+R x

x0f(s)ds.

23

24 TEMA 2. METODOS ELEMENTALES DE INTEGRACION

Variables separables

Una e.d.o. se dice de variables separables si, sustituyendo formalmente y0 pordy

dxse puede

manipular la ecuacion para dejar todos los terminos dependientes de y en un lado y los dependientesde x en el otro.

En tal caso, dada una expresion de la forma g(y)dy = f(x)dx la solucion al problema se obtienepor integracion. Z

g(y)dy =Z

f(x)dx.

En efecto, dada la e.d.o.

y0 =a(x)b(y)

,

consideramos A(x) y B(y), sendas primitivas de a(x) y b(y) respectivamente. Vemos que la ecuacionb(y)y0 = a(x) corresponde a

d

dx(B(y)) = a(x)

por lo que efectivamenteB(y) = A(x) + C,

que era la solucion anunciada.

Ejemplo 2.1. Consideramos la e.d.o. y0 = 1 + y2. Podemos pasar el termino de la derecha di-vidiendo sin problemas ya que no se anula el denominador (a veces esto no pasara y habra queanalizar varios casos separadamente) y no causara problemas en

y0

1 + y2

= 1.

La integracion es inmediata: arctg y = x + c, o sea, y = tan (x + c).Un hecho interesante a resaltar es que la solucion no existe globalmente para todo valor de

x, hay explosion en tiempo finito. ¿Ocurrira esto siempre? ¿o si no es ası, se puede caracterizarcuando ocurre? Responderemos afirmativamente esta ultima pregunta mas adelante (cf. Tema 4).

Ejemplo 2.2. Consideramos el

(PC)⇢

yy0 + (1 + y2) sen x = 0,y(0) = 1.

Comoyy0

1 + y2

= � senx entonces

Zy

1 + y2

dy =Z� senxdx,

o sea,12

ln(1 + y2) = cos x + C.

Manipulando la expresion anterior llegamos a que

y = ±p

e2 cos x+C � 1.

Aunque hay aparentemente dos familias de soluciones, el dato inicial solo permite que nos quedemoscon la positiva, mas aun,

y(0) = 1 ) 1 =p

e2+C � 1 ) C = ln 2� 2.


25 2.1. RESOLUCION E.D.O. DE PRIMER ORDEN EN FORMA NORMAL

La solucion del (PC) es por tanto

y(x) =p

2e2 cos x�2 � 1.

El dominio de definicion de la solucion es un cierto intervalo simetrico [�x⇤, x⇤], donde se satisfaceque cos x � (2� ln 2)/2. Vuelve a ocurrir que la solucion no esta definida globalmente, aunque estavez no hay explosion en tiempo finito, sino que llegamos al lımite donde la funcion deja de tenersentido (concretamente, y teniendo en cuenta que la ecuacion del problema se puede escribir como

y0 = f(x, y) con f(x, y) = � (1 + y2)y

senx, llegamos a donde la expresion deja de ser continua).

Homogeneas

Se dice que una funcion F (x, y) es homogenea de grado n si F (�x,�y) = �nF (x, y) para � > 0.Dada una e.d.o. en forma normal y0 = f(x, y), con f homogenea de grado 0, se puede resolver

explıcitamente haciendo el cambio de variables

v = y/x.

Si somos cuidadosos con los signos, entonces observamos que quedan dos problemas del tipo ante-rior, de variables separables:

v0 =f(1, v)� v

xsi x � 0,

y

v0 =f(�1,�v)� v

xsi x < 0.

Veamos un par de ejemplos ilustrativos. Los calculos que haremos seran formales, i.e. no reali-zaremos una casuıstica exhaustiva segun el signo. De hecho, esto ya nos esta indicando que delas multiples soluciones que se pueden obtener, el problema queda mas delimitado si se tiene unacondicion de valor inicial (igual que ocurrıa en el ejemplo anterior).

Ejemplo 2.3. Consideramos la ecuacion

y0 =y +

px2 � y2

x.

Con el cambio y = xu queda

xu0 + u =xu +

px2 � x2u

x= u +

p1� u2,

donde en la ultima igualdad hemos supuesto, por simplicidad en la exposicion que x > 0. Por tanto

xu0 =p

1� u2 ) xdu

dx=p

1� u2 )Z

1p1� u2

du =Z

1x

dx.

Para poder efectuar el ultimo paso hemos supuesto que 1� u2 6= 0. Ası, obtenemos por un lado lasolucion

y = x sen(ln |Cx|)y por otro, ya que suponıamos que 1� u2 6= 0, la que corresponde a este caso u2 = 1, i.e. y = ±x,que efectivamente se comprueba es tambien solucion.

Hay dos casos concretos que podemos resenar asociados a las ecuaciones homogeneas:

La e.d.o. y0 = f

✓ax + by

cx + dy

◆con la condicion

��a bc d

�� 6= 0 para que no se trate de un ejemplo

trivial, es una ecuacion diferencial homogenea, y admite resolucion por el metodo anterior.



Tambien es reducible a una ecuacion homogenea la siguiente:

y0 = f

✓ax + by + m

cx + dy + n

◆,

donde de nuevo suponemos la condicion��

a bc d

�� 6= 0.

Para obtener la ecuacion homogenea hemos de calcular el punto de corte de las rectas ax +by +m = 0 con cx+dy +n = 0. Si dicho punto lo denotamos por (x

0

, y0

), entonces el cambiode variables X = x� x

0

, Y = y � y0

, permite escribir la ecuacion (homogenea) en X e Y.

dY

dX=

dY

dx

dx

dX= f

✓aX + bY

cX + dY

◆

ya queaX + bY

cX + dY=

ax + by + m

cx + dy + n.

Lineales de primer orden

Llamamos e.d.o. lineal de primer orden a una ecuacion del tipo

y0 + a(x)y = b(x). (2.1)

Hay dos metodos para resolver este tipo de problemas.

El primero consiste en encontrar un factor integrante (esto se usara tambien mas adelantey de forma mas general). Si A es una primitiva de a, entonces la ecuacion anterior equivale a

eA(x)y0 + eA(x)a(x)y = eA(x)b(x),

de dondeeA(x)y(x) =

ZeA(x)b(x)dx.

El segundo metodo es la llamada formula de variacion de las constantes de Lagrange,y consta de dos pasos.

Primero resolvemos la ecuacion lineal homogenea (i.e. sin termino b)

y0 + a(x)y = 0,

que es del tipo de variables separables y tiene por solucion y(x) = Ce�A(x) con C 2 R.

El nombre del metodo quedara claro con el segundo paso. Buscamos una variacion de laconstante C anterior, concretamente suponemos que ahora C = C(x) es una funcion, eimponemos que y(x) = C(x)e�A(x) sea solucion de (2.1), tras lo cual una solucion particularde la ecuacion no homogenea sumada con todas las soluciones posibles de la homogenea,

y = yp + yH ,

hace que recuperemos la solucion general obtenida por el primer metodo.

Ejemplo 2.4. Consideramos la ecuacion

y0 + y cos x = sen x cos x.



Usamos el factor integrante para obtener la ecuacion equivalente

esen xy0 + cos xesen xy = sen x cos xesen x.

Comod

dx[esen xy] = esen xy0 + cos xesen xy,

deducimos que

esen xy =Z

senx cos xesen xdx.

La integral indefinida se hace por partes:Z

senx cos xesen xdx = esen x(senx� 1) + C,

con lo que la solucion final esy(x) = senx� 1 + Ce� sen x.

Ejemplo 2.5. Consideramos de nuevo la ecuacion del ejemplo anterior, pero lo resolvemos ahorapor el metodo de variacion de las constantes de Lagrange.

La ecuacion lineal homogenea y0 + y cos x = 0 puede verse como y0/y = � cos x (si suponemosy 6= 0, caso que habra que considerar aparte). La solucion entonces es

ln |y| = � senx + C ) |y| = Ce� sen x con C 2 R+

\ {0},con lo que eliminando el valor absoluto e incorporando la funcion y ⌘ 0, que tambien es solucion,obtenemos

yH(x) = Ce� sen x con C 2 R.

El segundo paso consiste en imponer que

yp(x) = C(x)e� sen x

sea solucion de y0 + y cos x = senx cos x. Al derivar yp(x) e imponer que sea solucion se obtieneuna ecuacion para C(x).

C 0(x) = senx cos xesen x,

o seaC(x) =

Zsenx cos xesen xdx.

Efectivamente, haciendo la integral como antes, y = yp + yH nos devuelve el mismo resultado queen el ejemplo anterior.

Ejemplo 2.6. Considerese el problema de Cauchy(

y0 + y =1

1 + x2

,

y(2) = 3,

cuya ecuacion se resuelve por medio de

exy0 + yex =ex

1 + x2

.

Concretamente la integracion (definida, para incorporar ya si queremos el valor inicial) esZ x

2

d

ds(esy(s)) ds =

Z x

2

es

1 + s2

ds,

es decir,

exy(x)� 3e2 =Z x

2

es

1 + s2

ds.

Ası, la solucion al problema es

y(x) = 3e2 � x + e�x

Z x

2

es

1 + s2

ds.



Ecuaciones exactas

Una e.d.o. de la forma

P (x, y) + Q(x, y)dy

dx= 0,

o equivalentemente escrita como

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

con P,Q 2 C(⌦) y ⌦ ⇢ R2, se dice exacta si existe una funcion U(x, y) (funcion potencial) tal que

@U

@x= P,

@U

@y= Q. (2.2)

Por tanto las soluciones vienen dadas de forma implıcita por “las curvas de nivel” U(x, y) = C,

con C una constante, ya qued

dx[U(x, y(x))] = 0. Anticipamos, aunque lo veremos con rigor mas

adelante, que entonces se dice que U(x, y(x)) es una integral primera del problema.

Un CRITERIO para saber si una e.d.o. es exacta, esto es, para ver si F = (P,Q) es conserva-tivo es el siguiente: supuesto que P, Q 2 C1(⌦) y que ⌦ es un dominio simplemente conexo (estoes, “sin agujeros”) Pdx + Qdy es exacta si y solo si se cumple la igualdad

@P

@y=@Q

@xen ⌦.

Ocurre de nuevo que hay dos formas de calcular U. Los exponemos a continuacion y despueslos ilustramos con varios ejemplos.

En tal caso, la funcion potencial U, al tener que cumplir@U

@x= P, es de la forma

U(x, y) =Z

P (x, y)dx + g(y). (2.3)

Por otro lado, como tambien debe cumplirse@U

@y= Q, se tiene que verificar

@

@y

✓ZP (x, y)dx

◆+ g0(y) = Q,

de modo que la expresion final de la funcion U viene dada por (2.3) siendo

g(y) =Z ✓

Q� @

@y

ZPdx

◆dy.

El segundo metodo se basa en el hecho de que las integrales exactas no dependen del caminoelegido en la integracion. Entonces

U(x, y) =Z x

x0

P (s, y0

)ds +Z y

y0

Q(x, s)ds.

En efecto, veamos que se cumple (2.2) para dicha expresion de U(x, y). Se tiene que

@U

@x(x, y) = P (x, y

0

) +@

@x

Z y

y0

Q(x, s)ds.



Pero por la igualdad@P

@y=@Q

@x,

@

@x

Z y

y0

Q(x, s)ds =Z y

y0

@

@xQ(x, s)ds =

Z y

y0

@

@yP (x, s)ds = P (x, y)� P (x, y

0

).

Concluimos que@U

@x(x, y) = M(x, y). La derivada parcial restante es mas simple:

@U

@y(x, y) =

@

@y

Z x

x0

P (s, y0

)ds + Q(x, y) = Q(x, y).

Ejemplo 2.7. Consideremos la e.d.o. y0 = �x3 + xy2

x2y + y3

. Evidentemente evitamos el conjunto de

valores donde x2y + y3 = 0, esto es, {(x, y) : y = 0}.Vamos a estudiar el problema en ⌦ = R2 \ {(x, y) : y = 0} = ⌦

1

[ ⌦2

(realmente lo haremospor separado en ⌦

1

y ⌦2

; observes que ambos dominios son simplemente conexos.Llamamos P (x, y) = x3 + xy2, y Q(x, y) = x2y + y3. Vemos que efectivamente

@P

@x=@Q

@y= 2xy.

Luego existen dos funciones �i 2 C1(⌦i) para i = 1, 2, tales que@�i

@x= P,

@�i

@y= Q.

Veamos como hallar la solucion usando los dos metodos anteriores.

Metodo 1:

@�@x

= x3 + xy2 ) �(x, y) =x4

4+

x2y2

2+ C(y).

) @�@y

= x2y + y3 ) x2y + y3 = x2y + C 0(y).

De modo que debe cumplirse que C(y) =y4

4+ k. En realidad, como la expresion de la solucion

vendra dada por �(x, y) = C, es preferible por ahora no arrastrar la constante k. Finalmente,resulta

�(x, y) =x4

4+

x2y2

2+

y4

4=

14(x2 + y2)2.

La solucion vendra de forma implıcita como

14(x2 + y2)2 = C2.

En este caso concreto sı podemos despejar y con respecto a x y obtener una expresion explıcita (peroesto no ocurrira en general). Las soluciones (segun estemos en el dominio ⌦

1

o ⌦2

), redefiniendoC, son y = ±pC � x2.



Metodo 2: Aplicado al mismo problema:

�(x, y) =Z x

x0

P (s, y0

)ds +Z y

y0

Q(x, s)ds

=Z x

x0

(s3 + sy2

0

)ds +Z y

y0

(x2s + s3)ds

=s4

4+

s2y2

0

2

�s=x

s=x0

+x2s2

2+

s4

4

�s=y

s=y0

=x4

4+

x2y2

0

2� x4

0

4� x2

0

y2

0

2+

y2x2

2+

y4

4� y2

0

x2

2� y4

0

4

=x4

4+

x2y2

2+

y4

4�✓

x4

0

4+

x2

0

y2

0

2+

y4

0

4

◆.

Ejemplo 2.8. Consideramos el

(PC)⇢

3xy2y0 = 2x� y3,y(1) = 1.

Notamos P (x, y) = 2x � y3, Q(x, y) = �3xy2. Como se tiene@P

@x=@Q

@y= �3y2, la ecuacion es

exacta. De nuevo lo resolvemos por los dos metodos posibles.

(a)@

@x�(x, y) = 2x� y3 ) �(x, y) = x2 � y3x + C(y).

@

@y�(x, y) = �3xy2 = �3xy2 + C 0(y) ) C 0(y) = 0 ) C(y) = C.

La solucion del problema viene dada por �(x, y) = x2 � y3x = C. Como debe cumplirsey(1) = 1, entonces debe ser C = 0. Despejando, se tiene que y = 3

px.

(b)

�(x, y) =Z x

1

P (s, 1)ds +Z y

1

Q(x, s)ds

=Z x

1

(2s� 1)ds�Z y

1

3xs2ds

= [s2 � s]x1

� [xs3]s=ys=1

= x2 � x� 1 + 1� xy3 + x,

de donde se obtiene la expresion implıcita de la solucion: �(x, y) = x2 � xy3 = 0 (al haberimpuesto ya los lımites precisos de integracion).

Reducibles a exactas por factor integrante

A veces puede ocurrir que una ecuacion diferencial no sea exacta pero que exista un factorµ 2 C1(⌦) con µ 6= 0 en ⌦ y tal que la expresion

µ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 (2.4)

sı es exacta, es decir, con la que se verifica

@

@y(µ(x, y)P (x, y)) =

@

@x(µ(x, y)Q(x, y)).



En tal caso a µ se le llama factor integrante. La condicion para que la (2.4) sea exacta si µdepende explıcitamente de las dos variables x e y es en principio mas complicada,

µyP + µPy = µxQ + µQx. (2.5)

Como en principio no sabemos si dicho factor integrante existe o no, por simplicidad buscamosfactores dependientes solo de una variable. Ası, resulta mas facil buscar por ejemplo µ = µ(x), encuyo caso la condicion (2.5) queda

µPy = µ0(x)Q + µQx ) µ0(x)µ(x)

=Py �Qx

Q.

Si la expresionPy �Qx

Qsolo depende de x, entonces podrıamos hallar el factor integrante (al

tratarse de una ecuacion de variables separables).Otras opciones validas serıan µ = µ(y), o µ = µ(t) con t algun cambio de variables que resulte

claro a tenor de la ecuacion de partida.

Ejemplo 2.9. La e.d.o.x(1� y) + (y + x2)y0 = 0

no es exacta, ya que si denotamos P (x, y) = x(1 � y) y Q(x, y) = (y + x2), se tiene Py 6= Qx.Veamos que µ(x, y) = ⌫(t), con t = x2 + y2, es un factor integrante.

Hay que intentar conseguir la igualdad

µyx(1� y)� xµ = µx(y + x2) + 2xµ,

o lo que es lo mismo, dada la relacion entre µ y ⌫,

⌫0(t)2yx(1� y)� x⌫(t) = ⌫0(t)2x(y + x2) + 2x⌫.

Tras hacer algunas simplificaciones, se obtiene que

⌫0(t)(�2x)(y2 + x2) = 3x⌫(t) ) ⌫0(t) = � 32t⌫(t),

con lo que una solucion posible (no nos interesa obtener todas) es

⌫(t) = t�3/2.

Por tanto, hemos conseguido probar la existencia de un factor integrante, µ(x, y) = (x2 + y2)�3/2.Ası, la ecuacion exacta es

µx(1� y) + µ(y + x2)y0 = 0.

La solucion del problema ahora viene dada por

�(x, y) =Z

x(1� y)(x2 + y2)3/2

dx + C(y) = (�1 + y)(x2 + y2)�1/2 + C(y).

Imponiendo la condicion con respecto a la derivada parcial respecto de y, debe cumplirse que

(x2 + y2)�1/2 � (y � 1)(x2 + y2)�3/2y + C 0(y) =y + x2

(x2 + y2)3/2

.

Operando concluimos que C 0(y) = 0, o sea, C(y) =Cte, de modo que la solucion final es:

�(x, y) =y � 1px2 + y2

= C.



De tipo Bernoulli

La siguiente e.d.o. se llama de tipo Bernoulli:

y0 = a(x)y + b(x)y↵, ↵ 6= 0, 1.

(Los casos ↵ = 0 o 1 ya han sido tratados antes). Hay dos modos de tratarla,

o bien haciendo el cambio de variables z = y1�↵, que la transforma en una ecuacion linealen z,

z0

1� ↵= az + b,

o bien con el cambio y = uv, y ahora imponemos que u0 = au y con esta primera ecuacionresuelta (denotemos A una primitiva de a) nos queda finalmente el problema

v0 = b(eA)↵�1v.

Ejemplo 2.10. Calcular las soluciones de la siguiente e.d.o. de tipo Bernoulli,

y0 +1x

y =lnx

xy2.

Usaremos, por ejemplo, el segundo de los metodos antes indicados. Sea y = uv. Ha de verificarseentonces

u0v + uv0 +1x

uv =lnx

xu2v2. (2.6)

Obligamos previamente a que u0 + 1

xu = 0 (lo que nos simplificara el estudio de (2.6)).La solucion de esta e.d.o. es u(x) = C/x, pero ya tendremos tiempo de poner la dependencia de

una constante arbitraria mas adelante, en la segunda ecuacion, ası que por simplicidad pondremosu(x) = 1/x. Entonces (2.6) se transforma en

v0 =lnx

x2

v2.

De nuevo, por variables separables podemos resolver la ecuacion:

�1v

=Z

lnx

x2

dx = � 1x

(lnx + 1),

donde la ultima integral la hemos resuelto por partes. Despejando se deduce que

v(x) =1

1+ln xx � C

,

y por tanto

y = uv =1

1 + lnx� Cx,

que constituye, junto con y ⌘ 0 (hubo un momento en que dividimos y por v, al suponerlas distintasde cero) las soluciones de la ecuacion.

De tipo Ricatti

Una e.d.o. de Ricatti tiene la siguiente forma:

y0 = a(x)y2 + b(x)y + c(x), a, b, c 2 C(I).

Es un caso especialmente interesante ya que es lo que obtendrıamos de otra e.d.o. cualquiera alaproximar el segundo miembro por su desarrollo de Taylor de orden dos.


33 2.2. E.D.O. DE SEGUNDO ORDEN

Liouville demostro la imposibilidad de dar un metodo general para obtener solucion de estaecuacion. No obstante, si se conoce de algun modo una solucion particular, llamemosla yp, entoncesel cambio y = yp + 1

u permite transformar el problema en otra e.d.o. de tipo lineal.En efecto,

y0 = y0p �u0

u2

= a

✓y2

p +1u2

+2yp

u

◆+ b

✓yP +

1u

◆+ c,

de donde, aplicando que yp es solucion de la ecuacion, resulta la e.d.o. lineal de primer orden

�u0 = a(1 + 2ypu) + bu.

(La forma mas sensata de tantear para encontrar una solucion particular es comenzar por funcionessimples, constantes, polinomios, o algo sugerido por la propia ecuacion.)

Ejemplo 2.11. Resolver el siguiente

(PC)⇢

y0 = (1� 2x)y � y2 + 2x,y(0) = 0.

Si buscamos una solucion constante, yp = A, deberıa tenerse 0 = (1� 2x)A�A2 + 2x, por lo queel sistema sobredeterminado sı tiene una solucion valida, yp ⌘ A = 1.

Hacemos ahora el cambio y = 1 + 1/z. (Tambien cambiamos la condicion inicial para el nuevoproblema, z(0) = �1). Desarrollando el cambio de variables e imponiendo que se satisfaga laecuacion original, tenemos

z0 = z + 2xz + 1 ) e�x�x2z0 � e�x�x2

(1 + 2x)z = e�x�x2.

(e�x�x2z)0 = e�x�x2 ) e�x�x2

z(x) + e0 =Z x

0

e�s�s2ds.

2.2. E.D.O. de segundo orden

Destacamos en esta seccion por su relativa simplicidad de resolucion algunas e.d.o. de segundoorden muy significativas en Fısica. Un estudio mas amplio, que en concreto abarcara a esta sec-cion, se hara en el Tema 5. (Solo trataremos problemas de Cauchy, no problemas de contorno o devalores en la frontera.)

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden son de la forma

P (x)y00 + Q(x)y0 + R(x)y = G(x), con P,Q,R, G continuas. (2.7)

2.2.1. Coeficientes constantes. Casos homogeneo y no homogeneo

Cuando P,Q y R son constantes, la estructura de las soluciones de (2.7) es sencilla. Hay doscasos que distinguir.

Caso homogeneo

Las soluciones deay00 + by0 + cy = 0 con a, b, c 2 R, (2.8)

forman un espacio vectorial, es decir, dadas dos soluciones y1

e y2

cualesquiera de (2.8), y dosconstantes c

1

, c2

2 R, la funcion y = c1

y1

+ c2

y2

es tambien solucion de (2.8). Denotamos V alconjunto de todas las soluciones de la ecuacion diferencial.

Veamos como calcular el conjunto de todas las soluciones [en realidad, hasta el tema siguiente,donde se da una condicion de unicidad local, no podemos demostrar que son todas las posibles,



sino solo un subconjunto de ellas. Sin embargo, supuesta la unicidad de solucion para un (PC),sı es simple concluir la dimension del espacio vectorial V. Razonese el porque].

Introducimos la ecuacion caracterıstica asociada a la e.d.o. ay00 + by0 + cy = 0. La ecuacioncaracterıstica es

ar2 + br + c = 0.

Como es bien sabido, pueden ocurrir tres cosas,

Si las raıces r1

, r2

de la ecuacion caracterıstica son ambas reales y distintas entre sı, entonces elconjunto de soluciones de la e.d.o. de segundo orden homogenea y con coeficientes constanteses

V = {y(x) = c1

er1x + c2

er2x : c1

, c2

2 R}.Si r

1

= r2

2 R, entonces

V = {y(x) = c1

er1x + c2

xer1x : c1

, c2

2 R}.

Si las raıces son complejas, rj = ↵± i�, entonces

V = {y(x) = e↵x(c1

sen(�x) + c2

cos(�x)) : c1

, c2

2 R}.

Caso no homogeneo

El conjunto de soluciones de la ecuacion

ay00 + by0 + cy = G(x)

tiene estructura de espacio afın, i.e. dada una solucion particular yp de la ecuacion no homogenea,el conjunto de todas ellas se obtiene como

VNH = {y = yp + yH : yH solucion de (2.8)}.Por tanto nos interesa buscar metodos para calcular soluciones particulares de la ecuacion no

homogenea. Veamos dos metodos.

El metodo de los coeficientes indeterminados, consistente en buscar (por tanteo) solu-ciones parecidas al termino G(x) que aparece en la ecuacion. Es especialmente valido para elcaso en que G sea un polinomio o una exponencial, o combinacion de ambos.Para aplicar este metodo no se debe olvidar el principio de superposicion. Si y

1

es solucionde

P (x)y001

+ Q(x)y01

+ R(x)y1

= G1

(x),

y otra funcion y2

es solucion de

P (x)y002

+ Q(x)y02

+ R(x)y2

= G2

(x),

entonces y = c1

y1

+ c2

y2

es solucion de

P (x)y00 + Q(x)y0 + R(x)y = c1

G1

(x) + c2

G2

(x).

El segundo metodo es el de variacion de parametros, que como veremos con mas detalleen el Tema 5, no es mas que una extrapolacion del metodo de variacion de las constantes deLagrange.El metodo consiste en que dadas dos soluciones y

1

e y2

del problema homogeneo, se busquesolucion del problema no homogeneo como y(x) = u

1

(x)y1

(x) + u2

(x)y2

(x) imponiendo queu0

1

y1

+ u02

y2

= 0. En tal caso, tenemos que

y0 = (u01

y1

+ u02

y2

) + (u1

y01

+ u2

y02

) = u1

y01

+ u2

y02

.



Ahora, derivando de nuevo,

y00 = u01

y01

+ u02

y02

+ u1

y001

+ u2

y002

.

Sustituyendo en la expresion ay00 + by0 + cy = G(x) y teniendo en cuenta que y1

e y2

sonsoluciones de ay00 + by0 + cy = 0, resulta

⇢u0

1

y1

+ u02

y2

= 0,a(u0

1

y01

+ u02

y02

) = G(x).

Para cada valor x fijado, el anterior es un sistema lineal en las incognitas u01

(x) y u02

(x), quese puede resolver y de donde recuperar integrando las funciones u

1

y u2

, y por tanto unasolucion particular de ay00 + by0 + cy = G(x).

2.2.2. Ejemplos y aplicaciones de e.d.o. de 2o orden

Vemos algunos ejemplos interesantes que aparecen en la Fısica cuyas ecuaciones son de segundogrado.

Movimiento armonico simple de un muelle

La ley de Hooke F (x) = �kx sobre la relacion de fuerzas en un muelle estirado o contraıdo ysu distancia respecto la posicion de equilibrio se puede combinar con la segunda ley de Newtonpara generar la ecuacion

mx00 = �kx.

La solucion general de la ecuacion es

x(t) = c1

cos(!t) + c2

sen(!t),

y el valor ! =p

k/m es por razones obvias frecuencia del movimiento.

Muelle sometido a fuerzas de friccion o fuerzas amortiguadoras

El movimiento descrito en la seccion anterior es evidentemente un caso idealizado. Situacionesmas reales deben incorporar fuerzas de friccion (caso de un movimiento horizontal) o de tipoamortiguador (caso de movimiento vertical). En tales casos la ecuacion a estudiar es

mx00 + cx0 + kx = 0, con c > 0.

Es facil comprobar que la ecuacion caracterıstica mr2 + cr + k = 0 con c > 0 hace que las posiblessoluciones del problema contengan exponenciales de exponente negativo.

Vibraciones forzadas

Un caso que complementa a los anteriores es el de las vibraciones forzadas. ¿Que ocurre si unsistema relativo a un muelle con rozamiento recibe algun tipo de fuerza externa? (Esta situaciones totalmente practica en la industria). Se tratarıa de resolver la ecuacion

mx00 + cx0 + kx = f(t),

donde de nuevo c > 0 y una hipotesis natural sobre f(t) es que sea tambien una funcion periodica.Consideremos por ejemplo, y para evitar arrastrar constantes en los calculos inmediatos, la

ecuacionx00 + x0 + x = sen t. (2.9)

La forma mas corta de resolver la e.d.o. es observandola y buscando alguna funcion con si-militud. Es claro que debemos probar con las funciones sen t y cos t. Ninguna de las dos sirve,



pero entonces observamos que � cos t sı es una solucion particular. De modo que el conjunto desoluciones de (2.9) es

V = {y = � cos t + c1

y1

+ c2

y2

},donde y

1

e y2

son soluciones independientes del problema homogeneo calculadas usando la ecuacioncaracterıstica r2 + r + 1 = 0, que tiene raıces �1±

p3i

2

. Por tanto basta tomar

y1

(t) = e�t/2 sen

p3

2t

!, y

2

(t) = e�t/2 cos

p3

2t

!.

Si no se hubiera tratado de un caso tan simple, hubieramos tenido que emplear el metodo devariacion de parametros. Es mas largo, pero tiene la ventaja de ser explıcito y no depender de la“astucia” de quien intenta resolver el problema.

Aplicar el metodo de variacion de parametros en este caso (aquı solo esbozamos parte delprocedimiento) consistirıa en:

yp(t) = u1

(t)y1

(t) + u2

(t)y2

(t), (2.10)

donde y1

e y2

han sido dadas anteriormente, y sobre las funciones u1

(t) y u2

(t) imponemos que

u01

y1

+ u02

y2

= 0,

de modo quey0p = (u0

1

y1

+ u02

y2

) + (u1

y01

+ u2

y02

) = u1

y01

+ u2

y02

.

Ahora calculamosy00p = u0

1

y01

+ u02

y02

+ u1

y001

+ u2

y002

.

Uniendolo todo (y usando que y1

e y2

son soluciones de y00 + y0 + y = 0, obtenemos el sistema⇢

u01

y1

+ u02

y2

= 0,u0

1

y01

+ u02

y02

= sen t.

Resolviendo el sistema se obtiene

u01

(t) =2p3et/2 sen t cos

p3

2t

!, u0

2

(t) = � 2p3et/2 sen t sen

p3

2t

!.

Usando las relaciones trigonometricas

2 sen a cos b = sen(a + b) + sen(a� b), 2 sen a sen b = cos(a� b)� cos(a + b),

se pueden resolver las cuatro integrales cıclicas que aparecen para hallar u1

(t) y u2

(t), con las queobtener por medio de (2.10) la solucion del problema.

Notese que en la expresion de la solucion las exponenciales de exponentes positivos y negativosse cancelan, por lo que queda efectivamente vuelve a quedar una funcion periodica (no cabıa esperarotra cosa de un sistema fısico aun forzado pero con rozamiento).

Vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Resonancia

El caso quizas mas llamativo, en comparacion con el anterior, lo constituye un movimientooscilatorio como los anteriores, forzado (digamos de nuevo de forma periodica, que serıa lo logicode ejercer por un instrumento mecanico), pero en el que de algun modo no hay amortiguamiento.

Consideramos la ecuacionmx00 + kx = f

0

cos(!t). (2.11)



Recordemos que la forma de la solucion general de la ecuacion homogenea es

x(t) = c1

cos (!0

t) + c2

sen (!0

t) con !0

=r

k

m.

Intentamos obtener una solucion particular para (2.11) por medio del metodo de los coeficientesindeterminados.

Probamos con xp(t) = A cos(!t), siendo A una constante cualquiera. Si calculamos dos deriva-das obtenemos

mx00p(t) + kxp(t) = �m!2A cos(!t) + kA cos(!t)

que efectivamente puede tomar el valor f0

cos(!t) si (k �m!2)A = f0

. Tomamos

A =f0

k �m!2

=f0

/m

!2

0

� !2

. (2.12)

Estamos suponiendo !2

0

� !2 6= 0.La expresion final de la solucion:

x(t) = xh(t) + xp(t) = c1

cos(!0

t) + c2

sen(!0

t) +f0

/m

!2

0

� !2

cos(!t).

Otra expresion valida es

x(t) = C cos(!0

t� ↵) +f0

/m

!2

0

� !2

cos(!t),

es decir, la solucion que se obtiene es superposicion de dos oscilaciones, una con frecuencia natural!

0

, la propia de la ecuacion homogenea, y otra debida a la fuerza externa.

Sin embargo, por el camino hemos dejado un caso atras, el caso en que !2 = !2

0

. Consideremosjustamente ese caso, sea la e.d.o.

x00 + !2

0

x =f0

mcos(!

0

t).

Observamos que (2.12) hace que lım!!!0 A = +1, eso nos debe hacer sospechar que estecaso sera mas problematico. Y efectivamente, se comprueba que una funcion de la forma x(t) =A cos(!

0

t) ya no sirve como solucion. Tanteamos otras posibilidades, por ejemplo:

xq(t) = At cos(!0

t),

que tiene por derivadax0q(t) = A cos(!

0

t)�At!0

sen(!0

t),

y derivada segunda

x00q (t) = �A!0

sen(!0

t)�A!0

sen(!0

t)�At!2

0

cos(!0

t).

Tenemos quex00q (t) + !2

0

xq(t) = �2A!0

sen(!0

t)�A(!2

0

� 1)t cos(!0

t)

que NO es de la formacos(!

0

t).

Sin embargo nos hemos acercado bastante, y de hecho un segundo intento natural resulta exitoso:Sea

xp(t) = At sen(!0

t),x0p(t) = A sen(!

0

t) + At!0

cos(!0

t),

x00p(t) = 2A!0

cos(!0

t)�A!2

0

t sen(!0

t),



con lo quex00p(t) + !2

0

xp(t) = 2A!0

cos(!0

t).

Ahora sı podemos ajustar A tal que 2A!0

=f0

m.

Efectivamente una solucion particular ahora es por tanto

xp(t) = At sen(!0

t).

Se comprueba ası que hay una diferencia apreciable entre el caso de vibracion forzada sin amorti-guamiento para cierta frecuencia de la fuerza externa y el caso con amortiguamiento. El caso conresonancia produce una solucion que es no acotada y va ampliandose con el paso del tiempo hastapoder afectar al sistema sobre el que actua.

Dicha diferencia es la responsable, por ejemplo, de la destruccion de puentes con mal sistemade amortiguacion, y de otros fenomenos positivos, como la ampliacion de ondas de radio con lasintonizacion adecuada.

2.3. Otras ecuaciones de orden mayor que uno

Junto a las ecuaciones vistas en las secciones anteriores, existen otros casos especiales de e.d.o.de orden superior a uno que admiten simplificaciones y reducciones que las hacen mas manejables.

El caso mas inmediato que se viene a la cabeza es una (falsa) e.d.o. del tipo y(n = f(x). Direc-tamente integrando n veces se obtiene la solucion.

Haremos algunos comentarios y ejemplos sobre los siguientes casos:

La e.d.o. y(n = g(x, y(k, . . . , y(n�1)

La e.d.o. autonoma y(n = f(y, y0, . . . , y(n�1)

La e.d.o. lineal homogenea y(n = a1

(x)y(n�1 + a2

(x)y(n�2 + . . . + an(x)y

La ecuacion de Euler

an(cx + d)ny(n + an�1

(cx + d)n�1y(n�1 + . . . + a1

(cx + d)y0 + a0

y = 0.

La e.d.o. y(n = g(x, y(k, . . . , y(n�1)

El orden de la e.d.o. y(n = g(x, y(k, . . . , y(n�1) se reduce si se hace el cambio p = y(k (i.e. elorden de la derivada mas baja que aparece).

Ejemplo 2.12. Consideramos la ecuacion y00 = f(x)(a + y0)2, con f 2 C(R).

Denotamos por F una primitiva de f. Hacemos el cambio y0 = p. Entonces queda p0 = f(x)(a+p)2.

Si a + p 6= 0, entonces

p0

(a + p)2= f(x) ) �1

a + p= F (x)+C

1

) a+p =�1

F (x) + C1

) y0 = p = �a� 1F (x) + C

1

,

de donde la solucion final es

y = �ax�Z

1F (x) + C

1

dx + C2

.

Si a + p = 0, entonces p = �a, ) y0 = �a ) y = �ax + k.


39 2.3. OTRAS ECUACIONES DE ORDEN MAYOR QUE UNO

Ejemplo 2.13. Considerese la ecuacion y000 =p

1 + (y00)2.

Hacemos el cambio y00 = p. Tenemos entonces la ecuacion p0 =p

1 + p2 ) dpp1 + p2

= dx )

arcsenh p = x + C1

) p = y00 = senh(x + C1

) =12�ex+C1 � e�x�C1

�,

y0 = cosh(x + C1

) + C2

) y = senh(x + C1

) + C2

x + C3

.

La e.d.o. autonoma y(n = f(y, y0, . . . , y(n�1)

Una e.d.o. autonoma de orden n, i.e. del tipo y(n = f(y, y0, . . . , y(n�1) se reduce si se usa elcambio p = y0 y ahora vemos p = p(y).

Ejemplo 2.14. Consideramos la ecuacion y00 + (y0)2 = 2e�y.

Hacemos el cambio y0 = p y consideramos p = p(y). Entonces

dy

dx= y0 = p ) y00 =

dp

dx=

dp

dy

dy

dx= p

dp

dy.

Por tanto se obtiene pdp

dy+ p2 = 2e�y, de donde la nueva ecuacion

dp

dy+ p = 2e�yp�1. (2.13)

Se trata por tanto de una e.d.o. de tipo Bernoulli, que se resuelve haciendo el cambio p1�↵ = p2 = z,y por tanto 2pp0 = z0. Sustituyendo en (2.13),

2pp0 = �2p2 + 4e�y ) z0 = �2z + 4e�y ) e2yz0 + e2y2z = 4ey ) e2yz = 4ey + C1

.

La solucion z(y) = 4e�y + C1

e�2y, deshaciendo el cambio, nos devuelve

y0 = p =p

4e�y + C1

e�2y = e�yp

4ey + C1

.

Ahora tratamos la ultima ecuacion por variables separables,Z

eydyp4ey + C

1

=Z

dx ) 12

p4ey + C

1

= x + C2

) ey = (x + C2

)2 � C1

4,

con lo que la solucion final del ejercicio es

y = ln��(x + C

2

)2 � C1

4

�� .

Nota: hemos supuesto por el camino que p 6= 0 para poder operar sin problemas, al menoslocalmente. El caso p = 0 hay que tratarlo por tanto ahora. Pero comprobamos que y0 = 0, o sea,y =Cte no es solucion del problema.

La e.d.o. lineal homogenea y(n = a1

(x)y(n�1 + a2

(x)y(n�2 + . . . + an(x)y

Para la e.d.o. lineal homogenea y(n = a1

(x)y(n�1 + a2

(x)y(n�2 + . . . + an(x)y, si se conoce unasolucion particular y

1

y se hace el cambio y(x) = y1

(x)u(x) se consigue reducir a una e.d.o. de unorden menor.



Ejemplo 2.15. Consideramos la e.d.o.

y00 +2x

y0 + y = 0.

Como aparece la variable x, no podemos tratarlo como en el caso anterior. Tenemos que intentarencontrar una solucion particular y

1

y hacer el cambio y = y1

u. Puede comprobarse que una solu-cion particular en este caso viene dada por y

1

= sen xx .

Ahora entonces y0 = y01

u + y1

u0 ) y00 = y001

u + 2y01

u0 + y1

u00 con lo que

y001

u + 2y01

u0 + y1

u00 +2x

y01

u +2x

y1

u0 + y1

u = 0.

Como y001

+ 2

xy01

+ y1

= 0, resulta la nueva ecuacion

y1

u00 +✓

2y01

+2x

y1

◆u0 = 0.

Ahora usamos el cambio visto en uno de los casos anteriores u0 = p, de modo que

y1

p0 +✓

2y01

+2x

y1

◆p = 0 ) p0

p= �2

cos x

senx) p =

C1

sen2 x) u = �C

1

cotg x + C2

de dondey = y

1

u =senx

x(C

2

� C1

cotg x).

La ecuacion de Euler

Llamamos ecuacion de Euler a una e.d.o. del tipo

an(cx + d)ny(n + an�1

(cx + d)n�1y(n�1 + . . . + a1

(cx + d)y0 + a0

y = 0.

Si hacemos el cambio cx + d = et, se transforma en una e.d.o. lineal homogenea de orden n concoeficientes constantes.

Ejemplo 2.16. Consideramos la e.d.o.

a2

(cx + d)2y00 + a1

(cx + d)y0 + a0

y = 0.

Denotaremos las derivadas respecto de la variable t por y, para distinguirlo del caso de derivacionrespecto a x, y0.

Tras el cambio cx + d = et, como

cdx = etdt ) dy

dx=

dy

dt

dt

dx= yce�t.

Procedemos analogamente para la derivada segunda,

d2y

dx2

=d

dx

✓dy

dx

◆= c

d

dx(ye�t) = c

d

dt(ye�t)

dt

dx= c2e�t(ye�t � ye�t).

Agrupandolo todo resultaa2

c2(y � y) + ca1

y + a0

y = 0.

Observacion 2.17. En el caso particular de que cx+d = x, la busqueda de una solucion particularde la forma y = xk genera en el exponente k la misma condicion que el polinomio caracterısticode la ecuacion tras el cambio x = et.


41 2.4. INTEGRALES PRIMERAS DE SISTEMAS DIFERENCIALES ORDINARIOS

En efecto, comprobemoslo sobre el ejemplo anterior. Sea a2

x2y00 + a1

xy0 + a0

y = 0. La funciony = xk es solucion si y solo si (derivando dos veces y uniendolo todo convenientemente)

a2

k(k � 1) + a1

k + a0

= 0.

Justamente la ecuacion tras el cambio era (aquı c = 1)

a2

(y � y) + a1

y + a0

y = 0,

o agrupado en ordena2

y + (a1

� a2

)y + a0

y = 0,

cuya ecuacion caracterıstica es a2

r2 + (a1

� a2

)r + a0

= 0.

2.4. Integrales primeras de sistemas diferenciales ordinarios

Definicion 2.18. Dado un s.d.o. y0 = f(x, y), se llama integral primera a cualquier funcion�(x, y) con � 2 C1 tal que si (I,') es una solucion local del s.d.o., entonces �(x,'(x)) =cte8x 2 I.

Observacion 2.19. Supongamos que para un s.d.o. de primer orden y dimension n somos capacesde encontrar n integrales primeras independientes entre si, i.e. el jacobiano es localmente no nulo,

��@(�1, . . . ,�n)@(y

1

, . . . , yn)

�� 6= 0.

Entonces se tienen n igualdades 8>>><

>>>:

�1(x,'(x)) = C1

,�2(x,'(x)) = C

2

,...�n(x,'(x)) = Cn,

y el sistema 8>>><

>>>:

�1(x, y) = C1

,�2(x, y) = C

2

,...�n(x, y) = Cn,

define de forma implıcita la solucion y = '(x,C1

, . . . , Cn).

2.4.1. Calculo de integrales primeras. Combinaciones integrables

Veamos algunos metodos para obtener integrales primeras a partir de un s.d.o.Si se tiene el s.d.o. 8

>>>>><

>>>>>:

y01

= f1

(x, y) =dy

1

dx,

...

y0n = fn(x, y) =dyn

dx,

y lo escribimos como

dx =dy

1

f1

(x, y)=

dy2

f2

(x, y)= . . . =

dyn

fn(x, y),

podemos aplicar formalmente la siguiente relacion de proporcionalidad entre fracciones:

a

b=

c

d) a

b=

c

d=�a + µc

�b + µd8�, µ.



Si obtenemos en algun momento entonces una expresion del tipoa

b=

C

0debe ocurrir que C = 0.

Veamos dos formas de aplicar esto.

Supongamos que el sistema (ya en la escritura mas general posible)

dx

F0

(x, y)=

dy1

F1

(x, y)= . . . =

dyn

Fn(x, y)

admite funciones µ0

(x, y), µ1

(x, y), . . . , µn(x, y) tales que

µ0

F0

+ µ1

F1

+ . . . + µnFn = 0

y ademasµ

0

dx + µ1

dy1

+ . . . + µndyn = d�.

Entonces

dx

F0

(x, y)=

dy1

F1

(x, y)= . . . =

dyn

Fn(x, y)=

µ0

dx + µ1

dy1

+ . . . + µndyn

µ0

F0

+ µ1

F1

+ . . . + µnFn=

d�0

.

Por el comentario anterior, d� = 0, es decir, �(x, y) es una integral primera del s.d.o.

Imaginemos que entre dos fracciones del s.d.o. hemos llegado a

d 1

(x, y)

1

(x, y)=

d 2

(x, y)

2

(x, y), (2.14)

entonces, como

d

✓

1

2

◆=

2

d 1

� 1

d 2

2

2

= 0,

se tiene que

1

2

(x, y) es una integral primera.

Por supuesto, cualquier resolucion como e.d.o. de (2.14) tambien sirve para generar unaintegral primera.

Veamos algunos casos practicos.

Ejemplo 2.20. Consideramos el problema de Cauchy8>>>>>><

>>>>>>:

y01

=dy

1

dx=

x(x + y1

)� y2

y1

(x + y1

) + y2

,

y02

=dy

2

dx=

y2

(x + y1

)y1

(x + y1

) + y2

,

y1

(0) = 0,y2

(0) = 1.

Observemos que

dx

y1

(x + y1

) + y2

=dy

1

x(x + y1

)� y2

=dy

2

y2

(x + y1

)=

xdx� y1

dy1

� dy2

0.

Como xdx� y1

dy1

� dy2

= d

✓12x2 � 1

2y2

1

� y2

◆, se tiene que una integral primera es

�1(x, y1

, y2

) = x2 � y2

1

� 2y2

.



A traves de otra manipulacion obtenemos otra integral primera,

dx

y1

(x + y1

) + y2

=dy

1

x(x + y1

)� y2

=dy

2

y2

(x + y1

)=

dx + dy1

(x + y1

)2.

De las dos ultimas expresiones racionales concluimos que

dy2

y2

=d(x + y

1

)x + y

1

,

por lo que otra integral primera es

�2(x, y1

, y2

) =x + y

1

y2

.

Observemos que efectivamente las dos integrales primeras obtenidas son independientes entre si:��@(�1,�2)@(y

1

, y2

)

�� =

��2y

1

�2y2

1/y2

�x+y1y22

�� =2y

1

(x + y1

)y2

2

+2y2

.

La resolucion completa del problema consiste en usar las expresiones implıcitas que se obtienen delas integrales primeras igualadas a dos constantes arbitrarias, y sustitucion de dichas constantescon los valores iniciales.

x2 � y2

1

� 2y2

= C1

,x + y

1

= C2

y2

,

�y1

(0) = 0,y2

(0) = 1,) C

1

= �2,C

2

= 0.

Por tanto la solucion del problema viene dada por el sistema

x2 � y2

1

� 2y2

= �2,x + y

1

= 0,

�) y

2

= 1,y1

= �x.

Una observacion de tipo practico: si hubieramos tenido por dato inicial, por ejemplo, y1

(0) = 1,y2

(0) = 0, la segunda integral no hubiera sido valida. No obstante, podrıamos darle la vuelta, i.e.tomar

y2

x + y1

como integral primera y continuar.

Ejemplo 2.21. Resolver el problema de Cauchy8>>><

>>>:

y01

=y1

x + y2

,

y02

=y2

1

+ y2

x + y2

,

y1

(0) = 1, y2

(0) = 1.

Comenzamos escribiendo de forma racional conjunta el s.d.o.

dx

x + y2

=dy

1

y1

=dy

2

y2

1

+ y2

.

Observamos desde el principio que tenemos una igualdad interesante para trabajar,

dy1

y1

=dy

2

y2

1

+ y2

) dy2

dy1

=y2

1

+ y2

y1

= y1

+y2

y1

.

Por tanto tiene sentido tratarlo como una e.d.o. lineal donde y2

= y2

(y1

). Su resolucion implica(compruebese) que

y2

y1

� y1

= C. (2.15)



Por tanto una integral primera para el problema es

�1(x, y1

, y2

) =y2

y1

� y1

.

Veamos ahora como utilizar una integral primera para obtener otra. (Por supuesto nousando las mismas expresiones racionales, de hacerlo llegarıamos a una identidad trivial e inutil).

y2

= C1

y1

+ y2

1

,

dx

x + C1

y1

+ y2

1

=dy

1

y1

,

9>=

>;) dx

dy1

=1y1

x + C1

+ y1

.

Es decir, hemos obtenido de nuevo una e.d.o. lineal que podemos resolver. Compruebese que susolucion es

x = y2

1

+ C1

y1

ln |y1

| + C2

y1

.

Eliminamos la constante C1

usando (2.15),

x = y2

1

+ (y2

� y2

1

) ln |y1

| + C2

y1

.

Por tanto otra integral primera es

�2(x, y1

, y2

) =x� y2

1

+ (y2

1

� y2

) ln |y1

|y1

.

La solucion general del problema puede venir dada por el sistema implıcito⇢

�1(x, y1

, y2

) = C1

�2(x, y1

, y2

) = C2

.

El dato inicial y1

(0) = 1 implica que C1

= 0, de donde a su vez se deduce que y2

= y2

1

. Entoncesy2

(0) = 1 implica que C2

= �1, y ası

�x + y2

1

= y1

) y1

=1 ±p1 + 4x

2,

pero la condicion inicial y1

(0) = 1 hace que solo sea valida la opcion (y ası la solucion local entorno al (0, 1, 1) del problema)

y1

(x) =1 +

p1 + 4x

2, y

2

(x) = (y1

(x))2.

Ejemplo 2.22. Hallar todas las trayectorias sobre el paraboloide z = x2 + y2 que son ortogonalesa las intersecciones de este con los planos z = k, k > 0.

Escribamos de forma general el planteamiento del problema. Una curva perteneciente a la in-terseccion de dos superficies como las del enunciado:

⇢F (x, y, z) = 0,G(x, y, z) = C,

ha de satisfacer ser perpendicular en cada punto a lo largo de su trayectoria tanto al vector normalde una superficie, como al de la otra. O equivalentemente, ser paralelo al producto vectorial deambos vectores normales.

Denotemos por (x(t), y(t), z(t)) a una curva perteneciente a dicha interseccion. La condicionanterior se escribe

(x0(t), y0(t), z0(t)) || (rF ⇥rG).



Pero conocemos la expresion explıcita de

rF ⇥rG =

��

i j kFx Fy Fz

Gx Gy Gz

��=✓��

Fy Fz

Gy Gz

�� ,��

Fz Fx

Gz Gx

�� ,��

Fx Fy

Gx Gy

��

◆=: (P,Q,R).

Por tanto el s.d.o. verificado por la familia de curvas pertenecientes a la interseccion de las dossuperficies es

x0(t)P

=y0(t)Q

=z0(t)R

,

o escrito en forma diferencialdx

P=

dy

Q=

dz

R=

dt

1.

En realidad no necesitamos calcular dichas curvas, sino saber que son paralelas al vector (P,Q,R),y ası, las curvas que verdaderamente se piden, deben ser perpendiculares a rF y a (P,Q,R), porlo que de forma analoga a lo desarrollado anteriormente, las curvas buscadas deben ser paralelas a

rF ⇥ (P,Q,R) =

��

i j kFx Fy Fz

P Q R

��.

Ası, el s.d.o. a resolver sera

dx��Fy Fz

Q R

��=

dy��Fz Fx

R P

��=

dz��Fx Fy

P Q

��.

Nos centramos ya en el enunciado para concretar las ecuaciones anteriores.

F (x, y, z) = z � x2 � y2 = 0,G(x, y, z) = z = k, k > 0

�) rF = (�2x,�2y, 1),

rG = (0, 0, 1).

Por tanto

rF ⇥rG =

��

i j k�2x �2y 1

0 0 1

��= (�2y,�2x, 0) =: (P,Q,R).

Por otro lado,

rF ⇥ (rF ⇥rG) =

��

i j k�2x �2y 1�2y 2x 0

��= (�2x,�2y,�4(x2 + y2)).

Ası, las curvas buscadas sondx

�2x=

dy

�2y=

dz

�4(x2 + y2).

Una opcion como integral primera es clara a partir de las dos primeras expresiones:

�1(x, y, z) =y

z.

Haciendo manipulaciones, otra opcion es la siguiente:

dx

�2x=

dy

�2y=

dz

�4(x2 + y2)=

2xdx + 2ydy � dz

0.

Deducimos lo que por otro lado era obvio, que

�2(x, y, z) = x2 + y2 � z



es otra integral primera, pero si queremos que la solucion este en F (x, y, z) = 0 no podemos admitircualquier constante.

En conclusion, las curvas buscadas son

x2 + y2 � z = 0,y/x = C

�)

⇢x2 + y2 � z = 0,

y = Cx.

�


Tema 3

Existencia y unicidad de solucionlocal para el problema de Cauchy

3.1. Introduccion

En este tema comenzamos propiamente el estudio cualitativo de sistemas de ecuaciones dife-renciales ordinarios. A diferencia de los dos temas precedentes, mostramos resultados abstractosbastante generales, dos de los cuales permitiran garantizar bajo ciertas condiciones la existencia,y la existencia y unicidad de solucion para un s.d.o.

Sin embargo la respuesta solo sera local, es decir, en un entorno del punto sobre el que seapoya el problema de Cauchy. Esto es algo natural, al menos si se piensa en los ejemplos vistoscon anterioridad. Para un estudio global del problema, deberemos esperar al tema siguiente.

Ambas cuestiones, la de tratar por separado resultados de existencia y de unicidad, y la deque el analisis sea local, obedecen a una razon simple. Hay ejemplos en los que una e.d.o. notiene unicidad de solucion pero sı existencia [compruebese la multiplicidad de soluciones del (PC)y0 = y1/3 con dato inicial y(0) = 0].

Tambien hay casos en los que una misma ecuacion tiene soluciones con distintos dominios dedefinicion segun el dato inicial con que se plantee el problema de Cauchy. Veamos un caso en quese da esta situacion.

Ejemplo 3.1. Es inmediato comprobar que la ecuacion y0 = �3y4/3 senx tiene por soluciones

y ⌘ 0, y(x) =1

(c� cos x)3con c 2 R.

Sin embargo, si nos fijamos en la cantidad y�1/3 + cos x = c, ocurren dos casos:

Si |c| > 1, es decir, si |y�1/3

0

+ cos x0

| > 1, entonces el denominador de la solucion no seanula, y su intervalo de definicion es todo R.

En cambio, si |c| 1, es decir, si (x0

, y0

) son tales que |y�1/3

0

+ cos x0

| 1, entonces eldenominador acaba anulandose, y por tanto el dominio de definicion de la solucion es finito.

El tema puede verse dividido en dos grandes bloques, en los que se mostrara respectivamenteexistencia y unicidad de solucion local (Teorema de Picard), y existencia de solucion local delproblema de Cauchy (Teorema de Peano). Los metodos que estan detras de ambos resultados sonpotentes y se emplean en casos mas generales y complejos. Se trata de los metodos de punto fijo yde compacidad respectivamente. Se desarrollaran con mas profundidad en cursos posteriores (porello tambien resaltar la importancia que tiene este tema en la formacion del alumno).

Para desarrollarlos requeriremos algun preambulo de Analisis Funcional, lo que simplificara lapresentacion global de los resultados, y le dara un caracter transversal al tema relacionandolo con

47

48 Tema 3. Existencia y unicidad de soluci

´

on local

otras asignaturas ya estudiadas. Dichos preambulos consisten respectivamente en el Teorema dePunto Fijo de Banach, para aplicaciones contractivas, y en una caracterizacion de compactos enel conjunto de las funciones continuas definidas en un intervalo compacto, esto es, el Teorema deAscoli-Arzela.

El motivo para presentar dos resultados que abordan la existencia de solucion (en muchoscursos sobre e.d.o. es frecuente incidir solo en el Teorema de Picard, y dejar el Teorema de Peanopara alguna asignatura de ampliacion) es que, si bien el primero es mas simple de probar que elsegundo, el ultimo resulta mas intuitivo desde un punto de vista heurıstico, util para el inicio dela implementacion numerica, y ademas se corre el peligro de que un alumno no llegue a cursar laasignatura de ampliacion donde el resultado se muestra [Al menos esto es lo que ocurre en el actualplan de estudios de la Licenciatura de Matematicas en la Universidad de Sevilla].

3.2. Algunas notas sobre el espacio C(I)

Presentamos un breve recordatorio de algunas propiedades del espacio de las funciones realesde variable real continuas definidas sobre un intervalo cerrado. Esto sera esencial en el desarrolloposterior del tema.

En todo lo que sigue denotaremos I = [a, b] un intervalo cerrado y acotado de R.

Definicion 3.2. Sea X un R�espacio vectorial. Una norma sobre X es una aplicacion k · k :X ! R

+

que satisface tres propiedades:

kxk = 0 si y solo si x = 0.

kx + yk kxk+ kyk 8x, y 2 X (desigualdad triangular).

k�xk = |�|kxk 8� 2 R, 8x 2 X.

Un espacio vectorial dotado de una norma, (X, k · k) se llama espacio normado. Cuando seaclara la eleccion de la norma, a veces se denotara simplemente X.

Observacion 3.3.

Todo espacio normado es un espacio metrico, ya que dada la norma k · k, es facil definir unadistancia sobre X, la dada por d(x, y) = kx� yk.Todo subconjunto de un espacio normado es un espacio metrico.

Definicion 3.4. Un espacio metrico (X, d) es completo si toda sucesion de Cauchy es convergente(el recıproco siempre es cierto), i.e. si una sucesion {xn}n es de Cauchy, esto es,

8" > 0 9n" : 8n, m � n" ) d(xn, xm) ",

entonces dicha sucesion es convergente a un elemento x 2 X.

Un espacio normado que sea completo se dice espacio de Banach.

Observacion 3.5.

Todo subespacio vectorial cerrado de un espacio de Banach es completo, y por tanto tambiende Banach.

Todo subconjunto cerrado de un espacio metrico completo es un espacio metrico completo.

Definicion 3.6. Supongamos que sobre un espacio vectorial X existen dos normas, k · k1

y k · k2

.Se dice que la topologıa inducida por k · k

1

es mas fina que la topologıa inducida por k · k2

si setiene la siguiente relacion de inclusion entre las topologıas generadas por las metricas asociadas adichas normas, i.e. ⌧

2

⇢ ⌧1

. Esto se suele notar tambien algunas veces como ⌧2

4 ⌧1

.


49 3.2. ALGUNAS NOTAS SOBRE EL ESPACIO C(I)

Proposicion 3.7. Dado un espacio vectorial X y dos normas definidas sobre el, k · k1

y k · k2

, siexiste un valor k > 0 tal que

kxk2

kkxk1

8x 2 X,

entonces la topologıa inducida por k · k1

es mas fina que la inducida por k · k2

.

La demostracion del resultado es facil y se deja como ejercicio. [Indicacion: ver que dentro detoda bola en la metrica asociada a la norma k · k

2

se puede meter una bola abierta en la metricaasociada a la norma k · k

1

.]

Observacion 3.8. En las condiciones del resultado anterior, toda sucesion convergente en lanorma k · k

1

tambien lo es en la norma k · k2

.Toda sucesion de Cauchy en la norma k · k

1

tambien lo es en la norma k · k2

.Sin embargo, puede ocurrir que (X, k · k

1

) sea completo pero que (X, k · k2

) no lo sea.

Proposicion 3.9. Sea X un espacio vectorial y sobre el dos normas k · k1

y k · k2

tales que

9↵,� > 0 : ↵kxk1

kxk2

�kxk1

, 8x 2 X,

entonces ambas normas definen topologıas equivalentes.

Demostracion. Basta aplicar dos veces la Proposicion 3.7 para tener que dentro de todo abiertoen cada una de las topologıas hay una bola abierta respecto de la otra.

Observacion 3.10. En los espacios vectoriales de dimension finita, todas las normas son equiva-lentes. Para probarlo basta fijar una base {ei}1in del espacio X y usar el homeomorfismo

X 3 x =X

i=1

↵iei 7! (↵1

, . . . ,↵n) 2 Rn,

y el hecho de que en Rn todas las normas son equivalentes.Esta propiedad nos sera util mas adelante para probar ciertos resultados. (Elegiremos a nuestra

conveniencia la norma que mas nos interese a cada momento para los calculos).

Ejemplo 3.11. En el espacio vectorial C(I; RN ) podemos definir las siguientes normas.

k'k1 = maxx2I

|'(x)|, k'k2

=

Z b

a

|'(x)|2dx

!1/2

,

donde | · | denota cualquier norma en RN .

(Ejercicio: comprobar que efectivamente lo son.)Es obvio que se tiene

k'k2

pb� ak'k1 8' 2 C(I; RN ),

esto es, la topologıa inducida por k · k1 es mas fina que la inducida por k · k2

.

El espacio normado (C(I; RN ), k · k1) es de hecho un espacio de Banach.

Sin embargo, el espacio normado (C(I; RN ), k · k2

) no es de Banach. Basta considerar el con-traejemplo siguiente: se definen sobre el intervalo [�1, 1] las funciones

'n(x) :=

8<

:

0 si x 2 [�1, 0],nx si x 2 [0, 1/n],1 si x 2 (1/n, 1].

Es facil ver que {'n}n es una sucesion de Cauchy, pues el area de cada funcion va decreciendo amedida que aumenta n. Pero el lımite de dicha sucesion serıa la funcion identicamente 0 en [�1, 0]y con valor 1 en (0, 1], por lo que no pertenece al espacio C([�1, 1]). [En realidad, el espacio deBanach natural asociado a la norma k · k

2

es el espacio formado por las clases de equivalencia defunciones medibles Lebesgue y de cuadrado integrable, L2(I; RN ).]



´

on local

Salvo mencion contraria, siempre usaremos el espacio (C(I; RN ), k · k1), y por brevedad nota-remos directamente C(I; RN ).

3.3. Aplicaciones contractivas

Definicion 3.12. Dado un espacio metrico (X, d), se dice que una aplicacion T : X ! X escontractiva si existe ↵ 2 [0, 1) tal que d(Tx, Ty) ↵d(x, y) 8x, y 2 X. Para precisar mas, aveces se dice que T es ↵�contractiva.

Observacion 3.13. Si d(Tx, Ty) d(x, y), la aplicacion se dice no expansiva.Una aplicacion contractiva es uniformemente continua.

Teorema 3.14 (Punto fijo de Banach). Sean (X, d) un espacio metrico completo, y T : X ! Xuna aplicacion ↵�contractiva. Entonces existe un unico punto fijo x 2 X para T, i.e. T x = x.

Demostracion. Sea x0

2 X arbitrario. Veamos que la sucesion {xn}n�0

definida por recurrencia atraves de xn = Txn�1

es una sucesion de Cauchy. Supongamos que m > n,

d(xm, xn) = d(Txm�1

, Txn�1

) ↵d(xm�1

, xn�1

).

Repitiendo n veces el proceso anterior, deducimos que

d(xm, xn) ↵nd(xm�n, x0

) 8m > n � 1.

Ademas, usando la desigualdad triangular repetidas veces,

d(xm�n, x0

) d(xm�n, xm�n�1

) + d(xm�n�1

, xm�n�2

) + · · · + d(x1

, x0

) �

↵m�n�1 + ↵m�n�2 + · · · + ↵+ 1�d(x

1

, x0

)

1X

k=0

↵k

!d(x

1

, x0

) =1

1� ↵d(x

1

, x0

).

De las dos desigualdades previas deducimos que

d(xm, xn) ↵n

1� ↵d(x

1

, x0

) 8m > n � 1, (3.1)

y como ↵ 2 [0, 1), obtenemos efectivamente que {xn}n es una sucesion de Cauchy. Al ser X unespacio metrico completo, la sucesion es convergente:

9x 2 X : lımn!+1

xn = x.

Ahora, usando la continuidad de la aplicacion T, comprobamos que x es un punto fijo de T. Enefecto,

T x = T

✓lım

n!+1xn

◆= lım

n!+1Txn = lım

n!+1xn+1

= x.

La unicidad de punto fijo es clara, si hubiera dos puntos fijos de T, x y x, por la contractividad,

d(x, x) = d(T x, T x) ↵d(x, x).

Como ↵ 2 [0, 1), la unica posibilidad es que d(x, x) = 0.

Observacion 3.15.1. El metodo de busqueda de la solucion ha sido constructivo y se llama de aproximaciones

sucesivas.. Se llama iterante n�esima a xn = Tnx0

.

Ademas, a lo largo de la prueba se ha dado una cota de error para la aproximacion delpunto fijo, esto es, pasando al lımite en m en (3.1):

d(x, Tnx0

) ↵n

1� ↵d(x

1

, x0

).


51 3.3. APLICACIONES CONTRACTIVAS

2. Cuando una funcion f es derivable y satisface |f 0| ↵ < 1, entonces el metodo de lasaproximaciones sucesivas es aplicable para obtener solucion de la ecuacion x = f(x).

Ejemplo 3.16. Consideremos la aplicacion T : C([0, 1]) ! C([0, 1]) definida por

Tf ⌘ Tf(x) =12(f(x) + x).

Es facil ver que la aplicacion T esta bien definida, es contractiva con constante de contractividad1/2 y que tiene por unico punto fijo

12(f(x) + x) = f(x) ) f(x) = x.

Comenzando por un elemento arbitrario, llamemoslo x0

= f0

(x), las dos primeras iterantes en estecaso serıan

x1

=12(f

0

(x) + x),

x2

=12

✓12(f

0

(x) + x) + x

◆=

122

f0

(x) +✓

122

+12

◆x.

Por induccion se prueba que

xn = Tnx0

=12n

f0

(x) +✓

12n

+1

2n�1

+ · · · + 12

◆x, 8n 2 N.

Teorema 3.17 (Punto fijo de Banach generalizado). Sea (X, d) un espacio metrico completo,y sea T : X ! X una aplicacion tal que existe un valor n

0

2 N tal que Tn0 es contractiva. Entoncesexiste un unico punto fijo x para T, y ademas

x = lımn!+1

Tnx0

8x0

2 X.

Demostracion. Por el resultado previo sabemos que existe un unico punto fijo para Tn0 , quedenotamos x. Veamos que

T x = x si y solo si Tn0 x = x,

con lo que tendremos probad la existencia y unicidad de punto fijo para la aplicacion T. Laimplicacion hacia la derecha es obvia. Veamos la implicacion contraria.

Tn0 x = x ) T (Tn0 x) = T x ) Tn0(T x) = T x,

pero como tenemos existencia y unicidad de punto fijo para Tn0 , se deduce que T x = x.Para acabar probamos que

x = lımn!+1

Tnx0

8x0

2 X. (3.2)

Por el Teorema 3.14 sabemos que

x = lımn!+1

Tnn0x0

8x0

2 X.

Ello implica en particular que, fijado x0

2 X, y dado el elemento Tx0

,

x = lımn!+1

Tnn0Tx0

.

Analogamente, dado el elemento T 2x0

, tambien se tiene que

x = lımn!+1

Tnn0T 2x0

,

y sucesivamente se obtiene el mismo lımite comenzando en T 3x0

, T 4x0

, hasta

x = lımn!+1

Tnn0Tn�1x0

.

De todos los lımites precedentes se concluye (3.2).



´

on local

Observacion 3.18.

1. Si T es una aplicacion no expansiva, los resultados anteriores son en general falsos.

Considerese el espacio de Hilbert

l2 = {x = (xn)n�1

, xn 2 R,1X

n=1

x2

n < +1}.

EntoncesX = {x 2 l2 : kxkl2 = 1}

es un subconjunto cerrado de l2, y por tanto un espacio metrico completo. Consideramosentonces la aplicacion T : X ! X definida por

X 3 x = (x1

, x2

, . . .) 7! Tx = (0, x1

, x2

, . . .).

Dicha aplicacion esta bien definida, es no expansiva, pero no tiene ningun punto fijo en X,ya que el unico posible, el origen, no pertenece a X.

2. Si una aplicacion T cumple d(Tx, Ty) < d(x, y), tampoco es cierto en general el resultado deexistencia de punto fijo.

Considerese el siguiente contraejemplo: X = [1,+1), T (x) = x + 1/x. Al tenerse T 0(x) =1� 1/x2 < 1, se cumple la condicion d(Tx, Ty) < d(x, y). Por supuesto, se puede comprobarque T esta bien definida sobre X. Y sin embargo, es obvio que no posee punto fijo.

3.3.1. Otros resultados de punto fijo

Completamos los resultados anteriores con otros tres sobre existencia y comportamiento depuntos fijos.

Teorema 3.19 (Dependencia continua de punto fijo respecto de parametros).Sea (X, d) un espacio metrico completo, y sea (⇤, ⇢) otro espacio metrico.

Consideremos una familia de aplicaciones contractivas de X en X, {T�}�2⇤

(y denotamos x�el punto fijo de T�).

Si existe ↵ 2 [0, 1) tal que T� es ↵�contractiva para todo � 2 ⇤, y la aplicacion

⇤ 3 � 7! T�x 2 X (3.3)

es continua, entonces la aplicacion⇤ 3 � 7! x� 2 X

es continua.

Demostracion. Procedemos por reduccion al absurdo. Supongamos que existe un par (�0

, x�0) talque la aplicacion

⇤ 3 � 7! x� 2 X

no es continua en �0

. Para todo n � 1 se satisface

9{�n}n�1

⇢ ⇤ : lımn!+1

�n = �0

y 9" > 0 : d(x�n , x�0) > " 8n � 1.

Tenemos entonces que

" < d(x�n , x�0) d(x�n , T�nx�0) + d(T�nx�0 , x�0). (3.4)

Comod(x�n , T�nx�0) = d(T�nx�n , T�nx�0) ↵d(x�n , x�0), (3.5)


53 3.4. FUNCIONES LIPSCHITZIANAS

deducimos que para todo n � 1

d(x�n , x�0) ↵d(x�n , x�0) + d(T�n(x�0), x�0)

y por tanto,(1� ↵)d(x�n , x�0) d(T�nx�0 , x�0).

Usando lo anterior y de nuevo (3.4), se tiene que

0 < (1� ↵)" < (1� ↵)d(x�n , x�0) d(T�nx�0 , T�0x�0).

Para llegar a contradiccion, ahora basta elegir, gracias a (3.3), un valor n suficientemente grandetal que d(T�nx�0 , T�0x�0) < (1� ↵)".

Es posible obtener resultados concernientes con puntos fijos, sin necesidad de exigir contracti-vidad. Enunciamos sin demostracion dos de ellos.

Teorema 3.20 (Brouwer). Sea K ⇢ RN un compacto, convexo y no vacıo, y sea T : K ! Kuna aplicacion continua. Entonces existe al menos un punto fijo x 2 K para T.

Observese que el caso K = [a, b] es consecuencia del Teorema de Bolzano aplicado a la funcionf(x) = Tx� x.

El siguiente resultado puede verse como la version infinito dimensional del anterior.

Teorema 3.21 (Schauder). Sea X un R�espacio de Banach, y K ⇢ X un convexo, cerrado, aco-tado, no vacıo. Consideramos una aplicacion T : K ! K continua y tal que T (K) es relativamentecompacto en X. Entonces existe al menos un punto fijo x 2 K de T.

3.4. Funciones lipschitzianas

Avanzamos la idea global que perseguimos. Queremos adaptar el Teorema 3.14 de existenciade punto fijo para resolver el problema de Cauchy. Para ello necesitamos un concepto sobre eltermino de la derecha en el s.d.o. que nos permita establecer una cierta aplicacion contractiva.Dicho resultado sera el Teorema de Picard, y la condicion requerida es el caracter lipschitziano,que introducimos a continuacion.

Definicion 3.22. Una funcion f : C ⇢ RN ! RM se dice globalmente lipschitziana en C siexiste una constante L > 0 tal que

|f(x)� f(y)| L|x� y| 8x, y 2 C.

Al valor L se le llama constante de Lipschitz para f en C.Se dice que f es localmente lipschitziana en C si C es abierto y

8z 2 C, 9"(z) > 0 : B(z, "(z)) ⇢ C,9L(z) : |f(x)� f(y)| L(z)|x� y| 8x, y 2 B(z, "(z)).

Observacion 3.23.1. En la definicion anterior hemos usado la misma notacion, | · |, para las normas en RN y RM .

Evidentemente no tienen porque ser la misma, pero mantendremos este abuso de notacion sino hay confusion posible. Ademas, por la equivalencia entre normas en espacios de dimensionfinita, las definiciones validas para una norma lo son para todas.

2. Si M = N = 1, f globalmente lipschitziana implica��f(x)� f(y)

x� y

�� L.

Por tanto las pendientes de las rectas secantes de la curva {(x, f(x))} estan acotadas.Si f es localmente lipschitziana, ocurre lo mismo, pero en un entorno de cada punto.



´

on local

3. Si L < 1 y C = RN , entonces f es L�contractiva.

Para ajustar este concepto a nuestro problema, esto es, al s.d.o. y0 = f(x, y), debemos adaptarlas definiciones de tal modo que la variable x siga distinguida (mas adelante, en la prueba delresultado se vera como el siguiente concepto es el adecuado).

Definicion 3.24. Sean N,M 2 N, y f : ⌦ ⇢ RN+1 ! RM : (x, y) 7! f(x, y) con x 2 R e y 2 RN .Se dice que f es globalmente lipschitziana respecto de la variable y en ⌦ si

9L > 0 : |f(x, y1

)� f(x, y2

)| L|y1

� y2

| 8(x, y1

), (x, y2

) 2 ⌦.

Al valor L se le llama constante de Lipschitz para f en ⌦. Denotamos

Lip(y, ⌦; RM ) = {f : ⌦ ! RM : f globalmente lipschitziana respecto y},

Lip(y, ⌦) = Lip(y, ⌦; RN ).

Observacion 3.25.

1. Los dos conjuntos anteriores son no vacıos, al menos las funciones constantes estan en ellos.De hecho ambos tienen estructura de espacio vectorial.

2. Si N = M = 1, una funcion lipschitziana respecto de y tiene las secantes de superficieintersecada con los planos paralelos al OYZ con pendientes acotadas.

Definicion 3.26. f : ⌦ ⇢ RN+1 ! RM es localmente lipschitziana respecto de y 2 ⌦ si

8(x0

, y0

) 2 ⌦ 9"(x0

, y0

) : B((x0

, y0

), "(x0

, y0

)) ⇢ ⌦ y

9L(x0

, y0

) : f |B((x0,y0),"(x0,y0)) es globalmente lipschitziana respecto de y.

Esto es,

9L(x0

, y0

) : |f(x, y1

)� f(x, y2

)| L(x0

, y0

)|y1

� y2

| 8(x, y1

), (x, y2

) 2 B((x0

, y0

), "(x0

, y0

)).

Denotaremos

Liploc

(y, ⌦; RM ) = {f : ⌦ ⇢ RN+1 ! RM : f localmente Lipschtiz resp. y},

Liploc

(y, ⌦) = Liploc

(y, ⌦; RN ).

Observacion 3.27. La inclusion Lip(y, ⌦; RM ) ⇢ Liploc

(y, ⌦; RM ) es clara, por lo que Liploc

(y, ⌦; RM ) 6=;. De hecho, se trata de nuevo de un conjunto con estructura de R�espacio vectorial.

El siguiente resultado es inmediato a partir de las definiciones dadas.

Proposicion 3.28.(a) f 2 Lip(y,⌦; RM ) ) f es uniformemente continua respecto de y en ⌦, i.e.

8" > 0 9� > 0 : (x, y1

), (x, y2

) 2 ⌦, |y1

� y2

| < � ) |f(x, y1

)� f(x, y2

)| < ".

(b) Si f 2 Liploc

(y,⌦; RM ), entonces f es continua respecto de y en ⌦.

Observacion 3.29.

1. f 2 Lip(y,⌦; RM ) 6) f 2 C(⌦; RM ). Considerese el contraejemplo en ⌦ = R2,

f(x, y) =⇢

0 si x 0,y si x > 0.


55 3.4. FUNCIONES LIPSCHITZIANAS

2. f 2 C(⌦; RM ) 6) f 2 Liploc

(y, ⌦; RM ), como el siguiente contraejemplo muestra: ⌦ = R2, yf(x, y) =

p|y|.��f⇣0,"

n

⌘� f(0, 0)

�� =r"

n L(0, 0)

��"

n

�� contradictorio.

Teorema 3.30 (Condicion suficiente de Lipschitzianidad). Sea ⌦ un abierto no vacıo deRN+1, y supongamos que f : ⌦ ⇢ RN+1 ! RM es una funcion tal que

9 @fi

@yj2 C(⌦) 8i = 1, . . . ,M,8j = 1, . . . , N.

Entoncesa) f 2 Lip

loc

(y, ⌦; RM ),b) Si ⌦ es convexo, se tiene que

f 2 Lip(y, ⌦; RM ) , sup⌦

��@fi

@yj

�� < +1 8i, j.

Demostracion.a) Sea (x, y) 2 ⌦ y sea " > 0 tal que B = B((x, y), ") ⇢ ⌦. Consideremos i 2 {1, . . . ,M}, ydos puntos (x, y), (x, y) 2 B. Entonces, por el Teorema del Valor Medio aplicado a la funcionF (✓) = fi(x, y + ✓(y� y)) con ✓ 2 [0, 1] ya que el segmento {(x, y + ✓(y� y)) : ✓ 2 [0, 1]} ⇢ B ⇢ ⌦por lo que la funcion tiene F esta bien definida.

fi(x, y)� fi(x, y) =NX

j=1

@fi

@yj(x, y + ✓(y � y)) · (yj � yj).

Por tanto tenemos la siguiente acotacion,

|fi(x, y)� fi(x, y)| ✓

maxj

✓max

B

��@fi

@yj

��

◆◆ NX

j=1

|yj � yj |,

|f(x, y)� f(x, y)| ✓

maxi,j

✓max

B

��@fi

@yj

��

◆◆ NX

j=1

|yj � yj |.

b) La prueba de la implicacion ( es como en el apartado anterior, ya que el segmento que une(x, y) y (x, y) esta en ⌦, al ser convexo.

Veamos la implicacion ) . Sabemos que f 2 Lip(y, ⌦; RM ) y que existen @fi

@yj2 C(⌦). Para

probar entonces que

sup⌦

��@fi

@yj

�� < +1 8i, j,

procedemos por reduccion al absurdo, supongamos que

sup⌦

��@fi

@yj

�� = +1 para algun par (i, j).

Entonces existe una sucesion de pares (xn, yn) 2 ⌦ tales que��@fi

@yj(xn, yn)

�� n,

de donde deducimos que

9"n 6= 0 :��fi(xn, yn + "nej)� fi(xn, yn)

"n

�� n

2



´

on local

con ej es vector de ceros en todas sus componentes menos en la j�esima, donde tiene un uno. Elloimplica que

|fi(xn, yn + "nej)� fi(xn, yn)| � n

2|"n| =

n

2|(yn + "nej)� yn|,

que contradice el hecho de que f 2 Lip(y, ⌦; RM ).

Observacion 3.31. El resultado anterior da condiciones suficientes, pero no necesarias. Ya vimosen la Observacion 3.29 un contraejemplo en el que la funcion ni siquiera era continua. Veansetambien los siguientes ejemplos (y como otro contraejemplo de este resultado, el tercero y ultimode ellos).

Ejemplo 3.32. Sea f(x, y) =1

1 + y2

. Se tiene que f 2 C1(R2). Como@f

@y(x, y) =

�2y

(1 + y2)2, se

tiene que��@f

@y

�� M para cierto M > 0, de modo que por el resultado anterior, f 2 Lip(y, R2; R).

Ejemplo 3.33. Consideramos la funcion f(x, y) =x

1 + y2

. Se tiene que f 2 C1(R2), y@f

@y(x, y) =

�2xy

(1 + y2)2. Por tanto

��@f

@y

�� M si y solo si {x : 9(x, y) 2 dom(f)} es acotado.

Por tanto, f 2 Liploc

(y, R2; R). Sin embargo, f 62 Lip(y, R2; R), como es facil ver por el Teoremadel Valor Medio tomando valores grandes en x, y valores y

1

e y2

proximos entre sı, y alejados decero. En resumen, concluimos que f 2 Lip(y, ⌦; R) para todo ⌦ ⇢ R2 que se convexo y acotado enla direccion de x.

Ejemplo 3.34. Considerese la funcion

f(x, y) =⇢

(x2 + 1)(y + 1) si x > 0,2y si x 0.

Entonces se tiene que@f

@y(x, y) =

⇢x2 + 1 si x > 0,

2 si x < 0,

pero@f

@y62 C(R2), aunque sı ocurre que f 2 Lip

loc

(y, R2; R).

Proposicion 3.35. Sean ⌦ ⇢ RN+1, f 2 Liploc

(y, ⌦; RM ), y K ⇢ ⌦ un compacto tal quesupK |f | < +1. Entonces f 2 Lip(y, K; RM ).

Demostracion. Como K ⇢ ⌦,

8(x, y) 2 K, 9"(x, y) > 0, L(x, y) > 0 : B((x, y), "(x, y)) =: B(x, y) ⇢ ⌦,

|f(x, y1

)� f(x, y2

)| L(x, y)|y1

� y2

| 8(x, y1

), (x, y2

) 2 B(x, y). (3.6)

Por otro lado, como K es compacto,

K ⇢[

(x,y)2K

B

✓(x, y),

"(x, y)2

◆) K ⇢

n[

i=1

B

✓(xi, yi),

"(xi, yi)2

◆.

Consideremos ahora el conjunto

W = {(x, y1

, y2

) 2 R2N+1 : (x, y1

), (x, y2

) 2 K, |y1

� y2

| � r}


57 3.5. FORMULACION INTEGRAL DEL PROBLEMA DE CAUCHY

siendor = mın

⇢"(x

1

, y1

)2

, . . . ,"(xn, yn)

2

�. (3.7)

Se tiene entonces que

|f(x, y1

)� f(x, y2

)||y

1

� y2

| 2 supK |f |r

=: L 8(x, y1

, y2

) 2 W. (3.8)

Veamos finalmente que f 2 Lip(y, K; RM ).

Caso a) Si |y1

� y2

| � r entonces por (3.8), |f(x, y1

)� f(x, y2

)| L|y1

� y2

|.Caso b) Si |y

1

�y2

| < r, entonces existe un valor j 2 {1, . . . , n} tal que (x, y1

) 2 B⇣(xj , yj),

"(xj ,yj)

2

⌘

y por la definicion de r en (3.7) se deduce que (x, y2

) 2 B((xj , yj), "(xj , yj)). Usando entonces lapropiedad (3.6) tenemos que |f(x, y

1

)� f(x, y2

)| L(xj , yj)|y1

� y2

|.

Por tanto para finalizar basta tomar

L = max{L, L(x1

, y1

), . . . , L(xn, yn)}.

Observacion 3.36. Si f 2 C(⌦; RM ), entonces se tiene la hipotesis de que supK |f | < +1requerida en la proposicion anterior.

3.5. Formulacion integral del problema de Cauchy

Para que sea mas manejable, vamos a transformar el planteamiento diferencial del problemade la busqueda de solucion para un (PC) en otro problema equivalente, mejor adaptado a losresultados que hemos presentado previamente.

Supondremos a lo largo de toda esta seccion que ⌦ ⇢ RN+1 es un abierto dado no vacıo, y quef : ⌦ ⇢ RN+1 ! RN satisface f 2 C(⌦; RN ). Supongamos tambien dado un punto (x

0

, y0

) 2 ⌦.

Proposicion 3.37. Bajo las condiciones anteriores, (I,') es una solucion local de

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

,

si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. ' 2 C(I; RN ),

2. (x,'(x)) 2 ⌦ 8x 2 I,

3. '(x) = y0

+R x

x0f(s,'(s))ds 8x 2 I.

La prueba del resultado es inmediata a partir de las propiedades de la integral, y se deja comoejercicio.

Observacion 3.38. La ventaja de la formulacion dada es que la condicion (3) involucra una in-tegral en lugar de una condicion sobre la derivada. Esta formulacion es mas estable. Ademas tienela ventaja de que se plantea inicialmente en C(I; RN ), y no en C1(I; RN ).

Definimos la aplicacion ⌧ : C(I; RN ) ! C(I; RN ) dada por

C(I; RN ) 3 ' 7! ⌧' : ⌧'(x) = y0

+Z x

x0

f(s,'(s))ds 8x 2 I.

Ası, resolver localmente el (PC) equivale a encontrar un punto fijo para la aplicacion ⌧. [Existenciay unicidad para el (PC) equivaldra a existencia y unicidad de punto fijo para la aplicacion ⌧.]



´

on local

3.6. Teorema de Picard. Metodo de las aproximaciones su-cesivas

A partir de la observacion anterior, el objetivo que nos marcamos es claro: pretendemos adaptarel Teorema de punto fijo de Banach para dar respuesta positiva, existencia y unicidad de solucionlocal, al siguiente problema

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

.

Esto funcionara en un intervalo suficientemente pequeno en torno al punto, y segun el metodo dedemostracion que vimos en la prueba del Teorema 3.14, simplemente iterando se consigue aproximarla solucion, i.e. la sucesion de funciones

'0

⌘ y0

'n(x) = y0

+Z x

x0

f(s,'n�1

(s))ds 8x 2 I 8n,

aproxima a la solucion. Esta sucesion ası construida genera el llamado Metodo de las Aproxima-ciones Sucesivas.

Teorema 3.39 (Existencia y unicidad local. Picard). Sea ⌦ ⇢ RN+1 un abierto no vacıo.Dado (x

0

, y0

) 2 ⌦, si f 2 C(⌦; RN )\Liploc

(y, ⌦) entonces existe � > 0 tal que en I = [x0

��, x0

+�]existe una unica solucion del

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

.

Demostracion. Al ser (x0

, y0

) 2 ⌦ abierto, existe r > 0 tal que B((x0

, y0

), r) ⇢ ⌦. Es posible elegir(en una base de entornos de la topologıa producto) valores a

0

, b0

> 0 tales que

R = [x0

� a0

, x0

+ a0

]⇥ B(y0

, b0

) ⇢ B((x0

, y0

), r).

No obstante, para acabar de plantear bien el marco de trabajo, i.e. el problema en ⌦, necesitamosotras acotaciones: denotemos M = maxR |f |. Tomamos ahora

�⇤ < mın⇢

a0

,b0

M

�,

y con dicho valor el “rectangulo”

R⇤ = I�⇤ ⇥ B(y0

, b0

) = [x0

� �⇤, x0

+ �⇤]⇥ B(y0

, b0

).

Consideramos el conjunto cerrado

X⇤ = {' 2 C(I�⇤ ; RN ) : |'(x)� y0

| b0

8x 2 I�⇤}.

Al tratarse de un subconjunto cerrado de C(I�⇤ ; RN ), entonces (X⇤, dk·k1) es un espacio metricocompleto.

Afirmamos que ' es solucion local del (PC) en I�⇤ si y solo si

' 2 X⇤ y '(x) = y0

+Z x

x0

f(s,'(s))ds 8x 2 I�⇤ . (3.9)

La implicacion hacia la izquierda es consecuencia de la Proposicion 3.37. Veamos la implicacionhacia la derecha. En realidad, de nuevo por la Proposicion 3.37, basta con ver que la solucion' 2 X⇤, i.e. |'(x)� y

0

| b0

8x 2 I�⇤ .Procedemos por reduccion al absurdo. Supongamos que esto no pasa. Entonces existe x 2 I�⇤

tal que |'(x)� y0

| > b0

. Como '(x0

) = y0

, |'(x0

)� y0

| = 0 < b0

. Por continuidad, existe un valor


59 3.6. TEOREMA DE PICARD. METODO DE LAS APROXIMACIONES SUCESIVAS

x 2 (x0

, x) (o en el intervalo (x, x0

) si estan en orden contrario, pero no influye en la prueba) talque |'(x)� y

0

| = b0

y|'(t)� y

0

| < b0

8t 2 [x0

, x).

Veamos que esto es contradictorio, en efecto:

b0

= |'(x)� y0

| =��Z x

x0

f(s,'(s))ds

�� M

��Z x

x0

ds

�� < M�⇤ < b0

.

Ahora que tenemos probada la equivalencia entre buscar solucion local al (PC) y (3.9), veamosque podemos aplicar el Teorema de punto fijo de Banach para resolver (3.9).

En efecto, consideramos T : X⇤ ! X⇤, dada por

T'(x) = y0

+Z x

x0

f(s,'(s))ds 8x 2 I�⇤ .

Dicha aplicacion esta bien definida (i.e. toma valores en X⇤):

8x 2 I�⇤ , |T'(x)� y0

| =��Z x

x0

f(s,'(s))ds

�� M |x� x0

| M�⇤ < b0

) T' 2 X⇤.

Veamos ahora que T es contractiva en X⇤.

|T'(x)� T (x)| =��Z x

x0

[f(s,'(s))� f(s, (s))]ds

��

��Z x

x0

|f(s,'(s))� f(s, (s))|ds

��

L

��Z x

x0

|'(s)� (s)|ds

��

L|x� x0

|k'� k 8x 2 I�⇤ .

Ası deducimos que

|T'(x)� T (x)| L�⇤k'� k ) kT'� T k L�⇤k'� k.Basta por tanto tomar �⇤ < mın{a

0

, b0

/M, 1/L} para que T sea contractiva, y ası poder concluirla prueba aplicando el Teorema del punto fijo de Banach.

Observacion 3.40.1. La unicidad de la solucion local esta tambien probada, ya que el Teorema 3.14 daba existencia

y unicidad. Si hay otra solucion local (I1

,'1

), ocurre que ' = '1

en el intervalo I�⇤ \ I1

. [Launicidad en intervalos mayores se vera en el tema proximo.]

2. El resultado anterior proporciona existencia y unicidad local. A lo largo de este tema veremosotro resultado tambien muy general en el que se garantiza existencia local de solucion, perono unicidad, exigiendo solo continuidad a la funcion f.

3. Supongamos dada una e.d.o. de orden n. Entonces cambiando de variables para obtener els.d.o. de primer orden y dimension n, se puede obtener existencia de solucion para esteultimo, que a su vez proporciona solucion para la e.d.o. original. Concretamente, se tiene elsiguiente resultado.

Teorema 3.41. Sea ⌦ ⇢ RN+1 un abierto no vacıo, y g 2 C(⌦) \ Liploc

((y, y0, . . . , y(N�1),⌦; R).Supongamos dado un punto (x

0

, y0

, y00

, . . . , y(N�1

0

) 2 ⌦. Entonces existe � > 0 tal que en I� =[x

0

� �, x0

+ �] existe una unica solucion del

(PC)⇢

y(N = g(x, y, y0, . . . , y(N�1),y(x

0

) = y0

, y0(x0

) = y00

, . . . , y(N�1(x0

) = y(N�1

0

..



´

on local

A tenor del Teorema 3.39, tiene sentido introducir los siguientes conceptos.

Definicion 3.42. Sea f : C ⇢ RN+1 ! RN .

Se llama abierto de existencia y unicidad para y0 = f(x, y) a cualquier conjunto abierto⌦ ⇢ C tal que f |

⌦

2 C(⌦; RN ) \ Liploc

(y,⌦).

Se llama dominio de existencia y unicidad para y0 = f(x, y) a cualquier abierto conexo⌦ ⇢ C que sea abierto de existencia y unicidad.

Se llama abierto maximal de existencia y unicidad para y0 = f(x, y) a la union detodos los abiertos de existencia y unicidad.

Se llama dominio maximal de existencia y unicidad para y0 = f(x, y) a cualquierdominio de existencia y unicidad tal que no existe otro dominio de existencia y unicidad quelo contenga estrictamente.

Terminamos esta seccion con un ejemplo interesante, que obtiene de forma similar al Teoremade Picard existencia y unicidad de solucion.

En este caso se resolvera una ecuacion integral, y en lugar de obtener contractividad en laaplicacion original, habra que iterar varias veces, es decir, se usara el Teorema 3.17 en lugar delTeorema del punto fijo de Banach directamente.

Ejemplo 3.43. Sean K(·, ·) 2 C([a, b]⇥ [a, b]), f 2 C([a, b]) y � 2 R elementos dados.Llamamos ecuacion integral de Volterra de segunda espacie al problema de hallar '� 2 C([a, b])

tal que

'�(x) = f(x) + �

Z x

a

K(x, t)'�(t)dt.

Probar que existe una unica solucion a dicho problema viendo que la aplicacion

T� : C([a, b]) ! C([a, b]) : ' 7! T�'

dada por

(T�')(x) = f(x) + �

Z x

a

K(x, t)'(t)dt 8x 2 [a, b]

cumple la propiedad de que existe un n0

2 N tal que la funcion compuesta Tn0� es contractiva.

Llamamos K = max[a,b]⇥[a,b] |K(·, ·)|. Se tiene entonces que

|(T�'1

)(x)� (T�'2

)(x)| =��Z x

a

K(x, t)('1

(t)� '2

(t))dt

��

|�|Z x

a

|K(x, t)||'1

(t)� '2

(t)|dt

|�|Kk'1

� '2

k(x� a).

Esto implica quekT�'1

� T�'2

k |�|K(b� a)k'1

� '2

k.Por otro lado, si consideramos la composicion de T� consigo misma y usamos las desigualdadesobtenidas antes deducimos que

|(T 2

�'1

)(x)� (T 2

�'2

)(x)| =��Z x

a

K(x, t)(T�'1

(t)� T�'2

(t))dt

��

|�|Z x

a

|K(x, t)||T�'1

(t)� T�'2

(t)|dt

|�|KZ x

a

|�|K(t� a)k'2

� '1

kdt

=|�|2K2(x� a)2

2k'

1

� '2

k.


61 3.7. EXISTENCIA LOCAL DE SOLUCION. TEOREMA DE PEANO

Esto significa que

kT 2

�'1

� T 2

�'2

k |�|2K2(b� a)2

2k'

1

� '2

k.

Afirmamos que para todo n 2 N se cumple

|Tn� '1

(x)� Tn� '2

(x)| |�|nKn(x� a)n

n!k'

1

� '2

k. (3.10)

Para comprobarlo procedemos por induccion. Ya hemos visto los casos n = 1 y n = 2. Supongamosque es cierto para un n cualquiera, y comprobemos que tambien se cumple para n + 1. En efecto,operando com antes y usando la hipotesis de induccion tenemos que

|(Tn+1

� '1

)(x)� (Tn+1

� '2

)(x)| |�|KZ x

a

|�|nKn(t� a)n

n!k'

1

� '2

kdt

=|�|n+1Kn+1(x� a)n+1

(n + 1)!k'

1

� '2

k.

Al tener que (3.10) se verifica para todo n y para todo par de funciones '1

, '2

2 C([a, b]), como elcociente

|�|nKn(x� a)n

n!

es el termino general de la serie convergente que genera e|�|K(b�a), se tiene que

|�|nKn(x� a)n

n!! 0 cuando n ! +1.

Eso significa que existe un valor n0

2 N tal que

|�|n0Kn0(x� a)n0

n0

!< 1,

como querıamos probar.

3.7. Existencia local de solucion. Teorema de Peano

Como ya avanzamos al principio del tema, existe otra tecnica muy importante junto con losteoremas de punto fijo para poder hallar soluciones de ciertas ecuaciones. Se trata de los metodosde compacidad.

En esta seccion probaremos el Teorema de Peano, un resultado muy general sobre existencia desolucion local para el problema de Cauchy, que solo exige continuidad a la funcion f que aparece enel s.d.o. Este resultado tiene la ventaja (pedagogica) de ser bastante intuitivo, al menos de formaheurıstica, y de hecho, resulta tambien util en el inicio a los metodos numericos de resolucion deecuaciones diferenciales.

Son estos motivos, entre otros, los que nos hacen presentar aquı este resultado1

La idea general es simple: deseamos construir una sucesion de funciones que “aproximen” lasolucion. Nos damos cuenta de que necesitamos algun resultado de compacidad, es decir, algunteorema que nos permita afirmar que existe una subsucesion convergente (hacia una solucion delproblema). Este resultado es el objetivo inmediato a tratar.

1Dicho resultado se suele ver tambien en la asignatura Ampliacion de Ecuaciones Diferenciales, en la Universidad

de Sevilla, pero esta asignatura es optativa, por lo que no se tiene garantıas de que todos los alumnos lo den.



´

on local

3.7.1. El Teorema de Ascoli-Arzela

Buscamos una caracterizacion de los conjuntos compactos de C(I; RN ).Dicho resultado es necesario tanto si decidieramos resolver nuestro problema final, el (PC),

aplicando el Teorema de punto fijo de Schauder, como por el metodo que lo haremos: construyendouna familia de poligonales de Euler.

Observacion 3.44.

1. En un espacio normado (de hecho, en cualquier espacio metrico) se tiene la siguiente equi-valencia: un conjunto K es compacto si y solo si es secuencialmente compacto, i.e. 8{xn} ⇢K : 9{xn0}n0 convergente a x 2 K.

2. Un compacto en cualquier espacio es cerrado y acotado. Sin embargo el recıproco es falso engeneral. Solo es cierto cuando el espacio es de dimension finita.

Definicion 3.45. Dado un conjunto de funciones F ⇢ C(I; RN ) (siendo I = [a, b]), se dice que

F es relativamente compacta si F es compacta.

F es equicontinua si

8" > 0 9� > 0 : x1

, x2

2 I, |x1

� x2

| < � ) |'(x1

)� '(x2

)| < " 8' 2 F .

F es acotada si9M > 0 : k'k M 8' 2 F .

Observacion 3.46.

1. F es relativamente compacto si y solo si F es secuencialmente compacto, i.e.

8{'n}n�1

⇢ F 9{'nk}k ⇢ {'n}n y 9' 2 C(I; RN ) : 'nk ! ' en C(I; RN ).

2. A veces, en algunos manuales, la definicion anterior de acotacion para F aparece con elnombre de F uniformemente acotada, en contraposicion con lo que serıa F puntualmenteacotada, esto es,

8x 2 I, 9Mx > 0 : |'(x)| Mx 8' 2 F .

3. Si F es finito, entonces F es equicontinua. Esto es obvio, ya que por el Teorema de Heine,cualquier funcion continua definida sobre un compacto es uniformemente continua, por loque si F =

Snj=1

{fj} basta tomar � = mın(�1

, . . . , �n), siendo �i los valores que permiten quela respectiva funcion fi satisface que |fi(x1

)� fi(x2

)| < " si |x1

� x2

| < �i.

Teorema 3.47 (Ascoli-Arzela). Dada una familia de funciones F ⇢ C(I; RN ), F es relativa-mente compacta si y solo si F es equicontinua y acotada.

Demostracion. ) Veamos primero la implicacion hacia la derecha. Supongamos que F es relati-vamente compacta, es decir, F es compacta. En concreto F es acotada, por lo que F tambien loes.

Comprobemos que F es equicontinua (por lo que tambien lo sera F). Fijado " > 0, y gracias ala compacidad de F , se tiene que

F ⇢[

'2F

B(', "/3) ) F ⇢n[

i=1

B('i, "/3).

La familia finita {'i}ni=1

es equicontinua, por tanto,

9� > 0 : x1

, x2

2 I, |x1

� x2

| < � ) |'i(x1

)� 'i(x2

)| < "/3 8i = 1, . . . , n.



Ahora podemos concluir que

8' 2 F 9i 2 {1, . . . , n} : ' 2 B('i, "/3),

de modo que para toda ' 2 F y todo par x1

, x2

2 I con |x1

� x2

| < � se tiene que

|'(x1

)� '(x2

)| |'(x1

)� 'i(x1

)| + |'i(x1

)� 'i(x2

)| + |'i(x2

)� '(x2

)| k'� 'ik+ |'i(x1

)� 'i(x2

)| + k'i � 'k < "/3 + "/3 + "/3 = ".

( Veamos ahora la implicacion hacia la izquierda.Sea {'n}n�1

⇢ F . Tenemos que ser capaces de extraer una subsucesion convergente en C(I; RN ).Para ello usaremos el conjunto numerable Q \ I = {rk}k�1

.Como {'n(r

1

)}n�1

es acotado en RN , existe una subsucesion {'n1} ⇢ {'n} tal que {'n1(r1

)}es convergente en RN .

Usando la misma observacion pero ahora con {'n1} en lugar de con {'n} tenemos que {'n1(r2

)}n1�1

es una sucesion acotada en RN . Por tanto existe una subsucesion suya, {'n2} ⇢ {'n1} tal que{'n2(r2

)} es convergente en RN .Continuando ası podemos ir construyendo siempre una subsucesion {'nk+1} ⇢ {'nk} tal que

{'nk+1(rk+1

)} sea convergente en RN .Ahora procedemos a traves de lo que se llama un proceso diagonal de Cantor, esto es, esco-

ger como subsucesion final la formada, siguiendo las lıneas anteriores, por las funciones {'nn}.Observese que como {'nm(ri)}nm es convergente en RN para todo i = 1, . . . ,m, y ocurre que{'nn} ⇢ {'nm}nm�1

para todo m, entonces

{'nn(r)} es convergente 8r 2 I \Q.

Veamos que {'nn} es de Cauchy en C(I; RN ).Dado " > 0, por la equicontinuidad de F , existe � > 0 tal que si x

1

, x2

2 I, con |x1

� x2

| < �,entonces |'nn(x

1

)� 'nn(x2

)| < " para todo valor n 2 N.Por otro lado, por ser I compacto,

I ⇢[

r2I\Q(r � �, r + �) ) I ⇢

k0[

k=1

(rk � �, rk + �).

Como existen los valores lımn!+1 'nn(rk) para k = 1, . . . , k0

, (son un numero finito de sucesiones),entonces existe un valor n

0

2 N, tal que se cumple una condicion de Cauchy para todas ellas:

|'nn(rk)� 'mm(rk)| < "/3 8n, m � n0

, 8k 2 {1, . . . , k0

}.Consideremos ahora un valor cualquiera x 2 I, sabemos que existe un k 2 {1, . . . , k

0

} tal que|x� r

¯k| < �. Por tanto deducimos la siguiente acotacion.

|'nn(x)� 'mm(x)| |'nn(x)� 'nn(r¯k)| + |'nn(r

¯k)� 'mm(r¯k)| + |'mm(r

¯k)� 'mm(x)|< "/3 + "/3 + "/3 = ".

Al tratarse de un valor x 2 I arbitrario, deducimos que

8" > 0 9n0

2 N : 8m,n � n0

k'nn � 'mmk ".

La sucesion es por tanto de Cauchy, pero C(I; RN ) es completo, y por tanto la sucesion es conver-gente, como querıamos probar.



´

on local

Observacion 3.48.

1. En la prueba anterior puede sustituirse la hipotesis de acotacion uniforme por puntualmenteacotado. De hecho, se puede ver tambien que si F es equicontinua y puntualmente acotada,entonces es uniformemente acotada.

La prueba es simple: por reduccion al absurdo, supongamos que no es cierto. Esto es, paratodo M > 0, existe un elemento fM 2 F , tal que existe un elemento xM 2 I, con el que|fM (xM )| � M. Sin perdida de generalidad podemos suponer M 2 N, y extrayendo unasubsucesion, pero que rebautizamos igual, que {xM}M es convergente hacia un elemento x 2 I.Pero entonces se tiene la acotacion

|fM (xM )| |fM (xM )� fM (x)| + |fM (x)|.

La equicontinuidad de F y la acotacion puntual muestran que los sumandos del termino dela derecha estan acotados, lo que nos lleva a contradiccion.

2. Una condicion suficiente para que una familia sea equicontinua es que F ⇢ C1(I; RN ) cumplaque la familia {'0}'2F es acotada en C(I; RN ).

3. Usando un conjunto denso y numerable como en la prueba anterior no es difıcil probar (sedeja como ejercicio) que el espacio C(I; RN ) es separable, i.e. posee un conjunto denso ynumerable.

Una idea a seguir serıa proceder por regularizacion para obtener una familia de C1(I; RN )densa en C(I; RN ). Ahora, en el compacto I, usando el desarrollo de Taylor sobre una funcionde C1(I; RN ), se obtiene que los polinomios son densos en C1(I; RN ). Finalmente, usandola densidad de los racionales, bastara tomar aquellos polinomios de coeficientes racionales.

3.7.2. Soluciones aproximadas. El Teorema de Peano

A lo largo de esta seccion consideraremos un conjunto abierto no vacıo ⌦ ⇢ RN+1, y sobre el,(x

0

, y0

) 2 ⌦ y f 2 C(⌦; RN ) dados. Se tratara el siguiente problema de Cauchy:

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

.

Definicion 3.49. Dados I = [a, b] ⇢ R, con x0

2 I, y " > 0, se dice que '" : I ! RN es unasolucion "�aproximada del (PC) en I si

(i) '" 2 C(I; RN ),

(ii) (x,'"(x)) 2 ⌦, 8x 2 I,

(iii) existe una particion finita de I, a = a0

< a1

< . . . < am = b, de tal modo que '" 2C1([ai, ai+1

]; RN ) para todo i = 0, 1, . . . ,m� 1.

(iv) '"(x0

) = y0

,

(v) |'0"(x)� f(x,'"(x))| " 8x 2 I, x 6= ai con i = 0, 1, . . . ,m.

A continuacion damos dos lemas de caracter tecnico, que nos ayudaran a probar el anunciadoTeorema de Peano. El primero de ellos nos dice que una solucion "�aproximada satisface unaestimacion analoga a la formulacion integral equivalente que tenıa la solucion del (PC).

Lema 3.50. Bajo las condiciones anteriores, si '" es una solucion "�aproximada del (PC) en I,entonces ��'"(x)� y

0

�Z x

x0

f(s,'"(s))ds

�� "|x� x0

| 8x 2 I.



Demostracion. Sea x 2 I, supongamos que x > x0

(el caso x < x0

se resuelve analogamente). Porser '" una solucion "�aproximada, sabemos que existe una particion finita x

0

< x1

< x2

< . . . <xn = x tal que '" 2 C1([xi, xi+1

]; RN ) para i = 0, . . . , n� 1. Entonces

'"(xi+1

)� '"(xi) =Z xi+1

xi

'0"(s)ds,

que unido a la condicion ultima que satisface una solucion "�aproximada implica��'"(xi+1

)� '"(xi)�Z xi+1

xi

f(s,'"(s))ds

�� =��Z xi+1

xi

('0"(s)� f(s,'"(s)))ds

��

"|xi+1

� xi| 8i = 0, . . . , n� 1.

El resultado se concluye si observamos que

'"(x)� y0

�Z x

x0

f(s,'"(s))ds =n�1X

i=0

✓'"(xi+1

)� '"(xi)�Z xi+1

xi

f(s,'"(s))ds

◆.

El segundo resultado tecnico nos indica que podemos construir soluciones "�aproximadas del(PC) que ademas tienen otras propiedades (que a la postre nos permitiran poder aplicar el Teoremade Ascoli-Arzela).

Lema 3.51. Sea ⌦ ⇢ RN+1 abierto, (x0

, y0

) 2 ⌦, y f 2 C(⌦; RN ). Entonces existe � > 0 tal queen el intervalo I� = [x

0

��, x0

+�], para cada " > 0 existe una solucion "�aproximada '" del (PC)en I� verificando

|'"(x)� '"(x)| M |x� x| 8x, x 2 I�, con M independiente de ". (3.11)

(x,'"(x)) 2 K 8x 2 I�, con K compacto de ⌦ independiente de ". (3.12)

Demostracion. Para empezar seleccionamos un marco de trabajo similar al que establecimos parala demostracion del Teorema de Peano (la idea es que por muy grande que sea la pendiente de unasolucion, esta no salga de la zona elegida).

Dado que ⌦ es abierto y (x0

, y0

) 2 ⌦, existen a0

, b0

> 0 tales que R = [x0

� a0

, x0

+ a0

] ⇥B(y

0

, b0

) ⇢ ⌦. Como f 2 C(R; RN ), existe MR = maxR |f |. Tomamos ahora

� = mın(a0

, b0

/MR), I� = [x0

� �, x0

+ �].

Por otro lado, dado " > 0, por la continuidad uniforme de f en R, existe un valor ⇢ > 0 tal quesi (x, y), (x, y) 2 R, son tales que |x � x| < ⇢, |y � y| < ⇢, entonces |f(x, y) � f(x, y)| ". Porrazones tecnicas que se veran mas adelante, tomamos

↵ = mın(⇢, ⇢/MR).

Podemos elegir una particion finita del intervalo I�,

x0

� � = x�n < x�(n�1)

< . . . < x�1

< x0

< x1

< x2

< . . . < xn�1

< xn = x0

+ �,

tal que |xi+1

� xi| < ↵ para todo i 2 {�n,�(n� 1), . . . ,�1, 0, 1, . . . , n� 1}. Ahora definimos porrecurrencia la poligonal de Euler sobre dicha particion:

'"(x) =

8<

:

y0

si x = x0

,'"(xi) + f(xi,'(xi))(x� xi) si x 2 (xi, xi+1

], i = 0, . . . , n� 1,'"(x�i) + f(x�i,'(x�i))(x� x�i) si x 2 [x�(i+1)

, x�i), i = 0, . . . , n� 1.



´

on local

Veamos que dicha funcion es una solucion "�aproximada. Para ello vemos primero que esta biendefinida.

a) Comprobamos que los vertices de la poligonal estan en R ⇢ ⌦. (Razonamos por la derecha,serıa analogo por la izquierda).

(x0

,'"(x0

)) 2 R ⇢ ⌦.Veamos que si (x

0

,'"(x0

)), (x1

,'"(x1

)), . . . , (xi,'"(xi)) estan en R, entonces (xi+1

,'"(xi+1

)) 2R. En efecto, xi+1

� x0

� a0

. Ademas,

|'"(xi+1

)� y0

| |'"(xi+1

)� '"(xi)| + |'"(xi)� '"(xi�1

)| + . . . + |'"(x1

)� '"(x0

)|= |f(xi,'"(xi))||xi+1

� xi| + . . . + |f(x0

,'"(x0

))||x1

� x0

| MR(|xi+1

� xi| + . . . + |x1

� x0

|) MR� b0

.

Por tanto (xi+1

,'"(xi+1

)) 2 R ⇢ ⌦.

b) '" es solucion "�aproximada. Es evidente que se cumple

(i) '" 2 C(I; RN )

(ii) 8x 2 I� se tiene que x 2 [x0

� a0

, x0

+ a0

], y que '"(x) 2 B(y0

, b0

) ya que estan los verticesde la poligonal, y el conjunto R es convexo. En resumen, (x,'"(x)) 2 R ⇢ ⌦.

(iii) '" 2 C1([xi, xi+1

]; RN ) 8i 2 {�n,�(n� 1), . . . , 0, . . . , n� 2, n� 1} por definicion.

(iv) '"(x0

) = y0

tambien por definicion.

(v) Para todo x 2 I� con x 6= xi, existe un valor j tal que x 2 (xj , xj+1

). Entonces se tiene que

'0"(x)� f(x,'"(x)) = f(xi,'"(xi))� f(x,'"(x)).

Como |x� xj | ↵ ⇢, y

|'"(x)� '"(xj)| = |(x� xj)f(xj ,'"(xj))| MR↵ ⇢,

se deduce, por la continuidad uniforme de f en R, que

|'0"(x)� f(x,'"(x))| = |f(xj ,'"(xj))� f(x,'"(x))| ".

Veamos ahora que las poligonales de Euler verifican las dos condiciones del enunciado.Para probar (3.11) tenemos que ver que existe M > 0, independiente de ", tal que

|'"(x)� '"(x)| M |x� x| 8x, x 2 I�.

Comprobamos que podemos tomar M = MR = maxR |f | tal y como ya habıamos definido. Supon-gamos que entre los puntos x y x hay solo un punto de la particion que interviene en la definicionde '", por ejemplo el x

2

. (Si fueran mas los puntos intermedios, el razonamiento, como se puedever, serıa el mismo). Entonces tenemos

|'"(x)� '"(x)| |'"(x)� '"(x2

)| + |'"(x2

)� '"(x)| |f(x

1

,'"(x1

))||x� x2

| + |f(x2

,'"(x2

))||x2

� x| MR(|x� x

2

| + |x2

� x|) = MR|x� x|.

Para probar que tambien se tiene la propiedad (3.12), simplemente observamos que se puedetomar como compacto K = R, y efectivamente se tendra siempre, para todo " > 0, que (x,'"(x)) 2K para todo x 2 I�.



Teorema 3.52 (Peano). Sea ⌦ ⇢ RN+1 un conjunto abierto no vacıo, (x0

, y0

) 2 ⌦, y f 2C(⌦; RN ). Entonces existe � > 0 tal que sobre I� = [x

0

� �, x0

+ �] existe al menos una solucionlocal (I�,') del

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

.

Demostracion. Tomamos � como en el Lema 3.51, y una sucesion de valores positivos {"n}n conlımn!+1 "n = 0. Denotamos 'n la solucion "n�aproximada definida en el Lema 3.51.

Entonces se verifican las condiciones para aplicar el Teorema de Ascoli-Arzela. En efecto,{'n}n ⇢ C(I�; RN ), es una familia acotada gracias a (3.11) o bien a (3.12), y es equicontinuapor (3.11).

Por tanto existe una subsucesion {'nk}k�1

convergente a un elemento ' 2 C(I�; RN ).Veamos que (I�,') es solucion local del (PC), comprobando las condiciones de la formulacion

integral equivalente. En efecto,

(i) ' 2 C(I�; RN ),

(ii) (x,'(x)) 2 K ⇢ ⌦ 8x 2 I�,

(iii) Para la igualdad integral aplicamos el Teorema de convergencia dominada de Lebesgue, ya quepor el Lema 3.51 tenemos la dominacion |f(s,'nk(s))| MR (constante, luego integrable),y la convergencia puntual (uniforme, de hecho) de 'nk a ', y tambien de f(s,'nk(s)) haciaf(s,'(s)) por la continuidad de f. Ası,

lımnk!+1

Z x

x0

f(s,'nk(s))ds =Z x

x0

f(s,'(s))ds.

Por tanto concluimos��'(x)� y

0

�Z x

x0

f(s,'(s))ds

�� = lımnk!+1

��'nk(x)� y0

�Z x

x0

f(s,'nk(s))ds

��

lımnk!+1

"nk |x� x0

| = 0 8x 2 I�.

Observacion 3.53.

1. El Teorema de Peano proporciona existencia, pero no unicidad. Considerese el siguientecontraejemplo en ⌦ = R2 :

(PC)⇢

y0 = y2/3,y(0) = 0.

Definimos para �� < ↵ < 0 < � < � las funciones

'↵,�(x) =

8>>>>>><

>>>>>>:

✓x� ↵

3

◆3

si x 2 [��,↵),

0 si x 2 [↵,�],✓

x� �

3

◆3

si x 2 (�, �].

Se comprueba que todas ellas son solucion del (PC).

2. Si el (PC) con f 2 C(⌦; RN ) tiene mas de una solucion, entonces tiene infinitas. Esteresultado se conoce como Teorema de Peano-Kneser, aunque aquı no lo probaremos (puedeconsultarse el libro de Corduneanu [8]).

A raız del resultado anterior, tiene sentido introducir los siguientes conceptos.



´

on local

Definicion 3.54. Sea C ⇢ RN+1 y f : C ! RN .

Se llama abierto de existencia para y0 = f(x, y) a cualquier abierto ⌦ ⇢ C tal que f |⌦

escontinua.

Se llama dominio de existencia para y0 = f(x, y) a cualquier abierto conexo ⌦ ⇢ C talque f |

⌦

es continua.

Se llama abierto maximal de existencia para y0 = f(x, y) a la union de todos los abiertosde existencia.

Se llama dominio maximal de existencia para y0 = f(x, y) a un dominio de existenciatal que no exista otro dominio de existencia que lo contenga estrictamente.

Ejemplo 3.55. Consideramos la siguiente funcion definida a trozos,

f(x, y) =

8>><

>>:

f1

(x, y) = y si y � 1,f2

(x, y) = x3 si y < 1, y � x2,f3

(x, y) = xy si y < 1, y < x2, x � 0,f4

(x, y) = 0 si y < 1, y < x2, x < 0.

Se comprueba claramente que f es discontinua en

{(x, x2) : x 2 [�1, 0)}[

{(x, 1) : x 6= 1}.

Ası, hay dos dominios maximales de existencia:

⌦1

= {(x, y) 2 R2, y > 1} y ⌦2

= {(x, y) 2 R2, y < 1} \ {(x, x2) : x 2 [�1, 0]}.

El abierto maximal de existencia es ⌦ = ⌦1

[ ⌦2

.

Acabamos el tema enunciando (sin demostracion) el analogo al resultado anterior pero escritopara e.d.o. de orden superior a uno.

Teorema 3.56. Sean ⌦ ⇢ RN+1 abierto no vacıo, g 2 C(⌦), y (x0

, y0

, y00

, . . . , y(N�1

0

) 2 ⌦.Entonces existe � > 0 tal que en I� = [x

0

� �, x0

+ �] existe al menos una solucion del problema

(PC)⇢

y(n = g(x, y, y0, . . . , y(N�1),y(x

0

) = y0

, y0(x0

) = y00

, . . . , y(N�1(x0

) = y(N�1

0

.


Tema 4

Unicidad global y solucion globaldel problema de Cauchy

En el tema anterior se ha tratado la existencia y unicidad (Picard) o solo la existencia (Peano)de solucion local del problema de Cauchy. Surge de modo natural entonces saber cuando se puedeestablecer una solucion mas amplia que las ya comentadas, ası como condiciones para establecerla unicidad de solucion.

En este tema se abordan tres cuestiones:

La unicidad global de solucion del (PC).

Las posibles prolongaciones hasta una solucion global maximal, y

El comportamiento en los extremos del intervalo de definicion de una solucion no prolongable.

4.1. Unicidad global de solucion del (PC)

Para empezar, damos un resultado tecnico que sera muy util en este y posteriores temas.

Lema 4.1 (Gronwall). Sean x0

< x1

valores reales; u, k 2 C([x0

, x1

]), con k � 0 en [x0

, x1

] yh 2 R. Entonces se tienen las siguientes implicaciones.

a) Si u(x) h +Z x

x0

k(s)u(s)ds 8x 2 [x0

, x1

], entonces

u(x) hexp✓Z x

x0

k(s)ds

◆, 8x 2 [x

0

, x1

].

b) Si u(x) h +Z x1

x

k(s)u(s)ds 8x 2 [x0

, x1

], entonces

u(x) hexp✓Z x1

x

k(s)ds

◆, 8x 2 [x

0

, x1

].

Demostracion.

a) Definimos la funcion v(x) =Z x

x0

k(s)u(s)ds. Obviamente v 2 C1([x0

, x1

]) y v0(x) = k(x)u(x).

Como u(x) h + v(x) y k es positiva, tenemos que

k(x)u(x) hk(x) + v(x)k(x),

69

70 Tema 4. Unicidad global y soluci

´

on global del (PC)

o lo que es lo mismo,v0(x) hk(x) + v(x)k(x),

de donde

exp✓�Z x

x0

k(s)ds

◆v0(x)� exp

✓�Z x

x0

k(s)ds

◆v(x)k(x) hk(x)exp

✓�Z x

x0

k(s)ds

◆.

Observemos que esto es

d

dx

exp

✓�Z x

x0

k(s)ds

◆v(x)

� �h

d

dx

exp

✓�Z x

x0

k(s)ds

◆�.

Integrando en el intervalo [x0

, x] resulta

exp✓�Z x

x0

k(s)ds

◆v(x)� v(x

0

) �h

exp

✓�Z x

x0

k(s)ds

◆� 1�

.

Pero v(x0

) = 0, con lo que

v(x) hexp✓�Z x

x0

k(s)ds

◆� h.

Usando esta desigualdad y que u(x) h + v(x) se concluye la prueba de este primer apartado.

b) La obtencion del resultado en este caso es analoga, y la reproducimos simplemente por com-

pletitud. Definamos v(x) :=Z x1

x

k(s)ds. Se tiene que v 2 C1([x0

, x1

]), y que v0(x) = �k(x)u(x).

Como u(x) h+v(x) y la funcion k es positiva, se tiene que u(x)k(x) hk(x)+v(x)k(x), o lo quees lo mismo, �v0(x) hk(x) + v(x)k(x). Multiplicando por una exponencial adecuada obtenemos

�v0(x)exp✓�Z x1

x

k(s)ds

◆� v(x)k(x)exp

✓�Z x1

x

k(s)ds

◆ hk(x)exp

✓�Z x1

x

k(s)ds

◆.

Observese que esto es lo mismo que

d

dx

�v(x)exp

✓�Z x1

x

k(s)ds

◆� h

d

dx

exp

✓�Z x1

x

k(s)ds

◆�.

Integrando en [x, x1

], resulta

exp✓�Z x1

x

k(s)ds

◆v(x) h

✓1� exp

✓�Z x1

x

k(s)ds

◆◆.

Uniendo la desigualdad obtenida para v(x) al hecho de que u(x) h + v(x), se obtiene la delenunciado.

Observacion 4.2.

1. El Lema de Gronwall permite pasar de una inecuacion integral en u a una estimacion parau.

2. Un caso particular que sera especialmente importante en este tema es cuando h = 0. Estosignificara que u(x) 0.

3. Otro caso particular en el que los resultados se simplifican es cuando k(x) ⌘ k, constante.Entonces las desigualdades finales en los casos anteriores se leen

a) u(x) hek(x�x0) si x > x0

.

b) u(x) hek(x1�x) si x < x1

.


71 4.1. UNICIDAD GLOBAL DE SOLUCION DEL (PC)

4. Es posible utilizar una unica formulacion que agrupe las dos condiciones del lema (ahora xy x

0

no estaran ordenados):

u(x) h +��Z x

x0

k(s)u(s)ds

�� 8x, x0

2 I ) u(x) hexp✓��Z x

x0

k(s)ds

��

◆.

Es posible tratar otras generalizaciones del resultado anterior.

Lema 4.3. Sean x0

< x1

valores reales, u, h, k 2 C([x0

, x1

]), con k(x) � 0 8x 2 [x0

, x1

]. Si

u(x) h(x) +Z x1

x

k(s)u(s)ds, entonces

u(x) h(x) + exp✓Z x1

x

k(r)dr

◆Z x1

x

h(s)k(s)ds, 8x 2 [x0

, x1

].

Demostracion. Definimos la funcion v(x) =Z x1

x

k(s)u(s)ds. Tenemos que v 2 C1([x0

, x1

]) y que

v0(x) = �k(x)u(x). La hipotesis de partida, u(x) h(x) + v(x), y que k(x) � 0, implican quek(x)u(x) k(x)h(x) + k(x)v(x). Esto es �v0(x) � k(x)v(x) k(x)h(x). Multiplicando por unaexponencial, como en el resultado previo,

�exp✓�Z x1

x

k(s)ds

◆v0(x)� exp

✓�Z x1

x

k(s)ds

◆k(x)v(x) exp

✓�Z x1

x

k(s)ds

◆k(x)h(x).

Esto es lo mismo que

d

dx

✓�exp

✓�Z x1

x

k(s)ds

◆v(x)

◆ exp

✓�Z x1

x

k(s)ds

◆k(x)h(x).

Integrando en [x, x1

] se tiene que

e�

Z x1

x

k(s)dsv(x)

Z x1

x

e�

Z x1

s

k(r)drk(s)h(s)ds.

Pero la exponencial del integrando en el miembro de la derecha es menor o igual que uno, de dondese deduce que

v(x) exp✓Z x1

x

k(s)ds

◆Z x1

x

k(s)h(s)ds.

Ahora, de la desigualdad anterior y la original, u h + v, se concluye el resultado.

En todo lo que sigue consideraremos un conjunto abierto no vacıo ⌦ ⇢ RN+1, (x0

, y0

) 2 ⌦ yf 2 C(⌦; RN ) \ Lip

loc

(y,⌦). Estudiaremos el siguiente

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

.

El Teorema de Picard nos permitıa concluir que existıa un intervalo [x0

��, x0

+�] no degeneradoen el cual la solucion es unica.

El problema de la unicidad global es el siguiente: supongamos que existen dos solucio-nes locales del (PC) anterior, (I

1

,'1

) e (I2

,'2

). Y que x0

2 I1

\ I2

. ¿Se puede afirmar que'

1

(x) = '2

(x) 8x 2 I1

\ I2

? La respuesta es que sı, y se da en el siguiente resultado.

Teorema 4.4 (Unicidad global). Dados ⌦ ⇢ RN+1 un conjunto abierto no vacıo, f 2 C(⌦; RN )\Lip

loc

(y, ⌦) y (x0

, y0

) 2 ⌦, se considera el siguiente problema de Cauchy:

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

.

Si (I1

,'1

) e (I2

,'2

) son dos soluciones locales del (PC), entonces '1

(x) = '2

(x) 8x 2 I1

\ I2

.



´

on global del (PC)

Demostracion. Consideremos x1

2 I1

\ I2

\ {x0

}. Denotemos

K = {(s,'1

(s)) [ (s,'2

(s)) : s 2 [x0

, x1

]}.Como f 2 C(⌦; RN ) y K es compacto, entonces supK |f(x, y)| < +1. Al ser f 2 Lip

loc

(y, ⌦), porun resultado del tema anterior (Proposicion 3.35) se tiene que f 2 Lip(y, K; RN ). Denotemos porLK > 0 la constante de Lipschitz de f respecto de la variable y en K.

Por otro lado, observemos que las soluciones del sistema diferencial ordinario verifican

'i(x) = y0

+Z x

x0

f(s,'i(s))ds 8x 2 [x0

, x1

],

por lo que

|'2

(x)� '1

(x)| =��Z x

x0

f(s,'2

(s))ds�Z x

x0

f(s,'1

(s))ds

��

Z x

x0

|f(s,'1

(s))� f(s,'2

(s))|ds

LK

Z x

x0

|'2

(s)� '1

(s)|ds.

Ahora el resultado sigue de aplicar el Lema de Gronwall, ya que |'1

� '2

| 0 8x 2 [x0

, x1

].

Observacion 4.5. Existen otros resultados de unicidad global bajo hipotesis mas generales que elcaracter localmente lipschitziano de f respecto de y en ⌦. (Veanse las monografıas de Corduneanu[8] y Hartman [13]).

4.2. Prolongacion de soluciones para sistemas diferencialesordinarios

En esta seccion estudiaremos cuando es posible prolongar una solucion local a un intervalomayor, de hecho, al mayor posible, y dar una caracterizacion tambien de aquellas soluciones queno pueden ser prolongadas.

Supongamos que ⌦ ⇢ RN+1 es un abierto no vacıo, que f 2 C(⌦; RN ) \ Liploc

(y, ⌦), y que(x

0

, y0

) 2 ⌦.

Denotemos

S(x0

, y0

) =⇢

(I,') : (I,') solucion local del (PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

.

�.

Sabemos que S(x0

, y0

) 6= ; gracias al Teorema de Picard. Con esta notacion, introducimos lossiguientes conceptos.

Definicion 4.6. Dada (I,') 2 S(x0

, y0

), se dice que es una

Solucion prolongable por la derecha (resp. izquierda) si existe (J, ) 2 S(x0

, y0

) talque

I ⇢ J, I 6= J, sup I 2�J

(resp. inf I 2�J). En tal caso, por el Teorema 4.4 |I = '.

Solucion prolongable si bien lo es por la derecha o lo es por la izquierda o por ambosextremos.

Solucion maximal o global si no es prolongable.


73 4.2. PROLONGACION DE SOLUCIONES PARA S.D.O.

Ahora estamos en disposicion de dar el primer resultado de esta seccion.

Teorema 4.7 (Existencia y unicidad de solucion global del (PC)). Si ⌦ ⇢ RN+1 es unabierto no vacıo y f 2 C(⌦; RN ) \ Lip

loc

(y, ⌦), entonces para cada (x0

, y0

) 2 ⌦ existe una unicasolucion maximal del

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

.

Ademas, el intervalo I donde esta definida la solucion maximal es abierto.

Demostracion. El orden que seguiremos para la prueba es el siguiente:

a) Supuesto que existe la solucion maximal, veremos que el intervalo I donde esta definida dichasolucion es abierto.

b) Supuesto que existen soluciones maximales, veremos que esta es unica para cada (PC).

c) Finalmente probaremos la existencia de solucion maximal (unica, y definida sobre un abierto,por los apartados anteriores).

a) Denotemos (I,') la solucion maximal (caso de existir). Veamos que I es abierto. Supongamospor reduccion al absurdo que � = sup I 2 I. Entonces (�,'(�)) 2 ⌦. Planteamos entonces elsiguiente problema auxiliar:

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(�) = '(�).

Sabemos que existe un cierto � > 0 tal que en el intervalo [�� ,�+ �] esta definida una funcion 'solucion de este (PC). Observese que (I,') 2 S(�,'(�)). Tomamos entonces J = I[ [��,�+�] 6=I, de hecho I ⇢ J, y � = sup I 2

�J. Ası, es claro que la funcion

(x) =⇢'(x) si x 2 I,'(x) si x 2 [� � �,� + �],

(funcion que esta bien definida sin ambiguedad gracias al Teorema 4.4) permite obtener un elemento(J, ) 2 S(x

0

, y0

), por lo que (I,') serıa prolongable por la derecha (contradiccion con que erasolucion maximal).

La prueba por el extremo izquierdo se desarrollarıa de forma analoga: si inf I = ↵ 2 I, ... alfinal la solucion maximal serıa prolongable por la izquierda.

Por tanto I = (↵,�), es un intervalo abierto (caso de que exista solucion maximal).

b) Veamos ahora que, caso de existir, la solucion maximal es unica.Si hay dos soluciones maximales, (I

1

,'1

) e (I2

,'2

), con x0

2 I1

\I2

, podemos definir I = I1

[I2

,ası como

'(x) =⇢'

1

(x) si x 2 I1

,'

2

(x) si x 2 I2

,

(de nuevo resenamos que no hay ambiguedad en la definicion en el intervalo I1

\ I2

por el Teorema4.4), con lo que (I,') es solucion. Pero al ser (I

1

,'1

) e (I2

,'2

) soluciones maximales, se tiene quedar forzosamente que I = I

1

= I2

.

c) Probamos ahora la existencia de solucion maximal. Fijado un punto (x0

, y0

) 2 ⌦, consideramos

I(x0

, y0

) =[

(I,') 2 S(x0

, y0

)I abierto

I.



´

on global del (PC)

Observese que por el apartado a) no tiene sentido realmente que una solucion este definida en unintervalo cerrado o semicerrado ya que se podrıa prolongar por el lado cerrado. Por tanto I(x

0

, y0

)esta bien definida. Ademas, por el Teorema de Picard sabemos que I(x

0

, y0

) no es vacıo. Por otrolado, como para toda solucion local (I,') se tiene que x

0

2 I, entonces I(x0

, y0

) es un intervalo.Denotemos ↵ = inf I(x

0

, y0

), y � = sup I(x0

, y0

). Como al menos existe un valor � > 0 y unintervalo [x

0

� �, x0

+ �] en el que hay definida una solucion local, sabemos que ↵ < x0

< �.Definimos ahora la funcion ' : I(x

0

, y0

) ! RN del siguiente modo: para cada x 2 I(x0

, y0

),existe al menos un intervalo abierto I (por definicion de I(x

0

, y0

)) tal que (I,') 2 S(x0

, y0

), yx 2 I. Definimos entonces '(x) := '(x). (Por el Teorema 4.4 no hay ambiguedad en la definicion).

Se comprueba que (I(x0

, y0

), ') es solucion del (PC), ya que

(i) '(x0

) = y0

,

(ii) ' 2 C1(I(x0

, y0

)),

(iii) '0(x) = f(x, '(x)), ya que para cada x 2 I(x0

, y0

) hay un intervalo abierto I 3 x y unasolucion local (I,').

Por tanto, efectivamente (I(x0

, y0

), ') es solucion del (PC), y por construccion, es maximal.

Observacion 4.8 (Notacion para la solucion maximal). A partir de ahora se denotara por'(·, x

0

, y0

) la solucion maximal del

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

,

e I(x0

, y0

) a su intervalo de definicion.

4.3. Comportamiento de la solucion maximal en los extre-mos del intervalo de definicion

Definicion 4.9. Dado un espacio metrico (X, d) y dos conjuntos A, B ⇢ X, se define la distanciaentre A y B como

d(A,B) =

(+1 si A = ; o B = ;,

infa2A,b2B

d(a, b) si A 6= ; 6= B.

Observacion 4.10.

1. El ınfimo en la definicion anterior se entiende como

infa2A,b2B

d(a, b) = ↵ 2 [0,+1) , (i)↵ d(a, b) 8a 2 A, 8b 2 B,(ii)9{an} ⇢ A, 9{bn} ⇢ B, lım

n!+1d(an, bn) = ↵.

2. La distancia entre conjuntos cerrados disjuntos puede ser cero, como el siguiente ejemplo enR2 muestra: A = {(x, 0) : x 2 (0,+1)}, B = {(x, 1/x) : x 2 (0,+1)}.

El siguiente resultado sera necesario mas adelante.

Proposicion 4.11. Sea (X, d) un espacio metrico, y sean C y K un cerrado y un compactorespectivamente contenidos en X, con interseccion vacıa. Entonces d(K, C) > 0.

Demostracion. Por reduccion al absurdo, si d(K, C) = 0, entonces existirıan sucesiones {kn}n ⇢ K,{cn}n ⇢ C, tales que

d(kn, cn) 1n

8n � 1.


75 4.3. COMPORTAMIENTO DE LA SOLUCION MAXIMAL EN LOS EXTREMOS

Como K es compacto, existe una subsucesion {knm} ⇢ {kn}n tal que lımnm!+1 knm = k 2 K.Entonces se tiene que

d(k, cnm) d(k, knm) + d(knm , cnm) ! 0 si nm ! +1.

Esto significa que cnm ! k. Y como C es cerrado, ha de tenerse que k 2 C, lo que es contradictoriocon que K \ C = ;.

Introducimos una serie de conceptos que seran necesarios para establecer el resultado princi-pal de esta seccion. Se siguen considerando las condiciones y el (PC) indicados en las seccionesprecedentes.

Definicion 4.12. Dada una solucion local del (PC), (I,') 2 S(x0

, y0

) con I = (↵,�), se denomina

a) Trayectoria de (I,') a⌧' = {(x,'(x)) : x 2 I}.

b) Semitrayectoria derecha de (I,')

⌧+

' = {(x,'(x)) : x 2 I, x � x0

}.Semitrayectoria izquierda de (I,')

⌧�' = {(x,'(x)) : x 2 I, x x0

}.

c) Terminal derecho de (I,')

T+

' =⇢ ; si � = +1,

⌧+

' \ {(�, y) : y 2 RN} si � < +1.

Terminal izquierdo de (I,')

T�' =⇢ ; si ↵ = �1,

⌧�' \ {(↵, y) : y 2 RN} si ↵ > �1.

Observacion 4.13.

1. Para definir los terminales hay que tomar la clausura de las semitrayectorias porque si no,la interseccion serıa vacıa.

2. Si (�, ⇠) 2 T+

' entonces (�, ⇠) es un punto lımite de valores de la semitrayectoria derecha.Esto significa que en cada entorno del punto (�, ⇠) hay infinitos puntos de la semitrayectoriaderecha, pero no significa que lımx!�� '(x) = ⇠.

Analogo comentario se puede hacer para el terminal izquierdo.

Considerese el siguiente contraejemplo.8<

:y0 = y � sen

⇡

x� ⇡

x2

cos⇡

x,

y(1/2) = 0,

tiene por solucion '(x) = sen ⇡x , que esta definida en I = (0,+1). El terminal izquierdo vale

T�' = {0}⇥ [�1, 1], sin embargo no existe lımx!0

+ sen ⇡x .

Teorema 4.14. Bajo las condiciones y notacion de esta seccion, considerese (I,') 2 S(x0

, y0

),con I = (↵,�). Entonces se tienen las siguientes equivalencias.

a) ' es prolongable por la derecha,



´

on global del (PC)

b) ⌧+

' es acotada y d(⌧+

' , @⌦) > 0,

c) T+

' \ ⌦ 6= ;,d) T+

' \ ⌦ ⌘ {un punto de ⌦}.Demostracion. Veremos tres pruebas: a) , b); b) , c); y c) , d) con lo que quedara probado elresultado.

a) ) b) Supongamos que (I,') es prolongable por la derecha. Entonces existe (J, ) 2S(x

0

, y0

) tal que I = (↵,�) ⇢ J, � 2�J. Ademas, se tiene la siguiente inclusion:

⌧+

' ⇢ {(x, (x)) : x 2 [x0

,�]} ⇢ ⌧+

⇢ ⌦.

Por tanto se deduce que⌧+

' ⇢ {(x, (x)) : x 2 [x0

,�]}.Como el conjunto {(x, (x)) : x 2 [x

0

,�]} es compacto, se tiene que ⌧+

' es un compacto contenidoen el abierto ⌦. Finalmente esto (gracias a la Proposicion 4.11) implica que ⌧+

' es acotado y qued(⌧+

' , @⌦) > 0.

b) ) a) Si ⌧+

' es acotado y d(⌧+

' , @⌦) > 0, se deducen dos cosas: por un lado que � < +1,

y por otro que el conjunto ⌧+

' es cerrado y acotado, luego compacto, y contenido en ⌦.Veamos a partir de lo anterior que ' es prolongable por la derecha. Por una nota previa

debemos ser cautos, no basta tomar cualquier sucesion xn ! �� y ver que posee una subsucesionconvergente. Hay que probar que hay un solo lımite posible, por el cual procederemos a prolongar.

Si x1

, x2

2 [x0

,�), entonces

|'(x1

)� '(x2

)| =��Z x2

x1

f(s,'(s))ds

��

max⌧+

'

|f |!|x

1

� x2

|.

Por tanto descubrimos que cualquier sucesion xn ! �� hace que {'(xn)}n sea una sucesion deCauchy, y por tanto convergente a un unico lımite:

9 lımx!��

'(x) =: y� .

Como tenıamos que ⌧+

' ⇢ ⌦, entonces (�, y�) 2 ⌦. El siguiente paso ahora es claro. Consideramosel problema de Cauchy

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(�) = y� .

Por el Teorema de Picard existe � > 0 tal que este (PC) admite una solucion ([� � �,� + �], ').Para concluir basta ver que J = (↵,� + �) y

(x) =⇢'(x) si x 2 (↵,�)'(x) si x 2 [�,� + �),

forman una solucion para el (PC) original, i.e. (J, ) 2 S(x0

, y0

).De nuevo debemos prestar especial atencion. Al contrario que en las pruebas previas, aquı no

se trata de un solapamiento de soluciones al mismo problema, sino a problemas distintos. Portanto, para comprobar que la concatenacion anterior (J, ) define efectivamente una solucion del(PC) con dato inicial y(x

0

) = y0

hay que proceder con cuidado. En lugar de derivar, usaremos laformulacion integral del problema, que es mas estable.

es continua: en efecto, el unico punto conflictivo corresponderıa a x = �. Pero ya hemos vistoque existe el lımite

lımx!��

(x) = lımx!��

'(x) = y� ,


77 4.3. COMPORTAMIENTO DE LA SOLUCION MAXIMAL EN LOS EXTREMOS

y tambien existelım

x!�+ (x) = lım

x!�+'(x) = y� .

Comprobemos ahora que se satisface la formulacion integral equivalente para obtener soluciondel (PC). Lo hacemos en dos partes.-Si x 2 (↵,�),

(x) = '(x) = y0

+Z x

x0

f(s,'(s))ds = y0

+Z x

x0

f(s, (s))ds.

-Si x 2 [�,� + �],

(x) = '(x) = y� +Z x

�

f(s, '(s))ds

= lımt!��

'(t) +Z x

�

f(s, '(s))ds

= y0

+ lımt!��

Z t

x0

f(s,'(s))ds +Z x

�

f(s, '(s))ds

= y0

+Z �

x0

f(s,'(s))ds +Z x

�

f(s, '(s))ds

= y0

+Z x

x0

f(s, (s))ds.

b) ) c) Comenzamos con la misma observacion que hicimos en la prueba anterior. Si ⌧+

' esacotado y d(⌧+

' , @⌦) > 0, se deducen dos cosas: por un lado que � < +1, y por otro que el conjunto⌧+

' es cerrado y acotado, luego compacto, y contenido en ⌦. Esto significa que T+

' ⇢ ⌧+

' ⇢ ⌦, pero¿podrıa ser vacıo T+

' ? Veamos que no.Sea {(� � 1/n,'(� � 1/n))}n�n0 con n

0

2 N tal que � � 1/n0

� x0

. Dicha sucesion esta conte-nida en ⌧+

' y por tanto en el compacto ⌧+

' . Ası, deducimos que posee una subsucesion convergentea un elemento de ⌧+

' y forzosamente del conjunto {(�, y) : y 2 RN}.

c) ) b) Partimos ahora de la condicion T+

' \⌦ 6= ;. Esto implica en particular que � < +1.

Veamos primero que ⌧+

' es acotada. Para ello dividiremos convenientemente el intervalo [x0

,�)es dos intervalos: [x

0

, x] [ [x,�). Evidentemente con el primero de ellos se tiene que {(x,'(x)) :x 2 [x

0

, x]} es acotado, por lo que solo restara ver que

{(x,'(x)) : x 2 [x,�)} es acotado. (4.1)

La segunda condicion que habra que probar, que d(⌧+

' , @⌦) > 0, se obtendra como subproducto delo anterior.

Sea (�, y) 2 T+

' \ ⌦. Consideramos valores reales a, b > 0 tales que

R = [� � a,� + a]⇥B(y, b) ⇢ ⌦. (4.2)

Denotamos M = maxR |f | + 1 y definimos � = mın{a, b/M}.Por ser (�, y) 2 T+

' \ ⌦, es posible tomar (x, y) 2 ⌧+

' , i.e. '(x) = y, tal que

� � x 2✓

0,�

3

◆, |y � y| <

M�

3. (4.3)

Veamos que(x,'(x)) 2 R ⇢ ⌦ 8x 2 [x,�), (4.4)



´

on global del (PC)

y por tanto obtendremos (4.1) y habremos concluido1.

En efecto, si x 2 [x,�), entonces, por la eleccion de �,

� � x � � x < �/3 < a.

Para la segunda (y ultima parte), esto es, |'(x)� y| < b, comprobamos primero que |'(x)� y| 2M�/3. De no ser ası, si |'(x) � y| > 2M�/3, como |'(x) � y| = 0, existe un valor x 2 (x, x) talque |'(x)� y| = 2M�/3, y para todo t 2 (x, x) se tiene que |'(t)� y| < 2M�/3.

Usando la desigualdad triangular, dada la eleccion de y, vease (4.3), se tiene que (t,'(t)) 2 R8t 2 [x, x]. Ası obtenemos la siguiente contradiccion:

2M�

3= |'(x)� y| = |'(x)� '(x)| =

��

Z x

x

f(t,'(t))dt

�� < M |x� x| <M�

3.

Luego se deduce que |'(x) � y| 2M�/3 para todo x 2 [x,�). De nuevo por la desigualdadtriangular,

|'(x)� y| |'(x)� y| + |y � y| <2M�

3+

M�

3= M� < b.

Por la definicion en (4.2), se concluye (4.4).

c) ) d) Partimos de que T+

' \ ⌦ 6= ;. Entonces al menos existe un punto (�, y) 2 T+

' .

Supongamos que existe otro punto (x⇤, y⇤) 2 T+

' . Para empezar, por propia definicion de T+

'

se tiene que x⇤ = �. Solo hay que probar que y = y⇤. Por definicion sabemos que existen dossucesiones {xn}n�1

y {xn}n�1

tales que

{xn}n�1

⇢ [x0

,�), lımn!+1

xn = �, lımn!+1

'(xn) = y⇤,

{xn}n�1

⇢ [x0

,�), lımn!+1

xn = �, lımn!+1

'(xn) = y.

Sea n0

2 N suficientemente grande, de modo que

{xn}n�n0 [ {xn}n�n0 ⇢ [x,�),

siendo x el punto dado en la prueba anterior [c) implica b)]. Entonces se tiene que

|'(xn)� '(xn)| =��Z xn

xn

f(s,'(s))ds

�� M |xn � xn| 8n � n0

.

Por tanto concluimos que y = y⇤.

d) ) c) es trivial.

Observacion 4.15. En el caso en que se cumplan las cuatro condiciones dadas en el resultadoanterior, realmente se tiene que T+

' ⇢ ⌧+

' ⇢ ⌦, por lo que no solo ocurre como dice el apartado d),que T+

' \ ⌦ sea un punto, sino que T+

' = {un punto} ⇢ ⌦.

El resultado analogo para el terminal izquierdo es el siguiente.

Teorema 4.16. Dada (I,') 2 S(x0

, y0

) con I = (↵,�), son equivalentes las siguientes condiciones:

a) ' es prolongable por la izquierda,

b) ⌧�' esta acotada y d(⌧�' , @⌦) > 0,

1La segunda condicion que resta para tener b), d(⌧+

' , @⌦) > 0, se tendra ya que R es compacto contenido en ⌦.


79 4.4. ALGUNOS CASOS PARTICULARES

c) T�' \ ⌦ 6= ;,d) T�' es exactamente un punto de ⌦.

La negacion de la union de ambos teoremas genera el siguiente resultado.

Teorema 4.17. Sea (I,') 2 S(x0

, y0

). Entonces se tienen las siguientes equivalencias:

a) (I,') es solucion maximal,

b) O bien ⌧+

' no esta acotada o bien d(⌧+

' , @⌦) = 0, y ademas: o bien ⌧�' no esta acotada o biend(⌧�' , @⌦) = 0.

c) T+

' [ T�' 2 @⌦.

La traduccion de los resultados anteriores al caso de una e.d.o. de orden n > 1 es inmediata,aunque requiere una observacion.

Dado el

(PC)⇢

y(n = g(x, y, y0, . . . , y(n�1),y(x

0

) = y0

, y0(x0

) = y00

, . . . , y(n�1(x0

) = y(n�1

0

,

la solucion maximal del s.d.o. se denotara (I, ('1

, . . . ,'n)), por lo que la solucion maximal de lae.d.o. original sera (I,'

1

).En este caso las semitrayectorias del s.d.o. son

⌧+

' = {(x,'1

(x),'01

(x), . . . ,'(n�1

1

(x)), x 2 I, x � x0

}.

⌧�' = {(x,'1

(x),'01

(x), . . . ,'(n�1

1

(x)), x 2 I, x x0

}.Ası, la condicion del teorema sobre la acotacion de ⌧+

' y de ⌧�' significa acotacion de la funcion'

1

y de sus derivadas. Por tanto puede ocurrir que I y '1

sean acotadas pero que la solucionno sea prolongable, porque alguna de sus derivadas explote.

4.4. Algunos casos particulares

Concluimos el tema con algunos casos particulares en los que la seccion previa genera resultadosinteresantes o relativamente intuitivos. Los puntos que trataremos son los siguientes:

El caso de un “dominio banda”.

El caso de un s.d.o. lineal de dimension N.

La forma de los terminales para N = 1.

4.4.1. El caso de un “dominio banda”

Llamamos dominio banda a un conjunto ⌦ = I⇥RN , con I = (a, b), con todos los casos posiblespara el intervalo I, i.e. �1 a < b +1.

Teorema 4.18. Sea ⌦ = I ⇥ RN , siendo �1 a < b +1. Si f 2 C(⌦; RN ) \ Lip(y,⌦),entonces para todo (x

0

, y0

) 2 ⌦, se tiene que I(x0

, y0

) = I.

Demostracion. Procedemos por reduccion al absurdo. Supongamos que para algun (x0

, y0

) 2 ⌦,I(x

0

, y0

) = (↵,�) contenido estrictamente en I. Veamos que la solucion es prolongable, lo quesera contradictorio.

Supongamos que � < b. [El caso a < ↵ se razonarıa de forma analoga.]Como

|'(x)� y0

| =��Z x

x0

f(s,'(s))ds

�� Z x

x0

|f(s,'(s))� f(s, y0

)|ds +Z x

x0

|f(s, y0

)|ds 8x 2 [x0

,�),



´

on global del (PC)

si denotamos por L a la constante de Lipschitz de f respecto de y en ⌦ y M = maxs2[x0,�]

|f(s, y0

)|,entonces se tiene que

|'(x)� y0

| L

Z x

x0

|'(s)� y0

|ds + M(x� x0

) 8x 2 [x0

,�).

Aplicando el Lema de Gronwall se deduce que

|'(x)� y0

| M(� � x0

)eL(��x0) 8x 2 [x0

,�).

Por tanto se obtiene que ⌧+

' es acotada (porque � < b +1). Ası,

⌧+

' ⇢ [x0

,�]⇥B�y0

,M(� � x0

)eL(��x0)�,

pero este conjunto es un compacto contenido en ⌦ (al tener un dominio banda), con lo qued(⌧+

' , @⌦) > 0. Aplicando ahora el Teorema 4.14 se obtiene que ' es prolongable.

Se puede generalizar el resultado anterior al caso en que el termino de la derecha no es global-mente lipschitziano, sino solo localmente.

Teorema 4.19. Sea ⌦ = I ⇥ RN , con I = (a, b) siendo �1 a < b +1. Supongamos quef 2 C(⌦; RN ) \ Lip

loc

(y, ⌦), y que para todo par de valores a, b tales que a < a < b < b, se tieneque f 2 Lip(y, (a, b)⇥ RN ). Entonces, para todo (x

0

, y0

) 2 ⌦ se tiene que I(x0

, y0

) = I.

Demostracion. Basta tomar dos sucesiones {an}n�1

y {bn}n�1

, la primera decreciente y la segundacreciente, tales que lımn!+1 an = a, y que lımn!+1 bn = b. Definimos entonces los dominiosbanda ⌦n = (an, bn) ⇥ RN , y dado un punto (x

0

, y0

) 2 ⌦, como sabemos que existe un n0

2 N,tal que (x

0

, y0

) 2 ⌦n para todo n � n0

, entonces tiene sentido plantear los problemas de Cauchysiguientes (con n � n

0

):

(PC)n

⇢y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

,en ⌦n, (PC)

⇢y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

,en ⌦.

Por el Teorema 4.18 sabemos que la solucion maximal a cada problema (PC)n (In,'n) esta definidaen In = (an, bn).

Por otro lado, la solucion global del (PC) (I(x0

, y0

),') ha de cumplir que '|(an,bn)

= 'n porla unicidad. Por tanto, tomando lımites cuando n ! +1 se obtiene el resultado.

4.4.2. El caso de un s.d.o. lineal de dimension N

Consideremos ahora en I = (a, b), con �1 a < b +1, dados los siguientes elementos:A 2 C(I;L(RN )), siendo L(RN ) es R�espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden N, yb 2 C(I; RN ).

Teorema 4.20. Bajo las condiciones anteriores, dado (x0

, y0

) 2 I ⇥ RN cualquiera, el problemade Cauchy compuesto por el s.d.o. lineal y0 = A(x)y+b(x) y la condicion inicial y(x

0

) = y0

cumpleque I(x

0

, y0

) = I.

Demostracion. Se trata de nuevo de un caso con dominio “banda”, ⌦ = I ⇥ RN . Veamos quef(x, y) = A(x)y + b(x) es continua y lipschitziana en la variable y en ⌦ para intentar aplicaralguno de los dos teoremas anteriores.

|f(x, y)� f(x, y)| |A(x)y �A(x)y| + |b(x)� b(x)| |A(x)||y � y| + |A(x)�A(x)||y| + |b(x)� b(x)|,

donde se sobrentiende que hemos empleado para A(x) una norma matricial subordinada a la normavectorial que usamos para x 2 RN . La desigualdad anterior muestra que si tomamos un intervaloacotado (a, b) ⇢ I, f es una aplicacion continua.


81 4.4. ALGUNOS CASOS PARTICULARES

Mas aun, particularizamos la estimacion anterior para un valor x fijo y comprobamos si sesatisface la condicion de Lipschitzianidad.

|f(x, y)� f(x, y)| |A(x)||y � y|,

con lo que en efecto f 2 Lip(y, ⌦), siendo ⌦ = (a, b)⇥RN , con �1 a < a < b < b +1. Ahorael resultado sigue de aplicar el Teorema 4.19.

4.4.3. La forma de los terminales para N = 1

Para terminar el tema, concretamos la forma que tienen los terminales de un (PC) relativo aun s.d.o. de primer orden y dimension 1.

Teorema 4.21. Consideramos ⌦ ⇢ R2, abierto no vacıo, y f 2 C(⌦; RN )\Liploc

(y, ⌦). Entonces,dado cualquier par (x

0

, y0

) 2 ⌦, las terminales de la solucion del

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

,

han de ser de alguno de los siguientes tipos:

o bien vacıo,

o bien un punto,

o bien un segmento vertical.

Demostracion. Solo desarrollamos la prueba para el terminal derecho (el otro caso es analogo).Denotemos I = (↵,�) el intervalo maximal donde se define la solucion global ' del (PC).

Para probar el resultado basta suponer que hubiera dos puntos (�, y1

), (�, y2

) en el terminalT+

' (pongamos que y1

< y2

) y entonces ver que (�, y) 2 T+

' para todo y 2 (y1

, y2

).En efecto, se tiene por propia definicion de terminal que

(�, y1

) 2 T+

' ) 9{x1

n}n�1

⇢ [x0

,�), lımn!+1

x1

n = �, lımn!+1

'(x1

n) = y1

.

(�, y2

) 2 T+

' ) 9{x2

n}n�1

⇢ [x0

,�), lımn!+1

x2

n = �, lımn!+1

'(x2

n) = y2

.

Sin perdida de generalidad podemos suponer que x1

n < x2

n < x1

n+1

para todo n � 1.Consideremos ahora un valor y 2 (y

1

, y2

), y sea " > 0 con " < mın{y � y1

, y2

� y}. Entonces

9n0

: n � n0

) |'(xin)� yi| " para i = 1, 2.

Esto significa que'(x1

n) y1

+ " < y < y2

� " '(x2

n).

Como ' es continua,9xn 2 (x1

n, x2

n) : '(xn) = y 8n � n0

.

Como lımn!+1

xn = � y trivialmente lımn!+1

'(xn) = y se concluye que (�, y) 2 T+

' .



´

on global del (PC)


Tema 5

Ecuaciones y sistemas diferencialesordinarios lineales

Relativo al comportamiento de e.d.o. y s.d.o. existen muchas otras cuestiones cualitativas im-portantes que estudiar junto a los dos temas previos en los que hemos visto existencia y unicidadlocal y global. De hecho algunos de estos aspectos cualitativos seran desarrollados en este mismotemario (para mostrar alguna aplicacion interesante en el futuro; vease el Tema 6 y el Tema 8). Ymuchos otros se postergan a asignaturas de ampliacion.

Sin embargo consideramos adecuado interrumpir en este punto el desarrollo cualitativo generalpara pasar a estudiar el caso particular de ecuaciones y sistemas diferenciales ordinarios lineales.

Es obvio que cuando particularizamos en un caso concreto, podemos esperar a priori aportarrespuestas mas precisas, y eso es lo que ocurre con las ecuaciones lineales. La estructura tantode las tecnicas empleadas como de las soluciones obtenidas suele ser mas completo que en unmarco general (un ejemplo de esto aparecera en el Tema 7). Tambien en el ambito de la investiga-cion el estudio del caso lineal (y posteriores tecnicas, por ejemplo de punto fijo) es un uso frecuente.

Todas estas razones hacen que dediquemos una mencion especial -este tema propiamente- alos sistemas diferenciales ordinarios lineales (s.d.o.l.). En una primera parte trataremos cuestionesmas teoricas y seguidamente la resolucion explıcita de algunos casos particulares.

5.1. Consideraciones generales sobre sistemas diferencialesordinarios lineales. Matriz fundamental

Ya antes fue introducida la notacion L(RN ) para el R�espacio vectorial de las matrices cua-dradas de orden N, i.e. A = (aij)N

i,j=1

, con aij 2 R. Este espacio vectorial de dimension N2 sobreR tiene la propiedad, como cualquier espacio de dimension finita, de que todas las normas queempleemos sobre el son equivalentes. La mas usual que manejaremos sera

kAk1 = maxi,j

|aij |. (5.1)

Sin embargo, y dado que en las matrices es tambien especialmente importante la operacion produc-to, sera conveniente utilizar tambien normas que cumplan alguna propiedad extra, concretamente,

kABk kAk · kBk.A una norma que cumpla tal propiedad se la llama norma matricial. No toda norma sobre L(RN )es matricial, como de hecho no le ocurre a k · k1 definida en (5.1),

2 =��

✓1 11 1

◆✓1 11 1

◆��16��

✓1 11 1

◆��2

1= 1.

83

84 TEMA 5. ECUACIONES Y SISTEMAS DIFERENCIALES ORDINARIOS LINEALES

La forma mas simple de construir una norma matricial es a traves de una norma vectorial | · | enRN , y entonces definir la norma de A vista como aplicacion lineal de RN sobre si mismo, i.e.

kAk =X

x6=0

|Ax||x| .

Es evidente que ası definida, k · k es una norma en L(RN ), y que es matricial:

|ABx||x| =

|ABx||Bx|

|Bx||x| ) kABk = sup

x6=0

|ABx||x| sup

Bx6=0

|ABx||Bx| sup

x6=0

|Bx||x| kAkkBk.

A una tal norma se la llama norma matricial subordinada o inducida por la norma | · |.Tambien es obvio que se verifica entonces las siguientes igualdades,

kAk = supx2RN ,kxk=1

|Ax|,

|Ax| kAk · |x|.Como ya se ha dicho antes, sera indiferente que norma se utilice para las pruebas. A veces usaremosla norma k · k1 definida en (5.1), y en otras, una norma subordinada a una norma vectorial dada.

Observacion 5.1. La norma k · k1 no es subordinada de la norma vectorial | · |1 de RN . Para

verlo, basta tomar en R2, x =✓

11

◆y como matriz A =

✓1 11 1

◆.

Observacion 5.2.

1. De forma analoga a lo anterior, tambien se puede definir el espacio L(CN ) := L(RN ) +iL(RN ). Se trata de un C�espacio vectorial de dimension N2.

2. Dado un intervalo I ⇢ R, denotaremos C(I;L(RN )) al espacio vectorial de aplicacionesA : x 2 I 7! A(x) = (aij(x)) 2 L(RN ) tales que cada aij es una aplicacion continua, i.e.aij 2 C(I) 8i, j = 1, . . . , N. La pregunta razonable que surge es: ¿no deberıa ser que lamatriz completa A(x) sea continua como aplicacion de R en L(RN )? La respuesta es sı, y esequivalente a lo anterior.

Proposicion 5.3. A = (aij)ij : I ! L(RN ) es continua si y solo si aij 2 C(I).

Demostracion. Como todas las normas son equivalentes, usamos la norma k · k1 que definimos en(5.1).

) Esta implicacion es trivial: si dado x 2 I y " > 0, existe � > 0 tal que |x� x0| � implicakA(x)�A(x0)k1 ", entonces todas las componentes lo satisfacen, luego es claro que aij 2 C(I)para todo i, j = 1, . . . , N.

( Supongamos que aij 2 C(I) para todo i, j = 1, . . . , N. Consideramos un par (i, j) fijado.Sea x 2 I, y " > 0, entonces existe �ij(x) > 0 tal que si x0 2 I cumple |x � x0| �ij(x), setiene que |aij(x) � aij(x0)| ". Es claro que tomando entonces �(x) = mınij �ij(x), se tiene quekA(x)�A(x0)k1 " si |x� x0| �.

Analogamente denotaremos Cn(I;L(RN )) a las funciones matriciales A(x) = (aij(x)) tales queaij 2 Cn(I) para todo i, j = 1, . . . , N.

Proposicion 5.4. A 2 C1(I;L(RN )) si y solo si A es Frechet derivable con derivada Frechetperteneciente a C(I;L(RN )), i.e. existe una funcion eA 2 C(I;L(RN )) tal que

8x0

2 I, lımx2I,x!x0

��A(x)�A(x

0

)x� x

0

� eA(x0

)��L(RN

)

= 0.

[Evidentemente eA(x) = (a0ij(x)).]


85 5.1. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE S.D.O.L. MATRIZ FUNDAMENTAL

Demostracion. ) Dados dos valores i, j 2 {1, . . . , N}, por la derivabilidad de la funcion aij , setiene que, fijado x

0

2 I y " > 0, existe �ij(x0

, ") tal que

|x� x0

| �ij(x0

, ") )��aij(x)� aij(x0

)x� x

0

� a0ij(x0

)�� ",

ya que podemos aplicar el Teorema del Valor Medio y��aij(x)� aij(x0

)x� x

0

� a0ij(x0

)�� = |a0ij(⇠)� a0ij(x0

)|

y la funcion a0ij es continua.Ahora definimos � = mıni,j �ij(x0

, ") y es claro que

|x� x0

| � �ij(x0

, ") )��

A(x)�A(x0

)x� x

0

� eA(x0

)��1

= supi,j

��aij(x)� aij(x0

)x� x

0

� a0ij(x0

)�� < ".

( Recıprocamente, supongamos ahora que existe una funcion eA = (eaij) 2 C(I;L(RN )) tal que

lımx!x0

��aij(x)� aij(x0

)x� x

0

� eaij(x0

)�� = 0 8i, j.

Entonces obviamente para cada par (i, j) se tiene que aij 2 C1(I).

Definicion 5.5. Dados un intervalo I ⇢ R (no necesariamente abierto) y el s.d.o. lineal y0 =A(x)y + b(x), llamaremos a A(x) matriz de coeficientes y a b(x) termino independiente.

Si b ⌘ 0, a y0 = A(x)y se le llama s.d.o.l. homogeneo.Si b 6⌘ 0, a y0 = A(x)y + b(x) se le llama s.d.o.l. no homogeneo, y entonces y0 = A(x)y es el

s.d.o.l. homogeneo asociado al anterior.

Observacion 5.6. En lo que sigue enunciaremos y probaremos la mayorıa de resultados con-siderando el cuerpo de los numeros reales, pero se extienden sin problema al caso de numeroscomplejos.

El siguiente resultado es importante, pues nos permitira plantearnos cuestiones sobre la estruc-tura de las soluciones; por ejemplo si forman o no un espacio vectorial, ya que afirma que todasestan definidas sobre el mismo intervalo (y por tanto tiene sentido sumar dichas funciones, etc).

Proposicion 5.7. Dado un intervalo real I, y el dominio banda ⌦ = I ⇥ RN , se tiene que paratodo (x

0

, y0

) 2 ⌦, la (unica) solucion maximal del

(PC)⇢

y0 = A(x)y + b(x),y(x

0

) = y0

,

verifica I(x0

, y0

) = I, i.e. la solucion esta definida en todo I.

Demostracion. Si I es un intervalo abierto, el resultado fue probado en el tema anterior (Teorema4.20). Veamos el caso en que I no es abierto.

a) Veamos la existencia de solucion supuesto que I = [↵,�] (los casos (↵,�] y [↵,�) sonanalogos). Definimos las funciones

eA(x) =

8<

:

A(x) si x 2 I = [↵,�],A(↵) si x < ↵,A(�) si x > �,

b(x) =

8<

:

b(x) si x 2 I = [↵,�],b(↵) si x < ↵,b(�) si x > �,

Obviamente se tiene que eA 2 C(R;L(RN )), y b 2 C(R; RN ). Por tanto, si planteamos el

(PC)⇢

y0 = eA(x)y + b(x),y(x

0

) = y0

,en e⌦ = R⇥ RN ,



por el resultado antes citado del tema anterior (caso “banda”), se tiene que la solucion maximal'(·, x

0

, y0

) existe en todo R. Obviamente su restriccion '(·, x0

, y0

)|I es solucion del (PC) originalen ⌦, con lo que queda probada la existencia.

b) Veamos la unicidad: supongamos que ' y son dos soluciones del (PC) del enunciado. Seax

1

2 I con x1

> x0

(si es x1

< x0

el razonamiento es analogo). Entonces

'(x)� (x) =Z x

x0

A(s)('(s)� (s))ds 8x 2 [x0

, x1

].

Ahora, si denotamos M = maxs2[x0,x1] kA(s)k, tenemos que

|'(x)� (x)| M

Z x

x0

|'(s)� (s)|ds.

El Lema de Gronwall implica que |'(x)� (x)| = 0 8x 2 [x0

, x1

].

Junto al s.d.o. y0 = A(x)y anterior, se puede considerar el sistema matricial

Y 0 = A(x)Y.

En primera instancia parece tratarse de un sistema de N2 ecuaciones y N2 incognitas, lo cual escierto, pero es un sistema desacoplado, y en realidad consiste en repetir N veces el sistema originaly0 = A(x)y. Su interes radica en la siguiente definicion y el posterior resultado.

Definicion 5.8. Llamamos sistema fundamental de soluciones de y0 = A(x)y a un conjuntoformado por N soluciones del anterior s.d.o.l. linealmente independientes.

Se llama matriz fundamental (m.f.) de Y 0 = A(x)Y a cualquier funcion F 2 C1(I;L(RN ))que sea solucion suya y cuyas N columnas sean linealmente independientes como elementos deC1(I; RN ).

El siguiente resultado garantiza la existencia de matrices fundamentales.

Proposicion 5.9. Sea I ⇢ R un intervalo, y A 2 C(I;L(RN )). Entonces el conjunto V formadopor las soluciones de y0 = A(x)y es un espacio vectorial de C(I; RN ) de dimension N.

Demostracion. Que V tiene estructura de espacio vectorial es trivial a partir de la Proposicion 5.7.Veamos que su dimension en N. Consideramos {ei}1iN una base de RN . Sea x

0

2 I cual-quiera, y consideramos los problemas

⇢y0 = A(x)y,y(x

0

) = ei 1 i N.

Cada problema define una unica solucion 'i 2 C1(I; RN ). Y por la condicion inicial es claro que sonlinealmente independientes: en efecto, si

PNi=1

�i'i ⌘ 0, entonces, en particular,PN

i=1

�i'i(x0

) =0, pero eso, por ser {ei} base, implica que �i = 0 para todo i.

Veamos que el conjunto {'1

, . . . ,'N} es un sistema generador de V. Dada ' una solucion dey0 = A(x)y, se considera '(x

0

) 2 RN . Por ser {ei} base, se tiene que existen valores {↵i}Ni=1

talesque

'(x0

) =NX

i=1

↵iei =NX

i=1

↵i'i(x0

).

Ahora basta considerar la funcion (x) = '(x) �PNi=1

↵i'i(x), que es solucion del s.d.o.l. y0 =A(x)y y tiene condicion inicial (x

0

) = 0. Como la funcion identicamente nula es solucion, y setiene unicidad de solucion para el (PC), se concluye que '(x) =

PNi=1

↵i'i(x).

Observacion 5.10. Evidentemente se pueden construir matrices fundamentales a partir de cual-quier base de RN .


87 5.1. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE S.D.O.L. MATRIZ FUNDAMENTAL

La proposicion y la observacion previas nos conducen al siguiente resultado.

Proposicion 5.11 (Propiedades de las matrices fundamentales). Sea A 2 C(I;L(RN )) ysea F 2 C1(I;L(RN )) solucion de Y 0 = A(x)Y. Se tienen las siguientes equivalencias:

a) F es matriz fundamental de y0 = A(x)y,

b) detF (x) 6= 0 8x 2 I,

c) existe x0

2 I tal que detF (x0

) 6= 0.

Demostracion. a) implica b). Supongamos por reduccion al absurdo que existe un valor x0

2 I talque det F (x

0

) = 0. Entonces existirıan �1

, . . . ,�N no todos nulos y tales que las N columnas deF, '

1

, . . . ,'N , cumplirıanPN

i=1

�i'i(x0

) = 0. Por tanto '(x) =PN

i=1

�i'i(x) es solucion de

⇢y0 = A(x)y,y(x

0

) = 0,

y por la unicidad de solucion sabemos que ' ⌘ 0, por lo quePN

i=1

�i'i = 0 en I, que resultacontradictorio con que {'i}N

i=1

fueran linealmente independientes.

b) implica c) es trivial.

c) implica a). Partimos de un valor x0

2 I tal que detF (x0

) 6= 0. Tenemos que ver que lascolumnas de F son linealmente independientes. Supongamos que

PNi=1

�i'i = 0. Hay que probarque �i = 0 8i. Como tenemos

PNi=1

�i'i(x0

) = 0, y detF (x0

) 6= 0 es inmediato que �i = 0 8i.

Definicion 5.12. El determinante de una matriz fundamental se llama wronskiano.

Observacion 5.13. La anulacion del wronskiano en un solo punto implica la anulacion en todosellos y por tanto la dependencia lineal de las columnas vistos como elementos de C(I; RN ).

No obstante, esto no pasa con cualesquiera funciones en general (solo con las soluciones des.d.o.l.). Considerese N = 2, I = R. Entonces es claro que los vectores

✓x0

◆y✓

x2

0

◆

son linealmente independientes, aunque el determinante que forman es identicamente nulo paratodo x 2 R.

Las observaciones anteriores quedan mas remarcadas aun con el siguiente resultado.

Proposicion 5.14 (Formula de Abel-Liouville-Jacobi). Si � 2 C1(I;L(RN )) es una matrizfundamental de y0 = A(x)y, entonces para todo x

0

2 I se tiene que

det�(x) = det�(x0

)expZ x

x0

tr(A(s))ds

�.



Demostracion. Vamos a probar qued

dx(det�(x)) = tr(A(x))det�(x).

d

dx(det�(x)) =

d

dx

2

64det

0

B@�

11

(x) . . . �1N (x)

.... . .

...�N1

(x) . . . �NN (x)

1

CA

3

75

= det

0

BBB@

�011

. . . �01N

�21

. . . �2N

.... . .

...�N1

. . . �NN

1

CCCA+ det

0

BBB@

�11

. . . �1N

�021

. . . �02N

.... . .

...�N1

. . . �NN

1

CCCA+ . . . + det

0

BBB@

�11

. . . �1N

�21

. . . �2N

.... . .

...�0N1

. . . �0NN

1

CCCA

= det

0

BBB@

Pk a

1k�k1

. . .P

k a1k�kN

�21

. . . �2N

.... . .

...�N1

. . . �NN

1

CCCA+ . . . + det

0

BBB@

�11

. . . �1N

�21

. . . �2N

.... . .

...Pk aNk�k1

. . .P

k aNk�kN

1

CCCA

=NX

i=1

det

0

BB@

......

...Pk aik�k1

. . .P

k aik�kN

......

...

1

CCA =

NX

i=1

aii(x)

!det �(x) = trA(x)det�(x),

donde la ultima igualdad se ha obtenido eliminando del determinante todas las combinaciones defilas linealmente dependientes, al no influir.

Proposicion 5.15. Sea F una matriz fundamental de y0 = A(x)y. Entonces

a) El conjunto V de soluciones de y0 = A(x)y viene dado por V = {F · c : c 2 RN}.b) bF es m.f. de y0 = A(x)y si y solo si bF (x) = F (x) · C con C 2 L(RN ) tal que detC 6= 0.

c) Para todo (x0

, y0

) 2 I ⇥ RN , la (unica) solucion de⇢

y0 = A(x)y,y(x

0

) = y0

,

es '(x, x0

, y0

) = F (x) · F�1(x0

)y0

.

Demostracion. El apartado a) ya ha sido probado. Y el apartado c) es tambien inmediato.Veamos la equivalencia entre las dos condiciones del apartado b).( Una matriz bF = F · C es solucion de Y 0 = A(x)Y simplemente por linealidad. Ademas,

det bF =detF ·det C 6= 0, con lo que por la Proposicion 5.11, se tiene que bF es matriz fundamental.

) Dada una matriz bF , fijamos un x0

2 I, y se tiene que bF (x) y F (x) · F�1(x0

) bF (x0

) sonsoluciones del mismo (PC) con dato inicial Y (x

0

) = bF (x0

). Por la unicidad se tiene bF (x) =F (x)F�1(x

0

) bF (x0

), con lo que basta poner C = F�1(x0

) bF (x0

).

El siguiente resultado es de demostracion inmediata.

Proposicion 5.16 (Estructura del conjunto de soluciones de y0 = A(x)y + b(x)). Bajo lanotacion e hipotesis anteriores, considerese el s.d.o. y0 = A(x)y + b(x). El conjunto de solucionesde dicho sistema es un espacio afın de dimension N. Concretamente, viene dado por

Vb = 'b + V

donde 'b es cualquier solucion particular de y0 = A(x)y + b(x) y V es el espacio vectorial formadopor todas las soluciones del s.d.o.l. homogeneo asociado, y0 = A(x)y.


89 5.2. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N

El siguiente resultado permite calcular una solucion particular 'b a partir de una matriz fun-damental de y0 = A(x)y.

Proposicion 5.17 (Metodo de variacion de las constantes de Lagrange). Una solucionparticular del s.d.o. y0 = A(x)y + b(x), fijado cualquier x

0

2 I, y dada F una m.f. del s.d.o.l.homogeneo, viene dada por

'b(x) = F (x)Z x

x0

F�1(s)b(s)ds.

Demostracion. Dada F matriz fundamental de y0 = A(x)y, vamos a buscar una solucion particularde la forma 'b(x) = F (x)c(x) con c 2 C1(I; RN ) (de ahı el nombre del metodo) a determinar.

Si imponemos que 'b sea solucion,

'0b(x) = F 0(x)c(x) + F (x)c0(x) = A(x)F (x)c(x) + F (x)c0(x) = A(x)'b(x) + b(x).

Por tanto, es solucion si y solo si F (x)c0(x) = b(x). Como F (x) es invertible en todos los puntos,tiene sentido considerar c0(x) = F�1(x)b(x), de donde sigue el resultado.

El siguiente enunciado aglutina los resultados anteriores.

Proposicion 5.18 (Solucion general de y0 = A(x)y + b(x)). Dado el s.d.o.l. y0 = A(x)y + b(x),la forma general de sus soluciones es

'(x) = F (x)Z x

x0

F�1(s)b(s)ds + F (x) · c

con c 2 RN . En particular, la (unica) solucion del

(PC)⇢

y0 = A(x)y + b(x),y(x

0

) = y0

,

viene dada por

'(x) = F (x)F�1(x0

)y0

+ F (x)Z x

x0

F�1(s)b(s)ds.

Del resultado anterior (en realidad por simple linealidad tambien) puede darse la siguiente

Observacion 5.19 (Principio de superposicion). Dados los s.d.o.l.

y0 = A(x)y + b1

(x),...

y0 = A(x)y + bk(x),

y valores reales ↵1

, . . . ,↵k se tiene que, dadas cualesquiera funciones '1

, . . . ,'k soluciones res-pectivamente de los s.d.o.l. anteriores, entonces

Pki=1

↵i'i es solucion del s.d.o.l. y0 = A(x)y +↵

1

b1

(x) + . . . + ↵kbk(x).

5.2. Ecuaciones lineales de orden n

Sabemos de temas precedentes que una e.d.o. de orden superior a uno puede ser tratada equi-valentemente a traves de un s.d.o. asociado.

En este sentido, los resultados previos pueden aplicarse directamente al caso de una e.d.o. sinmas que hacer el cambio (y luego quedarnos con la primera componente del sistema).

No obstante, sera interesante particularizar explıcitamente los resultados de la seccion anterior,y no tener que hacer la transformacion en cada caso concreto (de hecho haremos lo mismo con la



resolucion explıcita de algunos casos concretos, con el consiguiente ahorro de esfuerzo).

Dado un intervalo I ⇢ R, (da igual si es abierto o no), se considera la e.d.o.l. de orden n

a0

(x)y(n + a1

(x)y(n�1(x) + . . . + an�1

(x)y0(x) + an(x)y(x) = b(x)

donde ai(x) para i = 0, . . . , n y b 2 C(I; R) (o tambien C(I; C)).Si b ⌘ 0 se dice que la e.d.o.l. es homogenea, y si b 6⌘ 0 se dice que es no homogenea y en

tal caso aa0

(x)y(n + a1

(x)y(n�1(x) + . . . + an�1

(x)y0(x) + an(x)y(x) = 0

se la llama e.d.o.l. homogenea asociada.

Suponemos que para todo x 2 I, a0

(x) 6= 0 (esto es, si se quiere, podemos suponer que a0

⌘ 1).El (PC) que consideramos en esta seccion es

8<

:

a0

(x)y(n + a1

(x)y(n�1(x) + . . . + an�1

(x)y0(x) + an(x)y(x) = b(x),

y(x0

) = y0

, y0(x0

) = y00

, . . . , y(n�1(x0

) = y(n�1

0

.

El cambio usual de variables y1

= y, y2

= y0, . . . , yn = y(n�1 genera el s.d.o.l. ~y0 = A(x)~y +~b(x)donde

A(x) =

0

BBBBBBB@

0 10 1

. . . . . .0 1

�an(x)a0

(x). . . �a

1

(x)a0

(x)

1

CCCCCCCA

, b(x) =

0

BBBBBBBB@

0......0

b(x)a0

(x)

1

CCCCCCCCA

.

Se tiene entonces que 0

B@'

1

...'n

1

CA

es solucion de ~y0 = A(x)~y +~b(x) si y solo si '1

es solucion de la e.d.o.l. de orden n (y en tal caso'

2

= '01

, '3

= '02

, etc).

Ahora, la traduccion de los resultados de la seccion previa es inmediata.

Proposicion 5.20. Bajo las condiciones anteriores, el (PC) para la e.d.o.l. de orden n tiene unaunica solucion maximal para cada (x

0

, y0

, y00

, . . . , y(n�1

0

) 2 I ⇥RN , dicha solucion esta definida entodo I, y la denotaremos por '(x, x

0

, y0

, y00

, . . . , y(n�1

0

).

Proposicion 5.21.

a) El conjunto V de las soluciones de la e.d.o.l. homogenea es un subespacio vectorial de Cn(I)de dimension n.

b) Si 'b es una solucion particular de la e.d.o.l. no homogenea, entonces el conjunto de todaslas soluciones de la e.d.o.l. no homogenea un espacio afın de dimension n, y viene dado porVb = 'b + V.

Definicion 5.22. Llamamos sistema fundamental (s.f.) de soluciones de la e.d.o.l. homogeneaa cualquier base {'

1

, . . . ,'n} de V, el conjunto de soluciones del s.d.o.l. homogeneo asociado ~y0 =A(x)~y.


91 5.2. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N

Observacion 5.23.

1. {'1

, . . . ,'n} es un sistema fundamental de la e.d.o.l. homogenea si y solo si la matriz0

BBB@

'1

'2

. . . 'n

'01

'02

. . . '0n...

.... . .

...'

(n�1

1

'(n�1

2

. . . '(n�1

n

1

CCCA

es matriz fundamental del s.d.o.l. asociado, y esto se cumple si y solo si existe x0

2 I tal que

det

0

BBB@

'1

(x0

) '2

(x0

) . . . 'n(x0

)'0

1

(x0

) '02

(x0

) . . . '0n(x0

)...

.... . .

...'

(n�1

1

(x0

) '(n�1

2

(x0

) . . . '(n�1

n (x0

)

1

CCCA6= 0,

dicho determinante es el wronskiano, y si es no nulo en un punto, en realidad se cumpleque es no nulo para todo x 2 I.

2. En caso de que el wronskiano sea no nulo (equivalentemente en un punto o en todo punto),

Wr('1

, . . . ,'n)(x) = det

0

BBB@

'1

(x0

) '2

(x0

) . . . 'n(x0

)'0

1

(x0

) '02

(x0

) . . . '0n(x0

)...

.... . .

...'

(n�1

1

(x0

) '(n�1

2

(x0

) . . . '(n�1

n (x0

)

1

CCCA

se tiene la Formula de Abel-Liouville-Jacobi:

Wr('1

, . . . ,'n)(x) = Wr('1

, . . . ,'n)(x0

)expZ x

x0

�a1

(s)a0

(s)ds

�.

3. Tambien se tiene el Principio de superposicion de soluciones: Dadas las e.d.o.l. si-guientes,

a0

(x)y(n + a1

(x)y(n�1 + . . . + an�1

(x)y0 + an(x)y = b1

(x),...

a0

(x)y(n + a1

(x)y(n�1 + . . . + an�1

(x)y0 + an(x)y = bk(x),

tales que admiten soluciones '1

, . . . ,'k respectivamente, entonces se tiene quePk

i=1

↵i'i essolucion de

a0

(x)y(n + a1

(x)y(n�1 + . . . + an�1

(x)y0 + an(x)y =kX

i=1

↵ibi(x).

5.2.1. Solucion particular de e.d.o.l. no homogenea por el Metodo devariacion de las constantes

El objetivo de esta seccion es trasladar lo que se hizo para s.d.o.l. para buscar una solucionparticular al caso de una e.d.o.l. no homogenea.

Esto era: si V = {Pni=1

ci'i(x) : ci 2 R}, entonces buscamos la solucion particular como

'b(x) =nX

i=1

ci(x)'i(x)



con ci 2 C1(⌦). Haciendo el cambio de variables a sistema resulta que 'b es la primera fila de lamatriz

F (x) · c(x) =

0

B@

'1

(x) . . . 'n(x)...

. . ....

'(n�1

1

(x) . . . '(n�1

n (x)

1

CA ·

0

B@c1

(x)...

cn(x)

1

CA .

Como la condicion sobre el vector columna c(x) para que 'b sea solucion es

F (x) · c0(x) =

0

BBBBB@

0...0

b(x)a0

(x)

1

CCCCCA,

esto genera en las incognitas {c0i(x)}ni=1

el sistema lineal siguiente:8>>>>><

>>>>>:

Pni=1

c0i(x)'i(x) = 0,Pni=1

c0i(x)'0i(x) = 0,...

Pni=1

c0i(x)'(n�1

i (x) =b(x)a0

(x).

Se trata de un sistema de n incognitas, y como F (x) es invertible, pueden despejarse los valoresde {c0i(x)}

1in (en cada x) y despues integrarlos para obtener ci(x) y con ellos 'b. [Este metodoya se uso –aunque sin justificacion– en el Tema 2.]

Ejemplo 5.24. Sabiendo que el s.d.o.l. homogeneo y00 = 2y0/x � 2y/x2 tiene por dos solucionesparticulares '

1

(x) = x y '2

(x) = x2 (linealmente independientes en (0,+1)), resolver la e.d.o.l.

y00 =2x

y0 � 2x2

y + x3 en (0,+1).

Lo primero es comprobar que efectivamente

det✓'

1

'2

'01

'02

◆= det

✓x x2

1 2x

◆= x2 6= 0 en (0,+1),

con lo que {x, x2} forman un sistema fundamental de la e.d.o.l. homogenea.Buscamos una solucion particular de la forma 'b(x) = c

1

(x)x+ c2

(x)x2, con lo que imponemosque se satisfaga el sistema

⇢c01

x + c02

x2 = 0,c01

+ c02

2x = x3,

�) c0

1

= �c02

x ) c02

(�x + 2x) = x3

) c02

= x2 ) c01

= �x3 ) c1

(x) = �x4

4,

) c2

(x) =x3

3.

Una solucion particular de la e.d.o.l. no homogenea viene dada entonces por 'b(x) = �x5

4+

x5

3,

y por tanto la solucion general es

'(x) =x5

12+ C

1

x + C2

x2, C1

, C2

2 R.


93 5.3. S.D.O.L. DE COEFICIENTES CONSTANTES. EXPONENCIAL MATRICIAL

5.3. Preliminares para la resolucion de s.d.o.l. de coeficien-tes constantes. Exponencial matricial

Aunque a priori no sea nada mas una intuicion sin ningun fundamento, digamos por motivaresta seccion que, igual que el caso unidimensional y0 = ay admite la solucion y(x) = eax, quere-mos extender dicho resultado al caso de s.d.o.l. N�dimensionales de coeficientes constantes. Laintuicion “nos pide” que demos sentido a una exponencial matricial, y en efecto, en esta seccioncomprobaremos que se le puede dar un sentido riguroso y resolver el problema.

Definicion 5.25. Sea {An}n�0

una sucesion de L(CN ), An = (a(n)

ij )ij . Se dice que la serieP1n=0

An es convergente si existe el lımite

lımm!1

mX

n=0

An.

En tal caso se denotaP1

n=0

= lımm!1

mX

n=0

An.

Observacion 5.26. Es facil comprobar queP1

n=0

An = A = (aij) si y solo siP1

n=0

a(n)

ij = aij

para todo i, j 2 {1, . . . , N}.

En efecto, la implicacion hacia la derecha sigue del hecho de que siP1

n=0

An es convergente,entonces

Pmn=0

An es de Cauchy (en cualquier norma), en particular en norma k · k1, con lo queson de Cauchy todas las sucesiones

Pmn=0

a(n)

ij (y por tanto convergentes).

La implicacion a izquierda: supongamos que todas las sucesiones {Pmn=0

a(n)

ij }m (cuando i, j 2{1, . . . , N}) son de Cauchy, i.e. fijados i, j

8" > 0 9ni,j" : n, m � ni,j

" )��

mX

k=n

a(k)

ij

�� ".

Es obvio que entonces quePm

n=0

An tambien es de Cauchy, basta tomar n" = maxi,j

ni,j" .

Definicion 5.27. Se dice que la serieP1

n=0

An es absolutamente convergente siP1

n=0

kAnk <

+1 (o equivalentemente, siP1

n=0

|a(n)

ij | < +1).

Observacion 5.28.

1. Siempre se verifica que kP1n=0

Ank P1

n=0

kAnk.2. Es posible definir funciones matriciales mediante series de potencias: si la funcion definida

mediante serie f(z) =P1

n=0

↵nzn con {↵n} ⇢ C es tal queP1

n=0

|↵n||z|n < +1 para todo|z| < ⇢ y A 2 L(Cn) es tal que kAk < ⇢, y la norma con que se trabaja es matricial, entonces

1X

n=0

k↵nAnk =1X

n=0

|↵n|kAnk 1X

n=0

|↵n|kAkn < +1.

Por tanto la serieP1

n=0

↵nAn converge absolutamente, luego es convergente, con lo que sepuede definir f(A) =

P1n=0

↵nAn.

Ejemplo 5.29. Para toda matriz A 2 L(CN ), se definen las funciones

eA =1X

n=0

An

n!, senA =

1X

n=0

(�1)nA2n+1

(2n + 1)!, cos A =

1X

n=0

(�1)nA2n

(2n)!.



3. El hecho de que las definiciones anteriores esten justificadas no implica nada mas. En prin-cipio las reglas usuales de calculo para las funciones reales o complejas anteriores no tienenporque extenderse al caso matricial. Cualquier propiedad que queramos utilizar debera serprobada.

4. Las definiciones anteriores para justificar una extension de f a una funcion matricial, f(A),se pueden hacer en realidad para toda matriz A 2 L(CN ) tal que �(A) = {autovalores de A}cumpla �(A) ⇢ {� 2 C : |�| < ⇢}.

Proposicion 5.30 (Propiedades de la exponencial matricial). Sean A, B 2 L(CN ) talesque AB = BA. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

a) e�Id = e�Id,

b) BeA = eAB,

c) eA+B = eAeB = eBeA, con lo que, en particular, como e0 =Id, se tiene que e�A = (eA)�1, yademas resulta que eA es siempre invertible.

Demostracion. La primera propiedad es trivial, sin mas que aplicar la definicion. De modo quepasamos a comprobar el apartado b).

BeA = B1X

n=0

An

n!=

1X

n=0

BAn

n!=

1X

n=0

AnB

n!=

1X

n=0

An

n!B = eAB.

Apartado c) Veamos que eA+B = eAeB (la otra igualdad se obtiene de forma similar).Hay que probar que

lımm!+1

��

mX

n=0

An

n!

! mX

n=0

Bn

n!

!�

1X

n=0

(A + B)n

n!

��L(CN

)

= 0.

Fijado m � 1, se tiene que

mX

n=0

An

n!

! mX

n=0

Bn

n!

!=

mX

n1,n2=0

An1

n1

!Bn2

n2

!.

Por otro lado, empleando que AB = BA,

mX

n=0

(A + B)n

n!=

mX

n=0

1n!

"nX

k=0

✓nk

◆AkBn�k

#

=mX

n=0

nX

k=0

AkBn�k

k!(n� k)!=

mX

n1, n2 = 0n1 + n2 m

An1

n1

!Bn2

n2

!.

De modo que para la diferencia de ambas expresiones se tiene��

mX

n=0

An

n!

! mX

n=0

Bn

n!

!�

1X

n=0

(A + B)n

n!

��L(CN

)

=

��

mX

n1,n2=0

cn1,n2

An1

n1

!Bn2

n2

!

��L(CN

)

mX

n1,n2=0

cn1,n2

kAkn1

n1

!kBkn2

n2

!,

dondecn1,n2 =

⇢0 si n

1

+ n2

m,1 si n

1

+ n2

> m.



Finalmente se concluye el resultado teniendo en cuenta la desigualdad anterior y que

mX

n1,n2=0

cn1,n2

kAkn1

n1

!kBkn2

n2

!=

mX

n=0

kAkn

n!

! mX

n=0

kBkn

n!

!�

mX

n=0

(kAk+ kBk)n

n!

�! ekAkekBk � ekAk+kBk = 0 si m ! +1.

5.3.1. Calculo efectivo de la exponencial matricial. Formas de Jordan

Definir eA resulta simple, pero su calculo no es inmediato, salvo que recurramos a la formade Jordan, esto es A = PJP�1 (para ciertas matrices P y J que se describen rigurosamentemas adelante). Entonces se obtendra que eA = PeJP�1. Esperamos que una matriz con muchoselementos nulos como J permita calcular con mas facilidad eJ .

Antes de proceder con estas construcciones, establecemos con rigor el resultado de descompo-sicion de Jordan (ya conocido por el alumno).

Denotamos In (n � 1) la matriz identidad de orden n ⇥ n. Asimismo, definimos la siguientematriz cuadrada de orden n :

Hn =⇢

0 si n = 1,(aij) 2 L(RN ), aij = �i+1,j si n � 2.

Dados � 2 C y n � 1, se defineJn(�) = �In + Hn.

Veremos que estas matrices, llamadas cajas de Jordan de dimension n, son las que componen lamatriz J que se obtendra en la descomposicion de A. Mas concretamente, un determinado numero,digamos k, de cajas de Jordan Jnr (�r) 1 r k, y J correspondera a la matriz diagonal formadacon las cajas anteriores, i.e.

J = diag(Jn1(�1

), . . . , Jnk(�k)),

y cuyos elementos restantes son cero. Esta matriz es de dimension⇣Pk

r=1

nr

⌘⇥⇣Pk

r=1

nr

⌘.

Teorema 5.31 (Jordan). Dada A 2 L(CN ), existe una matriz P 2 L(CN ) con detP 6= 0, yotra matriz J 2 L(CN ) con J =diag(Jn1(�1

), . . . , Jnk(�k)) donde Jnr (�r) 1 r k son cajas deJordan de dimension nr⇥nr tales que A = PJP�1 (los �r son los autovalores de A). La matriz Jes unica salvo por el orden en que estan dispuestas las cajas; a J se la llama forma de Jordan

de A, y P es la matriz de paso.

Observacion 5.32.

1. Ha de satisfacerse la siguiente condicion con respecto a la dimension de las cajas:Pk

r=1

nr =N.

2. En la diagonal de J los autovalores de A aparecen tantas veces como indique su multiplicidadalgebraica.

Observacion 5.33 (Calculo efectivo de A = PJP�1). Si s es el numero de cajas asociadasal autovalor �, entonces se tiene que s = N � r

1

con r1

=rg(A � �I). En general denotaremosrk =rg[(A� �I)k].

Las dimensiones de las s cajas sera nk, para cada 1 k s. Y ha de cumplirse quePs

k=1

nk =m, la multiplicidad algebraica del autovalor, i.e. la multiplicidad que tiene como raız de la ecuacioncaracterıstica. La forma concreta de saber cuales son el numero de cajas es:

N + r2

� 2r1

cajas de dimension 1,r1

+ r3

� 2r2

cajas de dimension 2,



...rj�1

+ rj+1

� 2rj cajas de dimension j (con j > 1).

Una vez calculados los valores previos, i.e. teniendo J, se puede proceder a calcular P simple-mente resolviendo las ecuaciones con la correspondiente estructura A = PJP�1, o mas concreta-mente AP = PJ. (Hay otras formas, como comenzar con el mayor autovector generalizado –nocionque no describiremos aquı– e ir hacia atras).

Ejemplo 5.34. Calcular la descomposicion de Jordan de

A =

0

@6 �6 513 �12 96 �5 3

1

A .

La matriz A tiene por unico autovalor � = �1 con multiplicidad tres, ya que

|A� �I| =

��

6� � �6 513 �12� � 96 �5 3� �

��

= (6� �)(�12� �)(3� �)� 324� 325 + (12 + �)30 + 45(6� �) + 78(3� �)= �216 + 90�� 3�2 � �3 � 649 + 360 + 30�+ 270� 45�+ 234� 78�= �1� 3�� 3�2 � �3 = �(�+ 1)3.

Como

r1

= rg(A� �I) = rg

0

@7 �6 513 �11 96 �5 4

1

A = 2,

se tiene que s = 3� 2 = 1, luego hay una sola caja de Jordan, que forzosamente ha de ser

J =

0

@�1 1 00 �1 10 0 �1

1

A .

Como ha de verificarse para cierta matriz de paso P que A = PJP�1, o lo que es lo mismo,AP = PJ, escribiendo P por columnas resulta:

A�p1

��p2

��p3

�=�p1

��p2

��p3

�0

@�1 1 00 �1 10 0 �1

1

A =�� p

1

��p1

� p2

��p2

� p3

�.

Podemos deducir por tanto el siguiente sistema e implicaciones:8<

:

Ap1

= �p1

(A + I)p2

= p1

(A + I)p3

= p2

9=

;)8<

:

(A + I)p1

= 0,(A + I)2p

3

= p1

(A + I)3p3

= 0

Por tanto tenemos que p1

2ker(A + I), p2

2ker(A + I)2, p3

2ker(A + I)3. Si elegimos p3

2ker(A + I)3\ker(A + I)2, entonces directamente podemos tener p

2

:= (A + I)p3

6= 0, con p2

2ker(A +I)2\ker(A+I), y analogamente p

1

:= (A+I)p2

2Ker(A+I) es no nulo. Es facil ver recursivamenteque estos tres vectores son linealmente independientes: p

2

no puede ser proporcional a p1

, pues ental caso tambien se tendrıa que p

2

2ker(A+I), y por el mismo motivo, p3

no puede ser combinacionlineal de p

1

y p2

, pues entonces se tendrıa p3

2ker(A+I)2. Calculemos una posible terna de dichosvalores.

(A + I)2 =

0

@1 �1 12 �2 21 �1 1

1

A , (A + I)3 =

0

@0 0 00 0 00 0 0

1

A .



Tomamos p3

2ker(A + I)3\ker(A + I)2. Como

ker (A + I)2 =

8<

:

0

@xyz

1

A : x� y + z = 0

9=

; = h0

@121

1

A ,

0

@110

1

Ai,

basta tomar un elemento de R3 independiente de los anteriores. Pongamos por ejemplo

p3

=

0

@100

1

A) p2

= (A + I)p3

=

0

@7136

1

A) p1

= (A + I)p2

=

0

@121

1

A .

Por tanto

P =

0

@1 7 12 13 01 6 0

1

A

y se puede comprobar que A = PJP�1.

Una cuestion que queda para mas adelante es ver quien es eA. Adelantamos la respuesta, aunquesin prueba,

eA = PeJP�1 = P

2

4e�1

0

@1 1 1/20 1 10 0 1

1

A

3

5P�1.

Observacion 5.35 (Calculo efectivo de A = PJP�1 si existen autovalores complejos y sedesean expresiones reales). Aunque en el campo complejo el problema esta cerrado, existe laposibilidad de que se desee solo manejar expresiones reales (de hecho, ese sera el objetivo cuandose busquen las soluciones de las ecuaciones diferenciales).

Cuando aparece en el polinomio caracterıstico una raız compleja � = ↵ + i�, si el problemaera intrınsecamente real, A 2 L(RN ), y por tanto los coeficientes del polinomio caracterıstico eranreales, se tiene que � = ↵� i� es tambien autovalor.

En tal caso habra cajas tanto de la forma Jn(�) como Jn(�). Ambas se pueden sustituir porcajas del siguiente tipo:

eJn(�) = D =✓↵ �� ↵

◆si n = 1.

Y en caso de que n > 1, por cajas de la forma

eJn(�) = eD =

0

BBBBB@

D I2

D I2

. . . . . .D I

2

D

1

CCCCCA= diag(D, . . . , D) + H2

2n,

donde la matriz D, introducida en el caso anterior, se repite n veces.

Veamos de forma concreta como obtener una forma de Jordan modificada y con elementosexclusivamente reales.

Ejemplo 5.36. Calcular la descomposicion de Jordan de la matriz

A =

0

BB@

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1�1 0 �2 0

1

CCA .



Primero calculamos los autovalores (desarrollamos el determinante usando el primer y cuartoelementos de la primera columna):

|A� �I| =

��

�� 1 0 00 �� 1 00 0 �� 1�1 0 �2 ��

��= ��

��

�� 1 00 �� 10 �2 ��

��+

��

1 0 0�� 1 00 �� 1

��

= ��(��3 � 2�) + 1 = �2(�2 + 2) + 1 = �4 + 2�2 + 1 = (�2 + 1)2.

Por tanto los autovalores son � = ±i, ambos con multiplicidad dos.Operando en principio en el cuerpo de los numeros complejos, el numero de cajas asociadas al

autovalor i, denotado si, essi = 4� r

1

= 4� rg(A� iI).

Se comprueba que

rg(A� iI) = rg

0

BB@

�i 1 0 00 �i 1 00 0 �i 1�1 0 �2 �i

1

CCA = 3,

con lo que si = 1, es decir, existe una unica caja, y como por simetrıa ocurre lo mismo para elautovalor conjugado, se tiene que

J2

(i) =✓

i 10 i

◆, J

2

(�i) =✓ �i 1

0 �i

◆.

Por tanto, la forma de Jordan real modificada sera

eJ =

0

BB@

0 �1 1 01 0 0 10 0 0 �10 0 1 0

1

CCA =✓

D I2

D

◆con D =

✓↵ �� ↵

◆.

Queremos obtener una descomposicion de la forma A = P eJP�1. Ponemos P por columnas ydesarrollamos el sistema de relaciones que deben cumplirse como antes, para que se tenga AP =P eJ.

A�p1

��p2

��p3

��p4

�=�p1

��p2

��p3

��p4

�

0

BB@

0 �1 1 01 0 0 10 0 0 �10 0 1 0

1

CCA =�p2

�� p1

��p1

+ p4

��p2

� p3

�.

Ap1

= p2

Ap2

= �p1

Ap3

= p1

+ p4

Ap4

= p2

� p3

)A2p

1

= �p1

) (A2 + I)p1

= 0 ) p1

2 ker(A2 + I),

A2p3

= Ap1

+ Ap4

= p2

+ p2

� p3

) (A2 + I)p3

= 2p2

.

Por tanto, el plan que seguiremos sera hallar p1

2ker(A2+I), y entonces Ap1

= p2

. A continuacioncalcularemos p

3

de la ecuacion (A2 + I)p3

= 2p2

, y entonces finalmente usaremos Ap3

= p1

+ p4

para despejar p4

.

A2 =

0

BB@

0 0 1 00 0 0 1�1 0 �2 00 �1 0 �2

1

CCA ) A2 + I =

0

BB@

1 0 1 00 1 0 1�1 0 �1 00 �1 0 �1

1

CCA .



Se comprueba que

ker(A2 + I) = h

0

BB@

10�10

1

CCA ,

0

BB@

010�1

1

CCAi.

Tomando por ejemplo

p1

=

0

BB@

10�10

1

CCA ,

se tiene que

Ap1

= p2

=

0

BB@

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1�1 0 �2 0

1

CCA

0

BB@

10�10

1

CCA =

0

BB@

0�101

1

CCA .

Calculamos (A2 + I)p3

= 2p2

,

0

BB@

1 0 1 00 1 0 1�1 0 �1 00 �1 0 �1

1

CCA

0

BB@

x1

x2

x3

x4

1

CCA =

0

BB@

0�202

1

CCA .

Una posible solucion del sistema ⇢x

1

= �x3

,x

2

= �2� x4

,

es

p3

=

0

BB@

000�2

1

CCA .

Entonces,

p4

= Ap3

� p1

=

0

BB@

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1�1 0 �2 0

1

CCA

0

BB@

000�2

1

CCA�

0

BB@

10�10

1

CCA =

0

BB@

00�20

1

CCA�

0

BB@

10�10

1

CCA =

0

BB@

�10�10

1

CCA ,

con lo que concluimos que

P =

0

BB@

1 0 0 �10 �1 0 0�1 0 0 �10 1 �2 0

1

CCA .

Proposicion 5.37 (Matriz exponencial a partir de la descomposicion de Jordan). SiA 2 L(CN ) y A = PJP�1 es su descomposicion de Jordan, entones eA = PeJP�1.

Demostracion.

eA =1X

n=0

An

n!=

1X

n=0

(PBP�1)n

n!=

1X

n=0

PBnP�1

n!= P

1X

n=0

Bn

n!P�1

donde en la ultima igualdad hemos empleado la continuidad del producto.

Proposicion 5.38 (Matriz exponencial de la forma Jordan real o compleja). Bajo lashipotesis y notacion anteriores, el calculo de la exponencial de la matriz de Jordan es como sigue:



a) Si J = �IN + HN , entonces

eJ = e�IN +11!

e�HN +12!

e�H2

N +1

(N � 1)!e�H

(N�1)

N = e�

0

BBBBBBBBBB@

111!

12!

. . .1

(N � 1)!

111!

. . . 1(N � 2)!

. . . . . ....

. . ....1

1

CCCCCCCCCCA

.

b) Si J = diag(Jn1(�1

), . . . , Jnk(�k)), entonces eJ =diag�eJn1 (�1), . . . , eJnk

(�k)

�.

Demostracion. a) Como IN y HN conmutan, se tiene que eJ = e�IN+HN = e�IN eHN . Ahora bien,

e�IN =1X

n=0

(�IN )n

n!=

1X

n=0

�n

n!IN = e�IN .

eHN =1X

n=0

HnN

n!=

N�1X

n=0

HnN

n!pues Hn

N = 0 8n � N.

b) El resultado sigue de la igualdad Jn =diag((Jn1(�1

))n, . . . , (Jnk(�k))n) .

Proposicion 5.39 (Exponencial de una forma de Jordan real a partir de autovalorescomplejos). Bajo las hipotesis y notacion anteriores, el calculo de la exponencial de la matriz deJordan real a partir de autovalores complejos es como sigue:

a) Sea

D = ↵I2

+ �

✓0 �11 0

◆.

EntonceseD = e↵

✓cos� � sen�sen� cos�

◆.

b) Sea

eD =

0

B@D I

2

D I2

. . . . . .

1

CA = diag(D, . . . , D) + H2

2n.

Entonces

eeD =

0

BBBBBBBBB@

eD 11!

eD 12!

eD . . .1

(n� 1)!eD

eD 11!

eD . . .1

(n� 2)!eD

. . . . . ....

. . ....

eD

1

CCCCCCCCCA

.

Demostracion. Como I2

conmuta con cualquier matriz,

eD = exp↵I

2

+ �

✓0 �11 0

◆�

= e↵I2exp�

✓0 �11 0

◆�= e↵exp

�

✓0 �11 0

◆�.


101 5.4. SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES

Ahora bien, se tiene que

exp�

✓0 �11 0

◆�=

1X

n=0

�n

n!

✓0 �11 0

◆n

=1X

k=0

�2k

(2k)!

✓0 �11 0

◆2k

+1X

k=0

�2k+1

(2k + 1)!

✓0 �11 0

◆2k+1

=1X

k=0

�2k

(2k)!

✓(�1)k 0

0 (�1)k

◆+

1X

k=0

�2k+1

(2k + 1)!

✓0 (�1)k+1

(�1)k 0

◆2k+1

=✓

cos� � sen�sen� cos�

◆.

b) Las matrices diag(D, . . . , D) y H2

2n conmutan, por tanto

eeD = ediag(D,...,D)eH2

2n = diag(eD, . . . , eD)n�1X

k=0

1k!

H2k2n,

de donde se concluye la expresion del enunciado.

5.4. Sistemas diferenciales lineales con coeficientes constan-tes

Como se avanzo ya con anterioridad, la justificacion de todo el calculo de exponenciales matri-ciales desarrollado en la seccion previa se encuentra aquı. En el caso A 2 L(CN ), la solucion dels.d.o.l. y0 = Ay estara relacionada con exA.

Proposicion 5.40. La funcion F : R ! L(CN ) : x 7! exA verifica

a) F 2 C1(R;L(CN )),

b) F 0(x) = AF (x) 8x 2 R.

Demostracion. Por un resultado previo (cf. Proposicion 5.4) basta ver que

F 2 C(R;L(CN )) y que lım"!0

��F (x + ")� F (x)

"�AF (x)

��L(CN

)

= 0 8x 2 R.

Aplicando propiedades anteriores sobre la funcion exponencial matricial se tiene

F (x + ")� F (x) = e(x+")A � exA = exAe"A � exA = exA�e"A � I

�.

Si tomamos una norma matricial, se tendra que

kF (x + ")� F (x)k kexAkke"A � Ik.Si a esto unimos la siguiente acotacion,

ke"A � Ik =

��

1X

n=1

"n

n!An

�� 1X

n=1

|"|nn!kAkn

|"|kAk1X

n=1

|"|n�1

n!kAkn�1 |"|kAke|"|kAk,

usando la continuidad de la exponencial y haciendo tener " a cero, se concluye la prueba de lacontinuidad de F.



Veamos la segunda parte:��

F (x + ")� F (x)"

�AF (x)��L(CN

)

=1|"|��e(x+")A � exA � "AexA

��L(CN

)

1|"|��exA(e"A � I � "A)

��L(CN

)

1|"|ke

xAkL(CN)

��e"A � I � "A��L(CN

)

.

Usando de nuevo el desarrollo en serie de la exponencial, se tiene

��e"A � I � "A�� =

��

1X

n=2

"n

n!An

�� 1X

n=2

|"|nn!kAkn

= |"|2kAk21X

n=2

|"|n�2

n!kAkn�2 |"|2kAk2e|"|kAk.

Uniendolo todo, se deduce que��

F (x + ")� F (x)"

�AF (x)�� kexAk|"|kAk2e|"|kAk ! 0 si "! 0.

Observacion 5.41.

1. La expresion exA no es solo una matriz solucion de Y 0 = A(x)Y, sino que es matriz funda-mental de y0 = Ay, ya que es invertible, con inversa (exA)�1 = e�xA.

2. Si A 2 L(CN ), b 2 C(I; CN ), x0

2 I, y0

2 CN , entonces la solucion maximal del

(PC)⇢

y0 = Ay + b(x),y(x

0

) = y0

,

viene dada por '(x, x0

, y0

) = e(x�x0)Ay0

+R x

x0e(x�s)Ab(s)ds 8x 2 I.

3. Si se tiene la descomposicion de Jordan A = PJP�1, entonces exA = PexJP�1. Los casosposibles que se pueden plantear (vistos ya en proposiciones anteriores) son:

J = �IN + HN N > 1 ) exJ = e�x

0

BBBBBBBBBB@

1x

1!x2

2!. . .

xN�1

(N � 1)!

0 1x

1!. . .

xN�2

(N � 2)!. . . . . .

.... . .

...1

1

CCCCCCCCCCA

,

J = diag(Jn1(�1

), . . . , Jnk(�k)) ) exJ = diag(exJn1 (�1), . . . , exJnk(�k)),

D =✓↵ �� ↵

◆) exD = e↵x

✓cos(�x) � sen(�x)sen(�x) cos(�x)

◆.

4. Los elementos de la matriz fundamental (en todos los casos posibles) son pij(x)e�ijx, conpij un polinomio (eventualmente identicamente nulo), y �ij un autovalor de A (en principiocomplejo; y si no, puede que aparezcan tambien senos y cosenos).


103 5.5. E.D.O. LINEAL DE ORDEN N CON COEFICIENTES CONSTANTES

5. Junto con el Metodo de Variacion de las Constantes, tambien sigue siendo valida (y util encasos concretos) la combinacion de

El Principio de SuperposicionEl Metodo de los Coeficientes Indeterminados

En este sentido, el resultado general que daremos (sin demostracion) para buscar soluciones esel siguiente.

Teorema 5.42. Dada la ecuacion y0 = Ay + e↵xq(x) con ↵ 2 C, y q 2 Pk[x], i.e. un polinomio enx de grado k, entonces

a) Si ↵ no es autovalor de A, existe una solucion particular de la ecuacion de la forma yp(x) ⇠e↵xr(x) con r 2 Pk[x].

b) Si ↵ es autovalor de A con multiplicidad mınima1 m, entonces existe una solucion particularde la ecuacion de la forma yp(x) ⇠ e↵xr(x) con r 2 Pk+m[x].

5.5. E.D.O. lineal de orden n con coeficientes constantes

Aunque los resultados expuestos en esta seccion no son mas que la traslacion del procesoconsistente en escribir la e.d.o. como sistema, aplicar lo anterior, y particularizar en la primeracomponente, suele ser util (representa un ahorro de tiempo) conocer como aplicarlos directamente.

Consideramos la e.d.o. lineal de orden n con coeficientes constantes

a0

y(n + a1

y(n�1 + . . . + an�1

y0 + any = b(x),

donde en principio permitimos que ai pertenezca a R o a C. Supondremos que a0

6= 0 (luego sinperdida de generalidad podemos ponerlo identicamente uno), y b 2 C(I).

Teorema 5.43 (Sistema fundamental real para e.d.o.l. de coeficientes constantes rea-les). Con las hipotesis y notacion anteriores, sean �

1

, . . . ,�q las raıces reales distintas de p(�) =�n+a

1

�n�1+. . .+an�1

�+an, con multiplicidades m1

, . . . ,mq respectivamente. Sean �q+1

, . . . ,�q+s

las raıces complejas de p(�) agrupadas por conjugadas (�q+j = ↵q+j ± i�q+j ; �q+j 6= 0), con mul-tiplicidades mq+1

, . . . ,mq+s respectivamente (por tantoPq

j=1

mj + 2Ps

j=1

mq+j = n). Entonceslas siguientes n funciones son un sistema fundamental de la e.d.o. lineal homogenea:

8><

>:

'j,k(x) = xke�jx si 1 j q, 0 k mj � 1,

'(1)

j,k(x) = xke↵jx cos(�jx),'

(2)

j,k(x) = xke↵jx sen(�jx),si q + 1 j q + s, 0 k mj � 1.

Demostracion. Como dijimos antes, podemos suponer sin perdida de generalidad que a0

⌘ 1. Dadala e.d.o. lineal homogenea

y(n + a1

y(n�1 + . . . + an�1

y0 + any = 0,

el polinomio caracterıstico de la matriz del s.d.o.l. asociado es

p(�) = �n + a1

�n�1 + . . . + an�1

�+ an.

En C podemos obtener todos los autovalores de la matriz, i.e. todos los ceros de p : existen�

1

, . . . ,�n 2 C tales que p(�) =Qn

k=1

(�� k).Dados los coeficientes ai, es conveniente por comodidad futura introducir el siguiente operador:

L : ' 2 Cn(I) 7! L(') = '(n + a1

'(n�1 + . . . + an�1

'0 + an'. (5.2)1Se llama multiplicidad mınima al menor natural m tal que ker(A� �I)

m= ker(A� �I)

m+1.



Observese que L(e�x) = p(�)e�x. En particular, si tomamos uno de los autovalores �k, i.e. p(�k) =0, entonces 'k(x) = e�kx es solucion (al menos en C).

Veamos de hecho que {'1

, . . . ,'n} es un sistema fundamental de la e.d.o. lineal homogenea:

det

0

B@

'1

. . . 'n

.... . .

...'

(n�1

1

. . . '(n�1

n

1

CA = det

0

BBB@

e�1x . . . e�nx

�1

e�1x . . . �ne�nx

.... . .

...�n�1

1

e�1x . . . �n�1

n e�nx

1

CCCA

= exp

" nX

k=1

�k

!x

#det

0

BBB@

1 . . . 1�

1

. . . �n

.... . .

...�n�1

1

. . . �n�1

n

1

CCCA.

Caso a) Si las n raıces son distintas entre si, entonces el anterior es un determinante de Van derMonde, no nulo por tanto. Ası, {e�1x, . . . , e�nx} es un sistema fundamental de la e.d.o. linealhomogenea.

Caso a.1) Si las n raıces distintas entre si son todas reales, entonces el resultado esta probado,porque claramente dichas funciones son independientes entre si.

Caso a.2) Si las raıces son distintas entre sı, pero hay no solo reales, sino tambien complejas,al tratarse de coeficientes ai 2 R, estaran por pares una raız compleja y su conjugada:�

1

= ↵ + i�, �1

= ↵ � i�. Por tanto, de las soluciones asociadas '1

(x) = e�1x y'

1

(x) = e¯�1x se puede, por medio de combinaciones, obtener otro par de soluciones

independientes entre si, pero estas reales:

12('

1

+ '1

) = e↵x cos(�x),12('

1

� '1

) = e↵x sen(�x).

Caso b) Consideramos ahora la situacion en que hay raıces multiples. Por fijar ideas supondremossimplemente que �

1

= �2

. Sabemos ya que '1

(x) = e�1x es solucion. Veamos que '2

(x) =xe�1x tambien lo es.

En efecto, como '02

(x) = x'01

(x) + '1

(x), '002

(x) = x'001

(x) + 2'01

(x), y en general se deduceque el operador L introducido en (5.2) aplicado a '

2

cumple

'(k2

(x) = x'(k1

(x) + k'(k�1

1

(x) 8k � 1,

se tiene que

L('2

) = '(n2

+nX

k=1

ak'(n�k2

= x'(n1

+ n'(n�1

1

+nX

k=1

ak

⇣x'

(n�k1

+ (n� k)'(n�k�1

1

⌘

= x

"'

(n1

+nX

k=1

ak'(n�k1

#+

"n'

(n�1

1

+nX

k=1

ak(n� k)'(n�k�1

1

#

= xe�1x

"�n

1

+nX

k=1

ak�n�k1

#+ e�1x

"n�n�1

1

+nX

k=1

ak(n� k)�n�k�1

#

= x'1

(x)p(�1

) + '1

(x)p0(�1

) = 0.

Donde la ultima igualdad se ha obtenido por ser �1

raız doble. Por tanto {e�1x, xe�1x} sonsoluciones (claramente) independientes entre si.

Ası, las dos situaciones que cabe estudiar son:


105 5.5. E.D.O. LINEAL DE ORDEN N CON COEFICIENTES CONSTANTES

Caso b.1) Si � es autovalor real con multiplicidad mayor que uno. En tal caso se comprueba(analogamente a lo anterior) que

{e�1x, xe�1x, x2e�1x, . . . , xm�1e�1x}son soluciones de la ecuacion homogenea, y ademas claramente independientes entre si.

Caso b.2) Supongamos que el autovalor con multiplicidad m > 1 es complejo, i.e. �1

= ↵+i�(con � 6= 0), pero al ser los ai 2 R, tambien esta la raız �

1

= ↵�i�. De nuevo, el conjuntode funciones

{e¯�1x, xe¯�1x, x2e

¯�1x, . . . , xm�1e¯�1x}

asociado a dicho autovalor seran soluciones de la ecuacion. Combinando como antes lassoluciones para �

1

y su conjugado, se obtiene el siguiente sistema de soluciones:

{xje↵x cos(�x), xje↵x sen(�x)}0jm�1

.

Para concluir, resta ver que dichas soluciones son linealmente independientes.

Pongamos �1

, . . . ,�r las raıces distintas de p(�) = 0. Y sean m1

, . . . ,mr sus respectivas multipli-cidades.

La idea esencial que usaremos, a pesar de que la notacion de la prueba rigurosa lo haga algoborroso, es que no puede darse la igualdad

p(x) + q(x)e�x = 0 (5.3)

con p y q polinomios no nulos.Formalmente hay que considerar constantes {cij} tales que

c11

e�1x + c12

xe�1x + . . . + c1m1x

m1�1e�1x++c

21

e�2x + c22

xe�2x + . . . + c2m2x

m2�1e�2x + . . .

. . . + cr1e�rx + cr2xe�rx + . . . + crmrx

mr�1e�rx = 0.

Agrupando resultarX

j=1

pj(x)e�jx = 0 en R, con pj 2 Pqj [x], qj mj � 1.

Reordenando si es preciso y quitando los polinomios nulos, quedarX

j=1

pj(x)e�jx = 0 con r r, pj 6⌘ 0, j = 1, 2, . . . , r; gr(pj) = qj mj � 1. (5.4)

Ahora hay que proceder en una serie de pasos.

El caso r = 1 hace imposible que se de la igualdad anterior.

Si r > 1, vamos a manipular la expresion (5.4) hasta llegar a una expresion del tipo (5.3), loque es imposible.En efecto, multiplicando (5.4) por e��1x se obtiene

p1

(x) +rX

j=2

pj(x)e(�j��1)x ⌘ 0.

Derivando q1

+ 1 veces, el termino p1

desaparece y aparecen nuevos polinomios p(1)

j , paraj = 2, . . . , r, con gr(p(1)

j ) = gj , y la expresion

rX

j=2

p(1)

j (x)e(�j��1)x ⌘ 0 en R. (5.5)



Si r = 2 la igualdad vuelve a ser imposible de conseguir.

Si no, seguimos recursivamente: pongamos r > 2, entonces multiplicamos (5.5) por e�(�2��1)x,y derivamos g

2

+ 1 veces, para obtener

rX

j=3

p(2)

j (x)e(�j��2)x ⌘ 0 en R.

Ası sucesivamente hasta llegar a

p(r�1)

r (x)e(�r��r�1)x ⌘ 0 en R.

Con lo que todos los casos son imposibles.

Observacion 5.44. Para hallar la solucion del problema no homogeneo se tienen dos formas:a) Metodo de Variacion de las Constantes: resolvemos el sistema

F (x)C 0(x) =

0

BBB@

0...0

b(x)

1

CCCA,

donde la matriz fundamental F se obtiene directamente del sistema fundamental anterior.

b) La segunda forma consiste en el Metodo de Coeficientes Indeterminados (combinado con elPrincipio de superposicion), cuyo resultado analogo al Teorema 5.42 es el siguiente.

Teorema 5.45. Dada la e.d.o. lineal

a0

y(n + a1

y(n�1 + . . . + an�1

y0 + any = e↵xq(x)

con q 2 Pk[x] y ↵ 2 C, denotamos por p(x) = 0 la ecuacion caracterıstica. Entonces se tiene que

a) Si p(↵) 6= 0, una solucion particular puede ser escogida de la forma yp(x) ⇠ e↵xr(x) conr 2 Pk[x].

b) Si ↵ es una raız de p con multiplicidad m, una solucion particular puede ser escogida de laforma yp(x) ⇠ e↵xr(x) con r 2 Pk+m[x].


Tema 6

Regularidad de las soluciones delproblema de Cauchy. Continuidady derivabilidad respecto de datosiniciales y parametros

En este tema se trataran cuatro cuestiones fundamentalmente.

1. Que es la regularidad de la solucion del (PC) en funcion de la que tenga el termino de laderecha f.

Esta cuestion es relevante, por ejemplo, para profundizar en otras tecnicas de busqueda desoluciones, concretamente soluciones analıticas (se vera en otra asignatura).

2. Comparacion entre soluciones procedentes de datos iniciales parecidos pero no exactamenteiguales. Concretamente, ¿hay continuidad de la solucion con respecto a variaciones en losdatos iniciales, y posibles parametros?La motivacion de la pregunta es obvia: una ecuacion diferencial ha de ser un buen modelodel fenomeno al que intenta representar, y es imprescindible que satisfaga esa condicion decontinuidad respecto datos iniciales y posibles parametros.Otra razon que propicia esta pregunta es que en la practica los datos con que se deseacomputar las soluciones de un experimento suelen incluir pequenos errores. Se trata de algotan inherente al proceso en sı que en vez de hacer referencia al “verdadero” (x

0

, y0

) se tomaotro par (x

0

, y0

), o incluso peor: (x0

, y0

).

3. Tras la anterior, surge otra pregunta: ¿que ocurre si en vez de tener variaciones en los datos,lo que se esta considerando con un ligero error es la funcion del s.d.o.? Pongamos que enlugar de resolver el s.d.o. ideal y0 = f(x, y), tenemos otro termino f parecido a f. Deseamossaber si esto afecta a la solucion del problema, y concretamente si lo hace de forma continua,i.e. si funciones f y f cercanas producen soluciones cercanas.Un caso tambien muy significativo de la utilidad de esta pregunta es el siguiente. Supongamosque una funcion f tiene una expresion compleja, y es por ejemplo analıtica. ¿Es plausibleplantearse aproximar dicha funcion por otra mas simple y esperar que las respectivas solu-ciones de ambos sistemas sigan siendo aun cercanas?

4. La ultima cuestion sera la derivabilidad de la solucion respecto de los datos iniciales y parame-tros. Veremos la utilidad de esta propiedad en el Tema 8 cuando estudiemos el Metodo delas Caracterısticas para resolucion de E.D.P. y otros resultados concernientes a integralesprimeras para s.d.o.

107

108 Tema 6. Regularidad, continuidad y derivabilidad de soluciones

6.1. Regularidad de la solucion del (PC)

En los planteamientos de problemas de Cauchy hechos hasta ahora el requerimiento mınimopara f ha sido continuidad: f 2 C(⌦). Por otro lado, en la definicion de solucion para un (PC) seexige que la solucion sea de clase C1.

En esta seccion veremos que si la f es mas regular, entonces lo mismo le ocurre a la solucionmaximal del (PC). Recuerdese la notacion introducida en el Tema 4 para la solucion global omaximal del (PC) con dato inicial y(x

0

) = y0

: (I(x0

, y0

),'(·, x0

, y0

)).

Teorema 6.1 (Regularidad de la solucion). Sea ⌦ ⇢ RN+1 un abierto no vacıo y f 2Cm(⌦; RN ) con m � 1. Entonces para todo (x

0

, y0

) 2 ⌦ se tiene que la solucion maximal del

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

,

verifica '(·, x0

, y0

) 2 Cm+1(I(x0

, y0

); RN ).

Demostracion. Consideremos fijado un punto (x0

, y0

) 2 ⌦ cualquiera. Al tener f 2 Cm(⌦; RN ),con m � 1, al menos se tiene que f 2 Lip

loc

(y, ⌦). Por tanto existe una unica solucion maximal'(x) := '(x, x

0

, y0

) del (PC) del enunciado.Veamos por induccion que ' tiene la regularidad que se afirma.Caso m = 1. La funcion

I(x0

, y0

) 3 x 7! '0(x) = f(x,'(x))

es composicion de dos funciones,

I(x0

, y0

) 3 x 7! (x,'(x)) 2 ⌦ 7! f(x,'(x)) 2 RN ,

siendo ambas aplicaciones de clase C1. Por tanto, '0 2 C1(I(x0

, y0

); RN ), y entonces ' 2 C2.Damos por valida la hipotesis de induccion para m = k � 1, i.e. si f 2 Ck�1(⌦; RN ), entonces

' 2 Ck(⌦; RN ).Veamos finalmente como deducir el caso m = k. Sabemos, por hipotesis de induccion, que

' 2 Ck, de modo queI(x

0

, y0

) 3 x 7! '0(x) = f(x,'(x)),

que es la composicion de

I(x0

, y0

) 3 x 7! (x,'(x)) 2 ⌦ 7! f(x,'(x)) 2 RN .

Al ser ambas aplicaciones de clase Ck, se deduce que '0 2 Ck(I(x0

, y0

); RN ), y entonces ' 2Ck+1(I(x

0

, y0

); RN ).

Observacion 6.2.

1. Si f 2 Cm(E(x0

, y0

)), siendo E(x0

, y0

) un entorno de (x0

, y0

), entonces la solucion maximaltiene localmente la regularidad anterior, i.e. Cm+1.

2. La traduccion del resultado anterior al caso de una e.d.o. de orden n, a traves del cambiousual de variables, es la siguiente.

Teorema 6.3. Sea ⌦ ⇢ Rn+1 un conjunto abierto no vacıo. Si g 2 Cm(⌦) con m � 1, entoncespara todo (x

0

, y0

, y00

, . . . , y(n�1

0

) 2 ⌦, se tiene que la solucion maximal '(·, x0

, y0

, y00

, . . . , y(n�1

0

) del

(PC)⇢

y(n = g(x, y, y0, . . . , y(n�1),y(x

0

) = y0

, y0(x0

) = y00

, . . . , y(n�1(x0

) = y(n�1

0

,

satisface '(·, x0

, y0

, y00

, . . . , y(n�1

0

) 2 Cm+n(I(x0

, y0

, . . . , y(n�1

0

)).


109 6.2. CONTINUIDAD DE LA SOLUCION RESPECTO DE LOS DATOS INICIALES

6.2. Continuidad de la solucion respecto de los datos inicia-les

En todo lo que sigue se consideran dados ⌦ ⇢ RN+1 abierto no vacıo, f 2 C(⌦; RN ) \Lip

loc

(y, ⌦), (x0

, y0

) 2 ⌦, y el

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

.

Denotamos '(·, x0

, y0

) : I(x0

, y0

) ! RN la unica solucion maximal del (PC) anterior. Introducimostambien la siguiente notacion:

⇥ = {(x, x0

, y0

) 2 RN+2 : (x0

, y0

) 2 ⌦, x 2 I(x0

, y0

)}, (6.1)

que es el conjunto de definicion de la solucion maximal del (PC) vista como funcion de sus tresvariables,

'(·, ·, ·) : (x, x0

, y0

) 2 ⇥ 7! '(x, x0

, y0

) 2 RN .

Teorema 6.4 (Dependencia continua de la solucion respecto de los datos iniciales).Sea f 2 C(⌦; RN ) \ Lip

loc

(y, ⌦). Entonces se verifica que

1. dados (x⇤0

, y⇤0

) 2 ⌦ y a < x⇤0

< b tales que [a, b] ⇢ I(x0

, y0

), para todo " > 0 fijado existe unentorno V" de (x⇤

0

, y⇤0

) tal que

i) V" ⇢ ⌦,

ii) [a, b] ⇢ I(x0

, y0

) 8(x0

, y0

) 2 V",

iii) maxx2[a,b]

|'(x, x0

, y0

)� '(x, x⇤0

, y⇤0

)| " 8(x0

, y0

) 2 V".

2. El conjunto ⇥ definido en (6.1) es abierto no vacıo de RN+2, y ademas '(·, ·, ·) 2 C(⇥; RN ).

Demostracion. Comenzamos probando la primera parte. Consideramos el conjunto compacto novacıo

K = {(x,'(x, x⇤0

, y⇤0

)) 2 RN+1 : x 2 [a, b]} ⇢ ⌦.

Tomamos ahora un valor " > 0 tal que " < d(K, RN+1 \ ⌦) (cf. Proposicion 4.11.) Bastara probarel aserto del teorema para dichos valores de ".

DefinimosA = {(x, y) 2 RN+1 : d((x, y),K) < "}.

Por la continuidad de la aplicacion RN+1 3 (x, y) 7! d((x, y),K) 2 R, se tiene que A es un conjuntoabierto. Obviamente es tambien acotado, y K ⇢ A.

Observemos tambien que si x 2 [a, b],

d((x, y),K) d[(x, y), (x,'(x, x⇤0

, y⇤0

))] = d[y,'(x, x⇤0

, y⇤0

)] = |y � '(x, x⇤0

, y⇤0

)|.Otro conjunto que tendra importancia en el desarrollo de la prueba es

{(x, y) 2 RN+1 : d((x, y),K) "} cerrado, contiene a A y esta contenido en ⌦.

En resumen, se tiene la siguiente cadena de inclusiones:

K ⇢ A ⇢ A compacto ⇢ {(x, y) 2 RN+1 : d((x, y),K) "} ⇢ ⌦.

Notemos por L > 0 a una constante global de Lipschitz para f respecto de y en A. Definimosahora

V" = {(x, y) 2 [a, b]⇥ RN : |y � '(x, x⇤0

, y⇤0

)| < "e�L(b�a)}. (6.2)

Observese que (x⇤0

, y⇤0

) 2�V", con lo que V" es un entorno del punto (x⇤

0

, y⇤0

). Y por las definicionesde K y de A se tiene que

K ⇢ V" ⇢ A ⇢ ⌦.



Con esto se tiene probado el apartado i).

Consideramos ahora cualquier par (x0

, y0

) 2 V", y el

(PC)A

⇢y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

,en A.

Existe una unica solucion maximal en el abierto A del (PC)A, que denotaremos por (I(PC)A

, ),donde I

(PC)A= (↵,�). Evidentemente, como tambien ocurre que ((↵,�), ) es solucion local del

(PC)⌦

⇢y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

,

se tiene que (↵,�) ⇢ I(PC)⌦(x

0

, y0

) = I(x0

, y0

) y que = '(·, x0

, y0

)|(↵,�)

.Veamos que se tiene [↵,�] ⇢ I(x

0

, y0

). En efecto, por propia definicion de como solucion enel abierto A,

⌧ ⇢ A ⇢ A ⇢ ⌦ ) ⌧ ⇢ A ⇢ ⌦.

Por tanto, ⌧ es acotado, y d(⌧+

,⌦) > 0 y d(⌧� ,⌦) > 0, por tanto, aplicando el Teorema 4.14 y elTeorema 4.16 del Tema 4, ((↵,�), ) es prolongable en ⌦ por la derecha y por la izquierda. Estosignifica que

9 lımx!↵+

(x), 9 lımx!��

(x).

Probamos ahora que ↵ < a y que � > b, con lo que se tendra la condicion ii) del teorema, i.e. que[a, b] ⇢ (↵,�) ⇢ I

(PC)⌦(x0

, y0

).

Para probar que ↵ < a, procedemos por reduccion al absurdo. Si fuese �1 < a ↵, entonces[↵, x

0

] ⇢ [a, x0

] y [↵, x⇤0

] ⇢ [a, x⇤0

]. En tal caso podrıamos comparar las soluciones obtenidas ante-riormente en sus respectivos (PC), esto es, las funciones (x) = (x, x

0

, y0

) y '(x) = '(x, x⇤0

, y⇤0

)para todo x 2 (↵, x

0

].

(x)� '(x) = y0

� '(x0

, x⇤0

, y⇤0

) +Z x

x0

f(s, (x))ds�Z x

x0

f(s,'(s))ds.

Como ambos argumentos de f estan en A, usando la Lipschitzianidad global de f en A,

| (x)� '(x)| |y0

� '(x0

, x⇤0

, y⇤0

)| + L

Z x0

x

| (s)� '(s)|ds 8x 2 (↵, x0

].

Aplicando el Lema de Gronwall,

| (x)� '(x)| |y0

� '(x0

, x⇤0

, y⇤0

)|eL(x0�x) |y0

� '(x0

, x⇤0

, y⇤0

)|eL(b�a) 8x 2 (↵, x0

]. (6.3)

Tomando lımite cuando x ! ↵+, como (x0

, y0

) 2 V", se tiene que�� lımx!↵+

(x)� '(↵, x⇤0

, y⇤0

)�� |y

0

� '(x0

, x⇤0

, y⇤0

)|eL(b�a) < ".

Esto implica que T� = {(↵, lımx!↵+ (x))} 2 A. Por consiguiente, es prolongable por la iz-quierda, lo que contradice el hecho de que era una solucion maximal en A.

Una contradiccion similar se obtendrıa por la derecha. Por lo que concluimos que [a, b] ⇢ (↵,�).Ademas, los calculos anteriores que condujeron a la desigualdad (6.3) son validos para todo x 2[a, b], por lo que, denotando ya '(x, x

0

, y0

) = (x), se tiene la condicion iii):

|'(x, x0

, y0

)� '(x, x⇤0

, y⇤0

)| " 8x 2 [a, b].

Para probar la segunda afirmacion del teorema, esto es, que ⇥ ⇢ RN+2 es abierto no vacıo y que' 2 C(⇥; RN ), usaremos la primera parte.


111 6.2. CONTINUIDAD DE LA SOLUCION RESPECTO DE LOS DATOS INICIALES

Sea (x⇤, x⇤0

, y⇤0

) 2 ⇥ dado, i.e. (x⇤0

, y⇤0

) 2 ⌦, y x⇤ 2 I(x⇤0

, y⇤0

). Sean a y b numeros reales talesque [a, b] ⇢ I(x⇤

0

, y⇤0

), con x⇤0

, x⇤ 2 (a, b).Fijado un valor "/2 > 0, existe por el apartado primero un abierto V"/2

⇢ ⌦, entorno de (x⇤0

, y⇤0

),tal que [a, b] ⇢ I(x

0

, y0

) 8(x0

, y0

) 2 V"/2

, y verificandose ademas que

maxx2[a,b]

|'(x, x0

, y0

)� '(x, x⇤0

, y⇤0

)| "/2 8(x0

, y0

) 2 V"/2

. (6.4)

Por otro lado, fijado x⇤, existe un entorno suyo I ⇢ [a, b], tal que por la continuidad de la funcion'(·, x⇤

0

, y⇤0

) se tiene|'(x, x⇤

0

, y⇤0

)� '(x⇤, x⇤0

, y⇤0

)| "/2 8x 2 I. (6.5)

Veamos que I ⇥ V"/2

es un entorno de (x⇤, x⇤0

, y⇤0

) contenido en ⇥, con lo que estara probado que⇥ es abierto.

(x, x0

, y0

) 2 I ⇥ V"/2

) [(x0

, y0

) 2 V"/2

⇢ ⌦, x 2 I ⇢ [a, b] ⇢ I(x0

, y0

)] ) (x, x0

, y0

) 2 ⇥.

Veamos ahora que ' 2 C(⇥; RN ). Dado un " > 0 y un punto (x⇤, y⇤0

, y⇤0

) 2 ⇥, buscamos un entornoU con el cual

|'(x, x0

, y0

)� '(x⇤, x⇤0

, y⇤0

)| " 8(x, x0

, y0

) 2 U.

Consideramos como antes el entorno U = I ⇥ V"/2

3 (x, x0

, y0

). Entonces se tienen las siguientesdesigualdades,

|'(x, x0

, y0

)� '(x⇤, x⇤0

, y⇤0

)| |'(x, x0

, y0

)� '(x, x⇤0

, y⇤0

)| + |'(x, x⇤0

, y⇤0

)� '(x⇤, x⇤0

, y⇤0

)| "

2+"

2= ",

donde las dos ultimas desigualdades se han obtenido aplicando (6.4) y (6.5) respectivamente.

Observacion 6.5. Puede probarse, aunque nosotros no lo haremos, que '(·, ·, ·) 2 Liploc

(⇥; RN ),i.e. para todo (x⇤, x⇤

0

, y⇤0

) 2 ⇥, existe un entorno U suyo, U ⇢ ⇥, y una constante L > 0 tales que

|'(x, x0

, y0

)� '(x, x0

, y0

)| L(|x� x| + |x0

� x0

| + |y0

� y0

|) 8(x, x0

, y0

), (x, x0

, y0

) 2 U.

6.2.1. Continuidad respecto datos iniciales y parametros

A veces es util en la practica considerar s.d.o. como el siguiente

(PC)⇢

y0 = f(x, y,�),y(x

0

) = y0

,

donde � = (�1

, . . . ,�k) son k parametros que aparecen en la funcion f. Supone simplemente darmas libertad a la eleccion de la funcion f variando distintas caracterısticas intrınsecas del experi-mento, que a lo largo del mismo quedaran constantes.

La pregunta que nos hacemos en este bloque del tema es: ¿que ocurre si cambiamos ligeramenteno solo los datos iniciales sino tambien los parametros?

Veremos que podemos sumergir la cuestion en un replanteamiento del problema que lo lleve almarco de la seccion anterior, para poder aplicar el Teorema 6.4 pero incorporando los parametros.

Sea e⌦ ⇢ RN+k+1 un abierto no vacıo, y denotaremos a sus elementos por (x, y,�) 2 e⌦, conx 2 R, y 2 RN y � 2 Rk.

La hipotesis natural para esta situacion es f 2 C(⌦; RN ) \ Liploc

((y,�), ⌦; RN ).La condicion f 2 Lip

loc

((y,�), ⌦; RN ) implica que fijado (x, y, �) 2 e⌦, existe un entorno V ⇢ e⌦de la tripleta (x, y, �) y existe una constante L > 0 tales que

|f(x, y1

,�1

)� f(x, y2

,�2

)| L(|y1

� y2

| + |�1

� �2

|) 8(x, y1

,�1

), (x, y2

,�2

) 2 V.



Dado � 2 Rk, tambien resultara conveniente introducir la notacion

⌦� = {(x, y) 2 RN+1 : (x, y,�) 2 e⌦} ⇢ RN+1.

El conjunto ⌦� es un abierto (eventualmente vacıo). Si ⌦� 6= ;, se define

f�(x, y) = f(x, y,�) 8(x, y) 2 ⌦�.

De este modo se tiene que f� 2 C(⌦�; RN ) \ Liploc

(y, ⌦�).Finalmente, fijado un �

0

2 Rk con ⌦�0 6= ; y (x0

, y0

) 2 ⌦�0 , tiene sentido plantear el siguienteproblema de Cauchy

(PC)⇢

y0 = f�0(x, y),y(x

0

) = y0

,en ⌦�0 .

A su solucion maximal se la denotara '(·, x0

, y0

,�0

), y su intervalo maximal de definicion (abierto)sera notado I(x

0

, y0

,�0

).Definimos entonces el conjunto

e⇥ = {(x, x0

, y0

,�0

) 2 RN+k+2 : (x0

, y0

) 2 ⌦�0 , x 2 I(x0

, y0

,�0

)}. (6.6)

Ası, la solucion maximal del (PC) anterior tiene sentido sobre e⇥ como funcion ' : (x, x0

, y0

,�0

) 7!'(x, x

0

, y0

,�0

) 2 RN .

Teorema 6.6 (Dependencia continua respecto datos iniciales y parametros). Sean e⌦ ⇢RN+k+1 un abierto no vacıo y f 2 C(e⌦; RN )\Lip

loc

((y,�), e⌦; RN ). Entonces se tienen las siguien-tes propiedades.

1. Dados (x⇤0

, y⇤0

,�⇤0

) 2 e⌦ y a < x⇤0

< b tales que [a, b] ⇢ I(x⇤0

, y⇤0

,�⇤0

), para cada " > 0 fijado,existe un entorno V" de (x⇤

0

, y⇤0

,�⇤0

) tal que

(i) V" ⇢ e⌦,

(ii) [a, b] ⇢ I(x0

, y0

,�0

) 8(x0

, y0

,�0

) 2 V",

(iii) maxx2[a,b]

|'(x, x0

, y0

,�0

)� '(x, x⇤0

, y⇤0

,�⇤0

)| " 8(x0

, y0

,�0

) 2 V".

2. El conjunto e⇥ definido por (6.6) es abierto no vacıo y ademas ' 2 C(e⇥; RN ).

Demostracion. Si en RN+k+1 se usa la notacion (x, z) = (x, y,�) y definimos tambien

F (x, z) =✓

f(x, y,�)0

◆,

entonces el resultado sigue de aplicar el Teorema 6.4 al

(PC)⇢

z0 = F (x, z),z(x

0

) = z0

= (y0

,�0

).

Observacion 6.7. Analogamente a la Observacion 6.5, se podrıa probar con las mismas hipotesisque ' 2 Lip

loc

(e⇥; RN ).


113 6.3. COMPARACION DE SOLUCIONES DE (PC) CON ECUACIONES PARECIDAS

6.3. Comparacion de soluciones de (PC) con ecuaciones pa-recidas

Damos a continuacion respuesta a la tercera pregunta con que iniciabamos el tema. Supongamosdos sistemas diferenciales ordinarios con miembros de la derecha similares entre si. Nos preguntamossi los respectivos (PC) generan soluciones tambien parecidas en un intervalo finito donde ambasesten definidas.

Teorema 6.8. Sean ⌦ ⇢ RN+1 un abierto no vacıo, (x0

, y0

) 2 ⌦, f 2 C(⌦; RN ) \ Liploc

(y, ⌦) yg 2 C(⌦; RN ). Consideramos los siguientes problemas:

(PC)f

⇢y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

,(PC)g

⇢y0 = g(x, y),y(x

0

) = y0

.

Denotamos por '(x, x0

, y0

) la solucion maximal de (PC)f , y por a una solucion (en principiono hay unicidad) de (PC)g. Ambas soluciones estan al menos definidas sobre un mismo intervalocompacto I� = [x

0

� �, x0

+ �].Si se cumple que |f(x, y) � g(x, y)| M 8(x, y) 2 (I� ⇥ RN ) \ ⌦, entonces existe L > 0 tal

que|'(x, x

0

, y0

)� (x)| �MeL|x�x0| 8x 2 I�.

Demostracion. Considerese el compacto

K = {(x,'(x, x0

, y0

)) : x 2 I�}[

{(x, (x)) : x 2 I�}.

Sea L > 0 una constante de Lipschitz global para f en K respecto de y. Entonces

|'(x, x0

, y0

)� (x)| =��Z x

x0

[f(s,'(s, x0

, y0

))� g(s, (s))]ds

��

��Z x

x0

[f(s,'(s, x0

, y0

))� f(s, (s))]ds

��+��Z x

x0

[f(s, (s))� g(s, (s))]ds

��

L

Z x

x0

|'(s, x0

, y0

)� (s)|ds + M�.

Ahora el resultado sigue de aplicar el Lema de Gronwall.

Observacion 6.9.

1. La acotacion anterior sirve para cualquier solucion del (PC)g.

2. Conjugando el resultado anterior sobre pequenas variaciones en las funciones del s.d.o. conlos de la seccion anterior, con pequenas variaciones en los datos, se obtiene que pequenasvariaciones en ambos, funcion del s.d.o. y en los datos y/o parametros, producen, al menoslocalmente, soluciones cercanas.

6.4. Derivabilidad de la solucion respecto datos iniciales yparametros

6.4.1. Comentarios preliminares. Desarrollo heurıstico

Sea ⌦ ⇢ RN+1 un abierto no vacıo, y (x0

, y0

) 2 ⌦. Dada una funcion f 2 C(⌦; RN ) \Lip

loc

(y, ⌦), se considera el

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

,



cuya solucion maximal ' 2 C(⇥; RN ), segun hemos visto antes en el Teorema 6.4. De hecho, yase vio en la primera seccion de este tema que la regularidad en la primera variable de ' es mayor,concretamente al menos de clase C1, pues

@'

@x(x, x

0

, y0

) = f(x,'(x, x0

, y0

))

es composicion de dos aplicaciones continuas,

⇥ 3 (x, x0

, y0

) 7! (x,'(x, x0

, y0

)) 7! f(x,'(x, x0

, y0

)) 2 RN .

El objetivo de esta seccion es obtener un resultado similar para@'

@x0

y@'

@y0j

.

Damos una breve introduccion heurıstica al tipo de resultado que probaremos, y para ello

supondremos que existe@f

@y2 C(⌦;L(RN )). Bajo esta hipotesis se tiene directamente que f 2

Liploc

(y, ⌦).

Supongamos que existen las derivadas parciales@'

@x0

y@'

@y0j

, y mas aun, que existen las deriva-

das cruzadas y son iguales. Entonces, derivando formalmente, vamos a ver que sistema diferencialdeben verificar dichas expresiones.

@

@x

@'

@x0

(x, x0

, y0

)�

=@

@x0

@'

@x(x, x

0

, y0

)�

=@

@x0

f(x,'(x, x0

, y0

)) =@f

@x(x,'(x, x

0

, y0

))@'

@x0

(x, x0

, y0

).

Analogamente

@

@x

@'

@y0j

(x, x0

, y0

)�

=@

@y0j

@'

@x(x, x

0

, y0

)�

=@

@y0j

f(x,'(x, x0

, y0

)) =@f

@y(x,'(x, x

0

, y0

))@'

@y0j

(x, x0

, y0

).

Si unimos a estas derivadas formales, las identidades de los datos iniciales, tenemos que

'(x0

, x0

, y0

) = x0

) @'

@y0j

(x, x0

, y0

)��x=x0

= ej ,

donde ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) 2 RN es el vector que tiene un 1 en la posicion j y cero en el restode componentes.

De forma similar podemos deducir un valor inicial para las derivadas respecto de x0

:

@'

@x0

(x, x0

, y0

)��x=x0

= lım"!0

'(x0

, x0

+ ", y0

)� '(x0

, x0

, y0

)"

= lım"!0

1"

Z x0

x0+"

f(s,'(s, x0

+ ", y0

))ds, (6.7)

donde para la ultima igualdad hemos usado que '(·, x0

+", y0

) verifica la ecuacion diferencial y que'(x

0

, x0

, y0

) = '(x0

+ ", x0

+ ", y0

). Si ahora usamos el Teorema del Valor Medio para la ultimaexpresion en (6.7), tenemos que

@'

@x0

(x, x0

, y0

)��x=x0

= lım"!0

1"(�")f(x

0

+ ✓",'(x0

+ ✓", x0

+ ", y0

)) = �f(x0

, y0

).

Por tanto, en principio formalmente, concluimos que

@'

@x0

(x, x0

, y0

) = w0

(x, x0

, y0

) y@'

@y0j

(x, x0

, y0

) = wj(x, x0

, y0

), j = 1, . . . , N,


115 6.4. DERIVABILIDAD RESPECTO DATOS INICIALES Y PARAMETROS

donde las funciones w0

, wj con j = 1, . . . , N, son soluciones del siguiente problema

(PC)

8><

>:

w0i(x) =@f

@y(x,'(x, x

0

, y0

))wi(x), i = 0, . . . , N,

w0

(x0

) = �f(x0

, y0

),wi(x0

) = ei, i = 1, . . . , N.

(6.8)

El sistema (6.8) se llama sistema lineal variacional asociado al s.d.o. y0 = f(x, y).

Ahora establecemos y probamos de forma rigurosa el resultado.

Teorema 6.10 (Derivabilidad respecto de datos iniciales). Sea ⌦ ⇢ RN+1 un abierto novacıo, f 2 C(⌦; RN ) tal que existe @f

@y (x, y) 2 C(⌦;L(RN )). Entonces se cumplen las siguientespropiedades.

1. La solucion maximal ' 2 C1(⇥; RN ).

2. Fijado (x⇤0

, y⇤0

) 2 ⌦, para cada x 2 I(x⇤0

, y⇤0

) se tiene que

@'

@x0

(x, x⇤0

, y⇤0

) = w0

(x, x⇤0

, y⇤0

),@'

@y0j

(x, x⇤0

, y⇤0

) = wj(x, x⇤0

, y⇤0

), j = 1, . . . , N,

donde {wi}i=0,...,N son las soluciones del s.d.o. lineal variacional y los datos iniciales dadosen (6.8).

3. Existen las siguientes derivadas cruzadas, coinciden, y ademas son continuas en ⇥ :

@2'

@x@x0

=@2'

@x0

@x2 C(⇥; RN ),

@2'

@x@y0j

=@2'

@y0j@x

2 C(⇥; RN ), j = 1, . . . , N.

Demostracion. Veamos primero que los apartados 1 y 3 son consecuencia del apartado 2.En efecto, si aplicamos el teorema de continuidad de la solucion respecto de los datos iniciales,

al ser@'

@x0

y@'

@y0j

soluciones de un s.d.o. (con las hipotesis que se pedıan en el Teorema 6.4), se

tiene que@'

@x0

,@'

@y0j

2 C(⇥; RN ).

Esto prueba el apartado 1, supuesto que el apartado 2 es cierto.

Por otra parte, como@'

@x(x, x⇤

0

, y⇤0

) = f(x,'(x, x⇤0

, y⇤0

)), y estamos suponiendo que el apartado2 es cierto, se puede derivar respecto de x

0

,

9 @

@x0

@'

@x(x, x⇤

0

, y⇤0

)�

=@

@x0

f(x,'(x, x⇤0

, y⇤0

)) =@f

@y(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

))@'

@x0

(x, x⇤0

, y⇤0

) 2 C(⇥; RN ).

Con la otra derivada cruzada utilizamos el hecho de que la parcial respecto x0

verifica el s.d.o.lineal variacional:

9 @

@x

@'

@x0

(x, x⇤0

, y⇤0

)�

=@f

@y(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

))@'

@x0

(x, x⇤0

, y⇤0

) 2 C(⇥, RN ).

Por tanto concluimos que ambas derivadas cruzadas son iguales (las derivadas cruzadas respectode x y respecto de y

0j son analogas), y se tiene la regularidad requerida, o sea, el apartado 3 delenunciado.



Ahora probamos el apartado 2. En realidad solo lo haremos para@'

@x0

, la comprobacion para

las otras derivadas parciales@'

@y0j

se hace de manera similar).

Sea (x⇤, x⇤0

, y⇤0

) 2 ⇥ fijado. Consideramos tambien a < b tales que x⇤0

, x⇤ 2 (a, b) ⇢ I(x⇤0

, y⇤0

),y el compacto K = {(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

)) : x 2 [a, b]}. Sea " > 0 tal que " < d(K, RN+1 \ ⌦), y con[x⇤

0

� ", x⇤0

+ "] ⇢ (a, b).Por el Teorema 6.4 de continuidad respecto de datos iniciales sabemos que existen un entorno V"

de (x⇤0

, y⇤0

) y � > 0 (sin perdida de generalidad � < ") tales que B((x⇤0

, y⇤0

), �) ⇢ V", y verificandose

(x0

, y0

) 2 B((x⇤0

, y⇤0

), �) implica que (x0

, y0

) 2 ⌦,

[a, b] ⇢ I(x0

, y0

) 8(x0

, y0

) 2 B((x⇤0

, y⇤0

), �),

maxx2[a,b]

|'(x, x0

, y0

)� '(x, x⇤0

, y⇤0

)| " 8(x0

, y0

) 2 B((x⇤0

, y⇤0

), �).

Queremos calcular

@'

@x0

(x, x⇤0

, y⇤0

) = lımh!0

'(x, x⇤0

+ h, y⇤0

)� '(x, x⇤0

, y⇤0

)h

. (6.9)

Definimos para cada x 2 [a, b] y |h| � la funcion

(x, h) = '(x, x⇤0

+ h, y⇤0

)� '(x, x⇤0

, y⇤0

). (6.10)

Por los comentarios anteriores, esta funcion esta bien definida, y de hecho es continua en [a, b] ⇥[��, �]. Buscamos otra expresion para (x, h) para poder calcular la derivada parcial (6.9).

Para ello, primero observemos que tiene las siguientes propiedades:

a) (x, 0) = 0 8x 2 [a, b].

b) | (x, h)| " 8(x, h) 2 [a, b]⇥ [��, �], por la eleccion de V".

c) (x,'(x, x⇤0

, y⇤0

) + s (x, h)) 2 ⌦ para toda tripleta (x, h, s) 2 [a, b] ⇥ [��, �] ⇥ [0, 1]. Esto esdebido a que

d[(x,'(x, x⇤0

, y⇤0

) + s (x, h)),K] d[(x,'(x, x⇤0

, y⇤0

) + s (x, h)), (x,'(x, x⇤0

, y⇤0

))]= |s (x, h)| s" ".

Veamos como obtener una nueva expresion para (x, h) a traves de cierta ecuacion diferencial.Fijamos h 2 [��, �]. Tenemos que (·, h) 2 C1([a, b]) siendo

@

@x(x, h) =

@'

@x(x, x⇤

0

+ h, y⇤0

)� @'

@x(x, x⇤

0

, y⇤0

)

= f(x,'(x, x⇤0

+ h, y⇤0

))� f(x,'(x, x⇤0

, y⇤0

)), 8x 2 [a, b].

Fijados h 2 [��, �] y x 2 [a, b] definimos

g(s) = f(x,'(x, x⇤0

, y⇤0

) + s (x, h)) 2 C1([0, 1]).

Tenemos queg(0) = f(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

)),

g(1) = f(x,'(x, x⇤0

, y⇤0

) + (x, h)) = f(x,'(x, x⇤0

+ h, y⇤0

)).

Como g(1)� g(0) =R

1

0

g0(s)ds, resulta que

@

@x(x, h) = g(1)� g(0) =

Z1

0

g0(s)ds

=Z

1

0

@f

@y(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

) + s (x, h))ds

� (x, h).



Denotamos para x 2 [a, b] y h 2 [��, �],

B(x, h) =Z

1

0

@f

@y(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

) + s (x, h))ds.

Se tiene que B 2 C([a, b]⇥ [��, �];L(RN )). Ası, (x, h) es solucion del s.d.o. w0(x) = B(x, h)w(x).Veamos ahora que satisface como condicion inicial.

(x⇤0

, h) = '(x⇤0

, x⇤0

+ h, y⇤0

)� '(x⇤0

, x⇤0

, y⇤0

)= '(x⇤

0

, x⇤0

+ h, y⇤0

)� y⇤0

= �['(x⇤0

+ h, x⇤0

+ h, y⇤0

)� '(x⇤0

, x⇤0

+ h, y⇤0

)]

= �h

Z1

0

@'

@x(x⇤

0

+ sh, x⇤0

+ h, y⇤0

)ds

= �h

Z1

0

f(x⇤0

+ sh,'(x⇤0

+ sh, x⇤0

+ h, y⇤0

))ds.

Denotamos

r(h) =Z

1

0

[f(x⇤0

, y⇤0

)� f(x⇤0

+ sh,'(x⇤0

+ sh, x⇤0

+ h, y⇤0

))]ds.

Resulta ası que (x⇤0

, h) = h[r(h)� f(x⇤0

, y⇤0

)], y que r verifica dos propiedades:

1. r 2 C([��, �]), debido a la continuidad de la solucion ' respecto datos iniciales, que aquı sonparametros bajo el signo integral.

2. lımh!0

r(h) = 0 (por el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue).

Tenemos por tanto que (x, h) es la unica solucion del

(PC)⇢

w0(x) = B(x, h)w(x),w(x

0

) = h[r(h)� f(x⇤0

, y⇤0

)]. (6.11)

Vamos a manipular este s.d.o. para obtener la propiedad que queremos sobre su solucion (x, h).Denotemos �(x, h) = (�1(x, h) |�2(x, h) | . . . |�N (x, h)) la matriz cuya columna �j(x, h) es

solucion del(PC)

⇢w0(x) = B(x, h)w(x),w(x⇤

0

) = ej j = 1, . . . , N.

Ası se tiene que � 2 C([a, b]⇥ [��, �];L(RN )), y que �(x⇤0

, h) =Id. Veamos ahora que

b (x, h) = h�(x, h)[r(h)� f(x⇤0

, y⇤0

)]

es solucion del (PC) dado en (6.11).En efecto,

b 0(x, h) = h�0(x, h)[r(h)� f(x⇤0

, y⇤0

)]= hB(x, h)�(x, h)[r(h)� f(x⇤

0

, y⇤0

)]

= B(x, h) b (x, h).

Ademas, b (x⇤0

, h) = h�(x⇤0

, h)[r(h)� f(x⇤0

, y⇤0

)] = h[r(h)� f(x⇤0

, y⇤0

)].Por la unicidad de solucion tenemos que (x, h) = (x, h). Por tanto

(x, h)h

= �(x, h)[r(h)� f(x⇤0

, y⇤0

)].

Se comprueba entonces que

lımh!0

(x, h)h

= lımh!0

�(x, h)[r(h)� f(x⇤0

, y⇤0

)] = ��(x, 0)f(x⇤0

, y⇤0

), 8x 2 [a, b].



Recordemos que nuestro objetivo era calcular la expresion (6.9), que esta directamente relacionadacon la definicion de dada en (6.10). Ası, hemos llegado a que

9 @'

@x0

(x, x⇤0

, y⇤0

) = ��(x, 0)f(x⇤0

, y⇤0

) 8x 2 [a, b].

Finalmente, vemos quien es por propia definicion de � la funcion

w(x) = ��(x, 0)f(x⇤0

, y⇤0

).

Se tiene que la derivada vale

w0(x) = ��0(x, 0)f(x⇤0

, y⇤0

) = �B(x, 0)�(x, 0)f(x⇤0

, y⇤0

) = B(x, 0)w(x), (6.12)

y la condicion inicial satisfecha es

w(x⇤0

) = ��(x⇤0

, 0)f(x⇤0

, y⇤0

) = �f(x⇤0

, y⇤0

). (6.13)

La funcion

B(x, 0) =Z

1

0

@f

@y(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

) + s (x, 0))ds

=Z

1

0

@f

@y(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

)ds =@f

@y(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

). (6.14)

Sustituyendo (6.14) en (6.12) y la condicion inicial (6.13) se tiene el s.d.o. lineal variacional delenunciado del teorema, lo que termina la prueba.

Al igual que ocurrio con la continuidad respecto de los datos iniciales, que podıa usarse paratratar el caso de dependencia continua respecto de datos iniciales y parametros, sumergiendo elproblema en otro del primer tipo (cf. Teorema 6.6), se puede usar el Teorema 6.10 para establecerel siguiente resultado.

Teorema 6.11 (Derivabilidad respecto de condiciones iniciales y parametros). Sea e⌦ ⇢RN+k+1 un abierto no vacıo, y f 2 C(e⌦; RN ) tal que existe

@f

@y2 C(⌦;L(RN )) y existe

@f

@�2

C(e⌦;L(RK ; RN )). Entonces, denotando ⌦�0 = {(x, y) : (x, y,�0

) 2 e⌦}, si ⌦�0 6= ;, las solucionesdel

(PC)⇢

y0 = f(x, y,�0

),y(x

0

) = y0

,en ⌦�0 ,

verifican

1. '(·, ·, ·, ·) 2 C1(e⇥; RN ), donde e⇥ viene definido por (6.6).

2. Fijado (x⇤0

, y⇤0

,�⇤0

) 2 e⌦, para cada x 2 I(x⇤0

, y⇤0

,�⇤0

), se tiene que

@'

@x0

(x, x⇤0

, y⇤0

,�⇤0

) = w0

(x, x⇤0

, y⇤0

),@'

@y0j

(x, x⇤0

, y⇤0

) = wj(x, x⇤0

, y⇤0

), j = 1, . . . , N,

donde {wi}i=0,...,N son las soluciones del s.d.o. lineal variacional con datos iniciales analogosa (6.8), en concreto,

8><

>:

w0i(x) =@f

@y(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

,�⇤0

))wi(x), i = 0, . . . , N,

w0

(x⇤0

) = �f(x⇤0

, y⇤0

),wi(x⇤

0

) = ei, i = 1, . . . , N,



y las derivadas parciales respecto de las coordenadas parametricas vienen dadas por✓@'

@�0j

, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0◆>

= wN+j(x, x⇤0

, y⇤0

,�⇤0

) j = 1, . . . , k,

donde las funciones {wj}j=N+1,...,N+k son (con valores en RN+k) soluciones del8>><

>>:

w0N+j(x) =

0

@@f

@y(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

,�⇤0

),�⇤0

)@f

@�(x,'(x, x⇤

0

, y⇤0

,�⇤0

),�⇤0

)

0k⇥(N+k)

1

AwN+j(x),

w(x⇤0

) = eN+j .

3. Existen las siguientes derivadas cruzadas, coinciden, y ademas son continuas en ⇥ :

@2'

@x@x0

=@2'

@x0

@x2 C(e⇥; RN ),

@2'

@x@y0j

=@2'

@y0j@x

2 C(e⇥; RN ), j = 1, . . . , N,

@2'

@x@�0j

=@2'

@�0j@x

2 C(e⇥; RN ), j = 1, . . . , k.

Demostracion. Sumergimos el problema en otro del tipo tratado en el Teorema 6.10. Para ellodefinimos una nueva variable y una nueva funcion

z =✓

y�

◆2 RN+k, F (x, z) =

✓f(x, y,�)

0k

◆.

Entonces el problema inicial puede ser tratado como un problema sin parametros, concretamente8<

:

z0 = F (x, z),

z(x0

) =✓

y0

�0

◆.

Observese que

@F

@z=

0

@@f

@y

@f

@�

0k⇥(N+k)

1

A .

Ahora el resultado sigue del Teorema 6.10.

Observacion 6.12. Es posible establecer un resultado analogo para un (PC) asociado a una e.d.o.de orden n, y(n = g(x, y, y0, . . . , y(n�1).

Si g es de clase C1, entonces la funcion solucion ' es tambien de clase C1 respecto a todas susvariables.


Tema 7

Introduccion a la teorıa de laestabilidad para sistemasdiferenciales ordinarios

7.1. Preliminares

En el tema anterior se probo, entre otras cosas, que las soluciones de sistemas diferencialesordinarios son continuas respecto de los datos iniciales en intervalos acotados. Esos resultadosseran utiles mas adelante, pero en problemas practicos se requiere algo mas.

El concepto de estabilidad se especializo pronto en Mecanica para describir algunos tipos deequilibrios. Supongamos que la trayectoria que describe una partıcula es la solucion de un s.d.o. quetiene un punto de equilibrio. Se dira que este equilibrio es “estable” si ante cualquier perturbacionsuficientemente pequena de su posicion y velocidad, la partıcula permanece arbitrariamente cercadel punto de equilibrio con velocidad arbitrariamente pequena para todo tiempo posterior. Unsencillo ejemplo lo constituye el movimiento de un pendulo: en su punto mas bajo es “estable”mientras que el mas alto es un equilibrio inestable. Con un ejemplo propiamente formulado enterminos de ecuaciones, sea el s.d.o. 0 = �y(1 � y)(2 � y). De sus tres puntos de equilibrio, lassoluciones y ⌘ 0 e y ⌘ 2 son estables, mientras que y ⌘ 1 no lo es [la solucion general es

y(x) = 1 ±r

11 + C2e�2x

y se cumple que'(x, 0, y

0

) ! 0 si y0

< 1, '(x, 0, y0

) ! 2 si y0

> 1.]

Obviamente es deseable que el funcionamiento de maquinaria sea no solo continuo en tiemposfinitos sino “estable” en el sentido descrito anteriormente. En contraposicion a la definicion mecani-ca, donde su formulacion matematica resultaba a veces util y otras no, Lyapunov introduce otroconcepto de estabilidad, que sera valido para e.d.o. generales, y aplicable tambien a una solucioncualquiera y no solo a un punto de equilibrio.

En este tema hacemos una breve introduccion al estudio de la estabilidad para algunos sistemasdiferenciales ordinarios (un estudio mas amplio se hara en asignaturas posteriores).

7.2. Propiedades de estabilidad

Sean 0 < ⇢ +1 y �1 ⌧ < +1. Denotemos B⇢ =�B(0, ⇢) en RN , I = (⌧,+1) y

⌦ = I ⇥B⇢. Supongamos dado un s.d.o.

121

122 Tema 7. Estabilidad para s.d.o.

y0 = f(x, y) (7.1)

con f 2 C(⌦;RN ) \ Liploc

(y, ⌦) verificando que f(x, 0) = 0 8x 2 I.Entonces la funcion '

0

(x) ⌘ 0 es solucion del

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = 0.

Mas aun: '(x, x0

, 0) = '0

(x) 8x0

2 I, 8x 2 I, y ademas I(x0

, 0) = I. Se dice tambien que0 2 RN es un punto de equilibrio o punto crıtico de (7.1). Damos las siguientes definicionescon respecto a un punto de equilibrio.

Definicion 7.1. Se dice que '0

es (un equilibrio) estable en el sentido de Lyapunov para (7.1)si para cada x

0

2 I y " > 0 dados, existe �(x0

, ") 2 (0, ⇢) tal que si |y0

| �(x0

, ") entoncesI(x

0

, y0

) � [x0

,+1) y |'(x, x0

, y0

)| " 8x 2 [x0

,+1).

Se puede comprobar facilmente que dicha definicion es equivalente a la siguiente.


es (un equilibrio) estable para (7.1) si para cada x0

2 I y " > 0dados, existe �(x

0

, ") 2 (0, ⇢) tal que si |y0

| �(x0

, ") entonces

|'(x, x0

, y0

)| " 8x 2 [x0

,+1) \ I(x0

, y0

).

En efecto, es inmediato que la Definicion 7.1 implica la Definicion 7.2. Para la implicacioncontraria, tomamos sin perdida de generalidad " < ⇢. La solucion maximal del (PC) estara definidaen I(x

0

, y0

) = (x0

� a, x0

+ b) con b +1. Supongamos que b < +1. Se puede probar que existe

lımx&x0+b�

'(x, x0

, y0

),

por lo que la solucion admite un valor en x0

+ b y resultarıa prolongable (contradictorio con ladefinicion de b).


es (un equilibrio) inestable si no es estable.


es (un equilibrio) uniformemente estable para (7.1) si es establey �(x

0

, ") puede ser escogido independiente de x0

2 I, es decir,

8" 2 (0, ⇢) 9�(") 2 (0, ⇢) : |y0

| < �(") ) I(x0

, y0

) � [x0

,+1), |'(x, x0

, y0

)| < " 8x0

2 I,8x � x0

.


es (un equilibrio) atractivo para (7.1) si para cada x0

2 I existe�(x

0

) 2 (0, ⇢) tal que si |y0

| �(x0

) entonces I(x0

, y0

) � [x0

,+1) y lımx!+1 |'(x, x0

, y0

)| = 0.

Observacion 7.6. Un punto de equilibrio puede ser atractivo sin ser estable.


es (un equilibrio) asintoticamente estable para (7.1) si esestable y atractivo.


es (un equilibrio) uniformemente atractivo para (7.1) si

9� 2 (0, ⇢) : I(x0

, y0

) � [x0

,+1), 8x0

2 I,8|y0

| �8x � x0

y tal que

8" > 0 9x" > 0 : |'(x, x0

, y0

)| " 8x0

2 I,8|y0

| �,8x � x0

+ x".


es (un equilibrio) uniformemente asintoticamente estable

para (7.1) si es uniformemente estable y uniformemente atractivo.

Observacion 7.10.1. Para una e.d.o. de orden n y(n = g(x, y, y0, . . . , y(n�1) con g(x, 0, 0, . . . , 0) = 0, se dice que

la solucion nula es estable, uniformemente estable, etc ... si lo es la solucion nula del s.d.o.asociado a la ecuacion.


123 7.3. CRITERIOS DE ESTABILIDAD PARA S.D.O. LINEALES HOMOGENEOS

2. Para un s.d.o. como (7.1) pero autonomo (i.e. f(x, y) = f(y) 8x 2 I) todos los conceptosson uniformes, es decir,

'0

estable , ' uniformemente estable

'0

atractivo , ' uniformemente atractivo

ya que si D ⇢ RN es un abierto y f 2 C(D; RN ) \ Liploc

(y, D) y ponemos ⌦ = R ⇥ D,entonces la solucion maximal '(x, x

0

, y0

) del

(PC)⇢

y0 = f(y),y(x

0

) = y0

,en ⌦

satisface I(x0

, y0

) = x0

+ I(0, y0

) y que '(x, x0

, y0

) = '(x� x0

, 0, y0

) 8x 2 I(x0

, y0

) (es facilverlo con un cambio de variables).

3. Los conceptos de estabilidad definidos antes son distintos unos de otros. De hecho, se vera enla siguiente seccion condiciones equivalentes para los sistemas diferenciales ordinarios linealesde esos conceptos, y dichas condiciones son claramente distintas entre si.

4. La estabilidad y el resto de conceptos anteriormente definidos pueden ser aplicados a solucio-nes distintas de la nula. Si se trata de una solucion constante distinta del cero se puede hacerun cambio de ejes para situar el punto de equilibrio en el origen. Pero mas alla, en general,si se trata de una solucion no constante del s.d.o., digamos un par (I, y⇤(x)), solucion de laecuacion y0 = f(x, y), se puede hacer el cambio de variables z = y � y⇤, con lo que

z0 = y0 � (y⇤)0 = f(x, y)� f(x, y⇤) ) z0 = f(x, z + y⇤)� f(x, y⇤).

Esto hace que las extensiones naturales de los conceptos previos para y⇤ (que aquı no daremos)coincidan con el estudio de dichas propiedades para el punto crıtico z = 0 en el nuevo s.d.o.

7.3. Criterios de estabilidad para s.d.o. lineales homogeneos

Sean ⌧ 2 [�1,+1), I = (⌧,+1) y A 2 C(I;L(RN )). Consideremos el sistema diferencialordinario lineal

y0 = A(x)y, (7.2)

que por supuesto admite como solucion a la funcion nula: '0

⌘ 0. Se tiene entonces el siguienteresultado.

Teorema 7.11. Bajo las condiciones anteriores, sea F (x) una matriz fundamental (m.f.) de (7.2).Entonces se tienen las siguientes equivalencias.

(a) '0

es estable si y solo si8x

0

2 I, supx2[x0,+1)

|F (x)| < +1. (7.3)

(b) '0

es asintoticamente estable si y solo si

lımx!+1

|F (x)| = 0. (7.4)

(c) '0

es uniformemente estable si y solo si

9M > 0 : |F (x)F�1(x0

)| M 8x0

2 I,8x � x0

. (7.5)

(d) '0

es uniformemente asintoticamente estable si y solo si

9C > 0,↵ > 0 : |F (x)F�1(x0

)| Ce�↵(x�x0) 8x0

2 I,8x � x0

. (7.6)



Demostracion.(a) ( Como conocemos la expresion formal de la solucion, '(x, x

0

, y0

) = F (x)F�1(x0

)y0

, en-tonces tenemos la acotacion |'(x, x

0

, y0

)| |F (x)||F�1(x0

)||y0

|. Es obvio que si se cumple (7.3)entonces '

0

es estable.

) Como '0

es estable, fijamos x0

2 I, y " = 1, entonces

9�(x0

) : |y0

| < �(x0

) ) |'(x, x0

, y0

)| 1 8x 2 [x0

,+1).

Consideramos ahora y0

2 RN \ {0} arbitrario:��'✓

x, x0

,�(x

0

)y0

|y � 0|◆�� 1 8x � x

0

,

con lo que tenemos ��F (x)F�1(x0

)�(x

0

)y0

|y0

|�� 1 8x � x

0

.

Esto implica que |'(x, x0

, y0

)| |y0

|�(x

0

)8x � x

0

, 8y0

2 RN . Pero este tipo de acotacion es el que

necesitan las columnas de F (x), por lo que se tiene (7.3).

(b) ( Obviamente (7.4) implica (7.3), que como hemos visto implica que '0

es estable. Veamostambien que es atractiva. En efecto:

|'(x, x0

, y0

)| = |F (x)F�1(x0

)y0

| |F (x)||F�1(x0

)y0

|! 0 si x ! +1.

) Como '0

es atractiva, dado x0

2 I, existe �(x0

) > 0 tal que |y0

| < �(x0

) implica quelım

x!+1|'(x, x

0

, y0

)| = 0.

Consideramos cualquier y0

6= 0, y la funcion

(x) = �(x0

)'(x, x

0

, y0

)|y

0

| .

Entonces | (x0

)| = �(x0

) y por tanto lımx!+1

| (x)| = 0, luego lımx!+1

|'(x, x0

, y0

)| = 0, de donde

(de nuevo al ser ası las columnas de F (x)) se concluye (7.4).

[Nota: aunque en el caso de un s.d.o.l. acabamos de ver que atractivo implica estable, esto NOes cierto en general si el sistema es no lineal.]

(c) ( Veamos que '0

es uniformemente estable si se satisface (7.5).

|'(x, x0

, y0

)| = |F (x)F�1(x0

)y0

| M |y0

| 8x0

2 I, 8x � x0

, 8y0

2 RN .

) Como '0

es uniformemente estable, dado " = 1 existe � > 0 tal que

|'(x, x0

, y0

)| 1 8|y0

| �, 8x0

2 I, 8x � x0

.

Ahora, para todo y0

2 RN \ {0}. Obviamente�� y0|y0|

�� = � con lo que

��'✓

x, x0

,�y

0

|y0

|◆�� 1 8x

0

2 I, 8x � x0

.

��'✓

x, x0

,�y

0

|y0

|◆�� =

��F (x)F�1(x0

)�y

0

|y0

|�� = �

��F (x)F�1(x0

)y0

|y0

|�� 1.


125 7.3. CRITERIOS DE ESTABILIDAD PARA S.D.O. LINEALES HOMOGENEOS

Ası, tenemos una acotacion para una norma de F (x)F�1(x0

) que implica (7.5):

sup|y0|=1

|F (x)F�1(x0

)y0

| 1�

8x0

2 I, 8x � x0

.

(d) ( • La condicion (7.6) implica la condicion (7.5), y por el apartado anterior se tiene que '0

es uniformemente estable.• Dada una constante C como en (7.6) tomamos " 2 (0, C). Si |y

0

| 1 entonces

|'(x, x0

, y0

)| = |F (x)F�1(x0

)y0

| Ce�↵(x�x0) 8x0

2 I, 8x � x0

.

Por tanto se consigue el caracter uniformemente atractivo:

|'(x, x0

, y0

)| " 8x0

2 I, 8x � x0

+ x" con x" =1↵

ln✓

C

"

◆> 0.

) usando el apartado c), '0

uniformemente estable implica que

9M > 0 : |F (x)F�1(x0

)| M 8x0

2 I, 8x � x0

. (7.7)

Como '0

es tambien uniformemente atractiva,

9� > 0 : 8" > 0, 9x" > 0 : |'(x, x0

, y0

)| " 8|y0

| �,8x0

2 I,8x � x0

+ x".

En particular tomamos " = �/2. Entonces

9� > 0, 9a > 0 : |'(x, x0

, y0

)| �/2 8|y0

| �, 8x0

2 I, 8x � x0

+ a.

En concreto, de esto se deduce que sup|y0|=1

|F (x)F�1(x0

)y0

| 1/2, lo que implica

|F (x)F�1(x0

)| 1/2 8x0

2 I,8x � x0

+ a. (7.8)

Sean ahora x0

2 I y x � x0

fijados. Entonces existe un valor n 2 N tal que x 2 [x0

+na, x0

+(n+1)a)y en consecuencia

|F (x)F�1(x0

)| |F (x)F�1(x

0

+ na)| · |F (x0

+ na)F�1(x0

+ (n� 1)a)| · . . . · |F (x0

+ a)F�1(x0

)| M · 1

2· . . . · 1

2= M

✓12

◆n

,

donde la primera acotacion (por M) se debe a (7.7) aplicado al primer factor y los restantes hansido acotados por 1/2 gracias a (7.8).

Notamos ahora ↵ = 1

a ln 2 > 0. Se tiene que✓

12

◆n

M = 2M

✓12

◆n+1

= 2Me�(n+1) ln 2 = 2Me�(n+1)a↵,

y como x < x0

+ (n + 1)a entonces (n + 1)a > x� x0

, lo que implica que✓

12

◆n

M 2Me�↵(x�x0),

de donde sigue (7.6).


es (un equilibrio) exponencialmente asintoticamente estable

si existen valores C > 0, ↵ > 0 y � 2 (0, ⇢) tales que si |y0

| �, entonces I(x0

, y0

) � [x0

,+1) yademas

|'(x, x0

, y0

)| Ce�↵(x�x0)|y0

| 8x0

2 I, 8x � x0

.



Observacion 7.13. Si '0

es exponencialmente asintoticamente estable, entonces tambien es uni-formemente asintoticamente estable. El recıproco no es cierto en general (sı para los sistemasdiferenciales ordinarios lineales, como acabamos de ver en la prueba del apartado (d)).

Veamos ahora un resultado consecuencia del anterior, para s.d.o.l. con coeficientes constantes.

Teorema 7.14. Sea A 2 L(RN ), y considerese el s.d.o.l.

y0 = Ay. (7.9)

Entonces se tienen las siguientes equivalencias:(a) '

0

es uniformemente estable si y solo si todos los autovalores � de A satisfacen Re(�) < 0.

(b) '0

es uniformemente estable si y solo si todos los autovalores � de A satisfacen las siguientesdos condiciones:(i) Re(�) 0,

(ii) Si Re(�) = 0, entonces todos los bloques de Jordan asociados a � en la forma canonica de Ason de dimension uno.

Demostracion. Al tratarse de un sistema autonomo, los conceptos que se prueben son evidente-mente uniformes.

Sea eJ la forma canonica de Jordan real asociada a la matriz A, y eP un a matriz de paso, i.e. A =eP eJ eP�1. Sabemos entonces que una matriz fundamental de (7.9) es F (x) = ePe

eJx =�pij(x)e�ijx

�,

siendo pij(x) polinomios (eventualmente identicamente nulos) y �ij autovalores de A.

Ahora es inmediato ver que ambos resultados son consecuencia del teorema anterior. En efecto,(a) |F (x)F�1(x

0

)| = | ePeeJxe�

eJx0 eP�1| | ePeeJ(x�x0)|| eP�1|. Como dado cualquier polinomio p y

cualquier valor ↵ > 0 sabemos que existe una constante C = C(p,↵) tal que p(x)e�↵x C paratodo x � 0, si consideramos cualquier autovalor � de A y tomamos ↵ = �/2, deducimos

p(x)e��x = p(x)e�↵xe�↵x C(p,�/2)e�↵x,

que implica (7.6) tomando C y ↵ adecuados (concretamente ↵ = �/2 con � = mıni,j �ij y C =maxij C(pij ,�/2)).

(b) Analogamente, como consecuencia de nuevo de (7.6), si Re(�) = 0 pero la caja de Jordanes de dimension uno, entonces no hay polinomio multiplicando, por lo que tambien se obtiene laacotacion.

Los recıprocos son tambien inmediatos, ya que si alguna exponencial tiene exponente �ij > 0resultarıa imposible obtener las acotaciones (7.5) o (7.6).

Observacion 7.15 (Criterio de Routh-Hurwitz). Existen criterios algebraicos para saber siuna matriz tiene todos sus autovalores con Re(�) < 0, como el de Routh-Hurwitz:

Sea el polinomio (caracterıstico) p(z) = zn + a1

zn�1 + . . . + an�1

z + an, con ai 2 R para todoi. Denotemos (con el convenio de que aj = 0 si j > n)

Dk =

��

a1

a3

a5

a7

. . . a2k�1

1 a2

a4

a6

. . . a2k�2

0 a1

a3

a5

. . . a2k�3

0 1 a2

a4

. . . a2k�4

......

......

. . ....

��

.

Si ak > 0 y Dk > 0 para k = 1, 2, . . . , n, entonces todas las raıces de p cumplen Re(�) < 0.


127 7.4. ESTABILIDAD EN 1A APROXIMACION PARA S.D.O. NO LINEALES

7.4. Estabilidad en la primera aproximacion para sistemasno lineales

Vamos a considerar una “leve” perturbacion de un s.d.o.l. Concretamente

y0 = A(x)y + g(x, y) (7.10)

donde A 2 C(I;L(RN )), g 2 C(⌦; RN )\Liploc

(y,⌦) siendo I = (⌧,+1) y ⌦ = I⇥B⇢, y verificandog que g(x, 0) = 0 8x 2 I.

El s.d.o. (7.10) puede verse como una perturbacion del s.d.o.l.

y0 = A(x)y. (7.11)

La pregunta a la que respondemos en esta seccion es: si g es “pequeno”, es decir, si realmenteestamos ante una leve perturbacion, y '

0

tiene alguna propiedad de estabilidad como solucion de(7.11), ¿es tambien '

0

estable en algun sentido como solucion de (7.10)?

Teorema 7.16 (Estabilidad en la primera aproximacion).(a) Si '

0

es uniformemente asintoticamente estable como solucion de (7.11) y

lım|y|!0

|g(x, y)||y| = 0 8x 2 I uniformemente en la variable x (7.12)

(esto es: 8" > 0 9� > 0 : |y| � ) |g(x, y)| "|y| 8x 2 I), entonces '0

es exponencialmenteasintoticamente estable como solucion de (7.10).

(b) Si '0

es uniformemente estable como solucion de (7.11), y existe ↵ 2 C(I) verificando

Z+1

⌧

↵(s)ds < +1

tal que |g(x, y)| ↵(x)|y| para todo par (x, y) 2 I ⇥ B⇢, entonces '0

es tambien uniformementeestable como solucion de (7.10).

Observacion 7.17. El resultado (a) es especialmente util para estudiar la estabilidad de puntos deequilibrios en sistemas autonomos no lineales con segundos miembros regulares, ya que se puedenver estos sistemas como perturbaciones de sus correspondientes linealizaciones usando su desarrollode Taylor.

Dado un s.d.o. y0 = f(y), si z es un punto crıtico (sin perdida de generalidad podemos suponertras cambio de variables que z = 0), es decir, f(0) = 0, entonces en el s.d.o.l. y0 = Jf(0)y (sistemalinealizado) es mas facil de estudiar si la solucion nula posee alguna propiedad de estabilidad comopor ejemplo ser uniformemente asintoticamente estable, y el sistema y0 = f(y) es una perturbacionsuya que verifica la condicion requerida en (a) si f es suficientemente regular.

Demostracion. (a) Sea F (x) una matriz fundamental de (7.11). Como '0

es uniformemente asintoti-camente estable para (7.11), entonces

9C > 0, 9↵ > 0 : |F (x)F�1(x0

)| Ce�↵(x�x0) 8x0

2 I,8x � x0

.

Deseamos ver si '0

, como solucion de (7.10), es exponencialmente asintoticamente estable, esdecir, nos preguntamos si existen valores eC > 0, ↵ > 0 y � 2 (0, ⇢) tales que si |y

0

| � entoncesI(x

0

, y0

) � [x0

,+1) y |'(x, x0

, y0

)| eCe�↵(x�x0)|y0

| 8x0

2 I, 8x � x0

, donde '(x, x0

, y0

) es lasolucion maximal del

(PC)⇢

y0 = A(x)y + g(x, y),y(x

0

) = y0

.



Podemos suponer sin perdida de generalidad que C > 1. Tomamos entonces eC = C, ↵ = ↵/2. Por(7.12) sabemos que

9µ 2 (0, ⇢) : |y| µ ) |g(x, y)| ↵

C|y| 8x 2 I. (7.13)

Tomamos ahora � =µ

C(que sera tambien menor que µ < ⇢).

Dados x0

2 I, y0

con |y0

| �, por la formula de variacion de las constantes de Lagrange,

'(x, x0

, y0

) = F (x)F�1(x0

)y0

+ F (x)Z x

x0

F�1(s)g(s,'(s, x0

, y0

))ds 8x 2 I(x0

, y0

). (7.14)

Denotamos por comodidad u(x) = |'(x, x0

, y0

)| 8x 2 I(x0

, y0

) con x � x0

. Observemos queu(x

0

) = |y0

| � < µ. Afirmamos que

u(x) < µ 8x 2 I(x0

, y0

) \ [x0

,+1). (7.15)

Si no fuera ası, por continuidad existirıa x⇤ 2 I(x0

, y0

) con x⇤ > x0

tal que u(x) < µ si x 2 [x0

, x⇤)y u(x⇤) = µ. Por tanto, de (7.14) se deduce

u(x) Ce�↵(x�x0)|y0

| + C

Z x

x0

e�↵(x�s)g(s,'(s, x0

, y0

))ds.

Pero para todo s 2 [x0

, x] con x 2 [x0

, x⇤) se tiene que u(s) = |'(s, x0

, y0

)| µ y por (7.13)

|g(s,'(s, x0

, y0

))| ↵

C|'(s, x

0

, y0

)| =↵

Cu(s).

Luego

e↵xu(x) Ce↵x0 |y0

| + ↵

Z x

x0

e↵su(s)ds 8x 2 [x0

, x⇤].

Aplicando el Lema de Gronwall,

e↵xu(x) Ce↵x0 |y0

|e↵(x�x0) 8x 2 [x0

, x⇤].

De la eleccion concreta de ↵ = ↵/2 deducimos

|'(x, x0

, y0

)| = u(x) Ce�↵(x�x0)|y0

| 8x 2 [x0

, x⇤]. (7.16)

En particular,

u(x⇤) Ce�↵(x⇤�x0)|y0

| C�e�↵(x⇤�x0) = µe�↵(x⇤�x0) < µ.

Hemos llegado a una contradiccion. Por tanto concluimos que I(x0

, y0

) � [x0

,+1) y que la desi-gualdad (7.16) es valida en [x

0

, x⇤] 8x⇤ 2 I(x0

, y0

).

(b) Procedemos de forma similar al caso anterior (ahora la prueba es mas simple).Si '

0

es uniformemente estable como solucion de (7.11),

9C > 0 : |F (x)F�1(x0

)| C 8x0

2 I, 8x � x0

.

Sin perdida de generalidad podemos suponer que C > 1. Veamos entonces que '0

es tambienuniformemente estable como solucion de (7.10) si |g(x, y)| ↵(x)|y| con

R+1⌧

↵(s)ds < +1. Hayque probar que

8" 2 (0, ⇢) 9�(") 2 (0, ⇢) : |y0

| �(") ) |'(x, x0

, y0

)| " 8x0

2 I,8x � x0

. (7.17)


129 7.5. SEGUNDO METODO DE LYAPUNOV

Denotemos u(x) = |'(x, x0

, y0

)| y fijemos un valor cualquiera " 2 (0, ⇢). Sea �(") = � 2 (0, ⇢) talque

C�exp✓

C

Z+1

⌧

↵(s)ds

◆< " < ⇢. (7.18)

Supongamos que y0

satisface |y0

| �. Sabemos que u(x0

) = |'(x0

, x0

, y0

)| = |y0

| � < ".Veamos que en realidad ocurre que u(x) < " 8x 2 I(x

0

, y0

) \ [x0

,+1). Por reduccion alabsurdo, si no fuera ası, existirıa x⇤ 2 I(x

0

, y0

) con x⇤ � x0

tal que u(x⇤) = " y u(x) < " 8x 2[x

0

, x⇤). Usamos de nuevo la formula de variacion de las constantes y las acotaciones que se verificanpor hipotesis.

u(x) = '(x, x0

, y0

) = F (x)F�1(x0

)y0

+ F (x)Z x

x0

F�1(s)g(s,'(s, x0

, y0

))ds

C|y0

| +Z x

x0

C↵(s)u(s)ds.

Gracias al Lema de Gronwall deducimos

u(x) C|y0

|exp✓

C

Z x

x0

↵(s)ds

◆8x 2 [x

0

, x⇤]. (7.19)

Sustituyendo en la desigualdad anterior x = x⇤, obtenemos que

u(x⇤) C�exp✓

C

Z+1

⌧

↵(s)ds

◆< ",

que es contradictorio con la definicion de x⇤. Por tanto |'(x, x0

, y0

)| < " < ⇢ para todo x 2 I(x0

, y0

)y en consecuencia I(x

0

, y0

) � [x0

,+1) y la desigualdad (7.19) permite concluir (7.17).

7.5. Segundo metodo de Lyapunov

7.5.1. Preliminares. Introduccion heurıstica del metodo

La forma desarrollada en la seccion anterior para estudiar propiedades de estabilidad parasistemas diferenciales ordinarios tiene el inconveniente de ser valida para sistemas lineales conbuenas propiedades de estabilidad, y para perturbaciones pequenas de estos ultimos.

Presentamos en esta parte del tema un segundo metodo de analisis que dara condiciones sufi-cientes de estabilidad para sistemas diferenciales no necesariamente como los anteriores. Se tratadel Metodo Directo de Lyapunov (el matematico ruso A. Lyapunov publico su memoria “Problemageneral de la estabilidad del movimiento” a finales del s. XIX). Este metodo tiene las siguientescaracterısticas que lo diferencian de la Primera Aproximacion.

• Se aplica directamente sobre la ecuacion, sin necesidad de conocer explıcitamente la solucion(de ahı el nombre).

• Es valido para sistemas de cualquier tipo, no solo lineales o perturbaciones de estos.• El inconveniente reside en que se requiere el conocimiento de una funcion auxiliar, la funcion

de Lyapunov, que no siempre es obvia de conseguir (a veces ni si quiera se sabe si existe).

Consiste en la generalizacion de un resultado establecido originariamente por Lagrange y proba-do por Dirichlet en Mecanica Clasica. Posteriormente ha sido desarrollado y usado profusamentepara estudiar propiedades de estabilidad en gran numero de modelos, mecanismos industriales,biologicos, economicos, etc.

Para describir la idea general del metodo, comenzamos con un ejemplo mecanico. Tanto en esteejemplo como en la teorıa posterior del tema nos restringimos por simplicidad al caso autonomo(otros casos y resultados mas completos seran objeto de estudio en cursos posteriores).



La idea de Lagrange (aprox. en el 1800) y probada mas tarde por Dirichlet es: “si un puntode equilibrio de un sistema mecanico conservativo es un mınimo de energıa potencial, entonces esestable, y si no, es inestable”.

Supongamos una e.d.o. de dimension uno generada a partir de la segunda ley de Newton,

my00 = f(y) siendo f(y) = �gradU(y) = �U 0(y)

(esto ultimo es que el sistema sea conservativo; U se llama energıa potencial), o escrito en formade s.d.o. de primer orden:

y01

= y2

my02

= f(y1

) = �U 0(y1

).

Entonces resulta que la energıa total del sistema (suma de las energıas cinetica y potencial)V (y

1

, y2

) = U(y1

) + m2

y2

2

se mantiene constante a lo largo de las soluciones. En efecto,

d

dt[V (y

1

(t), y2

(t))] =@V

@y1

y01

+@V

@y2

y02

= U 0(y1

)y01

+ my2

y02

= 0.

Supongamos por simplicidad que U(0) = 0 y que 0 es un mınimo local. Entonces los conjuntos

{(y1

, y2

) : V (y1

, y2

) = c}con c una constante positiva pero muy pequena, describen orbitas de las soluciones en el plano defases y

1

frente a y2

. Es decir, la cantidad constante V (y1

(t), y2

(t)) = V (y1

(t0

), y2

(t0

)) evaluada alo largo de una solucion de la s.d.o. se mantiene arbitrariamente pequena si |y

1

(t0

)| + |y2

(t0

)| essuficientemente pequena, i.e. en cualquier entorno del origen, o sea, la estabilidad del origen comosolucion del sistema.

Observemos que para que existiera caracter atractivo harıa falta que la energıa total del sistemano quedara constante, sino que decaiga a cero si el tiempo crece a infinito (por ejemplo con algunafuerza de friccion incluida en el modelo).

7.5.2. Metodo directo de Lyapunov. Condiciones suficientes de estabili-dad para s.d.o. autonomos

Suponemos a partir de ahora fijado el siguiente s.d.o.

y0 = f(y) en ⌦ = R⇥D (7.20)

con D ⇢ RN un abierto no vacıo, tal que 0 2 D, y f 2 C(D; RN ) \ Liploc

(y, ⌦) satisfaciendof(0) = 0.

Tomando ⇢ > 0 tal que B⇢ = B(0, ⇢) ⇢ D podemos considerar para '0

⌘ 0 solucion de (7.20)los conceptos anteriores de estabilidad, caracter atractivo, etc.

Definicion 7.18. Dado ⇢ 2 (0,+1), denotamos K⇢ al conjunto de todas las funciones realesa 2 C([0, ⇢]) tales que a(0) = 0 y a estrictamente creciente en [0, ⇢].

Diremos que V : B⇢ ! R es definida positiva en B⇢ si V (0) = 0 y existe a 2 K⇢ tal queV (y) � a(|y|) 8y 2 B⇢.

Diremos que V es definida negativa en B⇢ si �V es definida positiva en B⇢.

Ejemplo 7.19. (a) V (y) =PN

i=1

y2

i es definida positiva en cualquier B⇢ ⇢ RN .(b) V (y) = 1

2

y2

2

+1�cos y1

no es definida positiva en B2⇡ pero sı lo es en cualquier B

2⇡�" paratodo " 2 (0, 2⇡). Esto ultimo es consecuencia del siguiente resultado.

Lema 7.20. Sean ⇢ 2 (0,+1) y V 2 C(B⇢) tal que V (0) = 0 y V (y) > 0 8y 2 B⇢ \{0}. EntoncesV es definida positiva en B⇢.



Demostracion. Considerese la funcion a(r) = mınr|z|⇢ V (z). Entonces a(0) = 0, y a(r) > 0 en(0, ⇢]. Ademas es obvio que a es creciente (puede que no de forma estricta), que a 2 C([0, ⇢]) y pordefinicion a(|y|) V (y) 8y 2 B⇢. Ahora basta tomar a(r) = 1

⇢

R r

0

a(s)ds 8r 2 [0, ⇢]. Se tiene quea 2 K⇢ y a(r) a(r) 8r 2 [0, ⇢] y el resto de propiedades requeridas.

La siguiente definicion es importante, pues ayudara a estudiar el crecimiento de soluciones desistemas diferenciales ordinarios sin necesidad de conocerlas explıcitamente.

Definicion 7.21. Sea ⇢ 2 (0,+1) tal que B⇢ ⇢ D, y sea V : B⇢ ! R tal que V 2 C1(B⇢). Sedenomina derivada de V respecto del s.d.o. (7.20) y se denota por V a

V (y) =NX

i=1

fi(y)@V (y)@yi

8y 2 B⇢.

Definicion 7.22. Sea ⇢ 2 (0,+1). Se dice que V : B⇢ ! R es una funcion de Lyapunov para

(7.20) en B⇢ si• V es definida positiva en B⇢,

• V 2 C1(B⇢) y V (y) 0 8y 2 B⇢.

Ejemplo 7.23. Consideremos un pendulo simple sin rozamiento, es decir, una masa m colgadade un alambre “sin masa” de longitud L que esta oscilando. Denotamos ✓ = ✓(t) al angulo con lavertical (medido en radianes, y en sentido contrario a las manecillas del reloj).

Como la energıa total del sistema permanece constante, se tiene

E =12mv2 + mgh

=12mL2

✓d✓

dt

◆2

+ mgL(1� cos ✓) = Cte.

Derivando obtenemos

mL2

✓d✓

dt

◆✓d2✓

dt2

◆+ mgL sen ✓

✓d✓

dt

◆= 0.

y ası concluimos qued2✓

dt2+

g

Lsen ✓ = 0.

Por simplicidad suponemos que g = L y resulta el sistema⇢

y01

= y2

,y02

= � sen y1

.

Entonces V (y1

, y2

) = 1

2

y2

2

+ 1 � cos y1

es una funcion de Lyapunov, por ejemplo, en B⇡ para els.d.o. anterior.

Teorema 7.24 (Lyapunov). Bajo las condiciones anteriores para el s.d.o. (7.20), si existe ⇢ 2(0,+1) tal que B⇢ ⇢ D y existe V funcion de Lyapunov para (7.20) en B⇢, entonces:

(a) '0

⌘ 0 es estable (uniformemente),(b) Si ademas V es definida negativa, entonces '

0

es (uniformemente) asintoticamente estable.

Demostracion. El caracter uniforme se obtendra automaticamente al tratarse de un problemaautonomo.

(a) Hay que probar que

8" 2 (0, ⇢) 9�(") 2 (0, ⇢) : |y0

| �(") ) |'(x, 0, y0

)| " 8x 2 I(0, y0

) \ [0,+1).



[En principio estaremos hablando de la solucion maximal del (PC) en R⇥B⇢, pero a posteriori severa que coincide con la del problema en R⇥D si el dato inicial es menor que �(").]

Sean a 2 K⇢, tal que V (y) � a(|y|) 8y 2 B⇢, y " 2 (0, ⇢) dados. Como a(") > 0 y V 2 C1(B⇢),sea �(") 2 (0, ⇢) tal que si |y

0

| �(") entonces V (y0

) a(").Por otro lado, si |y

0

| �(") y x 2 I(0, y0

) \ [0,+1), entonces, por ser V una funcion deLyapunov, V ('(x, 0, y

0

)) 0, con lo que

d

dx[V ('(x, 0, y

0

))] =NX

i=1

@V

@yi('(x, 0, y

0

))'0i(x, 0, y0

)

=NX

i=1

@V

@yi('(x, 0, y

0

))fi('(x, 0, y0

))

= V ('(x, 0, y0

)) 0.

Ası deducimos que V ('(x, 0, y0

)) es decreciente como funcion de x, y como

a(|'(x, 0, y0

)|) V ('(x, 0, y0

)) V (y0

) a("),

combinando esto con el hecho de que a es estrictamente creciente, obtenemos que

|'(x, 0, y0

)| " 8x 2 I(0, y0

) \ [0,+1).

(b) Fijamos " = ⇢/2. Tomamos como antes � = �(⇢/2). Sea b 2 K⇢ tal que �V (y) � b(|y|)8y 2 B⇢. Por el apartado anterior, si |y

0

| �, entonces I(0, y0

) � [0,+1) y |'(x, 0, y0

)| ⇢/28x � 0. Ademas tenemos que V ('(x, 0, y

0

)) es decreciente en x 2 [0,+1). Por tanto existe ellımite

lımx!+1

V ('(x, 0, y0

)) =: ↵ � 0.

Veamos que ↵ = 0. Por reduccion al absurdo, de ser ↵ > 0, como V (0) = 0 y V es continua,

9µ 2 (0, ⇢) : |y| µ ) V (y) ↵/2.

Por otro lado,

lımx!+1

V ('(x, 0, y0

)) = ↵ > 0 ) 9x↵ > 0 : x � x↵ ) V ('(x, 0, y0

)) > ↵/2.

Por tanto, deducimos que|'(x, 0, y

0

)| � µ > 0 8x � x↵.

Usando ahora que

d

dx[V ('(x, 0, y

0

))] = V ('(x, 0, y0

)) �b(|'(x, 0, y0

)|) �b(µ) < 0

obtenemos la siguiente contradiccion:

0 V ('(x, 0, y0

)) V ('(x↵, 0, y0

))� b(µ)(x� x↵) ! �1 si x ! +1.

Ası, ↵ = 0, de donde

0 a(|'(x, 0, y0

)|) V ('(x, 0, y0

)) ! 0 si x ! +1,

y como a es estrictamente creciente, continua, y a(0) = 0, concluimos que

9 lımx!+1

|'(x, 0, y0

)| = 0.



Observacion 7.25.1. El pendulo simple del Ejemplo 7.23 cumplıa V = 0, por lo que '

0

es estable.

Por otro lado, el pendulo con rozamiento obedece la e.d.o. y00 + ↵y0 + sen y = 0 (↵ > 0), queescrito como s.d.o. de orden uno

⇢y01

= y2

,y02

= �↵y2

� sen y1

.

Dicho sistema admite la funcion de Lyapunov V (y1

, y2

) = 1

2

y2

2

+ 1 � cos y1

. (Compruebeseque V (y

1

, y2

) = �↵y2

2

0.) Sin embargo V no es definida negativa. Por tanto, usando elresultado anterior, solo podemos concluir de nuevo que '

0

es estable (en realidad usando otrotipo de resultados se puede concluir mas: la estabilidad asintotica, que es la natural que cabeesperar en esta situacion).

2. Una generalizacion del pendulo con rozamiento es la ecuacion de Lienard: y00+ay0+g(y) = 0,con g 2 C1((�⇢, ⇢)) verificando t · g(t) > 0 8t 2 (�⇢, ⇢) \ {0}. (En particular g(0) = 0; enconcreto se satisface con g(t) = sen t).

En este caso, la funcion de Lyapunov para el s.d.o. asociado es V (y1

, y2

) = 1

2

y2

2

+R y1

0

g(t)dt.

Obviamente es definida positiva en cierto entorno del origen, y V (y1

, y2

) = �↵y2

2

0. Ası,deducimos de nuevo que '

0

es estable como solucion de la ecuacion de Lienard.

3. En general es difıcil encontrar funciones de Lyapunov, pero si |f(y)| > 0 en un entorno redu-cido del punto de equilibrio, lo primero que debe intentar verificarse es si V (y) =

PNi=1

f2

i (y)es funcion de Lyapunov (ya que al menos tenemos que sı es definida positiva en algun B⇢).Vease el siguiente ejemplo.

Ejemplo 7.26. Considerese el sistema⇢

y01

= �y1

� y2

� y3

1

,y02

= y1

� y2

� y3

2

.

Usando la primera aproximacion, sabemos que✓

y01

y02

◆=✓ �1 �1

1 �1

◆✓y1

y2

◆+✓ �y3

1

�y3

2

◆

y como la matriz

A =✓ �1 �1

1 �1

◆

tiene autovalores �1 ± i (es decir, parte real negativa), y la perturbacion✓ �y3

1

�y3

2

◆satisface la

condiciony6

1

+ y6

2

y2

1

+ y2

2

! 0 si y2

1

+ y2

2

! 0,

tenemos que la solucion nula es asintoticamente estable.

Veamos este mismo resultado a traves del Metodo Directo de Lyapunov.

|f(y)|2 = f1

(y)2 + f2

(y)2

= y2

1

+ y2

2

+ y6

1

+ 2y1

y2

+ 2y4

1

+ 2y2

y3

1

+ y2

1

+ y2

2

+ y6

2

� 2y1

y2

� 2y1

y3

2

2y4

2

= y2

1

+ 2y4

1

+ (y2

+ y3

1

)2 + y2

2

+ 2y4

2

+ (y1

� y3

2

)2.

Por tanto V (y1

, y2

) = (�y1

� y2

� y3

1

)2 + (y1

� y2

� y3

2

)2 es una funcion definida positiva en ciertoentorno del origen, y para ver si es de Lyapunov, hay que calcular V , y efectivamente vemos que



es menor o igual que cero:

V (y1

, y2

) =2X

i=1

@V

@yifi(y)

= 2(�y1

� y2

� y3

1

)2(�1� 3y2

1

) + 2(y1

� y2

� y3

2

)2(�1� 3y2

2

).

Aplicando el teorema anterior, volvemos a obtener el mismo resultado de estabilidad asintotica.

Observacion 7.27. Existen resultados de inestabilidad (Teorema de Chetaev) usando las mismastecnicas relacionadas con funciones de Lyapunov. Tambien hay generalizaciones al caso no autono-mo. No obstante dichos resultados no se presentaran en este tema, sino que seran tratadas en uncurso posterior de ampliacion.


Tema 8

Introduccion a las E.D.P. deprimer orden, casos lineal ycasi-lineal. Integrales primeras deun s.d.o. Metodo de lasCaracterısticas

8.1. Introduccion

En este tema, el ultimo de estos apuntes, iniciamos el estudio de las ecuaciones en derivadasparciales (E.D.P.) de primer orden.

El estudio de E.D.P. permite la profundizacion en el estudio de modelados de problemas reales.En estas ecuaciones aparecen (eventualmente) varias variables independientes, al menos mas deuna, y una funcion incognita dependiente de dichas variables, y tambien forzosamente una o variasderivadas parciales (de orden mayor o igual que uno) de la funcion incognita.

La razon para incluirlo en este temario es que la resolucion del problema con E.D.P. que da-remos aquı se hara o bien por medio de integrales primeras o bien a traves del Metodo de lasCaracterısticas, ambos aplicados a un cierto sistema diferencial ordinario asociado a la E.D.P. con-siderada, y por tanto se puede considerar una aplicacion de lo hecho anteriormente.

Se llama orden de la E.D.P. al mayor de los ordenes de las derivadas parciales que aparecenen la ecuacion. (Ası, nosotros trataremos en este tema el caso mas sencillo posible; mas aun, nosrestringiremos a la situacion de ecuaciones lineales o casi-lineales, como describiremos en breve).

Citemos varios ejemplos de E.D.P.

Ejemplo 8.1.

Ecuacion de Laplace (o modelo de calor estacionario),

nX

i=1

@2u

@x2

i

= 0.

Ecuacion de la cuerda vibrante,

@2u

@t2� @2u

@x2

= G(t, x).

135

136 Tema 8. E.D.P. de primer orden. M

´

etodo de las Caracter

´

ısticas

Ecuacion de Maxwell o de ondas (para n > 1),

@2u

@t2��xu = f(t, x),

Sistemas de ecuaciones no lineales en Mecanica de Fluidos, como las ecuaciones de Euler enun medio incompresible:

⇢ut + (u ·r)u = �rp + fdivu = 0 ⌘

8>><

>>:

@u

@t+

nX

i=1

ui@u

@xi= �rp + f,

Pni=1

@ui

@xi= 0.

Existen muchos otros modelos mas complejos para en Mecanica de Fluidos, como las ecua-ciones de Navier-Stokes en un medio incompresible,

8<

:

ut + (u ·r)u� ⌫�u = �rp + f,Pn

i=1

@ui

@xi= 0.

La forma general que tiene una E.D.P. consiste en, dada una funcion F : U ⇢ R2N+1 ! R, seconsidera la ecuacion

F

✓x

1

, . . . , xN , u,@u

@x1

, . . . ,@u

@xN

◆= 0.

Son utiles, como ya se ha citado por algunos de los ejemplos, en problemas fısicos, en el estudio de ladistribucion del calor, de las ondas o vibraciones, sistemas de elasticidad, mecanica de fluidos, y enmuchos otros campos como problemas geometricos, en mecanica (ecuaciones de Hamilton-Jacobi),en Control y Optimizacion de sistemas (ecuacion de Programacion Dinamica o de Hamilton-Jacobi-Bellman), etc.

Como se ha indicado antes en este tema de iniciacion solo trataremos los casos mas simples:E.D.P. lineales y casi-lineales de primer orden. El tema esta formado por dos grandes bloques, elprimero destinado a la resolucion de E.D.P. a traves de integrales primeras (que ya introdujimosen el Tema 2), y en una segunda parte a traves del Metodo de las Caracterısticas.

8.2. Integrales primeras para un s.d.o.

Recuerdese que una introduccion a las integrales primeras para un s.d.o. ya fue tratado en elTema 2.

Dados ⌦ ⇢ RN+1 un abierto no vacıo, y un s.d.o.

y0 = f(x, y) (8.1)

con f 2 C(⌦; RN ) \ Liploc

(y,⌦), denotamos por

S = {(I,') : (I,') solucion local de (8.1)}.

Definicion 8.2. Sean e⌦ ⇢ ⌦ y � : e⌦ ! R. Se dice que � es una integral primera de (8.1) en e⌦si para todo par (I,') 2 S tal que (x,'(x)) 2 e⌦ 8x 2 I, se tiene que

�(x,'(x)) = cte 8x 2 I. (8.2)

Observacion 8.3. En los problemas de origen fısico, las integrales primeras representan leyes deconservacion.


137 8.2. INTEGRALES PRIMERAS PARA UN S.D.O.

Se tiene la siguiente interesante caracterizacion, que inicia ası la relacion entre s.d.o. y E.D.P.

Proposicion 8.4 (Caracterizacion de integrales primeras de clase C1). Bajo las hipotesisy notacion anteriores, sean e⌦ ⇢ ⌦ y � 2 C1(e⌦). Entonces se tiene que � es integral primera de(8.1) en e⌦ si y solo si

@�@x

(x, y) +NX

i=1

fi(x, y)@�@yi

(x, y) ⌘ 0 en e⌦.

Demostracion. ( Supongamos que

@�@x

(x, y) +NX

i=1

fi(x, y)@�@yi

(x, y) ⌘ 0 en e⌦.

Sea (I,') 2 S, tal que (x,'(x)) 2 e⌦ 8x 2 I. Entonces derivando respecto x,

d

dx[�(x,'(x))] = 0 8x 2 I.

) Supongamos que � es una integral primera de (8.1). Sea (x0

, y0

) 2 e⌦ fijado. Sabemos queexiste cierto � > 0 tal que en I = (x

0

� �, x0

+ �) hay una solucion local del problema, (I , ') 2 S,

con '(·) = '(·, x0

, y0

) y tal que (x, '(x)) 2 e⌦ 8x 2 I. Entonces, por definicion de integral primera,se tiene que �(x, '(x)) = �(x

0

, '(x0

)) 8x 2 I . Derivando la expresion anterior respecto de x yparticularizando para x = x

0

, obtenemos

@�@x

(x0

, y0

) +NX

i=1

fi(x0

, y0

)@�@yi

(x0

, y0

) = 0,

con lo que la prueba termina, ya que el punto (x0

, y0

) 2 e⌦ era arbitrario.

Observacion 8.5.

1. Una E.D.P. del tipo@�@x

+NX

i=1

fi@�@yi

= 0

es un caso particular de E.D.P. lineal de primer orden (que definiremos mas adelante). Porla proposicion previa, para resolverla basta construir el s.d.o. asociado y hallar las integralesprimeras para tener una solucion de la E.D.P., algo que ya se vio al final del Tema 2.

2. Una pregunta natural, y que aparecera a lo largo del tema en algunos ejemplos, es, ¿que ocurresi tenemos una EDP de la forma

PNi=1

fi@�

@yi= 0 con las funciones fi independientes de x?

Se puede plantear el s.d.o. e intentar construir una integral primera que tampoco dependa dex. En tal caso, la caracterizacion de la proposicion anterior tendrıa el siguiente analogo,� es una integral primera independiente de x del s.d.o. y0 = f(y) en e⌦ ⇢ ⌦ ⇢ RN+1 si ysolo si

PNi=1

fi(y) @�

@yi⌘ 0 en e⌦.

3. Supongamos que se conocen N integrales primeras {�i}i=1,...N ⇢ C1(e⌦) de (8.1) definidasen un abierto e⌦ ⇢ ⌦. Sea (x

0

, y0

) 2 e⌦ tal que se verifica

det✓@�i

@yj(x

0

, y0

)◆6= 0. (8.3)

Sea I un entorno de x0

, tal que (x,'(x, x0

, y0

)) 2 e⌦ 8x 2 I. Entonces �i(x,'(x, x0

, y0

)) =�i(x

0

, y0

). Y por la condicion (8.3) se puede aplicar el Teorema de la Funcion Implıcita paradeterminar el valor de '(·, x

0

, y0

) en un entorno de x0

.



´


´

ısticas

En resumen, N integrales primeras de (8.1) independientes entre sı, i.e. verificando (8.3),permiten resolver el

(PC)⇢

y0 = f(x, y),y(x

0

) = y0

.

Veremos que es posible construir N integrales primeras de esa forma.

Proposicion 8.6 (Existencia local de N integrales primeras independientes). Sea f 2C1(⌦; RN ). Entonces, fijado (x

0

, y0

) 2 ⌦, existe � > 0 tal que B� =�B((x

0

, y0

), �) ⇢ ⌦ y existen Nintegrales primeras de (8.1) denotadas �i 2 C1(B�) para 1 i N, tales que

det✓@�i

@yj(x

0

, y0

)◆6= 0 8(x

0

, y0

) 2 B�.

Demostracion. Sabemos por el Tema 6 que dada f 2 C1(⌦; RN ), la solucion maximal ' de (8.1)satisface ' 2 C1(⇥; RN ). Fijado (x

0

, y0

) 2 ⌦, como ⇥ es abierto, y (x0

, x0

, y0

) 2 ⇥, existe �0 > 0

tal que B�0 =�B((x

0

, y0

); �0) ⇢ ⌦ y {x0

}⇥B�0 ⇢ ⇥, i.e.

8(x0

, y0

) 2 B�0 ) (x0

, x0

, y0

) 2 ⇥ ) x0

2 I(x0

, y0

). (8.4)

Definimos ahora (x0

, y0

) = '(x0

, x0

, y0

). Se tiene que 2 C1(B�0 ; RN ) y que

✓@ i

@yj(x

0

, y0

)◆

= Id,

de nuevo aplicando el Teorema 6.10. Ası, por continuidad, existe � 2 (0, �0) tal que

det✓@ i

@yj(x

0

, y0

)◆6= 0 8(x

0

, y0

) 2 B� =�B((x

0

, y0

); �).

Veamos que las N componentes de son integrales primeras de (8.1) en B�.

Sea (I , ') 2 S tal que (x, '(x)) 2 B� 8x 2 I . Sean x1

, x2

2 I . Como ' admite una unicaprolongacion maximal en ⌦ y por tanto tambien unica en B� y x

0

pertenece por (8.4) al intervalode definicion de dicha prolongacion, que denotamos por e', se tiene

(x1

, '(x1

)) = e'(x0

) = (x2

, '(x2

)),

de donde deducimos que efectivamente cada componente de es una integral primera de (8.1).

Observacion 8.7 (Generacion de una integral primera a partir de otras dadas).

1. Sean �i 2 C1(e⌦) 1 i k, k integrales primeras de (8.1) definidas en un abierto e⌦ ⇢ ⌦.

Sean (x0

, y0

) 2 e⌦ y E un entorno en Rk de (�1(x0

, y0

), . . . ,�k(x0

, y0

)). Sea w 2 C1(E; R).Entonces es inmediato comprobar que existe � > 0 tal que

�(x, y) = w(�1(x, y), . . . ,�k(x, y))

es una integral primera de (8.1) en B� =�B((x

0

, y0

), �).

2. El recıproco de la observacion anterior tambien es cierto. Dadas N integrales primeras�1, . . . ,�N , independientes en el sentido de (8.3) (existen N de ellas por la proposicion ante-rior), y dada otra integral primera �, existe E un entorno en RN de (�1(x

0

, y0

), . . . ,�N (x0

, y0

))y una funcion w 2 C1(E) tal que � = w(�1, . . . ,�N ).


139 8.3. E.D.P. DE 1ER ORDEN LINEALES Y CASI-LINEALES. INTEGRAL GENERAL

8.3. E.D.P. de 1er orden lineales y casi-lineales. Integral ge-neral

Por comodidad, y salvo indicacion contraria, en lo que sigue denotaremos x = (x1

, . . . , xN ) 2RN (N > 1).

Definicion 8.8. Se denomina E.D.P. casi-lineal de primer orden en RN a cualquier E.D.P. de laforma

NX

i=1

fi(x, u)@u

@xi= g(x, u), (8.5)

con fi, g 2 C(U) dadas, siendo U ⇢ RN+1.Si las funciones fi no dependen de u, la E.D.P. se llama lineal de primer orden.

Observacion 8.9. Evidentemente, la expresion lineal se refiere solo al comportamiento del ope-rador diferencial.

Ejemplo 8.10 (E.D.P. casi-lineal en dimension N = 2). Ecuacion de Burgers:

@u

@x1

+ u@u

@x2

= 0.

Ejemplo 8.11 (E.D.P. lineal en RN+1). Ya vimos uno al principio del tema, con la caracteri-zacion de integral primera de clase C1 para un s.d.o. (aquı entendemos x 2 R),

@�@x

+NX

i=1

fi@�@xi

= 0.

Definicion 8.12. Llamamos solucion clasica de (8.5) en un abierto O ⇢ RN , a una funcion quesatisfaga

(i) u 2 C1(O),

(ii) (x, u(x)) 2 U 8x 2 O,

(iii)PN

i=1

fi(x, u(x))@u

@xi(x) = g(x, u(x)), 8x 2 O.

Observacion 8.13. Al buscar soluciones clasicas de E.D.P. nos damos cuenta de que aparecenfunciones arbitrarias (en el caso de una e.d.o. eran constantes).

Por ejemplo, la ecuacion@u

@x1

+@u

@x2

= 0 en R2, admite por solucion cualquier expresion

u(x1

, x2

) = h(x1

� x2

) con h 2 C1(R). Dicha expresion es solucion en O = R2.Por tanto, la formalizacion del problema de Cauchy sera mas delicada en este caso. Esto motiva

el siguiente concepto, de integral primera para (8.5), que por simplicidad lo vemos para el casoN = 2. (Al no ser ya una E.D.P. lineal, no aplicamos la caracterizacion vista hasta ahora en laProposicion 8.4).

Consideramos la E.D.P. casi-lineal

f1

(x, y, z)@z

@x+ f

2

(x, y, z)@z

@y= g(x, y, z), (8.6)

con fi, g 2 C1(U), siendo U ⇢ R3 abierto.

Definicion 8.14. Sea z(x, y) una solucion de (8.6) en un abierto O ⇢ R2. Llamamos superficieintegral de (8.6) a la superficie definida por la ecuacion z = z(x, y).



´


´

ısticas

Definicion 8.15. Llamamos s.d.o. caracterıstico asociado a (8.6) al s.d.o. autonomo8>>>>>><

>>>>>>:

dx

dt= f

1

(x, y, z),

dx

dt= f

2

(x, y, z),

dx

dt= g(x, y, z),

en ⌦ = R⇥ U. (8.7)

Observese que en (8.7) estamos viendo a x, y, y z como variables dependientes de t, no comovariables ligadas entre sı como se entiende en la E.D.P. (8.6).

Supongamos que existen dos integrales primeras �1(x, y, z) y �2(x, y, z) de la E.D.P. casi-lineal(8.7) y ambas independientes de t, definidas en R⇥ U con U ⇢ U abierto, y que �i 2 C1(U) i = 1,2.

Veamos que para cualquier h 2 C1(R2), la expresion h(�1,�2) = 0 determina soluciones de(8.6). En efecto, consideramos la funcion h : U ! R, dada por h(x, y, z) = h(�1(x, y, z),�2(x, y, z)).Sea (x

0

, y0

, z0

) 2 U tal que h(x0

, y0

, z0

) = 0 (esto se consigue ajustando convenientemente unaconstante en h), y tal que

@h

@z(x

0

, y0

, z0

) 6= 0.

Entonces, por el Teorema de la Funcion Implıcita, existen entornos E((x0

, y0

)) y E(z0

) de (x0

, y0

) yz0

respectivamente tales que existe una unica funcion z 2 C1(E((x0

, y0

));E(z0

)) tal que z(x0

, y0

) =z0

yh(x, y, z(x, y)) = 0 8(x, y) 2 E((x

0

, y0

)).

Derivando la expresion anterior, veremos que z = z(x, y) es una superficie integral de (8.6). Enefecto, 8

>>><

>>>:

@h

@x+@h

@z

@z

@x= 0,

@h

@y+@h

@z

@z

@y= 0,

en E((x0

, y0

)).

Si multiplicamos la primera igualdad por f1

, y la segunda por f2

y sumamos, obtenemos

@h

@z

✓f1

@z

@x+ f

2

@z

@y

◆+ f

1

@h

@x+ f

2

@h

@y

��(x,y,z(x,y))

= 0. (8.8)

Por otro lado, al ser h(x, y, z) = h(�1(x, y, z),�2(x, y, z)) una integral primera de (8.7) (cf. Obser-vacion 8.7) y por la caracterizacion de las integrales primeras (cf. Proposicion 8.4 y Observacion8.5) no dependientes de t, se tiene que

f1

@h

@x+ f

2

@h

@y+ g

@h

@z= 0 en U .

Combinamos esta igualdad con (8.8) para obtener

@h

@z

f1

@z

@x+ f

2

@z

@y� g

�= 0 en E((x

0

, y0

)).

Como por continuidad existe un entorno de (x0

, y0

) donde@h

@z(x, y, z(x, y)) 6= 0, entonces se deduce

que en dicho entorno

f1

@z

@x+ f

2

@z

@y= g.

Hemos concluido ası que a partir de dos integrales primeras del sistema caracterıstico se puedenconstruir infinitas soluciones de (8.6) usando h(�1,�2) = 0.


141 8.3. E.D.P. DE 1ER ORDEN LINEALES Y CASI-LINEALES. INTEGRAL GENERAL

Definicion 8.16. Sean �i, i = 1, 2, dos integrales primeras de (8.7) independientes de t, y con�i 2 C1(U) siendo U ⇢ U un conjunto abierto, y tales que

rg

0

BB@

@�1

@x

@�1

@y

@�1

@z

@�2

@x

@�2

@y

@�2

@z

1

CCA = 2 en U .

Entonces si escogemos una funcion arbitraria h 2 C1(R2), la expresion

h(�1(x, y, z),�2(x, y, z)) = 0

se llama integral general en U de (8.6).

Observacion 8.17. Estas consideraciones se generalizan sin variacion para el caso N > 2.

Veamos un par de ejemplos sobre como hallar soluciones de E.D.P. casi-lineales.

Ejemplo 8.18. Encontrar una superficie en R3 que contenga la circunferencia⇢

x2 + y2 = 1,z = 0,

y que corte ortogonalmente a todas las esferas de centro el origen, x2 + y2 + z2 = c2, c 2 R \ {0}.

Primero hallamos z = z(x, y) tal que en cada punto su vector normal ( @z@x , @z

@y ,�1) sea per-pendicular al vector normal a la superficie f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 = c2 en el punto de corte,i.e.

@f

@x

@z

@x+@f

@y

@z

@y� @f

@z= 0,

que en nuestro caso se convierte en

x@z

@x+ y

@z

@y= z.

Para encontrar una superficie integral de esta E.D.P. tomamos el sistema caracterıstico asociado,8<

:

x = x,y = y,z = z,

, dt =dx

x=

dy

y=

dz

z,

de donde resulta claro que dos integrales primeras son �1(x, y, z) =y

xy �2(x, y, z) =

z

x. Deducimos

entonces queh⇣y

x,z

x

⌘= 0 con h 2 C1(R2) arbitraria

es la integral general.En particular, todas las de la forma

z

x=

⇣y

x

⌘(8.9)

con 2 C1(R) es valida.

En segundo lugar imponemos que contenga a la circunferencia⇢

x2 + y2 = 1,z = 0,

Si usamos la expresion (8.9), resulta

0 = x

p1� x2

x

!8x 2 (0, 1],

de donde obtenemos que ⌘ 0. Evidentemente la solucion al problema es z ⌘ 0.



´


´

ısticas

Ejemplo 8.19. Encontrar una superficie en R3 que contenga a la curva

C ⌘⇢

x2 + y2 = 1,z = 1,

y sea ortogonal a todas las superficies de la familia

z(x + y) = c(3z + 1), con c 2 R.

Supongamos que existe solucion. Entonces, igual que en el ejemplo anterior, dada la familia z(x +y) = c(3z + 1), o escrita como

z(x + y)3z + 1

= c,

su vector normal es~N =

✓z

3z + 1,

z

3z + 1,

x + y

(3z + 1)2

◆.

Buscamos una superficie z = z(x, y) tal que su vector normal✓@z

@x,@z

@y,�1

◆

sea ortogonal con el anterior. Tenemos por tanto la E.D.P.

z

3z + 1@z

@x+

z

3z + 1@z

@y=

x + y

(3z + 1)2.

Simplificando, obtenemos@z

@x+@z

@y=

x + y

z(3z + 1).

El sistema caracterıstico esdt = dx = dy =

z(3z + 1)x + y

dz,

y dos integrales primeras del mismo son �1(x, y, z) = x� y, y por otro lado

dx + dy

2=

z(3z + 1)x + y

dz ) 12(x + y)d(x + y) = z(3z + 1)dz

) 14(x + y)2 = z3 +

12z2 + C ) �2(x, y, z) = 4z3 + 2z2 � (x + y)2.

La integral general de la E.D.P. es por tanto

h(4z3 + 2z2 � (x + y)2, x� y) = 0

con h 2 C1(R2). Una subfamilia suya es la siguiente: 4z3+2z2�(x+y)2 = (x�y) con 2 C1(R).

Usamos esta ultima para exigir que contenga a la curva C, de donde resulta

4z3 + 2z2 � x2 � y2 � 2xy = (x� y) ) 5� 2xp

1� x2 = (x�p

1� x2) 8x 2 (0, 1]. (8.10)

Haciendo el cambio ⌘ = x�p1� x2, se tiene que ⌘2 = x2+1�x2�2xp

1� x2, o sea, �2xp

1� x2 =⌘2 � 1. Por tanto, de (8.10) deducimos que (⌘) = 4 + ⌘2, por lo que la superficie buscada debeverificar

4z3 + 2z2 � (x + y)2 = 4 + (x� y)2 ) 2z3 + z2 = x2 + y2 + 2.

Los dos ejemplos anteriores son casos particulares de problemas de Cauchy para una E.D.P.de primer orden. Formularemos y analizaremos este problema a continuacion, y en particular,retomaremos este ultimo ejemplo para recuperar la solucion obtenida (la unica que de hecho tieneel problema).


143 8.4. (PC) Y METODO CARACTERISTICAS PARA E.D.P. CASI-LINEALES

8.4. Problema de Cauchy y Metodo de las Caracterısticaspara E.D.P. casi-lineales

8.4.1. Introduccion heurıstica para dimension N = 2

Existe una interpretacion geometrica clara de la solucion de una E.D.P. casi-lineal para dimen-sion N = 2. Considerese la ecuacion

f1

(x1

, x2

, u(x1

, x2

))@u

@x1

+ f2

(x1

, x2

, u(x1

, x2

))@u

@x2

= g(x1

, x2

, u(x1

, x2

)).

El grafo de la superficie solucion z = �(x, y), ⌃ = {(x1

, x2

,�(x1

, x2

) : (x1

, x2

) 2 O}, tiene porvector normal

~n =✓@�@x

1

,@�@x

2

,�1◆

.

Si definimos el campo vectorial F = (f1

, f2

, g), tenemos que la ecuacion se escribe F ·~n = 0, lo queimplica que ⌃ es tangente a F.

Montamos por tanto el siguiente s.d.o., el sistema caracterıstico asociado a la E.D.P., y tangenteal campo F, 8

<

:

x01

(t) = f1

(x1

(t), x2

(t), v(t)),x0

2

(t) = f2

(x1

(t), x2

(t), v(t)),v0(t) = g(x

1

(t), x2

(t), v(t)).

Observese que x1

, x2

y v ahora aparecen como dependientes de la variable t, y no como ligadasentre si.

El objetivo es que efectivamente (x1

(t), x2

(t), v(t)) esten describiendo la solucion de la E.D.P.La idea es “construir” u(x

1

, x2

) como el valor v(t) si x1

= x1

(t) y x2

= x2

(t). Formalmente setendrıa u(x

1

(t), x2

(t)) = v(t), por lo que derivando

@u

@x1

x01

(t) +@u

@x2

x02

(t) = v0(t),

de donde sustituyendo la solucion del s.d.o. caracterıstico resulta efectivamente

f1

(x1

(t), x2

(t), v(t))@u

@x1

+ f2

(x1

(t), x2

(t), v(t))@u

@x2

= g(x1

(t), x2

(t), v(t)).

Como u(x1

(t), x2

(t)) = v(t), se tendrıa que se verifica la ecuacion. Pero hay un inconveniente,estamos llegando a determinados valores de la solucion a traves de curvas, ¿como hacer paragenerar una “red”, una superficie?

Lo haremos a traves de un haz de datos iniciales. Sea � 2 C1([0, 1]) (el intervalo es indistinto, sepone este por fijar ideas). Dada la curva �(s) = (↵

1

(s),↵2

(s),�(s)), planteamos un (PC) asociadoal s.d.o. caracterıstico anterior, con los siguientes datos iniciales (problema parametrico):

(x1

(0), x2

(0), v(0)) = (↵1

(s),↵2

(s),�(s)).

Ası obtenemos una solucion

�(t, s) = (X1

(t, s), X2

(t, s), V (t, s)).

Para asegurarnos que cubrimos una superficie realmente (al menos localmente) imponemos unacondicion:

det✓

f1

(↵1

(s),↵2

(s),�(s)) ↵01

(s)f2

(↵1

(s),↵2

(s),�(s)) ↵02

(s)

◆6= 0.

La resolucion final al problema vendra dada con ayuda del Teorema de la Funcion Inversa.8<

:

x1

= X1

(t, s),x

2

= X2

(t, s),v = V (t, s),

)8<

:

t = T (x1

, x2

),s = S(x

1

, x2

),u(x

1

, x2

) = V (T (x1

, x2

), S(x1

, x2

)).



´


´

ısticas

8.4.2. Formulacion del (PC). Metodo de las caracterısticas

Veamos de una forma rigurosa lo esbozado en el paragrafo anterior.Comenzamos generalizando a RN el concepto de curva regular en R2 o de superficie regular en

R3. [El (↵1

(s),↵2

(s)) del apartado anterior].

Definicion 8.20. Se denomina hipersuperficie de clase k (k � 1) en RN a todo conjuntoS ⇢ RN de la forma

S = {x 2 RN : x = ⇠(t1

, . . . , tN�1

), (t1

, . . . , tN�1

) 2 ✓}siendo ✓ un entorno abierto del 0 2 RN�1 y ⇠ 2 Ck(✓; RN ).

Para definir el problema de Cauchy para una E.D.P. consideramos dada una hipersuperficie Sde clase uno en RN . Denotamos a = ⇠(0) 2 S. Sea u

0

2 C1(✓) dado (el �(s) de la seccion anterior).

Definicion 8.21. Se denomina problema de Cauchy para la E.D.P. (8.5) con dato inicial u0

sobreS planteado en un entorno del punto a y se denota

(PC)

8<

:

PNi=1

fi(x, u)@u

@xi= g(x, u),

u|S = u0

en un entorno de a

al problema de encontrar un entorno abierto O ⇢ RN de a y una funcion u 2 C1(O) quesea solucion clasica de la E.D.P. en O y que verifique u(⇠(t

1

, . . . , tN�1

)) = u0

(t1

, . . . , tN�1

)8(t

1

, . . . , tN�1

) 2 ✓ tal que ⇠(t1

, . . . , tN�1

) 2 O.Al par (O, u) se le denomina solucion (local clasica) del (PC) y a u una solucion del (PC) en

O.

Ejemplo 8.22. El Ejemplo 8.19 puede replantearse como un (PC) para la E.D.P. que obtuvimos.Para ello fijamos un punto sobre la circunferencia x2 + y2 = 1, por ejemplo el punto a = (1, 0).Tomamos ✓ = (�⇡/2,⇡/2) y S = {(x, y) = (⇠

1

(t1

), ⇠2

(t1

)), t1

2 ✓} con ⇠1

(t1

) = cos t1

y ⇠2

(t1

) =sen t

1

. Ası, el problema queda como8<

:

@z

@x+@z

@y=

x + y

z(3z + 1),

z|S = 1 en un entorno de a = (1, 0).

Observacion 8.23 (Busqueda de solucion local, no global). El planteamiento del (PC) ha deser necesariamente local. Veamos un contraejemplo con el que es claro que no cabe esperar solucionglobal en O = RN .

Considerese la ecuacion de Burgers y el (PC) para u0

2 C1(R) dada,8<

:

@u

@x1

+ u@u

@x2

= 0,

u(0, x2

) = u0

(x2

) en un entorno de a = (0, 0).(8.11)

Supongamos que existe una solucion u(x1

, x2

) definida en O = (0,+1) ⇥ R. Consideremos demanera formal la e.d.o (obtenida a partir del sistema caracterıstico)

dx2

dx1

= u(x1

, x2

). (8.12)

Si x2

= x2

(x1

) es una solucion de (8.12), entonces (por ser u solucion de la E.D.P.)

d

dx1

[u(x1

, x2

(x1

))] =@u

@x1

(x1

, x2

(x1

)) +@u

@x2

(x1

, x2

(x1

))u(x1

, x2

(x1

)) = 0.

Esto significa que u se mantiene constante a lo largo de las soluciones de (8.12) (que se llamarancaracterısticas de la E.D.P. de Burgers).



Sea (0, x0

2

) un punto generico y, dado que u(x1

, x2

) permanece constante a lo largo de lascaracterısticas, el (PC) asociado a (8.12)

8<

:

dx2

dx1

= u0

(x0

2

),

x2

(0) = x0

2

.

Su solucion evidentemente es x2

(x1

) = u0

(x0

2

)x1

+x0

2

. Por tanto u se transmite de forma constantesobre esa familia de rectas.

Supongamos que existen dos puntos x0

2

y x0

2

tales que x0

2

< x0

2

y que u0

(x0

2

) > u0

(x0

2

). Entonceslas rectas que pasan por (0, x0

2

) y (0, x0

2

) se cortan en algun punto de O, digamos P, y entoncesu(P ) = u

0

(x0

2

) 6= u0

(x0

2

) = u(P ), lo que es contradictorio.

Observacion 8.24. Tampoco cabe esperar que, dada una hipersuperficie S, la solucion (local)este definida en todo S sino en un entorno del punto y parte de S.

Veamoslo de nuevo apoyandonos en el ejemplo anterior. Consideramos S ⌘ {(0, x2

) : x2

2E(0)}. Supongamos ahora que u

0

(x2

) = 1� x2

2

.En este caso los puntos que elegimos antes x0

2

y x0

2

tomaran los valores x0

2

= 0 y x0

2

= 1/a. Esdecir, estamos con los puntos iniciales para las rectas caracterısticas (0, 0) y (0, 1/a). La funciondato inicial es u

0

(x2

) = 1� x2

2

. Las caracterısticas son8<

:

dx2

dx1

= u0

(x0

2

),

x2

(0) = x0

2

= 0,) x

2

(x1

) = x1

,

8<

:

dx2

dx1

= u0

(x0

2

),

x2

(0) = x0

2

= 0,) x

2

(x1

) =✓

1� 1a2

◆x

1

+1a,

ya que las pendientes respectivas son 1 y 1� 1/a2. Ambas rectas se cortan en el punto (a, a). Portanto el punto (a, a) no puede estar en el dominio de la solucion. Esto significa que si a es un valormuy pequeno (esto serıa valido si S contiene a todo un entorno del semieje positivo OY) entoncesla solucion de la E.D.P. no tendrıa dominio de definicion en R

+

⇥ R.

Estamos ya en condiciones de establecer el resultado principal de esta seccion. No obstantedaremos algunas notas antes de su prueba para aclarar convenientemente algunos puntos de suenunciado.

Teorema 8.25 (Existencia y unicidad local de solucion para un (PC) asociado a unaE.D.P. casi-lineal de 1er orden). Sean U ⇢ RN+1 un abierto no vacıo, fi, g 2 C1(U), i =1, . . . , N, y S una hipersuperficie dada por

S = {x 2 RN : x = ⇠(t1

, . . . , tN�1

), (t1

, . . . , tN�1

) 2 ✓}con ✓ un entorno abierto del 0 2 RN�1 y ⇠ 2 Ck(✓; RN ). Denotamos a = ⇠(0). Suponemos tambiendada u

0

2 C1(✓), y que se tiene que

(⇠(t1

, . . . , tN�1

), u0

(t1

, . . . , tN�1

)) 2 U 8(t1

, . . . , tN�1

) 2 ✓, (8.13)

y que

det

f(a, u

0

(0))

��@⇠i@tj

(0)

!6= 0. (8.14)

Entonces existe un entorno abierto de a, O ⇢ RN , tal que en O existe una y solo una solucion udel

(PC)

8<

:

PNi=1

fi(x, u)@u

@xi= g(x, u),

u|S = u0

en un entorno de a.(8.15)



´


´

ısticas

Observacion 8.26.

1. La hipotesis (8.13) no es restrictiva, ya que necesariamente (a, u0

(0)) 2 U para que tengael problema, y por continuidad, existe ✓0 ⇢ ✓ de modo que (8.13) tiene que verificarse (y elteorema es de caracter local).

2. La hipotesis (8.14) se llama “de transversalidad” y, en particular, permite garantizar otrahipotesis de compatibilidad para el (PC) (8.15) que debe verificarse.

Supuesto que existe solucion, denotemos pi = @u@xi

(a) para i = 1, . . . , N. Al verificarse laE.D.P. en x = a se tiene que cumplir

NX

i=1

fi(a, u0

(0))pi = g(a, u0

(0)). (8.16)

Por otro lado, la condicion inicial (valida para todo (t1

, . . . , tN�1

) 2 ✓ tal que ⇠(t1

, . . . , tN�1

) 2O)

u0

(t1

, . . . , tN�1

) = u(⇠1

(t1

, . . . , tN�1

), . . . , ⇠N (t1

, . . . , tN�1

))

permite deducir derivando que @u0@tj

(0) =PN

i=1

@u@xi

(a)@⇠i

@tj(0), que con la notacion anterior se

escribeNX

i=1

@⇠i@tj

(0)pi =@u

0

@tj(0). (8.17)

Como las ecuaciones (8.16) y (8.17) han de ser compatibles, basta por ejemplo exigir lacondicion (8.14).

3. Otra forma de resaltar la utilidad de (8.14) es retomando la idea original del metodo dedemostracion de la prueba de las caracterısticas (esto lo hizo Cauchy) para una E.D.P. lineal.

Supongamos por simplicidad que N = 2, que g ⌘ 0, y que fi son (i = 1, 2) independientes deu. Las soluciones de la E.D.P.

P2

i=1

fi(x1

, x2

) @u@xi

= 0 (si existen) son integrales primeras delsistema caracterıstico formado por las ecuaciones dxi

dt = fi(x1

, x2

). Igual que en el ejemplo dela ecuacion de Burgers, se tiene que una solucion de la E.D.P. se mantiene constante sobre lascaracterısticas, i.e. u(x

1

(t), x2

(t)) =Cte ya que ddt [u(x

1

(t), x2

(t))] = 0. Si tales caracterısticascortan a la hipersuperficie S, donde sabemos los valores iniciales del (PC), el valor de u seextiende sobre toda la caracterıstica: sera el valor de u

0

en el punto de interseccion con lacaracterıstica.

Finalmente, si en un entorno de S tenemos un haz de orbitas que genera un entorno de a enR2 (el abierto O del enunciado), entonces u estara determinado en dicho conjunto O por elvalor de u

0

en un entorno de S. La forma “intuitiva” de generar esa superficie es imponeruna condicion de transversalidad entre las pendientes de las funciones fi, y la “curva” S, esdecir, la condicion (8.14).

4. La unicidad que se probara en el resultado es unicidad local.

Demostracion del Teorema 8.25. Definimos el sistema caracterıstico asociado a la E.D.P.8><

>:

dy

dt= f(y, v),

dv

dt= g(y, v),

en ⌦ = R⇥ U ⇢ RN+2,

donde f = (f1

, . . . , fN ), y siendo los (y, v) 2 U.Denotamos la solucion maximal de dicho s.d.o. (con su correspondiente valor inicial)

(y(t, t0

, y0

, v0

), v(t, t0

, y0

, v0

)).



Sabemos por el Tema 6 que ⇥ ⇢ RN+3 es abierto y que (y, v) 2 C1(⇥; RN+1).Fijado (t

1

, . . . , tN�1

) 2 ✓, definimos

y(t, t1

, . . . , tN�1

) = y(t, 0, ⇠(t1

, . . . , tN�1

), u0

(t1

, . . . , tN�1

)),v(t, t

1

, . . . , tN�1

) = v(t, 0, ⇠(t1

, . . . , tN�1

), u0

(t1

, . . . , tN�1

)).

El par (y, v) esta bien definido sobre el conjunto

e⇥ = {(t, t1

, . . . , tN�1

) 2 RN : (t1

, . . . , tN�1

) 2 ✓, t 2 I(0, ⇠(t1

, . . . , tN�1

), u0

(t1

, . . . , tN�1

)}= {(t, t

1

, . . . , tN�1

) 2 RN : (t1

, . . . , tN�1

) 2 ✓, (t, 0, ⇠(t1

, . . . , tN�1

), u0

(t1

, . . . , tN�1

)) 2 ⇥}.

Observese que e⇥ es un entorno abierto de 0 2 RN , ya que la aplicacion

: (t, t1

, . . . , tN�1

) 2 R⇥ ✓ 7! (t, 0, ⇠(t1

, . . . , tN�1

), u0

(t1

, . . . , tN�1

)) 2 RN+3

verifica 2 C1(R⇥ ✓; RN+3) y e⇥ = �1(⇥) (en realidad bastaba que fuera continua) y (0) =(0, 0, a, u

0

(0)) 2 ⇥.Por tanto tenemos

e⇥ es un entorno abierto de 0 2 RN ,

(y, v) 2 C1(e⇥, RN+1),

(y, v)(0) = (a, u0

(0)),

Para todo (t1

, . . . , tN�1

) 2 ✓y(0, t

1

, . . . , tN�1

) = ⇠(t1

, . . . , tN�1

) y v(0, t1

, . . . , tN�1

) = u0

(t1

, . . . , tN�1

)

Obviamente se tienen las relaciones diferenciales siguientes:

@y

@t(t, t

1

, . . . , tN�1

) = f(y(t, t1

, . . . , tN�1

), v(t, t1

, . . . , tN�1

)),

@v

@t(t, t

1

, . . . , tN�1

) = g(y(t, t1

, . . . , tN�1

), v(t, t1

, . . . , tN�1

)).

Consideramos ahora el sistema y(t, t1

, . . . , tN�1

) = (x1

, . . . , xN ). Pretendemos aplicarle el Teoremade la Funcion Inversa (vease Teorema 8.28 en la pagina 150).

Sabemos que y(0) = a y que@y

@t(t, t

1

, . . . , tN�1

) = f(y(t, t1

, . . . , tN�1

), v(t, t1

, . . . , tN�1

)), por

lo que@y

@t(0) = f(⇠(0), u

0

(0)) = f(a, u0

(0)). Como tambien se tiene

@y

@tj(0, t

1

, . . . , tN�1

) =@⇠

@tj(t

1

, . . . , tN�1

) ) @y

@tj(0) =

@⇠

@tj(0) j = 1, . . . , N � 1,

por la condicion de transversalidad

det

@yi

@t(0)

��@yi

@tj(0)

!= det

f(a, u

0

(0))

��@⇠i@tj

(0)

!6= 0,

y por continuidad tambien ocurre la misma condicion en un entorno del 0 2 RN . [Nota: Observe-se que aquı se esta usando tambien implıcitamente el teorema de derivabilidad respecto datosiniciales.]

Por tanto podemos aplicar el Teorema de la Funcion Inversa para afirmar que existe una bolaabierta B ⇢ e⇥ centrada en 0 2 RN tal que

y : B ! y(B) =: O ⇢ RN



´


´

ısticas

es una biyeccion (O es evidentemente entorno abierto de a 2 RN ) y tambien y 2 C1(B;O), yy�1 2 C1(O;B).

Definimosu : O ! R : x 7! u(x) := v(y�1(x)).

Obviamente se tiene que u 2 C1(O). Veamos que u es solucion en O del (PC).

a) Verificamos primero que para todo x 2 O, se tiene que (x, u(x)) 2 U. En efecto,

(x, u(x)) = (y(y�1(x)), v(y�1(x))) = (y, v)(y�1(x)) 2 (y, v)(B) ⇢ (y, v)(e⇥) ⇢ U.

b) Vemos ahora que u(⇠(t1

, . . . , tN�1

)) = u0

(t1

, . . . , tN�1

) para todo (t1

, . . . , tN�1

) 2 ✓ tal que⇠(t

1

, . . . , tN�1

) 2 O. En efecto,

u(⇠(t1

, . . . , tN�1

)) = u(y(0, t1

, . . . , tN�1

)) = v(y�1(y(0, t1

, . . . , tN�1

))) = v(0, t1

, . . . , tN�1

)

y ya tenıamos por definicion que v(0, t1

, . . . , tN�1

) = u0

(t1

, . . . , tN�1

).

Queda comprobar que se verifica la E.D.P.PN

i=1

fi(x, u) = g(x, u) en todo O.

NX

i=1

fi(x, u(x))@u

@xI(x)

=NX

i=1

fi(y(y�1(x)), v(y�1(x)))@v(y�1(x))

@xi

=NX

i=1

2

4@yi

@t(y�1(x))

0

@@v

@t(y�1(x))

@y�1

1

@xi(x) +

N�1X

j=1

@v

@tj(y�1(x))

@y�1

j+1

@xi(x)

1

A

3

5

=@v

@t(y�1(x))

NX

i=1

@yi

@t(y�1(x))

@y�1

1

@xi(x)

!+

N�1X

j=1

@v

@tj(y�1(x))

NX

i=1

@yi

@t(y�1(x))

@y�1

j+1

@xi(x)

!.

De esta igualdad se deduce, si admitimos momentaneamente que

NX

i=1

@yi

@t(y�1(x))

@y�1

1

@xi(x)

!= 1 (8.18)

y que para todo j = 1, . . . , N � 1

NX

i=1

@yi

@t(y�1(x))

@y�1

j+1

@xi(x)

!= 0, (8.19)

queNX

i=1

fi(x, u(x))@u

@xi(x) =

@v

@t(y�1(x)) = g(y(y�1(x)), v(y�1(x))) = g(x, u(x)).

Por tanto, para terminar, confirmamos las igualdades (8.18) y (8.19).

(8.18) se deduce de la igualdad siguiente y de derivar respecto de t,

t = y�1

1

(y(t, t1

, . . . , tN�1

)) ) 1 =NX

i=1

@y�1

1

@xi(x)

@yi

@t(t, t

1

, . . . , tN�1

) =NX

i=1

@y�1

1

@xi(x)

@yi

@t(y�1(x)).



Y (8.19) se obtiene a partir de las siguientes igualdades (para cada j = 1, . . . , N�1) y sus derivadasrespecto de t,

tj = y�1

j+1

(y(t, t1

, . . . , tN�1

)) ) 0 =NX

i=1

@y�1

j+1

@xi(x)

@yi

@t(t, t

1

, . . . , tN�1

) =NX

i=1

@y�1

j+1

@xi(x)

@yi

@t(y�1(x)).

Queda por probar la unicidad local de solucion, i.e. si u 2 C1(O) es solucion del (PC) entoncesu(x) = u(x) 8x 2 O.

Como y es una biyeccion entre B y O, escribimos

u(x) = u(y(y�1(x))) = u(y(t, t1

, . . . , tN�1

)),u(x) = v(y�1(x)) = v(t, t

1

, . . . , tN�1

), 8(t, t1

, . . . , tN�1

) 2 B.

Fijamos (t1

, . . . , tN�1

) 2 RN�1 y denotamos It1,...,tN�1 = {t 2 R : (t, t1

, . . . , tN�1

) 2 B}, que esun entorno abierto de 0 2 R en caso de ser no vacıo.

Para probar que u = u en O, basta ver que si (t1

, . . . , tN�1

) 2 ✓ e It1,...,tN�1 6= ; entoncesu(y(t, t

1

, . . . , tN�1

)) = v(t, t1

, . . . , tN�1

) 8t 2 It1,...,tN�1 .Pongamos pues (t

1

, . . . , tN�1

) 2 ✓ tal que I := It1,...,tN�1 6= ;. Denotamos para todo t 2 I,

v(t) = v(t, t1

, . . . , tN�1

),y(t) = y(t, t

1

, . . . , tN�1

),'(t) = v(t)� u(y(t)).

Veamos que ' es solucion de un (PC) asociado a una e.d.o. que solo admite la solucion identicamentenula. Para ello observamos que

' 2 C1(I).

'(0) = v(0)� u(y(0)) = u0

(t1

, . . . , tN�1

)� u(⇠(t1

, . . . , tN�1

) = 0 por verificar u la condicioninicial sobre S.

Finalmente la ecuacion diferencial que satisface ' es

d'

dt=

dv

dt(t)�

NX

i=1

@u

@xi(y(t))

dyi

dt(t)

= g(y(t), v(t))�NX

i=1

@u

@xi(y(t))fi(y(t), v(t))

= g(y(t),'(t) + u(y(t)))�NX

i=1

@u

@xi(y(t))fi(y(t),'(t) + u(y(t))).

Ahora definimos el conjunto

A = {(t, z) 2 R2 : t 2 I, (y(t), z + u(y(t)) 2 U}.Observese que A es abierto, que (t, 0) 2 A 8t 2 I, y que

G(t, z) = g(y(t), z + u(y(t)))�NX

i=1

@u

@xi(y(t))fi(y(t), z + u(y(t)))

esta bien definida para todo par (t, z) 2 A. Mas aun,@G

@z2 C(A) y G(t, 0) = 0 (por ser u solucion

de la E.D.P.). Por tanto el

(PC)

(dz

dt= G(t, z),

z(0) = 0,

solo tiene una unica solucion, y forzosamente ha de tenerse entonces '(t) ⌘ 0.



´


´

ısticas

Observacion 8.27. La demostracion anterior es constructiva, es decir, permite obtener (explıcitao implıcitamente) la solucion del (PC), y en tal caso se dice que se ha resuelto el (PC) por elMetodo de las Caracterısticas.

Teorema 8.28 (Funcion Inversa). Sea h = (h1

, . . . , hn) 2 C1 una funcion definida en unabierto ⌦ ⇢ Rn. Denotemos T = h(⌦), y supongamos que el jacobiano de h, Jh(x

0

), es no nuloen algun x

0

2 ⌦. Entonces existe una unica funcion g y dos conjuntos abiertos X ⇢ ⌦ e Y ⇢ Ttales que x

0

2 X, h(x0

) 2 Y, Y = h(X) y h es inyectiva en X (en realidad biyectiva sobre Y ); gesta bien definida sobre todo Y, g(Y ) = X, y g(f(x)) = x para todo x 2 X, de hecho g 2 C1(Y ).

Ejemplo 8.29. Retomamos el Ejemplo 8.19 para ahora resolverlo por el Metodo de las Carac-terısticas. 8

<

:

@u

@x1

+@u

@x2

=x

1

+ x2

u(3u + 1),

u|S = 1 en un entorno de a = (1, 0),

siendo S = {⇣p

1� t21

, t1

⌘: t

1

2 (�1, 1)}.

En este caso U = {(x1

, x2

, u) 2 R3 : u 62 {0, 1/3}}, f1

⌘ f2

⌘ 1, y g(x1

, x2

, u) =x

1

+ x2

u(3u + 1).

Se tiene que f1

, f2

, g 2 C1(U). La funcion ⇠ viene dada por ⇠(t1

) = (p

1� t21

, t1

) 2 C1(✓; R2)con ✓ = (�1, 1), y finalmente u

0

(t1

) ⌘ 1. Como (a, u0

(0)) = (1, 0, 1) 2 U y la condicion detransversalidad se satisface,

det✓

f1

(a, u0

(0)) ⇠01

(0)f2

(a, u0

(0)) ⇠02

(0)

◆= det

✓1 01 1

◆= 1 6= 0,

se tiene por el Teorema 8.25 que existe una unica solucion local al problema.

Para resolverlo, planteamos el sistema caracterıstico8>>>>>><

>>>>>>:

dy1

dt= 1,

dy2

dt= 1,

dv

dt=

y1

+ y2

v(3v + 1).

Las condiciones iniciales (parametricas) son

y1

(0) =q

1� t21

, y2

(0) = t1

, v(0) ⌘ 1.

Al tratarse de un sistema desacoplado, es facil resolverlo: y1

(t, t1

) = t + c(t1

) = t +p

1� t21

,y2

(t, t1

) = t + t1

, y por ultimodv

dt=

2t + t1

+p

1� t21

v(3v + 1)

genera la solucion

v3 +12v2 = t2 + (t

1

+q

1� t21

)t + C,

donde C la podemos determinar sustituyendo la condicion v(0) = 1. Resulta C = 3/2. Por tantollegamos a la solucion final

v3(t, t1

) +12v2(t, t

1

) = t2 + (t1

+q

1� t21

)t +32. (8.20)



Calculamos ahora u(x) = v(y�1(x)), para ello eliminamos t y t1

y sustituimos v por u e yi por xi.

y2

1

= t2 + 1� t21

+ 2tp

1� t21

,y2

2

= t2 + t21

+ 2tt1

�) 1

2(�1 + y2

1

+ y2

2

) = t2 + tt1

+ tq

1� t21

.

Sustituyendo en (8.20) recuperamos la solucion que obtuvimos antes, 2u3 + u2 = x2

1

+ x2

2

+ 2.



´


´

ısticas


Bibliografıa

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